Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da je data funkcija f koja preslikava skup X u skup Y, u oznaci f : X Y. Skup X nazivamo domen, a skup Y kodomen funkcije f. Definicija 1 Posmatrajmo funkciju f : X Y. Kaemo da je funkcija: 1. injektivna ako 1, X i f( 1 = f( 1 = ;. surjektivna ako za svako Y postoji X tako da je = f(; 3. bijektivna ukoliko je i injektivna i surjektivna. Ako je funkcija f : X Y bijektivna, tada i samo tada moemo definisati inverznu funkciju funkcije f, u oznaci f 1. Funkcija f 1 : Y X se definie tako to svaki element Y preslikamo u onaj element X koji se i to slika funkcijom f. Definicija Posmatrajmo funkcije f : X Y i g : Y Z. Funkciju h : X Z definisanu sa h( := g(f( nazivamo kompozicijom funkcija f i g, u oznaci h = g f. Teorema 1 Neka je funkcija f : X Y bijektivna. Tada postoji jedinstvena bijektivna funkcija f 1 : Y X takva da vai: (f 1 f( = f 1 (f( =, za svako X; (f f 1 ( = f(f 1 ( =, za svako Y. 1

GLAVA 1. REALNE FUNKCIJE REALNE PROMEN IVE Definicija 3 Funkciju f : D R, definisanu na nekom podskupu D skupa R i sa vrednostima u skupu realnih brojeva R, nazivamo realna funkcija realne promen ive. Ukoliko nije drukqije reqeno, pod domenom funkcije f podrazumeva se maksimalni podskup skupa realnih brojeva koji taj izraz doputa. Pod kodomenom se podrazumeva ceo skup R, ukoliko drukqije nije reqeno. Definicija 4 Neka je funkcija f : D R definisana na simetriqnom skupu 1 D. Kaemo da je funkcija f parna ukoliko je f( = f(, za svako D, tj. da je neparna ukoliko je f( = f(, za svako D. Grafik parne funkcije je simetriqan u odnosu na -osu, a grafik neparne funkcije je simetriqan u odnosu na koordinatni poqetak. Definicija 5 Posmatrajmo funkciju f : D R i neka je A D. Kaemo da je funkcija f: 1. rastua na A akko za svako 1 A sledi f( 1 f( ;. strogo rastua na A akko za svako 1 < A sledi f( 1 < f( ; 3. opadajua na A akko za svako 1 A sledi f( 1 f( ; 4. strogo opadajua na A akko za svako 1 < A sledi f( 1 > f(. Specijalno, ukoliko funkcija f zadovo ava bilo koji uslov, od gore navedenih, kaemo da je funkcija f monotona. Funkcija f je strogo monotona ako zadovo ava uslov 3. ili uslov 4. Teorema Neka je f : [a, b] [c, d] strogo monotona funkcija. Tada postoji strogo monotona funkcija f 1 : [c, d] [a, b]. Definicija 6 Funkciju f : D R nazivamo periodiqnom funckijom ako postoji realan broj T R takav da za svako D vai: + T D i f( + T = f(. Broj T nazivamo periodom funkcije f, a najma i takav prirodan broj osnovnim periodom funkcije f. Definicija 7 Za funkciju f : D R kaemo da je ograniqena odozgo ako postoji M R, takvo da za svako D je ispu eno f( M. Sliqno, kaemo da je f ograniqena ozozdo ako postoji M R takvo da je f( M, za svako D. Specijalno, f je ograniqena ako je ograniqena odozgo i ako je ograniqena odozdo. 1 Skup D R je simetriqan ako za svako D sledi D.

1.1. ELEMENTARNE FUNKCIJE 3 1.1.1 Eksponencijalna i logaritamska funkcija Definicija 8 Funkciju f( = a, gde je a R i a > 1, definisanu na skupu R nazivamo eksponencijalna funkcija sa osnovom a. Moe se pokazati da vae sledee osobine: I Za proizvo ne 1, R takve da je 1 < vai a 1 < a ; II Za proizvo ne 1, R vai a 1 a = a 1+ i (a 1 = a 1 ; III Domen funkcije f( = a je R, a kodomen skup (0, +. 1. a 0 = 1;. a > 0, za svako R; 3. a je strogo rastua; 4. a 0 kada ; 5. a + kada +. 1 0 a, a > 1 Na sliqan naqin se moe definisati i funkcija ukoliko je a (0, 1. Tako dobijena funkcija ima ista svojstva kao i u sluqaju kada je a > 1, sem to se osobina I. zame uje sa: I. Za proizvo ne 1, R takve da je 1 < vai a 1 > a. 1. a 0 = 1;. a > 0, za svako R; 3. a je strogo opadajua; 4. a + kada ; 5. a 0 kada +. a, a (0, 1 0 1

4 GLAVA 1. REALNE FUNKCIJE REALNE PROMEN IVE Primetimo da nam osobine I i I govore da je funkcija f( = a, za a R, a > 0 i a 1, bijekcija. Prema tome, moe se definisati oj odgovarajua inverzna funckija f 1. Definicija 9 Neka je f : R (0, + data sa f( = a, za a R, a > 0 i a 1. Inverzna funkcija f 1 : (0, + R se naziva logaritamska funkcija sa osnovom a, u oznaci f 1 ( = log a (. Uoqimo da vai sledea jednakost: = log a ( akko = a. Primenom Teoreme 1. dobijamo da za sve R i > 0 vae jednakosti: log a (a = i a log a ( =. Pretpostavimo da je a R i a > 1. Moe se pokazati da vai sledee: I Za 1, (0, + takve da je 1 < vai log a ( 1 < log a ( ; II Za 1, (0, + vai log a ( 1 = log a ( 1 + log a (. III Za 1, (0, + vai log a ( 1 / = log a ( 1 log a ( ; IV Za (0, + i b R vai log a ( b = b log a (. V Domen funkcije f( = log a ( je skup (0, +, a kodomen R. 1. log a (1 = 0;. log a ( > 0, za > 1; 3. log a ( < 0, za 0 < < 1; 4. log a ( je strogo rastua; 5. log a ( kada 0 + ; 6. log a ( + kada +. 0 1 log a (, a (1, + Specijalno, ukoliko je a = e uvodimo oznaku ln := log e.

1.1. ELEMENTARNE FUNKCIJE 5 Ukoliko je a (0, 1 osobina I se zame uje sa: I Za 1, (0, + takve da je 1 < vai log a ( 1 > log a (. 1. log a (1 = 0;. log a ( > 0, za 0 < < 1; 3. log a ( < 0, za > 1; 4. log a ( je strogo opadajua; 5. log a ( + kada 0 + ; 6. log a ( kada +. 0 1 log a (, a (0, 1 Moe se pokazati da vae i sledee formule: log 1 ( = log a a ( i gde je a > 0 i a 1, i n N. log a n( = log a(, n 1.1. Trigonometrijske funkcije Trigonometrijske funkcije neemo posebno definisati. Podrazumevaemo da je ihovo uvoe e poznato. No, nije na odmet prikazati neke ihove vanije osobine. Posmatrajmo prvo funkciju sin(. 1 sin( 0 Grafik funckije sin(. sin(0 = 0, sin(/6 = 1/, sin(/4 = /, sin(/3 = 3/, sin(/ = 1.

6 GLAVA 1. REALNE FUNKCIJE REALNE PROMEN IVE Uoqimo da je funkcija sin( neparna, tj. za svako R vai: sin( = sin(. Posmatrajui grafik funkcije sin(, lako je utvrditi da je funkcija periodiqna sa osnovnim periodom T =. Sada posmatrajmo funkciju cos(. 1 cos( 0 Grafik funckije cos(. cos(0 = 1, cos(/6 = 3/, cos(/4 = /, cos(/3 = 1/, cos(/ = 0. Uoqimo da je funkcija cos( parna, tj. za svako R vai: cos( = cos(. Posmatrajui grafik funkcije cos(, lako je utvrditi da je funkcija periodiqna sa osnovnim periodom T =. Funkcije zbira i razlike trigonometrijskih funkcija sin( i cos(: sin( ± = sin( cos( ± cos( sin( sin( = sin( cos(; cos( ± = cos( cos( sin( sin( cos( = cos ( sin (. Zbir i razlika trigonometrijskih funkcija sin( i cos(: ( ( ± sin( ± sin( = sin cos, ( + cos( + cos( = cos cos ( + cos( cos( = sin sin ( (,.

1.1. ELEMENTARNE FUNKCIJE 7 Proizvod trigonometrijskih funkicja sin( i cos(: sin( sin( = 1 (cos( cos( +, cos( cos( = 1 (cos( + cos( +, sin( cos( = 1 (sin( + sin( +. Uoqimo i sledee formule: ( sin = 1 cos( ( 1 + cos( cos = sin ( = 1 (1 cos(, sin ( = 1 (1 + cos(. Naravno, ne zaboravimo onu "najpoznatiju": sin ( + cos ( = 1. Sada razmatrajmo funkciju tg( := sin(, definisanu za za cos( 0. cos( Domen funkcije tg( je: R \ {/ + k : k Z}. Funkcija tg( periodiqna sa osonvnim periodom T =. tg( Uoqimo da je: 1. tg(0 = 0;. tg(/4 = 1; 0 3. tg( /4 = 1; 4. tg( + kada / ; 5. tg( kada / +.

8 GLAVA 1. REALNE FUNKCIJE REALNE PROMEN IVE Posmatrajmo funkciju ctg( := cos(, definisanu za sin( 0. sin( Domen funkcije ctg( je: R \ {k : k Z}. Funkcija ctg( periodiqna sa osonvnim periodom T =. ctg( Uoqimo da je: 1. ctg(/ = 0;. ctg(/4 = 1; 1 0 3. ctg(3/4 = 1; 4. ctg( + kada 0 + ; 5. ctg( kada. Funkcije zbira i razlike trigonometrijskih funkcija tg( i ctg(: tg( ± = tg( ± tg( 1 tg( tg( i ctg( ± = 1 ctg( ctg( ctg( ± ctg(. Zbir i razlika trigonometrijskih funkcija tg( i ctg(: tg( ± tg( = tg( + ctg( = Uoqimo i sledee formule: sin( ± sin( ±, ctg( ± ctg( = ± cos( cos( sin( sin(, cos( cos( +, ctg( tg( = cos( sin( sin( cos(. ( 1 cos( tg = 1 + cos( = 1 cos( sin( ( 1 + cos( ctg = 1 cos( = 1 + cos( sin( = sin( 1 + cos(, = sin( 1 cos(.

1.1. ELEMENTARNE FUNKCIJE 9 1.1.3 Inverzne trigonometrijske funkcije Kako funkcije sin(, cos(, tg( i ctg( nisu bijektivne na svojim domenima, to za ih ne postoje odgovarajue inverzne funkcije. Ukoliko posmatramo trigonometrijske funkcije na intervalima, na kojima su funkcije bijektivne, tada moemo uvesti ima odgovarajue inverzne funkcije. Tako definisane inverzne funkcije zajedniqkim imenom nazivamo inverzne trigonometrijske funkcije. Definicija 10 Posmatrajmo bijektivnu funkciju f : [ /, /] [ 1, 1] definisanu sa f( = sin(. Tada postoji oj odgovarajua inverzna funkcija f 1 : [ 1, 1] [ /, /] koju oznaqavamo sa arcsin. Primenom Teoreme 1. dobijamo sledee dve jednakosti: arcsin(sin( = za / /; sin(arcsin( = za 1 1. Uoqimo da je: 1. arcsin( 1 = /;. arcsin(0 = 0; 3. arcsin(1/ = /6; 4. arcsin( / = /4; / arcsin( 5. arcsin( 3/ = /3; 6. arcsin(1 = /; 1 0 1 7. arcsin( > 0 akko 0 < 1; 8. arcsin( < 0 akko 1 < 0. 9. arcsin( je stogo rastua funkcija. / Definicija 11 Posmatrajmo bijektivnu funkciju f : [0, ] [ 1, 1] koja je definisana sa f( = cos(. Tada postoji oj odgovarajua inverzna funkcija f 1 : [ 1, 1] [0, ] koju oznaqavamo sa arccos.

10 GLAVA 1. REALNE FUNKCIJE REALNE PROMEN IVE Primenom Teoreme 1. dobijamo sledee dve jednakosti: arccos(cos( = za 0 ; cos(arccos( = za 1 1. Uoqimo da je: 1. arccos( 1 = ;. arccos(0 = /; 3. arccos(1/ = /3; 4. arccos( / = /4; 5. arccos( 3/ = /6; 6. arccos(1 = 0; 7. arccos( > 0 akko 1 < 1. / arccos( 8. arccos( je strogo opadajua funkcija. 1 0 1 Definicija 1 Posmatrajmo bijektivnu funkciju f : ( /, / R koja je definisana sa f( = tg(. Tada postoji oj odgovarajua inverzna funkcija f 1 : R ( /, / koju oznaqavamo sa arctg. / arctg( 0 / Primenom Teoreme 1. dobijamo sledee dve jednakosti: arctg(tg( = za / < < /; tg(arctg( = za R.

1.1. ELEMENTARNE FUNKCIJE 11 1. arctg( / kada ;. arctg(0 = 0; 3. arctg( +/ kada + ; 4. arctg( < 0 akko < 0; 5. arctg( > 0 akko > 0; 6. arctg( je strogo rastua funkcija. Moe se pokazati da vai arctg( ± arctg( = arctg ± 1. Definicija 13 Posmatrajmo bijektivnu funkciju f : (0, R koja je definisana sa f( = ctg(. Tada postoji oj odgovarajua inverzna funkcija f 1 : R (0, koju oznaqavamo sa arcctg. arcctg( / 0 Primenom Teoreme 1. dobijamo da vae sledee jednakosti: arcctg(ctg( = za 0 < < ; ctg(arcctg( = za R. 1. arcctg( kada ;. arcctg(/ = 0; 3. arcctg( 0 kada + ; 4. arcctg( > 0 za svako R; 5. arcctg( je strogo opadajua funkcija.