Proračun štapova na zatezanje i pritisak Osnova za proračun je zadovojenje nejednačine, max d gde je max maksimum apsoutne vrednosti normanog napona štapa a d je dozvojeni normani napon Ovakva nejednakost ii d su poazište za dimenzionisanje kao veoma česte varijante proračuna U drugim varijantama proračuna, kada su poznate veičine poprečnih preseka može da se traži ii nosivost (odnosno, veičine sia, opterećenja) ii (za poznato opterećenje) veičine radnih napona Dozvojeni napon i stepeni sigurnosti Dozvojeni napon d obično se bira tako da iznosi samo jedan deo, od R za pastične materijae, odnosno, od M za krte materijae: R M d, d, nr nm gde su n i n odgovarajući stepeni sigurnosti R M Orijentacione vrednosti za n R :,5 3 srednje vrednosti;,5,33 ako se tačno zna naponsko stanje i primenjuju visoko kvaitetni materijai; 3 4 ako je stanje napona nedovojno tačno određeno ii se primenjujumaterijai neodređenih kvaiteta Orijentacione vrednosti za : 4-8 za iveno gvožđe, 8- za drvo itd n M Za pojedine standardne materijae se uvrđuje državnim propisima d
Izduženje štapa kojem se jedna krajnja tačka pomera a druga je nepokretna DB dužina štapa pre deformacije DB' dužina štapa nakon deformacije BB' pomeranje krajnje tačke B eastičnog štapa S obzirom da je u trougu DB'B" ugao φ mai važi: cosϕ DB' DB" DB' DB DB" DB Konačno, iz trouga BB'B" BB' cosβ BB" Izduženje (ii skraćenje) eastičnog štapa jednako je projekciji pomeranja njegove krajnje tačke na pravac štapa pre deformacije BB' cosβ Sučajevi kada je izduženje (ii skraćenje) eastičnog štapa jednako pomeranju njegove krajnje tačke: BB' cosβ BB' BB'
Štap konstantnog poprečnog preseka, dužine i modua eastičnosti E koji je,, a ksijano opterećeni štap koji po segmentima ima konstantne normane napone Dijagram aksijanih sia Izduženja segmenata 0 0 E dz E dz E zategnut ii pritisnut siom :, E Statička jednačina: 0 tj 0 i Z i 0 4 3 Konstantni normani naponi segmenata:,, 4 D C C B B Izduženja segmenata i ukupno izduženje: ( ),, 4 E c E b E a D C C B B
Primer Za prikazan statički određen štap izožen aksijanom opterećenju izvršiti dimenzionisanje (odrediti veičinu koja određuje poprečni presek) i odrediti ukupno izduženje štapa (odnosno, odrediti -B ) Veičine d, a, b, i E su poznate Za određivanje -B smatrati da je i veičina poznata Ukupno izduženje štapa: Ukupno izduženje štapaće se dobiti kao agebarski zbir izduženja njegovih segmenata: Statička jednačina: i 0 3 0 4 Naponi u segmentima i dimenzionisanje: 4 3 C d, CB d 3 3 3 3 4 d jer je > 3 B C C B d 4a C CB B 3E - Izduženje prvog segmenta - Izduženje drugog segmenta 3b E
Primer Za prikazan statički određen štap izožen aksijanom opterećenju izvršiti dimenzionisanje (odrediti veičinu koja određuje poprečni presek) i odrediti ukupno izduženje štapa (odnosno, odrediti -B ) Štapu je temperatura povišena za t a koeficijent topotnog širenja je α Veičine d, a, b, t, α, i E su poznate Za određivanje -B smatrati da je i veičina poznata Statička jednačina: i 3 0 Naponi u segmentima i dimenzionisanje: 3, C Ukupno izduženje štapaće se dobiti kao agebarski zbir njegovog izduženja used aksijanog opterećenja i njegovog a 3b a b t izduženja used zagrevanja: B α E E d CB 3 3 d Ukupno izduženje štapa: B d 3 d jer je > ( B ) ( ) used aksijanih sia B used temperature ( )
Primer 3 Za prikazan statički određen štap izožen aksijanom opterećenju izvršiti dimenzionisanje (odrediti veičinu koja određuje poprečni presek) i odrediti ukupno izduženje štapa (odnosno, odrediti -B ) Veičine d, a, b, i E su poznate Za određivanje -B smatrati da je i veičina poznata Statička jednačina: i 0 0 Naponi u segmentima i dimenzionisanje: C > 0, CB < 0, 3 C d, CB d 3 d jer je > Ukupno izduženje štapa: d 3 a b B C CB B 3E E b Izduženje drugog segmenta je negativno zato što je pritisnut: C B < E 0
Primer 4 Homogena kvadratna kruta poča težine G može da se obrće oko nepokretnog zgoba O Nju održava u ravnoteži aki eastični štap, modua eastičnosti E i dozvojenog napona d, kao što je na sici prikazano Dimenzionisati eastični štap (naći nejednakost koja definiše njegov poprečni presek ), a zatim, smatrajući veičinu poznatom, odrediti pomeranje tačke C Veičine: a, G, β, d i E su poznate Dužina eastičnog štapa L je hipotenuza trouga kod kojeg su poznati ugao β i kateta OB, dužine a: a cos β L a L cosβ Uravnotežen sistem sia koji dejstvuje na krutu poču i određivanje sie u eastičnom štapu: M a 0 G S asinβ 0 S Oi G sinβ Preostaa dva usova ravnoteže ( X i 0 i Y 0 i ) nisu pisana zato što se ne traže reakcije u zgobu Dimenzionisanje (Određivanje veičine poprečnog preseka ): S G G G, d d sinβ sinβ sinβ d
U dajem tekstu veičina se smatra poznatom Određivanje izduženja eastičnog štapa a zatim i pomeranja tačaka B i C krute poče: Izduženje štapa: S L G a G a E sinβ cosβ E sin( β) E Veza između izduženja štapa i pomeranja tačke B vidi se preciznije na sici 3): G a sinβ BB BB sin β sinβ sin( β) E Veza između pomeranja tačaka B i C: CC BB OC OB a a OBB' OCC' G a C C BB sinβ sin β E ( )
Izduženje vertikanog štapa uzimanjem u obzir sopstvene težine Vertikani štap je površine poprečnog preseka, specifične težine γ, modua eastičnosti E i dužine Osim sopstvene težine štap zateže i sia (S) Promenjivu aksijanu siu određujemo iz statičkog usova ravnoteže koinearnog sistema sia prikazanog na S: Zi 0 γz a ( z) 0 a ( z) γz Dijagram aksijanih sia prikazan je na S3 Promenjiv napon: a ( ) ( z) γz z γz ( ) Izduženje: z dz γz dz γ 0 0 dz zdz E E E 0 0 E Rešavanje statički neodređenih probema kod aksijano opterećenih štapova To rešavanje pre sve podrazumeva pisanje potrebne statičke jednačine (statičkih jednačina) po nepoznatim veičinama i geometrijskog (geometrijskih) usova γ
deformacije (GUD-a) GUD predstavja inearnu vezu između deformacija (izduženja, skraćenja) Pošto su deformacije zavisne od nepoznatih veičina, GUD nas dovodi do dopunske jednačine po istim nepoznatim Probem je praktično rešen kada se reši sistem sačinjen od statičkih i dopunskih jednačina Primer 5 Za prikazan statički neodređen štap izožen aksijanom opterećenju nacrtati dijagram aksijanih sia, odrediti: reakcije u ukještenjima i B, napone u svim segmentima štapa i pomeranje preseka C Veičine, a, b, c, i E su poznate Na štap osim zadatih sia dejstvuju i reakcije u ukještenjima i, čiji smerovi su B pretpostavjeni kao što je na sici prikazano Statička jednačina: i 0 3 B 0 4() B Nacrtan je mogući obik dijagrama aksijanih sia u skadu sa pretpostavjenim smerovima za i B
GUD i dopunska jednačina: Geometrijski usov deformacije (GUD) odražava činjenicu da, zbog nepomerjivosti zidova, ukupno uzduženje štapa B mora biti jednako nui B C CD DB 0 a ( ) b Bc 0() E E E Rešenja sistema jednačina () i (): b 4c, a b c 8a 3b a b c Pomeranje preseka C u desnu stranu dea štapa koji se proteže od do C B Naponi u segmentima: B C, CD, DB Pomeranje preseka C: δ C C a E δ C ima istu vrednost kao što je izduženje
Primer 6 Za prikazan statički neodređen štap izožen aksijanom opterećenju nacrtati dijagram aksijanih sia i odrediti: reakcije u i B, napone u svim segmentima štapa i pomeranje preseka D Štap je u B ukješten a pre dejstva aktivnih sia na evom kraju je postojao mai zazor δ Nakon dejstva aktivnih sia na evom kraju se, used pritiska štapa na zid pojavia reakcijaveičine, a, b, c, δ, i E su poznate Na štap osim zadatih sia dejstvuju i reakcije u ukještenjima i, čiji smerovi su B pretpostavjeni kao što je na sici prikazano Statička jednačina: i 0 3 B 0 B () Nacrtan je mogući obik dijagrama aksijanih sia u skadu sa pretpostavjenim smerovima za i B
GUD i dopunska jednačina: Geometrijski usov deformacije (GUD) odražava činjenicu da, zbog nepomerjivosti zidova, ukupno uzduženje štapa B mora biti jednako zazoru δ a ( ) b Bc B C CD DB δ δ() E E E Rešenja sistema jednačina () i (): ( c b) Eδ ( 4a 3b) a b c, B Eδ a b c Naponi u segmentima: B C, CD, DB Pomeranje preseka C: Pomeranje u evu stranu preseka D δ ima istu vrednost kao što je izduženje dea štapa koji se proteže od D do B D δ D DB Bc E
Primer 7 Za prikazan statički neodređen štap izožen aksijanom opterećenju, used sia u aksijanom pravcu i zagrevanja, nacrtati dijagram aksijanih sia i odrediti: reakcije u ukještenjima i B, napone u svim segmentima štapa i pomeranje preseka C Štapu je temperatura povišena za t a koeficijent topotnog širenja je α Veičine, a, b, c, t, α, i E su poznate Na štap osim zadate sie dejstvuju i reakcije u ukještenjima i, čiji smerovi su B pretpostavjeni kao što je na sici prikazano Statička jednačina: i 0 B 0 B () Nacrtan je mogući obik dijagrama aksijanih sia u skadu sa pretpostavjenim smerovima za i B
GUD i dopunska jednačina: Geometrijski usov deformacije (GUD) odražava činjenicu da, zbog nepomerjivosti zidova, ukupno uzduženje štapa, prouzrokovano kako B aksijanim opterećenjem tako i zagrevanjem, mora biti jednako nui: B a b Bc ( a b c) α t 0() E E E Rešenja sistema jednačina () i (): c ( a b c) Eα t ( a b) ( a b c) Eα t, B a b c a b c Naponi u segmentima: B C, CD, DB Pomeranje preseka C: Pomeranje preseka C u evu stranu δ ima istu vrednost kao što je skraćenje dea štapa koji se proteže od do C C a δc C C C E C C - Izduženje segmenta koji se proteže između preseka i C - Skraćenje segmenta koji se proteže između preseka i C C ( ) ( ) 0 B used aksijanih sia B used temperature
Primer 8 Centrični eastični štapovi i centrično su pritisnuti krutom počom težine G Štap je duži od štapa za δ, koje je maa veičina Odrediti napone u štapovima? Poznate veičine su: G,,, E, E, i δ Na krutu poču dejstvuje uravnoteženi koinearni sistem sia (S) gde sia S r po svom intenzitetu odgovara sii kojom je pritisnut štap dok sia S r GUD i dopunska jednačina: po svom intenzitetu odgovara sii kojom je pritisnut štap skraćenja štapa za δ: Štap ima ćenje veće od Statička jednačina: S δ GUD U ovom probemu, S koji je jedan put statički neodređen, sta- E E tička jednačina je: GUD daje dopunsku jednačinu: Zbog S i, S S S G() S S δ() Tražena rešenja: Rešenja sistema jednačina () i () su: E E G Eδ G Eδ Si S E, S E i, i, E E E E ( ) ( ) i ( )
Primer 9 Homogena kvadratna kruta poča, težine G, može da se obrće oko nepokretnog zgoba O Nju održavaju u ravnoteži aki eastični štapovi i, kao što je na sici prikazano Površine poprečnih preseka štapova definiše veičina, modu eastičnosti je E a dužine štapova iznose Temperatura oba štapa je povišena za t a koeficijent topotnog širenja je α Odrediti napone u eastičnim štapovima? Veičine: a, G, β,,, α, t i E su poznate Uravnotežen sistem sia koji dejstvuje na krutu poču i dobijanje statičke jednačine u kojoj su jedine nepoznate sie u eastičnim štapovima M a Oi 0 G S asinβ S a 0 sinβs S G() Smerovi sia S r i S r su u skadu sa pretpostavkom da su oba eastična štapa zategnuta Preostaa dva usova ravnoteže ( X i 0 i Y 0 i ) nisu pisana zato što se ne traže reakcije u zgobu
Određivanje geometrijskog usova deformacije (GUD-a) i dopunske jednačine dobijene na osnovu njega GUD predstavja inearnu jednakost koja u ovom sučaju povezuje izduženja štapova (veičine i ) Skraćenica pšpd sa sike znači pravac štapa pre deformacije, na isti način pšpd je pravac štapa pre deformacije Veza između pomeranja tačaka B i C (Sika ): CC BB OC OB a a C C BB (*) OBB' OCC'
Povezanost veičina BB' i (Sika ): β sin BB BB sinβ Povezanost veičina CC' i (Sika 3): cos45 CC CC' Uvrštavanjem posednjih jednakosti u jednakost (*) dobija se GUD: sin β (**) o ' S obzirom da je štap po našoj pretpostavci zategnut i zagrejan, njegovo izduženje je: S α t E
S obzirom da je štap po našoj pretpostavci zategnut i zagrejan, njegovo izduženje je: S α t E Uvrštavanjem posednjih jednakosti u GUD (**) dobija se dopunska jednačina: S S α t sinβ α t() E E Konačna rešenja: Statička jednačina () i dopunska jednačina () predstavjaju sistem od dve jednačine sa dve nepoznate Njihovim rešavanjem dobija se da nepoznate iznose: S Gsinβ Eα t sin β ( sinβ), S G 4Eα t sinβ ( sin β) ( sinβ) Na osnovu dobijenih sia i S, naponi u eastičnim štapovima su: S Gsinβ Eα t S ( sin β) ( sinβ), S G 4Eα t sinβ ( sin β) ( sinβ) i S S