Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 27.6.2015. ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 3 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati diferencijabilnost funkcije u = u(x, y, z) u taqki (0, 1, 2). 2. Definisati slede e pojmove; A: M(x 0, y 0, z 0 ) je stacionarna taqka funkcije u(x, y, z), B: M(x 0, y 0, z 0 ) je taqka lokalnog ekstremuma funkcije u(x, y, z). Da li je taqna neka od implikacija A B, B A? Obrazloжiti odgovor. 3. Dat je funkcionalni niz (f n ), n N. Definisati pojmove f n f i f n f na D. Da li red x n n=0 uniformno konvergira na [ 2, 2]? n!
4. Dirihleova teorema za kosinusni Furijeov red funkcije f na segmentu [0, l]. 5. Formulisati Liuvilovu teoremu (bez izvođenja). 6. Smena promenljivih, cilindriqne i sferne koordinate u trojnom integralu. Parametrizovati telo T (deo konusa) određeno nejednakostima x 2 + y 2 z 1 uvode i a) cilindriqne koordinate b) sferne koordinate.
Građevinski fakultet 19.2.2014. Univerziteta u Beogradu ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 3 Prezime i ime: Broj bodova: Broj indeksa: Ovaj test sadrжi 10 pitanja, na koja je potrebno odgovoriti u predviđenom prostoru. Svako pitanje se vrednuje određenim brojem poena, koji je dat pored svakog pitanja. Neqitki i neuredni odgovori ne e se vrednovati. Maksimalan broj poena na ovom testu je 50. 1. Definisati graniqnu vrednost (limes) funkcije dve promenljive. (3 poena) 2. Data je funkcija f(x, y) = xy 3. Na i po definiciji f ( 1, 2). (4 poena) y 3. Lokalni ekstremumi funkcije dve promenljive (definicije i formulacije osnovnih teorema). (6 poena)
4. Definisati polupreqnik konvergencije stepenog reda n=0 a nx n. Dati primer stepenog reda koji konvergira: a) u svakoj taqki x R, b) samo u taqki x = 0, v) na intervalu ( 1, 1). (5 poena) 5. Formulisati teoremu o diferenciranju stepenog reda. Da li se red n=0 2n x n moжe diferencirati qlan po qlan na intervalu ( 1, 1)? (4 poena) { 0, π x 0 6. Neka je S(x) suma Furijeovog reda funkcije f(x) = 1, 0 < x π na x+2 intervalu [ π, π]. Qemu je jednako S(0) + S(π)? Obrazloжiti odgovor. (6 poena)
7. Definisati rexenje diferencijalne jednaqine y = f(x, y). Da li je funkcija y = x 2 opxte rexenje diferencijalne jednaqine xy 2y = 0? (3 poena) 8. Definisati pojam linearne nezavisnosti funkcija i determinantu Vronskog. Formulisati teoremu koja povezuje ova dva pojma. Dati primer dve linearno zavisne i dve linearno nezavisne funkcije. (5 poena)
9. Definisati povrxinski integral druge vrste, kao i pojmove i oznake koje se pojavljuju u toj definiciji. (7 poena) 10. Grinova formula formulacija teoreme i dokaz. (7 poena)
Građevinski fakultet 15.7.2014. Univerziteta u Beogradu ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 3 Prezime i ime: Broj bodova: Broj indeksa: Ovaj test sadrжi 10 pitanja, na koja je potrebno odgovoriti u predviđenom prostoru. Svako pitanje se vrednuje određenim brojem poena, koji je dat pored svakog pitanja. Neqitki i neuredni odgovori ne e se vrednovati. Maksimalan broj poena na ovom testu je 50. 1. Hajneova definicija graniqne vrednosti (limesa) funkcije dve promenljive. x 2 Da li postoji lim? Obrazloжiti odgovor. (5 poena) (x,y) (0,0) x 2 + y2 2. Da li je egzistencija parcijalnih izvoda funkcije f(x, y) u taqki M dovoljan uslov za diferencijabilnost funkcije u toj taqki? Obrazloжiti. (3 poena) 3. Formula za diferencijal n-tog reda d n z funkcije dve promenljive z = z(x, y). Izvođenje formule za sluqaj n = 3. (5 poena)
4. Druga Abelova teorema (formulacija). Da li je funkcija s(x) = n=1 neprekidna sleva u taqki x = 1? (5 poena) ( 1) n 1 x n n 5. Formulisati teoremu o integraciji stepenog reda. Da li se red n=0 4n x 2n moжe integraliti qlan po qlan na intervalu ( 1/2, 1/2)? (4 poena) 6. Neka je S(x) suma Furijeovog reda funkcije f(x) = { 0, π x 0 e x2, 0 < x π na intervalu [ π, π]. Qemu je jednako S(0) + S(π)? Obrazloжiti odgovor. (6 poena)
7. Linearna diferencijalna jednaqina prvog reda. Izvođenje formule za njeno opxte rexenje. (5 poena) 8. Neka je L[y] = y + p 1 (x)y + p 2 (x)y i neka su y 1 (x) i y 2 (x) linearno nezavisna rexenja homogene linearne diferencijalne jednaqine L[y] = 0. Opisati postupak rexavanja diferencijalne jednaqine L[y] = arctg x. (3 poena)
9. Definisati povrxinski integral prve vrste, kao i pojmove i oznake koje se pojavljuju u toj definiciji. (7 poena) 10. Formula Gausa - Ostrogradskog (formulacija). Ilustrovati na primeru S xdydz + zdxdy, gde je S spoljna strana sfere x2 + y 2 + z 2 = 2z. (7 poena)
Građevinski fakultet 29.9.2014. Univerziteta u Beogradu ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 3 Prezime i ime: Broj bodova: Broj indeksa: Ovaj test sadrжi 10 pitanja, na koja je potrebno odgovoriti u predviđenom prostoru. Svako pitanje se vrednuje određenim brojem poena, koji je dat pored svakog pitanja. Neqitki i neuredni odgovori ne e se vrednovati. Maksimalan broj poena na ovom testu je 50. 1. Hajneova definicija graniqne vrednosti funkcije dve promenljive. (3 poena) 2. Formulisati teoremu koja daje potreban i dovoljan uslov za diferencijabilnost funkcije vixe promenljivih u datoj taqki. (3 poena) 3. Definisati slede e pojmove; A: M(x 0, y 0 ) je stacionarna taqka funkcije f(x, y), B: M(x 0, y 0 ) je taqka lokalnog ekstremuma funkcije f(x, y). Da li je taqna neka od implikacija A B, B A? Obrazloжiti odgovor. (6 poena)
4. Formulisati teoremu o integraciji stepenog reda. Da li se red n=0 πn+1 x n moжe integraliti qlan po qlan na ( 1/2, 1/2)? Obrazloжiti odgovor. (4 poena) 5. Dat je funkcionalni niz (f n ), n N. Definisati pojmove f n f i f n f na D. (4 poena) { tg x, 0 x π 4 6. S(x) je suma kosinusnog Furijeovog reda funkcije f(x) = π 2, < x π na 4 intervalu [0, π]. Qemu je jednako S(π) + S( 1)? Obrazloжiti odgovor. (6 poena)
7. Definisati pojam rexenja diferencijalne jednaqine y = f(x, y). Da li je funkcija y = ln x opxte rexenje diferencijalne jednaqine xy = 1? (4 poena) 8. Liuvilova formula. Formulacija i dokaz. (7 poena)
9. Definisati trojni integral, kao i pojmove i oznake koje se pojavljuju u toj definiciji. (7 poena) 10. Zapremina sfere x 2 +y 2 +z 2 = z primenom trojnog integrala. Uvesti sferne koordinate. (6 poena)
Građevinski fakultet 6.10.2014. Univerziteta u Beogradu ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 3 Prezime i ime: Broj bodova: Broj indeksa: Ovaj test sadrжi 10 pitanja, na koja je potrebno odgovoriti u predviđenom prostoru. Svako pitanje se vrednuje određenim brojem poena, koji je dat pored svakog pitanja. Neqitki i neuredni odgovori ne e se vrednovati. Maksimalan broj poena na ovom testu je 50. 1. Koriste i se Hajneovom definicijom graniqne vrednosti funkcije dve promenljive ispitati postojanje limesa lim. (4 poena) y 2 (x,y) (0,0) x 2 + y2 2. Data je funkcija u = x yz. Na i po definiciji u y (e 2, 2, 3). (4 poena) 3. Formulisati Fermaovu teoremu za funkcije vixe promenljivih. (3 poena)
4. Formulisati Vajerxtrasovu teoremu o unifomnoj konvergenciji funkcionalnog reda. Ispitati uniformnu konvergenciju reda sinnx n=1 koriste i ovu n 3 teoremu. (5 poena) 5. Druga Abelova teorema (formulacija). Da li je funkcija s(x) = ( 1) n n=1 n 2 +1 xn neprekidna zdesna u taqki x = 1? (4 poena) { tg x, 0 x π 3 6. S(x) je suma kosinusnog Furijeovog reda funkcije f(x) = π 1, < x π na 3 intervalu [0, π]. Qemu je jednako S( π ) + S(π) + S( 1)? Obrazloжiti odgovor. 3 (6 poena)
7. Formulisati pojam linearne nezavisnosti funkcija y 1 (x), y 2 (x), y 3 (x) na intervalu (0, 1). Dati karakterizaciju linearne nezavisnosti ovih funkcija preko Vronskijana. (4 poena) 8. Liuvilova formula. Formulacija i dokaz. (7 poena)
9. Cilindriqne i sferne koordinate u trojnom integralu. Parametrizovati telo T (deo konusa) određeno nejednakostima x 2 + y 2 z 1 uvode i a) cilindriqne; b) sferne koordinate. (8 poena) 10. Povrxina sfere x 2 + y 2 + z 2 = R 2 primenom dvojnog integrala. (5 poena)
Građevinski fakultet 23.9.2014. Univerziteta u Beogradu ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 3 Prezime i ime: Broj bodova: Broj indeksa: Ovaj test sadrжi 10 pitanja, na koja je potrebno odgovoriti u predviđenom prostoru. Svako pitanje se vrednuje određenim brojem poena, koji je dat pored svakog pitanja. Neqitki i neuredni odgovori ne e se vrednovati. Maksimalan broj poena na ovom testu je 50. 1. Data je funkcija u = u(x, y, z). Definisati parcijalni izvod u. (3 poena) z 2. Data je funkcija u = u(x, y, z). Definisati diferencijabilnost funkcije u u taqki (0, 1, 2). Dati primer jedne funkcije koja zadovoljava taj uslov. (4 poena) 3. Napisati Tejlorov polinom tre eg stepena za funkciju f(x, y) = e x cos y u okolini taqke (0, 0). (4 poena)
4. Definisati polupreqnik konvergencije stepenog reda n=0 a n(x 1) n. Dati primer stepenog reda koji konvergira: a) samo u taqki x = 1, b) na intervalu (0, 2). (4 poena) 5. Razviti funkcije u stepeni red i napisati kada vaжe ti razvoji. (4 poena) x 3 + x = sh x = { 2, π x 1 6. S(x) je suma kosinusnog Furijeovog reda funkcije f(x) = 1, 1 < x π na x intervalu [0, π]. Qemu je jednako S(π) + S( 1)? Obrazloжiti odgovor. (6 poena)
7. Formulisati Koxijevu teoremu o egzistenciji i jedinstvenosti rexenja diferencijalne jednaqine prvog reda. (4 poena) 8. Liuvilova formula. Formulacija i dokaz. (7 poena)
9. Definisati krivolinijski integral druge vrste, kao i pojmove i oznake koje se pojavljuju u toj definiciji. (7 poena) 10. Zapremina sfere x 2 +y 2 +z 2 = z primenom trojnog integrala. Uvesti sferne koordinate. (7 poena)
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 25.2.2016. ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIQKE ANALIZE 2 Prezime i ime: Broj indeksa: Ovaj test sadrжi 6 pitanja na koja je potrebno odgovoriti u predviđenom prostoru. Svako pitanje vredi 2 poena. Kandidati sa 6 i vixe poena bi e pozvani na usmeni deo ispita. Neqitki i neuredni odgovori ne e se vrednovati. 1. Data je funkcija f(x, y, z) = y sin(x z). Na i po definiciji f z (π, 2, 2π 3 ). 2. Formulisati drugu Abelovu teoremu. Da li je ( 1) n n=1 x n neprekidna u 1+n 2 taqki x = 1? Obrazloжiti odgovor. 3. Izvesti Maklorenove razvoje za funkcije f(x) = cos x i g(x) = sin x. Da li se dobijeni redovi mogu integraliti qlan po qlan na ( 3, 2)? Obrazloжiti.
4. Dirihleova teorema za kosinusni Furijeov red funkcije f na segmentu [0, 5]. 5. Formulisati Koxijev (poqetni) problem za diferencijalnu jednaqinu prvog reda. Kada poqetni problem ima rexenje? 6. Na i zapreminu konusa x 2 + y 2 z 1 koriste i cilindriqne koordinate.
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 4.2.2016. ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIQKE ANALIZE 2 Prezime i ime: Broj indeksa: Ovaj test sadrжi 6 pitanja na koja je potrebno odgovoriti u predviđenom prostoru. Svako pitanje vredi 2 poena. Kandidati sa 6 i vixe poena bi e pozvani na usmeni deo ispita. Neqitki i neuredni odgovori ne e se vrednovati. 1. Data je funkcija f(x, y) = y cos(x y). Na i po definiciji f y ( π 6, π 3 ). 2. Definisati polupreqnik konvergencije stepenog reda n=1 a n(x 1) n. 3. Maklorenovi razvoji za funkcije f(x) = xe x2 /2 i g(x) = x. Da li se dobijeni redovi mogu diferencirati qlan po qlan na (0, 1 )? Obrazloжiti odgovor. 2 + x 3
4. Dirihleova teorema za sinusni Furijeov red funkcije f na segmentu [0, 2]. 5. Formulisati Liuvilovu formulu. 6. Formulisati teoremu o smeni promenljivih u dvojnom integralu.
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 9.7.2016. ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIQKE ANALIZE 2 Prezime i ime: Broj indeksa: Ovaj test sadrжi 6 pitanja na koja je potrebno odgovoriti u predviđenom prostoru. Svako pitanje vredi 2 poena. Kandidati sa 6 i vixe poena bi e pozvani na usmeni deo ispita. Neqitki i neuredni odgovori ne e se vrednovati. 1. Data je funkcija f = f(x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ). Definisati f x 4 (1, 2, 3, 4, 5). 2. Stepeni red n=0 a nx n konvergira u taqki x = 2. Da li red konvergira u taqki x = 1? Obrazloжiti odgovor navode i odgovaraju u teoremu. 3. Izvesti Maklorenove razvoje za funkcije f(x) = cos x i g(x) = sin x. Da li se dobijeni redovi mogu diferencirati qlan po qlan na ( 2, 2)? Obrazloжiti.
4. Data je funkcija f(x) = sgn x. Ako je Φ(x) Furijeov red funkcije f na segmentu [ π, π], odrediti zbir koeficijenata a 1 + b 1. 5. Formulisati pojam linearne nezavisnosti funkcija i determinantu Vronskog. U kakvoj vezi su ovi pojmovi? 6. Formulisati teoremu Gaus-Ostrogradskog. Da li se ova formula moжe primeniti na integral dxdy, gde je S spoljna strana sfere x 2 + y 2 + z 2 = 1? S z
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 22.6.2016. ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIQKE ANALIZE 2 Prezime i ime: Broj indeksa: Ovaj test sadrжi 6 pitanja na koja je potrebno odgovoriti u predviđenom prostoru. Svako pitanje vredi 2 poena. Kandidati sa 6 i vixe poena bi e pozvani na usmeni deo ispita. Neqitki i neuredni odgovori ne e se vrednovati. 1. Hajneova definicija graniqne vrednosti funkcije dve promenljive. 2. Formulisati Vajerxtrasovu teoremu o konvergenciji funkcionalnog reda. Koriste i se ovom teoremom ispitati konvergenciju reda n=1 arctgnx n 3 n. 3. Maklorenov razvoj za funkciju f(x) = x sh 2x. Da li se dobijeni red moжe diferencirati qlan po qlan na ( 1, 2)? Obrazloжiti odgovor.
4. Napisati formule za koeficijente Furijeovog reda na intervalu ( 1, 4). 5. Formulisati Liuvilovu formulu. 6. Izvesti formulu za Jakobijan kod sfernih koordinata.
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 27.2.2015. ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 3 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati diferencijabilnost funkcije z = f(x, y) u taqki (0, 1). 2. Formulisati Vajerxtrasovu teoremu o konvergenciji funkcionalnog reda. Koriste i se ovom teoremom ispitati konvergenciju reda n=1 arctgnx 1+n 2. 3. Maklorenovi (tabliqni) razvoji za funkcije f(x) = cos x i g(x) = 1 + x. Da li se neki od dobijenih redova moжe diferencirati qlan po qlan na R? Obrazloжiti odgovor.
4. Dirihleova teorema za kosinusni Furijeov red funkcije f na segmentu [0, l]. 5. Napisati opxti oblik linearne diferencijalne jednaqine prvog reda i formulu za njeno opxte rexenje (bez izvođenja). 6. Formulisati Stoksovu formulu. 7. Formulisati poqetni (Koxijev) problem za diferencijalnu jednaqinu tre eg reda. Napomena: Pitanje 7 sluжi za zamenu. Ukoliko se radi ovo pitanje obavezno napisati koji se zadatak menja.
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 6.2.2015. ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 3 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Data je funkcija u = u(x, y, z). Definisati parcijalni izvod u (1, 0, 2). z 2. Formulisati Fermaovu teoremu za funkcije vixe promenljivih. 3. Formulisati teoremu o integraciji stepenog reda. 4. Definisati Furijeov red funkcije f za dati ortonormiran sistem funkcija {φ n n N}. Xta su koeficijenti ovog reda? 5. Liuvilova formula (formulacija). 6. Sferne koordinate u trojnom integralu. Na i zapreminu tela definisanog nejednakox u x 2 + 2y 2 + 3z 2 6 koriste i uopxtene sferne koordinate.
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 5.7.2015. ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 3 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati parcijalni izvod u y funkcije u = u(x, y, z) u taqki (0, 1, 3). 2. Definisati oblast konvergencije funkcionalnog reda n=0 f n. Kada ovaj red ravnomerno (uniformno) konvergira na R? Dati primer jednog takvog reda. 3. Maklorenovi (tabliqni) razvoji za funkcije f(x) = ln(1 + x) i g(x) = 3 1 3x. Da li se neki od dobijenih redova moжe integraliti qlan po qlan na [0, 1 2 ]? Obrazloжiti odgovor.
4. Dirihleova teorema za sinusni Furijeov red funkcije f na segmentu [0, l]. 5. Napisati opxti oblik Bernulijeve diferencijalne jednaqine. Dati primer jedne Bernulijeve jednaqine qije je partikularno rexenje y p = 1. 6. Formulisati Grinovu formulu. 7. Orijentacija povrxi u prostoru. Napomena: Pitanje 7 sluжi za zamenu. Ukoliko se radi ovo pitanje obavezno napisati koji se zadatak menja.
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 30.9.2015. ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 3 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati pojam metriqkog prostora. 2. Na i po definiciji parcijalni izvod z y funkcije z(x, y) = e xy2 u taqki (1, 2). 3. Formulisati prvu Abelovu teoremu.
4. Dirihleova teorema za Furijeov red funkcije f na segmentu [ π, π]. 5. Na i ono rexenje diferencijalne jednaqine y tg x y = 0 koje zadovoljava uslov y(π/2) = 1. 6. Formulisati Grinovu formulu. 7. Izraqunati Jakobijan za sferne koordinate. Napomena: Pitanje 7 sluжi za zamenu. Ukoliko se radi ovo pitanje obavezno napisati koji se zadatak menja.
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 5.9.2015. ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 3 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati parcijalni izvod z y funkcije z = z(x, y) u taqki ( 1, 3). 2. Formulisati Fermaovu teoremu za funkcije vixe promenljivih. 3. Napisati Maklorenove razvoje za funkcije f(x) = cos 2x i g(x) = 1 x. Da li se neki od dobijenih redova moжe diferencirati qlan po qlan na (0, 1 2 )? Obrazloжiti odgovor.
4. Dirihleova teorema za kosinusni Furijeov red funkcije f na segmentu [0, l]. 5. Formulisati Liuvilovu formulu. 6. Formulisati Stoksovu formulu. 7. Smena promenljivih u dvojnom integralu. Napomena: Pitanje 7 sluжi za zamenu. Ukoliko se radi ovo pitanje obavezno napisati koji se zadatak menja.
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 23.9.2015. ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 3 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Koxijeva definicija graniqne vrednosti funkcije vixe promenljivih. 2. Formulisati teoremu koja daje potreban i dovoljan uslov za diferencijabilnost funkcije vixe promenljivih. 1 3. Napisati Maklorenove razvoje za funkcije f(x) = sh 2x i g(x) = 3. Da 1 x 2 li se neki od dobijenih redova moжe integraliti qlan po qlan na intervalu (0, 2)? Obrazloжiti odgovor.
4. Kada kaжemo da je sistem funkcija f 1, f 2,... ortonormiran? 5. Definisati determinantu Vronskog. Formulisati teoremu koja daje vezu između linearne nezavisnosti funkcija i ove determinante. 6. Formulisati teoremu Gausa Ostrogradskog. 7. Formulisati Koxijev (poqetni) problem za diferencijalnu jednaqinu petog reda. Napomena: Pitanje 7 sluжi za zamenu. Ukoliko se radi ovo pitanje obavezno napisati koji se zadatak menja.