Algebraické štruktúry I algebraické štruktúry, grupa, základné vlastnosti grupy, morfizmy

6. kapitola Algebraické štruktúry I algebraické štruktúry, grupa, základé vlastosti grupy, morfizmy 6. Biáre operácie Jede z častých prístupov v matematike je kombiovať elemety možiy, pričom sa požadujú špeciále vlastosti kombiácie elemetov. Teória algebraických štruktúr študuje všeobecé vlastosti takýchto systémov, ktoré obsahujú možiu (alebo možiy) elemetov, ad ktorým je obvykle defiovaá biára operácia (alebo operácie). Ako príklad takejto algebraickej štruktúry je možia celých čísel, ad ktorou je defiovaá biára operácia súčtu (alebo rozdielu, súčiu a pod.). Vo všeobecosti môžeme povedať, že teória algebraických štruktúr obsahuje dve hlavé súčasti: možiy a biáre pravidlá, pomocou ktorých sa z elemetov moží tvoria elemety taktiež z týchto moží. Defiícia 6.. Biára operácia a možie X je predpis (fukcia) f : X X X (6.a) ktorá dvom elemetom,y X jedozače priradí elemet z = y = f (,y) X ( ( )) y! z z = y = f,y (6.b) Defiícia 6.. Usporiadaá dvojica ( X, ) obsahujúca možiu X a biáru operáciu ad touto možiou sa azýva algebraická štruktúra. Príklad 6.. () Algebraická štruktúra (Z,+) obsahuje možia celých čísel Z a biára operácia súčet ad touto možiou. Podobým spôsobom môžeme defiovať ďalšie dve algebraické štruktúry (Z, ) a (Z, ), ktoré sú založeé a biárych operáciách rozdiel resp. súči. () Nech X ( A) = P je potečá možia pre možiu A. Operácia zjedoteia a prieiku priradí dvom podmožiám z A ejakú podmožiu z A : P A P A P A ( ) ( ) ( ) : P( A) P( A) P ( A) Potom eistujú dve jedoduché algebraické štruktúry ( X, ) a ( ) X,. Biára operácia môže byť špecifikovaá pomocou multiplikačej tabuľky (ktorá X = a,b,c,d táto tabuľka sa v aglosaskej literatúre azýva Caleyho tabuľka). Napríklad pre { } má tvar 6. kapitola, str. (8.. 006 o 6:59)

a b c d a a b c d b d c a b c c b a a d d b c a Riadky a stĺpce tejto tabuľky sú ozačeé prvkami možiy X, potom riadok ozačeý prvkom a stĺpec ozačeý prvkom y obsahuje výsledok biárej operácie y. Defiícia 6.. () Biára operácia sa azýva asociatíva a možie X vtedy a le vtedy, ak pre každé,y,z X alebo ( y) z = ( y z) (6.a) ( ( ) ) ( ) ( ) f f,y,z = f,f y,z (6.b) () Biára operácia sa azýva komutatíva a možie X vtedy a le vtedy, ak pre každé,y X y = y (6.a) alebo f (,y) = f ( y,) (6.b) () Elemet e X sa azýva jedotkový vzhľadom k biárej operácii a možie X vtedy a le vtedy, ak pre každé X e= e = (6.4a) (4) Elemet y X sa azýva iverzý vzhľadom k elemetu X a k biárej operácii a možie X vtedy a le vtedy, ak y = y = e (6.4b) Iverzý elemet y často ozačujeme symbolom k elemetu., aby sme zdôrazili jeho vzťah Príklad 6.. () Pre algebraickú štruktúru (Z,+) jedotkový elemet je ula, pre každé celé číslo Z platí podmieka (6.4a) Pre daé celé číslo Z eistuje elemet ( ) 0+ = + 0= Z, ktorý spĺňa podmieku (6.4b) ( ) + = + ( ) = 0 Alteratíve ozačeie pre teto iverzý elemet je ( ) =. () Pre algebraickú štruktúru (Z, ) jedotkový elemet je číslo jeda, pre každé celé číslo Z platí = = Môžeme si položiť otázku, či každý elemet Z má iverzý elemet? Napríklad, položme = 5, potom iverzý elemet y vzhľadom k tomuto prvku je taký, čo vyhovuje podmieke 5 y = y 5= 6. kapitola, str. (8.. 006 o 6:59)

Táto podmieka emá riešeie v možie celých čísel, ( y Z )( 5 y = y 5= ). Preto, v rámci algebraického systému (Z, ) emá zmysel hovoriť o iverzom elemete vzhľadom k biárej operácii súči. ( A,, ) () Študujme algebraickú štruktúru P ( ), defiovaý pre potečú možiu s dvoma biárymi operáciami prieik a zjedoteie. Jedotkový a iverzý elemet pre teto algebraický systém musíme zaviesť separáte pre operáciu zjedoteia resp. prieiku. Každá P A z týchto operácií má svoj jedotkový elemet, pre každé ( ) A= A = = = To zameá, že pre biáru operáciu prieiku (zjedoteia) ako jedotkový elemet je možia A (prázda možia ). Komplemet = A patrí do potečej možiy pre A P A y P A y =. Takto defiovaý komplemet každé P ( ), ( ( )) ( ( ))( ) = A emôžeme chápať ako iverzý elemet vzhľadom k podmožie P ( A) = = A = = pretože a pravých straách emáme jedotkové elemety pre daú biáru operáciu. Veta 6.. Nech je biára operácia a možie X. Ak eistuje jedotkový elemet e= e =, pre každé X, potom teto jedotkový elemet eistuje jedozače. Predpokladajme, že eistujú dva jedotkové elemety e,e preto musí platiť e = e e e = e e = e e e = e e = e, X, potom súčase platí Veta 6.. Nech je asociatíva biára operácia a možie X, ktorá má jedotkový elemet e X. Ak pre každý elemet X eistuje iverzý elemet, = = e, potom teto iverzý elemet eistuje jedozače. Predpokladajme, že má dva iverzé elemety u a v, potom podľa (6.4a) platí u = u = e v = v = e Potom u = u e= u ( v) = ( u ) v = e v = v Pozameajme, že dôkaz jedozačosti iverzého elemetu kľúčovú úlohu hrala podmieka asociatívosti súčiu, ak teto súči ie je asociatívy, potom evieme zabezpečiť túto jedozačosť iverzého elemetu. Príklad 6.. Budeme študovať biáru operáciu ad možiou X { a,b,c,d} určeá multiplikatívou tabuľkou a b c d a a b c d b d c a a c c b a d =, ktorá je 6. kapitola, str. (8.. 006 o 6:59)

d d b c a Dokážeme, že takto defiovaá biára operácia ie je asociatíva. b c d = b d = a ( ) ( b c) d = a d = d to zameá, že pre teto kokréty výber troch elemetov z možiy X sme dokázali b c d b c d t. j. biára operácia ie je asociatíva. ( ) ( ) 6. Pologrupy, mooidy a grupy Algebraické štruktúry podľa defiície 6. obsahujú možiu a biáru operáciu ad touto možiou. Táto defiícia algebraickej štruktúry môže byť zovšeobeceá rôzym spôsobom. Najčastejšie používaé zovšeobeceie je, že algebraická štruktúra obsahuje jedu možiu a dve alebo viac biárych operácií ad touto možiou. Ďalšie možé zovšeobeceie pojmu algebraickej štruktúry je, že obsahuje dve alebo viac moží, biárych operácií ad možiami môže byť viac ako dve. V tejto kapitole budeme študovať jedoduché algebraické štruktúry, ktoré obsahujú jedu možiu a jedu biáru operáciu ad touto možiou, G,, kde G je možia a je biára operácia ad touto možiou. Jeda ozačíme ju ( ) z ajjedoduchších takýchto algebraických štruktúr je pologrupa. Defiícia 6.4. Nech G je eprázda možia a je biára operácia ad touto možiou. Algebraická štruktúra ( G, ) sa azýva pologrupa vtedy a le vtedy, ak biára operácia je asociatíva ( ) (,y,z G) ( y) z ( y z) = (6.5) Ak biára operácia je aj komutatíva, potom algebraická štruktúra sa azýva komutatíva pologrupa (alebo Abelova pologrupa). Príklad 6.4. () Algebraické štruktúry ( N,+), (, ) N sú komutatíve pologrupy. Biáre operácie súčtu a súčiu ad možou celých čísel N sú asociatíve a komutatíve. Tieto dve algebraické štruktúry môžeme zovšeobeciť a možiu R reálych čísiel, potom štruktúry ( R,+), ( R, ) sú taktiež komutatíve pologrupy. () Nech A { a,b,c,... } = je koečá možia symbolov ašej abecedy. Reťazce dĺžky obsahujúce zaky tejto možiy tvoria -ásobý karteziásky produkt A ; apríklad možia A = aa,ab,ac,...,ba,bb,bc,... obsahuje všetky reťazce dĺžky. Zjedoteím týchto moží, { } A { } A A... = ε, získame možiu, ktorá obsahuje všetky možé reťazce ad A, vrátae prázdeho reťazca ε. Nech αβ, A sú dva reťazce, potom zavedieme biáru Niels Herik Abel (80-89), órsky matematik, prispel k teórii algebraických rovíc a ekoečých číselých radov. Predčase umrel a tuberkulózu, rok po jeho smrti mu parížska Akadémia udelila Veľkú ceu za matematiku. 6. kapitola, str. 4 (8.. 006 o 6:59)

operáciu spojeia (kokateácie), ktorá vytvorí ový reťazec γ= ( α+β ) A. Príklad tejto operácie je spojeie reťazcov α= ab a β= caa a ový reťazec γ=α+β= ab+ caa= abcaa. Táto biára operácia je asociatíva a ekomutatíva ( α+β β+α, pre α β). Algebraická štruktúra ( A, ) () Pre možiu A { a,b,c} + je ekomutatíva pologrupa. = defiujme biáru operáciu pomocou multiplikačej tabuľky a b c a a b c b b c a c c a b Táto multiplikačá tabuľka je symetrická, z čoho plyie skutočosť, že biára operácia je komutatíva. Dôkaz asociatívosti biárej operácie je etriviála záležitosť, pre všetky možé usporiadaé trojice s opakovaím musíme dokázať, že platí záko asociatívosti,y,z A y z = y z ( ) ( ) ( ) ( ) čo vyžaduje = 7 kotrol pre rôze trojica elemetov. Ozačme elemety z možiy A pomocou ideovaých veličí, = a, = b, = c, potom biára operácia je určeá formulou i = j, kde ide a pravej strae je vyjadreý pomocou špeciálej i + j aritmetiky i+ j ( ak i+ j ) i+ j = mod( i+ j, ) ( ak i+ j > ) kde symbol mod( k, ) vyjadruje zvyšok po celočíselom deleí k, pozri asledujúcu tabuľku i+ j Pretože sa jedá o súčet celých čísel, aj keď obmedzeý určitou podmiekou, operácia je evidete asociatíva, + i j+ k = i+ j + k, potom aj operácia musí byť taktiež A, je komutatíva pologrupa. asociatíva. Potom, algebraická štruktúra ( ) Defiícia 6.5. Pologrupa ( A, ) sa azýva mooid vtedy a le vtedy, ak má jedotkový elemet. Príklad 6.5. () Algebraická štruktúra (, ) N, kde možia + + N obsahuje kladé celé čísla je mooid, eistuje jedotkový prvok, ktorý zachováva súči = =. Podobá algebraická N,, ktorá je pologrupou, ie je mooid, pre operáciu súčet eeistuje v rámci štruktúra ( ) + + možiy N + jedotkový prvok 0 (pretože 0 N + ), ktorý zachováva súčet + 0= 0+ =. () V príklade 6.4. bola popísaá ekomutatíva pologrupa ( A, ) + reťazcov z možiy A, ktorá obsahuje všetky možé reťazce zakov ad abecedou A, pričom táto možia obsahuje aj prázdy zak ε. Biára operácia je defiovaá ako spojeie dvoch reťazcov do ového 6. kapitola, str. 5 (8.. 006 o 6:59)

reťazca. Táto algebraická štruktúra má jedotkový elemet ε, ktorý je eutrály vzhľadom k biárej operácii spojeia reťazcov Preto, algebraická štruktúra ( A, ) ( A )( ) ε+ = +ε= + je mooid. () Algebraická štruktúra z príkladu 6.4. je mooid, jedotkový elemet je prvok a, z multiplikačej tabuľky vyplýva, že je eutrály vzhľadom k zvoleej biárej operácii A a = a= ( )( ) (4) Algebraické štruktúry ( X, ) a ( X, ) z príkladu 6.., kde X ( A) = P je potečá možia pre možiu A. Obe tieto štruktúry sú pologrupy, pretože možiové operácie zjedoteia a prieiku sú asociatíve. Tieto štruktúry tvoria mooidy, pretože prvá (druhá) štruktúra má jedotkový elemet prázdu možiu (možiu A) X P A X = X = X ( ( ))( ) ( X P ( A) )( A X X A X) = = Mohé algebraické štruktúry, ktoré majú asociatívu biáru operáciu a jedotkový elemet vzhľadom k tejto operácii ( t. j. mooidy), majú ešte dodatočú vlastosť, ku každému prvku z možiy eistuje iverzý elemet. Potom takýto mooid sa azýva grupa. Algebraické štruktúry tohto typu ašli široké uplateie iele v mohých oblastiach matematiky a iformatiky, ale aj vo fyzike, chémii a pod. Defiícia 6.6. Mooid ( ) Geistuje iverzý elemet G, sa azýva grupa vtedy a le vtedy, ak ku každému elemetu G. Platí teda, že algebraická štruktúra ( ) vtedy a le vtedy, ak sú spleé tieto tri podmieky: () biára operácia je asociatíva, () eistuje jedotkový elemet e G, () pre každé G eistuje iverzý elemet G. G,, ozačuje sa G. Mohutosť možiy G sa azýva rád grupy ( ) G, je grupa Pripomeňme, podľa vety 6. platí ak má algebraická štruktúra asociatívu biáru operácie a eistuje jedotkový elemet, potom teto jedotkový elemet je jedozačý; podobe, podľa vety 6. platí, že ak eistuje ku každému elemetu iverzý elemet, potom je určeý jedozače. Obe tieto skutočosti sú platé pre algebraickú štruktúru grupa, kde sa postuluje eistecia jedotkového elemetu a iverzého elemetu. Príklad 6.6. () Algebraická štruktúra ( Z,+), kde Z je možia celých čísel, je komutatíva grupa. Biára operácia súčet + je asociatíva a komutatíva, číslo 0 Z má charakter eutráleho prvku vzhľadom k operácii +, 0+ = + 0=, pre každé číslo ; podobe, pre každé číslo Z také, že ( ) + = + ( ) = 0. Z eistuje iverzé číslo ( ) () Algebraická štruktúra (, ) R ( 0, ) = + + je možia kladých reálych čísel, pričom použitá biára operácie je štadardý súči. Táto algebraická štruktúra je komutatíva grupa, biára operácia je asociatíva a komutatíva, eistuje eutrály prvok 6. kapitola, str. 6 (8.. 006 o 6:59)

+ =, pre ktorý platí ( ) ( ) R, = =, pre každý prvok, a taktiež ku každému eistuje iverzý prvok = =. () Nech algebraická štruktúra ( Z, ) má biáru operáciu defiovaú vzťahom y = + y+ Dokážte, že táto štruktúra je grupa. Biára operácia je komutatíva. Dôkaz jej asociatívosti je založeý a podmieke, aby pre ľubovoľé,y,z Z bola spleá rovosť týchto dvoch formúl ( ) ( ) ( ) ( ) y z = + y+ z = + y+ + z+ = + y+ z+ y z = y+ z+ = + y+ z+ + = + y+ z+ Porovaím ich pravých strá dostaeme, že biára operácia je asociatíva a možie Z. Jedotkový elemet e Z vyhovuje defiičej podmieke e = e= e+ + = e= Z pôsobí ako jedotkový elemet a pre každé Z. To zameá, že elemet ( ) možie Z, pre každé Z platí ( ) ( ) Z iverzý elemet = =. Na záver, zostrojíme pre každé Z, = + + = = = Z, ktorý vyhovuje Potom, pre každé Z eistuje iverzý elemet ( ) podmieke = = e=. Týmto sme dokázali, že algebraická štruktúra ( Z, ) tvorí komutatívu grupu. Veta 6.. Ak algebraická štruktúra ( G, ) je grupa, potom eistuje kráteie zľava a zprava, pre každé a,,y G platí (a) kráteie zľava (b) kráteie sprava a = a y = y (6.6a) a = y a = y. (6.6b) Predpokladajme, že platí a = a y, eistuje iverzý elemet ( ) ( ) ( ) ( ) a a a a y a a a a y y a, potom = = =. Podobe by sme dokázali aj kráteie sprava. Táto veta podstate uľahčuje algebraické úpravy v teórii grúp, môžeme jedoducho krátiť elemety vo výrazoch, ktoré sa vyskytujú zľava alebo sprava. Veta 6.4. Ak algebraická štruktúra ( ) (a) rovica a = b má jedozačé riešeie (b) rovica a= b má jedozačé riešeie G, je grupa, potom pre ľubovolé a,b G platí = a b, = b a. Nech platí a = b, postupými úpravami dostaeme a = b a a = a b a a = a b = a b ( ) ( ) Jedozačosť tohto riešeia vyplýva zo skutočosti, že iverzý elemet jedozače. Podobým spôsobom získame riešeie aj druhej rovice. a eistuje 6. kapitola, str. 7 (8.. 006 o 6:59)

Veta 6.5. Ak algebraická štruktúra ( G, ) je grupa, potom v multiplikačej tabuľke biárej operácie sa v každom riadku alebo stĺpci vyskytuje každý elemet z G práve le raz. V multiplikačej tabuľke si vyberme jede riadok a dva rôze stĺpce (pozri obr. 6.). Predpokladajme, že a = a y, použijeme vetu 6. o kráteí, potom predpoklad môžeme zjedodušiť do tvaru = y, čo je však v spore, že stĺpce sú rôze. Týmto sme dokázali, že v každom riadku multiplikačej tabuľky sa emôžu opakovať elemety grupy. Dôkaz pre stĺpce je podobý. y...... a... a... ay......... Obrázok 6.. Multiplikačá tabuľka biárej operácie grupy ( G, ). V tabuľke je vybraý riadok patriaci elemetu a a dva stĺpce patriace elemetom a y, pričom y. Z tejto vety vyplýva jedoduché kritérium toho, či algebraická štruktúra ( G, ) je grupa, ak v príslušej multiplikačej tabuľke sa v ejakom riadku alebo stĺpci opakujú G, ie je grupa. Pozameajme však, skutočosť, že v tabuľke elemety, potom štruktúra ( ) v každom stĺpci alebo riadku sa eopakujú elemety, ie je postačujúcim dôvodom k tomu, aby štruktúra ( G, ) bola grupou. Defiícia 6.7. Hovoríme, že algebraická štruktúra ( H, ) je podgrupa grupy ( ) a le vtedy, ak H G a ( H, ) je grupa, čo budeme zapisovať ( H, ) ( G, ). G, vtedy Pozameajme, že ak ( H, ) ( G, ) rovaké. Každá grupa má aspoň dve triviále podgrupy. Prvá je s možiou H { e}, potom obe štruktúry sú grupy a obe biáre operácie sú = a druhá s možiou H = G, všetky ostaté podgrupy (ak eistujú) azývame etriviále. H, G,, možia H podgrupy je Nech ( H, ) je podgrupa grupy ( G, ), ( ) ( ) špecifikovaá H = { y = e,y,...,y m}. Predpokladajme, že máme elemet G, pričom H. Potom možia H = { y, y,..., ym} sa azýva ľavá trieda prvkov vzhľadom k podgrupe ( H, ). Podobým spôsobom sa defiuje aj pravá trieda prvkov vzhľadom k podgrupe ( H, ), začí sa symbolom H = { y,y,...,y }. m Pozameajme, že a základe ašich už dokázaých pozatkov o grupe, pravá/ľavá trieda prvkov emôže byť podgrupou, pretože eobsahuje jedotkový elemet, a taktiež, všetky jej elemety sú rôze. 6. kapitola, str. 8 (8.. 006 o 6:59)

Veta 6.6. Nech ( H, ) ( G, ) a, ( G H), potom ľavé triedy H, totožé ( H = H ) alebo disjukté ( H H = ). H sú Dôkaz vety vykoáme pre ľavé triedy H, H, kde ( G H), dôkaz pre pravé triedy je aalogický. Predpokladajme, že H, H sú disjukté, potom veta platí. Nech teda tieto možiy majú eprázdy prieik, H H. Eistujú dva idey p a q, y = y, teto výraz prepíšeme do tvaru y y =. Pretože H je podgrupa, že p q p q pre každú dvojicu y,y% H platí y y% H (čiže aj pre y = yp a y y H = H = H p q 44 H Veta 6.7 (Lagrageova). Nech ( H, ) ( G, ) y% = ). Potom y q, z čoho plyie H = H, čo bolo potrebé dokázať. podmožiy H, alebo eistuje také kladé celé číslo k, že G (( H, ) ( G, )) k( G kh), potom rád možiy G je deliteľý rádom = kh = (6.7) Táto veta je priamym dôsledkom predchádzajúcej vety 6.6, podľa ktorej ľavé triedy buď sú totožé alebo disjukté. Postupým použitím vety 6.6 môžeme geerovať postuposť disjuktých moží H, H,...,k H, kde,,..., k G H, zjedoteie týchto moží sa rová možie G G = H H... k H Pretože ľavé triedy majú rovakú mohutosť m, potom pre mohutosť G = km, alebo G H = k, čo bolo potrebé dokázať. Nasledujúca veta rieši problém ako verifikovať efektíve, či grupa ( H, ) je podgrupa grupy ( G, ). Veta 6.8. Nech algebraická štruktúra ( G, ) je grupa a ech H Algebraická štruktúra ( ) G je koečá podmožia. H, je podgrupou vtedy a le vtedy, ak (,y H)( y H) podmožia H je uzavretá vzhľadom k súčiu., t. j. Dôkaz tejto vety spočíva v tom, že vychádzajúc z jej predpokladov ukážeme, že pre každý prvok možiy H eistuje v tejto možie aj jeho iverzý elemet. Nech H, potom v dôsledku uzavretosti H vzhľadom k operácii platí H, pre každé kladé číslo. Pretože mohutosť H je koečá, v mociách sa musia opakovať čley. Nech pre r > s r s s r s s platí =, alebo =. Použijeme záko kráteia zľava (veta 6.), dostaeme r s = e Týmto sme dokázali, že možia H obsahuje jedotkový elemet. Taktiež platí r s r s = = e r s potom elemet má iverzý elemet, Týmto sme dokázali, že pre každý elemet H eistuje iverzý elemet v H. 6. kapitola, str. 9 (8.. 006 o 6:59)

Príklad 6.7. Zavedieme grupu obsahujúce geometrické trasformácie rovostraého trojuholíka, ktorá sa azýva dihedrála grupa. V chémii je veľmi populára, popisuje symetrické vlastosti iektorých molekúl. Uvažujme rovostraý trojuholík, ktorého vrcholy sú ozačeé číslicami, a, pozri obr. 6.. Možia elemetov obsahuje 6 operácií symetrie, z ktorých tri sú refleie L, L, L a rotácie C, C, C. Ak základú pozíciu trojuholíka vyjadríme pomocou postuposti (), potom aplikácie operácii symetrie a túto postuposť, špecifikujú výsledý trasformovaý trojuholík L =,L =,L =, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) C,C,C Potom môžeme zostrojiť multiplikačú tabuľku C C C L L L C C C C L L L C C C C L L L C C C C L L L L L L L C C C L L L L C C C L L L L C C C L L L L C L C L C Obrázok 6.. Elemety symetrie rovostraého trojuholíka, ktorého vrcholy sú ozačeé číslicami, a. V ľavom stĺpci sú uvedeé tri operácia symetrie L, L a L spočívajúce v zrkadleí podľa uvedeých priamok, ktoré prechádzajú vrcholom a polia protiľahlú strau. V pravom stĺpci sú uvedeé tri operácie symetrie C, C a C, ktoré spočívajú v rotácii trojuholíka okolo ťažiska proti smeru hodiových ručičiek o 0 stupňov, 0 stupňov a 40 stupňov. Z multiplikačej tabuľky plyie, že táto možia operácií má prvok C, ktorý môžeme klasifikovať ako jedotkový. Z multiplikačej tabuľky taktiež zistíme pre každú operáciu symetrie eistuje iverzý elemet 6. kapitola, str. 0 (8.. 006 o 6:59)

C = C,C = C,C = C L = L,L = L,L = L Podobým spôsobom môžeme dokázať, že biára operácia súčiu týchto operácií symetrie D = L,L,L,C,C,C, je grupa. ( ) je asociatíva. Potom, alegebraická štruktúra { } Grupa permutácií Ukážeme, že možia permutácií objektov reprezetovaých možou A {,,...,} vhodej defiícii biárej operácie tvorí symetrickú grupu S { P,P,... }, ( ) = pri =, kde S je možia tvoreá všetkými permutáciami objektov. Permutácie boli už špecifikovaé v kapitole 4.. Permutáciu P môžeme chápať ako --začé zobrazeie P:A A, ktoré každému objektu i A priradí objekt pi A, pričom z podmieky --začosti vyplýva podmieka ( i,j A)( i j pi pj), permutáciu P vyjadríme formulou... P= p p... p alebo v kompaktej forme tak, že vyecháme horý riadok ako redudatý P= p p... p ( ) Možia S obsahuje všetky možé permutácie objektov, jej mohutosť je S =! Biára operácia zobrazuje z dvoch permutácií ovú permutácie S S S :...... Nech P= p p... p a P = p p... p sú dve permutácie, ich súči P = P P je defiovaý tak, že ak horý riadok v P preusporiadame tak, aby bol totožý s dolým riadkom permutácie P, potom dolý riadok takto upraveej permutácie špecifikuje permutáciu P...... P = P P = p p... p p p... p... p p... p = p p... p p p... p... = p p... p Príklad takto defiovaého súčiu permutácií je ukázaý a obr. 6.. Súči dvoch permutácií môžeme iterpretovať ako kompozíciu dvoch zobrazeí P a P. Súči dvoch permutácií musí byť asociatívou operáciou, pre súči ľubovolých troch permutácií P,P,P platí ( ) ( ) P P P = P P P Ľahko sa presvedčíme pomocou obrázka 6.4, že táto podmieka je spleá. Problém eistecie iverzej permutácie je riešiteľý jedoduchou iverziou... p p... p P= P p p... p =... 6. kapitola, str. (8.. 006 o 6:59)

= = Obrázok 6.. Zázoreie súčiu dvoch permutácií ( ) ( ). Dolý riadok ilustruje alteratívu možosť koštrukcie súčiu permutácií tak, že horý riadok pravej permutácii upravíme do poradia špecifikovaého druhým riadkom prvej permutácie. Dolý riadok takto upraveej permutácie reprezetuje výsledok súčiu. (P () () () P ) P P () () ( P P () ) P () P () P () P () P () P () i P () P () i i i i i i P () P () i Obrázok 6.4. Dôkaz asociatívosti biárej operácie súčiu ad permutáciami. Ľavý (pravý) diagram P P P, kde výsledok prvého súčiu je reprezetovaý prerušovaou čiarou zázorňuje zátvorkovaie ( ) ( P ( P P ), kde výsledok druhého súčiu je reprezetovaý prerušovaou čiarou). V oboch prípadoch, výsledé zložeé zobrazeie je totožé. Príklad 6.8. Zostrojte multiplikačú tabuľku permutácií troch objektov. Jedotlivé permutácie ozačíme takto P =,P =,P =, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P =,P =,P = 4 5 6 Potom multiplikačá tabuľka pre tieto permutácie má tvar P P P P 4 P 5 P 6 P P P P P 4 P 5 P 6 P P P P P 5 P 6 P 4 P P P P P 6 P 4 P 5 P 4 P 4 P 6 P 5 P P P P 5 P 5 P 4 P 6 P P P P 6 P 6 P 5 P 4 P P P Z tejto tabuľky vyplýva, že jedotkový elemet je permutácia P, iverzé permutácie sú určeé takto P = P,P = P,P = P,P 4 = P,P 4 5 = P,P 5 6 = P6 Potom podmožia S = { P,P,P} S tvorí podgrupu ( S, ) ( S, ). Pravé triedy majú tvar 6. kapitola, str. (8.. 006 o 6:59)

{ } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } P P,P,P = P,P,P,P P,P,P = P,P,P, 4 5 6 4 5 6 P P,P,P = P,P,P,P P,P,P = P,P,P, 4 5 6 4 5 6 P P,P,P = P,P,P,P P,P,P = P,P,P, 4 5 6 4 5 6 P P,P,P = P,P,P,P P,P,P = P,P,P, 4 4 5 6 4 4 5 6 P P,P,P = P,P,P,P P,P,P = P,P,P, 5 4 5 6 5 4 5 6 P P,P,P = P,P,P,P P,P,P = P,P,P 6 4 5 6 6 4 5 6 6. Morfizmy Porovajme grupy z príkladov 6.7 a 6.8, ktoré majú úple odlišú iterpretáciu, prvá grupa obsahuje elemety symetrie priestorovej dihedrálej grupy, zatiaľ čo druhá grupa obsahuje permutácie objektov. Ich multiplikačé tabuľky majú tvar C C C L L L P P P P 4 P 5 P 6 C C C C L L L P P P P P 4 P 5 P 6 C C C C L L L P P P P P 5 P 6 P 4 C C C C L L L P P P P P 6 P 4 P 5 L L L L C C C P 4 P 4 P 6 P 5 P P P L L L L C C C P 5 P 5 P 4 P 6 P P P L L L L C C C P 6 P 6 P 5 P 4 P P P Podrobým porovaím týchto tabuliek zistíme, že ak medzi tabuľkami urobíme priradeie jedotlivých prvkov takto C P,C P,C P,L P,L P,L P 4 5 6 potom multiplikačé tabuľky sú totožé. Preto môžeme povedať, že aj grupy ( D, ) a ( S, ) sú si podobé. Defiícia 6.8. Hovoríme, že medzi grupami ( G, ) a ( G, ) grupy sú izomorfé), čo začíme ( G, ) ( G, ) zobrazeie f : G G, ktoré o eistuje izomorfimus (alebo, že o, vtedy a le vtedy, ak eistuje --začé ( ) (,y G) f ( y) f ( ) f ( y) = o (6.8) Príklad 6.9. Uvažujme dve grupy ( R,+) a grupu ( R, ), kde ( 0, ) + R = + je možia kladých reálych čísel. Dokážte, že fukcia f ( ) = defiuje izomorfizmus medzi týmito dvoma grupami, ( R, + ) ( R, ). + Fukcia f ( ) = je mootóe rastúca, čiže je aj --začá. Fukcia má zaujímavú vlastosť, (,y R ) f ( + y) = f ( ) f ( y), pomocou ktorej sa jedoducho zostrojí izomorfizmus medzi grupami, f: R R +. 6. kapitola, str. (8.. 006 o 6:59)

Veta 6.9. Ak f : G G je izomorfizmus medzi grupami ( G, ) a ( G, o ), potom () Ak e je jedotkový elemet v grupe ( G, ), potom f ( e) je jedotkový elemet v grupe ( G, o ). () Grupa ( G, ) je komutatíva vtedy a le vtedy, ak ( G, o ) je komutatíva grupa. () Ak je iverzý elemet vzhľadom k elemetu v grupe ( G, ), potom f ( ) je iverzý elemet vzhľadom k elemetu f ( ) v grupe ( G, o ). (4) Iverzé zobrazeie f : G G defiuje izomorfizmus z grupy ( G, o ) do grupy ( ) (5) Ak ( H, ) je podgrupa grupy ( G, ), potom ( H, o ), kde H { f ( ); H} podgrupa grupy ( G, o ) a ( H, ) ( H, o ). G,. =, je Táto veta ám pomáha zistiť, či medzi grupami ( G, ) a ( G, ) izomorfizmus. Napríklad, ak grupa ( G, ) je komutatíva a grupa ( G, ) o eistuje o ie je komutatíva, potom medzi týmito grupami emôže eistovať izomorfizmus. Vo všeobecosti teda platí, že ak chceme zistiť, že dve grupy ie sú izomorfé, musíme ájsť takú vlastosť prvej grupy, ktorá sa evyskytuje v druhej grupe. ( ) ( A, ) Príklad 6.0. Dokážte, že ak A= { a,b}, potom mooidy P ( A ), a ( ) izomorfé. { } Potečá možia má tvar P ( A ) =,a { },b { },a,b { } mooidy sú P sú. Multiplikatíve tabuľky pre tieto { a } { b } { a,b } { a } { b } { a,b } { a } { a } { a } { a,b } { a,b } { b } { b } { a,b } { b } { a,b } { a,b } { a,b } { a,b } { a,b } { a,b } { a } { b } { a,b } { a } { a } { a } { b } { b } { b } { a,b } { a } { b } { a,b } --začá fukcia f : ( A) ( A) ( ) { } { } Potom medzi mooidami ( P ( A ), ) a ( ( A ), ) P P, ktorá zobrazuje prvú tabuľku a druhú má tvar ( ) { } ({ }) { } ({ }) f = a,b,f a = a,f b = b,f a,b = P eistuje izomorfizmus. Defiícia 6.9. Hovoríme, že medzi grupami ( G, ) a ( G, ) vtedy, ak eistuje zobrazeie f : G G, ktoré (,y G) ( f ( y) f ( ) f ( y) ) o eistuje morfizmus vtedy a le = o (6.9) Ak medzi dvoma algebraickými štruktúrami eistuje izomorfizmus, potom tieto štruktúry sú skoro totožé. Ak odstráime podmieku --začosti fukcie f : G G, potom táto 6. kapitola, str. 4 (8.. 006 o 6:59)

skoro totožosť sa stráca, druhá algebraická štruktúra ( G, o ) stráca iektoré detaily prvej štruktúry. Veta.0. Ak f : G G je morfizmus medzi grupami ( G, ) a ( G, ) () Ak e je jedotkový elemet v grupe ( G, ), potom ( ) ( G, o ). () Grupa ( G, ) je komutatíva vtedy a le vtedy, ak ( G, ) () Ak je iverzý elemet vzhľadom k elemetu v grupe ( ) iverzý elemet vzhľadom k elemetu f ( ) v grupe ( G, o ). o, potom f e je jedotkový elemet v grupe o je komutatíva grupa. G,, potom ( ) f je Príklad 6.. Uvažujme možiu A { a,b,c} =, možia (včítae prázdeho reťazca ε). Potom algebraická štruktúra ( A, ) * A obsahuje všetky možé reťazce, kde biára operácia reprezetuje spájaie reťazcov, je mooid (eistuje jedotkový elemet reprezetovaý prázdym reťazcom ε). Nech eistuje fukcia f:a N, kde N je možia ezáporých celých čísel, táto fukcia je defiovaá takto f = ( ) dľžka reťazca Ukážte, že toto zobrazeie f je morfizmus z ( A, ) a (,+) Z defiície fukcie f vyplýva, že platí f y = f + f y ( ) ( ) ( ) N. t. j. dĺžka spojeého reťazca y sa rová súčtu dĺžok je zložiek a y. Táto fukcia evidete ie je --začá. Cvičeia Cvičeie 6.. Pre každý uvedeý prípad, rozhodite, či symbol y špecifikuje biáru operáciu a možie A. Ak ie, tak vysvetlite prečo. (a) y y =, A = R + = ( 0, ). < +, pre A = Z = {...,, 0,,,,...}. =, A = R + = ( 0, ). =, A { 4684,,,,,, } = +, A = { maticerovakého typu}. (b) y = z, kde z y (c) y y (d) y maimály spoločý deliteľ a y (e) y y =. Cvičeie 6.. Nech biára operácia a možie R obsahujúcej reále čísla, je defiovaá ako rozdiel, y = y. Rozhodite, či táto operácia je (a) asociatíva, (c) komutatíva, (d) eistuje jedotkový elemet. 6. kapitola, str. 5 (8.. 006 o 6:59)

Cvičeie 6.. Nech A je koečá možia a ech pre túto možiu A je biára operácia defiovaá pomocou multiplikačej tabuľky. Na základe čoho je možé rozhodúť pomocou tejto tabuľky, či (a) biára operácia je komutatíva, (b) eistuje jedotkový elemet. Cvičeie 6.4. Nech X ( A) prieik moží, (,y P ( A) )( y = y) = P, biára operácia ad touto možiou je defiovaá ako, rozhodite, či (a) biára operácia je komutatíva, (b) čo je jedotkový elemet, (c) ktoré elemety majú iverzé elemety (ak eistujú)? Cvičeie 6.6. Nech X ( A) symetrický rozdiel ( ) = P, biára operácia ad touto možiou je defiovaá ako (,y A )( y = ( y) ( y ) ) P. (a) Dokážte, že operácia je biára operácia, (b) Je táto operácia komutatíva? (c) Je táto operácia asociatíva? (d) Eistuje jedotkový elemet v možie X? (e) Ak eistuje jedotkový elemet, eistuje potom ku každému prvku P ( A) iverzý elemet P ( A)? Cvičeie 6.7. Nech možia X { a,b,c,d} defiovaá pomocou multiplikačej tabuľky a b c d a a b c d b b d a a c c a b d d d a b c (a) Je táto operácia asociatíva? (b) Je táto operácia komutatíva? =, biára operácia pre túto možiu je Cvičeie 6.8. Nech možia X obsahuje matice typu (, ) (štvorcové matice majúce dva stĺpce a dva riadky). (a) Pre túto možiu defiujme biáru operáciu ako súčet dvoch matíc,,y X y y ( )( = + ). Prečo takto špecifikovaá algebraická štruktúra ( ) X,+ je grupa. (b) Ak zameíme biáru operáciu súčtu za súči, ukážte, že takto špecifikovaá algebraická štruktúra ie je grupa? Cvičeie 6.9. Nech X je eprázda možia a biára operácia defiovaá vzťahom y =, pre každé,y X. (a) Dokážte, že algebraická štruktúra ( X, ) je pologrupa. (b) Rozhodite, či táto algebraická štruktúra je mooid. 6. kapitola, str. 6 (8.. 006 o 6:59)

Cvičeie 6.0. Nech dve algebraické štruktúry ( X, ) a ( ) karteziáskym súčiom X Y biáru operáciu takto,y g,y =,y o y ( ) ( ) ( ) pre každé, X a y,y Y. (a) Ukážte, že g je biára operácia a X Y. (b) Ako je defiovaý jedotkový elemet a X Y? (c) Ako je defiovaý iverzý elemet (,y)? (d) Dokážte, že algebraická štruktúra ( X Y, g ) je grupa. Y,o sú grupy. Defiujte a Cvičeie 6.. Nech ( N, ) je algebraická štruktúra, kde N je možia obsahujúca ezáporé celé čísla. Biára operácia je defiovaá takto y = ma,y { } (a) Dokážte, že algebraická štruktúra ( N, ) je pologrupa. (b) Rozhodite, či ( N, ) je mooid. Cvičeie 6.. Uvažujme eštvorcový obdĺžik, ktorého vrcholy sú ozačeé číslicami,, a 4. L 4 L C C 4 4 4 4 L L 4 4 4 4 Teto obdĺžik má štyri operácie symetrie C : rotácia o 0 stupňov okolo stredu obdĺžika, C : rotácia o 80 stupňov okolo stredu obdĺžika, L : refleia priamkou L a L : refleia priamkou L. Pre lepšie pochopeie týchto elemetov symetrie budem špecifikovať ich aplikáciou a postuposť (,,,4) C 4,,, = 4,,, ( ) ( ) ( 4) = ( 4) ( 4) = ( 4) ( 4) = ( 4) C,,,,,, L,,,,,, L,,,,,, 6. kapitola, str. 7 (8.. 006 o 6:59)

Pre takto defiovaé elemety zostrojte ich kompozíciu (biáru operáciu), apríklad C L 4,,, = C L 4,,, = C 4,,, = 4,,, = L ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (a) Zostavte multiplikačú tabuľku pre kompozíciu dvoch operácií symetrie. A= C,C,L,L, je grupa. ( ) (b) Dokážte, že algebraická štruktúra { } Cvičeie 6.. Nech ( X, ) je komutatívy mooid. Ukážte, že možia idempotetých elemetov X = ; ( X) ( = ) tvorí algebraickú štruktúru( X, ), ktorá je podmooid. { } Cvičeie 6.4. Nech algebraická štruktúra ( X, ) je grupa. Stred tejto štruktúry je defiovaý ako podmožia X, ktorá obsahuje elemety komutujúce so všetkými elemetami X, Xcetre = { ; ( X) ( y( y = y ) )}. Dokážte, že algebraická štruktúra ( X ceter, ) je pogrupa grupy ( X, ), ( X, ) ( X, ). ceter Cvičeie 6.5. Nech X je možia, ktorá obsahuje matice 0, kde je celé číslo. X,, kde biára operácia je priradeá maticovému (a) Ukážte, že algebraická štruktúra ( ) súčiu, je grupa. (b) Dokážte, že zobrazeie f:x Z, kde Z je možia celých čísel, ktoré je defiovaé je izomorfizmus medzi ( X, ) a ( ) f = 0 Z,+. 6. kapitola, str. 8 (8.. 006 o 6:59)