1 9.1 9. σκήσεις σχολικού ιλίου σελίδς 185-186 ρωτήσεις κτνόησης 1. Έν ορθοώνιο τρίωνο ( ˆ ο 90 ) έχει 6 κι 8. Ποιο είνι το µήκος της διµέσου Μ ; + 6 + 6 100 10 κι Μ 5. ν ο λόος των κθέτων πλευρών ενός ορθοωνίου τριώνου είνι, τότε ο λόος των προολών τους στην υποτείνουσ είνι... 16 δ. 1 Κυκλώστε το ράµµ της σωστής πάντησης κι ιτιολοήστε την πάντηση σς νωρίζουµε ότι. Έν ορθοώνιο τρίωνο έχει κάθετες πλευρές ίσες µε 9cm κι 1cm.. Η πλευρά ισοπλεύρου τριώνου που έχει περίµετρο ίση µε την περίµετρο του ορθοωνίου τριώνου είνι ίση µε. 10 1. δ.1 Κυκλώστε το ράµµ της σωστής πάντησης κι δικιολοήστε την πάντηση σς Πυθόρειο : + 81+1 5 15 Περίµετρος του ορθοωνίου τριώνου : Π 15 + 9 + 1 6 Πλευρά του ισοπλεύρου τριώνου : x 6 1
. Στο πρκάτω σχήµ υπολοίστε τ x κι ψ. x ψ πειδή η ωνί ˆ είνι εερµµένη σε Ηµικύκλιο, θ είνι ορθή. + 16 + 9 5 5. 5 5 άρ 5 5 1 5 x 8 5 x 1 5 ψ 1 ψ 1 σκήσεις µπέδωσης 1. Σε ορθοώνιο τρίωνο ( Â 1 ) φέρουµε το ύψος. ν είνι κι, ν υπολοιστούν τ µήκη των τµηµάτων,, κι. + 5. + 16 + 9 5 5. 9 5. 9 5. 16 5 1 5. 1 5 5. 16 5
. ν σε ορθοώνιο τρίωνο ( Â 1 ) είνι ˆB ˆ τότε ο λόος είνι ίσος µε:. 1. 1 δ. ε... Κυκλώστε το ράµµ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση κι ιτιολοήστε την πάντησή σς. Πυθόρειο: (1), (). ˆB + ˆ 90 ο ˆ + ˆ 90 ο ˆ 90 ο ˆ 0 ο () (1). Σε ορθοώνιο τρίωνο ( Â 1 ) φέρουµε το ύψος. ν είνι 5 κι B 5, ν διτάξετε κτά ύξουσ σειρά µήκους τ τµήµτ,, κι... 1. 5. 1. 5 5. 5. 169 169 5 1 1 1. 156 5.1 (1), (), (), () < < < 60 () 1 () (1) ()
ποδεικτικές σκήσεις 1. Ν ποδειχθεί ότι το τρίωνο, που έχει πλευρές κ +λ, κλ κι κ λ, όπου κ, λ θετικοί κέριοι µε κ > λ, είνι ορθοώνιο. ( ) κ +λ κ + κ λ +λ κ λ ( ) κ λ κ κ λ +λ Πρτηρούµε ότι + άρ το τρίωνο είνι ορθοώνιο.. ν, Ζ είνι ντίστοιχ οι προολές δύο χορδών κι ενός κύκλου σε µί διάµετρό του, ν ποδείξετε ότι Ζ.. O Ζ Φέρουµε τις,.. ˆ 1 (ίνει σε ηµικύκλιο) τρ. ορθοώνιο µε ύψος. Ζ. Ζ.. (1) Οµοίως στο τρ. θ έχουµε...ζ () πό τις (1), () Ζ...
5. ν είνι µέσο της κάθετης πλευράς ενός ορθοωνίου τριώνου ( Â 1 ) κι η προολή του στη, τότε ν ποδείξετε ότι E +. Στη συνέχει διτάξτε κτά ύξουσ σειρά µήκους τ τµήµτ,,. Φέρουµε τη (ι ν έχουµε κι άλλ ορθοώνι τρίων) Τρ.: E Τρ.: Προσθέτουµε κτά µέλη, κι επειδή, έχουµε E +. (1) Τρ.: (1) E +. πό την ισότητ που ποδείξµε προκύπτει ότι <. πό το ορθοώνιο τρίωνο προκύπτει ότι <. Άρ < <.. ύο ορθοώνι τρίων κι ( Â Â 1 ) έχουν µ µ κι µ µ. Ν ποδείξετε ότι: i). Τι συµπερίνετε ι τ κι. E ' ' ' Οµοίως, πό τ τρίων, ΆΈ θ έχουµε E' ' Τρ.: + µ Τρ.Ά : + µ Άρ + + + + + (1). + (). Προσθέτουµε κτά µέλη τις (1), (): 5 + 5 + 5 + 5 + () (1) () Άρ τρ. τρ..
6 5. Σε ισοσκελές τρίωνο ( ) φέρουµε το ύψος του. Ν ποδείξετε ότι + + + +. Τρ.: Τρ.: + + Άρ + + + + ( + ) + + + + + Σύνθετ Θέµτ 1. Θεωρούµε ορθοώνιο τρίωνο ( Â 1 ) κι το ύψος του. ν, Ζ είνι οι προολές του πάνω στις, ντίστοιχ, ν ποδείξετε ότι: i) Ζ i) Ζ.. Ζ Στο τρ.: Στο τρ.: Στο τρ.:.. Ζ. Ζ. (1) Στο τρ.:. A AB. Ζ Στο τρ.:. Ζ. Πολλπλσιάζουµε κτά µέλη: AB. Ζ.... Ζ. ρκεί ν ποδείξουµε ότι, ή ότι την οµοιότητ των τριώνων,. Ζ (1), το οποίο ισχύει πό
7. ίνοντι δύο κύκλοι (Κ, R) κι (Λ, ρ) που εφάπτοντι εξωτερικά στο. ν είνι κοινό εξωτερικό εφπτόµενο τµήµ τους κι (Ο, σ) ο κύκλος που εφάπτετι στους (Κ, R), (Λ, ρ) κι στη, ν ποδείξετε ότι: i) B Rρ i) 1 1 1 R + ρ σ Μ Ο Φέρουµε τις ΚΛ, Κ, Λ κι ΛΜ Κ. Τότε ΛΜ ορθοώνιο Κ Λ ΚΜ Κ Μ R Λ R ρ Πυθόρειο στο τρ.μκλ ΜΛ ΚΛ ΚΜ ( R ) ( R ) +ρ ρ R + Rρ+ρ ( R Rρ+ρ ) R + Rρ+ρ R + Rρ ρ Rρ Rρ φρµόζουµε το i) ι τους κύκλους (Κ, R), (Ο, σ) µε κοινή εξωτερική εφπτοµένη κι ι τους κύκλους (Λ, ρ), (Ο, σ) µε κοινή εξωτερική εφπτοµένη. Τότε Rσ κι ρσ. + Rσ + ρσ Rρ Rσ + ρσ Rρ 1 1 1 ιιρούµε τ δύο µέλη µε Rρσ, τότε R + ρ σ
8. Θεωρούµε τρπέζιο µε ˆ ˆ 1. ν Μ, Ν τ µέσ των διωνίων, ντίστοιχ κι Κ το σηµείο τοµής της Μ µε τη, ν ποδείξετε ότι: i) το Κ είνι ορθοώνιο i) ΜΝ. 1 Τρ.Μ τρ.μκ διότι Μ Μ Mˆ Mˆ (κτά κορυφή) κι 1 ˆ ˆ (εντός ενλλάξ). 1 1 1 Ν Άρ Μ ΜΚ, δηλδή οι διώνιοι του Μ Κ διχοτοµούντι, άρ είνι πρ/µµο κι 1 επειδή έχει ωνί ορθή, είνι ορθοώνιο. Κ Πυθόρειο στο τρ.κ: Κ Κ (1) πό το i) έχουµε Κ. Στο τρίωνο Κ, το ΜΝ ενώνει µέσ Κ ΜΝ. (1) ( ΜΝ ) ΜΝ.. Σε κάθε ορθοώνιο τρίωνο ( ˆ 90 ο ) ν ποδείξετε ότι µ. Ισχύει πειδή, όµως, µ. Οπότε, ρκεί ν ποδείξουµε ότι, ή ρκεί ν ποδείξουµε ότι, ή. +, ρκεί ν ποδείξουµε ότι +, ή ότι + 0, ή ότι ( ) 0, που ισχύει.
9 5. Θεωρούµε κύκλο (Ο, R), διάµετρό του κι µί χορδή του που τέµνει την στο κι σχηµτίζει µε υτή ωνί 5 ο. Ν ποδείξετε ότι + R. Ο Μ Φέρουµε ΟΜ κι την κτίν Ο. Τότε, το Μ είνι µέσο της κι το τρίωνο ΟΜ ορθοώνιο κι ισοσκελές. + EM+ M + ( Μ Μ ) ( ) Μ + Μ Μ + Μ + Μ Μ Μ + Μ + ( ΟΜ + Μ Μ Μ ) (1) Πυθόρειο στο τρίωνο ΜΟ ΟΜ + Μ Ο R. (1) + R. 6. Θεωρούµε ορθοώνιο τρίωνο ( ˆ 1 ) κι το ύψος του. ν x, y κι ω είνι ντίστοιχ τ µήκη οποιωνδήποτε οµόλοων ρµµικών στοιχείων των τριώνων (π.χ. διµέσων, υψών, κτίνων εερµµένων κύκλων κτλ.),,, τότε x + y ω. Τρ. όµοιο του τρ. x ω x ω (1) Τρ. όµοιο του τρ. y ω y ω () (1) + () x ω + y ω + x + y ω + x + y ω 1 x + y ω