RAD SILE Sila se može tokom kretanja opisati kao zavisnost od vremena t ili od trenutnog vektora položaja r. U poglavlju o impulsu sile i količini kretanja je pokazano na koji način se može povezati kretanje sa promjenljivom silom koja zavisi od vremena t. U nastavku će biti uveden pojam rada sile. Drugi Njutnov zakon se može proširiti tako da se obe njegove strane jednakosti pomnože sa dr F R dr = ma dr Lijeva strana prethodnog izraza predstavlja diferencijalnu formu rada rezultantne sile FR. dw = F R dr Ako se neki objekat na kojeg djeluje rezultantna sila FR kreće od tačke 1 do tačke 2, onda se vwktori položaja u tačkama 1 i 2 mobu označiti kao r 1 i r 2. Integraljenjem lijeve i desne strane prethodne jednakosti, uzimajući u obzir promjenu vektora položaja, dobija se izraz za rad sile F na intervalu 1-2 W = r 2 F R r 1 Obzirom da su i rezultantna sila F R i vektor položaja r vektorske veličine, njihov skalarni proizvod je skalarna veličina koja se zove rad sile FR, i koja se značava slovom W. Jedinica za rad sile je 1J (Džul) koja odgovara 1Nm. Obzirom da dr predstavlja promjenu radijus vektora, koja je za mali dio puta poklapa sa pravcem tangente, može se tvrditi da ta promjena radijus vektora približno odgovara pređenom putu na itom tom intervalu. Sada se jednačina za rad može zapisati W = s 2 F R s 1 dr cos α ds gdje α predstavlja ugao koji zaklapa sila FR sa pravcem tangente na putanju a s1 i s2 pređeni put u tačkama 1 i 2. Odavde se može zaključiti da samo tangencijalna
komponenta rezultantne sile vrši rad, koji može biti pozitivan (ako je pomak u smjeru rezultantne sile) ili negativan (ako je pomak suprotan smjeru rezultantne sile). Prema tome, normalna komponenta rezultantne sile ne vrši rad (odnosno njen rad jednak je nuli). Na osnovu jednačine za rad sile na putu se može skicirati i graf promjene projekcije sile na tangentu u zavisnosti od pređenog puta s. Osjenčena površina ispod grafa na intervalu predstavlja veličinu ukupnog rada rezultantne sile na intervalu puta od s1 do s2. R Ako se u razmatranje uzme objekat koji vrši pravolinijsko kretanje, rad koji vrši rezultantna sila na taj objekat se može izraziti kao s 2 W = F R cos α ds jer projekcija rezultantne sile ostaje konstantna tokom čitavog kretanja od s1 do s2. Rješavanjem integrala dobija se izraz za rad konstantne sile duž pravolinijskog puta s 1 W = F R cos α (s 2 s 1 ) Dijagram promjene sile u zavisnosti od puta s sada izgleda ovako R R gdje površina osjenčenog dijela dijagrama predstavlja rad konstantne sile na pravolinijskom putu.
Primjer: Blok mase m se pomjera uz strmu ravan kružnog oblika pod uticajem vjetra. Brdo ima kružni oblik poluprečnika R. Vjetar puše konstantno, stvarajući horizontalnu silu F. Koliki rad izvrši sila vjetra gurajući teret od dna brda do vrha brda? Ako se dvije susjedne pozicije bloka prikažu na slici, vektor promjene položaja se može obilježiti kao dr, dok se ugao koji opiše radijus vektor označen sa dθ. Ugao koji zaklapa sila F sa tangentom putanje se mijenja kao što je prikazano na slici, i može se zapisati Izraz za rad sile sada postaje α = 90 θ dw = F cos(90 θ) dr Obzirom da je cos(90 -θ) = sinθ i da se promjena vektora položaja može zapisati kao izraz za rad postaje dr = Rdθ dw = F sin θ R dθ Za prehodnu jednačinu je potrebno riješiti integral obe strane jednakosti. Na desnoj strani jednakosti će se javiti određeni integral, gdje ugao koji pređe radijus vektor ide od 0 do 90. 90 W = F sin θ 0 R dθ = F R ( cos θ) 90 0 = FR ( cos 90 + cos 0 ) = FR
Zakon rada i energije Tangencijalna komponenta sile jedina vrši rad. Ona se može zapisati odnosno F R cos θ = ma t F R cos θ = m dv dt Desnu stranu jednakosti moguće je proširiti sa ds/ds F R cos θ = m dv ds dt ds F R cos θ = mv dv ds Ako se ds sa desne strane prebaci na lijevu stranu jednakosti, dobija se F R cos θ ds = mvdv Ako se objekat kreće od tačke 1 gdje ima pređeni put s1 i brzinu v1 do tačke 2 gdje ima pređeni put s2 i brzinu v2, ako se prethodna jednačina integrali dobija se s 2 v 2 F R cos θ ds = mvdv s 1 Lijevu stranu jednakosti čini rad rezultantne sile po pređenom putu od tačke 1 do tačke 2. Na desnoj strani jednakosti se može riješiti integral. v 1 w = m v 2 2 2 m v 2 1 2 Desna strana jednakosti predstavlja promjenu kinetičke energije između tačaka 1 i 2. Navedena jednakost predstavlja zakon rada i energije. Rad koji izvrši neka sila na putu između tačaka 1 i 2 jednak je promjeni kinetičke energije na tom putu. Iz navedene jednačine se vidi da se kinetička energija može računati kao E K = 1 2 mv2 Kinetička energija predstalja oblik energije kojeg ima svaki objekat koji se kreće i zavisi od mase i brzine kretanja objekta. Zakon rada i energije se često zapisuje i u slijedećem obliku E K 1 + W = E K2 što znači da početna kinetička energija objekta zajedno sa radom kojeg izvrši sila na razmatranom intervalu daje konačnu vrijetnost kinetičke energije na kraju tog intervala.
Za stistem materijalnih čestica, prethodni zakon vrijedi u obliku E K 1 + W = E K2 što znači da zbir kinetičkih energija svih čestica koje čine sistem i rad svih sila koje djeluju na sistem daju konačnu kinetičku energiju sistema materijalnih čestica. Snaga Snaga je pojam koji jednostavno opisuje koliki rad treba da izvrši neka mašina u određenom vremenskom intervalu. Snaga se može zapisati kao izvod rada po vremenu P = dw dt gdje je sa P označena snaga koja opisuje izvršeni rad W. Ranije je zapisan dw kao što uvršteno u izraz za snagu daje dw = F R dr P = F R dr dt = F R v Što predstavlja skalarni proizvod vektora rezultantne sile i brzine v. Jedinica za snagu je vat (Wat) i označavase slovom W. 1W = 1 J s Pored ove jedinice često je u upotrebi jedinica za snagu konjska snaga, koja se kraće označava sa hp (horse power). Po definiciji, konjska snaga je snaga potrebna da se teret mase 75 kg podigne u zrak za 1 m u 1 s. Često se za pri spomenu snage spominje i pojam stepena iskorištenja. Stepen iskorištenja najčešće spominje kad je u pitanju odnos mehaničke snage koju stvara motor (izlazna) i snage električne energije koja se potroši (ulazna). ε = P izlazna P ulazna = P meh. P elektr.
RAD KONZERVATIVNIH SILA Rad sile gravitacije Ako se uzme da čestica mase m se kreće iz tačke 1 do tačke 2, njena težina djeluje u negativnom smjeru y ose. Promjene rada sile težine između tačaka 1 i 2 se može zapisati kao y 2 W = F dr = mg dy = mg(y 2 y 1 ) = mg y y 1 gdje je Δy promjena visine po osi y. Predznak minus (-) označava predznak sile težine po y osi, i od predznaka promjene visine po y osi zavisi predznak rada sile težine. Ako je promjena pozitivna (čestica se penje prema gore) rad sile težine je negativan, a ako je promjena visine negativna (čestica se spušta prema dole) rad sile težine je pozitivan. Iz navedenog se može zaključiti da rad gravitacione sile ne zavisi od putanje, nego samo od intenziteta gravitaione sile (težine) pomnožene sa vertikalnim pomakom (promjenom visine). Rad elastične sile Ako se opruka krutosti k istegne za vrijednost ds, rad elastične sile se može izraziti kao s 2 W = ks ds = ( 1 s 1 2 ks 2 2 1 2 ks 1 2 )
Rad elastične sile predstavljen na dijagramu sila pređeni put se može predstaviti trapezom osjenčenim na dijagramu. Rad elastične sile opruge jednak je osjenčenoj površini. Predznak promjene rada elastične sile, iako u jednačini ima preznak minus (-), zavisit će od smjera kretanja. Ako se kretanje i vektor sile poklapaju po smjeru, onda je rad elastične sile pozitivan, odnosno ako su suprotnog predznaka, onda je negativan. RAD SILE TRENJA Pri kretanju objekata po hrapovoj podlozi, na dodirnoj površini između objekta i podloge se javlja komponenta kompaktne sile u vidu sile kinetičkog trenja. Ako objekat pređe put dužine s po hrapavoj podlozi, rad sile trenja se može zapisati kao W = F tr s = N μ K s Rad sile trenja uvijek ima negativan predznak, jer se sila trenja suprotstavlja kretanju. Samo sila kinetičkog trenja vrši rad. Sila statičkog trenja ne vrši rad, obzirom da pri djelovanju sile statičkog trenja ne dolazi do kretanja, odnosno pređeni put jednak je nuli.
POTENCIJALNA ENERGIJA Ako rad sile ne zavisi od putanje kretanja, nego samo od početnog i krajnjeg položaja objekta na putanji, takve sile se nazivaju konzervativne sile. Takve sile su sila zemljine teže (težina) i elastična sila. Rad sile zemljine teže zavisi samo od promjene visine bez obzira na putanju. Isto tako i elastična sila vrši rad koji zavisi samo od istegnutosti opruge, a ne oblika putanje po kojoj se mijenjala dužina opruge. S druge strane, sila trenja nije konzervativna sila jer rad sile trenja direktno zavisi od pređenog puta, pa tako i od oblika putanje. Kapacitet konzervativnih sila za vršenje rada se definiše kao potencijalna energija. Ako kao primjer se uzme objekat podignut na visinu h u odnosu na neku referentnu ravan, taj objekat ima potencijal da ukoliko se pusti da slobodno pada, tu visinu na neki način pretvori u brzinu koja definiše kinetičku energiju. Potencijalna energija gravitacije je energija koja nastaje od sile zemljine teže. Potencijalna energija gravitacije zavisi od položaja objekta u odnosu na neku referentnu visinu. Ako je trenutni položaj objekta iznad referentne visine, onda je potencijalna energija pozitivna. Ako je trenutni položaj objekta ispod referentne visine, onda je potencijalna energija negativna. U referentnoj visini potencijalna energija gravitacije jednaka je nuli. Potencijalna energija gravitacije se može zapisati kao E p gr. = mgy = mgh gdje je h visina objekta u odnosu na referentnu visinu.
Potencijalna energija elastične sile (ili potencijalna sila opruge) je energija koja je uskladištena u opruzi koja je promjenila svoju dužinu u odnosu na svoje neopterećeno stanje. Potencijalna energija opruge čija je dužina promjenjena za vrijednost δ se može izraziti kao E p op. = 1 2 kδ2 Potencijalna energija opruge uvijek ima pozitivan predznak, jer izduženje opruge iako može biti i negativno, njegov kvadrat je uvijek pozitivan. MEHANIČKA ENERGIJA Mehanička energija se definiše kao zbir potencijalnih energija i kinetičke energije. Mehanička energija opisuje stanje sistema u datom trenutku. Kinetička energija opisuje kretanje sistema, dok potencijalne energije opisuju relativne položaje članova sistema koji se razmatra (npr. visinu loptice u odnosu na površinu zemlje, udaljenost masa povezanih oprugom). Pored mehaničkih energija postoje i druge vrste energije kao što su toplotna, elektromatnetna, nuklearna koje na određeni način mogu uticati na kretanje. Obzirom da ukupna količina energije je uvijek konstantna, pri kretanju se energija ne može izgubiti, nego samo pretvoriti u drugi vid energije. Pri pojavi trenja na krapavoj podlozi, na dodirnoj površini između objekta i podloge dolazi do zagrijavanja podloge. Obzirom da je poznato da trenje se opire kretanju, ono uzrokuje smanjenje brzine. Smanjenjem brzine se smanjuje i kinetička energija. Ukoliko nije došlo do promjene potencijalne energije, to znači da je dio ukupne mehaničke energije se pretvorio u toplotnu energiju nastalu na dodirnoj površini objekta i podloge.
Kao što je rečeno, ukupna energija je uvijek konstantna E uk. = const. Ako se u razmatranje uzme objekat koji se kreće iz tačke 1 prema tački 2, njegovu mehaničku energiju može samo promjeniti neka nekonzervativna sila koja će taj dio energije pretvoriti u neki drugi vid energije, odnosno neki drugi vid energije pretvoriti u mehaničku energiju. Jednačina energije pri kretanju iz tačke 1 prema tački 2 se može zapisati E meh. 1 + W nekonz. = E meh. 2 Ako vanjska nekonzervativna sila povećava ukupnu energiju (dodaje novu energiju u sistem), onda je njen rad pozitivan, odnosno ako vanjska nekonzervativna energija smanjuje ukupnu mehaničku energiju, onda je njen rad negativan. Primjer pozitivnog rada nekonzervativne sile je vanjska sila kojom osoba vuče sanduk. Osoba energiju uskladištenu u mišićima pretvara u silu kojom vuče sanduk, te tako dodaje energiju na mehaničku energiju u tački 1. Primjer negativnog rada je rad sile trenja. Sila trenja se odupire kretanju, te dio mehaničke energije pretvara u toplotnu na dodirnim površinama između objekta i hrapave podloge. Ukoliko na objekat ne djeluju nekonzervativne sile, onda se jednačina energije između dvije tačke kretanja može zapisati E meh. 1 = E meh.2 što predstavlja zakon o održanju mehaničke energije. Mehanička energija ostaje konstantna tokom kretanja ukoliko na objekat kretanja ne djeluju nekonzervativne sile. Obzirom da se mehanička energija sastoji od kinetičke i potencijalnih energija, onda se zakon o održanju mehaničke energije može zapisati kao E k 1 + E op. p + E gr. 1 p = E 1 k2 + E op. p + E gr. 2 p 2 Za sistem materijalnih čestica se zakon o održanju mehaničke energije može zapisati kao E meh. 1 = E meh.2