Ispit iz Fizike 1 u februarskom roku 2010. (školska 2009/10.) ETF, Beograd, 21.2.2010. 1. Telo, koje se može smatrati materijalnom tačkom, bačeno je kao kosi hitac sa neke visine pod nekim početnim elevacionim uglom nekom početnom brzinom (vidi sliku uz zadatak 1). Ako je maksimalna visina tela tokom leta y max = 287, 5 m, poluprečnik krivine trajektorije u tački maksimuma trajektorije R B = 125 m, poluprečnik krivine trajektorije u tački izbacivanja tela R A = 1000 m i ubrzanje Zemljine teže g = 10 ms 2, odrediti: a) [20] početni elevacioni ugao (α), b) [20] početnu brzinu (v 0 ) kojom je telo izbačeno, c) [20] visinu (h) sa koje je telo izbačeno, d) [20] domet tela (D) mereno duž horizontale i e) [20] vreme leta (τ). y h v 0 α A B y max D C x Slika 1: Slika uz zadatak 1. Slika 2: Slika uz zadatak 2. 2. Eksperimentator meri koeficijente statičkog i dinamičkog trenja izmed - u malog masivnog tela koje klizi po strmoj ravni i strme ravni sa osloncem u osi koja prolazi kroz tačku O (videti sliku uz zadatak 2). Menjajući nagibni ugao strme ravni u odnosu na ravnu horizontalnu površ Zemlje θ, eksperimentator je zabeležio sledeća tri podatka: (1) za θ = θ 1, telo miruje na strmoj ravni; (2) ako θ malo poraste za θ ( θ θ 1 ) iznad vrednosti θ 1, telo se pokrene niz strmu ravan; (3) zatim se θ smanji na vrednost θ 2, kada se telo kreće konstantnim intenzitetom brzine niz strmu ravan. Odrediti: a) [50] koeficijent statičkog trenja µ s i b) [50] koeficijent dinamičkog trenja µ d.
k 3. Funkcija potencijalne energije je data sa E p (x, y, z) = gde je k poznata x2 + y 2 + z2, pozitivna konstanta, a x, y i z Dekartove koordinate. Odrediti: a) [40] vektor sile koja deluje na česticu, b) [30] rad koji izvrši ta sila pri premeštanju čestice iz pozicije (x 1, y 1, z 1 ) u poziciju (x 2, y 2, z 2 ) i c) [30] promenu kinetičke energije pri tom premeštanju. 4. Kretanje sa promenljivom masom: a) [60] izvesti jednačinu Meščerskog; b) [40] izvesti jednačinu (formulu) Ciolkovskog. 5. Puni homogeni disk poluprečnika R osciluje sa malom ugaonom amplitudom oko horizontalne ose normalne na bazis diska. a) [50] Na kom udaljenju r od centra diska treba da bude osa oscilovanja tako da period malih oscilacija bude minimalan? b) [50] Koliki je minimalni period oscilovanja diska? 6. Na udaljenosti r 1 = 1 m od tačkastog izvora zvuka u vazduhu, njegov nivo intenziteta (jačina) je 80 db. a) [50] Koliki je nivo intenziteta zvuka u db na rastojanju r 2 = 100 m, ako nema apsorpcije zvuka u vazduhu? b) [50] Neka postoji apsorpcija zvuka u vazduhu koja je modelovana eksponencijalnim slabljenjem intenziteta zvuka sa rastojanjem (srednja snaga zvuka opada sa e µ r ), gde je faktor slabljenja µ = 0, 02 m 1, a r = r 2 r 1. Odrediti koliki je u ovom slučaju nivo intenziteta zvuka u db na rastojanju r 2 = 100 m. Uputstvo: Nivo intenziteta zvuka u db se računa po formuli β = 10 log(i/i 0 ), gde je I 0 = 1 10 12 Wm 2 referentni intenzitet zvuka (prag čujnosti), a I intenzitet zvuka. Napomene. Ispit traje 180 min. Studenti koji su zadovoljni poenima osvojenim na predispitnim obavezama (kolokvijumu) rade zadatke od 3 do 6. Na naslovnoj strani vežbanke u polju rednih brojeva zadataka 1 i 2 treba upisati oznake K1 i K1, da bi poeni ostvareni na predispitnim obavezama bili priznati. Studenti koji nisu zadovoljni osvojenim poenima na predispitnim obavezama rade sve zadatke (od 1 do 6). Zadatak koji nije rad - en ili rešenje ne treba bodovati jasno označiti na koricama sveske u odgovarajućoj rubrici znakom X. Na vrhu naslovne strane vežbanke obavezno napisati ime profesora i oznaku grupe (J. Cvetić- P1, P. Marinković-P2, M. Tadić-P3). Dozvoljena je upotreba neprogramabilnih kalkulatora, kao i upotreba grafitne olovke. U gornjem desnom uglu sveske označiti da li ste radili prijemni iz fizike ili ne u formi: prijemni=da ili prijemni=ne. Ako ste radili, a sećate se koliko ste dobili poena, navedite broj poena u formi: prijemni=da=** poena.
Rešenja 1. a) Poluprečnik krivine trajektorije u tački A je (imajući u vidu da je za kosi hitac uvek a = g) R A = v2 0 a n,a = v2 0 g cos α, (1) dok je vrednost poluprečnika krivine u tački B (u maksimumu trajektorije) je R B = v2 0 cos 2 α a n,b gde je g ubrzanje zemljine teže. Deljenjem prethodna dva izraza ima se odakle je b) Iz jed. 1 se ima = v2 0 cos 2 α, (2) g R B R A = cos 3 α, (3) α = arccos 3 R B /R A = 60. (4) v 0 = gr A cos α = 70, 71 m/s. (5) c) Na osnovu parametarskih jednačina x(t) = v 0 t cos α i y(t) = h+v 0 t sin α gt 2 /2, eliminacijom gx 2 vremena dobija se jednačina trajektorije u obliku y = h + x tan α 2v0 2 cos 2 α. Postavljanjem zahteva da je dy/dx = 0, dobija se da je maksimalna visina tela tokom leta Visina sa koje je telo izbačeno y max = h + v2 0 sin 2 α. (6) h = y max v2 0 sin 2 α = 100 m. (7) d) Domet D se lako dobije iz jednačine trajektorije postavljanjem uslova da je za x = D, y = 0, pa je D = v2 0 sin 2α 1 + 1 + h v0 2 sin 2 = 484, 60 m. (8) α e) Vreme leta se dobije iz parametarske jednačine x = v 0 t cos α stavljajući da je za t = τ, x = D, odakle je D τ = = 13, 71 s. (9) v 0 cos α 2. a) Za mirovanje: mg sin θ 1 F tr,s = 0, (10) N mg cos θ 1 = 0. (11)
Sila statičkog trenja: F tr,s µ s N. (12) Na osnovu uslova (2), zaključi se da je sila statičkog trenja maksimalna (neposredno pre pokretanja) F tr,s = µ s N, (13) pa se dobije: b) Uniformno pravolinijsko kretanje: µ s = tan θ 1. (14) mg sin θ 2 F tr,d = 0, (15) odakle se dobije: N mg cos θ 2 = 0, (16) F tr,d = µ d N, (17) µ d = tan θ 2. (18) 3. (a) F x = E p x = kx (x2 + y 2 + z 2 ) 3, F y = E p y = ky (x2 + y 2 + z 2 ) i F 3 z = E p z = kz (x2 + y 2 + z 2 ) 3, (b) A 12 = (E p,2 E p,1 ), (c) E k = A 12. 4. Videti predavanja i skripta. 5. a) Moment inercije diska oko horizontalne ose normalne na bazis diska, na nekom udaljenju r od centra diska, je I = mr2 + mr 2. (19) 2 DJ malih ugaonih oscilacija diska oko ove ose (radi se o fizičkom klatnu) je θ + ω 2 0θ = 0, ω 2 0 = mgr/i = mgr/(mr 2 /2 + mr 2 ). (20) Pošto je traženje minimuma za period oscilovanja ekvivalentno traženju maksimuma kvadrata kružne frekvencije, sledi uslov d(ω 2 0)/dr = 0, odakle se dobija r = R 2. (21) b) Zamenom (21) u (20) sledi 6. a) Intenzitet zvuka na rastojanju r 1 je T min = 2 5/4 π R/g. (22) I 1 = I 0 10 β 1/10. (23) Tačkasti izvor generiše sferne talase srednje snage P na mestu izvora, a njihov intenzitet opada sa kvadratom udaljenosti ako nema apsorpcije zvuka, I = P /(4πr 2 ) = C/r 2, C = const. Na rastojanju r 1 od izvora intenzitet zvuka je jednak I 1 = C/r 2 1, a na rastojanju biće I 2 = C/r 2 2. Koristeći (23) sledi I 2 = I 0 10 β 1/10 r 2 1/r 2 2. (24) Intenzitet zvuka u db na rastojanju r 2 biće prema (24) β 2 = 10 log(i 2 /I 0 ) = 10 log(10 β 1/10 r 2 1/r 2 2) = 10 [ β 1 /10 + log(r 2 1/r 2 2) ] = 40 db. (25)
b) Ako postoji apsorpcija zvuka u vazduhu njegov intenzitet na rastojanju r 1 od izvora je jednak I 1 = P /(4πr 2 ) = (C/r 2 1)e µr 1, a na rastojanju r 2 biće I 2 = (C/r 2 2)e µr 2. Koristeći (23) sledi Jačina zvuka u db na rastojanju r 2 prema (26) biće I 2 = I 0 10 β 1/10 (r 2 1/r 2 2)e µ(r 2 r 1 ). (26) β 2 = 10 log(i 2 /I 0 ) = 10 [ β 1 /10 + log(r 2 1/r 2 2) µ(r 2 r 1 ) log e ] = 31.4 db. (27)