Skupovi, relacije, funkcije

Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u kojoj: (i) redosled navodjenja elemenata nije bitan i (ii) elementi se ne ponavljaju. Koristićemo notaciju a A da označimo da element a pripada skupu A. Ako element a ne pripada skupa A pišemo a A. Skupove ćemo označavati velikim slovima, a njihove elemente malim slovima abecede. Uobičajene su i sledeće oznake: N - za skup prirodnih brojeva, Z - za skup celih brojeva, Q - za skup racionalnih brojeva i R - za skup realnih brojeva. Skup se predstavlja: - navodjenjem elemenata u vitičastim zagradama ili - navodjenjem osobina S elemenata skupa, u obliku {x : S(x)}. (Čitamo:,,skup svih elemenata x koji zadovoljavaju S(x)). Primer 1.1.1 Skupovi mogu biti zadati na sledeći način: (a) {1, 2, 3, 4, 5}, {3, 6, 9, 12,...}, 5

6 CHAPTER 1. SKUPOVI, RELACIJE, FUNKCIJE Figure 1.1: Vennovi dijagrami za dva,tri i četiri skupa. (b) {x : x N 1 x 5}, {x : x N 3 x}. Primer 1.1.2 Za proizvoljne elemente a i b važi {a, b} = {b, a}, i {a, a, b} = {a, b}. Prazan skup je skup koji ne sadrži nijedan element i označavaćemo ga sa ili {}. (Napomena: primetimo da se on razlikuje od skupa { } koji sadrži element.) Partitivni skup skupa A, uoznacip(a), je skup svih podskupova skupa A : P(A) ={X : X A}. Primer 1.1.3 Neka je A = {0, 1, 2}. Tada je P(A) ={, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}. Kažemo da su skupovi A i B jednaki, uoznacia = B, ako važi ( x)(x A x B). Kažemo da je A podskup skupa B, uoznacia B, ako važi ( x)(x A x B). Za proizvoljne skupove A i B definišemo A \ B = {x : x A x B}, razliku skupova A i B, A B = {x : x A x B}, uniju skupova A i B i A B = {x : x A x B}, presek skupova A i B. Ako je A B =, kažemo da su skupovi A i B disjunktni.

1.1. SKUP, TORKA, MULTISKUP 7 Neka su X, Y, Z A. Tada važi = A (X ) = X X \ X = X = X X A = A X X = A zakoni idempotencije: X X = A A = X \ = X X A = X X = X X = X X = X zakoni asocijativnosti: (X Y ) Z = X (Y Z) (X Y ) Z = X (Y Z) zakoni komutativnosti: X Y = Y X X Y = Y X zakoni distributivnosti: X (Y Z) =(X Y ) (X Z) X (Y Z) =(X Y ) (X Z) zakoni apsorpcije: X (X Y )=X X (X Y )=X De Morganovi zakoni: (X Y ) = X Y (X Y ) = X Y (gdejex = A \ X) Table 1.1: Neki zakoni koji važe za operacije na skupovima

8 CHAPTER 1. SKUPOVI, RELACIJE, FUNKCIJE 1.1.2 Uredjena n-torka elemenata Uredjena torka elemenata poseduje sledeće osobine: (i) redosled navodjenja elemenata jeste bitan i (ii) elementi mogu da se ponavljaju. Uredjena n-torka (a 1,...,a n ),n 1, se definiše na sledeći način: n =1: (a 1 )=a 1 n =2: (a 1,a 2 )={{a 1 }, {a 1,a 2 }} (uredjen par) n 3: r (a 1,...,a n 1,a n )=((a 1,...,a n 1 ),a n ). (rekurzivno) Element a i,i {1,...,n}, se zove i-ta komponenta (koordinata) uredjene n- torke (a 1,...,a n ). Primer 1.1.4 Za skupove važi dok je za uredjene torke elemenata {1, 1, 2, 2, 2} = {1, 2} = {2, 1} (1, 1, 2, 2, 2) (1, 2) i (1, 2) (2, 1). Na osnovu definicije jednakosti skupova, možemo dokazati da su dva uredjena para jednaka ako i samo ako su im jednake odgovarajuće komponente, što je formulisano sledećim tvrdjenjem. Teorema 1.1.1 Uredjeni parovi (a, b) i (c, d) su jednaki ako i samo ako je a = c i b = d. Dokaz. (a, b) =(c, d) {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}} ({a} = {c} {a, b} = {c, d}) ({a} = {c, d} {a, b} = {c}) (a = c b = d) (a = b = c = d). Posledica 1.1.1 (a 1,a 2,...,a n )=(b 1,b 2,...,b n ) a 1 = b 1 a 2 = b 2... a n = b n. Dokaz. Indukcijom po n.

1.1. SKUP, TORKA, MULTISKUP 9 (1,3) (2,3) (3,3) (1,2) (2,2) (3,2) (1,1) (2,1) (3,1) Figure 1.2: Kvadrat skupa A = {1, 2, 3}. Dekartov proizvod skupova Dekartov (direktan) proizvod n skupova A 1,A 2,...,A n 1 i A n,n 2, se definiše na sledeći način: Ako je n =2, onda važi A 1... A n = {(a 1,...,a n ): a i A i,i=1,...,n}. A 1 A 2 = {(a 1,a 2 ): a 1 A 1 a 2 A 2 }. Za n {0, 1, 2,...}, n-ti Dekartov stepen skupa A, uoznacia n, je { },n=0 A n = A,n =1 {(a 1,...,a n ) a i A, i =1,...,n},n 2. 1.1.3 Multiskup Multiskup (kesa), za razliku od skupa, je kolekcija elemenata u kojoj (i) redosled navodjenja elemenata nije bitan i (ii) elementi mogu da se ponavljaju konačno mnogo puta. Broj pojavljivanja nekog elementa u multiskupu je jedinstven pozitivan ceo broj, dok broj različitih elemenata u multisupu može biti beskonačan. Ako se x pojavljuje tačno n puta u skupu M, pišemo x n M. Za multiskup u kojem se x 1 pojavljuje n 1 puta, x 2 se pojavljuje n 2 puta itd, pišemo [x 1,x 2,...] n1,n 2,...

10 CHAPTER 1. SKUPOVI, RELACIJE, FUNKCIJE ili u uglastim zagradama navodimo sva pojavljivanja elemenata. Primer 1.1.5 {1, 1, 2, 2, 2} = {1, 2} = {2, 1}, (1, 1, 2, 2, 2) (1, 2) i (1, 2) (2, 1), dok je [1, 1, 2, 2, 2] [1, 2] i [1, 2] = [2, 1]. 1.2 Relacije Neka su n, m N. m-arna relacija ρ skupa A je bilo koji podskup od A m, ρ A m. Relacija arnosti m sa n elemenata se može predstaviti matricom formata m n u kojoj su kolone elementi relacije ρ. ρ = a 11 a 12... a 1n............ a m1 a m2... a mn 1.2.1 Binarne relacije Ako je n = 2 kažemo da je relacija binarna. Za binarnu relaciju ρ, umesto (a, b) ρ, koristimo i sledeće ekvivalentne zapise: a aρb ρ(a, b) ρ. b Skup svih binarnih relacija na A označavamo sa R (2) A. Kažemo da je binarna relacija ρ R (2) (R) Refleksivna, ako ( a A) (a, a) ρ, (I) Antirefleksivna, ako ( a A) (a, a) ρ, (S) Simetrična: ako ( a, b A) (a, b) ρ (b, a) ρ, (A) Antisimetrična: ako ( a, b A) (a, b) ρ (b, a) ρ a = b, (T) Tranzitivna: ako ( a, b, c A) (a, c) ρ (c, b) ρ (a, b) ρ. Na primer, relacija je refleksivna na skupu realnih brojeva, dok je relacija < irefleksivna. Primer 1.2.1 Neka je A = {0, 1}. Tada je 0 1 0 = 0 1 1 refleksivna, antisimetrična i tranzitivna.

1.2. RELACIJE 11 Relacije poretka Neka je ρ A 2. Relacija ρ je skupu A ako je relacija poretka (ili parcijalnog uredjenja) na (R) refleksivna, (A) antisimetrična i (T) tranzitivna. Relacija ρ je relacija strogog poretka (striktnog uredjenja) ako je antirefleksivna, antisimetrična i tranzitivna. Ako je ρ relacija poretka na nepraznom skupu A, onda se uredjen par (A, ρ) naziva parcijalno uredjen skup (ili poset). Primer 1.2.2 (a) ({0, 1, 2}, ) je parcijalno uredjen skup, gde je 0 0 0 1 1 2 =. 0 1 2 1 2 2 (b) ({0, 1, 2},<) je strogo parcijalno uredjen skup, gde je 0 0 1 < =. 1 2 2 (c) (P(A), ), gde je A = {0, 1}, je parcijalno uredjen skup. (d) (P(A), ), gde je A = {0, 1, 2}, je parcijalno uredjen skup. Relacije poretka se mogu predstaviti uz pomoć Hasevih dijagrama. UHaseovom dijagramu, elementi skupa A su predstavljeni tačkama, tako da je za (x, y) ρ za koje je x y, tačka x je nacrtana niže od tačke y. Ako izmedju njih nema drugih elemenata, onda postoji dužizmedju njih. Ilustracija je data u sledećem primeru. Primer 1.2.3 Neka je ({2, 3, 4, 5, 6, 15, 30}, ) parcijalno uredjen skup, gde je ( x, y N) x y ( k N)y = kx. Neka je (A, ρ) parcijalno uredjen skup. a A je najmanji element skupa A ako za sve x A važi (a, x) ρ. a A je najveći element skupa A ako za sve x A važi (x, a) ρ. a A je minimalni element skupa A ako ne postoji element x A za koji je (x, a) ρ i x a.

12 CHAPTER 1. SKUPOVI, RELACIJE, FUNKCIJE 120 30 4 6 15 21 2 3 5 Figure 1.3: Haseovo dijagram za ({2, 3, 4, 5, 6, 15, 30, 120}, ). a A je maksimalni element skupa A ako ne postoji element x A za koji je (a, x) ρ i x a. Neka je X A. Element a A je donja granica skupa X ako je (a, x) ρ za svako x X. Element a A je najveća donja granica (infinum od X), u oznaci inf X, ako je a najveći element skupa donjih granica. Element a A je gornja granica skupa X ako je (x, a) ρ za svako x X. Element a A je najmanja gornja granica (supremum od X), u oznaci sup X ako je a najmanji element skupa gornjih granica. Neka je (A, ρ) parcijalno uredjen skup. Kažemo da je on totalno uredjen (lanac) ako za sve elemente a, b A važi (a, b) ρ ili (b, a) ρ. antilanac ako za sve elemente a, b A važi (a, b) ρ i(b, a) ρ. dobro uredjen ako za svaki neprazni podskup X A ima najmanji element. Relacije ekvivalencije Neka je ρ A 2. Relacija ρ je relacija ekvivalencije na skupu A ako je (R) refleksivna,

1.2. RELACIJE 13 (S) simetrična i (T) tranzitivna. Klasa ekvivalencije elementa x A je skup Koriste se još i oznake C x i x/ρ. Skup svih klasa ekvivalencije je količnički skup (ili faktor skup). [x] ρ = {y A :(x, y) ρ}. [A] ρ = {[x] ρ : x A} Primer 1.2.4 (a) Najpoznatija relacija ekvivalencije je svakako relacija = na skupu realnih brojeva. (b) Neka je A = {0, 1, 2}. Za relacije A = A 2 = 0 1 2 [A] 0 1 2 A = {{0}, {1}, {2}} 0 0 0 1 1 1 2 2 2 [A] 0 1 2 0 1 2 0 1 2 A 2 = {{0, 1, 2}} kažemo da su trivijalne relacije ekvivalencije na A. Pored toga, postoje još tri relacije ekvivalencije na skupu A : 0 1 2 1 2 ρ 1 = [A] 0 1 2 2 1 ρ1 = {{0}, {1, 2}} 0 1 2 0 1 ρ 2 = [A] 0 1 2 1 0 ρ2 = {{2}, {0, 1}} 0 1 2 0 2 ρ 3 = [A] 0 1 2 2 0 ρ3 = {{1}, {0, 2}} Particija skupa A je skup {A 1,...,A n } za koji važi (i) za svako i {1,...,n} A i, (ii) A = i=n i=1 A i i (iii) za sve i, j {1,...,n} važi i j A i A j =. Za svaku relaciju ekvivalencije na skupu A, količnički skup je jedna particija skupa A.

14 CHAPTER 1. SKUPOVI, RELACIJE, FUNKCIJE 1.3 Funkcije Funkcija (preslikavanje, transformacija) skupa D u skup B, piše se f : D B, je podskup skupa D B takav da za svako a D postoji tačno jedno b B sa osobinom (a, b) f. U tom slučaju pišemo f(a) =b ili f : a b. Tada se za svako X D definiše skup f(x) (im f) na sledeći način f(x) ={b B postoji a X takvo da je f(a) =b}. Skup svih funkcija skupa D uskupb se označava sa B D. Neke vrste funkcija: Preslikavanje f : A B je 1 1(injekcija) akkoje ( x, y A)(f(x) =f(y) x = y). Preslikavanje f : A B je na (sirjekcija) akkoje ( b B)( a A)(f(a) =b). Preslikavanje f : A B je (bijekcija) akkoje1 1ina. Operacije na skupu funkcija:neka je f : A B i g : B C. Kompozicija funkcija f i g je funkcija g f : A C definisana je sa (g f)(x) =g(f(x)). Dijagonalna relacija A = {(x, x) : x A} je funkcija i zovemo je identična funkcija i obeležavamo sa 1 A. Kažemo da je f : B A inverzna funkcija funkcije f ako važi f f =1 B f f =1 A. Inverznu funkciju, ako postoji, obeležavamo sa f 1. 1.4 Zadaci 1. Ako skup A ima n elemenata, koliko elemenata ima skup P(A)? 2. Dokazati da važe zakoni dati u Tabeli 1.1.1. 3. Dokazati da za sve X, Y, Z A važi (a) X \ Y = X Y, (b) X \ (Y Z) =(X \ Y ) (X \ Z)X \ (Y Z) =(X \ Y ) (X \ Z),

1.4. ZADACI 15 (c) X =(X \ Y ) (X Y ), (d) (X \ Y ) (X Y )=. 4. Dokazati da za sve X, Y A važi formula uključenja-isključenja X Y = X + Y X Y. Dokaz. Ako su A i B disjunktni skupovi, onda je A B = A + B. Kako je X =(X \ Y ) (X Y )iskupovix\ Y i X Y su disjunktni, to je X = X \ Y + X Y. Sličnim rezonovanjem je Odatle je Y = Y \ X + X Y. X Y = (X \ Y ) (X Y ) (Y \ X) = X \ Y + X Y + Y \ X = ( X X Y )+ X Y +( Y X Y ) = X + Y X Y 5. Dokazati da za sve X, Y, Z A važi formula uključenja-isključenja X Y Z = X + Y + Z X Y X Z Y Z + X Y Z. 6. Na prvoj godini studija geodezije ima 50 studenata. U januarskom ispitnom roku će njih 24 izaći na ispit iz Algebre, 20 na ispit iz Analize I, a 13 na ispit iz Fizike. Algebru i Analizu I će polagati 6 studenata, Analizu I i Fiziku 5 studenata, a Algebru i Fiziku 4 studenta. Ako jedino Marko polaže sva tri ispita, koliko studenata neće izaći ni na jedan od ta tri ispita. 7. Teorema 1.4.1 Svaki dobro uredjen skup je totalno uredjen skup. Dokaz. Pretpostavimo da su a, b A proizvoljno izabrani. Kako je skup A dobro uredjen, to njegov podskup {a, b} A ima najmanji elemenat. Ako je taj najmanji elemenat a onda je (a, b) ρ. Inače, ako je najmanji b, ondaje(b, a) ρ. 8. Teorema 1.4.2 Parcijalno uredjen skup ima najviše jedan najmanji (najveći) element. Dokaz. Pretpostavimo da parcijalno uredjeni skup (A, ρ) ima dva najmanja elementa a i b. Tada je (a, b) ρ zato što je a najmanji element i (b, a) ρ zato što je b najmanji element. Kako je relacija ρ antisimetrična, sledi a = b. 9. Dokazati da je presek dve relacije ekvivalencije na A relacija ekvivalencije na skupu A.

16 CHAPTER 1. SKUPOVI, RELACIJE, FUNKCIJE 10. Dokazati da unija dve relacije ekvivalencije na skupu A ne mora biti relacija ekvivalencije na skupu A. (Konstruisati odgovarajući primer.) 11. Neka je A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} inekaje ρ = {(x, y) A 2 :4 (x y)}. Ispitati da li je ρ relacija ekvivalencije i, ako jeste, odrediti količničnički skup skupa A po relaciji ρ. 12. Teorema 1.4.3 Ako je ρ relacija ekvivalencije na A, onda važi Dokaz. ( ) Nekaje(x, y) ρ. Sledi, ( x, y A)(x, y) ρ [x] ρ =[y] ρ. z [x] ρ (z,x) ρ (x, y) ρ (z,y) ρ z [y] ρ, čime smo dokazali da je [x] ρ [y] ρ. Slično, z [y] ρ (y, z) ρ (x, y) ρ (x, z) ρ z [x] ρ, odakle je [y] ρ [x] ρ. ( ) Nekaje[x] ρ =[y] ρ. Tada je (x, x) ρ x [x] ρ =[y] ρ (x, y) ρ. 13. Teorema 1.4.4 Neka su x, y A i ρ relacija ekvivalencije na skupu A. Tada je [x] ρ [y] ρ = ili [x] ρ =[y] ρ. Dokaz. Moguća su dva slučaja: [x] ρ [y] ρ = ili je [x] ρ [y] ρ. Pretpostavimo da važi drugi slučaj, tj. da postoji z [x] ρ [y] ρ. Na osnovu definicije preseka tada z [x] ρ i z [y] ρ. Na osnovu definicije klase ekvivalencije, (x, z) ρ i(z,y) ρ. Kako je ρ tranzitivna relacija, to je (x, y) ρ, odakle na osnovu prethodne teoreme sledi [x] ρ =[y] ρ. 14. Neka je A = {0, 1}. Napisati sve binarne relacije koje su (a) relacije poretka. (b) relacije ekvivalencije. 15. Neka je A = {0, 1, 2}. Napisati sve binarne relacije koje su

1.4. ZADACI 17 (a) relacije poretka. (b) relacije ekvivalencije. 16. Dokazati da na svakom konačnom nepraznom skupu A postoji neparan broj relacija poretka. 17. Dokazati da je relacija poretka. 18. Nacrtati Haseove dijagrame parcijalno uredjenih skupova (a) ({1, 3, 5, 15, 30, 45}, ) (b) ({1, 2, 3, 5, 30, 60}, ) i odrediti najmanje, najveće, minimalne i maksimalne elemente.