olarnom u oložaj točke u ravnini možemo definirati omoću udaljenosti r od ishodišta i kuta φ koji sojnica ishodišta i točke zatvara s osi φ r (r, φ) kut φ je o konvenciji ozitivan ako ga mijenjamo u smjeru surotnom od kazaljke na satu i negativan ako ga mijenjamo u smjeru kazaljke na satu
olarnom u vezu kartezijevih i olarnih koordinata možemo izvesti iz ravokutnog trokuta na slici φ r (r, φ) = r cosφ i = r sinφ (1) r = 2 + 2 i φ = arcsin (2) 2 + 2
olarnom u ravac aralelan s osi = a r cosφ = a r = (I) a cosφ (3) r φ a
olarnom u ravac aralelan s osi = b r sin φ = b r = (II) b sin φ (4) b r φ
olarnom u (III) oćenitu jednadžbu ravca u kartezijevim = a + b, (5) možemo transformirati u olarne koordinate r sin φ = ar cosφ + b (6) definiramo kut φ 0 tako da vrijedi a = tan φ 0 = r sin φ cosφ 0 r cosφsin φ 0 = b cosφ 0 (7) = r sin (φ φ 0 ) = b cosφ 0 (8) = r = b cosφ 0 sin (φ φ 0 ) (9)
olarnom u skica grafa b φ 0
olarnom u (I) najjednostavniji slučaj je kružnica sa središtem u ishodištu jednadžba takve kružnice (radijusa R) glasi r = R (10) R φ (R, φ)
olarnom u (II) romatramo kružnicu radijusa R sa središtem u točki T(r 0, φ 0 ) jednadžbu u kartezijevim ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 = R 2 (11) = 2 + 2 + 2 0 + 2 0 2 0 2 0 = R 2 (12) transformiramo u olarne koordinate r 2 + r 2 0 2r cosφr 0 cosφ 0 2r sin φr 0 sin φ 0 = R 2 (13) iskoristimo formulu za cosinus razlike kuteva r 2 + r 2 0 2rr 0 cos(φ φ 0 ) = R 2 (14)
olarnom u kružnica radijusa R sa središtem u točki (r 0, φ 0 ) R (r 0, φ 0 ) r 0 φ 0 jednadžba se ojednostavljuje ako je središte kružnice u točki (R, 0) r 2 + R 2 2rR cosφ = R 2 = r (r 2R cosφ) = 0 (15) slučaj r = 0 sadržan je u slučaju r = 2R cosφ za φ = π/2
olarnom u jednadžba kružnice radijusa R sa središtem u točki (R, 0) r = 2R cosφ (16) jedn. (16) slijedi i iz Talesovog teorema (obodni kut) φ r (R, 0) (2R, 0)
olarnom u Arhimedova sirala Arhimedovu siralu oisuje materijalna točka koja se giba konstantnom brzinom v o zraci koja rotira konstantnom kutnom brzinom ω oko ola O kut φ jednoliko raste radijus r tako der jednoliko raste φ = ωt (17) r = vt (18) eliminiramo vrijeme iz jedn. (17): t = φ/ω uvedemo oznaku a v/ω (19) jednadžba Arhimedove sirale: r = aφ (20)
olarnom u skica Arhimedove sirale φ (φ, aφ)
olarnom u jednadžba hierbolne sirale Hierbolna sirala r = a φ jednadžba krivulje u kartezijevim = r cosφ = a cosφ φ romotrimo limes i = r sin φ = a sin φ φ (21) (22) a cosφ a sin φ (0) = lim = i (0) = lim = a (23) φ 0 φ φ 0 φ ravac = a je asimtota krivulje ako kut φ raste radijalna udaljenost se smanjuje tj. točka T(φ, r(φ)) se ribližava ishodištu
olarnom u skica krivulje = a (φ, a/φ) φ
olarnom u jednadžba logaritamske sirale retostavimo da je k > 0 Logaritamska sirala r = ae kφ (24) orastom kuta φ radijalna udaljenost r = ae kφ raste i točka odlazi u beskonačnost za vrijednost kuta φ = 0, radijalna udaljenost iznosi a daljnjim smanjivanjem kuta (φ ) radijalna udaljenost ada i točka se ribližava ishodištu u slučaju k < 0, orastom kuta točka ide rema ishodištu, dok se smanjivanjem kuta (φ ) točka udaljava rema beskonačnosti
olarnom u skica logaritamske sirale (k > 0) crtkano je označen dio grafa za koji vrijedi φ < 0 (φ, ae kφ ) (0, a)
olarnom u P r d φ A romatramo točku O i ravac AB udaljen za D od O točka P se giba u ravnini tako da je omjer udaljenosti od točke O (r) i ravca AB (d) konstantan udaljenost od ravca d = D r cosφ D B omjer udaljenosti r i d je konstanta ( e) r d = r D r cosφ e
olarnom u slijedi jednadžba konične krivulje u olarnom u r = ed 1 + e cosφ 1 + e cosφ ri tome smo uveli arametar krivulje (25) = ed (26) jednadžbu (25) možemo transformirati u kartezijeve koordinate r = 1 + e cosφ = 2 + = 1 + e 2 2 + 2 omnožimo jednadžbu s 2 + 2 = 2 + 2 + e = e = 2 + 2 (27)
olarnom u kvadriramo jednadžbu 2 2e + e 2 2 = 2 + 2 (28) = (1 e 2 ) 2 + 2e + 2 = 2 (29) [ = (1 e 2 ) 2 + 2e ] (1 e 2 ) + 2 = 2 (30) rethodni izraz nadounimo do otunog kvadrata [ (1 e 2 ) + e ] 2 1 e 2 2 e 2 1 e 2 + 2 = 2 (31) slijedi jednadžba konične krivulje u Kartezijevim (1 e 2 ) 2 [ 2 + e ] 2 1 e 2 + 1 e2 2 2 = 1 (32) ovisno o vrijednosti arametra e razlikujemo četiri slučaja
olarnom u Prvi slučaj: e = 0, kružnica radijusa Drugi slučaj: 0 < e < 1, elisa (1 e 2 ) 2 2 2 + 2 = 2 (33) [ + e ] 2 1 e 2 + 1 e2 2 2 = 1 (34) ( + c) 2 a 2 + 2 b 2 = 1 (35) u itanju je elisa s oluosima a = 1 e 2 b = 1 e 2 (36) centar elise je omaknut od ishodišta za c = e 1 e 2 (37)
olarnom u Treći slučaj: e = 1, arabola Četvrti slučaj: e > 1, hierbola (e 2 1) 2 2 2 = ( 2) (38) [ e ] 2 e 2 e2 1 1 2 2 = 1 (39) ( c) 2 a 2 2 b 2 = 1 (40) u itanju je hierbola s oluosima a = e 2 1 b = e2 1 (41) centar hierbole je omaknut od ishodišta za c = e e 2 1 (42)
olarnom u Elisa r(φ) = 1 1 + e cosφ U O r min V = r(0) = 1 1 + e najmanja udaljenost od centra sile (ericentar): r min = OV = r(0) = 1 + e (43)
olarnom u Elisa r(φ) = 1 1 + e cosφ U r ma O V = r(π) = 1 1 e najveća udaljenost od centra sile (aocentar): r ma = OU = r(π) = 1 e (43)
olarnom u U a C O V veza velike oluosi a i arametara i e 2a OV + OU = 1 + e + 1 e = 2 1 e 2 (44) = = a(1 e 2 ) (45)
olarnom u U C c O V udaljenost od centra elise do fokusa c = CV OV = a 1 + e = a a(1 e2 ) 1 + e (46) = c = ae (47)
W olarnom u a a O C O alternativna definicija elise: sku točaka za koje je zbroj udaljenosti od dvije fiksne točke (fokusi) konstantan i iznosi 2a OW + O W = 2a = OW = a (48)
olarnom u b W a C c O veza male oluosi b i arametara i e b 2 = OW 2 CO 2 = a 2 c 2 = a 2 e 2 a 2 (49) = b = a 1 e 2 (50)
olarnom u Parabola jednadžba arabole r(φ) = 1 + cosφ (51) minimalna udaljenost od ishodišta: O r min /2 r min = r(φ = 0) = /2 (52) krivulja siječe os u točkama P 1 (0, ) i P 2 (0, )
olarnom u O + /2 Parabola jednadžba arabole r(φ) = 1 + cosφ minimalna udaljenost od ishodišta: (51) r min = r(φ = 0) = /2 (52) krivulja siječe os u točkama P 1 (0, ) i P 2 (0, )
olarnom u nazivnik orbite iščezava u točkama φ = ±π a tamo orbita divergira r O φ
olarnom u Hierbola jednadžba hierbole r(φ) = 1 + e cosφ (53) O r min P minimalna udaljenost od centra olja r min = r(0) = 1 + e (54)
nazivnik orbite iščezava ako je isunjen uvjet olarnom u cosφ = 1 e (55) r O φ (1) rvo rješenje nalazi se u drugom kvadrantu φ (1) = π arccos 1 e (56) drugo rješenje nalazi se u trećem kvadrantu φ (2) = π + arccos 1 e (57)
nazivnik orbite iščezava ako je isunjen uvjet olarnom u cosφ = 1 e (55) r φ (2) O rvo rješenje nalazi se u drugom kvadrantu φ (1) = π arccos 1 e (56) drugo rješenje nalazi se u trećem kvadrantu φ (2) = π + arccos 1 e (57)
olarnom u P r O φ O lijeva grana hierbole odgovara jednadžbi r(φ) = 1 + e cosφ minimalna udaljenost od centra olja iznosi /(1 + e) kut φ se može mijenjati u intervalu π + arccos 1 e φ π arccos 1 e (58) (59)
olarnom u O φ r O P desna grana hierbole odgovara jednadžbi r(φ) = 1 + e cosφ minimalna udaljenost od centra olja iznosi /( 1 + e) kut φ se može mijenjati u intervalu arccos 1 e φ arccos 1 e (60) (61)
olarnom u krivulju zadanu r(φ) možemo naisati u arametarskom obliku (φ) = r(φ) cos φ i (φ) = r(φ) sin φ (62) rvo rovjerimo ostoji li vrijednost kuta φ za koju jedna od funkcija (φ) ili (φ) divergira, a druga ostaje konačna ako ostoji kut φ 0 sa svojstvom lim (φ) = A i lim (φ) =, (63) φ φ 0 φ φ 0 krivulja ima vertikalnu asimtotu = A ako ostoji kut φ 0 sa svojstvom lim (φ) = i lim (φ) = B, (64) φ φ 0 φ φ 0 krivulja ima horizontalnu asimtotu = B
olarnom u ako obje funkcije divergiraju ali ritom vrijedi lim (φ) = i lim (φ) =, (65) φ φ 0 φ φ 0 (φ) lim φ φ 0 (φ) = k i lim [(φ) k(φ)] = b, (66) φ φ 0 krivulja ima kosu asimtotu = k + b (67)
olarnom u jednadžbu hierbole r(φ) = možemo naisati u arametarskom obliku (φ) = cosφ 1 + e cosφ, e > 1, (68) 1 + e cosφ i (φ) = sin φ 1 + e cosφ (69) obje funkcije divergiraju za kuteve φ (1) = π arccos(1/e) i φ (2) = π + arccos(1/e) (70) u oba slučaja vrijedi cosφ = 1/e dakle, ne ostoje vertikalne ni horizontalne asimtote reostalo je rovjeriti ostoje li kose asimtote
olarnom u da bi odredili koeficijent smjera moguće asimtote tražimo limes (φ) lim φ φ (φ) = tan φ (71) za svaki kut ostoji rješenje k 1 = tan φ (1) = e 2 1 i k 2 = tan φ (1) = e 2 1 (72) sada tražimo odsječak na osi b = lim [(φ) k(φ)] (73) φ φ [ ] = lim (sin(φ) k cos(φ)) (74) φ φ 1 + e cosφ [ ] = lim φ φ 1 + e cosφ (sin(φ) tan φ cos(φ)) (75) sin (φ φ ) = lim cosφ φ φ 1 + e cosφ (76) sin (φ φ ) = e lim φ φ 1 + e cosφ (77)
olarnom u u zadnjem koraku smo iskoristili uvjet cosφ = 1/e u oba slučaja φ (1) i φ (2) koristimo L Hositalovo ravilo cos(φ φ ) b = e lim φ φ e sin φ za svaki kut smo dobili odsječak na osi b 1 = b 2 = sin φ (1) sin φ (2) = e e2 1 = e e2 1 = sin φ (78) (79) (80) konačno, asimtote hierbole glase 1 = e 2 1 + e e 2 1 2 = e 2 1 e e 2 1 (81) (82)