Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Nevena Mutlak Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom -master rad- Mentor: prof.dr Marko Nedeljkov Novi Sad, 2013.

Sadržaj 1 Uvod 4 2 Sergej Soboljev 6 3 Lebegova mera i integral 8 3.1 Osnovni pojmovi................... 8 3.2 L p prostori....................... 11 4 Distribucije i slabi izvodi 16 4.1 Distribucije...................... 16 4.2 Pojam slabog izvoda................. 18 4.3 Furijeova transformacija i temperirane distribucije.. 20 5 Prostori Soboljeva 23 5.1 Definicija i osobine.................. 23 5.2 Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom..... 29 5.3 Prostori Soboljeva sa realnim indeksom....... 33 5.3.1 H s (R n ), H0(R s n )............... 33 5.3.2 H s (Γ)..................... 37 5.3.3 H s (Ω), H0(Ω) s................ 41 6 Primer primene - Nehomogeni granični problem 49 6.1 Motivacija....................... 49 6.2 Definicija problema za eliptičnu jednačinu...... 51 6.3 Adjungovani operator i Formula Grina........ 53 2

6.4 Postojanje rešenja u prostorima sa pozitivnim indeksom.......................... 58 6.5 Postojanje rešenja u prostorima sa negativnim indeksom........................ 60 7 Zaključak 71 3

Glava 1 Uvod Prostori Soboljeva imaju veoma važnu ulogu u teoriji parcijalnih diferencijalnih jednačina, analize, matematičke fizike, diferencijalne geometrije, kao i u drugim oblastima matematike. Ovi prostori se definišu preko L p prostora, pa su oni opisani u prvom delu rada. Za ovo su bili potrebni osnovni pojmovi teorije mere i definicija Lebegovog integrala. Videćemo prednosti Lebegovog integrala nad Rimanovim, kao i neke lepe osobine L p prostora. Zatim je neophodno definisati prostore distribucija i slabe izvode, što je ura deno u narednom, četvrtom poglavlju. Poglavlje pet je srž rada - definicija prostora Soboljeva i predstavljanje značajnih osobina i teorema. Definisani su prvo prostori sa pozitivnim indeksom - prostori H p,m, a zatim se definicija proširuje na prostore sa negativnim indeksom: H p, m, a potom i na prostore sa realnim indeksom: H s. Na kraju poglavlja su opisani prostori Soboljeva sa specifičnim domenom, što je zapravo uvod u poslednje poglavlje - opis nehomogenog graničnog problema. U poslednjem poglavlju je na primeru eliptične jednačine predstavljena primena prostora Soboljeva u teoriji parcijalnih diferencijalnih jednačina. Definisan je granični problem za eliptičnu jednačinu i potom je pokazano kako se, u zavisnosti od regularnosti početnih uslova, rešenje ovog problema može naći u prostorima H s (Ω) ili H s (Ω), gde će fokus biti na ovom poslednjem. Kako je pro- 4

stor H s (Ω) zapravo dual prostora H s (Ω) značajnu ulogu odigraće dualni (adjungovani) operatori i njima će biti posvećena odre dena pažnja. Za početak, ipak, recimo nešto o tvorcu - Sergeju Soboljevu. 5

Glava 2 Sergej Soboljev Sergej Soboljev ro den je 6.10.1908. u Sankt Peterburgu. Već sa 12 godina je bio upoznat sa elementarnom algebrom, geometrijom i trigonometrijom. 1929. diplomirao je na lenjingradskom fakultetu za matematiku i fiziku. Nakon diplomiranja pozvan je da radi na Seizmološkom institutu, gde je, za deceniju rada, rešio mnoge važne probleme matematičke fizike, a tako de je uveo nove teorije i konstrukcije. Sa samo 25 godina postao je dopisni član Akademije nauka u Sovjetskom Savezu. Za vreme Drugog svetskog rada bio je uključen u realizaciju projekta za nuklearno oružje i bio je postavljen za zamenika direktora na Institutu za atomsku energiju. Neki od najbitnijih pojmova koje je Soboljev uveo su pojam slabog rešenja, distribucije, prostori Soboljeva i Soboljeva nejednakost. Njegova definicija slabog rešenja je trijumfovala nad ostalim jer je mogla da se prilagodi brojnim problemima, a kako je znatno oslabila uslov glatkosti - mnoge klase funkcija sa prekidima su postale dostupne. 1935/36 Soboljev je uveo pojam distribucije, mada nije koristio termin distribucija. Pod ovim je podrazumevao funkcionele nad prostorom C k funkcija sa kompaktnim nosačem. Mnogi drugi naučnici su dalje razvili teoriju distribucija. Ispostavilo se da su distribucije u bliskoj vezi sa mnogim poljima matematičke analize. Jedan od najvažnijih problema matematičke fizike 20-tog veka 6

je bilo dokazivanje dobre postavljenosti Dirihleovog i Nojmanovog problema za Laplasovu jednačinu kao i uopštenije eliptične jednačine drugog reda. Soboljev je rešio centralni problem: pronašao je adekvatne prostore funkcija: prostore Soboljeva. Zajedno sa Soboljevim nejednakostima, ovi prostori su imali fundamentalnu ulogu u teoriji PDJ-a, matematičke fizike, diferencijalne geometrije i drugih polja matematičke analize. 7

Glava 3 Lebegova mera i integral 3.1 Osnovni pojmovi Navešćemo neke pojmove teorije mere na R n. Definicija 3.1.1 Kolekcija Σ podskupova od R n naziva se sigma algebra ako važi sledeće: 1. R n Σ 2. Ako A Σ onda A C = {x R n : x / A} Σ 3. Ako A j Σ, j = 1, 2,... onda j=1 A j Σ Skup iz Σ zove se merljiv skup. Svaki otvoren skup iz R n je merljiv. Definicija 3.1.2 Mera µ na Σ je funkcija iz Σ u [0, ] za koju važi: µ ( ) A j = µ(a j ) j=1 j=1 za bilo koje A j Σ takve da A j Ak = za j k. Definicija 3.1.3 Ako je A = {x R n a j x j b j, j = 1,..., n} interval u R n onda je Lebegova mera skupa A: n m(a) = (b j a j ). j=1 8

Ako je E merljiv skup onda je m(e) = inf{m(u); U E, U je otvoren}. Napomena 3.1.4 Koristićemo izraz skoro svuda što znači svuda osim na skupu mere nula. Definicija 3.1.5 Funkcija koja slika prostor sa σ -algebrom u topološki prostor je merljiva ako je inverzna slika otvorenog skupa merljiv skup. Neka A R n. Funkcija χ A (x) definisana sa { 1 ako x A, χ A (x) = 0 ako x / A. Neka je sada f : A R n R +. s = m j=1 a jχ Aj, gde je A j A merljiv skup i a j R, ćemo nazivati jednostavnom funkcijom. Definišemo m s(x)dx = a j µ(a j ) A i f(x)dx = sup s(x)dx, A A gde se supremum uzima po merljivim, jednostavnim fukcijama s koje su jednaki nuli van A i zadovoljavaju: 0 s(x) f(x) na A. Ako f uzima vrednosti u R korisimo: f = f + f gde su f + = max(f, 0) i f = min(f, 0) merljive i nenegativne. Lebegov integral realne funkcije je: f(x) = f + (x)dx f (x)dx A A Ako je ovaj integral konačan kažemo da je funkcija (Lebeg) integrabilna na A. Klasa ovakvih funkcija se označava sa L 1 (A). Sada možemo definisati i Lebegov integral kompleksne funkcije: j=1 A 9

Definicija 3.1.6 Neka je f = u + iv gde su u, v realne funkcije (f je merljiva ako i samo ako su u, v merljive). f L 1 (A) ako f = (u 2 + v 2 ) 1/2 L 1 (A). Za takvo f L 1 (A) Lebegov integral je: f(x) = u(x)dx + i v(x)dx. A A A Lako je pokazati da f L 1 (A) akko u, v L 1 (A). Bitna teorema vezana za ove prostore je: Teorema 3.1.7 (O dominantnoj konvergenciji) Neka je A R n merljiv skup i {f n } kovergentan niz kompleksnih merljivih funkcija na A. Ako postoji funkcija g L 1 (A) takva da je f n (x) g(x) za svako n i za svako x A onda lim n A f n (x)dx = A lim n f n(x)dx Teorema 3.1.8 Neka je f : [a, b] R ograničena. Tada ako je f Riman integrabilna, onda je i Lebeg integrabilna i Rimanov integral funkcije f je jednak Lebegovom: b f(x)dx = f(x)dx a Za razliku od Riman integrabilnih funkcija, Lebeg integralne funkcije ne moraju biti ograničene. Tako de interval na kojem integriramo može biti neograničen. Tako svaka funkcija za koju Rimanov integral: 1 ɛ [a,b] f(x) dx ima konačnu graničnu vrednost kada ɛ 0 je Lebeg integrabilna na [0, 1], štaviše: 1 f(x)dµ = lim f(x)dx. [0,1] ɛ 0 ɛ 10

Tačnije, svaki apsolutno konvergentan nesvojstveni integral postoji kao Lebegov integral. Treba napomenuti da nesvojstveni integrali 1 0 f(x)dx nisu Lebegovi u slučaju kada ili 0 f(x)dx Na primer, 1 a lim f(x) dx = ili lim f(x) dx =. ɛ 0 ɛ a 0 0 sin(x) dx = x i Lebegov integral funkcije sin(x) x ne postoji. Ali, Rimanov integral konvergira: sin(x) x dx = π 2. 3.2 L p prostori 0 Uvodni pojmovi Označimo sada sa Ω otvoren podskup od R n. Sa indukovanom topologijom iz R n ovo je potprostor čiji su otvoreni skupovi istovremeno otvoreni i u R n. U ovom poglavlju biće nam potrebno i nekoliko sledećih pojmova. Ako G R n označavamo sa Ḡ zatvaranje skupa G u Rn. Pisaćemo G Ω ako Ḡ Ω i Ḡ je kompaktan (ograničen) podskup od R n. C m (Ω), gde m N 0 je skup funkcija koje su definisane nad Ω i imaju neprekidne sve izvode zaključno sa redom m. Definicija 3.2.1 Nosač neprekidne funkcije f : Ω C je adherentan skup za skup {x Ω; f(x) 0}. Nosač označavamo sa suppf. 11

Definicija 3.2.2 Podskup C m 0 (Ω) od C m (Ω) je skup funkcija čiji su nosači kompaktni u Ω (supp f je ograničen i supp f Ω). Definicija 3.2.3 Funkcija u definisana skoro svuda na Ω je lokalno integrabilna na Ω ako u L 1 (A) za svaki merljiv skup A Ω. Pišemo u L 1 loc (Ω) Neki pojmovi funkcionalne analize Neka su X i Y metrički prostori. Linearna funkcija (operator) L iz X u Y je ograničena ako postoji M > 0 tako da x X Lx Y M x X. L je neprekidna ako i samo ako je ograničena. Skup svih linearnih funkcija iz X u Y se označava sa L(X, Y ). Norma u ovom prostoru je data sa: L = inf{m 0 : Lx Y M x X x X}. (3.1) Ako je Y kompletan, L(X, Y ) je Banahov. Funkcionela nad X je funkcija koja slika X C. Dual od X, u oznaci X, je skup svih linearnih, neprekidnih funkcionela nad X. X sa dualnom normom (3.1) je Banahov prostor. Ako je X Y i operator inkluzije je neprekidan, tj. iz x n x u X sledi x n x u Y, onda Y X u smislu da restrikcija funkcionele iz Y na X pripada X. Homeomorfizam je neprekidna bijekcija takva da je njena inverzna funkcija tako de neprekidna. Homeomorfizmi očuvavaju topološke osobine prostora. Injekcija f iz X u Y koja je homeomorfizam izme du X i f(x) naziva se potapanje, obeležavamo je sa X Y. Intuitivno, potapanje nam dopušta da tretiramo X kao podskup od Y. Neka su (X, d X ) i (Y, d Y ) metrički prostori. Preslikavanje f : X Y se naziva izometrija ako a, b X važi d Y (f(a), f(b)) = d X (a, b). 12

Svaka izometrija je automatski injekcija i neprekidno preslikavanje (potapanje). Ako je izometrija izme du X i Y sirjektivna, kažemo da su X i Y izometrični. Neka je (X, d X ) metrički prostor. Metrički prostor (Y, d Y ) je kompletiranje X ako i samo ako: Y je kompletan postoji f : X Y izometrija f[x] = Y. Definicija Definišimo sada L p prostore: Definicija 3.2.4 Sa L p (Ω) označavamo prostor merljivih kompleksnih funkcija u definisanih na Ω za koje važi: u(x) p dx < (3.2) Ω Napomena 3.2.5 U L p (Ω) identifikujemo funkcije koje su jednake skoro svuda na Ω. Stoga su elementi prostora L p (Ω) klase ekvivalencije merljivih funkcija koje zadovoljavaju (3.2), gde su dve funkcije ekvivalentne ako su jednake skoro svuda na Ω. Ipak, zbog jednostavnosti poistovećujemo klase sa elementom klase i pišemo da u L p (Ω) ako u zadovoljava (3.2) i kažemo da je u = 0 ako je u = 0 skoro svuda na Ω. L p (Ω) je vektorski prostor. Funkcionela p definisana sa ( 1/p u p = u(x) dx) p (3.3) je norma u L p (Ω) za 1 p <. Navešćemo i dve bitne nejednakosti: Ω 1. Helderova nejednakost: Neka je 1 p, p = p p 1 i u L p (Ω), v L p (Ω) tada uv L 1 (Ω) i važi u(x)v(x) dx u p v p. Ω 13

2. Nejednakost Minkovskog: Ako 1 p < onda u + v p u p + v p Definicija 3.2.6 Merljiva funkcija u na Ω je esencijalno ograničena ako postoji konstanta K takva da je u(x) K skoro svuda na Ω. Najmanje takvo K je esencijalni supremum od u na Ω i označava se ess sup x Ω u(x). Sa L (Ω) označavamo vektorski prostor esencijalno ograničenih funkcija na Ω, a ponovo identifikujemo funkcije koje su skoro svuda jednake na Ω. Norma na L (Ω) je: u = ess sup u(x) x Ω Teorema 3.2.7 L p (Ω) za 1 p je Banahov prostor. L 2 (Ω) je Hilbertov prostor sa skalarnim proizvodom: (u, v) = u(x)v(x)dx. Ω Teorema 3.2.8 L p (Ω) je separabilan za 1 p <. Ako je 1 < p < onda je L p (Ω) refleksivan. Teorema 3.2.9 Neka je Ω dx = µ(ω) < i 1 p q. Ako u L q (Ω) onda u L p (Ω) i odnosno važi u p ( µ(ω) ) 1/p 1/q u q L q (Ω) L p (Ω). Dokaz Dokaz za p = q je jasan. Neka 1 p < q i u L q (Ω). Tada u p L q/p (Ω) i Hölderova nejednakost daje: ( ) p/q ( ) 1 p/q u(x) p dx u(x) q/p dx 1dx Ω Ω Ω ( ) p/q ( ) 1 p/q u(x) q dx 1dx Ω 14 Ω

što je ekvivalentno sa u p ( µ(ω) ) 1/p 1/q u q Slično se može pokazati da je L p (Ω) L 1 loc (Ω) za 1 p i svaki domen Ω (zbog konačnosti Lebegove mere kompaktnog skupa). Vratimo se na Helderovu nejednakost. Eksponent p naziva se dualni za p, sada ćemo i opravdati taj naziv. Helderova nejednakost pokazuje da svaka funkcija g L p (Ω) generiše neprekidnu linearnu funkcionelu nad L p (Ω) datu sa: l(f) = f(x)g(x)dx. (3.4) Ω Može se pokazati i da je svaka neprekidna linearna funkcionela nad L p (Ω) oblika (3.4): Teorema 3.2.10 Neka je 1 p < i 1/p + 1/p = 1. Tada je (L p (Ω)) = L p (Ω) u sledećem smislu: za svaku neprekidnu linearnu funkcionelu l na L p (Ω) postoji jedinstveno g L p (Ω) takvo da l(f) = f(x)g(x)dx, f L p (Ω). Ω Šta više, l = g p ( označava dualnu normu). 15

Glava 4 Distribucije i slabi izvodi 4.1 Distribucije Sa α ćemo označavati multiindeks: α = {α 1,..., α n }, α = α 1 +... + α n, a D α će označavati D α = α 1+...+α n x α 1 1.... xα n n Tako de, sa x α, gde je x R n, ćemo označiti x α = x α 1 1...xα n n. Kažemo da niz {φ n } C 0 (Ω) konvergira u smislu prostora D(Ω) ka funkciji φ C 0 (Ω) ako su zadovoljeni sledeći uslovi: (i) postoji skup K Ω takav da supp φ n K za svako n (što implicira suppφ K) i (ii) lim n D α φ n (x) = D α φ(x) uniformno na K za svaki multiindeks α. Odnosno važi φ n φ C m (Ω) ako j m N 0 gde C m (Ω) označava normu u prostoru C m (Ω) definisanu sa f C m (Ω) = sup D α f(x) < x Ω α m (sa kojom je ovaj prostor Banahov). Dakle prostor C 0 (Ω) sa gore definisanom konvergencijom označavamo sa D(Ω) a njegove elemente - test funkcije. 16

Definicija 4.1.1 Neprekidna linearna funkcionela nad D(Ω) naziva se distribucija. Prostor distribucija označavamo sa D (Ω), on je dakle dual prostora D(Ω), a distribucije preslikavaju D(Ω) u C. Neprekidnost važi u nizovnom smislu: Koristimo oznaku: T (φ j ) T (φ) za j kada god φ j D φ T : φ < T, φ >. U odnosu na uobičajene operacije sabiranja i množenja, D (Ω) čini vektorski postor nad C: < S + T, φ >=< S, φ > + < T, φ >, φ D(Ω) < ct, φ >= c < T, φ >, φ D(Ω) Konvergencija u prostoru D (Ω) je definisana na sledeći način: T n T in D (Ω) ako i samo ako < T n, φ > < T, φ > u C za svako φ iz D(Ω). Definicija 4.1.2 Prostor distribucija A D (Ω) naziva se normalan prostor distribucija nad Ω ako je C 0 (Ω) gust u A i ako je identičko preslikavanje D(Ω) A neprekidno (tj. iz u n u u D(Ω) sledi u n u u A). Dual prostora A smatramo potprostorom od D (Ω) (restrikcije sa A na D(Ω) su distribucije). Regularne distribucije Svakoj funkciji u L 1 loc (Ω) odgovara distribucija T u D(Ω) definisana sa: T u = u(x)φ(x)dx, φ D(Ω). (4.1) Ω 17

Jasno ovako definisano T u je linearna funkcionela na D(Ω). Da bi pokazali da je i neprekidna pretpostavimo da φ n φ u D(Ω). Onda postoji K Ω takav da sup(φ n φ) K za n = 1, 2, 3... Stoga: T u (φ n ) T u (φ) sup x K φ n (x) φ(x) u(x) dx Pošto φ n φ onda desna strana teži nuli, pa je T neprekidno. Ovakve distribucije nazivaju se regularne distribucije. Napomena 4.1.3 Nije svaka distribucija regularna. Ako na primer pretpostavimo da 0 Ω, lako se može pokazati da ne postoji lokalno integrabilna funkcija δ takva da za svako φ D(Ω) važi: δ(x)φ(x)dx = φ(0). S druge strane, lako je videti da je Ω δ(φ) = φ(0) neprekidna, linearna funkcionela na D(Ω), tj. distribucija. Napomena 4.1.4 Funkciju u poistovećujemo sa regularnom distribucijom T u. Kako je L p (Ω) L 1 loc (Ω) za svaki domen Ω, prostor L p (Ω) je tako de prostor (regularnih) distriucija. 4.2 Pojam slabog izvoda Neka u C 1 (Ω) i φ D(Ω). Kako je φ jednaka nuli van nekog kompaktnog skupa u Ω, parcijalnom integracijom po promenljivoj x j dobijamo: Ω ( x j u(x))φ(x)dx = Ω K u(x)( x j φ(x))dx. Slično, parcijalnom integracijom α puta dolazimo do: (D α u(x))φ(x)dx = ( 1) α u(x)d α φ(x)dx. Ω 18 Ω

ako u C α (Ω). Ovo je motivacija za uvo denje sledeće definicije izvoda D α T distribucije T : (D α T )(φ) = ( 1) α T (D α φ). Pokažimo da je ovako definisan izvod distribucije tako de distribucija. Kako D α φ D(Ω) za svako φ D(Ω), D α T jeste funkcionela na D(Ω). Jasno D α T je linearno. Pokažimo još da je neprekidno. D(Ω) Neka φ j φ. Tada je supp(d α φ j ) supp(φ j ) K za neki kompaktan podskup K od Ω. Tako de φ j φ C m (Ω) 0 D α φ j D α φ C m (Ω) 0 Sada znamo da T (D α φ j ) T (D α φ) pa sledi da D α T (φ j ) D α T (φ). Dakle svaka distribucija ima izvode proizvoljnog reda u D (Ω). Štaviše, preslikavanje D α iz D (Ω) u D (Ω) je neprekidno. Ako T n T u D (Ω) i ako je φ D(Ω) onda D α T n (φ) = ( 1) α T n (D α φ) ( 1) α T (D α φ) = D α T (φ) Sada ćemo uvesti pojam slabog izvoda lokalno integrabilne funkcije. Neka u L 1 loc (Ω). Tada može ali ne mora postojati funkcija v α L 1 loc (Ω) takva da je T v α = D α (T u ) u D (Ω). Ako takva v α postoji ona je jedinstvena do na skup mere nula i zove se slabi ili distribucioni parcijalni izvod od u i označava se sa D α u. Dakle D α u = v α u slabom (distributivnom) smislu ako v L 1 loc (Ω) zadovoljava: v α (x)φ(x)dx = ( 1) α u(x)d α φ(x)dx. Ω Ako u ima izvod u klasičnom smislu, onda je to izvod i u distributivnom smislu. S druge strane, ako lokalno integrabilna funkcija u ima slabi izvod, onda je ona skoro svuda diferencijabilna i u tim tačkama je slabi izvod jednak jakom. 19 Ω

Primer 4.2.1 Neka je Ω = R i u(x) = x. Ova funkcija nije diferencijabilna u nuli, ali videćemo da ima slabi izvod. Neka φ D(R). = (xφ(x)) x=0 x= + Dakle, je slabi izvod od x. 0 x φ (x)dx = 0 xφ (x)dx + φ(x)dx + (xφ(x)) x= x=0 0 0 xφ (x)dx φ(x)dx (parcijalna integracija) = 1, za x > 0, sgn(x) = 0, za x = 0, 1, za x < 0 sgn(x)φ(x)dx 4.3 Furijeova transformacija i temperirane distribucije Definicija 4.3.1 Neka je n N. S(R n ) = {φ C (R n ) : φ k,l < k N 0, l N 0 } gde je φ k,l = sup (1 + x 2 ) k/2 D α φ(x). x R n α l Kažemo da niz {φ j } j=1 S konvergira u S ka φ S ako φ j φ k,l 0, za j i sve k, l N 0 20

Ako je u definiciji 4.3.1 stavimo l = 0 onda imamo da φ(x) c k (1 + x ) k mora da važi za sve k i x R n. Slično za izvode od φ. Zato se S obično naziva Švarcov prostor brzo opadajućih funkcija. Iz definicije sledi da je D(R n ) S(R n ), i φ j D φ implicira φj S φ. S druge strane, postoje funkcije koje su u S, a nisu u D, istaknut primer je: φ(x) = e x, x R n Definicija 4.3.2 Neka φ S(R n ). Tada ˆφ(ξ) = (Fφ)(ξ) = (2π) n/2 R n e ixξ φ(x)dx, ξ R n se naziva Furijeova transformacija od φ, a ˇφ(ξ) = (F 1 φ)(ξ) = (2π) n/2 R n e ixξ φ(x)dx, ξ R n je inverzna Furijeova transofrmacija od φ. Može se pokazati da ako φ S onda Fφ, F 1 φ S; φ = FF 1 φ = F 1 Fφ. Štaviše, i F i F 1 su injektivna preslikavanja prostora S(R n ): Tako de važi FS = F 1 S = S. F(F(φ))(x) = φ( x). Prostor neprekidnih linearnih funkcionela nad S(R n ) označavamo sa S (R n ) ili S. Elementi S nazivaju se temperirane distribucije ili 21

distribucije sporog rasta. Neprekidnost, konvergenciju i ostale osobine definišemo isto kao i kod D (R n ). Važi: S (R n ) D (R n ) tj. restrikcija od T S (R n ) na D(R n ) je elemenat od D (R n ). Može se pokazati i: u smislu da za f L p važi L p (R n ) S (R n ) za 1 p. R n f(x)φ(x)dx <, za φ S Kako je S(R n ) L p (R n ) sledi da možemo smatrati da je S(R n ) S (R n ). Zato sada možemo proširiti Furijeovu transformaciju sa S na S. Definicija 4.3.3 Neka T S (R n ). FT i F 1 T se definišu sa: (FT )(φ) = T ( ˆφ) i (F 1 T )(φ) = T ( ˇφ), φ S(R n ) Ponovo važi: FS = F 1 S = S. Tako de, ako T S (R n ) i α je multiindeks onda x α T S (R n ) i D α T S (R n ) i imamo sledeće važne osobine: F(D α T ) = i α x α (FT ) i F(x α T ) = i α D α (FT ). Na kraju, ako f L p (R n ) za 1 p, onda znamo da Ff S (R n ). Može se pokazati i sledeća osobina: Restrikcije od F i F 1 na L 2 (R n ) generišu unitarne operatore na L 2 (R n ) (što znači da je Ff = f, i FL 2 = L 2 ) i važi FF 1 = F 1 F = id L 2 22

Glava 5 Prostori Soboljeva 5.1 Definicija i osobine Definicija 5.1.1 Neka je m nenegativan ceo broj, a 1 p. Prostor: H m,p (Ω) = {u L p (Ω) : D α u L p (Ω) za 0 α m} gde je D α izvod u distribucionom smislu, naziva se prostor Soboljeva. U odnosu na uobičajene operacije H m,p (Ω) je vektorski prostor nad poljem C. U taj prostor uvodimo normu: u p,m,ω := ( D α u p p) 1/p za 1 p <, (5.1) α m u m, = max 0 α m Dα u Ako je Ω = R n tada je uobičajeno da se simbol R n izostavlja. Tako de se p = 2 izostavlja, pa umesto H m,2 pišemo H m. Još jedan prostor nosi ime Soboljeva: Definicija 5.1.2 H m,p 0 (Ω) = zatvaranje prostora C 0 (Ω) u H m,p (Ω) u odnosu na normu (5.1). Jasno, H 0,p (Ω) = L p (Ω). Tako de, H m,p 0 (Ω) je normalan prostor distribucija. 23

Teorema 5.1.3 Prostor H m,p (Ω) je Banahov (1 p, m N 0 ). Prostor H m,2 (Ω) je Hilbertov. Dokaz Neka je {u n } Košijev niz u H m,p (Ω). To znači da je {D α u n } Košijev u L p (Ω) za 0 α m. Kako je L p (Ω) kompletan tako {D α u} ima granicu u L p (Ω). Zapišimo: u n u i D α u n u α u L p (Ω) kada n. Pokazaćemo da ovo implicira da D α u n u α u D (Ω) i onda, kako je diferenciranje neprekidna operacija u D (Ω) slediće da je u α = D α u. Dakle, na osnovu Helderove nejednakosti, za proizvoljno φ D(Ω) važi: T un T u u n (x) u(x) φ(x) dx φ p u n u p Ω za 0 α m i p = p p 1 To znači da u n u u D (Ω), a slično se pokazuje da T Dα u n T uα. Možemo zapisati: T uα (φ) = lim T Dα u n n (φ) = lim ( 1) α T un (D α φ) = ( 1) α T u (D α φ), n odnosno T uα (φ) = T Dα u, ili u α = D α u. Odatle u L p i D α u L p i lim n u n u m,p = 0. H m,p (Ω) je kompletan. Lako se proverava da sledeći izraz definiše skalarni proizvod u prostoru H m,2 (Ω): (u, v) m,ω := D α ud α v, u, v H 2,m (Ω) R n α m Teorema 5.1.4 Prostor H m,p (Ω) je separabilan za 1 p <, a refleksivan za 1 < p <. Dokaz Neka je N broj indeksa α za koje važi α m. Posmatraćemo proizvod prostora L p (Ω): L p N = N i=1 Lp (Ω) sa normom: {( N j=1 u p,n = u ) j p 1/p p za 1 p < (5.2) max 1 j N u j za p = 24

Topologija u N j=1 (Lp (Ω), p ) je ekvivalentna sa topologijom koju norma (5.2) indukuje u proizvodu L p N = N i=1 Lp (Ω). Kako je L p separabilan za 1 p < i refleksivan za 1 < p < tako isto važi i za proizvod L p N. Svakom u Hm,p možemo dodeliti dobro definisan vektor P u L p N : P u = (u (α 1),..., u (α N ) ) gde su α 1,..., α N pore dani u proizvoljnom, ali fiksiranom poretku. Kako je P u p,n = u m,p, P je izometrija iz H m,p (Ω) na potprostor H L p N. Kako je Hm,p (Ω) kompletan, H je zatvoren potprostor od L p N. Svaki potprostor separabilnog potprostora je separabilan, a svaki zatvoren potprostor refleksivnog prostora je refleksivan. To važi za H a zbog izometrije i za H m,p (Ω). Teorema 5.1.5 Prostor H m,p 0 (Ω) je Banahov, a prostor H m,2 0 (Ω) je Hilbertov. Dokaz Zatvoren potprostor Banahovog (Hilbertovog) prostora je Banahov (Hilbertov). Recimo sada nešto i o aproksimaciji glatkim funkcijama. Označimo sa C skup: C = {φ C m (Ω) : φ m,p < }. (5.3) Ovo je očigledno podskup od H m,p (Ω). Odatle sledi i da je C podskup od H m,p (Ω). Kako je H m,p (Ω) kompletan, tako je i C tako de kompletan. Identičko preslikavanje je izometrija izme du C i C, tj. C je kompletiranje od C. Dakle kompletiranje od C je podskup od H m,p (Ω). Pokazaćemo da je kompletiranje od C ustvari baš skup H m,p (Ω). Pre toga će nam biti potrebni neki novi pojmovi. Teorema 5.1.6 Neka je A proizvoljan podskup od R n i O kolekcija otvorenih skupova u R n koji pokrivaju A, odnosno takvih da je A U O U. Tada postoji kolekcija Φ funkcija φ C 0 (R n ) koja ima sledeće osobine: 25

1. φ Φ i x R n, 0 φ(x) 1 2. Ako je K kompaktan podskup od A, sve sem konačno mnogo funkcija φ Φ su identički jednake nuli na K. 3. Za svako φ Φ postoji U O tako da suppφ U. 4. Za svako x A važi φ Φ φ(x) = 1. Ovakva kolekcija Φ naziva se C podela jedinice za A podre dena O. Tako de će nam biti potrebna funkcija čija je svrha upravo aproksimiranje distribucija glatkim funkcijama, pomoću konvolucije. Neka je J nenegativna, realna funkcija iz C 0 (Ω) koja ima sledeće osobine: 1. J(x) = 0, za x 1, 2. R n J(x)dx = 1. Ako je ɛ > 0, funkcija J ɛ (x) = ɛ n J(x/ɛ) je nenegativna, pripada C 0 (Ω) i važi: 1. J ɛ (x) = 0, za x ɛ 2. R n J ɛ (x)dx = 1 Konvolucija: J ɛ u(x) = J ɛ (x y)u(y)dy, R n (5.4) definisana za funkcije u za koje desna strana gornje jednačine ima smisla, naziva se (Soboljevo) uglačanje u. Može se pokazati da ako u L 1 loc (Rn ), gde u = 0 van Ω, onda J ɛ u(x) C (R n ). Lema 5.1.7 Neka je 1 p < i u H m,p (Ω). Ako Ω Ω onda lim ɛ 0 + J ɛ u = u u H m,p (Ω ). 26

Sada možemo dokazati teoremu: Teorema 5.1.8 C = H m,p (Ω), odnosno H m,p (Ω) je kompletiranje prostora C (5.3), 1 p <. Dokaz Ustvari ćemo pokazati da ako u H m,p (Ω) i ɛ > 0 onda postoji φ C (Ω) tako da u φ m,p < ɛ. Da bi iskoristili lemu moramo se ograničiti na Ω k Ω, ali koristimo i podelu jedinice koja je takva da postoji samo konačno mnogo φ k Φ koje ne nestaju na Ω k. Za k = 1, 2,... neka je Ω k = {x Ω : x < k, d(x, Ω) > 1/k} gde je d udaljenost tačke od skupa: d(x, G) = inf y G x y za neki G R n, i x R n. Neka je Ω 0 = Ω 1 =. Važi Ω k Ω k+1, k = 1, 2... i Ω = k=1 Ω k. Tako de: O = {U k : U k = Ω k+1 (Ω k 1 ) c, k = 1, 2,...} je kolekcija otvorenih podskupova od Ω koji pokrivaju Ω. Neka je Φ podela jedinice za Ω podre dena O. Neka φ k označava sumu konačno mnogo funkcija φ Φ čiji su nosači sadržani u U k. Za svako x Ω k Ω možemo napisati u kao u(x) = φ j (x)u(x) j=1 gde se samo konačno mnogo sabiraka sume razlikuje od nule. Dalje, možemo izabrati ɛ k tako da: J ɛk (φ k u) φ k u m,p,ωk < ɛ 2 k (nejednakost važi po prethodnoj lemi, jer φ k u H m,p (Ω)). Neka je φ = k=1 J ɛ k (φ k u), gde se ponovo na Ω k samo konačno mnogo sabiraka razlikuje od nule, pa φ C (Ω). Tako de, 27

možemo pisati: k u(x) = φ j (x)u(x), φ(x) = j=1 Onda imamo da je k J ɛk j (φ j u)(x). j=1 u φ m,p,ωk k J ɛj (φ j u) φ j u m,p,ωk < ɛ j=1 A kako je Ω k = k j=1 Ω j, a niz parcijalnih suma u prethodnoj nejednakosti je ograničen i rastući, po teoremi o monotonoj konvergenciji sledi u φ m,p,ω < ɛ. Teorema 5.1.9 D(R n ) je gust u H m,p (R n ). Ideja dokaza Dokaz se izvodi tako de pomoću funkcija (5.4). Neka f H m,p i f h = J ɛ f iz (5.4). Tada se pokazuje da D α f h = (D α f) h, a na osnovu toga da D α f D α f h L p 0, h 0, α m. Zbog toga f h C H m,p i f h f u H m,p kada h 0. Zbog ovoga je dovoljno aproksimirati funkcije g C H m,p u H m,p funkcijama iz D. Neka φ D i φ(x) = 1 za x 1. Tada važi D φ(2 j x)g(x) g(x) u H m,p za j Posledica 5.1.10 Ako je 1 p < tada je H m,p 0 (R n ) = H m,p (R n ). Posledica 5.1.11 S(R n ) je gust u H m,p (R n ). Dokaz Znamo D S H m,p, pa H m,p = D S H m,p = H m,p sledi S = H m,p. 28

5.2 Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom Podsetimo se, ako je H m,p 0 (Ω) normalan prostor distribucija, 0 (Ω)) smatramo potrostorom prostora distribucija. (H p,m Napomena 5.2.1 Prostor L 2 (Ω) poistovećujemo sa njegovim dualom, ali za prostor H m,p 0 (Ω) to ne radimo. Teorema 5.2.2 Distribucija u D (Ω) je neprekidna linearna funkcionela nad H p,m 0 (Ω), 1 p <, m N 0, ako i samo ako je u oblika: u = D α u α (izvod je u distribucionom smislu) (5.5) α m gde su u α L p (Ω), α m, p = p p 1, (za p = 1, p = ). Dokaz Pokažimo da je uslov (5.5) dovoljan. Neka je u D (Ω) oblika (5.5). Treba pokazati da u (H m,p 0 (Ω)). Neka je prvo φ C0 (Ω). Tada važi: u, φ = D α u α, φ = ( 1) α u α, D α φ = α m α m ( 1) α α m Ω u α (x)d α φ(x)dx Na osnovu Helderove nejednakosti imamo: u, φ u α D α φ dx α m α m Ω u α p D α φ p C φ p,m,ω, (5.6) gde je C = ( α m u ) α p 1/p p i gde smo iskoristili Helderovu nejednakost za sume. Ovo znači da je u neprekidna funkcionela nad 29

C0 (Ω) u odnosu na normu 5.1 i da se može proširiti na H m,p 0 (Ω), pa u (H m,p 0 (Ω)). Pokažimo sada da je uslov (5.5) potreban. Ponovo ćemo koristiti prostore L p N sa normom (5.2). Može se pokazati: za svaku L neprekidnu linearnu funkcionelu nad L p N postoji jedinstveno u N i=1 (Ω), p = p Lp p 1 tako da za svako f Lp N važi: L(f) = u, f = N i=1 R n u i f i dx. Zapravo, (L p N ) je izomorfan sa N i=1 (Ω). Lp Neka u (H m,p 0 (Ω)). Preslikavanje H m,p 0 (Ω) u L p N definisano sa: i : φ (D α 1 φ,..., D α N φ) je izomorfizam prostora H m,p 0 (Ω) i potprostora od L p N označiti sa L. Izrazom (D α 1 φ,..., D α N φ) u(φ) koje ćemo je definisana neprekidna linearna funkcionela U nad L. Neprekidne (ograničene) linearne funkcionele nad potprostorom normiranog prostora imaju proširenje na dati normiran prostor (specijalan slučaj Han - Banahove teoreme). Dakle U se može proširiti na L p N kao neprekidna linearna funkcionela Ũ, za koju važi Ũ = U nad L. Kako Ũ N i=1 (Ω) sledi da postoje funkcije u Lp αi L p (Ω) tako da je Kako je za φ H m,p 0 (Ω): Ũ = N ( 1) α i u αi. i=1 Ũ, (Dα 1 φ,..., D α N φ) = u, φ 30

tako i za φ C 0 (Ω) važi: Ũ, (φ(α 1),..., φ (α N ) ) = = N ( 1) α i u αi, φ (αi) i=1 N D α i u αi, φ = u, φ i=1 Dakle dobili smo da je u = N i=1 Dα i u α i, što je i trebalo pokazati. Definicija 5.2.3 H p, m (Ω), 1 p, m 1 je potprostor od D (Ω) čiji su elementi oblika u = D α u α (5.7) gde su u α L p (Ω). α m U prostor H p, m (Ω) uvodimo normu u p, m,ω := inf{ ( α m u α p p) 1/p} (5.8) gde se infimum uzima po svim reprezentacijama od u oblika 5.7. Posmatrajmo u iz (H p,m 0 (Ω)). Dualna norma od u je: u p,m,ω = sup{ u, φ ; φ p,m,ω 1}. Na osnovu (5.6) dobijamo da je sup { u, φ } ( ) 1/p ( u α p ) p. φ p,m,ω 1 α m Može se pokazati da je zapravo: u p,m,ω = u p, m,ω Ovim je dokazana sledeća teorema: 31

Teorema 5.2.4 Prostor (H p,m 0 (Ω)), 1 p < sa dualnom normom je izometričan sa H p, m (Ω) i normom 5.8 Dokažimo sada dve teoreme za prostore H 2, m (Ω) = H m (Ω) i H m,2 0 (Ω) = H m 0 (Ω). Teorema 5.2.5 Prostori H0 m (Ω) i H m (Ω), m N su izometrični. Izometrija tih prostora je definisana sa H0 m (Ω) u ( 1) α D 2α u H m (Ω). (5.9) Dokaz jer je α m Sa (5.9) je definisano preslikavanje iz H m 0 (Ω) u H m (Ω) ( 1) α D 2α u = D α u α, α m α m gde je u α = ( 1) α D α u L 2 (Ω). Pokažimo da preslikavanje (5.9) na. Neka g H m (Ω), onda je g neprekidna linearna funkcionela nad H0 m (Ω). Koristićemo Risovu teoremu o reprezentaciji: Ako je H Hilbertov prostor i g neprekidna linearna funkcionela nad H, onda postoji y H takvo da g(x) = x, y x H. Tako de, g = x. U našem slučaju, to znači da postoji f H0 m (Ω) tako da za svako φ H0 m (Ω) važi: g, φ = (φ, f) m,ω = D α φ(x)d α f(x)dx, α m Ω g = f m,ω. (5.10) Označimo sa f = h H0 m (Ω), onda imamo ustvari da je: g, φ = ( 1) α D 2α h, φ, α m 32

odnosno da je g distribucija oblika g = α m ( 1) α D 2α h, h H m 0 (Ω). Znamo da je g = g m,ω i h m,ω = f m,ω, pa iz (5.10) sledi da je (5.9) izometrija: g m,ω = h m,ω. Teorema 5.2.6 (i) Prostor H m (Ω), m N je Hilbertov. (ii) H m (Ω), m N je normalan prostor distribucija. Dokaz (i) Tvr denje sledi na osnovu toga što je (5.9) izometrija. (ii) Neka je f izometrija (5.9). f je bijekcija iz C0 (Ω) na C0 (Ω), tj. C0 (Ω) je podskup H m (Ω). Proizvoljno u H m (Ω) se može napisati kao u = f(v) za neko v H0 m (Ω). Tada postoji niz v n C0 (Ω) koji teži ka v u H0 m (Ω). Sledi da f(v n ) teži ka f(v) u H m (Ω), a kako f(v n ) tako de pripada C0 (Ω) sledi da je C0 (Ω) gust u H m (Ω). 5.3 Prostori Soboljeva sa realnim indeksom 5.3.1 H s (R n ), H s 0(R n ) Sada ćemo pomoću Furijeove transformacije definisati prostore H 2,s (R n ) i H 2,s 0 (Rn ) kada s R, koje kraće zapisujemo H s i H0. s Za s N 0 ova definicija će se poklapati sa prethodnom definicijom Soboljevih prostora. Prvo pokažimo sledeću teoremu (H m (R n ) = H m ). Teorema 5.3.1 (i) Distribucija u pripada H m, m N ako i samo ako je u temperirana distribucija i važi û(1 + y 2 ) m/2 L 2, y R n (5.11) (ii) Distribucija g pripada H m, m N ako i samo ako je g temperirana distribucija i važi ĝ(1 + y 2 ) m/2 L 2, y R n (5.12) 33

Dokaz (i) Neka u H m. To znači da D α u L 2, α m. Znamo da za L 2 funkcije važi: D α u 2 = F(D α u) 2. Za funkcije iz S (a L 2 S ) znamo da važi pa je F(D α u) = i α y α F(u) D α u 2 = i α y α F(u) 2 pa sledi da i α y α F(u) L 2. Uslov da y α F(u) L 2 α m je ekvivalentan sa uslovom da (1+ y 2 ) m/2 F(u) L 2. Tako dobijamo da važi (i). (ii) Neka g H m (Ω). Tada na osnovu teoreme 5.2.5 postoji h H0 m (Ω) tako da je ĝ = ( 1) α i 2 α y 2α ĥ. α m Iz (i) sledi da je (1 + y 2 ) m/2 ĥ L 2, pomnoženo sa (1 + y 2 ) m i dalje pripada L 2, pa imamo: (1 + y 2 ) m/2 ĝ = ( 1) α i 2 α y 2α (1 + y 2 ) m/2 ĥ L 2. α m Neka je sada g temperirana distribucija za koju važi (5.12). Tada je ĝ(1 + y 2 ) m temperirana distribucija. Kako je Furijeova transormacija bijekcija na prostoru S možemo reći da postoji h S tako da je ĥ = ĝ(1 + y 2 ) m i ĥ(1 + y 2 ) m/2 pripada L 2. Na osnovu (i) sledi h H m, i imamo ĝ = (1 + y 2 ) m ĥ. Može se pokazati da iz ovoga sledi g(x) = (1 4 ) m h(x), h H m, odakle dobijamo da g H m. 34

Definicija 5.3.2 Za proizvoljno s R sa H s označavamo prostor temperiranih distribucija za koje važi: u H s (1 + y 2 ) s/2 û L 2, y R n. Važi: i posebno H s 1 H s 2, za < s 2 s 1 < H s 1 H s 2 L 2, za 0 s 2 s 1 < Norma u prostoru H s je data sa u s = (1 + y 2 ) s/2 û L 2, y R n (5.13) a skalarni proizvod sa: [u, v] s = û(y) ˆv(y)(1 + y 2 ) s dy, u, v H m, y R n R n (5.14) Definicija 5.3.3 H s 0(R n ) je zatvaranje D(R n ) u H s (R n ). Teorema 5.3.4 Neka s R. Prostori H s sa skalarnim proizvodom (5.14) su Hilbertovi. Važi: i S(R n ) je gust u H s. S(R n ) H s (R n ) S (R n ) Dokaz Označimo sa w s = (1 + y 2 ) s/2. Po definiciji, U : f w s Ff : H s L 2 (5.15) generiše izometriju. Ako je g L 2 proizvoljno, možemo izabrati f = F 1 (w s g) S (R n ) i time vidimo da je ovo preslikavanje 35

sirjektivno, odnosno unitarno. Kako je L 2 Hilbertov, tako je i H s Hilbertov. Može se pokazati da preslikavanje f w s f, s R definiše bijekciju iz S u S, i iz S u S. Kako je F tako de bijekcija na ovim prostorima tako U definiše bijekciju iz S u S, i iz S u S. Kada je m N 0 znamo da važi S H m L 2 S i S je gust u H m. Odatle imamo prvo S H m H s S, a kako je S gust u L 2 onda je S gust i u H s jer je U unitarno. Teorema 5.3.5 Prostor H s, s R je refleksivan i separabilan Hilbertov prostor. Dokaz Ovo je posledica toga što je preslikavanje (5.15) izometrija iz H s i L 2 koji je refleksivan i separabilan. Teorema 5.3.6 Dual prostora H s je H s i dualna norma se poklapa sa s. Dokaz Pokažimo prvo da ako u H s tada je to neprekidna linearna funkcionela nad H s. Kako je S gust u H s onda je ekvivalentno pokazati da je u neprekidna linearna funkcionela nad S u odnosu na s. Zbog definicije Furijeove transformacije na prostorima S i S i na osnovu Helderove nejednakosti za φ S imamo: u(x), φ(x) = u(x), F( ˆφ( y)) = û(y), ˆφ( y) = (1 + y 2 ) s/2 û(y), (1 + y 2 ) s/2 ˆφ( y) = (1 + y 2 ) s/2 û(y)(1 + y 2 ) s/2 ˆφ(y)dy u s φ s R n što znači da je u neprekidno nad S u odnosu na normu s. Neka je sada u neprekidna linearna funkcionela nad S u odnosu na normu s. Za proizvoljno φ S važi u, φ C φ s, 36

za neko C. Ako ponovo iskoristimo da je u(x), φ(x) = û(y), ˆφ( y) dobijamo û(y), ˆφ( y) C φ(x) s = C (1 + y 2 ) s/2 ˆφ(y) 2. Preslikavanje φ(x) ˆφ( y) = ψ(y) iz (S, s ) u S sa normom: je izometrija pa dobijamo da je ψ(y) s,1 = (1 + y 2 ) s/2 ˆφ(y) 2 û(y), ψ(y) C ψ(y) s,1, tj. da je û neprekidna linearna funkcionela nad (S, s,1 ). Koristićemo prostor (L 2 a, s,1 ), to je prostor funkcija f za koje važi af L 2, a za a ćemo uzeti a = (1 + y 2 ) s/2. Za prostore L 2 a važe iste osobine kao za prostore L 2. (S, s,1 ) je gust u (L 2 a, s,1 ), a dual od (L 2 a, s,1 ) je (L 2 a 1, s,1 ). Odavde sledi da û L 2 a 1 što znači da u H s. Kako važi da je u s,1 identično sa dualnom normom od û, koja je identična sa dualnom normom od u, važi i poslednji deo tvr denja. 5.3.2 H s (Γ) Prostori Soboljeva nalaze svoju primenu u rešavanju graničnih problema. Kasnije ćemo videti kako se formalno opisuju ovi problemi, ali jasno je da će oni uključivati funkcije koje su definisane na granici nekog skupa. Prvi korak ka predstavljanju graničnog problema biće definisanje prostora H s (Γ). Γ će biti granica skupa Ω. Da bi se ona opisala biće nam potrebni Elementi diferencijalne geometrije Definicija 5.3.7 Neka je U R k otvoren i ψ : U R n glatka funkcija, gde je k n. ψ se naziva imerzija ako je za svako x U 37

rang Jakobijana Dψ(x) maksimalan, odnosno jednak k. Za rang r(dψ) važi: r(dψ(x)) = dim im(dψ(x)) = dim(r k ) dim(ker Dψ(x)). Stoga sledi da je ker Dψ(x) = {0} i Dψ(x) je injektivno za svako x. Definicija 5.3.8 Podskup M od R n se naziva k - dimenzionalna beskonačno diferencijabilna (pod)mnogostrukost (k n) ako važi: Za svako p M postoji otvorena okolina W od p u R n, otvoren podskup U od R k i imerzija ψ : U R n, takva da je ψ : U ψ(u) homeomorfizam i ψ(u) = M W. ψ dakle topološki identifikuje U i ψ(u) = M W (M W nosi indukovanu topologiju iz R n ). ψ se naziva lokalna parametrizacija mnogostrukosti M. Jedinični krug je jednodimezionalna mnogostrukost u R 2. Sfera je dvodimezionalna mnogostrukost u R 3. Svakako i otvoren podskup od R n je mnogostrukost, sam R n je mnogostrukost. Ali postoje i apstraktniji skupovi koji su podmnogostrukosti. Na primer, može se pokazati da je skup SL(n, R) := {A R n2 det A = 1} podmnogostrukost od R n2 dimenzije n 2 1. Reći ćemo još šta podrazumevamo pod glatkom funkcijom nad mnogostrukostima (parcijalni izvodi se definišu u unutrašnjoj tački skupa, pa definiciju glatke funkcije znamo samo kada je otvoren skup u pitanju, zato nam je sada potrebna nova definicija). Definicija 5.3.9 Neka su M R m i N R n mnogostrukosti. Preslikavanje f : M N je glatko (C ), ako za svako p M postoji otvorena okolina U p od p u R m i glatka funkcija f : U p R n takva da f M Up = f M Up. 38

Napomenimo samo da je specijalan slučaj N = R n uključen u ovu definiciju. Tako de, lako se može pokazati da je kompozicija glatkih funkcija glatka funkcija. Ako je f bijektivno i f i f 1 su glatke, f nazivamo difeomorfizmom. Definicija 5.3.10 Neka je M k - dimenziona mnogostrukost u R n. Karta (ϕ, V ) mnogostrukosti je difeomorfizam otvorenog skupa V M na otvoren skup u R k. Dve karte ϕ 1 (V 1 ) i ϕ 2 (V 2 ) su (C ) kompatibilne ako su ϕ 1 (V 1 V 2 ) i ϕ 2 (V 1 V 2 ) otvoreni u R k i promena karata ϕ 2 ϕ 1 1 : ϕ 1 (V 1 V 2 ) ϕ 2 (V 1 V 2 ) je difeomorfizam. C atlas od M je familija A = {(ϕ α, V α ) α A} karti koje su u parovima kompatibilne, takva da M = α A V α Lako se može pokazati da ako je ψ lokalna parametrizacija za M, tada je ϕ := ψ 1 : W M U karta M. Tako de, može se pokazati da je familija ovakvih karti u parovima kompatibilna, pa imamo atlas za M. Sada ćemo definisati skup Ω i do kraja rada ćemo smatrati da on ima ovakve osobine. Neka je Ω ogranicena oblast (otvoren i povezan skup) u R n sa granicom Γ, gde je Γ beskonacno diferencijabilna mnogostrukost reda n 1, a Ω se lokalno nalazi na jednoj strani granice Γ, drugim recima Ω je kompaktna mnogostrukost sa granicom Γ klase C. (5.16) 39

Vratimo se sada na definisanje prostora H s (Γ). Videćemo kasnije da ako je Ω otvoren skup H s (Ω) možemo definisati kao suženje elemenata iz H s (R n ). Me dutim za mnogostrukost Γ ovo nije moguće uraditi. U ovom slučaju želimo da domen ne bude mnogostrukost Γ već R n 1. Neka je {(ϕ j, G j ), j = 1, 2,..., µ} atlas od Γ. Neka, osim toga, ϕ j slikaju G j u loptu Q = {y R n 1 : y < 1}. Neka je {α j } podela jedinice na Γ. Podelu jedinice na proizvoljnom skupu smo definisali u teoremi 5.1.6, sada ćemo samo malo drugačije formulisati osobine ove kolekcije: α j D(Γ) = prostor beskonacno diferencijabilnih funkcija na Γ, α j ima kompaktan nosac u G j, za svako x Γ vazi µ j=1 α j(x) = 1. Za proizvoljnu funkciju u definisanu na Γ važi µ u = α j u na Γ. Definišimo dalje: j=1 ϕ j(α j u)(y) = (α j u)(ϕ 1 j (y)), y Q. (5.17) Kako α j (pa i α j u) ima kompaktan nosač na G j tako ϕ j (α ju) ima kompaktan nosač na (celom) Q i stoga ϕ j (α ju) može biti do - definisana na ceo R n 1. tako što se produži nulom van Q. Linearno preslikavanje: u ϕ j(α j u) je neprekidno preslikavanje L 1 (Γ) L 1 (R n 1 ), a tako de D(Γ) D(R n 1 ), pa se ono produžava na linearno neprekidno preslikavanje iz D (R n 1 ) D (Γ). Sada ćemo definisati H s (Γ) za svako realno s: 40

Definicija 5.3.11 H s (Γ) = {u ϕ j(α j u) H s (R n 1 ), j = 1,..., µ} (5.18) Napomena 5.3.12 Prethodna definicija ne zavisi od izbora sistema lokalnih karata (ϕ j, G j ) i podele jedinice α j. U H s (Γ) možemo uvesti normu: u Hs (Γ) = ( µ ϕ j(α j u) 2 1/2, H s (R )) (5.19) n 1 j=1 koja očigledno zavisi od sistema {ϕ j, G j, α j }. Ali ove norme su me dusobno ekvivalentne, a H s (Γ) sa normom (5.19) je Hilbertov prostor. Važi: Teorema 5.3.13 D(Γ) je gust u H s (Γ). Dokaz Treba pokazati da za proizvoljno u H s (Γ) postoji niz ϕ n D(Γ) koji teži ka u kada n u prostoru H s (Γ). Tj.: ϕ n u Hs (Γ) = ( µ ϕ j(α j ϕ n ) ϕ j(α j u) 2 1/2 H s (R )) 0, n 1 j=1 kada n. Za ϕ j (α ju) postoji niz ψ jn D(R n 1 ) takav da ψ jn ϕ j (α ju) kada n u prostoru H s (R n 1 ). Možemo pretpostaviti da ψ jn ima kompaktan nosač u y < 1, a odavde sledi da postoji ϕ n tako da je ψ jn = ϕ j (α jϕ n ) za svako j, odakle sledi teorema. Teorema 5.3.14 (H s (Γ)) = H s (Γ), s R 5.3.3 H s (Ω), H s 0(Ω) Rešenja graničnog problema tražićemo u prostorima H s (Ω), dakle umesto H s (R n ) sada ćemo definisati i prostore H s (Ω) i H s 0(Ω). Ali prvo ćemo uvesti jedan bitam pojam, koji će nam koristiti u daljem radu. 41

Interpolacioni prostor Neka su X i Y separabilni Hibertovi prostori i neka važi X Y, inkluzija je neprekidna i X gust u Y. Tada postoji prostor [X, Y ] θ, θ [0, 1] takav da važi X [X, Y ] θ Y, kao i nejednakost: Ovde je Osobine u [X,Y ]θ C u 1 θ X u θ Y u X. [X, Y ] 0 = X [X, Y ] 1 = Y X je gust u [X, Y ] θ, θ Neka su θ 0 i θ 1 dva fiksirana broja iz [0, 1] i θ 0 < θ 1. Tada [X, Y ] θ0 [X, Y ] θ1. Tako de, [X, Y ] θ0 je gust u [X, Y ] θ1. Kako važi X [X, Y ] θ Y, pri čemu je svaki prostor gust u narednom (i ne identifikujemo prostor sa svojim dualom), tako važi: Y [X, Y ] θ X pri tom je ponovo svaki skup gust u narednom. Važi i teorema: Teorema 5.3.15 Za svako θ [0, 1] važi: [X, Y ] θ = [Y, X ] 1 θ pri čemu su odgovarajuće norme ekvivalentne. 42

Sada imamo sve potrebne pojmove za opis prostora H s (Ω). Za Ω definisano u (5.16) i s 0 prostori H s (Ω) su suženje elemenata iz H s (R n ) na Ω. Prostori H s 0(Ω) su i dalje zatvaranje D(Ω) u H s (Ω). Norma u ovom prostoru je data sa: u Hs (Ω) = inf U Hs (R n ), U = u, skoro svuda na Ω. Prostori H s (Ω) se mogu definisati i kao prostori koji se nalaze izme du prostora H 0 i H m, odnosno interpolacioni prostori. Ova definicija je ekvivalentna prethodnoj. Za X = H 0 i Y = H m (m je ceo pozitivan broj), imamo da je H s (Ω) = [H m (Ω), H 0 (Ω)] θ, gde je s = (1 θ)m, θ (0, 1). Neke od osobina koje ćemo navesti u ovom odeljku su posledica osobina interpolacionih prostora. Prva od njih je Teorema 5.3.16 Prostor D(R n ) je gust u H s (R n ) za svako s. H s 0(R n ) = H s (R n ). Dokaz Znamo da je X gust u [X, Y ] θ, pa sledi da ako je X 0 X, X 0 gust u X, onda je X 0 gust u [X, Y ] θ. Za s 0 možemo uzeti X = H m (R n ) (m celo i m s), X 0 = D(R n ), Y = L 2 (R n ). Za s < 0 možemo iskoristiti dualnost pa imamo X = L 2 (R n ) i Y = H m (R n ). Za dalji rad biće nam potrebne i glatke funkcije koje nisu neophodno jednake nuli na granici. Za otvoreno Ω funkcija φ C m (Ω) ne mora biti ograničena na Ω. Ako je φ C m (Ω) ograničena i uniformno neprekidna na Ω onda ona ima jedinstveno ograničeno i neprekidno produženje na zatvaranje Ω od Ω. Vektorski prostor D( Ω) se sastoji iz funkcija φ C m (Ω) za koje je D α φ ograničena i uniformno neprekidna funkcija na Ω za svako 0 α m. D( Ω) je Banahov prostor sa normom: φ; D( Ω) = max sup D α φ(x). 0 α m 43 x Ω

Kako su sve funkcije iz D(Ω) ograničene i uniformno neprekidne na Ω tako važi D(Ω) D( Ω). Ali funkcije iz D( Ω) ne moraju biti jednake nuli na granici od Ω. Navešćemo sada neke osobine ovih prostora. Iz osobina interpolacionih prostora sledi sledeća Teorema 5.3.17 Neka je s = m(1 θ), a m je ceo pozitivan broj. θ [0, 1] H m (Ω) je gust u H s (Ω). Zapravo, možemo videti da je H s 1 gust u Hs 2 za proizvoljno s 1 > s 2. Vratićemo se na kratko na prostore H m (Ω), m N 0. Recimo prvo nešto o operatoru produženja. Teorema 5.3.18 Za svako celo m 0 postoji operator p sa sledećim osobinama: p L(H k (Ω), H k (R n )), k, 0 k m, pu = u skoro svuda na Ω, u H 0 (Ω). Napomena 5.3.19 Preslikavanje suženje na Ω: u r Ω u = suzenje u na Ω je linearno neprekidno preslikavanje iz H k (R n ) u H k (Ω) za svako celo k 0. Teorema 5.3.20 D( Ω) je gust u H m (Ω). Dokaz Neka je pu H m (R n ), tada postoji niz Φ l D(R n ) koji teži ka pu u normi prostora H m (R n ) (teorema 5.1.9). Zato važi u = r Ω (pu) = lim l r Ω Φ l u prostoru H m (Ω) odakle sledi potreban rezultat jer r Ω Φ l D( Ω). Teorema 5.3.21 Iz prethodne dve teoreme sledi: D( Ω) je gust u H s (Ω), s 0. 44

Potom imamo sledeće osobine: Teorema 5.3.22 Za s > n 2 važi inkluzija: H s (Ω) C( Ω), pri čemu je operator inkluzije neprekidan. Napomena 5.3.23 Ova inkluzija znači da ako u H s (Ω) onda se u skoro svuda poklapa s nekim elementom u C( Ω) i identifikujemo u sa tim elementom. Napomena 5.3.24 Ovaj rezultat ne može biti uopšten. Na primer, ako je n = 2, s = 1, a Ω je krug x < 1/2, onda H s (Ω) nije sadržan u C( Ω); funkcija pripada H 1 ali ne pripada C( Ω). x log log x 45

Posledica 5.3.25 Za s > n 2 + m m N 0 (Ω R n ), važi H s (Ω) C m ( Ω) ako je C m ( Ω) snabdeven normom α m max x Ω D α v(x). Pri tom je operator inkluzije neprekidan. Posledica 5.3.26 H k (Ω) = D( Ω) k=0 Teorema 5.3.27 D(Ω) gust u H s (Ω) (tj. H s 0(Ω) = H s (Ω)) ako i samo ako je s 1 2. U suprotnom imamo pravu inkluziju: Hs 0(Ω) H s (Ω). Ideja dokaza A kako važi Može se pokazati da je D(Ω) gust u H 1/2 (Ω). H 1/2 (Ω) H s (Ω), H 1/2 (Ω) je gust u H s (Ω), s < 1/2, to je i dovoljno. Definišimo: H s (Ω) = (H s 0(Ω)), s > 0 Ovo je ponovo podskup od D (Ω). Za Ω = R n ova definicija se poklapa sa teoremom 5.3.6. Tako de, na osnovu teoreme 5.3.27 znamo da je (H s (Ω)) = H s (Ω) za s 1/2. Objasnićemo još jedan značajan pojam - trag funkcije. 46

Trag funkcije Ako funkcija pripada D( Ω) tada se njen trag može definisati kao restrikcija na neku (n 1) - dimenzionalnu mnogostrukost sadržanu u Ω, u našem slučaju će to biti Γ. Ako je funkcija iz L 1 loc (Ω) ili Lp (Ω) onda funkciju možemo proizvoljno da definišemo na Γ jer je Γ mere nula. To znači da ne možemo definisati njen trag na Γ na jedinstven način u L 1 loc (Ω) (Lp (Ω)). Za funkcije iz H m,p (Ω), m N je moguće definisati jedinstven trag. Navešćemo primer traga funkcije iz H 1 (Ω). U ovom primeru uzećemo malo drugačije uslove za domen: Ω ograničena oblast čija je granica je sastavljena od konačno mnogo zatvorenih (n 1) - dimenzionalnih površi klase C 1 koje se me- dusobno seku. Neka je Γ (n 1) - dimenzionalna površ klase C 1 sadržana u Ω koja se može prekriti sa konačno mnogo otvorenih skupova. Ako je f H 1 (Ω) tada postoji niz {f n } iz C 1 ( Ω) koji u normi prostora H 1 (Ω) konvergira ka f. Može se pokazati da postoji konstanta C takva da f Γ L2 (Γ) C f H1 (Ω). Niz {f n } je Košijev u H 1 (Ω) pa iz ove nejednakosti sledi i da je {f n Γ } Košijev u L 2 (Γ). L 2 (Γ) je kompletan pa {f n Γ } konvergira ka nekom f Γ L 2 (Γ). Može se pokazati da f Γ ne zavisi od izbora niza {f n }. Ovim smo dakle pokazali da za f H 1 (Ω) postoji jedinstven element f Γ L 2 (Γ) tako da postoji C > 0 (koje ne zavisi od f) i da važi f Γ L2 (Γ) C f H1 (Ω). Drugim rečima preslikavanje iz H 1 (Ω) u L 2 (Γ), f f Γ je neprekidno i injektivno. Trag funkcije f H 1 (Ω) nad Γ je f Γ L 2 (Γ). Ako je f H 1 0(Ω) iz konstrukcije traga sledi da je f Γ = 0, a može se pokazati i obrnuto tvr denje. Granični uslovi u diferencijalnim jednačinama podrazumevaju da 47

znamo kakva je funkcija na granici skupa, ali često se traže i izvodi po normali. Kako će nas zanimati rešenje koje je iz prostora Soboljeva, nemamo klasičnu diferencijabilnost i izvode po normali pa će biti potreban malo drugačiji pristup. Sada ćemo se vratiti na uobičajenu definiciju 5.16 za Ω i Γ i dati teoremu o tragu, koju ćemo koristiti u ostatku rada. Ova teorema preciznije locira trag funkcije nego prethodni primer. Teorema 5.3.28 Teorema o tragu u H m (Ω) Neka Ω zadovoljava uslove (5.16). Tada preslikavanje u { j u v j j = 0,..., m 1 }, (5.20) (gde je j u v j - ti izvod po normali, a normala na granicu Γ je orjentisana ka unutrašnjosti od Ω) iz D( Ω) u (D(Γ)) m neprekidno se pro- j dužava do neprekidnog linearnog preslikavanja u { j m 1 u v j = 0,..., m 1}, j Hm (Ω) H m j 1/2 (Γ). Kako su prostori D( Ω) i D(Γ) gusti u H m (Ω) i H m (Γ) respektivno, svaka funkcija iz H m (Ω) može se aproksimirati nizom funkcija iz D( Ω). Ove glatke funkcije imaju izvode po normali koji su glatke funkcije na granici. Niz ovih glatkih funkcija na granici onda teži ka funkciji koja je u H m 1/2 j (Γ). Za dokaz teoreme je zbog ovoga dovoljno pokazati da je preslikavanje (5.20) neprekidno u odnosu na topologiju prostora H m (Ω) i H m 1/2 j (Γ), ali to nećemo pokazivati. Dakle, funkciju iz H m (Ω) možemo (neprekidno i linearno) povezati sa njenim tragom koji je u H m 1/2 j (Γ), a trag možemo zamišljati kao njen izvod po normali. j=0 48

Glava 6 Primer primene - Nehomogeni granični problem 6.1 Motivacija Počnimo sa formalnim opisom problema. Neka je O skup u R n sa granicom O. Neka u O i O deluju respektivno linearni diferencijalni operatori P i Q j, 0 j v. Pod nehomogenim graničnim problemom podrazumevamo problem sledećeg tipa: neka su f i g j, 0 j v elementi prostora F i G j, F je prostor funkcija nad O, a G j prostor funkcija nad O. U prostoru U funkcija nad O, tražimo element u, koji zadovoljava sledeće jednačine: { P u = f u O (6.1) Q j u = g j na O 0 j v. Cilj je pokazati da za f F i g j G j postoji jedinstveno rešenje koje neprekidno zavisi od početnih uslova, odnosno pronaći prostore F i G za koje takvo rešenje postoji. Naravno postoje razni izbori za prostore U i {F, G j }, a prostori Soboljeva su se pokazali najkorisnijim za primene. Daćemo prvo jednostavan i najčešći primer koji pokazuje značaj nehomogenih graničnih problema i čiji opštiji slučaj ćemo razraditi u nastavku. 49

Dirihleov problem za Laplasovu jednačinu Neka je O skup Ω u R n sa granicom Γ, za P uzimamo operator Laplasa: ; v = 0, i Q 0 identički operator. Tada problem (6.1) postaje: { u = f u Ω (6.2) u = g 0 = g na Γ Ponovo je pitanje u kojim prostorima da biramo f i g tako da problem (6.2) ima jedinstveno rešenje. Klasičan odgovor je, na primer: ako su f i g kvadratno integrabilne funkcije (kao i neki njihovi izvodi) na Ω i Γ respektivno, tada je rešenje u problema (6.2) (sa svojim izvodima) tako de kvadratno integrabilno. Pokazalo se da je prirodna familija za prostore F i G familija Soboljevih prostora H s (Ω) i H s (Γ). Važi sledeći rezultat: Teorema 6.1.1 Neka je s nenegativan realan broj. Ako f H s (Ω) i g H s+3/2 (Γ) onda postoji jedinstveno rešenje u problema (6.2) koje pripada H s+2 (Ω). Preciznije, operator u { u, u Γ } je izomorfizam iz H s+2 (Ω) u H s (Ω) H s+3/2 (Γ) Prirodno je razmotriti i slučaj negativnog s jer se u razmatranju problema (6.2) često dešavaju slučajevi da je, na primer, f = 0, a g je neka neregularna funkcija, npr. g je kvadratno integrabilna na Γ (što se javlja u teoriji optimalnog upravljanja) ili g je jednostavno distribucija na Γ. Ispostavlja se da je takvo G podskup od H s, s < 0. I u slučaju negativnog s problem može biti rešen, a prostori U, F su ponovo podskupovi od H s, ali za negativno s. U nastavku će biti definisan opštiji problem, kada je operator P eliptični operator (biće označen sa A), kada su Q j normalni granični operatori (označeni sa B j ) i kada oni zadovoljavaju odre dene uslove eliptičnosti. 50