ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (-6-) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Α. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, να γραφεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο σημείο A (, ( ). Μονάδες Α. Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Μονάδες 8, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α) Αν η είναι παραγωγίσιμη στο, τότε η είναι πάντοτε συνεχής στο. β) Αν η δεν είναι συνεχής στο, τότε η είναι παραγωγίσιμη στο. γ) Αν η έχει δεύτερη παράγωγο στο, τότε η είναι συνεχής στο. Μονάδες, Β. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα της στήλης Α και δίπλα τον αριθμό της στήλης Β που αντιστοιχεί στην εφαπτομένη της κάθε συνάρτησης στο σημείο. Στήλη Α συναρτήσεις Στήλη Β εφαπτόμενες α. (),. y + π π β. () ηµ,. y + γ. (),. y 9 6 δ. (),. y 9 +. δεν υπάρχει Μονάδες 8 ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Α. Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο σημείο (, ( ) y ( ) ( ) ( ) Α. Θεωρία Β. α Λ β Λ γ Σ A είναι: Β. α β γ δ
ΘΕΜΑ ο : z + i Δίνεται η συνάρτηση () z, z C µε z i, όπου z ο συζυγής του z. z i α) Να βρείτε την τριγωνομετρική μορφή των μιγαδικών αριθμών: w ( 9 i) w ( 9 i) Μονάδες 6 Μονάδες 6 β) Θεωρούμε τον πίνακα του ερωτήματος α. w M όπου w το μέτρο του μιγαδικού αριθμού w w Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή πρόταση. Ο γραμμικός μετασχηματισμός Τ με πίνακα Μ είναι: Α. στροφή με κέντρο την αρχή των αξόνων Ο και γωνία Β. συμμετρία ως προς τον άξονα Γ. συμμετρία ως προς τον άξονα y y Δ. συμμετρία ως προς την ευθεία y Ε. ομοιοθεσία με κέντρο την αρχή των αξόνων Ο και λόγο π θ λ Μονάδες γ) Αν Μ ο πίνακας του ερωτήματος β, τότε να βρεθεί ο πίνακας Χ ώστε να ισχύει: MX K, όπου Κ είναι ο πίνακας που αντιστοιχεί στο γραμμικό μετασχηματισμό στροφής με κέντρο την αρχή των π αξόνων Ο και γωνία θ Μονάδες 8 ΑΠΑΝΤΗΣΗ: α) w ( 9 i) i ( 9 i) + i 8 9 i ( 6 i) 6 i ( 6 i)( i) 8 9 + i i 9 + i ( + i) + i ( + i)( i) ( i) π π ( ) 7 7 i i συν + i ηµ Αυτή είναι η τριγωνομετρική μορφή του w και είναι: w και 6 i 9 i + i + 7π Ar w w ( 9 i) 7π συν + 7π 7π 7π 7π συν + i ηµ συν + i ηµ 7π i ηµ συν ( 7 π) + i ηµ ( 7 π)
Αλλά 7 π 7 π + π. Άρα Αr w π. Οπότε w συν π + i ηµ π Αυτή είναι η τριγωνομετρική μορφή του w β) Είναι w, οπότε: M. Ο γραμμικός μετασχηματισμός με πίνακα Μ είναι συμμετρία ως προς τον άξονα. Σωστό το B. γ) Ο πίνακας Κ που αντιστοιχεί στο γραμμικό μετασχηματισμό στροφής με κέντρο την αρχή των π π π συν ηµ αξόνων και γωνία θ είναι Κ π π ηµ συν Οπότε η εξίσωση ΜΧ Κ γράφεται: Χ () Ο πίνακας Μ έχει ορίζουσα: Μ, επομένως είναι αντιστρέψιμος με Μ Επομένως η () γράφεται: X X X ΘΕΜΑ ο : Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [,] (,). Αν () και (), να δείξετε ότι: και ισχύει () > για κάθε α) η ευθεία y τέμνει τη γραφική παράσταση της σ ένα ακριβώς σημείο με τετμημένη (,) β) υπάρχει (,), τέτοιο ώστε ( ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) Μονάδες 7 Μονάδες γ) υπάρχει (,), ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο M (, ( )) να είναι παράλληλη στην ευθεία y +. Μονάδες 6
ΑΠΑΝΤΗΣΗ: α) Θεωρώ τη συνάρτηση () () [ ],,! Η () είναι συνεχής στο [ ], ως διαφορά συνεχών.! () () () () Άρα: () () Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano η εξίσωση () () έχει μια τουλάχιστον λύση στο ( ),. Είναι όμως: () () () ( ), >. Δηλαδή η () είναι γνησίως αύξουσα στο ( ),, οπότε η λύση είναι μοναδική. Άρα η γραφική παράσταση τη και η ευθεία y τέμνονται σε ένα ακριβώς σημείο με τετμημένη ( ),. β) Θεωρώ τη συνάρτηση: () () [ ],,. Η είναι συνεχής στο [ ], ως διαφορά συνεχών.! () () () () Αλλά () ( ), >, δηλαδή η είναι γνησίως αύξουσα στο [ ],. Έτσι έχουμε: () () () () Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε: () + + + () (). Ομοίως: () () () () Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε: () + + +
> Άρα () (). () > () Οπότε σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) τέτοιο ώστε: ( ) ( ) + + + ( ). γ) Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει (,) τέτοιο ώστε: ( ) Θεωρώ τη συνάρτηση h () ().! Η h είναι συνεχής στο [,] ως διαφορά συνεχών.! Η h είναι παραγωγίσιμη στο (,) με h () () h() ()! h() () Άρα h () h() Οπότε σύμφωνα με το θεώρημα Rolle, υπάρχει (,) τέτοιο ώστε: ( ) ( ) ( ). h Δηλαδή υπάρχει (,) ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο M (, ( )) να είναι παράλληλη στην ευθεία y +. ΘΕΜΑ ο : Τη χρονική στιγμή t χορηγείται σ έναν ασθενή ένα φάρμακο. Η συγκέντρωση του φαρμάκου στο α t αίμα του ασθενούς δίνεται από τη συνάρτηση () t, t όπου α και β είναι σταθεροί t + β θετικοί πραγματικοί αριθμοί και ο χρόνος t μετράται σε ώρες. Η μέγιστη τιμή της συγκέντρωσης είναι ίση με μονάδες και επιτυγχάνεται 6 ώρες μετά τη χορήγηση του φαρμάκου. α. Να βρείτε τις τιμές των σταθερών α και β. Μονάδες β. Με δεδομένο ότι η δράση του φαρμάκου είναι αποτελεσματική, όταν η τιμή της συγκέντρωσης είναι τουλάχιστον ίση με μονάδες, να βρείτε το χρονικό διάστημα που το φάρμακο δρα αποτελεσματικά. Μονάδες ΑΠΑΝΤΗΣΗ: α t α t α t β α t. t t β + t β + t + + β β β α. Είναι: () t, t Η () t είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) με:
( β α t) ( β + t ) β α t ( β + t ) () t ( β + t ) β α ( β t ) ( β + t ) β α ( β + t ) β ( β + t ) α t t β α ( β + t t ) ( β + t ) Επειδή η μέγιστη τιμή της συγκέντρωσης () t είναι μονάδες και επιτυγχάνεται σε t 6 ώρες, θα έχουμε: () 6 και () 6. β α! Είναι () ( β 6) 6 ( β + 6) αφού β > β α 6 α 6 6α και () 6 α. 6 + 6 Για α, β 6 είναι: () t Από τον πίνακα μεταβολών της έχουμε: ( β 6) β 6 β 6 β 6 6 t 8 t 8 ( 6 t ) και () t 6 + t 6 + t ( 6 + t ), t 6 + (t) + - (t) Άρα οι ζητούμενες τιμές είναι: α, β 6 ma (6) 8 t t. 6 + t 6 + t β. Είναι: () t t 6 + t t t + 6 Το τριώνυμο t t + 6 έχει ρίζες t και t t + t t + 6 + - + Άρα: t [,]