KOMPLEKSNA ANALIZA. 1. Funkcije kompleksne promenljive

KOMPLEKSNA ANALIZA. Funkcije kompleksne promenljive Neka je R skup realnih brojeva, a C skup kompleksnih brojeva. Definicija. Ako je E R, preslikavanje f : E C se naziva kompleksna funkcija realne promenljive. Ako je E C, preslikavanje f : E C se naziva kompleksna funkcija kompleksne promenljive. Za kompleksnu funkciju f realne promenljive t [a, b] datu sa ft) = xt) + iyt) često se kaže da je zadata u parametarskom obliku. Na primer, ft) = r cos t + ir sin t, t [, 2π), definiše kružnicu poluprečnika r u kompleksnoj ravni. Definicija 2. Pod okolinom tačke z u kompleksnoj ravni podrazumeva se skup svih tačaka z u ovoj ravni za koje je z z < ε, gde je ε data pozitivna konstanta koja se zove poluprečnik okoline. Definicija 3. Kriva odred ena sa x = xt) i y = yt), tj. z = zt) = xt) + iyt), gde su x i y realne neprekidne funkcije realne promenljive t na segmentu [a, b], zove se neprekidna kriva. Definicija 4. Neprekidna kriva z = zt), t [a, b], zove se Jordanova kriva ili prosta kriva ako različitim vrednostima t, t 2 [a, b] parametra t odgovaraju različite tačke zt ), zt 2 ). Jordanova kriva ne može se svesti na tačku i ona nema višestrukih tačaka. Definicija 5. Neprekidna kriva z = zt), t [a, b], koje se od Jordanove krive razlikuje po tome što je za) = zb), naziva se zatvorena Jordanova kriva. Definicija 6. Jordanova ili zatvorena Jordanova kriva x = xt), y = yt), t [a, b], naziva se glatkom ako su izvodi ẋ i ẏ neprekidne funkcije na segmentu [a, b] i ako je na tom segmentu ẋt) 2 + ẏt) 2 >. Za svaku zatvorenu Jordanovu krivu važi sledeća teorema: Teorema.. Zatvorena Jordanova kriva deli ravan na dve otvorene oblasti i ona je njihova zajednička granica. Jedna od ovih oblasti je ograničena i zove se unutrašnja u oznaci int ), a druga je neograničena i naziva se spoljašnja u odnosu na datu krivu u oznaci ext ), tj. važi z-ravan = int ext. Dokaz ove teoreme je veoma komplikovan. Jordanov dokaz 887) nije bio besprekoran, čak ni u slučaju poligona. Korektan dokaz dao je tek 95. američki matematičar Veblen. Definicija 7. Oblast G je jednostruka prosto) povezana u konačnoj z-ravni ako za svaku zatvorenu Jordanovu krivu G važi int G. Ostale oblasti su višestruko povezane. C. Jordan 838-922), francuski matematičar, čita se Žordan.

2 kompleksna analiza Na slici. prikazane su, redom, jednostruko, dvostruko i trostruko povezane oblasti. Slika. Višestruko povezana oblast može se na različite načine, pomoću zaseka pretvoriti u jednostruku oblast. Na slici.2 je prikazano kako se iz jedne četvorostruko povezane oblasti dobija jednostruko povezana oblast pri obilaženju zaseci se ne mogu presecati). Slika.2 2. Granična vrednost i neprekidnost Definicija. Kaže se da je A granična vrednost funcije z fz) kada z a ako važi ε > ) δε) > ) z) z a < δε) fz) A < ε. Granična vrednost se standardno označava sa lim fz) = A. z a Za realne funkcije imali smo levu i desnu graničnu vrednost. U nekoj tački a u kompleksnoj ravni promenljiva z se može približavati po bezbroj mnogo pravaca, što znači da se može uvesti granična vrednost u pravcu: Definicija 2. Granična vrednost kompleksne funkcije z fz), kada z a duž poluprave L sa početkom u tački a koja gradi ugao α sa realnom osom limes u pravcu), definiše se sa lim z a z L fz) = lim ρ + fa + ρeiα ) ρ > ). Teorema 2.. Za postojanje lim z a fz) potrebno je, ali ne i dovoljno, da su svi limesi u pravcu med usobno jednaki. Ako postoji granična vrednost funkcije, ona je jedinstvena.

izvod funkcije kompleksne promenljive 3 Granične vrednosti funkcije više promenljivih imaju iste osobine kao i funkcije realne promenljive. Neka je lim fz) = A i lim gz) = B. Tada važe jednakosti: z a z a ) ) lim fz) ± gz) = A ± B, lim fz)gz) = AB, z a z a lim z a fz) gz) = A B, B. Neprekidnost funkcija kompleksne promenljive u tački i u oblasti definišu se na isti način kao kod funkcija realne promenljive. Na primer, funkcija z fz) je neprekidna u tački a ako i samo ako je lim fz) = fa). z a Ako je fz) = ux, y) + ivx, y) neprekidna, tada su neprekidne i funkcije u i v. Naravno, važi i obrnuto. Osnovne operacija primenjene na neprekidne funkcije dovode opet do neprekidnih funkcija: Teorema 2.2. Ako su funkcije f i g kompleksne promenljive z neprekidne u tački z, tada su funkcije f + g, f g, fg neprekidne u tački z. Ako je gz ), tada je f/g neprekidna funkcija u tački z. 3. Izvod funkcije kompleksne promenljive Definicija. Neka su: z fz) kompleksna funkcija definisana u oblasti G i L G poluprava sa početnom tačkom a koja zaklapa ugao α sa pozitivnim smerom x-ose. Ako količnik fz) fa) z a teži konačnoj i odred enoj granici kada z a duž L, kaže se da funkcija f ima izvod u tački a u pravcu α i ova granična vrednost označava se sa f αa) ili sa fa) ) α. Ako se uvedu polarne koordinate slika 3.), tada je z a = ρcos α + i sin a) = ρ cis α. Sada se izvod u pravcu α može definisati sa f αa) fa + ρ cis α) fa) = lim ρ + ρ cis α pod uslovom da ova granična vrednost postoji. Slika 3. Definicija 2. Ako za kompleksnu funkciju f definisanu u oblasti G postoji konačna granična vrednost lim z a a,z G fz) fa), z a kaže se da funkcija f ima izvod u tački a ili da je diferencijabilna u tački a. Ovaj izvod označava se sa f a).

4 kompleksna analiza Primer 3.. Za funkciju z fz) = z imamo fz) fa) z a = z ā ρcos α i sin α) = z a ρcos α + i sin α). Ako ρ +, ovaj količnik priraštaja ima graničnu vrednost cos α i sin α) 2 cis 2α). Dakle, z) α = cis 2α), tj. ovaj izvod u pravcu α zavisi od α u svakoj tački z-ravni i prema tome, funkcija z z nema izvod ni u jednoj tački z-ravni. Primer 3.2. Za funkciju z fz) = z Re z je fz) fa) z a = z Re z a Re a z a Re a + a cos α cis α) ρ +). Ova granična vrednost ne zavisi od α samo ako je a =, ali iz ovog još ne sleduje da funkcija ima izvod kada z. Kako je z Re z lim = lim Re z =, z z z zaključujemo da funkcija f zaista ima izvod u tački z =. Dakle, funkcija z z Re z ima izvod samo u tački z =. Izvod kompleksne funkcije f u proizvoljnoj tački možemo predstaviti pomoću granične vrednosti f z) = lim z fz + z) fz), z ukoliko ova postoji, dakle, na potpuno isti način kao kod izvoda realne funkcije x fx), s tim što je ovde z = x + i y. 4. Cauchy 2 -Riemannovi 3 uslovi Iz zahteva diferencijabilnosti funkcije fz) u tački z proističu veoma važni uslovi za realni i imaginarni deo te funkcije u okolini tačke x, y). Ti uslovi su poznati kao Cauchy-Riemannovi uslovi kraće C-R uslovi), koji će biti formulisani u sledeće dve teoreme. Teorema 4. Potrebni uslovi diferencijabilnosti). Da bi funkcija z fz) = ux, y) + ivx, y) bila diferencijabilna u tački z = x + iy = x, y), potrebno je da u ovoj tački postoje parcijalni izvodi u x, u y, v x, v y, 2 A. L. Cauchy 789-857), francuski matematičar, čita se Koši. 3 B. Riemann 826-866), nemački matematičar, čita se Riman.

i da su ispunjeni Cauchy-Riemannovi uslovi cauchy-riemannovi uslovi 5 u x = v y, u y = v x. 4.) Dokaz. Pretpostavimo da je f diferencijabilna funkcija u tački z G. Tada granična vrednost f fz + z) fz) z) = lim z z postoji, bez obzira na koji način tačka z + z G) teži ka z kada z. Prema definiciji izvoda imamo f z) = lim x y ux + x, y + y) + ivx + x, y + y) ux, y) ivx, y). 4.2) x + i y Kako f z) postoji, to granična vrednost na desnoj strani 4.2) postoji što obezbed uje postojanje parcijalnih izvoda funkcija u i v. Istovremeno, njen izvod ne zavisi od pravca. Da bismo došli do granične vrednosti, pustićemo da z + z teži tački z tako da izračunavanje bude što prostije. Na slici 4. su prikazana dva pravca približavanja tački z: duž poluprave sa početnom tačkom z koja zaklapa ugao α = sa pozitivnim smerom x-ose, i 2 duž poluprave sa početnom tačkom z koja zaklapa ugao α = π/2 sa pozitivnim smerom x-ose. Slika 4. tj. Po pravcu je z = x tj. y =, x ), te iz 4.2) imamo ) fz) = lim ux + x, y) ux, y) + i lim α= x x x vx + x, y) vx, y), x fz) ) α= = u x + i v x. 4.3) Po pravcu 2 je z = i y, tj. x =, y ), tako da iz 4.2) sleduje odakle je ) fz) = lim ux, y + y) ux, y) + i lim α=π/2 y i y y vx, y + y) vx, y), i y fz) ) α=π/2 = i u y + v y. 4.4) Izjednačavanjem 4.3) i 4.4) jer na osnovu pretpostavke postoji izvod u tački z) dobijamo u x + i v x = v y i u y. Odavde sleduju relacije 4.).

6 kompleksna analiza Uslovi dati u teoremi 4. su samo potrebni, ali ne i dovoljni. U sledećoj teoremi se pokazuje da su Cauchy-Riemannovi islovi dovoljni uz dopunski uslov da su funkcije x, y) ux, y) i x, y) vx, y), diferencijabilne u tački x, y). Drugim rečima, dokazaćemo sledeće: Teorema 4.2 Dovoljni uslovi diferencijabilnosti). Ako su funkcije ux, y) i vx, y) diferencijabilne u tački x, y) i zadovoljavaju Cauchy-Riemannove uslove 4.), tada je funkcija fz) = ux, y) + ivx, y) diferencijabilna u tački z = x + iy. Vodeći računa o C-R uslovima, izvod f može se predstaviti u sledeća četiri ekvivalentna načina: f z) = u x + i v x = v y i u y = u x i u y = v y + v x. C-R uslovi 4.) se koriste pri ispitivanju različitih svojstava diferencijabilnih kompleksnih funkcija. 5. Analitičke funkcije Definicija. Kaže se da je kompleksna funkcija z fz) analitička u tački a ako je ona diferencijabilna u nekoj okolini tačke a. Definicija 2. Kompleksna funkcija z fz) je analitička u jednoj oblasti ako je analitička u svakoj tački ove oblasti. Primer 5.. Na osnovu Primera 3.2 sledi da je funkcija z z Re z diferencijabilna u tački z =, ali nije u toj tački analitička. Definicija 3. Funkcija koja je analitička u svim tačkama konačne ravni dakle, svuda izuzev u ) naziva se cela funkcija. Cele funkcije su, na primer, funkcije e z z, sin z, cos z. Funkcija fz) = nije analitička z )z + 3) 2 samo u tačkama z = i z = 3, koje nazivamo polovima funkcije. Za takvu funkciju kažemo da je meromorfna videti odeljak 2). Za analitičke funkcije važe sva pravila diferenciranja kao za funkcije realne promenljive, što znači da važi ista tablica izvoda, kao i prateće teoreme. Definicija 4. Realna funkcija x, y) Ux, y) zove se harmonijska u oblasti G ako su za svako x, y) G parcijalni izvodi 2 U x 2 i 2 U y 2 neprekidni i ako je 2 U x 2 + 2 U =. 5.) y2 Jednačina 5.) zove se Laplaceova parcijalna jednačina sa dve promenljive. Rešenja jednačine 5.) zovu se potencijalne funkcije ili logaritamski potencijali. Jedno partikularno rešenje jednačine 5.) je Ux, y) = log x a)2 + y b) 2, gde su a i b proizvoljne realne konstante.

elementarne funkcije 7 Teorema 5.. Ako je funkcija z fz) = ux, y) + ivx, y) analitička u oblasti G, funkcije u i v su harmonijske u istoj oblasti. Dokaz. Koristićemo bez dokaza) činjenicu da su izvodi analitičke funkcije u tački, takod e analitičke funkcije u istoj tački. Neka je funkcija z fz) = ux, y) + ivx, y) analitička u tački z. Njen izvod f z) = u x + i v x, tj. f z) = v y i u y je takod e analitička funkcija u istoj tački, kao što je navedeno. Drugi izvod f je takod e analitička funkcija u tački z, te je f z) = 2 u x 2 + i 2 v x 2, 5.2) f z) = 2 u y 2 i 2 v y 2. 5.3) Kako su izvodi f, f,... neprekidne funkcije, isti će biti slučaj i sa parcijalnim izvodima ma kog reda funkcije u i v. Iz 5.2) i 5.3) izlazi 2 u x 2 + 2 u y 2 = i 2 v x 2 + 2 v y 2 =, tj. u i v su rešenja iste Laplaceove parcijalne jednačine 5.). Ovim je završen dokaz teoreme 5.. 6. Elementarne funkcije U ovom odeljku razmatramo neke elementarne kompleksne funkcije. Potencijalna funkcija fz) = z n n prirodan broj) analitička je u celoj ravni. Njen izvod jednak je z n ) = nz n. Linearna kombinacija stepena, z, z 2,..., z n je kompleksni polinom P z) = a z n + a z n + + a n z + a n i on je takod e analitička funkcija za svako z. Ako su P i Q polinomi po z, funkcija f odred ena sa fz) = P z)/qz), naziva se racionalna funkcija. Ona je analitička za svako z osim za vrednosti za koje je Qz) =, tj. za polove racionalne funkcije f. 2 Koren. Za z = ρe iθ, jednačina w n = z n N) ima po w tačno n različitih korena odred enih formulom w k = ρ /n cos θ + 2kπ + i sin θ + 2kπ ) k =,,..., n ). n n Ako z opisuje jednu konturu γ, svaki od korena w k menja se neprekidno. Zbog jednostavnosti, posmatrajmo slučaj kada je kontura γ kružnica. Razlikovaćemo tri slučaja koja su prikazana na slici 6. u specijalnom slučaju za n = 3 : a) ext γ Kada tačka z opiše kružnicu γ, svaki od korena w, w,..., w n opiše takod e zatvorenu konturu:,,..., n. Ove konture imaju isti oblik, ne seku se i njihove ose koje prolaze kroz koordinatni

8 kompleksna analiza početak pomerene su med usobno za ugao 2π/n videti sliku 6.a za n = 3). w, w,..., w n nazivaju se grane,,multiformne funkcije z z /n. b) int γ Neprekidne funkcije Kada z opiše u pozitivnom smislu kružnicu γ, argument θ ima vrednost θ + 2π. Kada tačka z opiše k puta uočenu konturu, argument θ uzima vrednost θ + 2kπ. Krajnja vrednost korena w k jednaka je početnoj vrednosti korena w k+, što znači da konture koje opišu tačke w, w,..., w n obrazuju jednu jedinstvenu zatvorenu konturu slika 6.b, n = 3). Tačka z = u kojoj kao da se sjedinjuju sve grane multiformne funkcije z z /n zove se tačka granjanja ili algebarski kritički singularitet. c) γ Ovo je granični slučaj prethodno opisanog slučaja. Sve grane se sjedinjuju u koordinatnom početku obrazujući,,listove istog oblika i pomerene med usobno za ugao 2π/n slika 6.c, n = 3). Slika 6. Grane korenske funkcije z z /3 3 Eksponencijalna funkcija z e z definiše se graničnom vrednošću Za niz z n = e z = lim n + + z n) n n N, z = x + iy) dokazuje se lim z n = n + lim n + z ) n. + n ) + x ) n/2 2 y 2 + n n 2 = exp{ lim n + n 2 log )} + x ) 2 y 2 + n n 2 = e x i Na osnovu ovog je lim arg z n = n + lim n arctan n + y/n + x/n = y. e z = e x+iy = e x e iy = e x cos y + i sin y). 6.)

Koristeći 6.) može se dokazati sledeća teorema: Teorema 6.. Funkcija z e z ima sledeće osobine: Funkcija z e z ima izvod e z ) = e z i analitička je za svako z; 2 Važi adiciona formula e z e z 2 = e z +z 2 ; 3 Funkcija z e z se ne anulira ni za jedno z C; elementarne funkcije 9 4 Za z = x x realno) navedena definicija poklapa se sa eksponencijalnom funcijom x e x u realnom području; 5 Funkcija z e z je prosto periodična sa osnovnim periodom 2πi. Osobine iz teoreme 6. lako se dokazuju korišćenjem relacije 6.). 4 Trigonometrijske i hiperboličke funkcije definišu se pomoću: cos z = eiz + e iz 2 cosh z = ez + e z 2, sin z = eiz e iz 2i, sinh z = ez e z 2, tan z = sin z cos z,, tanh z = sinh z cosh z. Na osnovu ovih definicija i osobina eksponencijalne funkcije zaključujemo da su trigonometrijske funkcije sin z i cos z periodične sa osnovnim periodom 2π, dok je funkcija tan z periodična sa osnovnim periodom π. Hiperboličke funkcije cosh z, sinh z i tanh z su takod e periodične sa osnovnim periodima redom 2πi, 2πi i πi. Primenom osobine 2 date u teoremi 6. jednostavno se izvode sledeće formule: sinz ± z 2 ) = sin z cos z 2 ± cos z sin z, cosz ± z 2 ) = cos z cos z 2 sin z sin z, sinh z ± z 2 ) = sinh z cosh z 2 ± cosh z sinh z, cosh z ± z 2 ) = cosh z cosh z 2 ± sinh z sinh z. Vidimo da za trigonometrijske i hiperboličke funkcije u kompleksnom domenu važe iste adicione formule kao i one u realnoj analizi. Iz definicionih formula lako se dobijaju i sledeće jednakosti: cos 2 z + sin 2 z =, cosh 2 z sinh 2 z =, sin iz = isinh z, cos iz = cosh z, sinh iz = i sin z, cosh iz = cos z. Izvodi trigonometrijskih i hiperboličkih funkcija dati su istim formulama kao u realnom domenu: sin z) = cos z, cos z) = sin z, tan z) = cos 2 z, sinh z) = cosh z, cosh z) = sinh z, tanh z) = cosh 2 z, 5 Logaritamska funkcija z Log z dobija se kao rešenje jednačine e w = z z ). Neka je w = u + iv i z = ρe iθ. Iz definicione jednakosti nalazimo e u e iv = ρe iθ, odakle je e u = ρ, tj. u = log ρ i v = θ + 2kπ k Z). Prema tome, traženo rešenje ima oblik w = u + iv = log ρ + iθ + 2kπ) k Z),

kompleksna analiza tj. Ako je θ =, tj. z = x > je realan broj, iz 6.3) sledi Log z = log ρ + iθ + 2kπ) k Z). 6.3) Log x = log x + 2kπi x > ) i za k = dobijamo logaritam za osnovu e za realne pozitivne brojeve. Ako je z realan i negativan broj, tada je θ = π, te je Log x) = log x + i2k + )π x > ). S obzirom da je 2k +, sledi da je logaritam negativnog broja kompleksan broj. Ako tačka z opiše zatvorenu konturu koja ne sadrži koordinatni početak, tada svaka vrednost w k = log ρ + iθ + 2kπ) k Z) logaritma Log z opiše takod e zatvorenu konturu. Kao i u slučaju korenske funkcije, ovde imamo slučaj miltiformne funkcije, ali sa beskonačno mnogo grana. Funkcije w k = log ρ + iθ + 2kπ) nazivaju se grane,,multiformne funkcije z Log z. Ako je θ glavna vrednost argumenta, tj. θ = arg z π < arg z π), tada je w = log z + iarg z + 2kπ) z Z). Glavni logaritam je funkcija z log z + i arg z i obeležava se z log z. Ovaj logaritam se dobija stavljajući k =. Na osnovu izloženog imamo Log z = log z + 2kπi k Z). Tačka z = naziva se transcendentni logaritamski kritički singularitet, a takod e i tačka granjanja. Izvod logaritamske fukcije dat je sa Log z) = z. Svaka grana funkcije z Log z u slučaju domena koji ne sadrži tačku z = je analitička funkcija u ovom domenu. 6 Opšta potencijalna funkcija z z λ λ kompleksan broj) definiše se pomoću jednakosti z λ = e λlog z. Ako je λ = α + iβ α i β realni brojevi) i z = ρe iθ, tada je ) z λ = e α+iβ) log ρ+iθ+2kπ) = e α log ρ βθ+2kπ) e i[αθ+2kπ)+β log ρ] k Z). Glavna vrednost multiformne funkcije z z λ koja se dobija za k = zove se glavna vrednost potencijalne funkcije. Tačka z = je transcendentni kritički singularitet funkcije z z λ ako λ nije racionalan broj. Primer 6.. Izračunati u kompleksnom području: a) i i ; b) 2 +i ; c) 2 ; d) 2 2. a) i i = e ilog i πi i = e 2 +2kπi) = e π 2 2kπ k Z). Dakle, sve vrednosti izraza i i su realne. Glavna vrednost od i i je e π/2. b) 2 +i = e +i)log 2 = e +i)log 2+2kπi) = e log 2 2kπ e ilog 2+2kπ) = e log 2 2kπ coslog 2) + i sinlog 2) ).

konformno preslikavanje c) 2 = e 2Log = e i2kπ 2 = cos2kπ 2) + i sin2kπ 2) beskonačno mnogo vrednosti). Za k = dobijamo glavnu vrednost. d) 2 2 = e 2Log 2 = e 2log 2+2kπi) = 4cos 2kπi + i sin 2kπi) = 4 samo jedna vrednost). 7 Opšta eksponencijalna funkcija z a z, gde je a kompleksan broj, definiše se na sličan način kao i opšta potencijalna funkcija, tj. ) a z = e zlog a = e z log a +iarg a+2kπ). Ova multiformna funkcija, takod e, ima beskonačan broj grana. 8 Inverzne trigonometrijske funkcije definišu se na isti načina kao u slučaju funkcija realne promenljive. Izvedimo, na primer, inverznu sinusnu funkciju. Rešenje po w jednačine z = sin w, tj. z = eiw e iw zovemo arkus sinus i obeležavamo sa Arcsin z. Ako u drugu jednakost uvedemo smenu e iw = t, dobijamo kvadratnu jednačinu t 2 2izt =, iz koje nalazimo e iw = iz ± z 2, odakle je Arcsin z = ilog iz ± ) z 2. Na ovaj način funkciju z Arcsin z sveli smo na logaritamsku funkciju. To znači da ova inverzna funkcija ima beskonačno mnogo grana. Istim postupkom dobijamo inverzne trigonometrijske funkcije: Arccos z = ilog z ± ) z 2, Arctan z = i + iz Log 2 iz. U označavanju ovih inverznih kompleksnih funkcija koristi se kao prvo slovo veliko A, slično kao i kod funkcije Log, da bismo naglasili da ove funkcije imaju beskonačan broj grana. Inverzne hiperboličke funkcije se definišu na potpuno isti način kao inverzne trigonometrijske funkcije. Primer 6.2. Rešimo jednačinu sin z = 2. Jasno je da ova jednačina nema smisla u realnom domenu, te postavljena jednačina nema realnih korena. Primenjujući formulu za Arcsin z direktno dobijamo z = Arcsin 2 = ilog 5i ± 5 )= 2 ilog 5i ± 2i ) 6 = ilog 5 ± 2 6)e iπ/2+2kπ)) = π log5 2 + 2kπ i ± 2 ) 6). 2i 7. Konformno preslikavanje Geometrijska predstava analitičke funkcije u smislu predstave krive y = fx) u realnom području ne postoji. Med utim, ako se funkcija x + iy = z w = fz) = ux, y) + ivx, y)

2 kompleksna analiza definiše kao preslikavanje tačaka iz oblasti D z, koja pripada z-ravni, u oblast D w, koja pripada w-ravni, tada se geometrijska predstava može dati pomoću preslikavanja. Neka se tačka a iz z-ravni transformacijom w = fz) preslikava u tačku fa). Pored toga, neka se luk l, kome pripada tačka a, preslika na luk L. Pretpostavimo da analitička funkcija f ima u tački a konačan izvod i da je f a). Izvod funkcije f u tački a definisan je sa fz) fa) lim = f a). 7.) z a z a Da bismo dali geometrijsko tumačenje ovog izvoda, posmatraćemo njegov modul i argument. Iz 7.) je lim z a fz) fa) z a = lim z a fz) fa) z a = f a). Odavde je f a) fz) fa) z a. 7.2) Slika 7. Na osnovu ovakve predstave, zaključujemo da je modul izvoda jednak količniku ili odnosu) dužina tetiva fz) fa) i z a i to u graničnom slučaju kada z a. Zbog toga se f a) može nazvati koeficijentom deformacije. Takod e se koriste i nazivi koeficijent izduženja ili koeficijent skraćenja, zavisno od toga da li je f a) veće ili manje od jedinice. Posmatrajmo sada argument izvoda u graničnom slučaju. Imamo arg lim z a ) fz) fa) = lim arg z a z a ) fz) fa) = arg f a) z a = lim z a arg fz) fa) ) lim z a arg z a) = γ β. Ovoi je geometrijska predstava argumenta prvog izvoda. Posmatrajmo u ravni z dva glatka luka l i l 2 koji se seku u tački a i dva preslikana luka L i L 2 u w-ravni koji se seku u tački fa). Primenom jednakosti 7.3) dobijamo 7.3) γ β = arg f a), γ 2 β 2 = arg f a), odakle je γ 2 γ = β 2 β.

konformno preslikavanje 3 Ovim smo dokazali sledeću teoremu: Slika 7.2 Teorema 7.. Preslikavanje pomoću analitičke funkcije z fz) ima osobinu da zadržava uglove po veličini i smeru u svakoj tački u kojoj je f z). Na osnovu prethodnog možemo zaključiti da svako preslikavanje koje se vrši pomoću jedne analitičke funkcije f ima osobine: zadržavanje nepromenljivost) uglova; 2 nezavisnost od pravca) koeficijenta deformacije za fiksnu tačku. Pretpostavlja se da je f a) u fiksnoj tački a. Definicija. Preslikavanje koje ima dve navedene osobine zove se konformno preslikavanje. Osnovni problem konformnog preslikavanja Kod konformnog preslikavanja se daje neka oblast D z u z-ravni, zatim analitička funkcija z fz), i traži se oblast D w u w-ravni na koju se preslikava D z pomoću funkcije f. Postoji i inverzni problem: Data je oblast D w i funkcija f, inverzna funkciji f. Ovaj problem je analogan konformnom preslikavanju u gornjem slučaju. Osnovni problem konformnog preslikavanja, koji je vrlo čest u primenama, glasi: Ako su date dve oblasti D z i D w, odrediti analitičku funkciju kojom se jedna od tih oblasti preslikava na drugu. Ovaj problem je nerešiv u opštem slučaju. Bilinearna transformacija Definicija. Bilinearna ili Möbiusova 4 ) transformacija je z wz) = az + b cz + d ad bc ), 7.4) gde su a, b, c, d kompleksni brojevi. Izraz 7.4) se može prikazati u obliku czw az + dw b =, odakle se vidi da je ovo linearna funkcija posebno po z i posebno po w i to je razlog za ime bilinearna transformacija. Kada je ad bc = i cd, tada je w = const. 4 A. F. Möbius 79-863), nemački matematičar, čita se Mebijus.

4 kompleksna analiza Ako je c =, tada je w = a d z + b d linearna transformacija). Iz 7.4) sleduje z = dw + b cw a, 7.5) Ovo je takod e bilinearna transformacija koja ne degeneriše u konstantu jer je a) d) bc = ad bc. Na osnovu 7.4) i 7.5), za c imamo rezultat: Pomoću transformacije 7.4) sve tačke konačne z-ravni preslikavaju se na tačke konačne w-ravni; tačka z = d preslikava se u tačku w = ; c 2 Pomoću transformacije 7.5) sve tačke konačne w-ravni preslikavaju se na tačke konačne z-ravni; tačka w = a preslikava se u tačku z =. c Na osnovu izloženog zaključujemo da je bilinearnom transformacijom 7.4) izmed u proširene z-ravni i proširene w-ravni uspostavljena biunivoka korespondencija. Može se dokazati sledeće tvrd enje: Teorema 7.2. Bilinearnom transformacijom 7.4) krugovi i prave z-ravni preslikavaju se u krugove i prave w-ravni. Pri tome, krug se može preslikati u pravu i obrnuto. Bez dokaza navodimo da se krug z z = r iz z-ravni preslikava pomoću 7.4) u pravu ako ovaj krug prolazi kroz tačku d/c, tj. kroz pol bilinearne transformacije 7.4) videti sledeći primer). Primer 7.. Pomoću bilinearne transformacije w = z + krug z 2 = preslikava se u pravu jer ovaj z krug prolazi kroz tačku z = koja predstavlja pol bilinearne transformacije. Tačka z = 3 koja pripada krugu preslikava se u tačku w3) = 3 + )/3 ) = 2. Tangenta na krug u tački z = 3 gradi prav ugao sa realnom osom, tako da na osnovu osobine o nepromenljivosti uglova pri konformnom preslikavanju prava u w-ravni je upravna na realnu osu i prolazi kroz tačku w = 2. Prema tome, dati krug se preslikava na pravu Re z = 2, što je prikazano na slici 7.3. Primer 7.2. kvadrant). Slika 7.3 Transformacijom z wz) = i z i + z Iz date transformacije rešavanjem po z nalazimo odakle je Re z = 2 z + z) = 2 preslikati oblast {z Re z Im z } prvi z = i w w +, 7.6) i w w + + i w ) = w + 2Im w w w + w + w +.

konformno preslikavanje 5 Im w Odavde je Re z Im w jer za w važi w w + w + w + = w w + w + w + w + ) w + ) = w + 2 >. Dalje, iz 7.6) imamo Im z = 2i z z) = i w 2i w + i w ) w w = w + w w + w + w +. Prema tome, Im z w w ) w. Dakle, transformacija w = i z)/i + z) preslikava datu oblast na poludisk {w w Im w }, videti sliku 7.4. Slika 7.4 Neki važni slučajevi konformnog preslikavanja Preslikavanje z wz) = z 2 Neka je z = ρe iθ. Kako je z z 2 = ρe iθ ) 2 = ρ 2 e i2θ, zaključujemo da se jedna tačka z-ravni preslikava u tačku w-ravni čiji je modul jednak kvadratu modula originala i argument je dva puta veći. Na primer, isečak kruga z = ρ čiji je centralni ugao α preslikava se u kružni isečak poluprečnika ρ 2 sa centralnim uglom 2α α π), kao što je prikazano na slici 7.5a. Slika 7.5 Preslikavanje funkcijom w = z 2

6 kompleksna analiza Mreža koordinatnih linija x = p i y = q p, q realni brojevi) preslikava se u dve familije ortogonalnih parabola slika 7.5b.). Kako je w = u + iv = z 2 = z + iy) 2 = x 2 y 2 + i2xy, imamo u = x 2 y 2, v = 2xy. Eliminacijom x iz sistema u = x 2 q 2, v = 2xq i y iz sistema u = p 2 y 2, v = 2py, dobijamo jednačine familija ortogonalnih parabola u = p 2 v2 4p 2, u = v2 4q 2 q2. Žiže ovih parabola su u koordinatnom početku. Takod e, primećujemo da se prave y = q i y = q preslikavaju u istu parabolu, što proističe iz jednakosti z) 2 = z 2. Primer 7.3. Preslikati disk z a = a sa z z 2. Ako jednačinu kružnice posmatranog diska napišemo u obliku z = a + e iθ ) θ < 2π), dobijamo w = u + iv = a 2 + e iθ) 2 = a 2 e 2iθ + 2e iθ + ), odakle je u = 2a 2 cos θ + cos θ), v = 2a 2 sin θ + cos θ). Kako je u 2 + v 2 ) /2 = 2a 2 + cos θ) i v/u = tan θ, uvodeći polarne koordinate u = ρ cos φ, v = ρ sin φ, dolazimo do jednačine ρ = 2a 2 + cos φ) u polarnim koodinatama. Ovo je jednačina krive kardioide) na koju se preslikava krug z a = a iz z-ravni. Unutrašnost diska D preslikava se u unutrašnjost kardioide D, kao što je prikazano na slici 7.6. Slika 7.6 Preslikavanje diska funkcijom w = z 2

konformno preslikavanje 7 3 Preslikavanje z wz) = e z Kako je nalazimo da je w = w e iarg w = e z = e x+iy = e x e iy, w = ρ = e x i arg w = y. Zbog toga se traka {z < x < +, < y < π} preslikava u poluravan v = Im w >, jer se arg w = y menja od do π, dok se w = e x menja od do + slika 7.7a). Pri preslikavanju jedne polovine ove pruge za koju je x <, imamo da se arg w = y opet menja od do π, a w = e x od do. Na taj način dobija se oblast {w w <, Im w > }, tj. jedinični polukrug u gornjoj poluravni slika 7.7b). Pravougaonik JKLM sa slike 7.7c preslikava se u oblast koja se nalazi izmed u dva koncentrična polukruga. S obzirom da je tačka J u oblasti x <, poluprečnik manjeg polukruga manji je od, dok je poluprečnik većeg polukruga veći od jer je tačka K u poluravni x >. Slika 7.7 Preslikavanje z e z

8 kompleksna analiza 8. Kompleksna integracija Definicija. Ako su u i v R-integrabilne funkcije realne promenljive t na segmentu [a, b] integrabilnost u Riemannovom smislu), integral funkcije t ft) = ut)+ivt) u granicama od α do β α, β [a, b]) je β β β ft)dt = ut)dt + i vt)dt. 8.) Za funkciju f kažemo da je R-integrabilna. Navodimo neke osobine R-integrabilne funkcije: β ft)dt = α α β ft)dt. α γft)dt = γ ft)dt γ je kompleksna konstanta). 2 β α β α β n ) n β 3 f k t) dt = f k t)dt. α k= b 4 ft)dt a b a k= ft) dt α a < b). α 5 Ako je t ft) = ut) + ivt) R-integrabilna funkcija na segmentu [a, b], isti je slučaj sa funkcijom t ft) = ut) 2 + vt) 2. Definicija 2. Neka je f kompleksna funkcija kompleksne promenljive z i glatka kriva čija je jednačina z = zt) = xt) + iyt) a t b). Neka je funkcija f definisana i neprekidna na. Tada je α b fz)dz = f zt) ) z t)dt 8.2) a i b fz) dz = f zt) ) z t) dt. 8.3) a Integral 8.2) može se razložiti na realni i imaginarni deo na sledeći način: fz)dz = ) ux, y) + ivx, y) dz = ux, y)dx vx, y)dy + i Neke osobine integrala su: fz)dz = fz)dz. 2 γfz)dz = γ fz)dz γ je kompleksna konstanta). vx, y)dx + ux, y)dy. 8.4)

3 4 5 n k= fz)dz = ) f k z) dz = r k= fz)dz n k= kompleksna integracija 9 f k z)dz. k fz)dz = fz) dz r k ). k= Darbouxova 5 nejednakost). Dokažimo Darbouxovu nejednakost 5. Primenom osobine 4 za kompleksan integral realne promenljiive, iz 8.2) se dobija fz)dz = b f zt) ) b z t)dt f zt) ) b z t) dt = f zt) ) z t) dt = fz) dz. a Ako je max fz) = M M pozitivna konstanta), tada iz z 5 sleduje fz)dz M dz = ML, gde je L dužina luka krive. Primer 8.. Smenom z a = re it dz = rie it dt) imamo J = z a =r a z a dz = 2π a rie it dt = reit 2π idt = 2πi. Navedenom smenom integral z a) n dz n ceo broj ), postaje 2π z a =r [ ir ir n+ e in+)t n+ dt = in + ) ein+)t ] 2π =. Primer 8.2. Izračunati Dati integral je jednak C C zdz od z = do z = 4 + 2i duž krive C date pomoću z = zt) = t 2 + it. x iy)dx + idy) = C xdx + ydy + i C xdy ydx. Parametarske jednačine krive C su x = xt) = t 2, y = yt) = t za t [, 2]. Tada linijski integral postaje 2 t= [ t 2 2tdt) + tdt ] + i 2 t= [ t 2 dt t2tdt) ] = 2 2t 3 + t)dt + i 2 t 2 )dt = 8i 3. 5 G. Darboux 842-97), francuski matematičar, čita se Darbu.

2 kompleksna analiza 9. Cauchy-Goursatova teorema Integrali analitičkih funkcija imaju svojstva integrala totalnog diferencijala. Cauchy je 825. formulisao sledeću teoremu: Teorema 9. Osnovna Cauchyeva teorema). Ako je f analitička funkcija u jednostruko povezanoj oblasti G, i ako je njen prvi izvod f neprekidan u G, tada je fz)dz =, gde je G) zatvorena kontura. Dokaz. Ako na integrale koji se pojavljuju na desnoj strani formule 8.4) primenimo Green 6 - Riemannovu formulu ) Qx, y) P x, y) ) P x, y)dx + Qx, y)dy = dxdy, x y dobijamo fz)dz = G int v x v ) dxdy + i y G u x v ) dxdy. y G je oblast ograničena konturom ). Primenom Cauchy-Riemannovih uslova na podintegralne funkcije vidimo da su oba integala na desnoj strani jednaka nuli, pa je fz)dz =. U Cauchyevom dokazu ove teoreme bitna je pretpostavka o neprekidnosti izvoda funkcije f da bi Green-Riemannova formula mogla da se primeni). Med utim, francuski matematičar Goursat dokazao je 884. godine da ova teorema važi pod slabijim ograničenjima za funkciju f. Naime, dovoljno je pretpostaviti da je funkcija f analitička u jednostruko povezanoj oblasti G. Cauchyeva teorema, uz izmene koje je dao Goursat, obično se naziva Cauchy-Goursatova teorema. Cauchy-Goursatova teorema može se primeniti na višestruko povezanu oblast G. Granica oblasti G je tada složena kontura = + n. Ona se sastoji od spoljne zatvorene konture po kojoj se tačka kreće u pozitivnom smislu i od unutrašnih zatvorenih kontura,..., n po kojima se tačka kreće u suprotnom smislu. Drugim rečima, kada se tačka kreće po, oblast G ostaje sleva. U cilju ilustracije posmatajmo dvostruko povezanu oblast prikazanu na slici 9.. Pomoću duži ab i cd dvostruko povezana oblast može se podeliti na dve jednostruko povezane oblasti: kontura jedne od njih je K = aαdcγba, a druge K 2 = dβabδcd. 6 G. Green 793-84), engleski matematičar, čita se Grin.

cauchy-goursatova teorema 2 Na osnovu Cauchy-Goursatove teoreme je Odavde izlazi K + K 2 K fz)dz =, Slika 9. = tako da jedno za drugim imamo + + + + K 2 fz)dz =. + + + =, aαd dc cγb ba dβa ab bδc cd fz)dz + fz)dz =, + fz)dz = fz)dz. 9.) + + U slučaju trostruko povezane oblasti imamo fz)dz = fz)dz + fz)dz. + + + 2 Produžujući tako, dolazi se do sledeće teoreme: Teorema 9.3 Stav o ekvivalenciji putanja). Ako je f funkcija definisana u oblasti int i analitička u n + )-struko povezanoj oblasti G, tada je fz)dz =, tj. fz)dz = n k= k fz)dz. Formula 9.) omogućava izračunavanje nekih integrala izborom pogodne konture. Tako u primeru 5.5 vrednost integrala će biti ista ako se mesto kruga uzme proizvoljna kontura koja obuhvata tačku a. Navedena formula kao i teorema 9.3 biće primenjeni u daljem izlaganju.

22 kompleksna analiza. Cauchyeva integralna formula Sada ćemo izložiti jedan fundametalan rezultat u teoriji analitičkih funkcija do koga je došao Cauchy. Teorema.. Neka je f analitička funkcija na zatvorenoj deo po deo glatkoj krivoj kao i u oblasti G = int. Tada za proizvoljnu tačku z G važi fz) = fζ)dζ 2πi ζ z..) Dokaz. Uočimo pomoćnu funkciju gζ) = fζ) fz). ζ z Ova funkcija je analitička unutar konture osim u tački z. Primetimo da je fζ) fz) lim = f z), ζ z ζ z tj, gz) = f z). Prema ovome, funkcija gζ) je neprekidna pa i ograničena funkcija, tj. važi gζ) < K, gde je K pozitivna konstanta. Neka je γ krug poluprečnika ρ sa centrom u tački z, koji leži unutar konture slika.). Slika. Na osnovu Stava o ekvivalenciji putanja teorema 9.3), imamo gζ)dζ = gζ)dζ..2) γ Odavde zaključujemo da integral gζ)dζ ne zavisi od r jer ima konstantnu vrednost jednaku integralu γ gζ)dζ. Dalje je, zbog ograničenosti funkcije gζ), gζ)dζ < 2πρK. γ

taylorov i laurentov red 23 Prema tome, integral na desnoj strani u.2) može imati proizvoljno malu vrednost ako je ρ dovoljno malo. S druge strane, ovaj integral ne zavisi od ρ. Prema tome, mora biti gζ)dζ =, odnosno ili Kako je videti primer 8.) iz.3) dobijamo formulu.) γ fζ) fz) dζ =, ζ z fζ)dζ ζ z fz) dζ ζ z = γ dζ ζ z dζ ζ z = 2πi, =..3) Formula.) se zove osnovna Cauchyeva integralna formula, a desna strana ove formule Cauchyev integral. Iz Cauchyeve formule.) sledi da su vrednosti analitičke funkcije unutar konture potpuno definisane vrednostima te funkcije na konturi. Ako je funkcija f analitička u nekoj oblasti G, tada je prema samoj definiciji ona diferencijabilna u toj oblasti ima prvi izvod). Sada ćemo utvrditi da takva funkcija ima izvode proizvoljnog reda. Kao što je poznato, za realne funkcije ovo ne mora da važi. Teorema.2. Neka je f analitička funkcija na zatvorenoj deo po deo glatkoj krivoj kao i u oblasti G = int. Tada za proizvoljnu tačku z G važi f n) z) = n! fζ)dζ..4) 2πi ζ z) n+ Taylorov red. Taylorov 7 i Laurentov 8 red Neka je f analitička funkcija unutar kruga K = {z : z z < R} R može biti i + ) i neka je r = z z slika.). Slika. 7 B. Taylor 685-73), engleski matematičar, čita se Tejlor. 8 P. A. Laurent 83-854), francuski matematičar, čita se Loran

24 kompleksna analiza Bez dokaza dajemo sledeće tvrd enje: Teorema.. Svaka kompleksna funkcija f, analitička u tački z = z, može se razviti u stepeni red fz) = A + A z z ) + A 2 z z ) 2 +, A k = 2πi fζ)dζ ζ z ) k+.) konvergentan u kružnom disku sa centrom u z i poluprečnikom ρ < b z, gde je b singularitet funkcije f najbliži tački a. Red.) naziva se Taylorov red funkcije f u tački z. Može se dokazati da je, pod uslovima u teoremi., razlaganje jedinstveno. Važi i sledeća teorema: Teorema.2. Funkcija f je analitička u tački z ako i samo ako se u nekoj okolini te tačke može razviti u Taylorov red. Teorema.2 često se uzima kao definicija analitičnosti funkcije. Laurentov red Teorema.3. Neka je funkcija f analitička u prstenu Tada unutar tog prstena važi razvoj pri čemu je gde je krug ζ z = r R < r < R 2 ). Ovaj red se zove Laurentov red. R < z z < R 2 R, R 2 + ). fz) = + n= A n = 2πi A n z z ) n, fζ) dζ, ζ z ) n+ reda. Definicija. Red + n= A n z a) n zove se pravilni deo, a n= A n z a) n glavni deo Laurentovog Primer.. Funkciju z z + )e /z razviti u Laurentov red u okolini tačke z =. Koristeći razvoj eksponencijalne funkcije u Taylorov red, dobijamo z + )e /z = z + ) + z + 2!z 2 + ) 3!z 3 + = z + 2 + + k= k! + ) z k. k + )!

Primer.2. U okolini tačke z = 2 razvoj funkcije z fz) = fz) = z 2 z 3 = z 2 = z 2 z 2) z 2)2. Ovaj red je konvergentan u disku z 2 <. izolovani singulariteti 25 z 2)z 3) glasi z 2) = + z 2) + z 2) 2 + z 2) 3 + ) z 2 2. Izolovani singulariteti Tačka a u kojoj funkcija f nije analitička naziva se singularitet te funkcije. Ako je tačka a singularitet funkcije f i postoji okolina tačke a u kojoj nema drugih singulariteta, onda se tačka a naziva izolovani singularitet funkcije fz). U samoj tački a funkcija može biti i nedefinisana. Funkcija f može se razviti u Laurentov red: koji konvergira u prstenu < z a < r. Moguća su tri različita slučaja: fz) = + n= A n z a) n, 2.). Laurentov red 2.) ne sadrži članove sa negativnim stepenima od z a). U ovom slučaju tačka a se zove prividni singularitet, ili otklonjiv singularitet funkcije f. 2. Laurentov red 2.) sadrži konačan broj članova sa negativnim stepenima. U ovom slučaju tačka a se zove pol funkcije fz). 3. Laurentov red 2.) sadrži beskonačno mnogo članova sa negativnim stepenima. U ovom slučaju tačka a se zove esencijalni singularitet funkcije fz). Pojam izolovanih singulariteta u literaturi se često uvodi i pomoću sledećih ekvivalentnih definicija: Tačka z = a je otklonjiv ili prividni singularitet ako je lim z a fz) konačan broj, a funkcija nije definisana u tački a. Da bismo odstranili takav singularitet dovoljno je dodefinisati funkciju f uzimajući da je fa) = A. Kaže se da je z = a pol reda m funkcije f ako je lim z a fz) =. Tada se funkcija f može predstaviti u obliku fz) = ϕz) z a) m, gde je ϕz) = A m + A m+ z a) + + A z a) m + analitička funkcija u okolini tačke a Tačka z = a je esencijalni singularitet ako lim z a fz) ne postoji. Primer 2.. Funkcija z sin z z je otklonjivi singularitet. nije definisana u tački z =, ali je lim z sin z z =. Prema tome, z = Primer 2.2. Funkcija fz) = e z )/z 4 ima u tački z = pol. Pogrešno bi bilo odmah zaključiti da je ovo pol reda 4 jer je e z = za z =. Razvoj u Laurentov red daje fz) = ) z 4 + z + z2 2! + z3 3! + z4 4! + z5 5! + = + z 5! + 4! + 3! z + 2! z 2 + z 3.

26 kompleksna analiza Na osnovu prethodne diskusije i poslednjeg izraza zaključujemo da je z = pol trećeg reda. Primer 2.3. Razvoj funkcije z e /z u Laurentov red glasi e /z = + z + 2!z 2 + 3!z 3 +. Glavni deo Laurentovog razvoja ima beskonačno mnogo članova. Ako se tački z = približavamo pomoću niza /n), imamo lim n + en = +. Ako se tački z = približavamo pomoću drugog niza /n), dobija se lim n + e n =. Prema tome, granična vrednost ne postoji u tački z = i ona predstavlja esencijalni singularitet funkcije z e /z. Definicija. ) t f. t Priroda tačke z = funkcije z fz) ista je kao priroda tačke t = funkcije Primer 2.4. Odrediti prirodu tačke z = za funkciju fz) = z sin z 2 sin ) 2. z 2 Uvedimo smenu z = /t i ispitajmo prirodu tačke t = za funkciju gt) = f/t) = t sin t 2 sin z ) 2. 2 Redom nalazimo g t) = t cos t + sin t 2 sint 2), g t) = 2 cos t 2 cost 2) t sin t, g 3) t) = t cos t 3 sin t + 2 2 sint 2), g 4) t) = 4 cos t + 4 cost 2) + t sin t, g 5) t) = t cos t + 5 sin t 4 2 sint 2), g 6) t) = 6 cos t 8 cost 2) t sin t. Kako je g) = g ) = g ) = g 3) ) = g 4) ) = g 5) ) = i g 6) ) = 2, zaključujemo da je t = nula reda 6 za funkciju gt). Prema definiciji sledi da je tačka z = nula reda 6 za zadatu funkciju fz). 3. Račun ostataka Definicija. Neka je z fz) analitička funkcija u okolini tačke a osim, možda u samoj tački a. Pod ostatkom funkcije f u tački a podrazumeva se koeficijent A u Laurentovom razvoju i označava se sa Res z=a fz) = A ). fz) = + n= A n z a) n Iz definicije i izraza za koeficijente Laurentovog reda direktno izlazi Res fz) = z=a 2πi fz)dz, 3.) gde je krug z a = r takav da na njemu i u njegovoj unutrašnjosti nema drugih singulariteta osim a.

Izračunavanje ostatka za pol prvog reda račun ostataka 27 Neka je tačka a pol prvog reda za funkciju f. Tada u okolini te tačke važi razvoj fz) = A z a) + A + A z a) + A 2 z a) 2 +.... 3.2) Pomnožimo levu i desnu stranu u 3.2) sa z a) i potražimo graničnu vrednost kada z a. Tada imamo A = lim z a)fz) = Res fz). 3.3) z a z=a Primetimo, da se u ovom slučaju, funkcija f može prikazati kao količnik dve analitičke funkcije, fz) = ϕz) ψz), 3.4) pri čemu je ϕa), a tačka a nula prvog reda funkcije ψz). U tom slučaju imamo ψz) = ψ a)z a) + 2 ψ a) +, ψ a). 3.5) Iz 3.3), 3.4) i 3.5) dobija se sledeća formula za izračunavanje ostatka za pol prvog reda: ϕa) Res fz) = z=a ψ a), fz) = ϕz) ). 3.6) ψz) z Primer 3.. Neka je fz) = z n. Singulariteti funkcije su z k = n = e i 2kπ n k =,,..., n ), pri čemu su sve te tačke polovi prvog reda. Odredimo Res fz). Na osnovu 3.6) nalazimo z=z k Res fz) = z=z k z k nz n k = z2 k nz n k = 4kπ ei n zk n = ). n Izračunavanje ostatka za pol reda m Neka je tačka a pol reda m funkcije f. Tada u okolini te tačke važi razvoj fz) = A m z a) m + + A z a) + A + A z a) + A 2 z a) 2 + Množeći levu i desnu stranu sa z a) m, dobijamo z a) m fz) = A m + A m+ z a) + + A z a) m +.... Diferencirajmo obe strane poslednje jednakosti m )-puta, a zatim potražimo graničnu vrednost kada z a. Tako dobijamo formulu za izračunavanje ostatka za pol reda m : A = Res fz) = z=a m )! lim d m ) z a dz m z a) m fz). 3.7)

28 kompleksna analiza Primer 3.2. Neka je fz) = + z 2 ) n. Singulariteti su z,2 = ±i, pri čemu su te tačke polovi reda n. Izračunajmo Res fz). Na osnovu 3.7) sledi z=i Res z=i + z 2 ) n = n )! lim z i = n )! lim z i d n [ dz n z i) n [ ] d n dz n z + i) n n nn + )...2n 2) = ) n )! + z 2 ) n ] z + i) 2n z=i n 2n 2)! = ) [n )!] 2 2i) 2n = i 2n 2)! 2 2n [n )!] 2. Dobar deo dosadašnjeg proučavanja preduzet je zbog dobijanja jednog od najznačajnijih rezultata Kompleksne analize, koji je našao primenu u mnogim oblastima matematike. To je Cauchyeva teorema o ostacima. Teorema 3. Cauchyeva teorema o ostacima). Ako je z fz) analitička funkcija na zatvorenoj konturi i u int, osim u njenim polovima ili u esencijalnim singularitetima z,..., z n int, tada važi formula n fz)dz = 2πi Res fz). 3.8) z=z k Dokaz. Pretpostavimo da su z,..., z n polovi. Neka je z k k n) pol reda p k funkcije f. U okolini tačke z k važi Laurentov razvoj k= fz) = g k z) + A,k z z k + + A p k,k z z k ) p k A pk,k ), gde je g k analitička funkcija u okolini tačke z = z k. Neka je γ k krug z z k = r k koji leži na int, takav da disk z z k r k sadrži samo pol z k slika 3.). Tada je fz)dz = γ k γ k g k z)dz + A,k γ k dz + + A pk,k z z k γ k z z k ) p dz. 3.9) k Slika 3.

izračunavanje odredjenih integrala 29 Prvi ntegral na desnoj strani poslednje jednakosti jednak je nuli jer je g k analitička funkcija u okolini tačke z = z k Cauchy-Goursatova teorema). Ako je p ceo broj, tada je vidi primer 8.) z a) p dz = p ) i z a) dz = 2πi. z a =r z a =r Na osnovu ovog, jednakost 3.9) postaje γ k fz)dz = A,k 2πi = 2πi Res z=z k fz). 3.) Kako na osnovu Cauchy-Goursatove teoreme za višestruko povezane oblasti Stav o ekvivalenciji putanja, teorema 9.3) imamo n fz)dz = fz)dz, k= prema 3.) dobijamo formulu 3.8) koju je trebalo i dokazati. γ k Neke ocene na polukrugu Jordanove leme Sledeća tri tvrd enja, poznata kao Jordanove leme, odnose se na procene integrala na polukružnom luku prikazanom na slici 3.2. Leme se koriste pri oceni integrala duž ovog luka kod izračunavanja kompleksnih integrala. Slika 3.2 Lema 3.. Ako je lim zf z) = B, tada je lim F z)dz = iπb. z R Lema 3.2. Ako je F z) M/R k za z = Re iθ, gde su k > i M konstante, tada je lim F z)dz =. R + Lema 3.3. Ako je F z) M/R k za z = Re iθ, gde su k > i M konstante, tada je lim e imz F z)dz =, R + gde je polukružni luk kruga poluprečnika R prikazan na slici 3.2 i m pozitivna konstanta.

3 kompleksna analiza 4. Izračunavanje odred enih integrala Za izračunavanje nekih dosta opštih klasa odred enih integrala, kako kompleksnih tako i realnih, vrlo efikasno se može iskoristiti račun ostataka dat teoremom 3.. Ovo će biti ilustrovano na nekim primerima. Primeri integrala oblika Primer 4.2. Izračunaćemo integral fz)dz dz z ) 2 z 2 + ), gde je krug z + i) 2 = 2, odnosno x ) 2 + y ) 2 = 2. Podintegralna funkcija ima tri singulariteta: pol drugog reda z = i proste polove z 2 = i i z 3 = i. Singulariteti z i z 2 su unutar kruga, a z 3 van kruga. Prema tome, imamo gde su dz [ z ) 2 z 2 + ) = 2πi [ ] d Res fz) = lim z ) 2 z= z dz z ) 2 z 2 + ) Res z= = lim z Res fz) = lim z=i z i z ) 2 z + i) = 2ii ) 2 = 4. Dakle, na osnovu teoreme o ostacima imamo ] fz) + Res fz), z=i [ d dz dz z ) 2 z 2 + ) = πi 2. z 2 + ) ] 2z = lim z z 2 + ) 2 = 2, Integrali oblika 2π Rcos t, sin t)dt, R racionalna funkcija Gornji integral može se izračunati na sledeći način. Smenom z = e it dobijamo cos t = eit + e it 2 = z + z, sin t = eit e it 2 2i = z z, dt = dz 2i iz. 4.6) Na osnovu ovog imamo 2π Rcos t, sin t)dt = z + z R, z ) z dz 2 2i iz, gde je krug z =, jer kada t varira od do 2π, tačka z = e it opiše krug u pozitivnom smeru. Poslednji integral je oblika na koji se može primeniti teorema o ostacima.

princip argumenta 3 Primer 4.3. Izračunaćemo integral I = 2π dt, a <. + a cos t Smenom z = e it i korišćenjem formula 4.6), dobijamo I = 2 dz i az 2 + 2z + a. z = Izolovani singulariteti su nule imenioca z,2 = a ± /a 2. Kako je z z 2 =, to samo jedna od tih tačaka leži unutar kruga z =. Može se proveriti da je to tačka z = a + /a 2. Sada imamo [ ] I = 4π Res z=z az 2 + 2z + a = 4π = az z 2 ) z=z 2π a 2. Integrali oblika fx)dx. Posmatraćemo klasu integrala za koju važi: funkcija z fz) je analitička u oblasti Im z > osim u konačno mnogo singularnih tačaka z,..., z n, 2 f je analitička funkcija na osi Im z =, 3 tačka z = je nula najmanje drugog reda funkcije f. Tada je + fx)dx = 2πi n Res fz). 4.7) z=z k Napomena. ) Priroda tačke z = za funkciju z fz) je ista kao priroda tačke t = za funkciju t f. t Primer 4.4. Izračunaćemo integral Funkcija fz) = k= dx z 2 + ) 3. z 2 + ) 3 je analitička u oblasti {z Im z > } osim u tačkama z = i i z 2 = i. Ova funkcija je takod e analitička i na Im z =. Kako je f/t) = t 6 + t 2, zaključujemo da funkcija z fz) = ) 3 z 2 u tački z = ima nulu šestog reda. Prema tome, može se primeniti formula 4.7), uzimajući u obzir + ) 3 da samo tačka z = i priprada gornjoj poluravni Im z > ). Dakle, imamo dx z 2 = 2πi Res + ) 3 z=i z 2 + ) 3 = 2πi 2! lim d 2 [ ] 2 z i dz 2 z + i) 3 = πi z + i) 5 = 3π 8. z=i

32 kompleksna analiza 5. Princip argumenta Teorema 5. Princip argumenta). Neka je z fz) analitička i različita od nule na zatvorenoj konturi i ako je ona analitička u int osim u konačnom broju polova, tada je 2πi f z) dz = n p, 5.) fz) gde je n broj nula, od kojih je svaka uzeta onoliko puta koliki je njen red, i p broj polova, od kojih je svaki uzet onoliko puta koliki je njegov red. Pri obilaženju tačke z po konturi, tačka w = fz) opisuje zatvorenu krivu γ. Neka je s broj potpunih obilaženja tačke w oko početka koordinatnog sistema u w-ravni. Izaberimo tačku z na konturi koju ćemo smatrati početnom i završnom. Neka je Φ vrednost argumenta funkcije z fz) za početno z = z, a Φ za završno z = z, pri čemu je, očigledno, fz ) = fz ). Integral koji se pojavljuje u 5.) sada postaje f z z) Log fz) dz = = log fz ) + iφ ) log fz ) + iφ ) = Φ Φ = n p. 5.2) 2πi fz) 2πi 2πi 2π z Razlika Φ Φ predstavlja promenu argumenta i jednaka je 2πs = Φ Φ ) tako da iz 5.2) dobijamo Poslednja formula zove se pricip argumenta. n p = s. 5.3) Napomena. Princip argumenta je od velike koristi ne samo u matematici već i u inženjerskim disciplinama. Jedna važna primena principa argumenta javlja se u teoriji automatskog upravljanja. Ovaj princip može se iskoristiti za ispitivanje uslova pod kojim prenosna funkcija sistema nema nule u desnoj polovini kompleksne ravni, što je uslov za stabilnost sistema. Primer 5. Primenom formule 5.) dokazaćemo da polinom ima tačno n nula. P z) = z n + a z n + + a n z + a n n, a k kompleksni brojevi) Rešenje : S obzirom da algebarski polinom nema polove, formula 5.) daje broj nula u disku z = r, N = P z) 2πi P z) dz. Smenjujući z = re iθ, dobijamo N = 2π = 2π = 2π 2π 2π 2π z =r nr n e niθ + n )a r n e n )iθ + + a n re iθ dθ r n e niθ + a r n e n )iθ + + a n re iθ + a n ndθ 2π ndθ J, 2π a r n e n )iθ + + n )a n re iθ + na n dθ r n e niθ + a r n e n )iθ + + a n

princip argumenta 33 gde je sa J označen drugi integral na desnoj strani. Ako poluprečnik r izaberemo tako da je r max, a + + a n ), dobijamo r n a + + a n ) r n a r n + a 2 r n 2 + + a n, pa važi majorantna formula J 2π 2π a r n + + n ) a n r + n a n r n a r n dθ, a n r a n kada r +. Prema tome, dobijamo Broj nula polinoma P stepena n je tačno n. N = 2π 2π ndθ = n. Rešenje 2 : Dokaz ćemo sprovesti pomoću principa argumenta nalazeći promenu argumenta. Predstavimo polinom P z) u obliku Odavde je P z) = z n + a z + an z n + a n z n ) = z n gz). Arg P z) = Arg z n + Arg gz). Pretpostavimo da je kontura kružnica velikog poluprečnika R R + ) sa centrom u koordinatnom početku. Ako se tačka z kreće po kružnici, što znači da se argument od z promeni za 2π, argument od z n promeniće se za n 2π. Argument of gz) se neće promeniti jer je z = R veoma veliki pa je gz). Prema tome, Arg P z) = n Arg z = 2πn. Pošto polinom nema polove, na osnovu formule 5.2) dobija se čime je dokaz završen. N = 2πn 2π = n, Na osnovu teoreme 5. može se dokazati sledeća važna teorema. Teorema 5.2 Rouchéova 9 teorema). Ako su f i g analitičke funkcije u int i na, gde je prosta zatvorena kontura, i ako je gz) < fz) na, tada funkcije f i f + g imaju isti broj nula u int. Dokaz. Neka je F z) = gz)/fz), tj. gz) = fz)f z), ili kraće g = ff. Dalje, neka n i n 2 označavaju redom broj nula funcija f + g i f u int. S obzirom da ove funkcije nemaju polove unutar konture, na osnovu teoreme 5. imamo Tada je n n 2 = 2πi = 2πi n = 2πi f + f F + ff dz f + ff 2πi { f f + F } dz + F 2πi f + g f + g dz, n 2 = 2πi f f dz = 2πi f f dz = 2πi 9 E. Rouché 832-9), francuski matematičar, čita se Ruše. f f dz. f + F ) + ff f + F ) F + F dz. dz 2πi f f dz

34 kompleksna analiza Kako je F z) = gz)/fz) <, sledi da je Re { + F z)} F z) >, što znači da / { + F z) : z }. Prema tome, funkcija F / + F ) je analitička i nema polova u oblasti int tako da je, na osnovu Cauchy-Goursatove teoreme, 2πi Prema tome, gornje izračunavanje se svodi na F dz =. + F n n 2 =, tj. n = n 2, što je i tvrd enje teoreme. Primer 5.2. Koristeći Rouchéovu teoremu dokazati da svaki polinom stepena n ima tačno n nula. Posmatrajmo polinom P z) = a z n + a z n + + a n z + a n a ) i izaberimo fz) = a z n i gz) = a z n + + a n z + a n. Neka je kružnica z = r sa poluprečnikom r >. Na kružnici imamo sledeće procene gz) = a z n + + a n z + a n fz) a z n a + + a n + a n. a r a r n + + a n r + a n a r n Birajući r dovoljno veliko možemo učiniti da bude gz)/fz) <, tj. gz) < fz). Odavde, na osnovu Rouchéove teoreme sledi da polinom fz) + gz) ima isti broj nula kao i polinom fz) = a n z n. Kako polinom f ima n nula ζ = ζ 2 = = ζ n =, proizilazi da i polinom fz) + gz) = P z) ima n nula. Primer 5.3 Da bismo odredili broj nula polinoma P z) = z 8 4z 5 + z 2 u disku z <, stavimo fz) = z 8 4z 5 i gz) = z 2. Na krugu z = je fz) > 4z 5 z 8 = 3 i gz) < z 2 + = 2 te je gz) < fz). Kako polinom fz) = z 8 4z 5 = z 5 z 3 4) ima pet nula u disku z <, polinom P ima, takod e, pet nula u istom disku.