Automatsko upravljanje 2016/2017

Automatsko upravljanje 2016/2017 Prof.dr.sc. Nedjeljko Perić, Prof.dr.sc. Zoran Vukić Prof.dr.sc. Mato Baotić, Izv.prof.dr.sc. Nikola Mišković Zavod za automatiku i računalno inženjerstvo Fakultet elektrotehnike i računarstva Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 1 / 47

Uvod Sažetak Predavanja 07 Prijelazna funkcija, težinska funkcija i konvolucijski integral specijalni su oblici prikaza sustava u vremenskom području Prikaz sustava u prostoru stanja prikladan je za teoretsku analizu (analitička rješenja, optimiranje), kao i za analizu računalom SISO i MIMO sustavi mogu se formalno obrad _ ivati na isti način Prikazom sustava u prostoru stanja dobiva se dobar uvid u unutarnje vladanje sustava Svaka promjena stanja sustava predstavlja se dijelom trajektorije u prostoru stanja Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 2 / 47

Uvod Cilj Ponoviti Laplaceovu transformaciju Ponoviti prijenosnu funkciju Stjecanje vještina korištenja Laplaceove transformacije u modeliranju i analizi sustava upravljanja Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 3 / 47

Laplaceova transformacija (L-transformacija) Laplaceova transformacija Laplaceova transformacija (L-transformacija) najvažnije je pomoćno sredstvo za rješavanje linearnih diferencijalnih jednadžbi s konstantnim koeficijentima; L-transformacija predstavlja iznimno važan alat (jezik) u automatskom upravljanju L-transformacija je linearna integralna transformacija definirana kao (jednostrana L-transformacija): F(s) = 0 f(t)e st dt (8-1) gdje je: f(t) originalna funkcija (original) (gornje područje) F(s) slika funkcije (slika) (donje područje) s kompleksna varijabla, s = σ + jω Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 4 / 47

Laplaceova transformacija (L-transformacija) Laplaceova transformacija Primjena definicijske relacije (8-1) temelji se na pretpostavkama: f(t) = 0 za t < 0 (za kauzalne sustave) kompleksna varijabla s nalazi se u području konvergencije integrala (8-1) L-transformacija označava se na sljedeće načine: F(s) = L{f(t)} ili F(s) f(t) Izraz za obrnutu (inverznu) L-transformaciju: f(t) = 1 c+j F(s)e st ds, t 0, (8-2) 2πj c j pri čemu je c konstanta veća od realnog dijela pojedinih singularnih točaka od F(s) Inverzna L-transformacija označava se na sljedeće načine: f(t) = L 1 {F(s)} ili f(t) F(s) Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 5 / 47

Laplaceova transformacija (L-transformacija) Tablica L-transformacije (1) Za jednostavno računanje L{F(s)} i L 1 {f(t)} postoje korespondente tablice L-transformacija koje se kombinira s temeljnim svojstvima L-transformacije i inverzne L-transformacije Br. Vremenska funkcija f(t) L-transformacija F(s) f(t) = 0 za t < 0 1. δ(t) 1 1 2. S(t) s 3. t 1 4. t n n! s 2 1 s n+1 5. e at 1 s+a 6. te at 1 7. t n e (s+a) 2 at n! (s+a) n+1 Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 6 / 47

Laplaceova transformacija (L-transformacija) Tablica L-transformacije (2) Br. Vremenska funkcija f(t) L-transformacija F(s) f(t) = 0 za t < 0 ω 8. sin(ωt) s 2 +ω 2 s 9. cos(ωt) s 2 +ω 2 10. e at ω sin(ωt) (s+a) 2 +ω 2 11. e at s+a cos(ωt) ( ) (s+a) 2 +ω 2 1 12. a f t a, a > 0 F(as) 13. e at f(t) F(s a) 14. f(t a)s(t a), a > 0 e as F(s) 15. tf(t) 16. ( t) n f(t) df(s) ds d n F(s) ds n Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 7 / 47

Laplaceova transformacija (L-transformacija) Svojstva L-transformacije Glavna svojstva L-transformacije (1) Teorem superpozicije L{a 1 f 1 (t)+a 2 f 2 (t)} = a 1 F 1 (s)+a 2 F 2 (s), (8-3) gdje su a 1 i a 2 proizvoljne konstante Teorem sličnosti gdje je a > 0 Teorem pomaka gdje je a > 0 L{f(at)} = 1 a F ( s a ), (8-4) L{f(t a)s(t a)} = e as F(s), (8-5) Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 8 / 47

Laplaceova transformacija (L-transformacija) Glavna svojstva L-transformacije (2) Svojstva L-transformacije Teorem o deriviranju (operacija deriviranja funkcije pretvara se u algebarsku operaciju množenja s F(s)) { } df L = sf(s) f ( 0 ) (8-6) dt Za derivaciju n-tog reda je { d n } f L dt n = s n F(s) n i=1 s n i d i 1 f(t) dt i 1 t=0 (8-7) Teorem o integriranju (operacija integriranja funkcije pretvara se u algebarsku operaciju dijeljenja F(s)/s) t L f(τ)dτ = 1 F(s) (8-8) s 0 Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 9 / 47

Laplaceova transformacija (L-transformacija) Glavna svojstva L-transformacije (3) Svojstva L-transformacije Teorem o konvoluciji (kompoziciji) u vremenskom području L{(f 1 f 2 )(t)} = F 1 (s)f 2 (s), (8-9) pri čemu je (f 1 f 2 )(t) = t f 1 (t)f 2 (t τ)dτ, (8-10) tj. konvolucijski integral pretvara se u algebarsku operaciju množenja F 1 (s)f 2 (s) Teorem o konvoluciji (kompoziciji) u frekvencijskom području 0 L{f 1 (t) f 2 (t)} = 1 c+j F 2πj 1 (p)f 2 (s p)dp, (8-11) c j pri čemu je p kompleksna varijabla integracije Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 10 / 47

Laplaceova transformacija (L-transformacija) Glavna svojstva L-transformacije (4) Svojstva L-transformacije Teoremi o graničnim vrijednostima Teorem o početnoj vrijednosti f(0 + ) = lim f(t) = lim sf(s), (8-12) t 0 + s pri čemu je f(t) kauzalna funkcija Dokaz: } L {ḟ(t) = sf(s) f(0 ) = ḟ(t)e st 0 + dt = ḟ(t)e st dt + ḟ(t)e st dt 0 0 0 + sf(s) f(0 ) = ḟ(t)e st dt = f(0 + ) f(0 )+ ḟ(t)e st dt 0 0 + ḟ(t)e st dt = sf(s) f(0 + ) lim ḟ(t)e st dt = lim (sf(s) f(0 + )) 0 + s 0 + s Uz pretpostavku konvergencije integrala slijedi: lim ḟ(t)e st dt = lim ḟ(t)e st dt = 0 s s }{{} 0 + 0 + =0 za t>0 Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 11 / 47

Laplaceova transformacija (L-transformacija) Svojstva L-transformacije Primjeri: Primjena teorema o početnoj vrijednosti 1. Početni iznos težinske funkcije g(t) G(s) = g(0 + ) = lim s sg(s) = lim s + 3 (s + 1)(s + 2) 2 s s g(t) 0.1 s + 3 (s + 1)(s + 2) = 0 0.05 2 0 0 2 4 6 8 10 t [s] 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 g(0 + ) = 0 2. Početni nagib odziva y(t) 1 s Y(s) = s(s 2 + 4s + 5) L{ẏ(t)} = sy(s) ẏ(0 + ) = lim s sy(s) s ẏ(0 + ) = lim s 2 s s 2 Y(s) = lim s s s 2 + 4s + 5 = 1 0.2 0 1 2 3 4 5 t [s] y(t) 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0.05 0.1 0.15 ẏ(0 + ) = 1 Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 12 / 47

Laplaceova transformacija (L-transformacija) Glavna svojstva L-transformacije (5) Svojstva L-transformacije Teoremi o graničnim vrijednostima Teorem o konačnoj vrijednosti Dokaz: f( ) = lim f(t) = lim sf(s) (8-13) t s 0 [ lim ḟ(t)e st dt = lim sf(s) f(0 + ) ] s 0 0 + s 0 lim ḟ(t)e st (st) 2 dt = lim ḟ(t)dt + ḟ(t)( st)dt + ḟ(t) dt +... s 0 0 + s 0 0 2! + 0 + 0 }{{ + } =0 lim ḟ(t)e st dt = f( ) f(0 + ) s 0 0 + Ako sf(s) ima polove u desnoj poluravnini, uključujući i imaginarnu os, teorem o konačnoj vrijednosti se ne može primijeniti Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 13 / 47

Laplaceova transformacija (L-transformacija) Svojstva L-transformacije Primjeri: Primjena teorema o konačnoj vrijednosti 1. Za signal y(t) zadan u donjem području Y(s) = 3(s + 2) s(s 2 + 2s + 10) y( ) = lim sy(s) = 0.6 s 0 2. Pojačanje sustava opisanog prijenosnom funkcijom G(s) (oznaka: K) predstavlja ustaljenu vrijednost njegove prijelazne funkcije: K = lim s 0 s G(s) 1 s = G(0) G(s) = 3(s + 2) s 2 + 2s + 10 h(t) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 G(0) = 0.6 0 0 1 2 3 4 5 6 t [s] Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 14 / 47

Obrnuta (inverzna) Laplaceova transformacija Inverzna L-transformacija (1) Relacija (8-2): f(t) = 1 c+j F(s)e st ds, t 0, 2πj c j Zbog složenosti odred _ ivanja f(t) prema (8-2), koriste se korespodentne tablice L-transformacija Ako se u tablicama ne nalazi dotična složenija funkcija F(s), onda se ta funkcija prikaže sljedećim rastavom F(s) = F 1 (s)+f 2 (s)+...+f n (s) (8-14) i primijeni inverzna L-transformacija na način f(t) = L 1 {F(s)} = L 1 {F 1 (s)}+l 1 {F 2 (s)}+...+l 1 {F n (s)} (8-15) Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 15 / 47

Obrnuta (inverzna) Laplaceova transformacija Inverzna L-transformacija razlomljene raciona Inverzna L-transformacija (2) F(s) je u sustavima upravljanja često razlomljena racionalna funkcija: F(s) = d ms m + d m 1 s m 1 +...+d 1 s + d 0 s n + e n 1 s n 1 +...+e 1 s + e 0 = B(s) N(s) (8-16) pri čemu su svi koeficijenti d i i e i realni Faktorizacijom polinoma N(s) u izrazu (8-16) dobije se: F(s) = B(s) (s s 1 )(s s 2 ) (s s n ) (8-17) Polinom N(s) ima n korijena (nul-točaka): s = s 1, s 2,...,s n Ove nul-točke predstavljaju polove od F(s) Ovisno o polovima razlikujemo nekoliko slučajeva Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 16 / 47

Obrnuta (inverzna) Laplaceova transformacija Inverzna L-transformacija razlomljene raciona Slučaj 1: F(s) posjeduje samo jednostruke polove F(s) se prikazuje kao F(s) = n k=1 c k s s k, (8-18) pri čemu je c k reziduum pola s k (ako je Im[s k ] = 0, to je realna konstanta), a f(t) je onda prema (8-15): n f(t) = c k e s k t k=1 (8-19) Ovdje se c k može odrediti usporedbom koeficijenata pri rastavu na parcijalne razlomke teoremom o reziduumu: c k = Z(s k) N (s k ) = [ ] B(s) N(s) (s s k) (8-20) s=s k Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 17 / 47

Obrnuta (inverzna) Laplaceova transformacija Inverzna L-transformacija razlomljene raciona Slučaj 1: F(s) posjeduje samo jednostruke polove Primjer Odred _ ivanje y(t) na temelju Y(s) koji je dan s Y(s) = 4s + 9 s 2 + 5s + 6 = 4s + 9 (s + 2)(s + 3) Y(s) se zapisuje kao Y(s) = c 1 s + 2 + c 2 s + 3 Prema teoremu o reziduumu (8-20) slijedi [ 4s+9 c 1 = (s + 2) = 1 (s+2)(s+3) [ ]s= 2 4s+9 c 2 = (s + 3) = 3 (s+2)(s+3) ]s= 3 Prema (8-19) slijedi: y(t) = c 1 e 2t + c 2 e 3t = e 2t + 3e 3t Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 18 / 47

Obrnuta (inverzna) Laplaceova transformacija Inverzna L-transformacija razlomljene raciona Slučaj 2: F(s) posjeduje i višestruke polove Ako F(s) ima i višestruke polove, pri čemu pol s k ima kratnost r k (k = 1,...,l, lk=1 r k = n), tada se rastavom na parcijalne razlomke dobije l r k c k,ν F(s) = (s s k ) ν (8-21) k=1 ν=1 što prema tablici korespondencije Laplaceove transformacije vodi na sljedeći original: f(t) = l k=1 e s k t r k ν=1 c k,ν t ν 1 (ν 1)!, t 0 (8-22) Pritom se c k,ν odred _ uje prema { } 1 d r k ν c k,ν = (r k ν)! ds r k ν [F(s)(s s k) r k ] (8-23) s=s k te on može biti i kompleksan broj ukoliko je Im[s k ] 0 Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 19 / 47

Obrnuta (inverzna) Laplaceova transformacija Inverzna L-transformacija razlomljene raciona Slučaj 2: F(s) posjeduje i višestruke polove Primjer Odred _ ivanje y(t) na temelju Y(s) koji je dan s Y(s) = Razvoj u parcijalne razlomke daje s + 3 (s + 1)(s + 2) 2 Y(s) = c 1,1 s + 1 + c 2,1 s + 2 + c 2,2 (s + 2) 2 Koeficijenti c k,ν odred _ uju se prema (8-23): [ ] s+3 c 1,1 = (s + 1) = 2, (s+1)(s+2) { [ 2 s= 1 [ c 2,1 = 1 d s+3 (s + 2) 2 = 1! ds (s+1)(s+2) { ]}s= 2 2 c 2,2 = 1 s+3 (s + 2) 2 = 1 0! (s+1)(s+2) }s= 2 2 Prema (8-22) slijedi: 2 (s+1) 2 ]s= 2 = 2, y(t) = c 1,1 e t + c 2,1 e 2t + c 2,2 te 2t = 2e t 2e 2t te 2t Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 20 / 47

Obrnuta (inverzna) Laplaceova transformacija Inverzna L-transformacija razlomljene raciona F(s) posjeduje i konjugirano-kompleksne polove Primjer Signal je dan u donjem području: s+3 s+3 Y(s) = = = s(s 2 +4s+5) 2 s[s ( 2+j)] 2 [s ( 2 j)] 2 = c 1,1 s + c 2,1 s ( 2+j) + c 2,2 + c 3,1 [s ( 2+j)] 2 s ( 2 j) + c 3,2 = [s ( 2 j)] 2 = c 1,1 s + (s+2)(c 2,1+c 3,1 )+j1 (c 2,1 c 3,1 ) [s ( 2+j)][s ( 2 j)] + (c 2,2+c 3,2 )[(s+2) 2 1 2 ]+j2(s+2)(c 2,2 c 3,2 ) {[s ( 2+j)][s ( 2 j)]} 2 = = c 1,1 s +(c 2,1 +c 3,1 ) s+2 (s+2) 2 +1 2+j(c 2,1 c 3,1 ) 1 (s+2) 2 +1 2+(c 2,2+c 3,2 ) (s+2)2 1 2 [(s+2) 2 +1 2 ] 2+j(c 2(s+2) 2,2 c 3,2 ) [(s+2) 2 +1 2 ] 2 Kako je L{e at cos(ωt)}= s+a (s+a) 2 +ω 2 L{e at ω sin(ωt)}= (s+a) 2 +ω 2 za y(t) se dobije: L{te at cos(ωt)}= d ds [ L{te at sin(ωt)}= d ds [ ] s+a (s+a) 2 +ω 2 ] ω (s+a) 2 +ω 2 = (s+a)2 ω 2 [(s+a) 2 +ω 2 ] 2 = 2(s+a) [(s+a) 2 +ω 2 ] 2 y(t)=[c 1,1 +(c 2,1 +c 3,1 )e 2t cos t+j(c 2,1 c 3,1 )e 2t sin t+(c 2,2 +c 3,2 )te 2t cos t+j(c 2,2 c 3,2 )te 2t sin t]s(t) Budući da su parovi brojeva c 2,1 i c 3,1, te c 2,2 i c 3,2 konjugirano-kompleksni (c 3,1 = c 2,1, c 3,2 = c 2,2 ), y(t) je, naravno, realna vremenska funkcija Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 21 / 47

Rješavanje linearnih diferencijalnih jednadžbi pomoću L-transformacije Rješavanje linearnih diferencijalnih jednadžbi pomoću L-transformacije Original Diferencijalna jednadžba Rješenje L-transformacija L 1 -transformacija Slika Algebarska jednadžba Rješenje Slika 8.1: Rješavanje diferencijalne jednadžbe korištenjem L-transformacije Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 22 / 47

Rješavanje linearnih diferencijalnih jednadžbi pomoću Nepobud L-transformacije _ eni LTI sustav Nepobud _ eni linearni vremenski nepromjenljivi (LTI) sustav (1) Rješenje homogene diferencijalne jednadžbe predstavlja vlastito (slobodno) gibanje sustava, dakle vladanje koje je ovisno samo o početnim uvjetima: n d i y(t) a i = 0 (8-24) dt i i=0 Za n početnih uvjeta di y(t) t=0 i = 0, 1,...,n 1 primjenom dt, i L-transformacije na (8-24) dobije se: [ Y(s) n n i a i s i a i i=0 i=1 ν=1 Y(s) = Y s (s) = n i=1 a i s i ν dν 1 y(t) dt ν 1 ] =0 t=0 i s i ν dν 1 y(t) ν=1 n a i s i i=0 dt ν 1 t=0 (8-25) Dakle, početni uvjeti sadržani su samo u polinomu brojnika od Y s (s) Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 23 / 47

Rješavanje linearnih diferencijalnih jednadžbi pomoću Nepobud L-transformacije _ eni LTI sustav Nepobud _ eni LTI sustav (2) Vlastito gibanje (slobodno gibanje) opisano je polovima s k, k = 1,...,n od Y(s), koje se dobije rješenjem: Faktorizacijom (8-26) dobije se n a i s i = 0 (8-26) i=0 (s s 1 )(s s 2 ) (s s n ) = 0 (8-27) Prema tome, izraz (8-25) može se razložiti u parcijalne razlomke Ako se radi, primjerice, o jednostrukim polovima, dobije se: y s (t) = n c k e s kt Dakle, prirodni odziv sustava sadrži komponente e s k t koje se nazivaju prirodnim modovima (engl. natural mode) Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 24 / 47 k=1

Rješavanje linearnih diferencijalnih jednadžbi pomoću Nepobud L-transformacije _ eni LTI sustav Nepobud _ eni LTI sustav (3) Položaji polova s k u s-ravnini u cijelosti karakteriziraju vlastito vladanje sustava opisanog homogenom diferencijalnom jednadžbom: Za slučaj Re[s k ] < 0 iščezavajuća prijelazna pojava Za slučaj Re[s k ] > 0 raspirujuća prijelazna pojava Za slučaj Re[s k ] = 0 granični slučaj Stoga se jednadžba (8-26), odnosno (8-27), naziva karakterističnom jednadžbom sustava Polovi s k od Y s (s) nazivaju se svojstvenim vrijednostima sustava Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 25 / 47

Rješavanje linearnih diferencijalnih jednadžbi pomoću Pobud _ eni L-transformacije LTI sustav Pobud _ eni LTI sustav Na sustav zadan diferencijalnom jednadžbom n d i y(t) m d i u(t) a i = b dt i i, m n (8-28) dt i i=0 djeluje pobuda u(t) Uz pretpostavke i=0 d i y(t) dt i t=0 = 0 za i = 0, 1,...,n 1 u(t) = 0 za t < 0, slijedi primjenom L-transformacije na (8-28): Y(s) n m a i s i = U(s) b i s i Y(s) = Y p (s) = i=0 i=0 m b i s i i=0 U(s) (8-29) n a i s i Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 26 / 47 i=0

Rješavanje linearnih diferencijalnih jednadžbi pomoću UkupniL-transformacije odziv LTI sustava Ukupni odziv LTI sustava Kada istodobno postoje i pobuda i početni uvjeti različiti od 0, slijedi iz svojstva linearnosti sustava ukupni odziv y(t) koji predstavlja zbroj odziva uslijed početnih uvjeta (slobodnog odziva) y s (t) i odziva uslijed pobude (prinudnog odziva) y p (t) Ovaj rezultat pokazan je na Predavanju 07 upotrebom konvolucijskog integrala, a isto daje i rješenje diferencijalne jednadžbe (8-28) Laplaceovom transformacijom kada su početni uvjeti različiti od 0: Y(s) = Y s (s)+y p (s) = n i=1 a i i ν=1 s i ν dν 1 y(t) dt ν 1 n a i s i i=0 t=0 } {{ } Y s(s) + m b i s i i=0 U(s) n a i s i i=0 } {{ } Y p(s) (8-30) Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 27 / 47

Rješavanje linearnih diferencijalnih jednadžbi pomoću UkupniL-transformacije odziv LTI sustava Primjer 8.1: Ukupni odziv LTI sustava Neka je sustav opisan diferencijalnom jednadžbom ÿ(t)+5ẏ(t)+6y(t) = 3u(t), pri čemu je u(t) = e t S(t), a početni uvjeti su y(0 ) = 2, ẏ(0 ) = 1 Prema (8-25) za slobodni odziv proizlazi: Y s(s) = a 1y(0 )+a 2 (sy(0 )+ẏ(0 )) 2s 11 = a 2 s 2 + a 1 s + a 0 (s + 2)(s + 3) Za prisilni odziv prema (8-29) proizlazi: Y p(s) = b 0 a 2 s 2 + a 1 s + a 0 U(s) = 3 1 (s + 2)(s + 3) s + 1 = 3 (s + 1)(s + 2)(s + 3) Ukupni odziv je Y(s) = 2s 11 (s+2)(s+3) + 3 (s+1)(s+2)(s+3) y(t) = ( 7e 2t +5e 3t )S(t) +( }{{} 3 2 e t 3e 2t + 3 2 e 3t )S(t) }{{} y s(t) y p(t) Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 28 / 47

Prijenosna funkcija Prijenosna funkcija (1) Linearni, kontinuirani, vremenski invarijantni sustav s koncentriranim parametrima opisuje se diferencijalnom jednadžbom (8-28): n i=0 a i d i y(t) dt i = m i=0 d i u(t) b i, m n dt i Ako su svi početni uvjeti jednaki nuli (sustav je miran), L-transformacijom se dobije (8-29): iz čega slijedi n m Y(s) a i s i = U(s) b i s i i=0 i=0 Y(s) U(s) = b ms m + b m 1 s m 1 +...+b 1 s + b 0 = G(s) = B(s) a n s n + a n 1 s n 1 +...+a 1 s + a 0 N(s) (8-31) G(s) se naziva prijenosnom funkcijom sustava Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 29 / 47

Prijenosna funkcija (2) Prijenosna funkcija Iz (8-31) slijedi: Y(s) = G(s) U(s), (8-32) odnosno izlazni signal sustava Y dobije se množenjem ulaznog signala U s pojačanjem G signali i sustavi predstavljaju se na isti način Uvjet realizacije za prijenosnu funkciju G(s) glasi: stupanj{b(s)} stupanj{n(s)} (8-33) Prijenosna funkcija sustava je L-transformacija impulsnog odziva sustava: G(s) = L{g(t)} (8-34) Dokaz: Uz miran kauzalni sustav, primjenom teorema o konvoluciji (8-9), slijedi t y(t) = g(t τ)u(τ)dτ Y(s) = L{g(t)} U(s) 0 }{{} G(s) (8-35) Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 30 / 47

Prijenosna funkcija Polovi i nule prijenosne funckije Za čitav niz istraživanja sustava prikladno je razlomljenu racionalnu prijenosnu funkciju G(s) faktorizirati (npr. u analizi stabilnosti sustava): G(s) = B(s) N(s) = k (s s N1 )(s s N2 ) (s s Nm ) 0 (s s p1 )(s s p2 ) (s s pn ) (8-36) gdje su: s Ni nule od G(s) s pj polovi od G(s) jω s-ravnina...pol...nula s Ni i s pj mogu biti: realni konjugirano-kompleksni 0 σ Slika 8.2: Primjer razmještaja polova i nula od G(s) Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 31 / 47

Prijenosna funkcija Primjer 8.2: Prijenosna funkcija operacijskog pojačala s povratnom vezom (1) U u (s) (U(s)) I p (s) Z 1 (s) A I u (s) + Z 2 (s) R u U i (s) (Y(s)) Točka A (sumacijska točka) je virtualna nula budući da je pojačanje pojačala veliko, a zbog velikog ulaznog otpora R u vrijedi: veliko pojačanje K (K ) I p (s)+i u (s) = 0 (8-37) Slika 8.3: Shematski prikaz operacijskog pojačala s povratnom vezom Vrijede sljedeći odnosi: I p(s) U i (s) = 1 I u(s) U u(s) = 1 Z 1 (s) = G 1(s) Z 2 = G 2(s), U i(s) U = G(s) = G 1(s) u(s) G 2 (s) = Z 2(s) Z 1 (s) (8-38) Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 32 / 47

Prijenosna funkcija Primjer 8.2: Prijenosna funkcija operacijskog pojačala s povratnom vezom (2) U u (s) Slijedi da vanjska mreža oko operacijskog pojačala definira dinamička svojstva sklopa Specijalni slučaj primjera dan je na Slici 8.4 R - + C U i (s) Vrijedi: G 1 (s) = 1 R, G 2(s) = sc U i(s) U = G(s) = 1 u(s) RCs (8-39) Slika 8.4: Primjer spoja s operacijskim pojačalom Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 33 / 47

Prijenosna funkcija Dobivanje G(s) iz prikaza u prostoru stanja Dobivanje G(s) iz prikaza u prostoru stanja SISO sustav (1) Promotrimo SISO sustav: ẋ(t) = Ax(t)+bu(t), x(0 ) = 0, y(t) = cx(t)+du(t) (8-40) L-transformacija diferencijalne jednadžbe iz (8-40) daje: gdje je I jedinična matrica sx(s) = AX(s)+bU(s), (si A)X(s) = bu(s), L-transformacija izlazne jednadžbe daje: X(s) = (si A) 1 bu(s) (8-41) Y(s) = cx(s)+du(s) (8-42) Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 34 / 47

Prijenosna funkcija Dobivanje G(s) iz prikaza u prostoru stanja Dobivanje G(s) iz prikaza u prostoru stanja SISO sustav (2) Kombiniranjem (8-41) i (8-42) proizlazi: Zaključno se može pisati: Y(s) U(s) = G(s) = c(si A) 1 b+d G(s) = c(si A) 1 b+dˆ= b ms m +...+b 1 s + b 0 a n s n +...+a 1 s + a 0 (8-43) Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 35 / 47

Prijenosna matrica Prijenosna funkcija Prijenosna matrica Za MIMO sustave (procese) imamo: te je [u 1, u 2,...,u p ] T = u, [y 1, y 2,...,y q ] T = y, Y(s) = G(s)U(s) (8-44) G(s) se naziva prijenosnom matricom (engl. transfer matrix) Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 36 / 47

Prijenosna funkcija Prijenosna matrica Primjer 8.3: MIMO sustav s dva ulaza i dva izlaza U 1 (s) G 11 (s) + + Y 1 (s) G 21 (s) G 12 (s) Y 1 (s) = G 11 (s)u 1 (s)+g 12 (s)u 2 (s) Y 2 (s) = G 21 (s)u 1 (s)+g 22 (s)u 2 (s) U 2 (s) G 22 (s) + + Y 2 (s) Slika 8.5: MIMO sustav [ ] Y1 (s) = Y 2 (s) [ G11 (s) G 12 (s) G 21 (s) G 22 (s) ][ U1 (s) U 2 (s) ] Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 37 / 47

Prijenosna funkcija Prijenosna matrica Primjer 8.4: Regulacijski ventil tlaka pare (1) Q v y 1 + r 1 r 2 + y 2 HLADNA VODA R 2 u 2 Q p u 1 R 1 PARA IZ PARNOG KOTLA Slika 8.6: Shematski prikaz regulacije tlaka i temperature pare I u ovom se primjeru radi o procesu s dva ulaza: u 1 upravljački ulaz regulacijskog ventila dotoka pare u 2 upravljački ulaz regulacijskog ventila dotoka hladne vode s dva izlaza: y 1 tlak izlazne pare, y 2 temperatura izlazne pare Blokovski prikaz sustava sa Slike 8.6 nalazi se na Slici 8.7 Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 38 / 47

Prijenosna funkcija Prijenosna matrica Primjer 8.4: Regulacijski ventil tlaka pare (2) r 1 r 2 + + R 1 R 2 u 1 u 2 + z 1 z 2 + + G 11 (s) G 21 (s) G 12 (s) G 22 (s) PROCES + + + + Slika 8.7: Blokovska shema sustava upravljanja regulacijskim ventilom + y 1 y 2 Tlak pare Temperatura pare Promjene tlaka pare iz parnog kotla i temperature hladne vode predstavljene su smetnjama z 1 i z 2 U ovom se slučaju radi o dvostrano spregnutom procesu Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 39 / 47

Prijenosna funkcija Transcendentna prijenosna funkcija Prijenosna funkcija sustava s raspodijeljenim parametrima Za linearne kontinuirane sustave s koncentriranim parametrima dobije se prijenosna funkcija u obliku razlomljene racionalne funkcije Za linearne sustave s raspodijeljenim parametrima dobije se prijenosna funkcija u obliku transcendentne prijenosne funkcije Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 40 / 47

Prijenosna funkcija Primjer 8.5: Prijenos topline kroz cijev (1) Transcendentna prijenosna funkcija ϑ(0, t) ϑ(l, t) 0 L Slika 8.8: Uzdužni presjek kroz cijev koja vodi toplinu Z ϑ(0, t) predstavlja vremenski tijek temperature fluida na ulazu cijevi ϑ(l, t) predstavlja vremenski tijek temperature fluida na izlazu cijevi Za prijenos topline kroz cijevi vrijedi parcijalna diferencijalna jednadžba: ϑ t = w ϑ F z, (8-45) gdje je: w F brzina gibanja fluida, ϑ(z, 0) = 0 Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 41 / 47

Prijenosna funkcija Primjer 8.5: Prijenos topline kroz cijev (2) Transcendentna prijenosna funkcija Na diferencijalnu jednadžbu (8-45) primjenimo L-transformaciju pri čemu vrijedi: L{ϑ(z, t)} = Θ(z, s) = ϑ(z, t)e st dt, L { } ϑ t = sθ(z, s) ϑ(z, 0), L { } ϑ z = d dzθ(z, s) ovdje je s parametar 0 d sθ(z, s) = w F Θ(z, s) (8-46) dz Iz parcijalne diferencijalne jednadžbe u vremenskom području nastaje obična diferencijalna jednadžba za prostornu varijablu z Opće rješenje ove diferencijalne jednadžbe je Θ(z, s) = Ce z w F s (8-47) Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 42 / 47

Prijenosna funkcija Primjer 8.5: Prijenos topline kroz cijev (3) Transcendentna prijenosna funkcija Prijenosna funkcija dobije se kao L Θ(L, s) G(s) = Θ(0, s) = Ce w s F = Y(s) Ce 0 w s F U(s), G(s) = Y(s) U(s) = e L w F s = e T t s Prijenosna funkcija (8-48) je transcendentna T t = L w F naziva se mrtvim vremenom (transportnim kašnjenjem) (engl. dead time, time delay) U vremenskom području je: (8-48) y(t) = u(t T t ) (8-49) Mrtva vremena koja se susreću u procesnoj industriji relativno su velikih iznosa (problemi pri upravljanju takvim procesima) Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 43 / 47

Prijenosna funkcija Transcendentna prijenosna funkcija Primjer 8.6: Prijenos materijala q u v M L q i T t = L v Ω = konst. Slika 8.9: Prijenos materijala q i (t) = q u (t T t ) (8-50) Q i (s) Q u (s) = e T ts U primjerima 8.5 i 8.6 radi se o procesima s čistim transportnim kašnjenjima T t tipično varira u procesima ovisno o transportnoj brzini (8-51) Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 44 / 47

Prijenosna funkcija Transcendentna prijenosna funkcija Prijenosna funkcija procesa s transportnim kašnjenjem i dinamičkim vladanjem y(t) = h(t) K p W tangenta prijelazna funkcija procesa Nadomjesni model procesa s parametrima t z vrijeme zadržavanja t a vrijeme porasta K pˆ=k s pojačanje procesa W točka infleksije Uvode se nadomjesno mrtvo 0 t t z t a vrijeme i nadomjesna vremenska konstanta: Slika 8.10: Prijelazna funkcija t z T t t a T pˆ=t s Proces se aproksimira prijenosnom funkcijom G p (s) = K pe T ts 1+T p s (8-52) Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 45 / 47

Prijenosna funkcija Transcendentna prijenosna funkcija Aproksimacija transcendente prijenosne funkcije racionalnom Transcendentna prijenosna funkcija može se nadomjestiti racionalnom prijenosnom funkcijom (pri analizi i sintezi sustava) Ako je T t znatno manje od T p, onda se može primijeniti aproksimacija (razvojem u Taylorov red): e T ts 1 1+T t s (8-53) Za veće iznose T t bolju aproksimaciju daje Padéova aproksimacija: ( ) 1 T t s n e Tts 2n = lim (8-54) n 1+ T ts 2n Za n = 1 dobije se Padéova aproksimacija prvog reda Padéova aproksimacija rezultira pojavom nula u desnoj poluravnini kompleksne s-ravnine, tj. sustav poprima neminimalnofazno vladanje Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 46 / 47

Zaključak Zaključak Prijenosne funkcije i prijenosne matrice prikazuju izlazno-ulazne odnose sustava u algebarskom obliku O položaju polova i nula prijenosne funkcije (matrice) u kompleksnoj s-ravnini ovisi vladanje sustava Transportno kašnjenje (mrtvo vrijeme) pojavljuje se u modelima procesa u kojima se transportira masa, energija ili informacija Prijenosne funkcije procesa s transportnim kašnjenjem su transcendentne Transcendentne prijenosne funkcije mogu se aproksimirati racionalnim prijenosnim funkcijama Predavanje 08 - Prikaz linearnih kontinuiranih sustava pomoću Laplaceove transformacije c 2016 Perić,Vukić,Baotić,Vašak&Mišković 47 / 47