SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek, 15. rujna 2015. Mario Aračić

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Proračun otpornosti elemenata izloženih savijanju i tlačnoj sili prema Metodi 1 Osijek, 15. rujna 2015. Mario Aračić

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZNANSTVENO PODRUČJE: ZNANSTVENO POLJE: ZNANSTVENA GRANA: TEMA: PRISTUPNIK: TEHNIČKE ZNANOSTI GRAĐEVINARSTVO METALNE KONSTRUKCIJE PRORAČUN OTPORNOSTI ELEMENATA IZLOŽENIH SAVIJANJU I TLAČNOJ SILIPREMA METODI 1 MARIO ARAČIĆ sveučilišni preddiplomski studij U radu je potrebno opisati problem otpornosti elemenata izloženih savijanju i tlačnoj sili prema Metodi 1 te opisanu problematiku primijeniti na primjeru proračuna čelične konstrukcije. Proračunom je potrebno provesti dokaz nosivosti svih elemenata uz maksimalnu iskoristivost istih. Za usporedbu izraza Metode 1 navedeni su izrazi za proračun prema Metodi 2. Osijek,15. rujna 2015. Mentor: završne i diplomske ispite: Predsjednik Odbora za prof.dr.sc. Damir Markulak, dipl.ing.građ izv.prof.dr.sc. Mirjana Bošnjak-Klečina dipl.ing.građ.

SADRŽAJ 1 Uvod... 1 2 Element opterećen uzdužnom tlačnom silom... 2 2.1 Pojam kritične sile... 2 2.2 Eulerov kritični napon... 2 2.3 Otpornost tlačnog elementa... 4 2.4 Izvijanje savijanjem realnog konstrukcijskog elementa... 5 2.5 Izvijanje torzijom i savijanjem sa torzijom... 7 3 Element opterećen momentom savijanja... 8 4 Element opterećen momentom savijanja i uzdužnom tlačnom silom... 11 4.1 Opća razmatranja... 11 4.2 Otpornost poprečnog presjeka... 17 4.3 Utjecaj sekundarnog momenta Teorija II. reda... 19 4.4 Povijest interakcijskih izraza... 21 5 Element opterećen momentom savijanja i uzdužnom vlačnom silom... 26 6 Otpornost elementa izloženog istovremenom savijanju i tlačnoj sili prema EN 1993-1-1... 28 6.1 Proračun nosivosti elemenata izloženih savijanju i tlačnoj sili prema Metodi 1... 31 6.2 Proračun nosivosti elemenata izloženih savijanju i tlačnoj sili prema Metodi 2... 35 6.3 Proračun nosivosti elemenata izloženih savijanju i tlačnoj sili prema britanskim standardima 37 7 Proračun čelične konstrukcije prema EN 1993-1-1... 39 7.1 Podatci o konstrukciji i analiza opterećenja... 40 7.2 Proračun otpornosti elementa STUP 3... 43 7.3 Proračun otpornosti elementa STUP 4... 55 7.4 Proračun otpornosti elementa STUP 5... 67 7.5 Proračun otpornosti elementa GREDA 7... 89 7.6 Proračun otpornosti elementa GREDA 9... 112 8 Zaključak... 139 9 Popis literature... 140 10 Popis slika... 141 11 Popis tablica... 141 Aračić, Mario I

1 Uvod U elementima realne konstrukcije je istovremena pojava momenta savijanja i uzdužne sile gotovo uvijek prisutna. Ukoliko je uzdužna tlačna sila dosta izraženija, a moment savijanja niske vrijednosti element se promatra kao stup, u suprotnom slučaju element se promatra kao greda. Predmet ovog rada najvećim će dijelom biti slučaj kada su obje veličine značajno izražene i tada koristimo termin stupgreda. Takvi elementi podvrgnuti su kombinaciji tlačnih, vlačnih i naprezanja od momenta savijanja te moraju osigurati prostornu (globalnu) sigurnost uz lokalnu stabilnost uslijed izbočavanja pločastih elemenata. Ipak, da bi mogli shvatiti ovu kompleksnu pojavu bitno je shvatiti ponašanje elementa kada je opterećen samo uzdužnom tlačnom silom odnosno momentom savijanja o čemu će biti govora u narednim poglavljima. Ponašanje stup-greda je predmet proučavanja dužni niz godina. Iako ova problematika nije potpuno razjašnjena proračunske metode su najvećim dijelom temeljene na empirijskim formulama. U tradicionalnim pristupima granična elastična stanja su korištena kao osnova proračunskih metoda. Nedavni razvoj pristupa preko graničnih stanja posebnu je pozornost usmjerio na dva zahtjeva: točne informacije o ponašanju konstrukcije pri maksimalnom opterećenju u kojem plastično ponašanje mora biti uzeto u obzir te jednostavne instrukcije pomoću kojih inženjeri mogu ocijeniti ponašanje elemenata i čitave konstrukcije. Većina današnjih standarda odvojeno promatra elemente konstrukcije pri proračunu. Istraživanja MacPhedrana i Grondina 2007. godine pokazala su da interakcijske formule u nekim rijetkim, ali mogućim slučajevima ne pokrivaju dovoljno interaktivno van-ravninsko izvijanje dok bi sagledavanje elementa kao dio cijele konstrukcije polučilo preciznije rezultate, a Massonnet je prije više od tri desetljeća izjavio: izolirane stup-grede...postoje samo u teorijskim modelima i testnim uređajima. Ovo samo ostavlja prostor daljnjem proučavanju čeličnih elemenata i konstrukcija te poboljšanju trenutnih izraza s ciljem sigurnosti konstrukcije. Primjena zadnjih standarda na ovim prostorima (Eurocode) bit će prikazana u sedmom poglavlju ovog rada na primjeru proračuna čelične konstrukcije predviđene za rad trgovine. Aračić, Mario 1

2 Element opterećen uzdužnom tlačnom silom Element opterećen samo uzdužnom tlačnom silom u realnim konstrukcijama pojavljuje se u vrlo malom broju slučajeva, ali usprkos tome potrebno ih je detaljno razmatrati jer tlačni konstrukcijski elementi predstavljaju elementarni slučaj koji pomaže razumijevanju učinku tlaka u ponašanju elemenata opterećenih kombinacijom tlačne sile i momenta savijanja. Budući da je većina ovakvih konstrukcijskih elemenata vrlo vitka oni otkazuju izvijanjem. S ciljem što boljeg razumijevanja ponašanja tlačnih konstrukcijskih elemenata potrebno je objasniti osnovne pojmove vezane uz problem stabilnosti ovakvih konstrukcijskih elemenata. 2.1 Pojam kritične sile Centrično opterećen idealno ravan štap, koji se izvija u slučaju malih deformacija s najnižom vlastitom vrijednosti, daje izraz za Eulerovu kritičnu silu izvijanja: N cr = π2 E I L cr 2 (2.1) Uz pretpostavke: - važi Bernoullijeva hipoteza ravnih presjeka - deformacije su male veličine - osnovni materijal je izotropan - nema vlastitih napona - os štapa je idealno ravna - djelovanje sile je idealno u težištu presjeka štapa - materijal je idealno elastičan (važi Hookeov zakon) Lcr u formuli 2.1. može se definirati kao dužina izvijanja i predstavlja razmak točaka infleksije elastične linije u trenutku dostizanja kritične sile izvijanja Ncr. Izvijanje dvozglobnog konstukcijskog elementa predstavlja elementarni slučaj teorije izvijanja. Međutim, drugačiji uvjeti oslanjanja tlačnog konstrukcijskog elementa bitno utječu na vrijednost kritične sile. Dužina izvijanja daje se u odnosu na dužinu promatranog konstrukcijskog elementa. Ovaj odnos obuhvaćen je faktorom efektivne dužine k. k = L cr L (2.2) 2.2 Eulerov kritični napon Eulerov kritični napon može se definirati kao omjer kritične sile Ncr i površine poprečnog presjeka promatranog konstrukcijskog elementa A, prema sljedećem izrazu: σ cr = N cr A = π2 E I L cr 2 A (2.3) Aračić, Mario 2

Uvođenjem radijusa inercije, i=(i/a) 0,5, i vitkosti λ=lcr/i, izraz (2.3) poprima sljedeći oblik: σ cr = π2 E λ 2 (2.4) Prikaz krivulje σ cr kao funkcije vitkosti λ, (slika 2.1.), s linijom koja predstavlja idealno plastično ponašanje σ=fy, daje idealizirana područja koja predstavljaju otkazivanje izvijanjem kao i otkazivanje tečenjem. Slika 2.1. Eulerova krivulja izvijanja i načini otkazivanja Točka P u kojoj se sijeku Eulerova krivulja izvijanja i linija koja predstavlja idealno plastično ponašanje predstavlja maksimalnu teoretsku vrijednost vitkosti konstrukcijskog elementa izloženog tlačnom naprezanju do granice popuštanja fy. Ova granična vitkost, kada je Eulerov kritični napon σ cr jednak granici popuštanja čelika, dana je izrazom: λ 1 = π E f y = 93,9 ε (2.5) Uz ε=(2335/fy) 0,5 izraz (2.5) poprima oblik primjenjiv za sve kvalitete čelika: λ 1 = 93,9 ε (2.6) Slika 2.1. može se prikazati i u bezdimenzijskom obliku (slika 2.2). Ako se Eulerov kritični napon podijeli s granicom popuštanja (σ cr /ff yy ) i vitkost s graničnom vitkosti (λ/λ 1 ). Ovakav bezdimenzijski pristup Aračić, Mario 3

vrlo je praktičan budući da omogućava primjenu na konstrukcijske elemente različitih vitkosti i kvalitete materijala. Ovaj oblik usvojen je i za europske krivulje izvijanja. Slika 2.2. Bezdimenzijska krivulja izvijanja 2.3 Otpornost tlačnog elementa Elementi izloženi tlačnoj sili mogu se klasificirati prema njihovoj dužini odnosno vitkosti. Kratki elementi otkazuju iscrpljenjem otpornosti poprečnog presjeka odnosno gnječenjem (slika 2.3.a). Njihova je otpornost jednaka jednaka tlačnoj otpornosti poprečnog presjeka. Dugački ili vitki elementi otkazuju izvijanjem (slika 2.3.b). Sila kod koje se događa ovakvo otkazivanje manja je nego u slučaju otkazivanjem gnječenjem kratkog elementa i ovisi o stupnju njegove vitkosti. Stup I poprečnog presjeka pod djelovanjem uzdužne tlačne sile N, s jednakim dužinama izvijanja oko glavnih osi poprečnog presjeka, otkazuje izvijanjem oko slabije z-z osi (slika 2.3.c). Dakle, otpornost takvih elemenata ovisi o njihovoj otpornosti na izvijanje. Otpornost elementa na izvijanje, stupa odnosno štapa izloženog djelovanju uzdužne tlačne sile, funkcija je njegove vitkosti, granice popuštanja čelika, oblika poprečnog presjeka i načina proizvodnje profila. Aračić, Mario 4

Slika 2.3. Ponašanje konstrukcijskog elementa izloženog djelovanju uzdužne tlačne sile 2.4 Izvijanje savijanjem realnog konstrukcijskog elementa Realno ponašanje čeličnih kontrukcijskih elemenata se uvelike razlikuje od idealiziranog ponašanja elemenata. Općenito, konstrukcijski element otkazuje neelastičnim izvijanjem prije dosezanja Eulerove sile izvijanja zbog različitih imperfekcija sadržanih u realnom konstrukcijskom elementu. Imperfekcije realnih konstrukcija možemo razvrstati u nekoliko skupina: - geometrijske imperfekcije, početno odstupanje od idealno ravnog konstrukcijskog elementa, neparalelne pojasnice, asimetrija poprečnog presjeka itd. - materijalne imperfekcije, rezidualni naponi (uzrokovani valjanjem profila ili zavarivanjem kod zavarenih presjeka) ili neelastičnosti materijala (očvršćivanje) - odstupanje uzdužnih sila koje djeluju na konstrukcijski element od idealnog položaja zbog nesavršenosti spojeva, tolerancije izvedbe itd. Sve imperfekcije utječu na izvijanje i prema tome na krajnju otpornost konstrukcijskog elementa. Ispitivanja su pokazala da učinak imperfekcije najviše pogađa elemente srednje vitkosti koji su ujedno i najučestalija izvedba konstrukcijskih elemenata. Ponašanje takvih elemenata srednje vitkosti u velikoj mjeri odstupa od Eulerove teorije. U trenutku izvijanja neka od vlakanaca poprečnog presjeka već su dosegnula granicu popuštanja i krajnja sila otkazivanja nije jednostavna funkcija vitkosti. Početno odstupanje od idealno ravnog konstrukcijsko elementa, e0, ima za posljedicu moment savijanja N e0, odnosno maksimalno naprezanje od savijanja σb, slika 2.4. Aračić, Mario 5

Slika 2.4. Učinak geometrijskih imperfekcija Naprezanja uslijed savijanja σb mogu se zbrojiti s naprezanjima od uzdužne sile σn, i rezidualnim naprezanjima σr, tako dobijemo raspodjelu naprezanja prikazanu na slici 2.5. Slika 2.5 Raspodjela naprezanja po poprečnom presjeku Ukoliko je σmax veći od granice popuštanja, konačna raspodjela će biti djelomično plastična i dio poprečnog presjeka u tlaku teče. (slika 2.6.) Aračić, Mario 6

Slika 2.6. Djelomično tečenje tlačnog konstrukcijskog elementa 2.5 Izvijanje torzijom i savijanjem sa torzijom U prethodnim razmatranjima problema izvijanja savijanjem pretpostavljeno je bilo da se element ne može zakretati oko uzdužne osi. U praksi ovaj uvjet nije u potpunosti zadovoljen. U slučaju konstrukcijskih elemenata koji se mogu zakretati oko uzdužne osi mogu biti mjerodavna otkazivanja stabilnosti prikazana na slici 2.7. Slika 2.7. Problemi stabilnosti tlačnih konstrukcijskih elemenata Aračić, Mario 7

Kao i u slučaju izvijanja savijanjem, ovi problemi stabilnosti predstavljaju problem račvanja ravnoteže. U indiferentnom ravnotežnom stanju konstrukcijski element nalazi se u bliskom stabilnom ravnotežnom položaju pri čemu je poprečni presjek pretrpio pomak i istovremeno zakretanje oko uzdužne osi. Izvijanje torzijom i izvijanje savijanjem sa torzijom neće dati kritičnu silu manju od izvijanja savijanjem u slučaju dvoosnog simetričnog presjeka I i H pod uvjetom da su obje pojasnice pridržane na mjestima bočnih pridržanja te u slučaju zatvorenih poprečnih presjeka. Međutim, u nekim određenim slučajevima, izvijanje torzijom ili izvijanje savijanjem sa torzijom može dati kritičnu silu manju od kritične sile u slučaju izvijanja savijanjem, osobito za otvorene poprečne presjeke. 3 Element opterećen momentom savijanja Puni metalni nosači su najčešće izloženi djelovanju vanjskih sila koje izazivaju savijanje oko jače osi inercije. Savijanje oko slabije osi je uglavnom manjeg intenziteta ili ga uopće nema. Zbog toga se uglavnom koriste I presjeci, kod kojih je krutost na savijanje oko jače osi Iy znatno veća od krutosti na savijanje oko slabije osi Iz. Geometrijske karakteristike nosača I presjeka prilagođene su dakle vanjskim utjecajima. Osim toga, nosači I presjeka spadaju u tankostjene nosače otvorenog poprečnog presjeka pa je njihova torzijska krutost veoma mala. Pošto je torzijska krutost, kao i krutost na savijanje oko slabije osi inercije jako mala, ovakvi nosači su veoma osjetljivi na bočna pomicanja i rotaciju oko centra posmika. Ako promatramo konzolni nosač opterećen na savijanje oko jače osi inercije (slika 3.1), može se uočiti da uslijed opterećenja malog intenziteta dolazi do pomicanja nosača samo u ravnini opterećenja. Slika 3.1. Deformiranje konzolnog nosača opterećenog savijanjem Međutim, pri daljnjem povećanju opterećenja, kada ono dostigne kritičnu vrijednost, dolazi do bočnog pomjeranja tlačnog dijela nosača, praćenog torzijskom rotacijom (uvijanjem nosača). Na ovaj način nosač gubi svoju funkciju, odnosno doživljava lom, prije dostizanja svoje pune nosivosti definirane plastifikacijom poprečnog presjeka. (slika 3.2) Aračić, Mario 8

Slika 3.2. Puna plastifikacija poprečnog presjeka Ovaj fenomen gubitka stabilnosti nosača naziva se bočno-torzijsko izvijanje. Kako je kod elemenata opterećenih na čisto savijanje naponski dijagram, shodno Bernoullijevoj hipotezi, linearan, samo je polovina nosača opterećena na tlak. Međutim, pošto su nosači monolitni, pritisnuta polovica nosača ne može samostalno da se izvije okomito na slabiju os inercije. Preostala vlačna polovica presjeka sprječava njegovo slobodno izvijanje pa dolazi i do rotacije poprečnog presjeka. Prema tome, problem bočnog torzijskog izvijanja ne može se tretirati kao prosto izvijanje tlačnog dijela nosača, već se mora uzeti u obzir i utjecaj torzije na njegovu stabilnost. Problem bočnog torzijskog izvijanja prvi je obradio Timoshenko, koji je ujedno i uspostavio teoriju linearnog elastičnog bočno-torzijskog izvijanja. On je razmatrao problem bočnog-torzijskog izvijanja na prostoj gredi opterećenoj na čisto savijanje. Rezultati su pokazali da čisto savijanje u nedeformiranom položaju, pri njegovom deformiranju prelazi u koso savijanje. Problem savijanja oko slabije osi (bočno savijanje) u vezi je sa torzijskim naprezanjem nosača pa se rješavanjem ovog složenog problema dobiva vrijednost kritičnog momenta bočnog-torzijskog izvijanja Mcr. U deformiranom položaju nosača torzija nosača potiče od promjene položaja ravnina poprečnog presjeka. Vektor momenta savijanja My, koji djeluje na krajevima nosača u ravnini poprečnog presjeka, u proizvoljnom poprečnom presjeku zadržava svoj položaj (ostaje paralelan sa y-y osi). Uslijed rotacije nosača ravnina promatranog poprečnog presjeka više nije paralelna sa ravninom u kojoj leži moment My pa se vektor momenta savijanja razlaže na dvije komponente, jednu koja leži u ravnini poprečnog presjeka deformiranog nosača i drugu koja je okomita na ravninu poprečnog presjeka. Ova druga komponenta predstavlja moment torzije MT. Rješavanjem diferencijalnih jednadžbi dobiva se izraz za kritičan moment savijanja pri kojem dolazi do gubitka stabilnosti nosača uslijed bočnog-torzijskog izvijanja: M cr = π2 l 2 EI Z I ω I Z + l2 π 2 GI t EI Z (3.1) Aračić, Mario 9

Gdje je: Mcr - idealni moment bočnog izvijanja E - modul elastičnosti G - modul posmika IZ - moment površine drugog stupnja oko slabije z-osi IW - moment površine drugog stupnja kod krivljenja - moment površine drugog stupnja kod torzije It Ovaj izraz odnosi se samo na nosače sa opterećenjem i uvjetima oslanjanja prikazanim na slici 3.3. Slika 3.3. Opterećenje i uvjeti oslanjanja za osnovni slučaj U praksi se, međutim, ovakvi slučajevi opterećenja, a posebno oslanjanja gotovo i ne pojavljaju. Nosači su uglavnom izloženi djelovanju poprečnog opterećenja, koja izazivaju promjenjiv momentni dijagram. Problemom bočno-torzijskog izvijanja ovakvih nosača bavili su se mnogi istraživači. Clart, Hill i Djalaly su došli do općeg izraza za kritičan moment bočno-torzijskog izvijanja. M cr = C 1 π 2 EI Z (k l) 2 k k ω I ω I Z + (k l)2 GI t π 2 EI Z + (C 2 Z g C 3 Z j ) 2 C 2 Z g C 3 Z j (3.2) Gdje je: C1,C2,C3 k i kω Zg=Za-Zs Za Zs koeficijenti koji zavise od oblika opterećenja (dani su pripadajućim tablicama) koeficijenti dužine izvijanja koji se odnose na okretanje i krivljenje krajnjeg presjeka koordinata točke u kojoj se nanosi poprečno opterećenje koordinata centra posmika Linearno elastična teorija bočno-torzijskog izvijanja zasniva se na pretpostavkama o idealnom nosaču, bez strukturalnih i geometrijskih nesavršenosti. Tretira se, dakle, kao i u linearno elastičnoj teoriji izvijanja uzdužno tlačnog opterećenog štapa kao problem bifurkcijske stabilnosti. Naime, smatra se da su pri opterećenjima manjim od kritičnog, torzijska rotacija φ, kao i bočni pomak v jednake nuli, a da spomenute deformacijske veličine, kada opterećenje dostigne kritičnu vrijednost teže beskonačnosti. Aračić, Mario 10

Međutim, kod realnih nosača prisutne su i geometrijske i strukturalne nesavršenosti u vidu početnih deformacija i zaostalih naprezanja. Stoga je otpornost realnih nosača na bočno-torzijsko izvijanje Mu manja od vrijednosti kritičnog naprezanja Mcr, prema bifurkcijskom modelu stabilnosti (slika 3.4.) Slika 3.4. Modeli bočno-torzijskog izvijanja realnog nosača 4 Element opterećen momentom savijanja i uzdužnom tlačnom silom 4.1 Opća razmatranja U realnim konstrukcijama je istovremena pojava momenta savijanja i uzdužne sile česta pojava. Ravnotežni položaj pri istodobnom djelovanju tlaka i savijanja koje može djelovati oko obe glavne osi ovisi o više čimbenika. Najvažniji je tip strukture, način nanešenog opterećenja, pozicija elementa u konstrukciji i način na koji su elementi međusobno spojeni. Moment savijanja može biti posljedica poprečnog opterećenja između krajeva nosača (slika 4.1a), poznatog ekscentričkog djelovanja uzdužne sile na jednom ili oba kraja konstrukcijskog elementa (slika 4.1b) ili od elementa s kojim je spojen promatrani element okvirnog sustava (slika 4.1c) Aračić, Mario 11

Slika 4.1. Elementi izloženi istovremenom momentu savijanja i uzdužnoj tlačnoj sili. Otkazivanje elemenata izloženih istodobnom djelovanju tlačne sile i momenta savijanja iskazuje se na različite načine. Za vrlo kratke elemente zanemaruju se problemi stabilnosti, a on otkazuje iscrpljenjem otpornosti poprečnog presjeka. Načini otkazivanjam u koje je uključen i instabilitet štapova, vrlo su složeni problemi, a rješavaju se principijelno različitim pristupima. Za jasnije razumijevanje ove problematike bitno je razlikovati moguće kombinacije opterećenja elementa i bočne pridržanosti. Na slici 4.2a) element određene vitkosti izložen je djelovanju uzdužne sile N i momenta savijanja oko jače osi poprečnog presjeka y-y. Oko slabije osi z-z element je pridržan, tako da je moguće savijanje samo oko y-y osi. Način otkazivanja elementa vezan je uz otkazivanje uslijed izvijanja oko osi y-y. Ukoliko je uzdužna sila N mala ili ako element nema preveliku vitkost, plastični se zglobovi mogu formirati na krajevima. Na slici 4.2b) element određene vitkosti je izložen djelovanju uzdužne sile N i momentu savijanja oko slabije osi z-z. Način otkazivanja elementa vezan je uz izvijanje savijanjem oko osi z-z te je očito da u tom slučaju element ne može otkazati uslijed bočnog izvijanja. Slika 4.2c) prikazuje element koji je opterećen kao u slučaju a), ali nije pridržan oko slabije osi z-z. Uslijed savijanja oko jače osi y-y, element otkazuje uslijed izvijanja izraženim savijanjem i torzijom. U zadnjem slučaju vrijede uvijeti kao u slučaju sa slike c) samo što je element opterećen momentima savijanja oko obje osi. Obično se problem nosivosti javlja oko slabije z-z osi. (slika 4.2d). Aračić, Mario 12

Slika 4.2. Elementi izloženi djelovanju uzdužne sile i momentima savijanja Aračić, Mario 13

Otpornost konstrukcijskih elemenata izloženih dvoosnom savijanju i uzdužnoj tlačnoj sili prema EN 1993-1-1 provodi se na način da moraju biti zadovoljeni uvjeti dani sljedećim interakcijskim izrazima: N Ed χ y N Rk /γ M1 + k yy M y,ed M z,ed + k χ LT M y,rk /γ yz 1,0 (4.1) M1 M z,rk /γ M1 Gdje je: M y,ed N Ed M z,ed + k χ z N Rk /γ zy + k M1 χ LT M y,rk /γ zz 1,0 (4.2) M1 M z,rk /γ M1 NEd NRk My,Ed Mz,Ed My,Rk Mz,Rk γm1 χy(z) χlt kij - računska uzdužna sila - karakteristična otpornost poprečnog presjeka na djelovanje uzdužne sile - računski moment savijanja oko osi y-y - računski moment savijanja oko osi z-z - karakteristična otpornost poprečnog presjeka na savijanje oko osi y-y - karakteristična otpornost poprečnog presjeka na savijanje oko osi z-z - parcijalni koeficijent - faktor redukcije za odgovarajući način izvijanja - faktor redukcije momenta pune plastičnosti uslijed bočnog torzijskog izvijanja - interakcijski faktori Cijeli postupak proračuna momenata izloženih momentu savijanja i uzdužnoj tlačnoj sili bit će u sedmom poglavlju. Na slici 4.3. je prikaz osnovnog pristupa ovom konceptu preko grafa interakcije uzdužne tlačne sile i momenta savijanja. Svaka kombinacija je reprezentirana točkom na dijagramu. Točke koje su unutar koordinatnih osi predstavljaju zonu sigurnosti, one koje leže na sigurnoj liniji su na granici sigurnosti, a točke izvan sigurne linije predstavljaju nesigurnu kombinaciju istovremenog djelovanja momenta savijanja i uzdužne tlačne sile. Kod dvodimenzionalne interakcije dovoljno je poznavati jednu veličinu i točan oblik krivulje, a druga vrijednost se očitava iz grafa. Pristupamo li interakciji na ovaj način, točan izgled grafa će ovisiti o nekoliko faktora koji uključuju vrstu i način nanešenog opterećenja, mogući odgovor konstrukcije te vitkost i oblik poprečnog presjeka elementa. Ova metoda stoga mora uravnotežiti sukobljene zahtjeve koji kreiraju sigurnu granicu koja odražava utjecaj svih faktora koje treba uobziriti i kod jednostavnijih slučajeva. Aračić, Mario 14

Slika 4.3. Koncept interakcije za kombinirano opterećenje: a) dvodimenzionalno, b) trodimenzionalno U sljedećem tekstu bit će razmatrano ponašanje elementa sa slike 4.2a). Element je opterećen uzdužnim tlakom i momentom savijanja oko jače osi te je bočno pridržan u osi y-y. Linija A na slici 4.4 prikazuje elastično ponašanje elementa opterećenog samo savijanjem (N=0). Linija F odnosi se na isto opterećenje, ali po pojednostavljenoj teoriji plastičnosti. Elasto-plastično ponašanje elementa u slučaju savijanja prikazano je linijom B koja je omeđena linijama A i F.Izvijanje idealno tlačnog elementa (M=0) prikazano je linijom D koja odgovara Eulerovoj kritičnoj sili izvijanja Ncr. Interakcija momenta savijanja i uzdužne tlačne sile u elastičnom području prikazano je krivuljom C. Odmak od linije A za slučaj savijanja u elastičnom području predstavlja doprinos sekundarnog momenta savijanja nastalog zbog progiba elementa w i utjecaj uzdužne sile (N w) na deformiranom elementu. Krivulja G prikazuje interakicju savijanja i uzdužne sile na elementu do dosezanja pune plastifikacije elementa. Vrijednost maksimalnog plastičnog momenta Mpl se zbog prisustva udzužne sile smanjuje na Mpl,N, a zatim se daljnji odmak od linije F za slučaj čistog savijanja plastičnog materijala ponovno događa zbog utjecaja sekundardnog momenta. Krivulja E prikazuje interakciju savijanja i uzdužne sile za slučaj elastoplastičnog materijala, gdje se krivulja u elastičnom području prvo podudara s krivuljom C za elastično područje, a potom se asimptotski približava krivulji G za plastično područje. Aračić, Mario 15

Slika 4.4. Ponašanje elementa izloženog jednoosnom savijanju i uzdužnoj sili Analiziranjem ovako opterećenog elementa i izgledom grafa sa slike 4. može se zaključiti: - deformiranje elementa zbog uzdužne sile dovodi do dodatnog(sekundarnog) momenta savijanja koji sesuperponira (primarnim) momentom - povećanje ekscentriteta uslijed deformiranja elementa općenito smanjuje otpornost elementa i u elastičnom i u plastičnom području - uzdužna sila bitno smanjuje plastičnu otpornost presjeka na savijanje - plastifikacijom poprečnog presjeka također se smanjuje njegova nosivost zbog smanjenja aktivnog dijela poprečnog presjeka Kod bočno nepridržanih elemenata opterećenih na uzdužni tlak i savijanje oko jače osi također može doći do pojave bočnog izvijanja (pri opterećenju bitno manjem od onoga koje bi element mogao preuzeti kada bi ova pojava bila spriječena). To se može dogoditi dok je element još u elastičnom području ili pak nakon pojave tečenja (zvog savijanja u ravnini opterećenja i uzdužne tlačne sile) kako je prikazano na slici 4.5. Aračić, Mario 16

Slika 4.5. Bočno izvijanje elemenata izloženih savijanju i uzdužnoj sili 4.2 Otpornost poprečnog presjeka Kod elemenata opterećenih momentum savijanja i uzdužnom tlačnom silom koriste se valjani i zavareni profili otvorenog i zatvorenog preseka. Otvoreni I, U i drugi profili koriste se uglavnom kada je osigurano bočno pridržavanje, pa ne postoji opasnost od gubitka stabilnosti na bočno-torzijsko izvijanje. Sandučasti presjeci formirani zavarivanjem, kao i šuplji kružni i pravokutni valjani profili imaju znatno veću torzijsku krutost, pa su povoljniji za bočno nepridržane elemente. Njihove ujednačene geometrijske karakteristike za savijanje oko obe osi (Iy, Iz, Wy, Wz,...) omogućavaju racionalnu primjenu ovakvih presjeka kod elemenata kod kojih se, osim uzdužne tlačne sile javljaju i momenti savijanja oko obe glavne osi inercije (My i Mz ). Provjera naprezanja u najopterećenijem presjeku može se provesti na sljedeći način: σ MMMMMM = N CC AA + M yy W yy + M zz W zz σ DDDDDD (4.3) Međutim, kod tlačnih elemenata osim kontrole naprezanja najopterećenijeg vlakanca mjerodavnog poprečnog presjeka treba provesti i kontrolu stabilnosti elementa na zajedničko interaktivno djelovanje tlačne sile i momenta savijanja. Prethodni izraz može da posluži samo kao orijentacija pri pretpostavljanju poprečnog presjeka elementa. Provjera stabilnosti stup-greda vrši se iterativnim postupkom pretpostavlja se poprečni presjek, pa se dokazuje njegova stabilnost. Naprezanja u elastičnom području elementa opterećenog momentom savijanja i tlačnom silom se dobivaju superponiranjem naprezanja od momenta savijanja i naprezanja od tlačne sile (slika 4.6) Aračić, Mario 17

Slika 4.6. Elastično ponašanje poprečnog presjeka opterećenog momentom savijanja i uzdužnom tlačnom silom S pretpostavkom plastičnog ponašanja materijala pri istovremenom djelovanju momenta savijanja i uzdužne tlačne sile plastična otpornost Mpl se smanjuje na manju vrijednost Mpl,N. Raspodjela naprezanja H profila izgledat će kao na slici 4.7. Pri manjem intenzitetu uzdužne sile neutralna linija prolazi kroz hrbat (slika 4.6a) dok se kod većih intenziteta pomiče i do pojasnice (slika 4.6b). Na točan položaj neutralne osi osim uzdužne sile utječe i veličina momenta savijanja te oblik poprečnog presjeka. Aračić, Mario 18

Slika 4.7. Plastična raspodjela naprezanja i položaj neutralne osi: a) neutralna os u hrbatu, b) neutralna os u pojasnici 4.3 Utjecaj sekundarnog momenta Teorija II. reda Teorija I. reda podrazumijeva analizu ravnotežnog stanja na nedeformiranom nosaču. Ipak, djelovanjem momenta savijanja na element dešavaju se deformacije elementa koje uz prisutnost tlačne sile dovode do dodatnog momenta što zahtjeva drugačiju analizu ravnotežnog stanja. Takav proračunski pristup na deformiranom sustavu naziva se Teorija II. reda. Element je opterećen tlačno i momentnom savijanja kao na slici 4.8. i pretpostavlja se da će odgovor elementa biti progib u ravnini djelovanja opterećenja. Pod djelovanjem nanešenog momenta savijanja dolazi do otklona elementa δ. Moment savijanja u bilo kojoj točki unutar duljine L poprima dvije komponente, konstantni primarni moment savijanja M uzrokovan vanjskim momentima pri rubovima elementa i sekundarni moment N x δ nastao djelovanjem uzdužne tlačne sile N na deformiranom elementu. Moment savijanja od uzdužne tlačne sile N će uzrokovati dodatni otklon koji će rezultirati stvaranjem još većeg ukupnog momenta te će se proces nastavljati sve do granice ravnoteže. Slika 4.8. Povećanje momenta savijanja bočno pridržanog stupa uslijed djelovanja momenta i tlačne sile Aračić, Mario 19

Postoje različiti pristupi određivanja potrebne čvrstoće kod efekta II. reda od jednostavnih aproksimacija do vrlo složenih proračuna. Nije ispravno raditi odvojenu analizu I. reda i II. reda te superponirati reultate jer je to nelinearan problem. Ukupan progib ne dobiva se izravno jednostavnim proračunom nego se koriste iterativne računske tehnike implementirane u računalne programe. Američki institut za čelične konstrukcije (AISC) u svojim specifikacijama daje 3 metode za proračun potrebnih čvrstoća s različitim pristupima na efekt 2. reda: - Metoda izravne analize (Direct analysis method) δ - Metoda efektivne duljine (Effective length method) - Metoda analize prvog reda (First-Order analysis method) U prethodnom tekstu promatran je efekt II. reda na stupu s jednolikim momentom gdje je ukupni momentni dijagram imao jedno-krivuljni oblik. Međutim, u praksi je rezultirajući moment najčešće promjenjiv po dužini nosača. (slika 4.9.) slika 4.9. Efekt II. reda bočno pridržanog stupa sa promjenjivim momentnim dijagramom U ovom slučaju primjenjena su dva zasebna momenta savijanja na različitim pozicijama i kako pokazuje crtež manji sekundarni moment, a ukupan maksimalni moment je sada pri rubovima elementa. Sekundarni moment može biti i veći te sumirati ukupni moment na drugo mjesto nešto odmaknutije od rubova elementa. Teorijske i eksperimentalne studije vezane za različitu raspodjelu momenta pokazuju da je ovu nejednolikost potrebno uobziriti faktorom omjera numerički većeg i manjeg rubnog momenta. U literaturama se različito imenuje ovaj faktor, ali za ovaj slučaj koristi ćemo izraz faktor Ψ. Aračić, Mario 20

slika 4.10. Interakcija promjenjivog momenta Faktor Ψ jasno pokazuje tendenciju porasta vrijednosti sile koja uzrokuje gubitak stabilnosti kada Ψ varira od +1 (jedno-krivuljni momentni dijagram) do -1 (promjenjiv dvokrivuljni momentni dijagram) uz pretpostavku da svi ostali parametri imaju konstantnu vrijednost. Može se zaključiti da bi proračun s faktorom Ψ=1 išao na stranu sigurnosti ali takav pristup je dosta konzervativan. 4.4 Povijest interakcijskih izraza Proučavanje stabilnosti elemenata konstrukcije počinje u osamnaestom stoljeću. Problem izvijanja stupa u tom vremenu proučavali su Petrus van Musschenbruch i Leonhard Euler. Povećanje primjene metalnih konstrukcija od željeza i čelika zahtijevalo je nova saznanja o ponašanju materijala i elemenata, a proučavanje se nastavilo preko Johana Bauschingera, F. S. Jasinskya i drugih. Napredak u elastičnoj stabilnosti nastavilo se do početka dvadesetog stoljeća s radom Stephena Timoshenka, Ludwiga Prandtla i drugih. Theodore von Kármán proučavao je plastičnu nestabilnost stup-greda opterećenih momentom savijanja i uzdužnom tlačnom silom u prvom desetljeću dvadesetog stoljeća. Herbert Wagner proučavao je fleksijkso-torzijsko izvijanje otvorenih profila 1929.g. i nastavio proučavanje van-ravninske nestabilnosti stupa-grede. Prvi konstrukcijski standardi su bili bazirani na teoriji dozvoljenih naprezanja u elastičnom području. Današnji standardi koriste granična stanja koja uobziruju varijabilnost strukturnih opterećenja i otpornosti te dopuštaju popuštanje kod graničnog stanja nosivosti. U sljedećem tekstu bit će opisane interakcijske formule korištene u Kanadskim standardima (CESA kasnije CSA-i), no slične ili iste formule korištene su i u drugim dijelovima svijeta paralelno s vremenom pojavljivanja u Kanadi. Prvi izraz iz 1924. zasnivao se na sumiranju tlačnog naprezanja i naprezanja od momenta savijanja te je jedini uvjet bila granica od 14 ksi (95 MPa), a ista je 1930-te godine povećana na 15 ksi (105 MPa). (izraz 4.4.) F a P A + M c I (4.4) Aračić, Mario 21

1940-te godine uočeno je da naprezanja od savijanja i uzdužnih sila predstavljaju različite uvjete i dodijeljene su im odvojene vrijednosti. Nanešena naprezanja su uspoređena sa dotičnim dozvoljenim naprezanjima (izraz 4.5.) dajući minimalni poprečni presjek, ali uz poznavanje momenata tromosti i udaljenosti do najopterećenijih dijelova presjeka. Dozvoljeno uzdužno naprezanje p (izraz 4.6.) i naprezanje od momenta savijanja f (izraz 4.7) su bazirane na omjeru vitkosti (l/r) tlačnog elementa i duljini nepridržane pojasnice prikazane u obliku omjera širine pojasnice (l/b). A C p + M y f r 2 (4.5) p = 0,546 fy + (1 + 0,0015 l r )f e 2 f e = + f y + (1 + 0,0015 l r )f e 2 2 f y f e, π2 E (l/r) 2 = 2,86x108 (l/r) 2 psi (4.6) f = (25,000 333 l/b) 6 10 ff yy, za l/b > 15 (4.7) Izraz iz 1941.-te godine je nanešena naprezanja (fa, fb) uspoređivala direktno sa dozvoljenim naprezanjima (Fa, Fb) (izraz 4.8.) f a F a + f b F b 1,0 (4.8) Pedesetih godina prošlog stoljeća pojavila su se udruženja za proučavanje čeličnih stupova i greda, a jedno od njih (The Column Research Council - CRC) je izdalo vodič za proračun metalnih tlačnih elemenata ( The Guide to Design Criteria for Metal Compression Members ). 1961. g. CRC je izdao izraz za dopuštena naprezanja koji se ubrzo počeo koristiti u praksi. (izraz 4.9.) f y F a = (20,000 70KL/r) 33,000 f y 145,000,000 KL 2, (psi) (4.9) r Utjecaj nejednolikog momenta proučavao je Massonnet 1959. g. te izdao izraz za ekvivalentni moment. (izraz 4.10.), a na slici 4.11. prezentirana je usporedba ove jednadžbe sa drugim pristupima za faktor ekvivalentnog momenta. Ovi faktori su izvorno razvijeni i kasnije primjenjeni kod P-δ efekta. M d = 0,3 M 1 2 + M 2 2 + 0,4M 1 M 2 (4.10) Aračić, Mario 22

Slika 4.11. Faktori ekvivalantnog momenta Plastični pristup započeo je 1961. godine i interakcijske formule su bile nešto kompliciranije i oslanjale su se na redukciju čvrstoće bazirane na tabličnim vrijednostima. (izrazi 4.11.- 4.13.) Pored izraza postojalo je nekoliko restrikcija pri plastičnom proračunu koje su osiguravale da plastični gubitak stabilnosti mehanizma može nastati prije drugih oblika gubitka stabilnosti. 2P + L 1,0 (4.11) P y 70r M o M p 1,18 1,18 P P y (4.12 a) M o M p B G P P y M o 1,0 K P J P 2 M p P y P y (4.12 b) (4.12 c) M o M p 1,0 (4.13) Standardi iz 1965. godine izdali su odvojenu provjeru kroz dvije formule. Izraz 4.14. vrši provjeru čvrstoće koristeći dozvoljeno naprezanje od 0,60fy. Izraz 4.15. odnosi se na provjeru stabilnosti. Naprezanje od momenta savijanja (f'b) je izračunato modifikacijom maksimalnog momenta savijanja sa Aračić, Mario 23

Austinovim ekvivalentnim faktorom. (izraz 4.16.) te je uobziren faktor uvećanja momenta za slučaj P-δ efekta. U ovim standardima dani su i faktori sigurnosti: 1,67 za popuštanje; 1,92 za elastično izvijanje i interpolacija od 1,67 1,92 za srednje stupove. Faktor sigurnosti 1,92 također je korišten pri proračunu faktora uvećanja momenta za stup-grede. f a 0,60F y + f b F b 1,0 (4.14) f a F a + f b F b 1 f a F e 1,0, gdje je F e = 149,000 KL r 2 = π 2 E 1,92 KL r 2 (4.15) C m = 0,6 + 0,4 M 1 M 2 0,4 (4.16) 1969.-te godine predstavljena je interakcijska formula za dvoosno savijanje. Dozvoljeno naprezanje od savijanja (izraz 4.17) je raslo uzimavši u obzir St. Venantovu komponentu torzije i komponentu od savijanja, dok je prethodni standard u obzir uzimao samo veću od ove dvije. F be = 12000 2 L d/a f + 149000 2 L/r t (4.17) f a 0,60F y + f bx F bx + f by F by 1,0 (4.18) f a + C mxf bx α x + C myf by α y 1,0, gdje je α = F a F bx F by 1 1 f a F e (4.19) Interakcijske formule za plastični proračun su se također promijenile 1969. godine. Tri izraza za provjeru stupa-grede u plastičnom proračunu okvira su prikazane izrazima 4.20 4.22. Za stupove pridržanog okvira, faktor efektivne dužine k je uziman sa vrijednošću 1,0 M x M px + M y M py 1,0 (4.20) P f + 0,85M x + 0,85M y 1,0 (4.21) P y M px M py P f + C mxm x β x + C mym y β y 1,0 (4.22) 1,67 A FF aa M px M py Novi proračunski pristup temeljen na konceptu pouzdanosti imena granična stanja prvi puta je predstavljen 1974. godine. To je dovelo do proračuna izvan elastičnog područja. Ovaj koncept osim u Aračić, Mario 24

Kanadi počeo se primjenjivati i u drugim zemljama svijeta. Interakcijski odnosi su promijenjeni u tri izraza. Izraz 4.23. provjerava čvrstoću elementa na sličan način kao u prethodnim izrazima zadopuštena naprezanja. Izraz 4.24 je alternativna formulacija posebno za I-profilne elemente klase 1 i 2. Izraz 4.25. provjerava stabilnost elementa, a izraz 4.26. provjerava dali element ima dovoljno momentnog kapaciteta. U izrazu 4.26. članovi u zagradi odnosi se na P-δ efekt, a član ω je faktor ekvivalentniog jednolikog momenta dobiven korištenjem formule 4.16. C f C r + M fx M rx + M fy M ry 1,0 (4.23) C f + 0,85M fx + 0,60M fy 1,0 (4.24) C r M rx M ry C f C r + ω x M fx M rx 1 C f C ex + ω y M fy M ry 1 C f C ey 1,0, ω = 0,6 0,4 M 2 M 1 0,4 (4.25) M fx M rx + M fy M ry 1,0 (4.26) Ovi standardi su ostali nepromijenjeni do 1989. godine. Tada se uvelo nekoliko promjena. Samo se klasa 1 poprečnih presjeka koristila u jednadžbama za punu plastifikaciju. Istraživanja Kulaka i Dawea 1984 g. pokazala su da će poprečni presjeci klase 2 doživiti lokalno izvijanje prije nastanka punog plastičnog momenta. P-δ efekt je kombiniran u jedan faktor U1, vrijednost koja uključuje faktor ekvivalentnog momenta ω1. Kako je prikazano u sljedećim izrazima, svaki interakcijski izraz (izraz 4.27 i 4.28.) ponaša se kao 3 jednadžbe. Izraz 4.27. je isključivo za I poprečne presjeke. Izraz 4.28. pokriva druge presjeke. Izraz 4.26. za provjeru čvrstoće na djelovanje momenta i dalje je bila na snazi. C f + 0,85U 1xM fx + 0,60U 1yM fy 1,0 (4.27) C r M rx M ry C f + U 1xM fx + U 1yM fy 1,0 (4.28) C r M rx M ry Ove jednadžbe izvode tri funkcije koristeći različite definicije otpornosti. Razmatramo li Cr i Mr kao kapacitet stupa nulte duljine i bočno pridržane grede, formule provjeravaju čvrstoću poprečnog presjeka. S Cr baziranim na izvijanju u ravnini savijanja (ili oko slabije osi kod dvoosnog savijanja) sa faktorom efektivne duljine 1,0 dobivamo ravninsku stabilnost. Sa Cr baziranim na izvijanju oko slabije osi i uzimajući bočno-torzijsko izvijanje u račun za Mr dobivamo provjeru van-ravninske stabilnosti. Standard iz 1994. godine nije unio značajnije promjene u interakcijske formule. No krivulja čvrstoće stupa je promjenjena u eksponencijalni prikaz i dodan je Appendix D kod proračuna torzijskog izvijanja pri djelovanju uzdužne sile. Novi standard izašao je 2001. godine i na njemu su detaljno radili Essa i Kennedy 2000. godine. Faktor uvećanja momenta U1 uziman je sa vrijednošću 1,0 sa elemente pomaknutih okvira jer je P-Δ efekt mnogo veći nego P-δ efekt. Poprečni presjeci klase 2 su pridruženi klasi 1. Analiza naknadnog izvijanja pokazuje da je čvrstoća ovih presjeka adekvatna za postizanje pune plastifikacije, čak i s lokalnim izvijanjem stupa-grede. Poprečni presjeci klase 4 su također uključeni u ovaj standard. Aračić, Mario 25

Najznačajnija promjena u interakcijskim izrazma je formula za interakciju oko slabije osi. Promijenjena je na način da ispravi nekonzervativne rezultate u elementima u kojima prevladava moment. Izraz 4.27. je izmjenjen kako bi zamijenio modifikator momenta oko slabije osi 0,6 sa varijablom β (Izraz 4.30.) čineći Izraz 4.29. C f + 0,85U 1xM fx + βu 1yM fy 1,0 (4.29) C r M rx M ry β = 0,6 + 0,4λ 1,0, gdje je λ = L πr y F y E (4.30) U tablici 4.1. prikazan je razvoj interakcijskih izraza u kanadskim standardima u periodu od 1961. 2001. godine. Standard Broj jednadžbi Broj parametara Broj kalkulacija S16-1961 1 4 3 S16-1965 2 7 9 S16-1969 2 11 26 S16.1-1974 3 12 29 S16.1-M89 4 14 42 S16-2001 4 16 44 Tablica 4.1. Trend interakcijskih izraza 5 Element opterećen momentom savijanja i uzdužnom vlačnom silom Momenti savijanja u kombinaciji sa vlačnim napregnutim elementima nisu toliko opasni kao u kombinaciji sa tlačno opterećenim elementima jer vlačna naprezanja nastoje umanjiti bočne deformacije dok ih tlačna naprezanja nastoje povećati. Ipak, zanemarivanje uzdužne vlačne sile s momentom savijanja je konzervativan pristup i takva kombinacija se mora provjeriti na moguće gubitke nosivosti. Na razini elementa treba provjeriti otpornost na bočno izvijanje a na razini poprečnog presjeka naprezanja u presjeku. Uobičajeno je pristupiti problemu samo kroz analizu I. reda. Kod proračuna geometrijskih karakteristika poprečnog presjeka A i W treba uzeti u obzir eventualna oslabljenja presjeka zbog spojnih sredstava te koristiti neto karakteristike presjeka. Bitno je i voditi računa o tome da vlačna sila može povećavati ili smanjivati utjecaj vanjskog momenta od poprečnog opterećenja te u skladu s tim odabrati predznak dodatnog momenta savijanja od uzdužne sile. Aračić, Mario 26

Slika 5.1. Elementi opterećeni uzdužnom vlačnom silom i momentom savijanja Aračić, Mario 27

6 Otpornost elementa izloženog istovremenom savijanju i tlačnoj sili prema EN 1993-1-1 U ovom poglavlju biti će prikazani interakcijski izrazi po Eurocode propisima koji su preuzeti iz knjige Proračun čeličnih konstrukcija prema EN 1993-1-1 autora prof.dr.sc. Damira Markulaka. Izrazi se odnose na proračunsku razinu 1 za jednolike elemente s dvostruko simetričnim poprečnim presjecima neosjetljivim na distorzijske deformacije, ali se može primijeniti i na presjeke simetrične samo oko slabije osi i to samo za elastičnu otpornost. Pri proračunu treba voditi računa i o tome jesu li promatrani elementi osjetljivi na torzijske deformacije. Eurocode daje na izbor dvije metode koje se najviše razlikuju po načinu određivanja vodećeg interakcijskog faktora k. Metoda 1 podrazumijeva složeniji proračun, dok je Metoda 2 puno jednostavnija za svakodnevnu inženjersku praksu. Za elemente izložene istovremeno savijanju i uzdužnoj tlačnoj sili, općenito treba dokazati da vrijedi: N Ed χ y N Rk γ M1 + k yy M y,ed + M y,ed χ LT M + k yz y,rk γ M1 M z,ed + M z,ed M z,rk 1,0 (6.1) γ M1 N EEEE χ z N RRRR γ MM1 + k zy M yy,eeee + M y,ed χ LT M + k zz yy,rrrr γ MM1 M z,ed + M z,ed M zz,rrrr 1,0 (6.2) γ MM1 gdje je: NEd NRk My,Ed My,Rk My,Ed Mz,Rk ΔMy,Ed ΔMz,Ed χy, χz χlt kij - proračunska uzdužna sila kao učinak djelovanja - karakteristična otpornost poprečnog presjeka na tlačnu silu - proračunski moment savijanja oko osi y-y kao učinak djelovanja - karakteristična otpornost poprečnog presjeka na savijanje oko osi y-y - proračunski moment savijanja oko osi z-z kao učinak djelovanja - karakteristična otpornost poprečnog presjeka na savijanje oko osi z-z - proračunski moment savijanja oko osi y-y zbog pomaka neutralne osi kod presjeka klase 4 - proračunski moment savijanja oko osi z-z zbog pomaka neutralne osi kod presjeka klase 4 - faktori redukcije za izvijanje elementa - faktori redukcije za bočno-torzijsko izvijanje elementa - interakcijski faktori Vrijednosti interakcijskih faktora kyy, kyz, kzy i kzz ovise o metodi po kojoj se vrši proračun. Vrijednost faktora χlt za elemente neosjetljive na torzijske deformacije iznosti 1,0. U tablici 6.1 dane su karakteristične otpornosti poprečnog presjeka u skladu s klasom poprečnog presjeka. Aračić, Mario 28

Tablica 6.1 Vrijednosti pri određivanju karakterističnih vrijednosti NRk, My,Rk i Mz,Rk Klasa presjeka 1 2 3 4 A i A A A A eff W y W pl,y W pl,y W el,y W eff,y W z W pl,z W pl,z W el,z W eff,z ΔM y,ed 0 0 0 e N,y N Ed ΔM z,ed 0 0 0 e N,z N Ed Osjetljivost elemenata na torzijske deformacije utvrđuje se prema izračununatoj vrijednosti svedene vitkosti λ 0 za proračun bočno-torzijskog izvijanja uslijed jednolikog mometa savijanja. Granična vrijednost svedene vitkosti λ 0,lim računa se prema izrazu: 4 λ 0,lim = 0,2 C 1 1 N Ed 1 N Ed N cr,z N cr,tf (6.3) Gdje je: - elastična fleksijska sila izvijanja oko osi z-z - elastična torzijsko-fleksijska sila izvijanja C1 - faktor koji ovisi o raspodjeli momenata savijanja i pridržanjima (tablica 6.2) Ncr,z Ncr,TF Ukoliko je vrijednost λ 0 λ 0,lim, element nije osjetljiv na torzijske deformacije te je i bočno torzijsko izvijanje spriječeno pa vrijedi χlt = 1,0. U protivnom, element je osjetljiv na torzijske deformacije te ih treba uzeti u obzir pri proračunu. Elastična fleksijska sila izvijanja oko osi z-z računa se prema izrazu: Gdje je: N cr,y = π2 E I z Lcr, z 2 (6.4) Iz Lcr,z - moment tromosti poprečnog presjeka elementa oko osi z-z - duljina izvijanja elementa oko osi z-z (najčešće se uzima kao razmak bočnih pridržanja) U slučaju nepoklapanja težišta presjeka i centra posmika, kritična elastična torzijsko-fleksijska sila izvijanja poprečnog presjeka simetričnog oko osi y-y računa se pomoću izraza: N cr,tf = I 0 2 I y + I z N cr,z + N cr,t N cr,z + N cr,t 2 4 I y + I z N I cr,z N cr,t (6.5) 0 Gdje je: Iy A - moment tromosti poprečnog presjeka oko osi y-y - površina poprečnog presjeka Aračić, Mario 29

y0, z0 - udaljenost između težišta poprečnog presjeka i centra posmika u odnosu na osi y i z (u slučaju dvostruko simetričnih presjeka vrijedi y0=0 i z0=0) G - modul posmika čelika Lcr,T - duljina izvijanja elementa za torzijsko izvijanje (razmak između torzijskih pridržanja) IT - torzijska konstanta - konstanta krivljenja IW I 0 = I y + I z + (y 2 0 +z 2 0 )A (6.6) Elastična torzijska sila izvijanja se dobije pomoću izraza; N cr,t = A I 0 G I T + π2 E I W L cr,t 2 (6.7) Za dvostruko simetrični presjek vrijedi N cr,tf = N cr,t Faktori C1 ovisno o raspodjeli momenata savijanja određuju se prema tablici 6.2. Tablične vrijednosti vrijede u slučaju bočnog pridržanja za koje vrijedi k=1,0. Faktor k je faktor efektivne dužine elementa s obzirom na bočno-torzijsko izvijanje, a njegova pretpostavljena vrijednost odnosi se na slučaj kada se element može slobodno rotirati oko osi z-z, ali su mu spriječeni bočni pomaci. Tablica 6.2 Faktori C1 za izračun kritičnog momenta bočno-torzijskog izvijanja OPTEREĆENJE I UVJETI OSLANJANJA DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA Ψ +1,00 +0,75 +0,50 +0,25 +0,00-0,25-0,50-0,75-1,00 Vrijednost faktora C 1 C 2 C 3 1,00 1,14 1,31 1,52 1,77 2,05 2,33 2,57 2,55 1,00 0,99 0,98 0,98 0,94 0,85 0,68 0,37 0,00 1,13 0,45 0,52 2,57 1,55 0,75 1,35 0,63 1,73 1,68 1,64 2,64 Aračić, Mario 30

6.1 Proračun nosivosti elemenata izloženih savijanju i tlačnoj sili prema Metodi 1 Za proračun nosivosti elemenata istovremeno izloženog savijanju oko jače osi i tlačnoj uzdužnoj sili izrazi 6.1 i 6.2 mogu se zapisati na ovaj način: - poprečni presjeci klase 1 i 2: N Ed χ y A f y γ M1 + k yy M y,ed χ LT W pl,y f y γ M1 1,0 (6.8) N Ed χ z A f y γ M1 + k zy M y,ed χ LT W pl,y f y γ M1 1,0 (6.9) - poprečni presjeci klase 3: N Ed χ y A f y γ M1 + k yy M y,ed χ LT W el,y f y γ M1 1,0 (6.10) N Ed χ z A f y γ M1 + k zy M y,ed χ LT W el,y f y γ M1 1,0 (6.11) - poprečni presjeci klase 4: N Ed χ y A eeeeee f y γ M1 M y,ed + e NN,yy NN EEEE + k yy χ LT W 1,0 (6.12) eff,y f y γ M1 N Ed χ z A eeeeee f y γ M1 M y,ed + e NN,yy NN EEEE + k zy χ LT W 1,0 (6.13) eff,y f y γ M1 Interakcijski faktori kij iz prethodnih izraza računaju se prema tablici 6.3. Aračić, Mario 31

Interakcijski faktori k yy k yz C mz µ y Tablica 6.3 Određivanje interakcijskih faktora kij Proračunske pretpostavke Plastična svojstva poprečnog presjeka (klase 1 i 2) µ y C my C mlt 1 N Ed 1 N Ed N cr,y k zy C my C mlt µ z k zz C mz 1 N Ed N cr,y Elastična svojstva poprečnog presjeka (klase 3 i 4) 1 C yy C my C mlt µ y 1 N Ed N cr,y 1 0,6 w µ z y C mz C yz w y 1 N Ed N cr,y N cr,y µ z 1 N Ed N cr,z 1 0,6 w µ y z C my C mlt C zy w z 1 N Ed 1 C zz C mz µ z N cr,y 1 N Ed N cr,z Za izračun interakcijskih faktora potrebno je prethodno izračunati neke pomoćne parametre: µ y = µ z = 1 N Ed N cr,y 1 χ y N Ed N cr,y 1 N Ed N cr,z 1 χ z N Ed N cr,z w y = W pl,y W el,y 1,5 C yy = 1 + w y 1 2 1,6 w y C my 2 λ max 1,6 w y C my 2 λ max 2 npl b LT M y,ed W el,y 2, gdje je b W LT = 0,5a LT λ 0 pl,y χ LT M pl,y,rd C yz = 1 + (w z 1) 2 14 C mz 2 λ max w z 5 gdje je c LT = 10a LT λ 0 2 C zy = 1 + w y 1 2 14 C my 2 λ max w y 5 M z,ed M pl,z,rd n pl c LT 0,6 w z W el,z w y M y,ed W pl,z 4 5 + λ z C my χ LT M pl,y,rd n pl d LT 0,6 w y W el,y, w z W pl,y w z = W pl,z W el,z 1,5 NN EEEE n pl = N Rk /γγ MM1 a LT = 1 II tt II yy 0 M y,ed M z,ed λ 0 gdje je d LT = 2a LT 4 0,1 + λ C z my χ LT M pl,y,rd C mz χ LT M pl,z,rd C zz = 1 + (w z 1) 2 1,6 C 2 w mz λ max 1,6 C 2 2 z w mz λ max npl e LT z W el,z λ 0, gdje je e W LT = 1,7a LT 4 pl,z 0,1 + λ z M y,ed C my χ LT M pl,y,rd gdje je: λ 0 - svedena vitkost za proračun bočno-torzijskog izvijanja uz jednoliku raspodjelu momenta savijanja (tj. Ψ y=1,0) λ LT - svedena vitkost za bočno-torzijsko izvijanje λ 0 = max λ y λ z Aračić, Mario 32

Vrijednosti C my, C mz i C mlt određuju se na sljedeći način: - za λ 0 λ 0,lim C my = C my,0 C mz = C mz,0 C mlt = 1,0 - za λ 0 > λ 0,lim εε yy aa LLLL C my = C my,0 + (1 C my,0 ) 1 + εε yy aa LLLL C mz = C mz,0 C mlt = C 2 aa LLLL my 1 N Ed N 1 N 1 Ed cr,z N cr,t gdje je: λ 0,lim - granična vrijednost svedene vitkosti prema izrazu 6.3 N cr,y - elastična fleksijska sila izvijanja oko osi y-y N cr,z - elastična fleksijska sila izvijanja oko osi z-z - elastična torzijska sila izvijanja N cr,t ε y = M y,ed N Ed A za poprečne presjeke klase 1,2 i 3 W el,y ε y = M y,ed N Ed A eff W eff,y za poprečni presjeke klase 4 Vrijednosti faktora C mi,0 određuju se prema tablici 6.3 Aračić, Mario 33

Tablica 6.3 Određivanje vrijednosti faktora CC mmmm,00 Momentni dijagram C mi,0 C mi,0 = 0,79 + 0,21 ψ + 0,36 (ψ 0,33) N Ed N cr,i C mi,0 = 1 + π2 E I i δ L 2 M i,ed N Ed N cr,i M i,ed (x) = maksimalni moment M y,ed ili M z,ed δ = maksimalni progib elementa (duž elementa) C mi,0 = 1 0,18 N Ed N cr,i C mi,0 = 1 0,03 N Ed N cr,i Aračić, Mario 34

6.2 Proračun nosivosti elemenata izloženih savijanju i tlačnoj sili prema Metodi 2 Najbitnija razlika između Metode 1 i 2 je u načinu određivanja interakcijskih faktora kij. Interakcijski izrazi određuju se prema tablici 6.4. Tablica 6.4 Interakcijski faktori kij za elemente neosjetljive na torzijske deformacije Faktori k ij Tip presjeka Proračunske pretpostavke Klasa presjeka 1 i 2 Klasa presjeka 3 i 4 k yy N Ed C my 1 + λ y 0,2 χ y N Rk /γ M1 N Ed C my 1 + 0,8 χ y N Rk /γ M1 N Ed C my 1 + 0,6λ y χ y N Rk /γ M1 N Ed C my 1 + 0,6 χ y N Rk /γ M1 k yz 0,6k zz k zz k zy 0,6k yy 0,8k yy N Ed C mz 1 + 2λ z 0,6 χ y N Rk /γ M1 k zz C mz 1 + 1,4 N Ed C mz 1 + λ z 0,2 χ z N Rk /γ M1 χ z N Rk /γ M1 C mz 1 + 0,6λ y N Ed χ z N Rk /γ M1 N Ed N Ed C mz 1 + 0,6 χ z N Rk /γ M1 N Ed C mz 1 + 0,8 χ z N Rk /γ M1 Za I i H presjeke te za pravokutne cijevne profile izložene tlačnoj sili i jednoosnom savijanju M y,ed oko jače osi profila, može se uzeti da je k zy,k yz = 0 Aračić, Mario 35

Ako je element s I, H ili pravokutnim cijevnim poprečnim presjekom izložen istovremeno tlačnoj sili i jednoosnom savijanju oko jače osi poprečnog presjeka y-y, interakcijski faktor kzy može se uzeti kao 0 pa izrazi 6.1 i 6.2 imaju drugačiji oblik za klase 1,2 i 3: N Ed M y,ed χ y N + k yy 1,0 (6.14) Rk M y,rk γ M1 γ M1 N Ed χ z N Rk γ M1 1,0 (6.15) Faktori k ij k yy Tablica 6.5 Interakcijski faktori kij za elemente osjetljive na torzijske deformacije Proračunske pretpostavke klasa presjeka 1 i 2 klasa presjeka 3 i 4 N Ed C my 1 + λ y 0,2 χ y N Rk /γ M1 N Ed C my 1 + 0,6λ y χ y N Rk /γ M1 C my 1 + 0,8 χ y N Rk /γ M1 C my 1 + 0,6 χ y N Rk /γ M1 k yz 0,6 k zz k zz 0,1λ z N Ed 1 (C mlt 0,25) χ z N Rk /γ M1 0,1 N Ed 0,05λ z N Ed 1 1 (C mlt 0,25) χ z N Rk /γ M1 (C mlt 0,25) χ z N Rk /γ M1 k zy 0,05 N Ed 1 za λ z < 0,4: (C mlt 0,25) χ z N Rk /γ M1 0,1λ z N Ed k zy = 0,6 + λ z (C mlt 0,25) χ z N Rk /γ M1 N Ed N Ed N Ed C mz 1 + 2λ z 0,6 χ z N Rk /γ M1 k zz C mz 1 + 1,4 N Ed χ z N Rk /γ M1 C mz 1 + 0,6λ z N Ed χ z N Rk /γ M1 N Ed C mz 1 + λ z 0,2 χ z N Rk /γ M1 N Ed C mz 1 + 0,6 χ z N Rk /γ M1 N Ed C mz 1 + 0,8 χ z N Rk /γ M1 Aračić, Mario 36

Tablica 6.6 Faktori jednolikog ekvivalentnog momenta Cm Momentni dijagram Područje jednoliko opterećenje C my,c mz i C mlt koncentrirano opterećenje 1 ψ 1 0,6 + 0,4ψ 0,4 0 α s 1 1 ψ 1 0,2 + 0,8α s 0,4 0,2 + 0,8α s 0,4 α s = M s /M h 1 α s 0 0 ψ 1 0,1 0,8α s 0,4 0,8α s 0,4 1 ψ 0 0,1(1 ψ) 0,8α s 0,4 0,2( ψ) 0,8α s 0,4 0 α h 1 1 ψ 1 0,95 + 0,05α h 0,90 + 0,10α h 1 α h 0 0 ψ 1 0,95 + 0,05α h 0,90 + 0,10α h 1 ψ 0 0,95 + 0,05α h (1 + 2ψ) 0,90 0,10α h (1 + 2ψ) α s = M s /M h Za elemente s pomičnim modom izvijanja za faktore jednolikog momenta treba uzeti C my=0,9 ili C mz=0,9 C my,c mz i C mlt treba odrediti obzirom na oblik momentnog dijagrama između relevantnihpridržanih točaka kako slijedi: faktor momenta: os savijanja: točke pridržanja u smjeru C my y-y z-z C mz z-z y-y C mlt y-y y-y 6.3 Proračun nosivosti elemenata izloženih savijanju i tlačnoj sili prema britanskim standardima Sličnost Eurokod propisa sa ostalim europskim i drugim međunarodnim propisima prikazana je izrazima 6.16 i 6.17 na primjeru interakcijskih formula iz britanske specifikacije BS 5950-1:2000 Section 4: F c P c + m x M x p y Z x + m y M y p y Z y 1 (6.16) F C + m LT M LT + m y M y 1 (6.17) P c,y M b p y Z y Aračić, Mario 37

gdje su: Fc Mb MLT Mx My Pc Pc,x Pc,y Zx Zy mlt uzdužna sila otpornost elementa na savijanje maksimalni moment oko jače osi na segmentu dužine L maksimalni moment oko jače osi na segmentu dužine Lx maksimalni moment oko slabije osi na segmentu dužine Ly manja vrijednost između P c,x i P c,y otpornost od tlačne sile uzimajući u obzir izvijanje samo oko glavne osi otpornost od tlačne sile uzimajući u obzir izvijanje samo oko slabije osi moment otpora oko jače osi moment otpora oko slabije osi faktor ekvivalentnog jednolikog momenta Aračić, Mario 38

7 Proračun čelične konstrukcije prema EN 1993-1-1 Aračić, Mario 39

7.1 Podatci o konstrukciji i analiza opterećenja Lokacija: Osijek, 90 m.n.m. Profili: IPE Kvaliteta čelika S 275 Opterećenja: stalno - vlastita težina konstrukcije - slojevi poda međukatne konstrukcije: qk= 0,7 kn/m 2 ; qk= 0,7 6m = 4,2 kn/m' - pregradni zidovi: qk= 0,5 kn/m 2 ; qk= 0,5 6m = 3,0 kn/m' - slojevi neprohodnog krova: qk= 0,3 kn/m 2 ; qk= 0,3 6m = 1,8 kn/m' promjenjiva: uporabno - trgovine: qk= 5 kn/m 2 ; qk= 5 [kn/m 2 ] 6 [m] = 30 kn/m' - neprohodan krov: qk= 0,4 kn/m 2 ; qk= 0,4[ kn/m 2 ] 6 [m] = 2,4 kn/m' Aračić, Mario 40

snijeg S = Sk µ Ce Ct µ = 0,8 Ce = 1 Ct = 1 Sk = 1,10 kn/m 2 (do 100 m.n.m.) S = 1,10 0,8 1 1 6 = 5,28 kn/m' vjetar (s lijeve strane) h=7,80m stupanj zaštićenosti - poluzaštićen W0=0,55 kn/m2 razmak okvira - 6m IMPLOZIJA po metru dužine Wploha1 = (0,8+0,3) 0,55[kN/m 2 ] 6[m] = 3,63 kn/m' Wploha2 = (-0,4+0,3) 0,55[kN/m 2 ] 6[m] = - 0,33 kn/m' Wploha3 = (-0,4+0,3) 0,55[kN/m 2 ] 6[m] = - 0,33 kn/m' EKSPLOZIJA po metru dužine Wploha1 = (0,8-0,3) 0,55[kN/m2] 6[m] Wploha2 = (-0,4-0,3) 0,55[kN/m2] 6[m] Wploha = (-0,4-0,3) 0,55[kN/m2] 6[m] = 1,65 kn/m' = - 2,31 kn/m' = - 2,31 kn/m' Aračić, Mario 41

Kombinacije opterećenja 1. Stalno + vodeće: uporabno + snijeg 2. Stalno + uporabno; 3. Stalno + vodeće: uporabno + vjetar (implozija) + snijeg 4. Stalno + vodeće: uporabno + vjetar (implozija) 5. Stalno + vodeće: uporabno + vjetar (eksplozija) + snijeg 6. Stalno + vodeće: uporabno + vjetar (eksplozija) 7. Stalno + vodeće: vjetar (implozija) + uporabno + snijeg 8. Stalno + vodeće: vjetar (implozija) + uporabno 9. Stalno + vodeće: vjetar (eksplozija) + uporabno + snijeg 10. Stalno + vodeće: vjetar (eksplozija) + uporabno 11. Stalno + vodeće: vjetar (implozija) + snijeg 12. Stalno + vjetar (implozija) 13. Stalno + vodeće: vjetar (eksplozija) + snijeg 14. Stalno + vjetar (eksplozija) 15. Stalno + vodeće: snijeg + uporabno 16. Stalno + vodeće: snijeg + uporabno + vjetar (implozija) 17. Stalno + vodeće: snijeg + uporabno + vjetar (eksplozija) 18. Stalno + snijeg 19. Stalno + vodeće: snijeg + vjetar (implozija) 20. Stalno + vodeće: snijeg + vjetar (eksplozija) Aračić, Mario 42

7.2 Proračun otpornosti elementa STUP 3 STUP 3 (zbog simetričnosti okvira mjerodavan i za stup 1 u slučaju vjetra s desne strane) Kombinacija opterećenja: stalno + vodeće uporabno + vjetar implozija + snijeg Aračić, Mario 43

Odabrani profil IPE 330 Kvaliteta materijala S 275 KLASIFIKACIJA HRBAT (tlak) c = h - 2 tf - 2r 330 2 11,5 2 18 c = 271 mm t = tw = 7,5mm c/t = 36,13 uvjet za klasu 1: c/t 33ε [ε = 0,92] 36,13 > 30,36 uvjet za klasu 2: c/t 38ε [ε = 0,92] 36,13 > 34,96 Aračić, Mario 44

uvjet za klasu 3: c/t 42ε [ε = 0,92] 36,13 < 38,64 HRBAT KLASE 3 POJASNICA (tlak) c = b t w 2r 2 c = 58,25 mm t = tf = 11,5 mm c/t = 5,065 uvjet za klasu 1: c/t 9ε [ε = 0,92] 5,065 < 8,28 POJASNICA KLASE 1 PP KLASE 3 OTPORNOST POPREČNOG PRESJEKA Otpornost na uzdužnu tlačnu silu N c,rd = N el,rd = A f y 62,61 27,5 = = 1721,78 kn γ M0 1,0 uvjet nosivosti N Ed N el,rd 1,0 214,44 1721,78 1,0 12,45% Otpornost PP izloženog savijanju M c,rd = M el,y,rd = W el,y f y 713,1 27,5 = = 19610,25 kncm = 196,10kNm γ M0 1,0 uvjet nosivosti M y,ed M el,rd 1,0 85,84 = 0,438 < 1,0 43,80% 196,10 Aračić, Mario 45

Posmična otpornost PP h w t w 72 ε η hw = h - 2 tf hw = 307 mm tw = 7,5mm 307 7,5 72 0,92 1,2 40,93 55,2 // nema opasnosti od izbočavanja hrpta τ Ed f y / 3 γ M0 1,0 τ Ed = V z,ed S y I y t w S y = W pl,y 2 = 804,3 = 402,15 cm 3 2 τ Ed = 22,06 402,15 11770 0,75 = 1,005 kn cm 2 1,005 1,0 0,063 < 1,0 27,5/ 3 1,0 Otpornost poprečnog presjeka na istovremeno djelovanje momenta savijanja, uzdužne i poprečne sile (interakcija M-V-N) (za x=2m) My,Ed = 42,92 knm Vz,Ed = 21,47 kn = 213,63 kn NEd Vz,Ed 0,5 Vpl,z,Rd V pl,z,rd = A V,Z f y 3 γ M0 Aračić, Mario 46

djelotvorna posmična površina A V,Z = A 2 b t f + (t w + 2r) t f η h w t w A V,Z = 62,61 2 16 1,15 + (0,75 + 2 1,8) 1,15 η 30,7 0,75 30,81 27,63 30,81 27,5 V pl,z,rd = = 489,17 kn 3 1,0 Vz,Ed 0,5 489,17 21,47 < 244,59 // ne moramo raditi redukciju poprečne sile M y,ed M el,y,rd + N Ed N el,rd 1,0 42,92 196,10 + 213,63 1721,78 1,0 0,343 1,0 OTPORNOST ELEMENTA Otpornost elementa na izvijanje duljine izvijanje Lcr,y = 400 k K C = I y L = 11770 = 29,43 (stup 3) 400 K 11 = 1,5 I y L K 1 = 1,5 I y L η 1 = = 1,5 67120 700 = 1,5 11770 380 = 143,83 (greda 8) = 46,46 (stup 4) K CC + K 1 29,43 + 46,46 = K CC + K 1 + K 11 + K 12 29,43 + 46,46 + 143,83 + 0 η 1 = 0,345 η 2 = 1,0 Aračić, Mario 47

k = 1 0,2 (η 1 + η 2 ) 0,12 η 1 η 2 1 0,8 (η 1 + η 2 ) + 0,6 η 1 η 2 1 0,2 (0,345 + 1) 0,12 0,345 1 k = 1 0,8 (0,345 + 1) + 0,6 0,345 1 = 2,29 Lcr,y = 400 2,29 = 916 cm Lcr,z = 400 cm (zbog bočnih pridržanja u drugom smjeru) Eulerove kritične sile izvijanja N cr,y = π2 E I y Lcr, y 2 N cr,y = π2 21000 11770 916 2 = 2907,40 kn N cr,z = π2 E I z Lcr, z 2 N cr,z = π2 21000 788,1 400 2 = 1020,89 Bezdimenzionalne vitkosti λ y = A f y 62,61 27,5 = N cr,y 2907,40 = 0,770 λ z = A f y 62,61 27,5 = N cr,z 1020,89 = 1,30 odabir linija izvijanja h/b = 2,06; tf < 40 mm y y = a α = 0,21 z z = b α = 0,34 Aračić, Mario 48

faktori reduckije za izvijanje oko osi y-y χ y = 1 φ y + φ 2 y λ 2 y φ y = 0,5 [1 + α λ y 0,2 + λ 2 y ] φ y = 0,5 [1 + 0,21 (0,770 0,2) + 0,770 2 ] φ y = 0,856 1 χ y = 0,856 + 0,856 2 0,770 = 0,812 2 za izvijanje oko osi z-z 1 χ z = φ z + φ 2 z λ 2 z φ z = 0,5 [1 + α λ z 0,2 + λ 2 z ] φ z = 0,5 [1 + 0,34 (1,30 0,2) + 1,30 2 ] φ z = 1,532 1 χ z = 1,532 + 1,532 2 1,30 = 0,427 2 χ = min ( χ y, χ z ) = 0,427 Proračunska otpornost na izvijanje N b,rd = χ N el,rd = 0,427 1721,78 γγ 1 1,1 N b,rd = 734,00 kn uvjet nosivosti N Ed N b,rd 1,0 214,44 = 0,321 < 1,0 32,10 % 668,36 Otpornost elementa na bočno-torzijsko izvijanje π 2 EI Z M cr = C 1 (k l) 2 k I w + (k l)2 GI t k w I Z π 2 + (C EI 2 Z g ) 2 C 2 Z g Z Aračić, Mario 49

M cr = 1,77 π2 21000 788,1 (1 400) 2 1 199100 1 788,1 + (1 400)2 8077 28,15 π 2 + (0 Z 21000 788,1 g ) 2 0 Z g Mcr = 39396,63 kncm = 393,97 knm bezdimenzionalna vitkost λ LT = W eeee,yy f y 713,1 27,5 = M cr 39396,63 = 0,706 faktor redukcije (za opći slučaj) 1 χ LT = φ LT + φ 2 LT λ 2 LT φ LT = 0,5 [1 + α LT λ LT 0,2 + 2 λ LT ] h/b = 2,06 > 2 ; krivulja b, α LT = 0,34 φ LT = 0,5 [1 + 0,34 (0,706 0,2) + 0,706 2 ] φ LT = 0,835 1 χ LT = 0,835 + 0,835 2 0,706 2 χ LT = 0,781 proračunska otpornost M b,rd = χ LT M el,rd = 0,781 196,10 γγ MM1 1,10 M b,rd = 139,23 knm uvjet nosivosti M Ed M b,rd 1,0 85,84 = 0,617 < 1,0 61,65% 139,23 Aračić, Mario 50

INTERAKCIJA M-N (po Metodi 1) π 2 EI Z M cr,0 = C 1 (k l) 2 k I w + (k l)2 GI t k w I Z π 2 + (C EI 2 Z g ) 2 C 2 Z g Z M cr,0 = 1,0 π2 21000 788,1 (1 400) 2 1 199100 1 788,1 + (1 400)2 8077 28,15 π 2 + (0 Z 21000 788,1 g ) 2 0 Z g Mcr = 22257,99 kncm = 222,58 knm λ 0 = W el,y f y 713,1 27,5 = M cr 22257,99 = 0,939 4 λ 0,lim = 0,2 C 1 1 N Ed 1 N Ed N cr,z N cr,tf N cr,tf = N cr,t za dvoosno simetrične presjeke N cr,t = 1 i 0 2 G I t + π2 E I w L cr,t 2 i 0 2 = i y 2 + i z 2 + y 0 2 + z 0 2 i y = I y A = 11770 = 13,71 cm 62,61 i z = I z A = 788,1 = 3,55 cm 62,61 yy 0, zz 0 = 0 (centar posmika i težište pp se poklapaju) i 0 2 = 13,71 2 + 3,55 2 + 0 + 0 = 200,85 cm 2 N cr,t = 1 200,85 8077 28,15 + π2 21000 199,1 400 2 N cr,t = 2416,13 kkkk Aračić, Mario 51

4 λ 0,lim = 0,2 1,77 1 214,44 214,44 1 1020,89 2416,13 λ 0,lim = 0,245 Za slučaj: λ 0 > λ 0,lim ε y a LT C my = C my,0 + (1 C my,0 ) 1 + ε y a LT C mlt = C my 2 aa LLLL 1 N Ed N cr,z 1 N Ed N cr,t 0 određivanje C my,0-1 Ψ 1 C my,0 = 0,79 + 0,21 ψ + 0,36 (ψ 0,33) N Ed N cr,y C my,0 = 0,79 + 0,21 0 + 0,36 (0 0,33) C my,0 = 0,781 ε y = M y,ed N Ed A W el,y za klase 1,2,3 ε y = 8584 214,44 62,61 713,1 = 3,51 a LT = 1 I tt I y = 1 28,15 11770 a LT = 0,9976 214,44 2907,40 3,51 0,9976 C my = 0,781 + (1 0,781) 1 + 3,51 0,9976 C my = 0,924 < 1 Aračić, Mario 52

C mlt = 0,924 2 0,9976 1 214,44 0 214,44 1020,89 1 2416,13 C mlt = 1,004 > 1 za klase 3 i 4 1 N Ed N cr,y 1 214,44 2907,40 µ y = 1 χ y N = = 0,985 Ed 214,44 N 1 0,812 cr,y 2907,40 1 N Ed N 1 214,44 cr,z 1020,89 µ z = 1 χ z N = = 0,868 Ed 214,44 N 1 0,427 cr,z 1020,89 k yy = C my C mlt k yy = 0,924 1,004 k yy = 0,987 k zy = C my C mlt k zy = 0,924 1,004 k zy = 0,869 µ y 1 N Ed N cr,y 0,985 1 214,44 2907,40 µ z 1 N Ed N cr,y 0,868 1 214,44 2907,40 Aračić, Mario 53

1. 2. N EEEE χ y N RRRR γ MM1 + k yy 214,44 0,812 1721,78 1,1 0,169 + 0,609 + 0 1,0 0,778 1,0 77,80 % M yy,eeee χ LT M yy,rrrr γ MM1 + 0,987 + k yz 85,84 M zz,eeee M zz,rrrr γ MM1 1,0 0,781 196,10 1,1 + k yz 0 M zz,rrrr γ MM1 1,0 N EEEE χ z N RRRR γ MM1 + k zy 214,44 0,427 1721,78 1,1 0,321 + 0,536 + 0 1,0 M yy,eeee 0,857 1,0 85,70 % χ LT M yy,rrrr γ MM1 + 0,869 + k zz 85,84 M zz,eeee M zz,rrrr γ MM1 1,0 0,781 196,10 1,1 + k zz 0 M zz,rrrr γ MM1 1,0 Aračić, Mario 54

7.3 Proračun otpornosti elementa STUP 4 STUP 4 (zbog simetričnosti okvira mjerodavan i za stup 2 u slučaju vjetra s desne strane) Kombinacija opterećenja: stalno + vodeće uporabno + vjetar eksplozija + snijeg Aračić, Mario 55

Odabrani profil IPE 330 Kvaliteta materijala S 275 KLASIFIKACIJA HRBAT (tlak) c = h - 2 tf - 2r 330 2 11,5 2 18 c = 271 mm t = tw = 7,5mm c/t = 36,13 uvjet za klasu 1: c/t 33ε [ε = 0,92] 36,13 > 30,36 Aračić, Mario 56

uvjet za klasu 2: c/t 38ε [ε = 0,92] 36,13 > 34,96 uvjet za klasu 3: c/t 42ε [ε = 0,92] 36,13 < 38,64 HRBAT KLASE 3 POJASNICA (tlak) c = b t w 2r 2 c = 58,25 mm t = tf = 11,5 mm c/t = 5,065 uvjet za klasu 1: c/t 9ε [ε = 0,92] 5,065 < 8,28 POJASNICA KLASE 1 PP KLASE 3 OTPORNOST POPREČNOG PRESJEKA Otpornost na uzdužnu tlačnu silu N c,rd = N el,rd = A f y 62,61 27,5 = = 1721,78 kn γ M0 1,0 uvjet nosivosti N Ed N el,rd 1,0 21,88 1721,78 1,0 1,27% Otpornost PP izloženog savijanju M c,rd = M el,y,rd = W el,y f y 713,1 27,5 = = 19610,25 kncm = 196,10kNm γ M0 1,0 uvjet nosivosti M y,ed M el,rd 1,0 98,89 = 0,504 < 1,0 50,40 % 196,10 Aračić, Mario 57

Posmična otpornost PP h w t w 72 ε η hw = h - 2 tf hw = 307 mm tw = 7,5mm 307 7,5 72 0,92 1,2 40,93 55,2 // nema opasnosti od izbočavanja hrpta τ Ed f y / 3 γ M0 1,0 τ Ed = V z,ed S y I y t w S y = W pl,y 2 = 804,3 = 402,15 cm 3 2 τ Ed = 39,36 402,15 11770 0,75 = 1,79 kn cm 2 1,79 1,0 0,113 < 1,0 27,5/ 3 1,0 Otpornost poprečnog presjeka na istovremeno djelovanje momenta savijanja, uzdužne i poprečne sile (interakcija M-V-N) (za x=1,90) My,Ed = -27,84 knm Vz,Ed = 35,41 kn = -21,11 kn NEd Vz,Ed 0,5 Vpl,z,Rd V pl,z,rd = A V,Z f y 3 γ M0 djelotvorna posmična površina A V,Z = A 2 b t f + (t w + 2r) t f η h w t w A V,Z = 62,61 2 16 1,15 + (0,75 + 2 1,8) 1,15 η 30,7 0,75 Aračić, Mario 58

30,81 27,63 30,81 27,5 V pl,z,rd = = 489,17 kn 3 1,0 Vz,Ed 0,5 489,17 35,41 < 244,59 // nije potrebna redukcija poprečne sile M y,ed M el,y,rd + N Ed N el,rd 1,0 27,84 196,10 + 21,11 1721,78 1,0 0,154 1,0 OTPORNOST ELEMENTA Otpornost elementa na izvijanje duljine izvijanje Lcr,y = 380 k K C = I y L = 11770 = 30,97 (stup 4) 380 K 11 = 1,5 I y L K 21 = 1,5 I y L = 1,5 11770 700 = 1,5 67120 700 = 25,22 (greda 10) = 143,83 (greda 8) K 2 = 1,5 I y 11770 = 1,5 = 44,14(stup 3) L 400 K CC + K 1 30,97 + 0 η 1 = = K CC + K 1 + K 11 + K 12 30,97 + 0 + 25,22 + 0 η 2 = K CC + K 2 30,97 + 44,14 = K CC + K 2 + K 21 + K 22 30,97 + 44,14 + 143,83 + 0 η 1 = 0,551 η 2 = 0,343 Aračić, Mario 59

k = 1 0,2 (η 1 + η 2 ) 0,12 η 1 η 2 1 0,8 (η 1 + η 2 ) + 0,6 η 1 η 2 1 0,2 (0,551 + 0,343) 0,12 0,551 0,343 k = 1 0,8 (0,551 + 0,343) + 0,6 0,551 0,343 = 1,416 Lcr,y = 380 1,416 = 538 cm Lcr,z = 380 cm (zbog bočnih pridržanja u drugom smjeru) Eulerove kritične sile izvijanja N cr,y = π2 E I y Lcr, y 2 N cr,y = π2 21000 11770 538 2 = 8428,13 kn N cr,z = π2 E I z Lcr, z 2 N cr,z = π2 21000 788,1 380 2 = 1131,18 Bezdimenzionalne vitkosti λ y = A f y 62,61 27,5 = N cr,y 8428,13 = 0,452 λ z = A f y 62,61 27,5 = N cr,z 1131,18 = 1,234 odabir linija izvijanja h/b = 2,06; tf < 40 mm y y = a α = 0,21 z z = b α = 0,34 Aračić, Mario 60

faktori reduckije za izvijanje oko osi y-y χ y = 1 φ y + φ 2 y λ 2 y φ y = 0,5 [1 + α λ y 0,2 + λ 2 y ] φ y = 0,5 [1 + 0,21 (0,452 0,2) + 0,452 2 ] φ y = 0,629 1 χ y = 0,629 + 0,629 2 0,452 = 0,939 2 za izvijanje oko osi z-z 1 χ z = φ z + φ 2 z λ 2 z φ z = 0,5 [1 + α λ z 0,2 + λ 2 z ] φ z = 0,5 [1 + 0,34 (1,234 0,2) + 1,234 2 ] φ z = 1,437 1 χ z = 1,437 + 1,437 2 1,234 = 0,460 2 χ = min ( χ y, χ z ) = 0,460 Proračunska otpornost na izvijanje N b,rd = χ N el,rd = 0,460 1721,78 γγ 1 1,1 N b,rd = 720,02 kn uvjet nosivosti N Ed N b,rd 1,0 21,88 = 0,03 < 1,0 3,0 % 720,02 Otpornost elementa na bočno-torzijsko izvijanje π 2 EI Z M cr = C 1 (k l) 2 k I w + (k l)2 GI t k w I Z π 2 + (C EI 2 Z g ) 2 C 2 Z g Z ψ = 35,67 98,89 = 0,361 Aračić, Mario 61

INTERPOLACIJA C 1 2,05 = C 1 = 2,17 C 2 0,85 = C 2 = 0,77 2,33 2,05 ( 0,361 ( 0,25)) 0,50 ( 0,25) 0,68 0,85 ( 0,361 ( 0,25)) 0,50 ( 0,25) M cr = 2,17 π2 21000 788,1 (1 380) 2 1 199100 1 788,1 + (1 380)2 8077 28,15 π 2 + (0,77 0) 21000 788,1 2 (0,77 0) Mcr = 52281,14 kncm = 522,81 knm bezdimenzionalna vitkost λ LT = W eeee,yy f y 713,1 27,5 = M cr 52281,14 = 0,612 faktor redukcije (za opći slučaj) 1 χ LT = φ LT + φ 2 LT λ 2 LT φ LT = 0,5 [1 + α LT λ LT 0,2 + 2 λ LT ] h/b = 2,06 > 2 ; krivulja b, α LT = 0,34 φ LT = 0,5 [1 + 0,34 (0,612 0,2) + 0,612 2 ] φ LT = 0,757 1 χ LT = 0,757 + 0,757 2 0,612 2 χ LT = 0,832 Aračić, Mario 62

proračunska otpornost M b,rd = χ LT M el,rd = 0,832 196,10 γγ MM1 1,10 M b,rd = 148,32 knm uvjet nosivosti M Ed M b,rd 1,0 98,89 = 0,667 < 1,0 66,70% 148,32 INTERAKCIJA M-N (po Metodi 1) π 2 EI Z M cr,0 = C 1 (k l) 2 k I w + (k l)2 GI t k w I Z π 2 + (C EI 2 Z g ) 2 C 2 Z g Z M cr,0 = 1,0 π2 21000 788,1 (1 380) 2 1 199100 1 788,1 + (1 380)2 8077 28,15 π 2 + (0 Z 21000 788,1 g ) 2 0 Z g Mcr = 24092,69 kncm = 240,93 knm λ 0 = W el,y f y 713,1 27,5 = M cr 24092,69 = 0,902 4 λ 0,lim = 0,2 C 1 1 N Ed 1 N Ed N cr,z N cr,tf N cr,tf = N cr,t za dvoosno simetrične presjeke N cr,t = 1 i 0 2 G I t + π2 E I w L cr,t 2 i 0 2 = i y 2 + i z 2 + y 0 2 + z 0 2 i y = I y A = 11770 = 13,71 cm 62,61 i z = I z A = 788,1 = 3,55 cm 62,61 Aračić, Mario 63

yy 0, zz 0 = 0 (centar posmika i težište pp se poklapaju) i 2 0 = 13,71 2 + 3,55 2 + 0 + 0 = 200,85 cm 2 N cr,t = 1 200,85 8077 28,15 + π2 21000 199100 380 2 N cr,t = 2554,85 kkkk 4 λ 0,lim = 0,2 2,17 1 21,88 21,88 1 1131,18 22554,85 λ 0,lim = 0,296 Za slučaj: λ 0 > λ 0,lim εε yy aa LLLL C my = C my,0 + (1 C my,0 ) 1 + εε yy aa LLLL C mlt = C my 2 aa LLLL 1 N Ed N cr,z 1 N Ed N cr,t 0 određivanje C my,0-1 Ψ 1 ψ = 35,67 98,89 = 0,361 C my,0 = 0,79 + 0,21 ψ + 0,36 (ψ 0,33) N Ed N cr,y 21,88 C my,0 = 0,79 + 0,21 ( 0,361) + 0,36 ( 0,361 0,33) 8428,13 C my,0 = 0,714 ε y = M y,ed N Ed A W el,y za klase 1,2,3 ε y = 9889 21,88 62,61 713,1 = 39,68 Aračić, Mario 64

a LT = 1 I tt I y = 1 28,15 11770 a LT = 0,9976 C my = 0,714 + (1 0,714) C my = 0,961 < 1 39,68 0,9976 1 + 39,68 0,9976 C mlt = 0,961 2 0,9976 1 21,88 0 21,88 1131,18 1 2554,85 C mlt = 0,935 > 1 C mlt = 1,0 za klase 3 i 4 1 N Ed N cr,y 1 21,88 8428,13 µ y = 1 χ y N = = 0,999 Ed 21,88 N 1 0,939 cr,y 8428,13 1 N Ed N 1 21,88 cr,z 1131,18 µ z = 1 χ z N = = 0,990 Ed 21,88 N 1 0,460 cr,z 1131,18 k yy = C my C mlt k yy = 0,961 1,0 k yy = 0,963 k zy = C my C mlt k zy = 0,961 1,0 k zy = 0,954 µ y 1 N Ed N cr,y 0,999 1 21,88 8428,13 µ z 1 N Ed N cr,y 0,990 1 21,88 8428,13 Aračić, Mario 65

1. 2. N EEEE χ y N RRRR γ MM1 + k yy 21,88 0,939 1721,78 1,1 0,015 + 0,642 + 0 1,0 0,657 1,0 65,70 % M yy,eeee χ LT M yy,rrrr γ MM1 + 0,963 + k yz 98,89 M zz,eeee M zz,rrrr γ MM1 1,0 0,832 196,10 1,1 + k yz 0 M zz,rrrr γ MM1 1,0 N EEEE χ z N RRRR γ MM1 + k zy 21,88 0,460 1721,78 1,1 0,030 + 0,579 + 0 1,0 M yy,eeee 0,609 1,0 60,90 % χ LT M yy,rrrr γ MM1 + 0,869 + k zz 98,89 M zz,eeee M zz,rrrr γ MM1 1,0 0,832 196,10 1,1 + k zz 0 M zz,rrrr γ MM1 1,0 Aračić, Mario 66

7.4 Proračun otpornosti elementa STUP 5 STUP 5 Kombinacija opterećenja: stalno + vodeće uporabno + vjetar implozija + snijeg Aračić, Mario 67

Odabrani profil IPE 330 Kvaliteta materijala S 275 KLASIFIKACIJA HRBAT (tlak) c = h - 2 tf - 2r 330 2 11,5 2 18 c = 271 mm t = tw = 7,5mm c/t = 36,13 uvjet za klasu 1: c/t 33ε [ε = 0,92] 36,13 > 30,36 uvjet za klasu 2: c/t 38ε [ε = 0,92] 36,13 > 34,96 Aračić, Mario 68

uvjet za klasu 3: c/t 42ε [ε = 0,92] 36,13 < 38,64 HRBAT KLASE 3 POJASNICA (tlak) c = b t w 2r 2 c = 58,25 mm t = tf = 11,5 mm c/t = 5,065 uvjet za klasu 1: c/t 9ε [ε = 0,92] 5,065 < 8,28 POJASNICA KLASE 1 PP KLASE 3 OTPORNOST POPREČNOG PRESJEKA Otpornost na uzdužnost tlačnu silu N c,rd = N el,rd = A f y 62,61 27,5 = = 1721,78 kn γ M0 1,0 uvjet nosivosti N Ed N el,rd 1,0 453,61 1721,78 1,0 26,35 % Otpornost PP izloženog savijanju M c,rd = M el,y,rd = W el,y f y 713,1 27,5 = = 19610,25 kncm = 196,10kNm γ M0 1,0 uvjet nosivosti M y,ed M el,rd 1,0 37,03 = 0,189 < 1,0 18,90% 196,10 Aračić, Mario 69

Posmična otpornost PP h w t w 72 ε η hw = h - 2 tf hw = 307 mm tw = 7,5mm 307 7,5 72 0,92 1,2 40,93 55,2 // nema opasnosti od izbočavanja hrpta τ Ed f y / 3 γ M0 1,0 τ Ed = V z,ed S y I y t w S y = W pl,y 2 = 804,3 = 402,15 cm 3 2 τ Ed = 16,30 402,15 11770 0,75 = 0,743 kn cm 2 0,743 1,0 0,047 < 1,0 27,5/ 3 1,0 Otpornost poprečnog presjeka na istovremeno djelovanje momenta savijanja, uzdužne i poprečne sile (interakcija M-V-N) (za x=1m) My,Ed = -20,78 knm Vz,Ed = 16,30 kn = -453,21 kn NEd Vz,Ed 0,5 Vpl,z,Rd V pl,z,rd = A V,Z f y 3 γ M0 Aračić, Mario 70

djelotvorna posmična površina A V,Z = A 2 b t f + (t w + 2r) t f η h w t w A V,Z = 62,61 2 16 1,15 + (0,75 + 2 1,8) 1,15 η 30,7 0,75 30,81 27,63 30,81 27,5 V pl,z,rd = = 489,17 kn 3 1,0 Vz,Ed 0,5 489,17 16,30 < 244,59 // ne moramo raditi redukciju poprečne sile M y,ed M el,y,rd + N Ed N el,rd 1,0 20,78 196,10 + 453,21 1721,78 1,0 0,369 1,0 OTPORNOST ELEMENTA Otpornost elementa na izvijanje duljine izvijanje Lcr,y = 400 k K C = I y L = 11770 = 29,43 (stup 5) 400 K 11 = 1,5 I y L K 12 = 1,5 I y L K 1 = 1,5 I y L = 1,5 67120 700 = 1,5 67120 700 = 1,5 11770 380 K CC + K 1 η 1 = K CC + K 1 + K 11 + K 12 η 1 = = 143,83 (greda 7) = 143,83 (greda 8) = 46,46 (stup 6) 29,43 + 46,46 29,43 + 46,46 + 143,83 + 143,83 Aračić, Mario 71

η 1 = 0,209 η 2 = 0 k = 1 0,2 (η 1 + η 2 ) 0,12 η 1 η 2 1 0,8 (η 1 + η 2 ) + 0,6 η 1 η 2 1 0,2 (0,209 + 0) 0,12 0,209 0 k = 1 0,8 (0,209 + 0) + 0,6 0,209 0 = 1,07 Lcr,y = 400 1,07 = 428 cm Lcr,z = 400 cm (zbog bočnih pridržanja u drugom smjeru) Eulerove kritične sile izvijanja N cr,y = π2 E I y Lcr, y 2 N cr,y = π2 21000 11770 428 2 = 13317,05 kn N cr,z = π2 E I z Lcr, z 2 N cr,z = π2 21000 788,1 400 2 = 1020,89 Bezdimenzionalne vitkosti λ y = A f y 62,61 27,5 = N cr,y 13317,05 = 0,360 λ z = A f y 62,61 27,5 = N cr,z 1020,89 odabir linija izvijanja h/b = 2,06; tf < 40 mm y y = a α = 0,21 z z = b α = 0,34 = 1,30 Aračić, Mario 72

faktori reduckije za izvijanje oko osi y-y χ y = 1 φ y + φ 2 y λ 2 y φ y = 0,5 [1 + α λ y 0,2 + λ 2 y ] φ y = 0,5 [1 + 0,21 (0,360 0,2) + 0,360 2 ] φ y = 0,582 1 χ y = 0,582 + 0,582 2 0,360 = 0,962 2 za izvijanje oko osi z-z 1 χ z = φ z + φ 2 z λ 2 z φ z = 0,5 [1 + α λ z 0,2 + λ 2 z ] φ z = 0,5 [1 + 0,34 (1,30 0,2) + 1,30 2 ] φ z = 1,532 1 χ z = 1,532 + 1,532 2 1,30 = 0,427 2 χ = min ( χ y, χ z ) = 0,427 Proračunska otpornost na izvijanje N b,rd = χ N el,rd = 0,427 1721,78 γγ 1 1,1 N b,rd = 668,36 kn uvjet nosivosti N Ed N b,rd 1,0 453,61 = 0,679 < 1,0 67,90% 668,36 Otpornost elementa na bočno-torzijsko izvijanje π 2 EI Z M cr = C 1 (k l) 2 k I w + (k l)2 GI t k w I Z π 2 + (C EI 2 Z g ) 2 C 2 Z g Z ψ = 28,17 37,03 = 0,761 C 1 = 2,56 Aračić, Mario 73

M cr = 2,56 π2 21000 788,1 (1 400) 2 1 199100 1 788,1 + (1 400)2 8077 28,15 π 2 + (0 Z 21000 788,1 g ) 2 0 Z g Mcr = 56980,44 kncm = 569,80 knm bezdimenzionalna vitkosta λ LT = W eeee,yy f y 713,1 27,5 = M cr 56980,44 = 0,587 faktor redukcije (za opći slučaj) 1 χ LT = φ LT + φ 2 LT λ 2 LT φ LT = 0,5 [1 + α LT λ LT 0,2 + 2 λ LT ] h/b = 2,06 > 2 ; krivulja b, α LT = 0,34 φ LT = 0,5 [1 + 0,34 (0,587 0,2) + 0,587 2 ] φ LT = 0,738 1 χ LT = 0,738 + 0,738 2 0,587 2 χ LT = 0,844 proračunska otpornost M b,rd = χ LT M el,rd = 0,844 196,10 γγ MM1 1,10 M b,rd = 150,46 knm uvjet nosivosti M Ed M b,rd 1,0 37,03 = 0,246 < 1,0 24,61% 150,46 Aračić, Mario 74

INTERAKCIJA M-N (po Metodi 1) π 2 EI Z M cr,0 = C 1 (k l) 2 k I w + (k l)2 GI t k w I Z π 2 + (C EI 2 Z g ) 2 C 2 Z g Z M cr,0 = 1,0 π2 21000 788,1 (1 400) 2 1 199100 1 788,1 + (1 400)2 8077 28,15 π 2 + (0 Z 21000 788,1 g ) 2 0 Z g Mcr = 22257,99 kncm = 222,58 knm λ 0 = W el,y f y 713,1 27,5 = M cr 22257,99 = 0,939 4 λ 0,lim = 0,2 C 1 1 N Ed 1 N Ed N cr,z N cr,tf N cr,tf = N cr,t za dvoosno simetrične presjeke N cr,t = 1 i 0 2 G I t + π2 E I w L cr,t 2 i 0 2 = i y 2 + i z 2 + y 0 2 + z 0 2 i y = I y A = 11770 = 13,71 cm 62,61 i z = I z A = 788,1 = 3,55 cm 62,61 yy 0, zz 0 = 0 (centar posmika i težište pp se poklapaju) i 0 2 = 13,71 2 + 3,55 2 + 0 + 0 = 200,85 cm 2 N cr,t = 1 200,85 8077 28,15 + π2 21000 199100 400 2 N cr,t = 2416,13 kkkk Aračić, Mario 75

4 λ 0,lim = 0,2 2,56 1 453,61 453,61 1 1020,89 2416,13 λ 0,lim = 0,262 Za slučaj: λ 0 > λ 0,lim εε yy aa LLLL C my = C my,0 + (1 C my,0 ) 1 + εε yy aa LLLL C mlt = C my 2 aa LLLL 1 N Ed N cr,z 1 N Ed N cr,t 0 određivanje C my,0-1 Ψ 1 C my,0 = 0,79 + 0,21 ψ + 0,36 (ψ 0,33) N Ed N cr,y C my,0 = 0,79 + 0,21 ( 0,731) + 0,36 ( 0,731 0,33) C my,0 = 0,623 ε y = M y,ed N Ed A W el,y za klase 1,2,3 ε y = 3703 453,61 62,61 713,1 = 0,717 a LT = 1 I tt I y = 1 28,15 11770 a LT = 0,9976 0,717 0,9976 C my = 0,623 + (1 0,623) 1 + 0,717 0,9976 C my = 0,796 < 1 C mlt = 0,796 2 0,9976 1 453,61 0 453,61 1020,89 1 2416,13 453,61 13317,05 Aračić, Mario 76

1. C mlt = 0,941 > 1 C mlt = 1,0 1 N Ed N cr,y 1 453,61 13317,05 µ y = 1 χ y N = = 0,999 Ed 453,61 N 1 0,963 cr,y 13317,05 1 N Ed N 1 453,61 cr,z 1020,89 µ z = 1 χ z N = = 0,686 Ed 453,61 N 1 0,427 cr,z 1020,89 za klase 3 i 4 k yy = C my C mlt k yy = 0,796 1,0 k yy = 0,823 k zy = C my C mlt µ y 1 N Ed N cr,y 0,999 1 453,61 13317,05 µ z 1 N Ed N cr,y 0,868 k zy = 0,796 1,0 1 453,61 13317,05 k zy = 0,715 N EEEE χ y N RRRR γ MM1 + k yy M yy,eeee χ LT M yy,rrrr γ MM1 453,61 0,963 1721,78 + 0,823 1,1 0,301 + 0,203 + 0 1,0 0,504 1,0 50,4 % + k yz M zz,eeee M zz,rrrr γ MM1 1,0 37,03 0,844 196,10 1,1 + k yz 0 M zz,rrrr γ MM1 1,0 Aračić, Mario 77

2. N EEEE χ z N RRRR γ MM1 + k zy 453,61 0,427 1721,78 1,1 0,679 + 0,176 + 0 1,0 M yy,eeee 0,855 1,0 85,50 % χ LT M yy,rrrr γ MM1 + 0,715 + k zz 37,03 M zz,eeee M zz,rrrr γ MM1 1,0 0,844 196,10 1,1 + k zz 0 M zz,rrrr γ MM1 1,0 Provjera otpornosti elementa na kombinaciju opterećenja s maksimalnim momentom savijanja. Kombinacija 12 (robot); stalno + vodeće vjetar implozija + uporabno + snijeg Odabrani profil IPE 330 Kvaliteta materijala S 275 KLASIFIKACIJA HRBAT (tlak) c = h - 2 tf - 2r 330 2 11,5 2 18 c = 271 mm Aračić, Mario 78

t = tw = 7,5mm c/t = 36,13 uvjet za klasu 1: c/t 33ε [ε = 0,92] 36,13 > 30,36 uvjet za klasu 2: c/t 38ε [ε = 0,92] 36,13 > 34,96 uvjet za klasu 3: c/t 42ε [ε = 0,92] 36,13 < 38,64 HRBAT KLASE 3 POJASNICA (tlak) c = b t w 2r 2 c = 58,25 mm t = tf = 11,5 mm c/t = 5,065 uvjet za klasu 1: c/t 9ε [ε = 0,92] 5,065 < 8,28 POJASNICA KLASE 1 PP KLASE 3 OTPORNOST POPREČNOG PRESJEKA Otpornost na uzdužnost tlačnu silu N c,rd = N el,rd = A f y 62,61 27,5 = = 1721,78 kn γ M0 1,0 uvjet nosivosti N Ed N el,rd 1,0 353,45 = 0,205 1,0 20,50 % 1721,78 Aračić, Mario 79

Otpornost PP izloženog savijanju M c,rd = M el,y,rd = W el,y f y 713,1 27,5 = = 19610,25 kncm = 196,10kNm γ M0 1,0 uvjet nosivosti M y,ed M el,rd 1,0 61,71 = 0,318 < 1,0 31,50 % 196,10 Posmična otpornost PP h w t w 72 ε η hw = h - 2 tf hw = 307 mm tw = 7,5mm 307 7,5 72 0,92 1,2 40,93 55,2 // nema opasnosti od izbočavanja hrpta τ Ed f y / 3 γ M0 1,0 τ Ed = V z,ed S y I y t w S y = W pl,y 2 = 804,3 = 402,15 cm 3 2 τ Ed = 27,17 402,15 11770 0,75 = 1,239 kn cm 2 1,239 1,0 0,078 < 1,0 27,5/ 3 1,0 Otpornost poprečnog presjeka na istovremeno djelovanje momenta savijanja, uzdužne i poprečne sile (interakcija M-V-N) (za x=1m) My,Ed = - 34,64 knm Vz,Ed = 27,17 kn = - 353,05 kn NEd Aračić, Mario 80

Vz,Ed 0,5 Vpl,z,Rd V pl,z,rd = A V,Z f y 3 γ M0 djelotvorna posmična površina A V,Z = A 2 b t f + (t w + 2r) t f η h w t w A V,Z = 62,61 2 16 1,15 + (0,75 + 2 1,8) 1,15 η 30,7 0,75 30,81 27,63 30,81 27,5 V pl,z,rd = = 489,17 kn 3 1,0 Vz,Ed 0,5 489,17 27,17 < 244,59 // ne moramo raditi redukciju poprečne sile M y,ed M el,y,rd + N Ed N el,rd 1,0 34,64 196,10 + 353,05 1721,78 1,0 0,382 1,0 OTPORNOST ELEMENTA Otpornost elementa na izvijanje duljine izvijanje Lcr,y = 400 k K C = I y L = 11770 = 29,43 (stup 5) 400 K 11 = 1,5 I y L K 12 = 1,5 I y L K 1 = 1,5 I y L = 1,5 67120 700 = 1,5 67120 700 = 1,5 11770 380 = 143,83 (greda 7) = 143,83 (greda 8) = 46,46 (stup 6) Aračić, Mario 81

K CC + K 1 η 1 = K CC + K 1 + K 11 + K 12 η 1 = 29,43 + 46,46 29,43 + 46,46 + 143,83 + 143,83 η 1 = 0,209 η 2 = 0 k = 1 0,2 (η 1 + η 2 ) 0,12 η 1 η 2 1 0,8 (η 1 + η 2 ) + 0,6 η 1 η 2 1 0,2 (0,209 + 0) 0,12 0,209 0 k = 1 0,8 (0,209 + 0) + 0,6 0,209 0 = 1,07 Lcr,y = 400 1,07 = 428 cm Lcr,z = 400 cm (zbog bočnih pridržanja u drugom smjeru) Eulerove kritične sile izvijanja N cr,y = π2 E I y Lcr, y 2 N cr,y = π2 21000 11770 428 2 = 13317,05 kn N cr,z = π2 E I z Lcr, z 2 N cr,z = π2 21000 788,1 400 2 = 1020,89 Bezdimenzionalne vitkosti λ y = A f y 62,61 27,5 = N cr,y 13317,05 = 0,360 λ z = A f y 62,61 27,5 = N cr,z 1020,89 odabir linija izvijanja h/b = 2,06; tf < 40 mm = 1,30 Aračić, Mario 82

y y = a α = 0,21 z z = b α = 0,34 faktori reduckije za izvijanje oko osi y-y χ y = 1 φ y + φ 2 y λ 2 y χ y = φ y = 0,5 [1 + α λ y 0,2 + λ 2 y ] φ y = 0,5 [1 + 0,21 (0,360 0,2) + 0,360 2 ] φ y = 0,582 1 0,582 + 0,582 2 0,360 2 = 0,962 za izvijanje oko osi z-z 1 χ z = φ z + φ 2 z λ 2 z φ z = 0,5 [1 + α λ z 0,2 + λ 2 z ] φ z = 0,5 [1 + 0,34 (1,30 0,2) + 1,30 2 ] φ z = 1,532 χ z = 1 1,532 + 1,532 2 1,30 2 = 0,427 χ = min ( χ y, χ z ) = 0,427 Proračunska otpornost na izvijanje N b,rd = χ N el,rd = 0,427 1721,78 γγ 1 1,1 N b,rd = 668,36 kn uvjet nosivosti N Ed N b,rd 1,0 353,05 = 0,528 < 1,0 52,80% 668,36 Aračić, Mario 83

Otpornost elementa na bočno-torzijsko izvijanje π 2 EI Z M cr = C 1 (k l) 2 k I w + (k l)2 GI t k w I Z π 2 + (C EI 2 Z g ) 2 C 2 Z g Z ψ = 46,95 61,71 = 0,761 C 1 = 2,56 M cr = 2,56 π2 21000 788,1 (1 400) 2 1 199100 1 788,1 + (1 400)2 8077 28,15 π 2 + (0 Z 21000 788,1 g ) 2 0 Z g Mcr = 56980,44 kncm = 569,80 knm bezdimenzionalna vitkost λ LT = W eeee,yy f y 713,1 27,5 = M cr 56980,44 = 0,587 faktor redukcije (za opći slučaj) χ LT = 1 φ LT + φ 2 LT λ 2 LT φ LT = 0,5 [1 + α LT λ LT 0,2 + 2 λ LT ] h/b = 2,06 > 2 ; krivulja b, α LT = 0,34 φ LT = 0,5 [1 + 0,34 (0,587 0,2) + 0,587 2 ] φ LT = 0,738 1 χ LT = 0,738 + 0,738 2 0,587 2 χ LT = 0,844 Aračić, Mario 84

proračunska otpornost M b,rd = χ LT M el,rd = 0,844 196,10 γγ MM1 1,10 M b,rd = 150,46 knm uvjet nosivosti M Ed M b,rd 1,0 61,71 = 0,410 < 1,0 41,00% 150,46 INTERAKCIJA M-N (po Metodi 1) π 2 EI Z M cr,0 = C 1 (k l) 2 k I w + (k l)2 GI t k w I Z π 2 + (C EI 2 Z g ) 2 C 2 Z g Z M cr,0 = 1,0 π2 21000 788,1 (1 400) 2 1 199100 1 788,1 + (1 400)2 8077 28,15 π 2 + (0 Z 21000 788,1 g ) 2 0 Z g Mcr = 22257,99 kncm = 222,58 knm λ 0 = W el,y f y 713,1 27,5 = M cr 22257,99 = 0,939 4 λ 0,lim = 0,2 C 1 1 N Ed 1 N Ed N cr,z N cr,tf N cr,tf = N cr,t za dvoosno simetrične presjeke N cr,t = 1 i 0 2 G I t + π2 E I w L cr,t 2 i 0 2 = i y 2 + i z 2 + y 0 2 + z 0 2 i y = I y A = 11770 = 13,71 cm 62,61 Aračić, Mario 85

i z = I z A = 788,1 = 3,55 cm 62,61 yy 0, zz 0 = 0 (centar posmika i težište pp se poklapaju) i 0 2 = 13,71 2 + 3,55 2 + 0 + 0 = 200,85 cm 2 N cr,t = 1 200,85 8077 28,15 + π2 21000 199100 400 2 N cr,t = 2416,13 kkkk 4 λ 0,lim = 0,2 2,56 1 353,45 353,45 1 1020,89 2416,13 λ 0,lim = 0,277 Za slučaj: λ 0 > λ 0,lim εε yy aa LLLL C my = C my,0 + (1 C my,0 ) 1 + εε yy aa LLLL C mlt = C my 2 aa LLLL 1 N Ed N cr,z 1 N Ed N cr,t 0 određivanje C my,0-1 Ψ 1 C my,0 = 0,79 + 0,21 ψ + 0,36 (ψ 0,33) N Ed N cr,y C my,0 = 0,79 + 0,21 ( 0,731) + 0,36 ( 0,731 0,33) C my,0 = 0,626 ε y = M y,ed N Ed A W el,y za klase 1,2,3 353,45 13317,05 Aračić, Mario 86

ε y = 6171 353,45 62,61 713,1 = 1,533 a LT = 1 I tt I y = 1 28,15 11770 a LT = 0,9976 1,533 0,9976 C my = 0,626 + (1 0,626) 1 + 1,533 0,9976 C my = 0,833 < 1 C mlt = 0,833 2 0,9976 1 353,45 0 353,45 1020,89 1 2416,13 C mlt = 0,926 > 1 C mlt = 1,0 1 N Ed N cr,y 1 353,05 13317,05 µ y = 1 χ y N = = 0,999 Ed 353,45 N 1 0,963 cr,y 13317,05 1 N Ed N 1 353,05 cr,z 1020,89 µ z = 1 χ z N = = 0,768 Ed 353,05 N 1 0,427 cr,z 1020,89 za klase 3 i 4 k yy = C my C mlt k yy = 0,833 1,0 k yy = 0,855 k zy = C my C mlt k zy = 0,833 1,0 k zy = 0,657 µ y 1 N Ed N cr,y 0,999 1 353,45 13317,05 µ z 1 N Ed N cr,y 0,768 1 353,45 13317,05 Aračić, Mario 87

1. N Ed χ y N Rk γ M1 + k yy 353,45 0,963 1721,78 1,1 0,234 + 0,351 + 0 1,0 0,585 1,0 58,5 % M y,ed χ LT M y,rk γ M1 + 0,855 + k yz 61,71 M z,ed M z,rk γ M1 1,0 0,844 196,10 1,1 + k yz 0 M z,rk γ M1 1,0 2. N Ed χ z N Rk γ M1 + k zy M y,ed χ LT M y,rk γ M1 353,45 0,427 1721,78 + 0,657 1,1 0,529 + 0,269 + 0 1,0 0,798 1,0 79,80 % + k zz M z,ed M z,rk γ M1 1,0 61,71 0,844 196,10 1,1 + k zz 0 M z,rk γ M1 1,0 Profil IPE 330 zadovoljava uvjete nosivosti pri maksimalnom momentu savijanja i pripadajućoj uzdužnoj i poprečnoj sili. Aračić, Mario 88

7.5 Proračun otpornosti elementa GREDA 7 GREDA 7 (zbog simetričnosti okvira mjerodavna i za gredu 8 u slučaju vjetra s desne strane) Kombinacija opterećenja: stalno + vodeće uporabno + vjetar eksplozija Aračić, Mario 89

Odabrani profil IPE 550 Kvaliteta materijala S 275 KLASIFIKACIJA HRBAT (tlak + savijanje) c = d = h - 2 tf - 2r 550 2 17,2 2 24 c = d = 467,6 mm t = tw = 11,1 mm c/t = 42,13 Aračić, Mario 90

određivanje položaja neutralne osi a = N Ed = 2 t w f y γ M0 4,53 2 1,11 27,5 1 = 0,074 cm α = 1 d d 2 + a = 1 46,76 46,76 0,074 = 0,498 2 uvjet za klasu 1: za αα >0,5 c/t 396 ε /(13 αα -1) [ε = 0,92] 42,13< 396 0,92 / (13 0,502-1) 42,13 < 65,93 HRBAT klase 1 POJASNICA (tlak) c = b t w 2r 2 c = 75,45 mm t = tf = 17,2 mm c/t = 4,75 = 210 11,1 2 24 2 uvjet za klasu 1: c/t 9ε [ε = 0,92] 69,30/ 14,60 9 0,92 4,39 < 8,28 POJASNICA KLASE 1 PP KLASE 1 OTPORNOST POPREČNOG PRESJEKA Otpornost PP izloženog savijanju M c,rd = M pl,rd = W pl,y f y 2787 27,5 = = 76642,5 kncm = 766,43 knm γ M0 1,0 uvjet nosivosti M Ed M el,rd 1,0 267,46 = 0,349 < 1,0 34,90% 766,43 Aračić, Mario 91

Posmična otpornost PP h w t w 72 ε η hw = h - 2 tf = 550-2 17,2 hw = 515,6 mm tw = 11,1 mm 515,6 11,1 72 0,92 1,2 46,45 55,2 // nema opasnosti od izbočavanja hrpta Otpornost PP na istovremeno djelovanje momenta savijanja i poprečne sile V z,ed 0,5 V pl,z,rd V pl,z,rd = A V,Z f y 3 γ M0 djelotvorna posmična površina poprečnog presjeka A V,Z = A 2 b t f + (t w + 2r) t f η h w t w A V,Z = 134,4-2 21 1,72 + (1,11 + 2 2,4) 1,72 1,2 51,56 1,11 = 72,33 68,68 V pl,z,rd = A V,Z f y 50,84 27,5 = = 1148,39 kn 3 γ M0 3 1 V z,ed 0,5 1148,39 209,09 < 574,20 OTPORNOST ELEMENTA Otpornost elementa na bočno torzijsko izvijanje π 2 EI Z M cr = C 1 (k l) 2 k I w + (k l)2 GI t k w I Z π 2 + (C EI 2 Z g ) 2 C 2 Z g Z Aračić, Mario 92

Vrijednost faktora C1 i C2 s obzirom na nesimetriju momentnog dijagrama za slučaj: µ < 0 µ = q L2 8M q = stalno opterećenje + uporabno opterećenje stalno opterećenje vlastita težina = 106 kg 9,81 1,35 = 1403,81N = 1,40 kn/m m slojevi poda međukatne konstrukcije = 4,20 1,35 = 5,67 kn/m pregradni zidovi = 3 1,35 = 4,05 kn/m uporabno opterećenje uporabno opterećenje od trgovine = 30 1,5 = 45 kn/m q = 1,40 + 5,67 + 4,05 + 45 q = 56,12 kn/m 56,12 72 µ = 8 267,46 = 1,285 ψ = 156,46 267,46 = 0,585 Aračić, Mario 93

µ < 0 očitano: C1 = 2,39, C2 = 1,38 Aračić, Mario 94

M cr = 2,39 π2 21000 2668 (1 700) 2 1 1884000 1 2668 + (1 700)2 8077 123,20 π 2 + (1,38 27,5) 21000 2668 2 (1,38 27,5) C1 = 2,39, C2 = 1,38 L = 700 cm E = 21000 kn/cm 2 IZ = 2668 cm 4 Iw = 1884000 cm 6 It = 123,20 cm 4 G = 8077 kn/ cm 2 Zg = h/2 = 27,5 cm k = kw = 1,0 Mcr = 46062,88 kncm = 460,63 knm bezdimenzionalna vitkost λ LT = W pppp,yy f y 2787 27,5 = M cr 45609,06 = 1,296 λ LT,0 = 0,4 λ LT > λ LT,0 mora se uzeti u obzir bočno-torzijsko izvijanje faktor redukcije (opći slučaj) χ LT = φ LT = 0,5 [1 + α LT λ LT 0,2 + λ 2 LT ] h/b = 2,62 > 2 ; krivulja b, α LT = 0,34 φ LT = 0,5 [1 + 0,34 (1,296 0,2) + 1,296 2 ] φ LT = 1,517 1 φ LT + φ 2 LT λ 2 LT Aračić, Mario 95

1 χ LT = 1,526 + 1,526 2 1,296 2 χ LT = 0,432 proračunska otpornost M b,rd = χ LT M pl,rd = 0,432 76,43 γγ MM1 1,1 M b,rd = 301,00 knm uvjet nosivosti M Ed M b,rd 1,0 267,46 = 0,8857 < 1,0 88,86 % 301,00 Aračić, Mario 96

Proračun otpornosti poprečnog presjeka (IPE 550)i elementa pri djelovanju maksimalne tlačne sile Kombinacija opterećenja: stalno + vjetar implozija KLASIFIKACIJA HRBAT (tlak) c = d = h - 2 tf - 2r 550 2 17,2 2 24 c = d = 467,6 mm t = tw = 11,1 mm c/t = 42,13 uvjet za klasu 1: c/t 33 ε [ε = 0,92] 42,13 > 30,36 uvjet za klasu 2: c/t 38 ε [ε = 0,92] 42,13 > 34,96 Aračić, Mario 97

uvjet za klasu 3: c/t 42 ε [ε = 0,92] 42,13 > 38,64 HRBAT klase 4 POJASNICA (tlak) c = b t w 2r 2 c = 75,45 mm t = tf = 17,2 mm c/t = 4,75 = 210 11,1 2 24 2 uvjet za klasu 1: c/t 9ε [ε = 0,92] 69,30/ 14,60 9 0,92 4,39 < 8,28 POJASNICA KLASE 1 PP KLASE 4 Redukcija poprečnog presjeka djelotvorna površina poprečnog presjeka HRBAT u tlaku ψ = σσ 1 σσ 2 = 1 h = b = d = 46,76cm λ p = b t 28,4 ε k σ = 46,76 1,11 28,4 0,92 4 = 0,806 > 0,673 redukcija ρ = λ p 0,055 (3 + ψ) 0,806 0,055 (3 + 1) λ 2 = p 0,806 2 = 0,902 h eff = 0,902 h = 0,902 46,76 h eff = 42,18cm A eff = A A = 134,4 (46,76 42,18) 1,11 A eff = 129,32 cm 2 Aračić, Mario 98

visina reduciranog dijela hrpta 46,76-42,18 = 4,58cm I y,eff = I y,a1 + I y,a2 + I y,a3 + I y,a4 I y,a1 = b h3 12 + P A1 S 2 21 1,723 = + (21 1,72) 26,64 2 = 25642,89 cm 4 12 I y,a2 = b h3 12 + P A2 S 2 1,11 23,493 = + (1,11 23,49) 14,035 2 12 = 6334,99 cm 4 I y,a3 = b h3 12 + P A3 S 2 21 1,723 = + (21 1,72) 26,64 2 = 25642,89 cm 4 12 I y,a4 = b h3 12 + P A4 S 2 1,11 23,493 = + (1,11 23,49) 14,035 2 12 = 6334,99 cm 4 I y,eff = 25642,89 + 6334,99 + 25642,89 + 6334,99 I y,eff = 63955,76 cm 4 Aračić, Mario 99

W eff,y,min = I y,eff ZZ = 63955,76 27,5 HRBAT u savijanju h = b = d = 46,76cm λ p = b t 28,4 ε k σ = nema redukcije I y = 67120 cm 4 W y,el = 2441 cm 3 OTPORNOST POPREČNOG PRESJEKA Otpornost na uzdužnu tlačnu silu = 2325,66 cm 3 46,76 1,11 = 0,303 < 0,673 28,4 0,92 23,9 N c,rd = N el,rd = A eff f y 129,32 27,5 = = 3556,3 kn γ M0 1,0 uvjet nosivosti N Ed N el,rd 1,0 19,42 3556,3 1,0 0,55 % Otpornost PP izloženog savijanju M c,rd = M el,rd = W y,el f y 2441 27,5 = = 67127,5 kncm = 671,28 knm γ M0 1,0 uvjet nosivosti M Ed M el,rd 1,0 69,62 = 0,104 < 1,0 10,40 % 671,28 Posmična otpornost PP h w t w 72 ε η hw = h - 2 tf = 550-2 17,2 hw = 515,6 mm tw = 11,1 mm Aračić, Mario 100

515,6 11,1 72 0,92 1,2 46,45 55,2 // nema opasnosti od izbočavanja hrpta τ Ed f y / 3 γ M0 1,0 τ Ed = V z,ed S y I y t w S y = W pl,y 2 = 2787 = 1393,5 cm3 2 τ Ed = 43,99 1393,5 67120 1,11 = 0,823 kn cm 2 0,823 1,0 0,051 < 1,0 27,5/ 3 1,0 V z,ed 0,5 V pl,z,rd V pl,z,rd = A V,Z f y 3 γ M0 djelotvorna posmična površina poprečnog presjeka A V,Z = A 2 b t f + (t w + 2r) t f η h w t w = 134,4-2 21 1,72 + (1,11 + 2 2,4) 1,72 1,2 51,56 1,11 = 72,33 68,68 V pl,z,rd = A V,Z f y 50,84 27,5 = = 1148,39 kn 3 γ M0 3 1 V z,ed 0,5 1148,39 43,99 < 574,20 // nije potrebna redukcija poprečne sile M y,ed M el,y,rd + N Ed N el,rd 1,0 69,62 671,28 + 19,42 3556,3 1,0 0,109 1,0 Aračić, Mario 101

OTPORNOST ELEMENATA Otpornost elementa na izvijanje duljine izvijanje Lcr,y = 700 k K C = I y L = 67120 = 95,89 (greda 7) 700 K 11 = 1,5 I y L K 12 = 1,5 I y L K 21 = 1,5 I y L K 22 = 1,5 I y L = 1,5 11770 380 = 1,5 11770 400 = 1,5 11770 380 = 1,5 11770 400 = 46,46 (stup 6) = 44,14 (stup 5) = 46,46 (stup 2) = 44,14 (stup 1) K 1 = 1,5 I y L = 67120 = 143,83 (greda 8) 700 K CC + K 1 η 1 = K CC + K 1 + K 11 + K 12 η 1 = 95,89 + 143,83 95,89 + 143,83 + 46,46 + 44,14 η 1 = 0,726 K C + K 2 η 2 = K C + K 2 + K 21 + K 22 η 2 = 95,89 + 0 95,89 + 0 + 46,44 + 44,14 η 2 = 0,514 k = 1 0,2 (η 1 + η 2 ) 0,12 η 1 η 2 1 0,8 (η 1 + η 2 ) + 0,6 η 1 η 2 1 0,2 (0,726 + 0,514) 0,12 0,726 0,514 k = 1 0,8 (0,726 + 0,514) + 0,6 0,726 0,514 = 1,75 Aračić, Mario 102

Lcr,y = 700 1,75 = 1225 cm Lcr,z = 700 cm (zbog bočnih pridržanja u drugom smjeru) Eulerove kritične sile izvijanja N cr,y = π2 E I y,eff Lcr, y 2 N cr,y = π2 21000 63955,76 1225 2 = 8838,87 kn N cr,z = π2 E I z Lcr, z 2 N cr,z = π2 21000 2668 700 2 = 1128,52 Bezdimenzionalne vitkosti λ y = A eff f y 129,32 27,5 = N cr,y 8838,89 = 0,634 λ z = A eff f y 129,32 27,5 = N cr,z 1128,52 odabir linija izvijanja h/b = 2,62; tf < 40 mm y y = a α = 0,21 z z = b α = 0,34 faktori reduckije za izvijanje oko osi y-y χ y = 1 φ y + φ 2 y λ 2 y = 1,78 φ y = 0,5 [1 + α λ y 0,2 + λ 2 y ] φ y = 0,5 [1 + 0,21 (0,634 0,2) + 0,634 2 ] φ y = 0,747 Aračić, Mario 103

χ y = 1 0,747 + 0,747 2 0,634 2 = 0,877 za izvijanje oko osi z-z 1 χ z = φ z + φ 2 z λ 2 z φ z = 0,5 [1 + α λ z 0,2 + λ 2 z ] φ z = 0,5 [1 + 0,34 (1,78 0,2) + 1,78 2 ] φ z = 2,353 1 χ z = 2,353 + 2,353 2 1,78 = 0,257 2 χ = min ( χ y, χ z ) = 0,257 Proračunska otpornost na izvijanje N b,rd = χ N el,rd = 0,257 3556,3 γγ 1 1,1 N b,rd = 830,88 kn uvjet nosivosti N Ed N b,rd 1,0 19,42 = 0,023 < 1,0 2,30 % 830,88 Otpornost elementa na bočno torzijsko izvijanje π 2 EI Z M cr = C 1 (k l) 2 k I w + (k l)2 GI t k w I Z π 2 + (C EI 2 Z g ) 2 C 2 Z g Z Vrijednost faktora C1 i C2 s obzirom na nesimetriju momentnog dijagrama za slučaj: Aračić, Mario 104

µ < 0 µ = q L2 8M q = stalno opterećenje stalno opterećenje vlastita težina = 106 kg 9,81 1,35 = 1403,81N = 1,40 kn/m m slojevi poda međukatne konstrukcije = 4,20 1,35 = 5,67 kn/m pregradni zidovi = 3 1,35 = 4,05 kn/m q = 1,40 + 5,67 + 4,05 q = 11,12 kn/m 11,12 72 µ = 8 69,62 = 0,978 ψ = 9,83 69,62 = 0,141 µ < 0 Aračić, Mario 105

očitano: C1 = 2,70, C2 = 1,08 µ < 0 M cr = 2,70 π2 21000 2668 (1 700) 2 1 1884000 1 2668 + (1 700)2 8077 123,20 π 2 + (1,08 27,5) 21000 2668 2 (1,08 27,5) C1 = 2,70, C2 = 1,08 L = 700 cm E = 21000 kn/cm 2 IZ = 2668 cm 4 Iw = 1884000 cm 6 It = 123,20 cm 4 G = 8077 kn/ cm 2 Zg = h/2 = 27,5 cm k = kw = 1,0 Mcr = 60937,26 kncm = 609,37 knm Aračić, Mario 106

Izračun bezdimenzionalne vitkosti λ LT = W y f y 2441 27,5 = M cr 60937,26 = 1,05 λ LT,0 = 0,4 λ LT > λ LT,0 mora se uzeti u obzir bočno-torzijsko izvijanje faktor redukcije (opći slučaj) 1 χ LT = φ LT + φ 2 LT λ 2 LT φ LT = 0,5 [1 + α LT λ LT 0,2 + λ 2 LT ] h/b = 2,62 > 2 ; krivulja b, α LT = 0,34 φ LT = 0,5 [1 + 0,34 (1,05 0,2) + 1,05 2 ] φ LT = 1,20 1 χ LT = 1,20 + 1,20 2 1,05 2 χ LT = 0,561 proračunska otpornost M b,rd = χ LT M el,rd = 0,561 671,28 γγ MM1 1,1 M b,rd = 342,35 knm uvjet nosivosti M Ed M b,rd 1,0 69,62 = 0,203 < 1,0 20,30 % 342,35 Aračić, Mario 107

INTERAKCIJA M-N (po Metodi 1) π 2 EI Z M cr,0 = C 1 (k l) 2 k I w + (k l)2 GI t k w I Z π 2 + (C EI 2 Z g ) 2 C 2 Z g Z M cr,0 = 1,0 π2 21000 2668 (1 700) 2 1 1884000 1 2668 + (1 700)2 8077 123,2 π 2 + (0 Z 21000 2668 g ) 2 0 Z g Mcr,0 = 44969,88 kncm = 449,70 knm λ 0 = W y f y 2441 27,5 = M cr 44969,88 = 1,22 4 λ 0,lim = 0,2 C 1 1 N Ed 1 N Ed N cr,z N cr,tf N cr,tf = N cr,t za dvoosno simetrične presjeke N cr,t = 1 i 0 2 G I t + π2 E I w L cr,t 2 i 0 2 = i y 2 + i z 2 + y 0 2 + z 0 2 i y = I y A = 67120 = 22,35 cm 134,4 i z = I z A = 2668 = 4,45 cm 134,4 yy 0, zz 0 = 0 (centar posmika i težište pp se poklapaju) i 0 2 = 22,35 2 + 4,45 + 0 + 0 = 519,33 cm 2 N cr,t = 1 519,33 8077 123,2 + π2 21000 1884000 700 2 N cr,t = 3450,57 kn Aračić, Mario 108

4 λ 0,lim = 0,2 2,70 1 19,42 19,42 1 9270,41 3450,57 λ 0,lim = 0,326 Za slučaj: λ 0 > λ 0,lim εε yy aa LLLL C my = C my,0 + (1 C my,0 ) 1 + εε yy aa LLLL C mlt = C my 2 aa LLLL 1 N Ed N cr,z 1 N Ed N cr,t 0 određivanje C my,0 C my,0 = 1 + ππ2 EE II yy,eeeeee δδ N Ed LL 2 MM yy,eeee N cr,y δ = 1 mm C my,0 = 1 + ππ2 21000 63955,76 0,1 19,42 700 2 6962 9270,41 C my,0 = 1,00 ε y = M y,ed N Ed A eeeeee W eff,y,min za klasu 4 ε y = 6962 19,42 129,32 2325,66 = 19,93 a LT = 1 I tt I y = 1 123,2 67120 a LT = 0,998 Aračić, Mario 109

19,93 0,998 C my = 1,0 + (1 1) 1 + 19,93 0,998 C my = 1,0 C mlt = 1,0 2 0,998 1 19,42 0 19,42 1 1128,52 3450,57 C mlt = 1,009 > 1 C mlt = 1,009 za klase 3 i 4 1 N Ed N cr,y 1 19,42 8838,87 µ y = 1 χ y N = = 1,00 Ed 19,42 N 1 0,877 cr,y 8838,87 1 N Ed N 1 19,42 cr,z 1128,52 µ z = 1 χ z N = = 0,987 Ed 19,42 N 1 0,257 cr,z 1128,52 k yy = C my C mlt k yy = 1,0 1,009 k yy = 1,01 k zy = C my C mlt k zy = 1,0 1,009 k zy = 0,998 µ y 1 N Ed N cr,y 1,0 1 19,42 8838,87 µ z 1 N Ed N cr,y 0,987 1 19,42 8838,87 Aračić, Mario 110

1. N EEEE χ y N RRRR γ MM1 + k yy 19,42 0,877 3556,3 1,1 M yy,eeee χ LT M yy,rrrr γ MM1 + 1,01 0,007 + 0,205 + 0 1,0 0,212 1,0 21,2 % + k yz 69,62 0,561 671,28 1,1 M zz,eeee M zz,rrrr γ MM1 1,0 + k yz 0 M zz,rrrr γ MM1 1,0 2. N EEEE χ z N RRRR γ MM1 + k zy M yy,eeee χ LT M yy,rrrr γ MM1 19,42 0,257 3556,3 + 0,998 1,1 0,023 + 0,203 + 0 1,0 0,226 1,0 22,60 % + k zz 69,62 0,561 671,28 1,1 M zz,eeee M zz,rrrr γ MM1 1,0 + k zz 0 M zz,rrrr γ MM1 1,0 Profil IPE 550 zadovoljava uvjete nosivosti pri maksimalnoj tlačnoj sili Aračić, Mario 111

7.6 Proračun otpornosti elementa GREDA 9 GREDA 9 (zbog simetričnosti okvira mjerodavna i za gredu 10 u slučaju vjetra s desne strane) Kombinacija opterećenja: stalno + vodeće snijeg + vjetar implozija Aračić, Mario 112

Odabrani profil IPE 330 Kvaliteta materijala S 275 KLASIFIKACIJA HRBAT (tlak) c = h - 2 tf - 2r 330 2 11,5 2 18 c = 271 mm t = tw = 7,5mm c/t = 36,13 uvjet za klasu 1: c/t 33ε [ε = 0,92] 36,13 > 30,36 uvjet za klasu 2: c/t 38ε [ε = 0,92] 36,13 > 34,96 Aračić, Mario 113

uvjet za klasu 3: c/t 42ε [ε = 0,92] 36,13 < 38,64 HRBAT KLASE 3 POJASNICA (tlak) c = b t w 2r 2 c = 58,25 mm t = tf = 11,5 mm c/t = 5,065 uvjet za klasu 1: c/t 9ε [ε = 0,92] 5,065 < 8,28 POJASNICA KLASE 1 PP KLASE 3 OTPORNOST POPREČNOG PRESJEKA Otpornost na uzdužnu tlačnu silu N c,rd = N el,rd = A f y 62,61 27,5 = = 1721,78 kn γ M0 1,0 uvjet nosivosti N Ed N el,rd 1,0 214,44 1721,78 1,0 12,45% Otpornost PP izloženog savijanju M c,rd = M el,y,rd = W el,y f y 713,1 27,5 = = 19610,25 kncm = 196,10kNm γ M0 1,0 uvjet nosivosti M y,ed M el,rd 1,0 52,16 = 0,266 < 1,0 26,60% 196,10 Aračić, Mario 114

Posmična otpornost PP h w t w 72 ε η hw = h - 2 tf hw = 307 mm tw = 7,5mm 307 7,5 72 0,92 1,2 40,93 55,2 // nema opasnosti od izbočavanja hrpta τ Ed f y / 3 γ M0 1,0 τ Ed = V z,ed S y I y t w S y = W pl,y 2 = 804,3 = 402,15 cm 3 2 τ Ed = 40,30 402,15 11770 0,75 = 1,84 kn cm 2 1,84 1,0 0,116 < 1,0 27,5/ 3 1,0 Otpornost poprečnog presjeka na istovremeno djelovanje momenta savijanja, uzdužne i poprečne sile (interakcija M-V-N) (za x=2m) My,Ed = 18,61 knm Vz,Ed = 11,99 kn = -17,81 kn NEd Vz,Ed 0,5 Vpl,z,Rd V pl,z,rd = A V,Z f y 3 γ M0 djelotvorna posmična površina A V,Z = A 2 b t f + (t w + 2r) t f η h w t w A V,Z = 62,61 2 16 1,15 + (0,75 + 2 1,8) 1,15 η 30,7 0,75 Aračić, Mario 115

30,81 27,63 30,81 27,5 V pl,z,rd = = 489,17 kn 3 1,0 Vz,Ed 0,5 489,17 11,99 < 244,59 // ne moramo raditi redukciju poprečne sile M y,ed M el,y,rd + N Ed N el,rd 1,0 18,61 196,10 + 17,81 1721,78 1,0 0,106 1,0 OTPORNOST ELEMENTA Otpornost elementa na izvijanje duljine izvijanje Lcr,y = 700 k K C = I y L = 11770 = 16,81 (greda 9) 700 K 1 = 1,5 I y L K 12 = 1,5 I y L K 22 = 1,5 I y L η 1 = = 1,5 11770 700 = 1,5 11770 380 = 1,5 11770 380 = 25,22 (greda 10) = 46,46 (stup 6) = 46,46 (stup 2) K CC + K 1 16,81 + 25,22 = K CC + K 1 + K 11 + K 12 16,81 + 25,22 + 0 + 46,46 η 1 = 0,475 η 2 = K CC + K 2 16,81 + 0 = K CC + K 2 + K 21 + K 22 16,81 + 0 + 0 + 46,46 η 2 = 0,266 Aračić, Mario 116

k = 1 0,2 (η 1 + η 2 ) 0,12 η 1 η 2 1 0,8 (η 1 + η 2 ) + 0,6 η 1 η 2 1 0,2 (0,475 + 0,266) 0,12 0,475 0,266 k = 1 0,8 (0,475 + 0,266) + 0,6 0,475 0,266 = 1,316 Lcr,y = 700 1,41 = 921 cm Lcr,z = 700 cm (zbog bočnih pridržanja u drugom smjeru) Eulerove kritične sile izvijanja N cr,y = π2 E I y Lcr, y 2 N cr,y = π2 21000 11770 921 2 = 2875,92 kn N cr,z = π2 E I z Lcr, z 2 N cr,z = π2 21000 788,1 700 2 = 333,35 Bezdimenzionalne vitkosti λ y = A f y 62,61 27,5 = N cr,y 2875,92 = 0,774 λ z = A f y 62,61 27,5 = N cr,z 333,35 = 2,27 odabir linija izvijanja h/b = 2,06; tf < 40 mm y y = a α = 0,21 z z = b α = 0,34 Aračić, Mario 117

faktori reduckije za izvijanje oko osi y-y χ y = 1 φ y + φ 2 y λ 2 y φ y = 0,5 [1 + α λ y 0,2 + λ 2 y ] φ y = 0,5 [1 + 0,21 (0,774 0,2) + 0,774 2 ] φ y = 0,860 1 χ y = 0,860 + 0,860 2 0,774 = 0,810 2 za izvijanje oko osi z-z 1 χ z = φ z + φ 2 z λ 2 z φ z = 0,5 [1 + α λ z 0,2 + λ 2 z ] φ z = 0,5 [1 + 0,34 (2,27 0,2) + 2,27 2 ] φ z = 3,43 1 χ z = 3,43 + 3,43 2 2,27 = 0,167 2 χ = min ( χ y, χ z ) = 0,167 Proračunska otpornost na izvijanje N b,rd = χ N el,rd = 0,167 1721,78 γγ 1 1,1 N b,rd = 261,40 kn uvjet nosivosti N Ed N b,rd 1,0 17,81 = 0,068 < 1,0 6,80 % 261,40 Aračić, Mario 118

Otpornost elementa na bočno torzijsko izvijanje π 2 EI Z M cr = C 1 (k l) 2 k I w + (k l)2 GI t k w I Z π 2 + (C EI 2 Z g ) 2 C 2 Z g Z Vrijednost faktora C1 i C2 s obzirom na nesimetriju momentnog dijagrama za slučaj: µ < 0 µ = q L2 8M stalno opterećenje vlastita težina = 42 kg 9,81 1,35 = 558,88 N/m = 5,59 kn/m m slojevi neprohodnog krova = 1,80 1,35 = 2,43 kn/m promjenjivo opterećenje vodeće snijeg = 5,28 1,5 = 7,92 kn/m vjetar implozija = 0,33 1,5 0,6 = 0,297 kn/m q = 5,59 + 2,43 + 7,92 + 0,297 q = 16,24 kn/m 16,242 72 µ = 8 52,16 = 1,91 ψ = 26,30 52,16 = 0,504 Aračić, Mario 119

µ < 0 očitano: C1=1,20, C2=0,8 Aračić, Mario 120

M cr = 1,20 π2 21000 788,1 (1 700) 2 1 199100 1 788,1 + (1 700)2 8077 28,15 π 2 + (0,8 16,5) 21000 788,1 2 (0,8 16,5) Mcr = 8040,75 kncm = 80,41 knm bezdimenzionalna vitkost λ LT = W eeee,yy f y 713,1 27,5 = M cr 8040,75 = 1,562 λ LT,0 = 0,4 λ LT > λ LT,0 mora se uzeti u obzir bočno-torzijsko izvijanje faktor redukcije (opći slučaj) χ LT = 1 φ LT + φ 2 LT λ 2 LT φ LT = 0,5 [1 + α LT λ LT 0,2 + 2 λ LT ] h/b = 2,12 ; krivulja b, α LT = 0,34 φ LT = 0,5 [1 + 0,34 (1,562 0,2) + 1,562 2 ] φ LT = 1,951 1 χ LT = 1,951 + 1,951 2 1,562 2 χ LT = 0,321 proračunska otpornost M b,rd = χ LT M el,rd = 0,321 196,10 γγ MM1 1,1 M b,rd = 57,23 knm Aračić, Mario 121

uvjet nosivosti M Ed M b,rd 1,0 52,16 = 0,911 < 1,0 91,10 % 57,23 INTERAKCIJA M-N (po Metodi 1) π 2 EI Z M cr,0 = C 1 (k l) 2 k I w + (k l)2 GI t k w I Z π 2 + (C EI 2 Z g ) 2 C 2 Z g Z M cr,0 = 1,0 π2 21000 1043 (1 700) 2 1 313600 1 1043 + (1 700)2 8077 37,32 π 2 + (0 Z 21000 1043 g ) 2 0 Z g Mcr,0 = 10191,53 kncm = 101,91 knm λ 0 = W y,el f y 713,1 27,5 = M cr 101,91 = 1,387 4 λ 0,lim = 0,2 C 1 1 N Ed 1 N Ed N cr,z N cr,tf N cr,tf = N cr,t za dvoosno simetrične presjeke N cr,t = 1 i 0 2 G I t + π2 E I w L cr,t 2 i 0 2 = i y 2 + i z 2 + y 0 2 + z 0 2 i y = I y A = 11770 = 13,71 cm 62,61 i z = I z A = 788,1 = 3,55 cm 62,61 yy 0, zz 0 = 0 (centar posmika i težište pp se poklapaju) i 0 2 = 13,71 2 + 3,55 2 + 0 + 0 = 200,57 cm 2 Aračić, Mario 122

N cr,t = 1 200,57 8077 28,15 + π2 21000 199100 700 2 N cr,t = 1553,49 kn 4 λ 0,lim = 0,2 1,20 1 17,81 17,81 1 441,17 1827,17 λ 0,lim = 0,216 Za slučaj: λ 0 > λ 0,lim εε yy aa LLLL C my = C my,0 + (1 C my,0 ) 1 + εε yy aa LLLL C mlt = C my 2 određivanje C my,0 aa LLLL 1 N Ed N cr,z 1 N Ed N cr,t 0 C my,0 = 1 + ππ2 EE II yy δδ N Ed LL 2 MM yy,eeee N cr,y δ = 5 mm C my,0 = 1 + ππ2 21000 11770 0,5 17,81 700 2 5216 2875,92 C my,0 = 1,00 ε y = M y,ed N Ed A W y,el ε y = 5216 17,81 62,61 713,1 = 25,71 Aračić, Mario 123

a LT = 1 I tt I y = 1 28,15 11770 a LT = 0,998 C my = 1,0 + (1 1) C my = 1,0 19,93 0,998 1 + 19,93 0,998 C mlt = 1,0 2 0,998 1 17,81 0 17,81 1 333,35 1553,49 C mlt = 1,032 > 1 C mlt = 1,032 1 N Ed N cr,y 1 17,81 2875,92 µ y = 1 χ y N = = 0,999 Ed 17,81 N 1 0,810 cr,y 2875,92 µ z = za klase 3 i 4 1 N Ed N cr,z k yy = C my C mlt k yy = 1,0 1,032 k yy = 1,037 k zy = C my C mlt 1 χ z N = Ed N cr,z µ y 1 N Ed N cr,y 0,999 1 17,81 2875,92 µ z 1 N Ed N cr,y 0,967 k zy = 1,0 1,032 1 17,81 2875,92 k zy = 1,004 1 17,81 333,35 1 0,167 17,81 = 0,955 333,35 Aračić, Mario 124

1. N EEEE χ y N RRRR γ MM1 + k yy 17,81 0,810 1721,78 1,1 M yy,eeee χ LT M yy,rrrr γ MM1 + 1,037 0,014 + 0,9452 + 0 1,0 0,959 1,0 95,90 % + k yz 52,16 M zz,eeee M zz,rrrr γ MM1 1,0 0,321 196,10 1,1 + k yz 0 M zz,rrrr γ MM1 1,0 2. N EEEE χ z N RRRR γ MM1 + k zy M yy,eeee χ LT M yy,rrrr γ MM1 17,81 0,167 1721,78 + 1,004 1,1 0,068 + 0,9151 + 0 1,0 0,9831 1,0 98,31 % + k zz M zz,eeee M zz,rrrr γ MM1 1,0 52,16 0,321 196,10 1,1 + k zz 0 M zz,rrrr γ MM1 1,0 Aračić, Mario 125

Proračun otpornosti poprečnog presjeka (IPE 330) i elementa pri djelovanju maksimalne tlačne sile Kombinacija opterećenja: stalno + vodeće uporabno + vjetar implozija + snijeg Odabrani profil IPE 330 Kvaliteta materijala S 275 KLASIFIKACIJA HRBAT (tlak) c = h - 2 tf - 2r 330 2 11,5 2 18 c = 271 mm t = tw = 7,5mm c/t = 36,13 uvjet za klasu 1: c/t 33ε [ε = 0,92] 36,13 > 30,36 uvjet za klasu 2: c/t 38ε [ε = 0,92] 36,13 > 34,96 Aračić, Mario 126

uvjet za klasu 3: c/t 42ε [ε = 0,92] 36,13 < 38,64 HRBAT KLASE 3 POJASNICA (tlak) c = b t w 2r 2 c = 58,25 mm t = tf = 11,5 mm c/t = 5,065 uvjet za klasu 1: c/t 9ε [ε = 0,92] 5,065 < 8,28 POJASNICA KLASE 1 PP KLASE 3 OTPORNOST POPREČNOG PRESJEKA Otpornost na uzdužnu tlačnu silu N c,rd = N el,rd = A f y 62,61 27,5 = = 1721,78 kn γ M0 1,0 uvjet nosivosti N Ed N el,rd 1,0 214,44 1721,78 1,0 12,45% Otpornost PP izloženog savijanju M c,rd = M el,y,rd = W el,y f y 713,1 27,5 = = 19610,25 kncm = 196,10kNm γ M0 1,0 uvjet nosivosti M y,ed M el,rd 1,0 52,16 = 0,266 < 1,0 26,60% 196,10 Aračić, Mario 127

Posmična otpornost PP h w t w 72 ε η hw = h - 2 tf hw = 307 mm tw = 7,5mm 307 7,5 72 0,92 1,2 40,93 55,2 // nema opasnosti od izbočavanja hrpta τ Ed f y / 3 γ M0 1,0 τ Ed = V z,ed S y I y t w S y = W pl,y 2 = 804,3 = 402,15 cm 3 2 τ Ed = 23,78 402,15 11770 0,75 = 1,08 kn cm 2 1,08 1,0 0,068 < 1,0 27,5/ 3 1,0 Otpornost poprečnog presjeka na istovremeno djelovanje momenta savijanja, uzdužne i poprečne sile (interakcija M-V-N) (za x=2m) My,Ed = 2,60 knm Vz,Ed = 10,78 kn = - 37,86 kn NEd Vz,Ed 0,5 Vpl,z,Rd V pl,z,rd = A V,Z f y 3 γ M0 djelotvorna posmična površina A V,Z = A 2 b t f + (t w + 2r) t f η h w t w A V,Z = 62,61 2 16 1,15 + (0,75 + 2 1,8) 1,15 η 30,7 0,75 30,81 27,63 Aračić, Mario 128

30,81 27,5 V pl,z,rd = = 489,17 kn 3 1,0 Vz,Ed 0,5 489,17 10,78 < 244,59 // ne moramo raditi redukciju poprečne sile M y,ed M el,y,rd + N Ed N el,rd 1,0 2,60 196,10 + 37,86 1721,78 1,0 0,035 1,0 OTPORNOST ELEMENTA Otpornost elementa na izvijanje duljine izvijanje Lcr,y = 700 k K C = I y L = 11770 = 16,81 (greda 9) 700 K 1 = 1,5 I y L K 12 = 1,5 I y L K 22 = 1,5 I y L η 1 = = 1,5 11770 700 = 1,5 11770 380 = 1,5 11770 380 = 25,22 (greda 10) = 46,46 (stup 6) = 46,46 (stup 2) K CC + K 1 16,81 + 25,22 = K CC + K 1 + K 11 + K 12 16,81 + 25,22 + 0 + 46,46 η 1 = 0,475 η 2 = K CC + K 2 16,81 + 0 = K CC + K 2 + K 21 + K 22 16,81 + 0 + 0 + 46,46 η 2 = 0,266 Aračić, Mario 129

k = 1 0,2 (η 1 + η 2 ) 0,12 η 1 η 2 1 0,8 (η 1 + η 2 ) + 0,6 η 1 η 2 1 0,2 (0,475 + 0,266) 0,12 0,475 0,266 k = 1 0,8 (0,475 + 0,266) + 0,6 0,475 0,266 = 1,316 Lcr,y = 700 1,41 = 921 cm Lcr,z = 700 cm (zbog bočnih pridržanja u drugom smjeru) Eulerove kritične sile izvijanja N cr,y = π2 E I y Lcr, y 2 N cr,y = π2 21000 11770 921 2 = 2875,92 kn N cr,z = π2 E I z Lcr, z 2 N cr,z = π2 21000 788,1 700 2 = 333,35 Bezdimenzionalne vitkosti λ y = A f y 62,61 27,5 = N cr,y 2875,92 = 0,774 λ z = A f y 62,61 27,5 = N cr,z 333,35 = 2,27 odabir linija izvijanja h/b = 2,06; tf < 40 mm y y = a α = 0,21 z z = b α = 0,34 Aračić, Mario 130

faktori reduckije za izvijanje oko osi y-y χ y = 1 φ y + φ 2 y λ 2 y φ y = 0,5 [1 + α λ y 0,2 + λ 2 y ] φ y = 0,5 [1 + 0,21 (0,774 0,2) + 0,774 2 ] φ y = 0,860 1 χ y = 0,860 + 0,860 2 0,774 = 0,810 2 za izvijanje oko osi z-z 1 χ z = φ z + φ 2 z λ 2 z φ z = 0,5 [1 + α λ z 0,2 + 2 λ z ] φ z = 0,5 [1 + 0,34 (2,27 0,2) + 2,27 2 ] φ z = 3,43 χ z = 1 3,43 + 3,43 2 2,27 2 = 0,167 χ = min ( χ y, χ z ) = 0,167 Proračunska otpornost na izvijanje N b,rd = χ N el,rd = 0,167 1721,78 γγ 1 1,1 N b,rd = 261,40 kn uvjet nosivosti N Ed N b,rd 1,0 37,86 = 0,145 < 1,0 14,50 % 261,40 Aračić, Mario 131

Otpornost elementa na bočno torzijsko izvijanje π 2 EI Z M cr = C 1 (k l) 2 k I w + (k l)2 GI t k w I Z π 2 + (C EI 2 Z g ) 2 C 2 Z g Z Vrijednost faktora C1 i C2 s obzirom na nesimetriju momentnog dijagrama za slučaj: µ < 0 µ = q L2 8M stalno opterećenje vlastita težina = 42 kg 9,81 1,35 = 558,88 N/m = 5,59 kn/m m slojevi neprohodnog krova = 1,80 1,35 = 2,43 kn/m promjenjivo opterećenje vjetar implozija = 0,33 1,5 0,6 = 0,297 kn/m snijeg = 5,28 1,5 0,5 = 3,96 kn/m q = 5,59 + 2,43 + 0,297 + 3,96 q = 12,28 kn/m 12,28 72 µ = 8 31,96 = 2,35 ψ = 24,75 31,96 = 0,774 Aračić, Mario 132

µ < 0 očitano: C1=1,20, C2=0,85 Aračić, Mario 133