ANOVA Aliz vrijse ( ANOVA ) je litički model z testirje zčjosti rzlike i koristi se kd immo više od dve grupe ispitik. Predost ove metode se ogled u tome što u model ulze u obzir svi vrijbiliteti, ko i jihov međusobi uticj, što je emoguće proceiti drugi či. Prem broju fktor koji deluju rezultujuće obeležje, liz vrijse može biti: 1. jedofktorsk ( jedosmer ). dvofktorsk ( dvosmer ) i višefktorsk. U odosu smu prirodu rezultujućeg obeležj, liz vrijse može biti prmetrsk i eprmetrsk. Kod jedofktorskih ANOVA rzlikujemo: 1. prmetrsku tj. z umeričke prmetrske podtke. eprmetrsku lizu u okviru koje postoje : Kruskl-Wllis -ov model i model z tributiv obeležj tj. proporcije. Kod dvofktorskih ANOVA postoji tkođe prmetrsk liz i više eprmetrskih : Friedm-ov test, Kohr-ov test i model z tributiv obeležj. Neprmetrski model lize vrijse z tributiv obežj je po utoru model Plohiskog. Prilikom izbor model treb voditi rču o prirodi posmtrog obeležj, smim jediicm posmtrj ko i o krkteristikm smog model, d bi se jbolji či zdovoljili postvljei ciljevi i omogućilo d pomoću prikupljeih podtk dođemo do vlidih rezultt. JEDNOFAKTORSKA NUMERIČKA ANOVA primer: U ispitivju dejstv glukoze oslobđje isuli plir je eksperimet u kom je tkivo pkres eksperimetlih životij tretiro s 5 rzličitih kocetrcij glukoze i pri tom je mere količi oslobođeog isuli. Prem dobijeim rezulttim odgovoriti d li rzličite kocetrcije glukoze rzličito utiču lučeje isuli? obeležj 1. rezultujuće obeležje je količi isuli. ezviso obeležje je kocetrcij glukoze H o : rzličite kocetrcije glukoze podjedko utiču lučeje isuli H 1 : rzličite kocetrcije glukoze rzličito utiču lučeje isuli 1
rd tbel KONCENTRACIJA GLUKOZE I II III IV V 1.53 3.15 3.89 8.18 5.86 1.61 3.96 4.80 5.64 5.46 3.75 3.59 3.69 7.36 9.03.89 1.89 5.70 5.33 1.45 8.8 5.6 4 5 4 6 3 N = Σx 9.78 14.04 18.08 40.59 0.35 ΣΣx = 10.84 x.445.80 4.5 6.765 6.783 M = ΣΣx / N = 4.675 Σx 7.348 44.17 84.8 86.7 145.7 ΣΣx = 588.198 ( x) 3.91 39.4 81.7 74.6 138.04 Σ ( x) = 557.7 U svkom ivou ( grdciji ) fktor e mor biti jedk broj jediic posmrj i td kžemo d je liz vrijse ervomer. Aliz vrijse deli ukup vrijbilitet ekoliko delov pri čemu se svki od jih vezuje posebim sistemom vrirj tko d je moguće odrediti e smo koji su izvori vrirj u pitju ego i koliki je doprios svkog del u ukupom vrirju. Fktorsko vrirje meri uticj jedog ili više fktor rezulttujuće tj. zviso obeležje. C y = C x + C z C y : ukupi ( opšti ) vrijbiliet C x : orgizovo ( međugrupo ) vrirje C z : slučjo ( eorgizovo, uurgrupo, rezidulo ) vrirje C x = Σ ( x) - ( x) N C x = 557.7-480.7 = 77
C z = ΣΣx - Σ ( x) C z = 588.189-557.7 = 30.5 ( ) C y = ΣΣx - x N C y = 588.198-480.7 = 107.5 C y = C x + C z C y = 77 + 30.5 = 107.5 σ C z = z N k σ z = 305. = 1.794 17 σ x = C x k 1 σ x = 77 4 = 19.5 F : Fisher - ov vrijsi količik F = σ x σ z F = 19.5 = 10.73 1794. DF z = N - k DF z = - 5 = 17 N: ukup broj jediic posmtrj k: broj grdcij fktor DF x = k - 1 DF x = 5-1 = 4 Z tumčeje F koriste se tblice gričih vredosti F rspodele. Ove tblice sdrže izbri ivo zčjosti p i dv stepe slobode. U tblici je dt mksiml vredost do koje je zčj H o. 3
rezultti: izvor vrirj disperzij DF σ F p između grup C x = 77 DF x = 4 σ x = 19.5 F = 10.73 p < 0.01 uutr grup C z = 30.5 DF z = 17 σ z = 1.794 opšte C y = 107.5 DF y = N - 1 = 1 tblice: DF x DF z 1 3 4... 1 3... 17. tumčeje: F 4;17; 0.05 =.965 F 4;17; 0.01 = 4.669 F empirijsko > F tbličo H 1 p < 0.01 Rzlik je visoko sttistički zčj Smo u slučju kd je rzlik sttistički zčj možemo testirti međugrupe rzlike. Test jmje zčje rzlike LSD ( lest sigifict differece ) određuje zčjost rzlike između pojediih grup. Ako je jed grup kotrol td koristimo Scheffe-ov test. Ovj test bi treblo urditi z svke dve grupe. ( x i x j ) F = σ z i j i + j 4
primer z grupu I i V ( x x ) F 1,5 = 1 5 1 5 σ z 1 + 5 (.. ) F 1,5 = F 1,5 = 17.98 445 6 783 4 3 1794. 4 + 3 empirijsku vredost F 1,5 poredimo s F 1;17; 0.05 = 4.451 F 1;17; 0.01 = 8.400 F empirijsko > F tbličo H 1 p < 0.01 Rzlik je visoko sttistički zčj između I i V grupe. 5
. Četiri grupe životij učestvovlo je u eksperimetu kojim je poredjeo vreme rekcije (u sekudm) četiri rzličit stimulus. Postoji li zčj rzlik u prosečim vremeim rekcije medju jim? rd tbel VREME REAKCIJE I II III IV 16 6 8 8 14 7 10 6 14 7 9 4 13 8 10 9 13 8 11 1 9 1 7 6 5 4 N = Σx 94 45 48 7 ΣΣx = 14 x 13,43 7,5 9,6 6,75 M = ΣΣx / N = 9,73 Σx 174 343 466 197 ΣΣx = 80 ( x) 16, 337,5 460,8 18,5 Σ 9 ( x) = 444,84 C y = C x + C z C y : ukupi ( opšti ) vrijbiliet C x : orgizovo ( međugrupo ) vrirje C z : slučjo ( eorgizovo, uurgrupo, rezidulo ) vrirje C x = Σ ( x) - ( x) N C x = 4,84-08881,64 =161, C z = ΣΣx - Σ ( ) x C z = 80-4,84 =37,16 6
( ) C y = ΣΣx - x C y = 198,36 N σ z = σ z = σ x = σ x = C z N k 37,16 18 C x k 1 161, 3 =,06 = 53,73 F : Fisher - ov vrijsi količik F = σ x σ z F = 6,1 DF z = N - k DF z = - 4 = 18 N: ukup broj jediic posmtrj k: broj grdcij fktor DF x = k - 1 DF x = 4-1 = 3 rezultti: izvor vrirj disperzij DF σ F p između grup C x = 161, DF x =3 σ x = 53,73 F = 6,1 p uutr grup C z = 37,16 DF z = 18 σ z =,06 opšte C y = 198,36 DF y = N - 1 = 1 7
tumčeje: F 3;18; 0.05 = F ;318; 0.01 = F empirijsko > F tbličo H 1 p < 0.01 Rzlik je visoko sttistički zčj Test jmje zčje rzlike LSD ( lest sigifict differece ) određuje zčjost rzlike ( ) x i x j i j između pojediih grup. F = σ z i + j primer z grupu I i II x x ( ) 1 1 F 1,5 = σ 1 z + 13,43 7,5 F 1,5 = ( ),06 13 F 1,5 = 55,15 7 6 empirijsku vredost F 1,5 poredimo s F 1;18; 0.05 = F 1;18; 0.01 = F empirijsko > F tbličo H 1 p < 0.01 Rzlik je visoko sttistički zčj između I i V grupe. 8
KRUSKAL-WALLIS-ov test Neprmetrsk jedofktorsk ov z proceu zčjosti rzlike prosečih vredosti tri ili više ezvisih grup. Uslovi z primeu: 1. Prmetrski, heterogei podci. Neprmetrski podci Ogričej : br 5 podtk u svkoj grdciji fktor. Empirijsk vredost dobij se po izrzu: H = 1 R j 3 + N 1 ( N + 1 ) j ( N ) Teoretsk vredost je mx vredost Hi kvdrt test z koju još uvek vži Ho z odredjee uslove (α, DF = k-1). 1. 18 kuić podeljeo je slučj či u tri grupe i svk je imuizov rzličitom metodom. Posle odredjeog vreme mere je titr AT i dobije sledeći rezultt. Št možemo zključiti? I R I II R II III R III ¼ 16,5 1/16 1 1/3 7,5 ¼ 16,5 1/3 7,5 1/3 7,5 1/16 1 1/16 1 1/64 4 ½ 18 1/64 4 1/18 1/8 15 1/3 7,5 1/56 1 1/16 1 1/16 1 1/64 4 6 6 6 R j 90 55 6 H = 18 1 ( 18 + 1) 90 6 + 55 6 + 6 6 3 19 = 1.03 DF = k - 1 = χ ;0.05 = 5.99 χ ;0.01 = 9.1 Rzlik titr titel je visoko sttistički zčj. 9
. U lečeju teroskleroze primejee su četiri rzličite vrste terpije i dobijei su sledeći rezultti. Dobro stje uočeo je kod jedog pcijet iz I grupe i kod tri iz III grupe. Poboljšje je uočeo kod tri pcijet uz I i II grupe i kod dv iz IV grupe. Smo jed pcijet prve grupe je bio bez tegob. Smjeje tegob uočeo je kod jedog pcijet iz I i IV grupe i kod dvoje oz II grupe. Blgo pogoršje registrovo je kod jedog iz III grupe i jedog iz IV grupe, ztije pogoršje kod smo jedog iz III grupe. D li postoji zčj rzlik u efiksosti terpij? I R1 II R III R3 IV R4 Dobro 10.5 poboljšje 16,5 Dobro 10,5 poboljšje 16,5 Poboljšje 16.5 poboljšje 16,5 Dobro 10,5 poboljšje 16,5 Poboljšje 16.5 poboljšje 16,5 Dobro 10,5 smjeje 6,5 Poboljšje 16.5 smjeje 6,5 Blgo,5 Blgo,5 pogoršje pogoršje Bez tegob 4 smjeje 6,5 Zto 1 pogoršje smjeje 6.5 /Ri 6 70 5 6,5 5 35 4 4 Zto pogoršje 1 Blgo pogoršje,3 Bez tegob 4 Smjeje tegob 5-8 Dobro stje 9-1 Poboljšje 13-0 H = 0 1 ( 0 + 1 ) 70 6 + 6. 5 5 + 35 5 + 4 4 3 1 =, 55 DF = k-1 =3 χ ;0.05 =7.884 P > 0.05 10
JEDNOFAKTORSKA ANALIZA VARIJANSE ZA PROPORCIJE 1. U cilju ispitivj stj zdrvlj zub kod dece koj su priml rzličite doze fluor izbr je slučj uzork od 10 dece u svkoj grupi i izvrše im je stomtološki pregled. m broj dece bez krijes Doze fluor I II III IV m 36 60 48 30 M = 174 10 10 10 10 N = 480 P= m/ 0.3 0.5 0.4 0.5 P =M/N=0.365 H=m / 10.08 30 19. 7.5 Σ H= 67.5 H Σ = (Σm) / N = M / N = 63.075 C x = Σ H - H Σ = 67.5 63.075 = 4.45 C z = M - ΣH = 174-67.5 = 106.5 C y = C x + C z = 110.95 σ z = σ z = σ x = σ x = C z N k 106,5 476 C x k 1 4,45 3 = 0.4 = 1,475 F : Fisher - ov vrijsi količik F = σ x σ z F = 6,585 DF z = N - k DF z = 476 DF x = k 1 = 3 11
izvor vrirj disperzij DF σ F p između grup C x = 4,45 DF x =3 σ x = 1,475 F = 6,585 p uutr grup C z = 106,5 DF z = 476 σ z = 0,4 opšte C y = 110,95 DF y = N-1=479 F 3;476;0,05 = F 3;476;0,01 = Fišerov test z medjugrup poredjej F ( p p ) = σ z b + b b 1
. Četiri grupe ispitik s istom dijgozom lečeo je rzličite čie. Petogodišje preživljvje dlo je sledeće rezultte. U prvoj grupi od 0 ispitik preživelo je dvoje, u drugoj od 30 ispitik troje, u trećoj grupi od 40 osmoro i u četvrtoj grupi od 30 15-oro. D li postoji zčj rzlik u preživljvju medju ovim pcijetim? Doze fluor I II III IV m 3 8 15 M = 8 0 30 40 30 N = 10 P= m/ 0.1 0.1 0. 0.5 P =M/N=0.33 H=m / 0. 0.3 1.6 7.5 Σ H= 9.6 H Σ = (Σm) / N = M / N = 6.53 C x = Σ H - H Σ = 9.6 6.53 = 3.07 C z = M - ΣH = 8 9.6 = 18.4 C y = C x + C z = 1.47 σ C z = z N k σ z = 18.4 = 0.158 116 σ x = σ x = Cx k 1 3.07 = 1,03 3 F : Fisher - ov vrijsi količik F = σ x σ z F = 6,45 DF z = N - k DF z = 116 DF x = k 1 = 3 13
izvor vrirj disperzij DF σ F p između grup C x = 3.07 DF x =3 σ x = 1,03 F = 6,45 p uutr grup C z = 18.4 DF z = 116 σ z = 0,158 < 0.01 opšte C y = 1.47 DF y = N-1=119 F 3;116;0,05 =.680 F 3;166;0,01 = 3.949 Fišerov test z medjugrup poredjej F ( p p ) = σ z b b + b Poredjeje prve i četvrte grupe: F (.1 0.5) = o 0.158 0 0 + 30 30 F 1,4 = 1,5 F 1;116;0,05 = 3.946 F 1;166;0,01 = 6.851 Duži preživljvj se visoko zčjo rzlikuje izmedju prve i četvrte grupe. Koeficijeti jčie jvljj : η x = C x / C y = 3.07 / 1.47 = 0.143 orgizovi deo izosi 14.3 % η z = C z / C y = 18.4 / 1.47 = 0.857 eorgozovi deo izosi 87.5 % 14
FRIDMANOV TEST -ordil skl merej 1. Ispitivje stj zub kod dece mereo je skorom koji u sebi sdrži više podtk, tokom šest meseci. Dec 0 Posle mesec d Posle 3 mesec Posle 6 meseci A 3 (3,5),5 () (1) 3 (3,5) B,5 (4) 1,5 (3) 1 (1,5) 1 (1,5) C (4) 1 (,5) 0,5 (1) 1 (,5) D 0,5 (,5) 0 (1) 0,5 (,5) 1 (4) E 1,5 (3,5) 1 (1,5) 1 (1,5) 1,5 (3,5) F 1 (,5) 1,5 (4) 1 (,5) 0,5 (1) ΣR j 0 14 10 16 F = 1 ΣR 3b b j ( + 1) ( + 1) b broj ispitik - broj grdcij fktor DF = 1 = 4 1 =3 ( 0 + 14 + 10 + 16 ) 3 6 5 = 5, 1 F = 6 4 5 χ 3,0.05 = 7.815 p > 0.05 15
. Kod pet ortopedskih pcijet fizikloj terpiji u toku četiri mesec prće je rezultt obim pokret, bol i otok. Svki od ovih prmetr je osio odredje broj poe. Prvog mesec I i III pcijet su dobili oceu 3, II i IV oceu, V oceu 1,5. Drugog mesec II pcijet je imo oceu 1, IV pcijet oceu, V pcijet oceu,5, III oceu 4,5 i I oceu 5. Trećeg mesec I pcijet je imo oceu 6,5, II oceu 3,5, V oceu 3, III oceu,5 i IV oceu. Posledjeg mesec I pcijet je imo oceu 7, II oceu 4, III oceu 3,5, IV oceu i V oceu,5. Kko je ov terpij uticl ovih 5 pcijet? Pcijeti I mesec II mesec III mesec IV mesec A 3 (1) 5 () 6.5 (3) 7 (4) B () 1 (1) 3,5 (3) 4 (4) C 3 () 4,5 (4),5 (1) 3,5 (3) D (.5) (,5) (,5) (,5) E 1,5 (1),5 (,5) 3 (4),5 (,5) ΣR j 8,5 1 13,5 16 F = 1 ΣR 3b b j ( + 1) ( + 1) b broj ispitik - broj grdcij fktor F = 1 654,5 3 5 5 = 5 4 5 3.54 DF = 1 = 4 1 =3 χ 3,0.05 = 7.815 p > 0.05 16
COHRANOV Q-TEST 1. U testirju ovog lek prćeo je d li je lek u kotiuirom dvju tokom pet meseci izzvo uspojve kod 8 ispitik. I II III IV V B B 1 Ne Ne Ne D Ne 1 1 D D D D D 3 Ne Ne Ne D D 4 4 D D Ne D Ne 3 9 5 Ne d D D D 4 16 6 Ne D e Ne D 4 7 Ne Ne D D D 3 9 8 e e d d e 4 G 1 3 3 6 4 17 G 1 9 9 36 16 - broj grdcij = 5 b - broj ispitik b = 6 = Q= 6,947 ( 1) DF = - 1 = 4 P > ΣG ΣB ΣB Q Q = ( 5 1) ( ΣG) 17 71 5 47 17 5 17
. U toku 5 meseci kod 6 ispitik prćeo je broj poset lekru. Prvi ispitik se jvio lekru u II i IV mesecu, drugi ispitik smo III mesec, četvrti se jvio lekru tokom prv dv mesec prćej, peti tokom posledj tri mesec. Šesti ispitik se lekru jvio prvog i petog mesec, treći se ijedom tokomm celog period ije jvljo lekru. D li postoji rzlik u jvljju pcijet tokom ovog period? I II III IV V B B 1 Ne D Ne D Ne 4 Ne Ne D Ne Ne 1 1 3 Ne Ne Ne Ne Ne 4 D D Ne Ne Ne 4 5 Ne Ne D D D 3 9 6 d e e Ne D 4 4 G 10 G 4 4 4 4 4 - broj grdcij = 5 b - broj ispitik b = 6 DF = - 1 = 4 P > 0.05 ( 1) ΣG ΣB ΣB Q = Q = ( 5 1) 10 ( ΣG) 5 10 0 5 = 0 / 5,6 = 0 18