Aplkáca formalzmu lognormálneho rozdelena na model slnečného cyklu L. Kulčár, Inšttút manažérskych systémov Detašované pracovsko Poprad, Ekonomcká fakulta UMB, Banská Bystrca, kulcar @hotmal.com Abstrakt V prác sú prezentované výsledky, ktoré bol získané použtím formalzmu používaného na odhad základných parametrov (strednej hodnoty a rozptylu) lognormálneho rozdelena aplkácou na -ročné cykly slnečnej aktvty vyjadrenej ročným vyhladeným Wolfovým číslam. Ceľom práce je posúdene náhrady rôznych doteraz používaných parametrov opsujúcch tvar slnečných cyklov (napr. relatívných čísel v maxme a mnme, dĺžkou vzostupnej a zostupnej vetvy cyklov, asymetre cyklov a.) uvedeným parametram lognormálneho rozdelena za predpokladu, že relatívne čísla sú považované za analógu hodnôt funkce hustoty pravdepodobnost lognormálneho rozdelena. Z uvedeného je zrejmé, že takáto aplkáca má význam ba matematcko-štatstcký, a ne fyzkálny. Získané výsledky sú dskutované z hľadska možnost zaradena jednotlvých slnečných cyklov do rodín.. ÚVOD Tak pre teoretkov, ktorí sa zaoberajú výskumom cyklov slnečnej aktvty a ch opsom nejakým matematckým modelom (funkcou), ako aj pre praktckých pozorovateľov slnečnej aktvty je všeobecne známe, že -ročné slnečné cykly vo väčšne prípadov ne sú symetrcké z hľadska ch grafckého znázornena, kedy na vodorovnú os je nanášaný čas (obyčajne v rokoch) a na zvslej os sú znázornené hodnoty relatívneho (Wolfovho) čísla, č už vyhladené (vyrovnané) alebo nevyhladené. Pre väčšnu slnečných cyklov platí, že vzostupná vetva slnečnej aktvty (doba od mnma k maxmu daného cyklu) je kratša ako zostupná vetva (od maxma k mnmu najblžšeho nasledujúceho cyklu). Táto asymetra sa obyčajne vyjadruje tzv. koefcentom asymetre cyklu α, ktorý zavedol Glessberg už v r. 95 (Glessberg, 95) a je defnovaný ako pomer dĺžky vzostupnej vetvy (T A ) k dĺžke zostupnej vetvy (T D ) slnečného cyklu, teda: T T A α =, () D prčom dĺžky oboch vetev sú vyjadrené v časovej mere, obyčajne v rokoch. Z vyšše uvedeného je zrejmé, že hodnota α je obyčajne menša ako. V prípade, keď sa z formálneho hľadska pozeráme na grafcké vyjadrene prebehu slnečného cyklu v závslost na čase ako na určtý typ rozdelena nejakého štatstckého znaku, tak tvar slnečného cyklu sa dá z pohľadu štatstky opísať aj koefcentom asymetre. Koefcent asymetre rozdelena γ je defnovaný nasledovne: m 3 ( x x). n n = γ =, () 3 m ( ). x x n n = kde vo všeobecnost n je počet štatstckých jednotek v štatstckom súbore (v našom prípade súčet hodnôt ročných relatvných čísel, ak sa za jednotku času pokladá rok), n sú hodnoty ročných hodnôt relatívnych čísel v jednotlvých rokoch -ročného slnečného cyklu, ktoré tu vystupujú ako určté váhy, hodnoty x predstavujú plynute času v rámc jedného slnečného cyklu (obyčajne jednotlvé roky slnečného cyklu), prčom x je vážená stredná hodnota (artmetcký premer) určená z hodnôt x s príslušným váham n a m je celková dĺžka (vyjadrená v jednotkách času, obyčajne v rokoch) daného slnečného cyklu. Takýto prístup na ops grafckého vyjadrena tvarov slnečných cyklov spolu s použtím koefcentu špcatost bol použtý v predchádzajúcch prácach autora (Kulčár, 999; Kulčár, ). Ceľom tejto práce je modelovať tvar slnečných cyklov na základe podobnost grafckého prebehu relatívneho čísla slnečných škvŕn v jednotlvých slnečných cykloch (kde na vodorovnej os je nanášaný čas obyčajne vyjadrený v rokoch a na zvslej os hodnoty relatívneho čísla) s grafckým prebehom funkce hustoty pravdepodobnost lognormálneho (logartmcko- 6
normálneho) rozdelena, prčom na vodorovnej os je nanášaná hodnota spojtej náhodnej premennej a na zvslej os hodnota hustoty pravdepodobnost. Z uvedeného ceľa je zrejmé, že z hľadska fyzkálnej nterpretáce je takýto prístup ba formálnou analógou založenou na grafckej podobnost dvoch grafov, prčom fyzkálna podstata tohoto prístupu je ťažko nterpretovateľná. Myšlenka vedúca k postavenu s takejto úlohy spočívala v podobnost grafckých prebehov vyšše uvedených parametrov hlavne v tom, že tak slnečné cykly ako aj lognormálne rozdelene je obyčajne poztívne zoškmené (γ > ), ak škmosť vyjadrujeme koefcentom asymetre defnovaným vzťahom () uvedeným vyšše, čo v termnológ koefcentu asymetre slnečného cyklu defnovaného Glessbergom vzťahom () odpovedá hodnote α <. Typckým slnečným cyklom, ktorý výrazne spĺňa teto podmenky, je napr. cyklus č. (986 996), ktorého koefcent asymetre počítaný z premerných ročných vyhladených relatívnych čísel (mnmum maxmum = 4 roky, maxmum mnmum = 8 rokov) podľa vzťahu () má hodnotu α =,5 a koefcent škmost má hodnotu γ = 95. Je zrejmé, že pr kombnác určtých hodnôt parametrov lognormálneho rozdelena (napr. stredná hodnota µ =, štandardná odchýlka σ =,5) je tvar lognormálneho rozdelena prblžne symetrcký, čo však možno vdeť aj u nektorých slnečných cyklov (napr. cyklus č. 5).. POUŽITÝ MATERIÁL A SPỒSOB SPRACOVANIA Logartmcko-normálne (lognormálne) rozdelene, podobne ako normálne rozdelene (Gaussovo- Laplaceovo) je jedným z fundamentálnych rozdelení, ktoré sa v štatstke používa obyčajne v stuácách, kedy dobre modeluje rozdelene s poztívnou škmosťou. V teór pravdepodobnost sa uvažuje s dvoj-, troj- a aj štvorparametrckým lognormálnym rozdelením. V našom prípade budeme používať ba dvojparametrcké lognormálne rozdelene s dvoma parametram, a to strednou hodnotou µ a rozptylom σ, skrátene označovanom ako LN(µ,σ ), prčom - < µ < a σ >. Spojtá náhodná premenná X (pre x > ) sa rad lognormálnym rozdelením, ak jej funkca hustoty pravdepodobnost f(x; µ, σ ) má tvar: ( ln x µ ) σ f ; =. e. (3) ( x µ, σ ) σx π Základné číselné charakterstky emprckého LNrozdelena, a to stredná hodnota E(X) a rozptyl D(X) sú spojené so strednou hodnotou µ a rozptylom σ nasledovným vzťahm: σ µ + ( X ) = e E (4) a µ + σ σ ( X ) = e.( e ) D. (5) Pretože strednú hodnotu µ a rozptyl σ LN- rozdelena nepoznáme, našou úlohou je odhadnúť teto hodnoty na základe emprckého rozdelena, ktoré v našom prípade predstavuje slnečný cyklus. Na odhady parametrov LNrozdelena sa používa vacero metód: metóda maxmálnej verohodnost, metóda momentov, metóda kvantlov a pod. My použjeme metódu momentov, ktorá spočíva v tom, že prvý začatočný moment je totožný so strednou hodnotou E(X) (čo je artmetcký premer x ) a druhý centrálny moment m je totožný s rozptylom D(X). Potom pre vzťahy (4) a (5) môžeme písať: ˆ σ ˆ µ + x = e, (6) ˆ ( e ) ˆ µ + ˆ σ σ = e. m, (7) kde µˆ je odhad strednej hodnoty µ a σ je odhad rozptylu σ LN-rozdelena. Zo vzťahov (6) a (7) pre odhady parametrov nakonec dostávame: ˆ m ln + e = ln x ˆ σ (8) σ ˆ µ = ln x. (9) Za vyšše uvedeným ceľom sme ako vstupné údaje, na ktoré sme aplkoval metódu modelovana LNrozdelena, použl premerné vyhladené ročné relatívne čísla slnečných škvŕn pre slnečné cykly č. (755 766) až č. 3 (996 7), prčom zdrojom údajov bola publkáca L. Schmeda (Schmed, 997) a nternetový zdroj SIDC (sdc.oma.be). Premerné ročné vyhladené relatívne čísla v našom prípade predstavujú hodnoty odpovedajúce hodnotám hustoty pravdepodobnost LN-rozdelena, prčom náhodná premenná X je reprezentovaná časom vyjadreným rokm. Pretože jednotlvé slnečné cykly sú rôzne dlhé, dĺžku každého slnečného cyklu sme normoval na rovnakú dĺžku o hodnote. Týmto sme dostal vyjadrene jednotlvých rokov trvana slnečného cyklu v hodnotách fázy slnečného cyklu. Prtom začatku cyklu (fáza ) odpovedal rok mnma daného cyklu a koncu slnečného cyklu (fáza ) odpovedal opäť roku mnma, avšak už nasledujúceho cyklu. Ďalším ceľom príspevku je zstť, č výskyt zmen vo vybraných parametroch slnečných cyklov v časovom slede od cyklu č. až po cyklus č. 3 je náhodne usporadaný (z hľadska štatstckého posudzovana), alebo sa v určtých sledovaných obdobach súvsle 6
vyskytujú cykly s prblžne rovnakým hodnotam sledovaných parametrov. Nam sledovaný parameter v tejto úlohe bola odhadovaná stredná hodnota slnečných cyklov. Na posúdene homogenty alebo náhodnost usporadana sme použl metódu terácí. V štatstke sa pod terácou rozume skupna prvkov (štatstckých jednotek) rovnaného druhu (označených napr. ako A), ktoré spĺňajú podmenku príslušnost k štatstckému znaku, ktorá je ohrančená z oboch strán, resp. na začatku a na konc radu z jednej strany, skupnou prvkov ného druhu (napr. B) (Abrahám a Kulčár, 3). Pod nulovou hypotézou H rozumeme náhodné usporadane prvkov v súbore a pod alternatívnou hypotézou H negácu nulovej hypotézy (non H ), teda prítomnosť štatstckej pravdelnost v usporadaní hodnôt. Hodnota testovaceho krtéra, na základe ktorého posudzujeme prjate alebo zametnute nulovej hypotézy, má prblžne normálne rozdelene a jeho hodnota je vyjadrená nasledovným vzťahom: u µ kde µ = + a = =, () σ n n n + n nn ( nn n n ) ( n + n ).( n + n ) σ, prčom n je počet štatstckých jednotek prslúchajúcch k druhu A, n je počet jednotek prslúchajúcch k druhu B a je počet terácí. Ak absolútna hodnota testovaceho krtéra určeného podľa vzťahu () je menša ako krtcká hodnota normovaného normálneho rozdelena určená pre zvolenú hladnu významnost (obyčajne o hodnote,5), potom prjímame nulovú hypotézu, v opačnom prípade nulovú hypotézu zametame. 3. VÝSLEDKY A DISKUSIA ˆ σ LN- Výsledky odhadov oboch parametrov µˆ a rozdelena určených na základe vzťahov (8) a (9) a koefcentu asymetre γ určeného podľa vzťahu () sú pre jednotlvé slnečné cykly č. až 3 uvedené v tabuľke. Odhadnuté hodnoty strednej hodnoty uvedené v druhom stĺpc tabuľky sú vyjadrené v tvare, kedy ne sú ľahko nterpretovateľné. Dá sa dokázať pre LN-rozdelene, že ak náhodná premenná X má LN(µ, σ )-rozdelene, potom náhodná premenná Y = ln X má normálne rozdelene s tým stým parametram µ, σ. Preto kvôl lepšej nterpretác sú v poslednom stĺpc tabuľky uvedené hodnoty strednej hodnoty získané z hodnôt µˆ vzťahom µˆ e, ktoré sú potom vyjadrené v jednotkách fázy slnečného cyklu. Z hodnôt uvedených v poslednom stĺpc tabuľky je zrejmé, že u väčšny slnečných cyklov je vzostupná vetva kratša ako zostupná vetva, pretože všetky cykly (až na jeden cyklus č. 7) majú teto hodnoty menše ako,5. Tabuľka č.. Odhadnuté hodnoty parametrov µˆ, pre slnečné cykly č. 3. ˆ σ a γ Cyklus µˆ ˆ σ γ µˆ e -,7444,8 -,6,475 -,878,48,96,455 3 -,889,98,468,4 4 -,759,47,688 49 5 -,88,68,,439 6 -,776,9,5,498 7 -,63,8 -,5,5363 8 -,8376,799 88,437 9 -,8983,9 45,47 -,95,67,45,445 -,6,6,64 457 -,846,685,684,49 3 -,94,955,56 898 4 -,834,8 -,6,4354 5 -,839,66 39,4387 6 -,863,87,79,4 7 -,85,637 333,4446 8 -,934,963 37 94 9 -,9394,989,568 98 -,877, 337,478 -,8857,9 74,44 -,9367,97 949 99 3 -,894,99 39,496 63
,6,5 Odhady stredných hodnôt,4,, 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 3 Poradové číslo slnečného cyklu Obr. č.. Odhady stredných hodnôt slnečných cyklov č. 3 vyjadrené v jednotkách fázy cyklu. Z obrázka č. vdíme, že stredné hodnoty cyklov osclujú prblžne okolo hodnoty,4, prčom väčše ampltúdy osclácí sú prítomné prblžne v prvej polovc cyklov (as do cyklu č. ). Extrémne prípady stredných hodnôt vykazujú cykly č., 6, 7 (vyšše ako stredná úroveň) a cykly č. 4 a (nžše hodnoty). V ďalšom kroku sme posudzoval, č výskyt zmen hodnôt strednej hodnoty (posledný stĺpec tabuľky č. ) v čase je náhodne alebo nenáhodne rozložený v čase. Zsťovane bolo urobené na základe teračného testu podľa vzťahu (). V prípade posudzovana príslušnost slnečných cyklov k danej skupne sme za krtérum bral hodnotu medánu strednej hodnoty. Ak slnečný cyklus mal odhadovanú strednú hodnotu menšu ako bol medán v súbore všetkých odhadovaných hodnôt stredných hodnôt, tak tento cyklus bol zaradený do cyklov kategóre A. Ak jeho stredná hodnota bola vyšša ako medánová hodnota, potom bol zaradený do skupny B. Pretože posudzujeme 3 slnečných cyklov, 5. cyklus s medánovou hodnotou,4398 nebol zaradený do žadnej z uvedených dvoch skupín. Na základe takéhoto posudzovana slnečných cyklov sme dostal nasledovné prradene jednotlvých cyklov č. - 4 a 6 3 do skupín: BBAABBBAAABABBBBAABAAA. Z uvedeného zaradena cyklov do skupín vyplýva, že máme celkový počet posudzovaných cyklov n =, počet cyklov kategóre A n =, počet cyklov kategóre B n = a počet terácí =. Na základe týchto hodnôt hodnota testovaceho krtéra určeného podľa vzťahu () je u = -,89, čo je v absolútnej hodnote menša hodnota ako krtcká hodnota normovaného normálneho rozdelena pre hladnu významnost,5, ktorá je,96. Z toho vyplýva, že nezametame nulovú hypotézu o náhodnost výskytu zmen stredných hodnôt slnečných cyklov. Iným slovam povedané to znamená, že slnečné cykly s menším a väčším hodnotam strednej hodnoty ako je ch medánová hodnota, sú v čase usporadané náhodne. Teda nemožno tvrdť, že by sa slnečné cykly ba s veľkým alebo ba s malým hodnotam strednej hodnoty koncentroval v určtom časovo vymedzenom úseku. Svedčí to o náhodnom stredaní sa v čase (v období od r. 755 do r. 7) slnečných cyklov s dlhším a kratším stredným hodnotam.,5 Odhadnuté hodnoty rozptylu,,5,,5 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 3 Poradové číslo slnečného cyklu Obr. č.. Odhady rozptylov slnečných cyklov č. 3. 64
Na obrázku č. vdíme, že odhadované hodnoty rozptylov slnečných cyklov vykazujú oscláce okolo akejs strednej úrovne a podobne ako v prípade strednej hodnoty sa so zvyšujúcm poradovým číslom cyklu ampltúda osclácí zmenšuje. Extrémne prípady rozptylov sú zreteľné v cykloch č., 4, 6, 7, a, avšak v opačnom zmysle v porovnaní s extrémam stredných hodnôt. Vzájomná závslosť medz vyšše uvedeným parametram je znázornená na obrázku č. 3. Z grafu je zrejmé, že so vzrastajúcou strednou hodnotou sa rozptyl znžuje takmer lneárnou závslosťou. Koefcent koreláce medz týmto dvoma parametram má hodnotu -,86, čo hovorí o pomerne slnej nepramej lneárnej závslost.,5, Rozptyl,5,,5,,,4,5,6 Stredná hodnota Obr. č. 3. Závslosť medz odhadovaným rozptylom a strednou hodnotou (vyjadrenou ako fáza cyklu) pre slnečné cykly č. 3. Z obrázka č. 3 vdeť, že dva slnečné cykly (č. 4 a ) sú separované od ostatných cyklov v smere vyšších hodnôt rozptylu a tež dva, resp. tr cykly (č. 6 a 7, resp. ) v smere nžších hodnôt rozptylu. Ostatné cykly tvora vamenej kompaktný zhluk s prblžne rovnakým hodnotam, ktoré sú koncentrované okolo strednej hodnoty rovnej prblžne,4 a rozptylu s hodnotou prblžne,9. Táto separáca 4, resp. 5 cyklov od ostatných sa prejavla už aj na obrázkoch č. a ako extrémne hodnoty stredných hodnôt a rozptylov týchto cyklov. Na ďalšom obrázku č. 4 je znázornená závslosť medz koefcentom asymetre cyklov určeným podľa vzťahu () a odhadnutou strednou hodnotou cyklov vyjadrenou v jednotkách fázy cyklu.,7,6,5 Koefcent asymetre,4,,,,,4,5,6 -, -, - Stredná hodnota Obr. č. 4. Závslosť koefcentu asymetre od odhadnutej strednej hodnoty cyklu pre slnečné cykly č. 3. 65
Z obrázka č. 4 je zrejmé, že opäť slnečné cykly č. 4 a (s vysokým hodnotam koefcentu asymetre) a cykly č. 6, 7,, 4 a 5 (s nízkym hodnotam koefcentu asymetre, dokonca nektoré so záporným) sa výrazne separujú od hlavného zhluku, ktorý je tvorený ostatným slnečným cyklam. 4. ZÁVER Na základe vyšše uvedených získaných výsledkov prezentovaných v tabuľke č. a na nasledujúcch grafoch možno prísť k záveru, že slnečné cykly, ak sú posudzované na základe parametrov strednej hodnoty a rozptylu odhadnutých za predpokladu, že slnečné cykly možno formálne aproxmovať matematckým modelom lognormálneho rozdelena, možno rozdelť do akýchs nehomogénnych skupín (rodín). Hlavnou rodnou je skupna slnečných cyklov, ktoré sa koncentrujú okolo strednej hodnoty,4 (v jednotkách fázy slnečného cyklu), ktorá ndkuje, že väčšna cyklov patrí do kategóre s kratšou vzostupnou vetvou v porovnaní s vetvou poklesu. Ďalšou skupnou je skupna obsahujúca dva cykly č. 4 a, pre ktorú sú charakterstcké vysoké hodnoty rozptylu a nízke hodnoty strednej hodnoty. Treta skupna na rozdel od ostatných dvoch skupín ne je taká kompaktná, pretože obsahuje slnečné cykly č., 6 a 7, prípadne ešte aj cykly 4 a 5, ak vezmeme do úvahy aj koefcent asymetre cyklov. Pre túto skupnu sú charakterstcké vyšše hodnoty strednej hodnoty a nžše hodnoty roztylu. Na exaktnejše posúdene príslušnost, resp. nepríslušnost cyklov k posledným dvom skupnám je možné v budúcnost použť zhlukovú analýzu. Ďalším výsledkom, ku ktorému sme pršl čo sa týka výskytu zmen strednej hodnoty v celom sledovanom období od r. 755 do r. 7 je zstene, že zmeny tohto parametra sú v čase usporadané náhodne. Nedá sa teda hovorť o tom, že by sa v určtých obdobach vyskytoval cykly s prblžne rovnakým stredným hodnotam. Poďakovane Uvedená práca mohla byť realzovaná vďaka grantu Slovenskej akadéme ved VEGA č. /47/7 Analýza dlhodobých slnečných cyklov a ch modelovane matematcko-štatstckým metódam. LITERATÚRA Abrahám, M., Kulčár, L.: 3, Štatstcké vademékum, Unverzta M. Bela, Ekonomcká fakulta a Občanske združene Ekonóma, Banská Bystrca, 85 s., ISBN 8-855-759-4. Glessberg, W.: 95, De Häufgket der Sonnenflecken, Berln, 9 s. Kulčár, L.: 999, Vzájomné štatstcké závslost medz cyklam slnečnej aktvty, Zborník referátov zo 4. celoštátneho slnečného semnára, Stará Lesná 998, ed. B. Lukáč, SÚH Hurbanovo, 5. Kulčár, L.:, Je možné rozdelť slnečné cykly do rodín z pohľadu štatstky?, Zborník referátov z 5. celoštátneho slnečného semnára, Patnce, ed. B. Lukáč, SÚH Hurbanovo, 78. Schmed, L.: 997, Štatstcké a grafcké prehľady slnečnej čnnost od roku 6, SÚH Hurbanovo, 7 s., ISBN 8-85-3-6. htpp://sdc.oma.be/sunspot-data/, (monthly and monthly smooted sunspot number),.3.8. 66