Zadaci iz Topologije A

Σχετικά έγγραφα
Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

x + 3y + 6z = 3 3x + 5y + z = 4 x + y + z = 4.

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Operacije s matricama

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

Zadaci iz trigonometrije za seminar

18. listopada listopada / 13

Teorijske osnove informatike 1

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

1 Svojstvo kompaktnosti

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

ODABRANA POGLAVLjA ALGEBARSKE TOPOLOGIJE (Doma i zadaci)

I Pismeni ispit iz matematike 1 I

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIƒKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU. Borelovi skupovi

1 Pojam funkcije. f(x)

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.

DRŽAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARU TOPOLOGIJA SA ODABRANIM ZADACIMA SKRIPTA NOVI PAZAR, 2014 (2011).

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

radni nerecenzirani materijal za predavanja

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

Osnove matematičke analize

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Funkcije. Predstavljanje funkcija

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Dijagonalizacija operatora

k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

R ω s uniformnom topologijom i aksiomi prebrojivosti

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

METRIČKI PROSTORI 0 METRIČKI PROSTORI. Literatura: S. Mardešić. Matematička analiza, 1. dio, Školska knjiga, Zagreb, 1974.

Baza topologije. Definicija. Familija B podskupova od X je baza neke topologije na X ako: Topološki prostori. Baza topologije. tj.

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

Matematika 1 { fiziqka hemija

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

Linearna uređenja i GO prostori

Prvi razred A kategorija

1. Topologija na euklidskom prostoru R n

Matematička Analiza 3

Teorema Kantor - Bendiksona i njene primene

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Elementi spektralne teorije matrica

2. Konvergencija nizova

Mur Smitova konvergencija

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

Zadaci iz Analize za d(x, y) 0 (ako je d(x, y) = 0 onda je x = y pa oqigledno vai nejednakost

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. imaju istu vrednost.

Ministarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA 5. mart 2016.

IZVODI ZADACI (I deo)

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Ministarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije OKRUЖNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ

1.4 Tangenta i normala

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.

ELEMENTARNE FUNKCIJE

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

7 Algebarske jednadžbe

Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa. f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}

Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava iz matematike Inverzija. Milivoje Luki

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

ELEMENTARNA MATEMATIKA 1

Transcript:

Zadaci iz Topologije A 1. Neka je X neprazan skup i Φ : P(X P(X funkcija za koju vaжi: (1 Φ( = ; (2 A Φ(A za sve A P(X; (3 Φ(A B = Φ(A Φ(B za sve A, B P(X; (4 Φ(Φ(A = Φ(A za sve A P(X. Dokazati da postoji jedinstvena topologija na X takva da se operator zatvorenja u toj topologiji poklapa sa Φ (da je A = Φ(A za sve A P(X. 2. Neka je X beskonaqan skup i T topologija na X koja sadrжi sve beskonaqne podskupove od X. Dokazati da je (X, T diskretan topoloxki prostor. 3. Neka su A i B podskupovi topoloxkog prostora X. (a Dokazati da je int(a \ B int A \ int B. (b Primerom pokazati da u delu pod (a ne mora da vaжi jednakost. (v Da li postoji neka veza (u smislu inkluzije između skupova A \ B i A \ B? 4. Neka je X topoloxki prostor. (a Ako je B zatvoren skup u X, dokazati da je int( B =. (b Primerom pokazati da tvrđenje (a ne vaжi ako se izostavi pretpostavka da je B zatvoren. (v Da li bi tvrđenje (a vaжilo kad bi se pretpostavka da je B zatvoren zamenila pretpostavkom da je B otvoren? (g Dokazati da za svaki A X vaжi da je A = A. 5. Neka je X neprazan skup i {T α } α A familija topologija na X. (a Dokazati da postoji (jedinstvena najxira (najfinija topologija T na X sa svojstvom da za svako α A vaжi T T α (ovu topologiju T oznaqavamo sa inf T α. α A (b Dokazati da postoji (jedinstvena najuжa (najgrublja topologija M na X sa svojstvom da za svako α A vaжi T α M (ovu topologiju M oznaqavamo sa sup α A (v Ako je U uobiqajena topologija na R, a T e topologija uoqene taqke e R na istom skupu, odrediti inf{u, T e } i sup{u, T e }. U topoloxkom prostoru (R, inf{u, T e } na i {(1 + 1 n n n N}. T α. 6. Neka je C[0, 1] = { f : [0, 1] R f je neprekidna }. Za svako f C[0, 1], svako ε > 0 i svaki konaqan skup A [0, 1] definixemo U(f, A, ε := { g C[0, 1] ( x A f(x g(x < ε } C[0, 1]. (a Ako je B familija svih ovih skupova, tj. B = { U(f, A, ε f C[0, 1], A [0, 1], A konaqan, ε > 0 }, dokazati da je B baza neke topologije T na C[0, 1]. ( (b Ako je U topologija na C[0, 1] indukovana ravnomernom metrikom d d (f, g = max f(x g(x, 0 x 1 uporediti topologije T i U ako se one mogu uporediti. (Drugim reqima, utvrditi koji od slede a qetiri iskaza je taqan: (1 T U; (2 U T ; (3 T = U; (4 T i U su neuporedive. (v Ako je M topologija na C[0, 1] indukovana integralnom metrikom d 1 (d 1 1 (f, g = f(x g(x dx, uporediti topologije T i M ako se one mogu uporediti. (g Uporediti topologije U i M ako se one mogu uporediti. 0 7. Dat je topoloxki prostor (X, T X, familija topoloxkih prostora {(X λ, T Xλ } λ Λ i familija preslikavanja f λ : X X λ. Dokazati da je kolekcija B = {f 1 λ (V λ Λ, V T X λ } jedna baza topologije T X ako i samo ako su sva preslikavanja f λ neprekidna i ( B F X ( x X \ B( λ Λ f λ (x / f λ (B. 8. Neka je f : X Y preslikavanje topoloxkih prostora. Dokazati da je f neprekidno ako i samo ako za svaki B Y vaжi (f 1 (B f 1 ( B. 1

9. (a Ako je f : R R neprekidna, strogo monotona funkcija, dokazati da je f otvoreno preslikavanje. (b Ispitati neprekidnost, otvorenost i zatvorenost preslikavanja f : R R definisanog sa f(x = { 1 e x, x 0 2016x, x > 0. 10. Neka je f : X Y neprekidno i zatvoreno preslikavanje. Neka je jox y Y i V otvoren skup u X takav da je f 1 ({y} V. Dokazati da postoji B Y takav da y B, da je f 1 (B otvoren u X i da je f 1 (B V. 11. Dati su potprostori realne prave X := (0, 1 {2} (3, 4 {5}... (3n, 3n + 1 {3n + 2}... i Y := (0, 1] (3, 4 {5}... (3n, 3n + 1 {3n + 2}.... (a Dokazati da postoji neprekidna bijekcija f : X Y. (b Da li je X Y? 12. Neka je X proizvoljan topoloxki prostor i f, g : X R dva neprekidna preslikavanja takva da za svako x X vaжi da je f(x < g(x. Dokazati da je {(x, t X R f(x < t < g(x} X R. 13. (a Ako je D n = { x R n x 1 } i [0, 1] n = [0, 1] [0, 1] [0, 1] R n, dokazati da je D n [0, 1] n. (b Ako je S n 1 = { x R n x = 1 }, dokazati da je S n 1 ( [0, 1] n. 14. Dat je skup Λ i diskretan topoloxki prostor X takav da je X 2. Dokazati da je proizvod X Λ diskretan topoloxki prostor ako i samo ako je Λ konaqan skup. 15. (a Dokazati da je skup svih polinomijalnih funkcija svuda gust u proizvodu R R (sa Tihonovljevom topologijom proizvoda. (b Da li tvrđenje (a vaжi ako na R R posmatramo box topologiju? 16. Neka je C R N skup svih konvergentnih realnih nizova i f : C R preslikavanje definisano na slede i naqin: za x = (x n n N C, f(x := lim n x n. (a Ako je C snabdeven Tihonovljevom topologijom proizvoda (nasleđenom od R N, ispitati neprekidnost preslikavanja f. (b Ako je C snabdeven box topologijom (nasleđenom od R N, ispitati neprekidnost preslikavanja f. 17. Neka je A R. Ako je A kompaktan na Zorgenfrajovoj pravoj (R, S, dokazati da ne postoji strogo rastu i niz elemenata skupa A. Da li moжe postojati strogo opadaju i niz elemenata skupa A? 18. Neka je X kompaktan topoloxki prostor i A P(X \ { } neka familija njegovih nepraznih podskupova takva da je ( A 1, A 2 A A 1 A 2 A. Dokazati da postoji taqka x X takva da svaka njena okolina seqe sve skupove iz familije A ( ( G O(x ( A A G A. 19. Kaжemo da je prostor prebrojivo kompaktan ako se iz svakog njegovog prebrojivog otvorenog pokrivaqa moжe izvu i konaqan potpokrivaq. Dokazati da je svaka neprekidna funkcija iz prebrojivo kompaktnog prostora u realnu pravu ograniqena. 20. (a Neka je K kompaktan, a U otvoren podskup euklidskog prostora R n i neka vaжi K U. Dokazati da postoji kompaktan skup S R n takav da je K int S S U. (b Da li vaжi tvrđenje (a ako se euklidski prostor R n zameni proizvoljnim topoloxkim prostorom X? 21. Neka je A neka familija kompaktnih podskupova euklidskog prostora R n takva da postoji δ > 0 sa svojstvom da za sve A, B A vaжi A = B ili d(a, B > δ. (a Dokazati da je A zatvoren skup. (b Dokazati da je A kompaktan skup ako i samo ako je familija A konaqna. (v Da li bi vaжilo tvrđenje (a ako bismo izostavili uslov da postoji δ > 0 sa gornjim svojstvom?

22. Dat je niz topoloxkih prostora { (X n, T n } n N takav da je (X n, T n potprostor od (X n+1, T n+1 za svako n N. Neka je X := n N X n. (a Dokazati da je T := { A X ( n N A X n T n } jedna topologija na X. (b Dokazati da je (X n, T n potprostor od (X, T za svako n N. (v Dokazati da je f : X Y neprekidno ako i samo ako je f Xn neprekidno za svako n N. (g Dokazati da prostor (X, T ima svojstvo T 1 ako i samo ako svi prostori (X n, T n imaju to svojstvo. 23. Neka je f : X Y neprekidno preslikavanje iz T 2 -prostora ( X u T 1 -prostor Y. Ako je {K n } n N opadaju a familija kompaktnih skupova u X, dokazati da je f K n = f(k n. n N 24. Neka je (X, T X Hauzdorfov prostor, F X odgovaraju a familija zatvorenih, a K X odgovaraju a familija kompaktnih podskupova od X. Uoqimo familiju A := { A X ( K K X A c K F X }. (a Dokazati da je i A jedna topologija na X. (b Da li je prostor (X, A Hauzdorfov? n N 25. Neka su f : X Y i g : Y X neprekidna preslikavanja takva da je g f = 1 X. Ako je Y Hauzdorfov, dokazati da je i X Hauzdorfov, kao i da je f(x F Y. 26. Neka je X topoloxki prostor. Dokazati da je X Hauzdorfov ako i samo ako za svako neprekidno preslikavanje f : X X vaжi da je skup N f := {(x, x f(x = x} zatvoren u proizvodu X X. 27. (a Ako je R N prostor svih realnih nizova (sa Tihonovljevom topologijom proizvoda i f : R N (0, π neprekidna funkcija takva da je za sve racionalne nizove q Q N R N ispunjeno f(q = arcctg q 2016, dokazati da za svako x R N vaжi da je f(x = arcctg x 2016. (b Da li bi tvrđenje (a vaжilo kad bismo na proizvodu R N posmatrali box topologiju? 28. Neka je X lokalno kompaktan, Y Hauzdorfov i f : X Y neprekidna otvorena surjekcija. Dokazati da za svaki kompaktan skup K Y postoji kompaktan skup C X takav da je f(c = K. 29. (a Neka je X Hauzdorfov prostor, A njegov potprostor, a A i G okolina taqke a takva da je skup G A kompaktan. Dokazati da postoji otvoren skup V takav da a V A A. (b Neka je X lokalno kompaktan T 2 -prostor i A njegov potprostor. Dokazati da je A lokalno kompaktan ako i samo ako se moжe predstaviti kao presek jednog otvorenog i jednog zatvorenog skupa. 30. Ako je (X, T X regularan topoloxki prostor, dokazati da je familija B = { B X int B = B } jedna baza topologije T X. 31. Ako je svaki otvoren potprostor prostora X normalan, dokazati da je onda svaki potprostor prostora X normalan. 32. Dokazati da je topoloxki prostor X normalan ako i samo ako za svaka dva njegova otvorena podskupa U i V koja ga pokrivaju (U V = X vaжi da postoje neprekidne funkcije f, g : X I takve da je f(x + g(x = 1 za svako x X, f(u c = {0} i g(v c = {0}. 33. Neka je X kompaktan Hauzdorfov prostor i {U λ } λ Λ njegov otvoren pokrivaq. Dokazati da postoji n N i neprekidne funkcije f 1, f 2,..., f n : X I takve da vaжi: (1 ( i {1,..., n} ( λ i Λ f i U c λi 0; n (2 ( x X f i (x = 1. i=1 34. (a Neka je X topoloxki prostor, A, B X takvi da je A B = A B = i E A B. Ako je E povezan, dokazati da je onda E A ili E B. (b Da li bi tvrđenje (a vaжilo ako bismo pretpostavku da su skupovi A B i A B prazni zamenili (slabijom pretpostavkom da je samo jedan od njih prazan?

35. Na skupu kompleksnih brojeva C data je koprebrojiva topologija T cc. Neka je p : C C polinomijalno preslikavanje (s kompleksnim koeficijentima, deg p > 0. (a Dokazati da je p neprekidno. (b Dokazati da je p zatvoreno. (v Ako za A C vaжi da je p 1 (A povezan, dokazati da je A povezan (u prostoru (C, T cc. (g Da li tvrđenje (v vaжi ako na C posmatramo uobiqajenu (euklidsku topologiju? 36. Neka je X topoloxki prostor (ne obavezno nekompaktan i X njegova kompaktifikacija jednom taqkom (Aleksandrovljeva kompaktifikacija. (a Dokazati da ako je X povezan, onda je X nekompaktan. (b Primerom pokazati da u tvrđenju (a ne vaжi obrnuta implikacija. (v Dokazati da ako je X povezan i nekompaktan, onda je i X povezan. 37. Dato je linearno (totalno uređenje na skupu X. Za a X neka su S a := {x X x < a} i S a := {x X a < x}. Neka je T topologija na X data svojom predbazom S := {S a a X} {S a a X} ( (X, T je uređeni prostor. Dokazati da je prostor (X, T povezan ako i samo ako su ispunjena slede a dva uslova: (1 ( x, y X [ x < y = ( z X x < z < y ]; (2 ako su A, B X takvi da ( a A( b B a b, onda postoji c X takvo da ( a A( b B a c b (Dedekind. 38. Neka je (X, T proizvoljan topoloxki prostor i (R, S Zorgenfrajova prava. (a Dokazati da je f : (X, T (R, S neprekidno ako i samo ako je za svako a R skup f 1( (, a otvoreno-zatvoren u (X, T. (b Ako je (X, T povezan, odrediti sva neprekidna preslikavanja f : (X, T (R, S. 39. Neka su f, g : X R dva neprekidna preslikavanja iz povezanog prostora X u realnu pravu i neka su Γ f, Γ g X R njihovi grafici. Dokazati da je Γ f Γ g povezan potprostor proizvoda X R ako i samo ako postoji x 0 X takvo da je f(x 0 = g(x 0. 40. Neka je X povezan topoloxki prostor i U njegov otvoren pokrivaq. Dokazati da za svake dve taqke a, b X postoje n N i U 1, U 2,..., U n U takvi da vaжe slede a tri uslova: (1 a U 1 \ (U 2... U n ; (2 b U n \ (U 1... U n 1 ; (3 ( i, j {1, 2,..., n} [ U i U j i j 1 ]. 41. Neka je m N, Y metriqki prostor i f : R m Y preslikavanje takvo da za sve A R m vaжe implikacije: (1 ako je A kompaktan, onda je i f(a kompaktan; (2 ako je A povezan, onda je i f(a povezan. Dokazati da je f neprekidno. 42. Neka je X topoloxka grupa sa operacijom (X je topoloxki prostor, X je grupa u odnosu na i : X 2 X, kao i inverz 1 : X X, jesu neprekidna preslikavanja. Dokazati da je komponenta povezanosti prostora X koja sadrжi neutral normalna podgrupa od X. 43. Date su kruжnice u ravni K 1 := {(x, y R 2 (x 1 2 + y 2 = 1} i K 2 := {(x, y R 2 (x + 1 2 + y 2 = 1}. Neka je f : S 1 K 1 K 2 neprekidno preslikavanje. Ako koordinatni poqetak O(0, 0 / f(s 1, dokazati da postoji taqka x 0 S 1 takva da je f(x 0 = f( x 0. 44. U ravni je data kruжnica k : (x p 2 + (y q 2 = r 2 (p, q R, r > 0 i taqka (x 0, y 0 R 2. Dokazati da postoji kvadrat oblika [x 0 a, x 0 + a] [y 0 a, y 0 + a] (a > 0 qija granica sadrжi (bar jedan par dijametralno suprotnih taqaka sa kruжnice k.

45. Neka su A i B neprazni putno povezani podskupovi euklidskog prostora R n i neka je δ := d(a, B. Ako je, za l > 0, C l := { x R n min{d(x, A, d(x, B} < l }, dokazati da je C l putno povezan ako i samo ako je l > δ 2. 46. Neka je U otvoren skup u euklidskom prostoru R n i φ : I U put u U. Dokazati da postoji otvoren putno povezan skup V R n takav da je φ(i V V U. 47. (a Dati su A, B R n pri qemu je A konveksan ( ( x, y A ( t [0, 1] (1 tx + ty A, a B kompaktan i putno povezan. Ako je d(a, B = 0, dokazati da je A B putno povezan. (b Primerima pokazati da tvrđenje (a ne bi vaжilo kada bi se pretpostavka da je B kompaktan zamenila pretpostavkom da je B (samo zatvoren ili pretpostavkom da je B (samo ograniqen. (v Primerom pokazati da tvrđenje (a ne bi vaжilo kada bi se pretpostavka da je A konveksan zamenila pretpostavkom da je A (samo putno povezan. 48. Neka je f : X Y koliqniqko preslikavanje. (a Primerom pokazati da za A X restrikcija f A : A f(a (s kodomenom suжenim na sliku ne mora biti koliqniqko. (b Ako je B Y otvoren ili zatvoren, dokazati da je f f 1 (B : f 1 (B B koliqniqko. (v Primerom pokazati da, za B Y, f f 1 (B : f 1 (B B ne mora biti koliqniqko. 49. Dat je prostor X i na njemu relacija ekvivalencije. Ako je koliqniqki prostor X/ Hauzdorfov, dokazati da je skup { (x, y X X x y } zatvoren u X X. 50. Neka su A i B potprostori prostora X takvi da je int A int B = X i A B. (a Dokazati da je V X otvoren u X ako i samo ako je V A otvoren u A i V B otvoren u B. (b Ako je i A : A X inkluzija i π : X X/B prirodna surjekcija, dokazati da je kompozicija π i A : A X/B koliqniqko preslikavanje. (v Dokazati da je A/A B X/B.

2024 © DocPlayer.gr Πολιτική Απορρήτου | Όροι Χρήσης | Σχόλια