Algebrske opercije Poglvlje m e l e 11 Potecije 1 Algebrski izrzi w w r t h e w w w w m e l e r t h e Ciljevi: - rčuti s potecijm cjelobrojog ekspoet - prepozti i rbiti formule z kvdrt biom i rzliku kvdrt - rčuti s lgebrskim rzlomcim 1
Mtemtik u struci Uvod Potecije su u prošlosti pise rzličito Stroegiptski zk z miliju Michel Stifel (1 st) Rffelle Bombelli (16 17) Adrie v Roome (161 161) Sve dijelove kocke podijelite kko je to već učijeo Koliko ćete mlih kockic ukupo dobiti ko tog? Je li umožk dvju brojev koji su kubovi poovo kub? Provjerite to primjerim Dioft je prvi počeo ozčvti potecije svoj či dšje ozke koje koristimo potječu od Descrtes U čst i spome velikog mtemtičr postvlje je jegovu grobu dgrobi spomeik kojem je ukles sljedeći tpis: Putiče ovdje počivju zemljski ostci Dioftovi Brojevi će ti kzti čud li koliko je trjo jegov vijek životi Život šesti protekl mu je u djetijstvu bezbrižu Nko još jede dvestie lice mu se pokri brdom muževom A život sedmiu poživi u brku bez djece Kd još pet prođe ljet usreći g rođeje divog mu si prvorođeog Kojemu kolo udjeli smo polovicu slvog život očev I u velikoj tuzi četiri godie žleći z siom strc doček krj život zemljskog (Koliko li je živio Dioft?) 10
Algebrske opercije Svki trokut sdrži po tri kružić tko je broj kružić u trokutim d s potecijm broj i 11 Potecije 111 Potecije s cjelobrojim ekspoetom Već smo učili d je: = 1 1 1 = ( ) ( ) = ( ) ili općeito = Tko z uzstopo možeje ekog broj smim sobom uvodimo krći či zpisivj primjerice: = = 8 = = 16 1 1 1 1 1 = = 81 = = 6 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) = ( 1) = 1 0 1 0 1 0 1 0 1 = 0 1 = 0 0001 Općeito umožk u kojemu se ko možitelj pojvljuje put ozčvmo odoso: = ili = put put Izrz gdje je rciol broj ziv se potecij broj ziv se osov (bz) broj ekspoet potecije Kd je = kžemo d je to drug potecij ili kvdrt z = d je treć potecij ili kub Drug se potecij običo ziv kvdrtom treć kubom Npomeimo još d je 1 = Umoške pišimo u obliku potecije: ) b) ( 8) ( 8) ( 8) ( 8 ) c) d) e) x x x x ( ) ( ) ( ) = ( ) ) = b) 8 8 8 8 8 c) = d) = e) x x x x = x PRIMJER 6 Izrčujmo: ) b) ( ) c) 1 d) = ( ) ( ) ( ) = ) = = b) 1 c) = = 6 d) 6 1 1 1 1 1 1 1 1 = = 6 11
Mtemtik u struci Zdtci z vježbu PRIMJER Izrčujmo: + 6 + 6 = 6 + 6 = 19 18 + 180 = PRIMJER Izrčujmo vrijedost izrz: + b b z = i b = 1 Npišite u obliku potecije: + = 8 + 9 = ( ) ( ) ( ) ) 7 7 7 7 7 7 b) 11 11 11 11 c) d) 7 7 7 7 7 7 7 ( ) f) 1 1 1 1 1 1 e) Izrčujte: 1 ) b) 8 c) ( 1) 1 d) ( 1) 11 e) ( ) f) ( 6) Izrčujte: 1 ) b) ( ) c) 01 d) 1 e) f) 1 1 Izrčujte: ) b) ( 0) c) ( 17) d) ( 00) e) 0007 f) ( 0101) g) 7 h) 0 Izrčujte: ( ) 6 0 ) b) + 6 0 0 ( ) + ( ) + ( ) d) ( ) c) 1 1 6 Izrčujte vrijedosti izrz: 16 7 + 16 6 ) 0 x x + x + x z x = b) x x + x x + 6x z x = c) x x x x 1 x z x = 1 d) + z = 1
Rhidov (Ahmesov) ppirus koji se čuv u Lodou iz 160 g pr Kr sdrži ovkv problem: Neko imje sdrži 7 zgrd U svkoj od jih je 7 mčk Svk od jih uhvti 7 mišev od kojih je svki pojeo 7 zr pšeice svko bi zro moglo dti 7 mjeric žit Koliko bi imju bilo ukupo zgrd mčk mišev zr pšeice i mjeric žit? : zgrd 7 7 mčk 7 9 mišev 7 zr 7 01 mjeric 7 16807 11 Potecije jedkih bz Možeje potecij jedkih bz Možemo li izrčuti čemu je jedko? N osovi zčej potecije možemo pisti: ( ) = = = Algebrske opercije U zčeom se možeju broj ko fktor jvlj put p zključujemo: Općeito vrijedi: Nvedeo prvilo izričemo ovko: + = = = m m + Potecije jedkih bz može se tko d se t bz potecir zbrojem jihovih ekspoet Izrčujmo: ) b) x x c) d) 1 1 + + 7 ) = = = 1 0 b) x x = x = x + 6 + + 9 c) = = d) 1 1 = 1 = 1 = Dijeljeje potecij jedkih bz Postupjući sličo ko pri možeju potecij odredimo količik Općeito vrijedi: Riječim: : = = = = : = m m 1 6 : : Potecije jedkih bz dijele se tko d se t bz potecir rzlikom ekspoet djeljeik i djelitelj 7 7 9 Izrčujmo: ) : b) : c) x : x 1 d) 7 ) : = = 16 b) : = = 9 9 6 c) x : x = x = x 1 d) 7 7 10 6 : 1 1 1 = = 81 10 6 1 : 1
Mtemtik u struci NETOČNO TOČNO = 6 = 8 1 = 1 = 1 Istkimo d je z 0 : odoso Dkle: : = = 1 : = = 0 = 1 Potecij svkog broj rzličitog od ule s ekspoetom ul jedk je jed Tko je = = ( + ) = = 1 1 = 1 7 1 b 1 x y 1 Odredimo sd količik Tkođer je Vidimo d je Općeito: Primjerice: 0 0 0 0 0 : koristeći se formulom : = : = = 1 : = = = = 1 1 = 0 m m : Zdtci z vježbu 1 1 1 1 1 1 = = = = = 8 1 1 = = 1 1 1 1 = 10 = = 10 1 000 1 Zpišite jedostvije: 6 1 1 ) b) c) d) 10 10 ( ) e) 0 1 0 1 f) 1 1 Izrčujte: 6 ) y y b) x x x c) b b 1 d) 16 b b e) 0 1x 0 1x f) x y x y Izrčujte: 8 19 17 ) : b) : c) : d) 7 : 1
Izrčujte: 8 17 1 8 6 ) x : x b) x : x c) 9 : 6 d) b : b e) 6 x y : xy f) 0 6 b : ( 0 b ) ( 1) 1 + ( 1) + ( 1) + + ( 1) 98 + ( 1) 99 =? ) 1 b) 0 c) 1 d) 99 1 9 = (često je lkše izrčuti) = 1 = ( 1 ) = = 6 = 1 96 11 Potecije jedkih ekspoet Algebrske opercije Potecije jedkih ekspoet možimo tko d umožk bz potecirmo zjedičkim ekspoetom: b = b m m m Uvjerimo se u istiitost vedee formule: ( ) m m b = b b b b = m fktor m fktor ( ) ( ) ( ) = b b b b = m fktor ) 8 8 = ( ) 8 = 10 8 b) 0 = ( 10) = 10 = 8 10 = 8 000 c) (1) 6 ( ) 6 = (1 ) 6 = 6 d) ( 0) 7 7 = ( 0 ) 7 = ( 1) 7 = 1 Očito je d potecije jedkih ekspoet dijelimo tko d količik bz potecirmo zjedičkim ekspoetom: PRIMJER 10 : = (10 : ) = = 16 ( 1) : = ( 1 : ) = ( ) = m m m : b = ( : b) = b = 10 = 6 : = 10 7 Zdtci z vježbu 7 7 1 ) b) c) : 10 d) e) 8 6 : 6 9 f) : g) : h) i) j) 6 k) l) 6 8 Izrčujte jjedostviji či e koristeći klkultor: ( 1 ) : ( 7 1) ( 7 ) : ( 18 76) m b m 1
Mtemtik u struci NETOČNO 6 6 = TOČNO ( ) = 6 6 6 = 16 = = = 16 1 1 1 1 + = + 1 1 + = + ( ) = 1 = 1 11 Rčuje s potecijm cjelobrojih ekspoet Zbrjje i oduzimje potecij Potecije koje imju jedke bze i jedke ekspoete mogu se zbrjti ovko: + + = x + x = x + + = 6 x + x x + x = x + 6x Potecirje potecij Odredimo sd čemu je jedko poteciju s bzom i ekspoetom p vrijedi: Općeito vrijedi: Riječim: = = = = Tj izrz možemo shvtiti ko + + 6 m m = Potecij se potecir tko d se bz potecir umoškom ekspoet b) ( ) Izrčujmo: ) é æ1ö ù c) 0 èç ø d) + 6 10 e) 1 6 1 ëê ûú = = = = = = ) 1 096 b) 6 79 10 1 1 1 1 c) = = = 1 0 d) 81 + 6 1 = 81 18 + 6 = 1 6 e) 1 1 1 1 1 = 6 6 = 6 = 16 Rčuje potecij s pomoću džepog rčul Džep rčul imju dvije fukcije i kvdrt broj primjerice: rču potecije 16
Algebrske opercije Zdtci z vježbu 1 Izrčujte: ) b) ( ) c) ( x y ) d) ( b ) x e) y Izrčujte: ) 6 6 b 9 b c b) x( x + y) c) x x + y Npišite broj ko poteciju s zdom bzom: f) 0 x y z x y z 1 d) 6 ( b) e) 6 6 x y b ( xy) ) broj 16 1 bz b) broj 8 1 bz c) broj 6 6 bz d) broj bz Koliko je: ) 10 1 b) 10 c) d) e) f) 01 g) 0 h) ( 0)? Npišite brojeve: ) 1 1 1 1 1 1 i ko potecije s bzom 8 16 b) 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 i 0 00001 ko potecije s bzom 10 1 c) 1 6 i ko potecije s ekspoetom 1 d) 8 6 i ko potecije s ekspoetom 79 6 Izrčujte: 9 ) b) ( 1 ) 7 6 ( ) ( ) c) d) 7 7 1 9 1 7 Izrčujte: Izrčujmo: ) 6 b) ( ) c) ( ) i d) 1 ) 6 b) ( ) c) ( ) Uočimo d se predzk uosi ko broj d) 1 b ) b x b) bx y 17 16 by b c) xy e) 10 9 b : xy 6 17
Mtemtik u struci bc c d d) : e) b d b 8 Izrčujte: ) 1 x x b) b b b cd d) b Apollo 11 Atom 11 Zstvei zpis relog broj Ogledlo koje su površii Mjesec postvili strouti Apoll 11 jedii je dio misij Apollo koji još uvijek šlje podtke Zemlju Mjereje vreme koje treb lserskom sopu d dođe od Zemlje do tog ogledl i trg omogućuje mjereje udljeosti Zemlj Mjesec Udljeost od Zemlje do Mjesec je 8 tisuće kilometr do Suc 16 miliju kilometr Atom je osov grđev jediic tvri Atom se sstoji od jezgre (koju čie protoi i eutroi) i elektro koji se lze u ljuskm oko jezgre Jezgr čii 9998 % mse tom Promjer jezgre (0000000000000001 m) je 100 000 put mji od promjer tom (00000000001 m) U zosti se često pojvljuju vrlo veliki ili vrlo mli brojevi ko što je vidljivo iz gorjih primjer Zpisivje ovih brojev možemo pojedostviti korištejem zstveog ili stdrdog zpis Broj je zpis u zstveom zpisu ko je prikz u obliku 10 gdje je cijeli broj i 1 < 10 ili 10 < < 1 Udljeost od Zemlje do Mjesec prikzt ćemo u zstveom zpisu 8 10 km do Suc 16 10 8 km Promjer jezgre tom je 10 1 m promjer tom 10 10 m : f) x+ 1 10 b x 1 b c : b c 9 b b : e) c x y 6 6 c x c) b x : b d b 9 6 x y 8x x : 7 9 f) x y : b y y Prikžimo zde brojeve u stdrdom zpisu ) 700 b) 0000006 ) Broj 7 00 možemo zpisti ko 7 000 Deciml će se točk lziti iz zmeke 7 Prebrojimo koliko je mjest od stre do ove decimle točke Vidimo d su to mjest Td je 7 00 = 7 10 b) Zključujući slič či prebrojvmo kojem je mjestu iz decimle točke zmek rzličit od ule Zmek je šestom mjestu iz decimle točke te zpisujemo 0000006 = 6 10 6 18
Algebrske opercije Riječ miliju prvi je put upotrijeblje u 1 stoljeću trjlo je dugo dok ije postl općeito prihvće Dotd i poslije koristio se izrz tisuću tisuć Riječ milijrd stl je tek u 18 st Amerikci kdšto Frcuzi i Rusi umjesto milijrde koriste riječ biliju 8000 = 8 10 80 = 8 10 0 08 = 8 10 0 00008 = 8 10 PRIMJER Zpišimo zde brojeve u decimlom obliku: ) 6 10 b) 71 10 ) Sd je potrebo smo okreuti postupk Pri možeju broj s 10 broj se povećv i deciml se točk pomiče z jedo mjesto udeso tko d je 6 10 = 60 b) Pri dijeljeju broj s 10 odoso možeju broj s 10 1 broj se smjuje i deciml se točk pomiče z jedo mjesto ulijevo te je broj 71 10 = 000071 PRIMJER Ms Jupiter približo je jedk 10 7 kg ms Zemlje 6 10 kg Koliko je put ms Jupiter već od mse Zemlje? Podijelit ćemo msu Jupiter msom Zemlje 7 7 10 10 10 = = = 6 10 6 Ms Jupiter je put već od mse Zemlje Osim uobičjeog zpis broj rčulu se brojevi mogu zpisti i u zstveom i ižejerskom obliku s pomoću tipki SCI ( SCI: prikzuje broj u obliku 0 1 10 1 0 9 ENG: prikzuje broj u obliku b 10 1 b 999 PRIMJER Izrčujmo s pomoću džepog rčul dv či 6 10 = 6 000 = 6 10 6 Tipk omogućuje uos dvozmekstog ekspoet bze 10 S pomoću te tipke 1 10 6 džepom rčulu zpisujemo ovko: zslou se pojvljuje Ako pomožimo miliju milijuom tj 1 000 000 1 000 000 ekru će se pojviti što predstvlj 10 1 ) 19
Mtemtik u struci Zdtci z vježbu 1 Izrčujte: ) b) 7 c) 11 d) Odgovorite pitj 1 1 00 + 1 00 = ) 1 010 b) 1 c) 00 d) 010 x 00 : x 100 = ) x 00 b) x 00 c) x d) Umožk i x 100 im istu vrijedost ko i ( x) 100 Vrijedost je: ) 100 b) 1 c) 1 d) 100 Odredite ekspoete sljedećih potecij: ) x b) 1 c) ( ) Odredite bze sljedećih potecij: ) x b) 1 c) ( ) 6 Koji je od sljedećih brojev zpis u zstveom zpisu? ) 16 10 6 b) 16 10 6 c) 016 10 6 d) 16 10 6 Procijeite 1 Provjerite je li: = + + + b) 6 ) 1+ + + 1 Koj je od sljedećih tvrdji toč? + + = ) < b) > c) ( ) = d) 7 7 > 7 7 Upiši toč broj u prz kvdrtić: 00 = 00 + Koj je tvrdj toč z =? ) < 0 b) 0 < < 1 c) 100 < < 1 000 d) 1 000 < < 10 000 Koj je od sljedećih tvrdji toč? ) = 6 b) = 10 8 c) 8 8 = 8 d) ( 1) = 6 = ) b) c) 1 d) 16 7 Koliko zmek im broj 10 000 9999? ) 9999 b) 10 000 c) 9996 d) 9997 Modelirje i rj vje problem 1 Ms jede molekule kisik je 10 grm Odredite msu 0 000 molekul kisik Ako je brzi svjetlosti 10 8 m/s odredite udljeost Pluto od Suc ko je pozto d svjetlost putuje od Suc do Pluto sti 8 miut i 0 sekudi 0
Odredite msu ledee kocke duljie brid 0 m Gustoć led je 0916 g/cm (m = ρ V ms tijel gustoće ρ i volume V) Provjerite svoje zje 1 Izrčujte: 1 ) Izrčujte vrijedosti izrz: 1 cm Algebrske opercije N zemljopisoj krti udljeost Zgreb Krlovc izosi 10 cm U kojem je omjeru rđe krt ko se z d je udljeost Zgreb Krlovc 0 km? Koristeći 0 ččklic složite prvokutike rzličitih dulji i širi Kko će se odositi jihovi opsezi? 6 Ako je Rtko potrošio 16 m žice kko bi ogrdio okućicu širi okućice je 0 m kolik je dulji okućice? 10 cm ) 1 m b) 0 m c) 6 m d) 101 m cm 7 Odredite opseg lik s slike: ) cm b) cm c) 6 cm d) 6 cm 6 cm 8 U 010 godii potrošili smo 7 10 9 ku sldoled Ako je u Hrvtskoj otprilike 10 6 stovik koliko je svki potrošio sldoled? b) ( ) + + ( ) ( ) 1 0 7 1 0 6 ) x x + x x + x x z x = 1 b) b + b z = i b = 11 6 1 1 1 11 Izrčujte: ) : b) 0 : 0 Npišite brojeve: 1 1 1 1 1 1 i ko potecije s bzom 9 7 81 Npišite brojeve: 0 1 i 81 ko potecije s ekspoetom 16 6 Izrčujte: ) 8 + 17 11 x 7 Izrčujte: x y : y 8 Izrčujte: b) 10 9 6 7 x x 9 x y : : y y 9 Izrčujte i prikžite u zstveom zpisu 66 000 0 001 0 00 0 00 cm 10 U New Yorku mrtou sudjeluje 10 trkč Svki od jih pretrči kilometr Izrčujte koliko ukupo kilometr pretrče svi trkči i izrzite odgovor u zstveom zpisu Ako zmo d je udljeost od Zemlje do Suc 19 600 000 km koliko bi još trkč treblo trčti kko bi svi zjedo dostigli tu udljeost? 1
Mtemtik u struci 1 Algebrski izrzi Možeje poliom x + x x x x + x (x + )(x + ) = x + ( + )x + 6 1 Izrčujte: ) + b b Izrz oblik x ziv se moom ili jedočl izrz Tko su izrzi x 0 i 1 y primjeri moom Dvočli lgebrski izrz koji čie dv moom povez zkom + ziv se biom Tko su biomi izrzi + b ili 7x + y Zbroj više moom ziv se poliom ili višečl izrz primjerice: x xy + 6 je poliom 11 Rčuje s lgebrskim izrzim Izrčujmo umožk ( + b) (c + d) Već smo upozli zko distributivosti možej prem zbrjju: ( + b) c = c + b c odoso (b + c) = b + c Nek je c + d = m td je ( + b) m = m + b m = (c + d) + b (c + d) = c + d + bc + bd Dkle ( + b) (c + d) = c + d + bc + bd Nvedei postupk potvrđuje i jedkost površi slici 6 Zdtci z vježbu ( + ) ( + ) Izrčujmo: ) x + 6 y b) + 6 b 8 ) x + 6 y x 6 y x 6 xy 6y x ( + ) = ( + ) + ( + ) = + + + ( + ) ( b + ) = b + + b + b) 6 8 1 18 8 b) ( x + y) ( x + ) c) ( 8x 7y) ( x + y) ( b ) : e) ( + )( + ) f) ( + b)( + b) d) 18 1 : g) (1 x)(1 + x) h) πr + πr πr