umerčk tegrcj Zdtk umerčke tegrcje umerčk tegrcj je postupk zrčuvj prlže vredost određeog tegrl: < d. z vredost podtegrle ukcje dt uređeom telom čemu pretpostvljmo d je: pr... Bzr se ko umerčko derecrje proksmcj podtegrle ukcje terpolcom polomom: P m m d P d Ako pretpostvmo d se P provlč kroz sve tčke tele m d se... grce tegrcje poklpju s prvom posledjom vredošću ezvso promeljve u tel trže tegrl. rčumo prlžo ko: d P d. grešk metode je jedk tegrlu greške terpolcje R.6: 7
d P d R d. Slk. - umerčk tegrcj ukcje slc. lustrov je umerčk tegrcje ukcje tegrcjom terpolcoog polom s ekvdsttm terpolcom čvorovm stepe. Tč vredost tegrl jedk je površ spod krve prlž l umerčk vredost površ spod krve polom P d tervlom tegrcje [ ]. Grešk umerčke tegrcje. jedk je zru grešk tegrcje pojedm podtervlm šre. Grešk metode u ekom podtervlu šre zmeđu dv sused terpolco čvor po psolutoj vredost je jedk površ zmeđu krv P. Vdmo d greške tegrcje u pojedm podtervlm mju rzlčte zke p se u zru delmčo poštvju: dolz do međusoe kompezcje grešk. Tko se z umerčku tegrcju može reć d je: umerčk metod tčj od terpolcje stl l doro uslovlje rčusk proces greške usled gutk zčj cr pojedm podtervlm tkođe se međusoo kompezuju. OSOV TGRACO FORMUL Osove ormule z umerčku tegrcju se dojju z jedče. z mle stepee P s ekvdsttm terpolcom čvorovm. Ovko dojee osove tegrcoe ormule su u ltertur pozte pod meom jut-kotesove ewto-cotes ormule. Oe se prmejuju mlm podtervlm šre ekolko kork tegrl celom tervlu [ ] se od doj ko zr tegrl doje prmeom osov ormul poglvlje.. Kork terpolco čvorov se u kotekstu umerčke tegrcje zv tegrco kork. jut-kotesovu ormulu koj se zr P -tog stepe dojmo prem. tegrcjom JP uz smeu tegrcoe promeljve:. α d dα 75
76 Tko zvodmo α α α α α α α d d P!......... 6 6 >. z posledje jedče dojmo tr osove tegrcoe ormule: z.5 z.5 z 6 6.5c Grešk jut-kotesov ormul. se prem. doj tegrcjom greške terpolcje.6 što ko smee tegrcoe promeljve dje opšt zrz: d...! α α α α.6. TRAPZO PRAVLO jjedostvj tegrco ormul je osov trpez ormul koj je pozt pod zvom trpezo prvlo. Dojmo g smeom u ormulu.5:.7 Geometrjsk terpretcj ormule.7 je površ trpez s osovm vsom jedkom korku tegrcje slk..
P R Slk. - Geometrjsk terpretcj trpezog prvl Prme opšte ormule.6 z grešku trpezog prvl dje:.7. SMPSOOVO PRVO DRUGO PRAVLO Podtegrlu ukcju tervlu tegrcje ] zmejujemo kvdrtm P [ provučem kroz ekvdstte čvorove. Rezultt je ormul.5 koj ko smee zrz z koče rzlke dje prvo Smpsoovo prvlo:.8 Drugo Smpsoovo prvlo se zr zme podtegrle ukcje tervlu tegrcje ] kuom prolom dojmo g s z.5c: [.9 8 Greške Smpsoov prvl Jso je d drugo Smpsoovo prvlo dje tču vredost tegrl ko je ukcj kvdrt l ku polom. Td su sv člov. všeg red o koj sdrže koče rzlke. všeg red u opštoj tegrcooj ormul. koj se zr P -tog stepe 77
jedk ul. Medutm prvo Smpsoovo prvlo dje tču vredost tegrl ko je podtegrl ukcj polom. stepe zvljujuc tome što se ktor 6 6 uz u jedč z ulr. Geometrjsk to zč d dolz do poštvj grešk pr umerčkoj tegrcj polom trećeg stepe tervlu [ ] prvom Smpsoovom ormulom slk.. P d P d P P Slk. - lustrcj tčost prvog Smpsoovog prvl ko je P Zključujemo d su Smpsoov prvl prlžo jedko tč ko je Smpsoovo drugo prvlo složeje. Prem opštoj ormul z grešku metode.6 grešk Smpsoovog drugog prvl je proporcol s 5. Može se pokzt d je grešk prvog Smpsoovog prvl tkođe proporcol petom stepeu tegrcoog kork md se osovu.6 očekvlo d o ude proporcol s. Tko se zvod : 5.8 9.9 8 5 Kže se d su oe ormule stog red tčost zto prvo Smpsoovo prvlo koje je jedostvje prlžo tčo ko drugo m dleko veću prmeu u prks. Uopšte pokzuje se d je jut-kotesov ormul. koj se zr P prog stepe pr roj stog red tčost ko sledeć po složeost ormul zr P stepe. 78
79. TRAPZA SMPSOOVA TGRACOA FORMULA Umesto d se trpezo.7 l Smpsoovo prvo prvlo.8 prmee ceo tervl tegrcje [ ] što dlo loše procee tegrl zog velkog tegrcoog kork - greške su proporcole stepeu kork tervl tegrcje se del vše mj podtervl zuzmjuć slučj ml tervl tegrcje. tegrl se doj ko zr tegrl pojedm podtervlm koj se rčuju prmeom jedog l drugog prvl. Tko se dojju složee tegrcoe ormule l jedostvo tegrcoe ormule. Trpez ormul Delmo tervl tegrcje [] jedk podtervl šre tčkm... prlžu vredost tržeog određeog tegrl ukcje dojmo ko: d d d d gde deks ozčv roj tegrco kork tervlu tegrcje []. Tko trpez ormul gls:. Grešk trpeze ormule jedk je zru grešk trpez prvl.7 pojedm podtervlm: Ako je tervlu tegrcje eprekd ukcj od postoj z koje vž:
8 p se sum drug zvod može prkzt ko: z grešku trpeze ormule dojmo :. Smpsoov ormul Pošto se Smpsoovm prvm prvlom.8 umerčk rču tegrl tervlu šre tr tčke tervl tegrcje [ ] delmo m jedk podtervl od koj svk ouvt po dv podtervl šre tj po tr tčke. Očgledo je postupk prmeljv smo ko je ukup roj kork tervlu [ ] pr roj tj. ukup roj tčk epr td mmo: m Td prlžu vredost tržeog tegrl dojmo ko zr prlž vredost tegrl pojedm podtervlm šre doje Smpsoovm prvm prvlom: d ko sređvj dojee sume dolzmo do Smpsoove tegrcoe ormule. gde deks ozčv ukup roj tegrco kork tervlu [ ]. Prv sum u zgrd pretstvlj zr sv»epr«ordt od. do - drug sum zr sv»pr«ordt od. do -:
D poovmo d je ogrčeje z prmeu Smpsoove ormule: pr roj podtervl odoso epr roj tčk tervlu tegrcje [ ]. Grešk Smpsoove tegrcoe ormule se doj ko zr grešk Smpsoovog prvog prvl.8 pojedm podtervlm šre :. 8.5 GRŠKA RD TGRACO FORMUL Blo koj tegrco ormul zvede z ekog od jut-kotesov prvl m olk: w. gde su w... eke kostte koje se zovu teže l poder sum u. se zove poders sum. Pr tom sum sv tež je tčo jedk : prmer z Trpezu ormulu w w w w... w Može se zvest d grešk opšte tegrcoe ormule. m olk: > c. gde je c ek kostt koj je pr. z Smsoovu ormulu jedk c 8 osovu zrz. zključujemo: grešk eke metode opd s smjvjem tegrcoog kork što je ekspoet u zrzu z grešku eke metode već utolko je pr dtom tegrcoom korku t metod tčj. Drug zključk je očgled z tegrcoe korke mje od jer je: < < ko je > vd slku. l pošto je > > ko je > 8
č se d ko je kork već od vž oruto: ukolko je ekspoet već metod je mje tč. Slk. - Pošje ukcje D se uverl d je drug zključk spv zrzćemo grešku preko ezdmezoe * promeljve z ezdmezoog kork tegrcje des ko: mmo d d z * d dz d d dz d dz d d dz d d d dz dz d p - t zvod podtegrle ukcje po u ekoj tčk u ormul. zmejujemo s: z ζ ζ Kočo ko smee * ormulu. prevodmo u ekvvlet olk: * ζ ζ c. Pošto je po decj * < sd edvosmsleo sled d je tegrco ormul utolko tčj ukolko je ekspoet već. Uočl smo dkle d je grešk eke tegrcoe ormule proporcol s p kd tež ul postje eskočo ml velč stog red ko eskočo ml velč pod uslovom d je - t zvod ogrče u tervlu tegrcje. To zč: z k lm lm k 8
pšemo: O Z eku tegrcou ormulu kžemo d je tegrco ormul red ko je je grešk proporcol s. Ko što smo pokzl ukolko je red ormule već o je tčj. Dok je trpez ormul. drugog red sledeć po složeost Smpsoov ormul je četvrtog red dkle zto tčj od trpeze. Zdtk. Procet umerčk vredost tegrl: d π pomoću: Trpeze ormule Smpsoove ormule s korkom tegrcje.. Z oe metode procet grešku dojee vredost tegrl korsteć ormule... Vredost podtegrle ukcje rčut s 5 sgur cr. Rešeje Mtcd: Tc vredost tegrl dt s 5 sgur decml pomocu ukcje roud: : roud π 5.785 zrcut korstec clculus! Kork tegrcje : Broj podtervl: :.. Fukcje koje relzuju trpezu Smpsoovu ormulu: Trpez : :. : : roud Grce tegrcje: Rcuje vredost podtegrle ukcje s 5 sgur cr korscejem ukcje roud: 5 : 5 6 7 8 9 :.99.965.97.867.8.759.67.6976.559.5 Smpso : 8
Procee tegrl 5 zcj cr decml jove greske: T : roud Trpez 5 T : T T.7898 T. Posto je gresk <.5 - trpez ormul je dl proceu s sgure cre S : roud Smpso 5 S : S S.785 S Smpsoov ormul je dl tc rezultt sv 5 zcj cr! Proce grce psolute greske Trpeze ormule osovu ormule. < M M m Tre m jvec vredost. zvod u tervlu []:. zvod jegov grk: d : d 8 d :... d.5 d je mooto ukcj m jvecu psolutu vredost dojoj grc: M : d M Pokz d je d mooto lzom. zvod! Grc greske: Tm : M Tm.667 Prover: Tm > T je rezultt skz ejedkost govor d je o tc. Z etc skz dol. Proce grce psolute greske Smpsoove ormule pomocu: < M M 8 m 8
Tre m jvec vredost.zvod u tervlu []:. zvod jegov grk: d : d 8 d 5 88 d Fukcj m jvecu psolutu vredost dojoj grc:.5 M : d M Grc greske : Sm : 8 M Sm. 5 Sm > S Zdtk. Tre zrčut rezdulu etlpju zsćee pre zout 6K prmeom termodmčke relcje: rez RT * p z T p dp p gde je p * po pre zout T 6K p * 5.r. Vredost podtegrle ukcje su dojee u Zdtku. umerčkm derecrjem podtk o koecjetu stšljvost pre zout. umerčko zrčuvje tegrl rešt dv č: Ko zr vše tegrl zrčut z vredost podtegrle ukcje pomoću trpezog prvl l Smsoove ormule des tko d se postge što već tčost. Pr tom edostjuću vredost ukcje z p procet z ostl vredost ukcje ekstrpolcjom pomoću kvdrtog LP-. Ko vredost ukcje z p 5. uzet ou dojeu u Zdtku. ekstrpolcjom z ostl vredost ukcje pomoću psple-. Rčujem tegrl ko zr tr tegrl: 5.` z p T dp p dp p dp p 5. p dp pr čemu se rču prlžo koršćejem Smpsoove ormule tegrcjom kvdrtog LP- s čvorovm: p..5 odoso p. Tko je zegut ekstrpolcj rd dojj vredost 5. ko koršćeje mje tčog trpezog prvl. 85
Rešeje Mtcd: Podc: R : 8. T : 6 Vredost podtegrle ukcje vektor dojee su u zdtku.. : : Procejvje ekstrpolcjom Lgrzovm polom..5 6 8 5..78.68.58..99.5675.7685.85.868.566. stepe: L m L : m j m m j L j j j Y : L Y.78 Prosreje orgl zov s po jedm elemetom pomocu ukcje stck : : stck : stck Y..5.78 -.78 -.68-5 6 6 8 5 6.6 -. -. -.567-7 8 7 8.769 -.85-9 5. 9.87 -.566 - S ozrom d vredost prtsk krjevm tele su ekvdstte tegrl cemo rcut ko zr 5 tegrl: 5.` z p T..5 dp p dp p dp p dp p dp p..5 5. p dp 86
pr cemu cemo. tegrl rcut Smpsoovom ormulom ostle trpezm prvlom.. :. :.5 :. : 5 9 Z prmeu Smpsoove ormule korstcemo ukcju: teg : eopodo je rd prmee ukcje ormrt pomoc z Y cj je prv elemet jedk p posledj jedk 7 p. To mozemo zvest pomocu ukcje sumtr Y : sumtr 9 Prprem z pozv ukcje: : : rows Y 6 Y.6...567.769.85.87 : teg Y.998 Trze tegrl: :.67 Rezdul etlpj: rez : R T rez.8 tegrl rcumo ko zr tr tegrl prv u grcm - drug - trec u grcm -5.: 5.` z dp p dp p dp p dp p T p 5. Treju m vredost podtegrle ukcje z p. do p. Dojmo z vektor pomocu sumtr: : rows : sumtr : sumtr 87
Prv tegrl rcumo tegrcjom LP- provuceog kroz tcke..5 : : L X dx Trec tegrl rcumo tegrcjom LP- provuceog kroz tcke : 5. : L 6 X dx.7.8..5 6 8.78.68.6...567.769.85.87 Drug tegrl rcumo Smpsoovm prvlom pomocu ukcje teg: : teg sumtr 6.65 Trze tegrl: :.6 Rezdul etlpj: rez : R T rez.87 Odstupje % zmedju zrcut rezdul etlpj: rez rez δ : rez δ.5.6 PROCA GRŠK MTOD RČARDSOOVOM KSTRAPOLACJOM Procejvje grešk umerčke tegrcje pomoću ormule. je jedostvo jer ztev pozvje -tog zvod podtegrle ukcje jegovog ekstrem ko rezultt dje često zto precejee greške. Rčrdso Rcrdso je predložo sledeć postupk z proceu greške koj se zr pretpostvc d se vredost -tog zvod u ormul. e mej mogo u tervlu tegrcje. ek su: - proce tegrl doje tegrcoom ormulom. s rojem podtervl odoso s korkom je grešk - proce tegrl s duplo mjm korkom / odoso s duplo većm rojem podtervl grešk te procee Zč d je tč vredost tegrl : 88
odtle:. Odos grešk te dve procee je uz dtu pretpostvku jedk: c c. mmo dve jedče z koj možemo d đemo greške. z.: sme tog zrz u. dje jedču po z koje dojmo: od z.:.. Tko možemo d procemo tču vredost tegrl:.c Z trpezu ormulu koj je drugog red dojmo zrze z greške proceu tče vredost tegrl smeom u opšte zrze.-c:.5 Z Smpsoovu ormulu smeom dojmo: 6.6 5 5 5 Zdtk. Procet grešku tegrl zrčutog Trpezom ormulom u Zdtku. Rčrdsoovom ekstrpolcjom. Rešeje Mtcd: Vredost podtegrle ukcje zrcute u Zdtku.: S korkom tegrcje. : u Zdtku. je trpezom ormulom z vredost tegrl dojeo: 89
T :.7898 :.99.965.97.867.8.759.67.6976.559.5 Potre m je jos jed vredost tegrl doje s duplo mjm l duplo vecm tegrcom korkom. Prktcje je rcuje tegrl s duplo vecm korkom tj. s duplo mjm rojem kork jer e ztev ove vredost podtegrle ukcje.tko je: : T Sled rcuje tegrl s duplo mjm rojem podtervl svk drug ordt tj. smo pre ordte... : 5. U sumu ulz : : rows : : roud 5.787 Proce greske trpeze ormule.5: :. Doje je rel proce greske! Proce tce vredost tegrl : : roud 5.785 Doje je tc proce 5 sgur cr! ZADAC. z telr vredost ukcje dte u Zdtku. z smostlo rešvje zdc krju. glve potreo je umerčk odredt vredost tegrl d s preczošću od 5 zčj cr. 9
zrčut tegrl pomoću trpeze ormule uporedt s tčom vredošću. Orzložt zšto trpez ormul dje veću vredost tegrl od tče. Procet grcu greške rezultt pomoću ormule. c zrčut tegrl pomoću Smpsoove ormule dskutovt grešku rezultt osovu ormule. d Kolk je grešk tegrcoe ormule red pr umerčkoj tegrcj polom čj je stepe jvše -? Rešeje: Tč vredost 68 Trpez ormul T 7 Drug zvod podtegrle ukcje je poztv celokupom tervlu tegrcje c Smpsoov ormul S 68. Grešk tegrcje je jedk jer u. gurše četvrt zvod kko je ukcj polom trećeg stepe td je četvrt zvod jedk. d Grešk tegrcoe ormule red polom stepe jvše - je jedk ul.. Gruo se može procet d u opštem slučju tegrco kork z trpezu ormulu tre d ude put mj od tegrcoog kork z Smpsoovu ormulu d se trpezom ormulom postgl st tčost ko Smpsoovom. Provert je podcm z pretodog zdtk.. Grešk u rezulttu umerčke tegrcje zvedee s zemrljvm utcjem grešk zokružvj međurezultt pr. u Mtcd-u m dve kompoete: grešk koj potče od grešk u vredostm podtegrle ukcje grešk umerčke metode. Pokzt d se ko telre vredost podtegrle ukcje mju jmje d sgur decml grc prve kompoete ukupe pslute greške rezultt može procet ko: A.5 d gde je roj tegrco kork tervlu tegrcje [ ] z lo koju tegrcou omulu.. Gorj proce u slučju kd je roj kork velk zto precejuje grešku koj potče od etčost telr vredost ukcje. mjuć u vdu d je umerčk tegrcj stl rčusk proces dt relju proceu te greške ko je pozto d telre vredost ukcje mju jmje s sgur cr. s Rešeje: A.5. Dt su podc o koecjetm stšljvost CO tempertur T K rzlčtm prtscm: pr z pr z.998.987.9965 5.9769.996.96 6.989 5.95 8.9855.99 Potreo je pomoću termodmčke relcje: l ϕ p p * z dp p 9
* p - dovoljo ml prtsk kome je ϕ. zrčut koecjete ugctet ϕ ugljedoksd dtoj tempertur prtscm p r. Ko doju grcu tegrl uzet p * r. Tržee ugctete zrčut komujuć trpezu Smpsoovu ormulu tko d se postge jveć tčost komujuć tegrcju kvdrtog LP- Smpsoovu ormulu rd postzj veće tčost uporedt rezultte dojee u. Rešeje: p ϕ.988 p ϕ.95 p ϕ.989 p ϕ.95.5 S podcm z pretodog zdtk potreo je: povećt tčost koecjet ugctet doje postupkom u pretodom zdtku pomoću Rčrdsoove ekstrpolcje. osovu procee greške umerčke metode u mjuć u vdu d su u podcm o koecjetm stšljvost sve cre sgure procet roj sgur cr u dojem koecjetm ugctet. Rešeje: p ϕ.988 p ϕ.95 Grešk tegrcje LP u tervlu p [] se e može preczo procet l se osovu poklpj vredost sgure cre dojee pomoću Trpeze ormule z st tegrl može smtrt d su decmle u prvom tegrlu sgure -.8. z procee greške z tegrl u tervlu p [] -. -5 sled d jegov vredost -.5 m sve sgure decmle. Zključk je d vredost lφ z p lφ -.68 doje s svm sgurm decmlm odoso s grcom psolute greske A lφ.5 -. Vredost φ z dt prtsk je doje s tolkom reltvom greškom odoso s grcom psolute greške A φ A <.5. Tko može se smtrt d je φ dojeo s sgure cre. lφ φ osovu procee greške z tegrl u tervlu p []. - grešk tegrl u tervlu p [] je. - što zč d jegov vredost m tr sgure decmle. Tko može se smtrt d lφ z p lφ -.5 m tkođe tr sgure decmle. Odtle sled d φ m sgure cre. Upored ove procee s om dojem emprjskm prvlom z proceu roj sgur cr u rezulttu..6 Dte su vredost specč etlpj kj kg prtsku p r rzlčtm temperturm: specč toplot c p kj kgk zot TK: 5 6 7 8 9 : 96.8.. 5. 6.9 58. 69.7 8.8 9.8 c p.7..7.9.6.6.8..9 z vredost etlpje zot tempertur T K telr vredost specče toplote tre umerčkom tegrcjom ukcje c p T procet što tčje etlpju p r tempertur T 9K ko roj sgur cr u rezulttu to prmeom trpeze ormule Smpsoove ormule uz Rčrdsoovu ekstrpolcju upored procee s vredošću dtom u tel. Rešeje: 9 sgure cre 9.7 sgure cre.7 Kotkto vreme τ s z rektor delog potskvj u kome se odgrv povrt rekcj : 9
k kmol m k.9 s kmol A B R k.8 s m k rču se ko : τ k C A d A M α M C B α C A k k Potreo je zrčut τ z ulze kocetrcje kmol/m : CA 5. CB. 6 stepe koverzje A. tko d što se umerčke metode tče rezultt ude tč sgure cre. Prorču zvest polzeć od podtervl u tervlu tegrcje to trpezom ormulom Smpsoovom ormulom Uporedt rojeve tercje koče velče tegrco kork z dv postupk doje kotkt vreme uporedt s vredošću dojeom umerčkom tegrcjom Mtcd ltom ko reeretom tčom u pogledu greške umerčke metode. Rešeje: Trpez ormul: r. tercj.5 T.±.5 - Smpsoov ormul: r. tercj. S.±.5 - Mtcd rezultt -.7.8 z podtk u Zdtku. zrčut koecjete ugctet CO z sve prtske u tel tegrcjom ukcje dojee z kuog splj z koecjete stšljvost provert osetljvost rezultt zor splj ukcje. prmeru podtk o koecjetu stšljvost uporedt međusoo osetljvost umerčk metod terpolcje derecrj tegrcje st telr podtk. Rešeje Doje tegrl vrrrju trećoj zčjoj cr jmje osetljv je tegrcj jvše derecrje..9 z podtk u Zdtku.6 zrčut etlpje zot prtsku r z sve temperture T - K s korkom T 5K. Uporedt rezultte s rspoložvm telrm vredostm lzrt utcj zor splj ukcje. Rešeje: Sum kvdrt odstupj: Σ sple - tel csple -. psle - 8.6 - lsple - 6. - 9