ZADATAKA IZ MATEMATIKE 2

Mr VENE T BOGOSLAVOV ZBIRKA REŠENIH ZADATAKA IZ MATEMATIKE 5 ispravljeno izdanje ZAVOD ZA UDŽBENIKE BEOGRAD

Redaktor i recenzent DOBRILO TOŠIĆ Urednik MILOLJUB ALBIJANIĆ Odgovorni urednik MILORAD MARJANOVIĆ Za izdavača MILOLJUB ALBIJANIĆ direktor i glavni urednik Ministar prosvete Republike Srbije, svojim rešenjem broj 650-0-0078/008-06, od 07008 godine, odobrio je ovu ZBIRKU REŠENIH ZADATAKA IZ MATEMATIKE za izdavanje i upotrebu u drugom razredu gimnazija CIP- Katalogizacija u publikaciji Narodna biblioteka Srbije, Beograd 706 : 5075)076) BOGOSLAVOV, Vene T, 9- Zbirka rešenih zadataka iz matematike / Vene Bogoslavov - 5 ispravljeno izd - Beograd: Zavod za udžbenike, 0 Beograd: Cicero) - 407 str : graf prikazi, tabele; 0 cm Tiraž 0000 - Str 4: Predgovor/ Dobrilo Tošić, Miloljub Albiijanic - Beleška o autoru: str 406-407 Bibliografija 404-405 ISBN 978-86-7-746- COBISSSR-ID 847408 c ZAVOD ZA UDŽBENIKE, Beograd 008 0) Ovo delo se ne sme umnožavati i na bilo koji način reprodukovati, u celini niti u delovima, bez pismenog odobrenja izdavača

S ljubavlju snahi Sonji i sinu Draganu

PREDGOVOR Ovo je trideset peto izdanje Prvo izdanje je publikovano januara 97 godine Do sada je ukupan tiraž bio blizu 70 000 primeraka, što je svojevrsan rekord!! Većina autora u svakom novom izdanju dodaju nove sadržaje To je slučaj i sa ovom knjigom Broj zadataka se stalno povećavao, pri čemu je zanemarivana provera ili poboljšavanje postojećih zadataka Zbog toga je proizašla potreba da se knjiga sistematski i detaljno pregleda Na inicijativu Zavoda ovo izdanje je kardinalno ispravljeno Ovog mukotrpnog i dugotrajnog posla prihvatio se prvo potpisani Svaki zadatak je detaljno rešen i mnogi rezultati su provereni na računaru Pri tome je primećen i otklonjen veliki broj štamparskih i još veći broj stvarnih grešaka Naravno, teško je ispraviti sve greške, pogotovo kada ih ima mnogo Kao uteha, često se kaže da nisu dobre one knjige u kojima nema grešaka Do navedene inicijative je došlo i zbog saznanja da ova značajna knjiga ima veliku odgovornost i ulogu u procesu matematičkog obrazovanja u Srbiji, s obzirom da se decenijama preporučuje velikom broju učenika Interesantno je da većina učenika srednjih škola gradivo iz matematike savlad - uju isključivom upotrebom zbirki zadataka Dakle, matematika se uči rešavanjem zadataka Mnogi nisu nikada otvorili udžbenik, ili za njega nisu čuli da postoji Izgleda da je i nastavnicima lakše da tako rade, zaboravljajući da je dobra teorija najbolja praksa To je dovelo do toga da se prosek nivoa znanja matematike svake godine smanjuje U zadnjih nekoliko godina osvojeno je dosta medalja na matematičkim olimpijadama svake godine sve više i više Med - utim, sredina je sve slabija i slabija To se najbolje vidi kada se pogledaju tekstovi zadataka iz matematike sa prijemnih ispita na fakultetima Ova knjiga sadrži pored jednostavnih i veliki broj težih ali lepih zadataka Upravo je to bio razlog da se otklone greške i mnogi nedostaci Nadamo se da će ovako osvežena knjiga doživeti još dosta izdanja Beograd, maja 0 Dobrilo Tošic Miloljub Albijanić

S A D R Ž A J I GLAVA Rešenja) STEPENOVANJE I KORENOVANJE 9 90) Stepen čiji je izložilac ceo broj 9 90) Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj Osnovne operacije sa stepenima i korenima6 9) Kompleksni brojevi i osnovne operacije sa njima 50 07) II GLAVA KVADRATNA JEDNAČINA I KVADRATNA FUNKCIJA 54 09) Kvadratna jednačina 54 09) Vietove formule Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce 6 4) Neke jednačine koje se svode na kvadratne 6 9) Bikvadratna jednačina 70 9) Binomne jednačine 74 ) Trinomne jednačine 74 ) 4 Simetrične recipročne) jednačine 75 ) 4 Kvadratna funkcija 77 6) 5 Kvadratna nejednačina Znak kvadratnog trinoma 8 4) 6 Sistem od jedne linearne i jedne ili dve kvadratne jednačine sa dve nepoznate 87 40) 7 Iracionalne jednačine i nejednačine 95 50) III GLAVA EKSPONENCIJALNA I LOGARITAMSKA FUNKCIJA 00 56) Eksponencijalna funkcija 00 56) Eksponencijalne jednačine i nejednačine0 59) Logaritamska funkcija Osnovna pravila logaritmovanja Dekadni logaritmi 05 65) 4 Logaritamske jednačine i nejednačine 4 7) 5 Sistem logaritamskih jednačina sa dve nepoznate 7 78) IV GLAVA 4 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE 9 79) 4 Definicije trigonometrijskih funkcija ma kog ugla 9 79) 4 Svod - enje trigonometrijskih funkcija ma kog ugla na trigonometrijske funkcije oštrog ugla4 86) 4 Adicione formule 8 87) 4 Trigonometrijske funkcije zbira i razlike uglova8 87)

6 Sadržaj 4 Trigonometrijske funkcije dvostrukih uglova 0 88) 4 Trigonometrijske funkcije poluglova 89) 44 Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod i obrnuto 9) 45 Kombinovani zadaci iz adicionih formula4 9) 44 Trigonometrijske jednačine 47 ) 45 Trigonometrijske nejednačine 57 55) 46 Grafici trigonometrijskih funkcija 6 6) 47 Sinusna i kosinusna teorema sa primenama 69 78) V GLAVA 5 RAZNI ZADACI 76 88) LITERATURA 404 BELEŠKA O AUTORU 406

IZ DREVNE ISTORIJE ALGEBRE Isečak iz Ahmesovog papirusa Ova stara knjiga čuva se sada u Britanskom muzeju u Londonu U XVII veku pre naše ere egipatski sveštenik Ahmes, po ugledu na neki još stariji rukopis, napisao je pomenuti papirus u kome je sakupio uglavnom sva dotadašnja znanja iz geometrije i algebre Papirus sadrži osamdeset zadataka iz algebre, svaki sa sopstvenim rešenjem Mnogi od tih zadataka bili su Odredi broj Ovako je glasio jedan Ahmesov zadatak: Gomila, njene dve trećine, jedna polovina i tri sedmine, sabrane zajedno daju Odrediti gomilu Neki su bili očigledno samo za zabavu, na primer: Ima 7 kuća, u svakoj kući ima po sedam mačaka, svaka mačka ubija sedam miševa, svaki miš pojede po sedam klasova pšenice Svaki klas pšenice će dati 7 hektara zrna Koliko je žita spaseno? Većina zadataka je vezana za svakodnevni život za hleb, pivo, hranjenje stoke, itd)

ZADACI I GLAVA STEPENOVANJE I KORENOVANJE Stepen čiji je izložilac ceo broj Ako je a R a 0 i n N, onda: a 0 def = ; n def a = a n Ako su a, b R a 0 b 0) i m, n N, onda: a m a n = a m+m ; a m : a n = a m n ; a m ) n = a mn ; a ) n 4 ab) n = a n b n ; 5 a n = b b n Izračunati: ) a) 5 0 + ; b) a b) 0 + 0, 0 a b); 9 ) ) c) ; d) ) ) 4 Izračunati: a) 0, 4 + 0, 0 + 0, 00 + 0, 000 + 0, 0000 0 ; b) x + y) 0 + 0, 5 + 0, 5) + 0, 00 0 ) 4 x + y 0) Izračunati: ) a) 4 ; b) 4 0, 4 5 ; c) 4 ) 0 ) + 5 4 d) ) ; e) ) ; f) 5 ) ) ; 5 ) ) +

0 Stepenovanje i korenovanje 4 Izračunati: a) 0, 5 + 0, 5 + 0, 5 + 0, 065 4 ; b) + + + ) + ) + ) ; ) 0 5 0 c) ) ; d) 0, 5, 75 0, 75, 5 ; e) 0, 0, 4) 0 000 000 5 ) + ) 5 Uprostiti izraz: a) A = ) ) 75 4) 0 5 ) 4 6 6 0 4 ; b) A = + ) + 4 5 + 0, 5 6 Izračunati broj v ako je: v = 0, 000 000 0004 8 00 000 000 0, 000 000 4 ) 4 ) ) 5 7 Ako je a = 5, b = 0, izračunati a b 4 8 Masa atoma vodonika iznosi, 65 0 4 g Koliko nula ima ovaj decimalan broj ako se računa i nula ispred decimalnog zareza? 9 Date izraze transformisati u identično jednake izraze u kojima ne figurišu stepeni sa negativnim izložiocima: a) x 4 ; b) a b ; c) 9x 8 x 8 ; d) 4a b c a 5 b c 0 Osloboditi se razlomaka: a b ; a b ; x a n b m ; ab a + b) ; a b) a b) ; 7 a b) ; a xx y) Uprostiti izraze 4): a) 7x y x 4 y ; b) a ab 4 a b ; c) x 5 + x x x ; ) y ) x ) ) a a d) : ; e) : x y b b ) x + ; x

Stepen čiji je izložilac ceo broj a) 50 x + 0 x + 8 x ) 5 x x ); b) 5 x + 0 x + 6 x ) 5 x 4 x ); a + b c) a + cbc + ) b abc + a + c ; d) ab a b a a b + b x + x ) x x ) a) ; b) x 4 5y x 5y x yy + 5x ) ; c) a 4 9b a b b + a ) a b ; d) a + b a a + b + b ) ab 5x ) 5 ) y ) 4 a) : 0x y ; y 5x ) a 9a ) ) b b 7 b) 4b : 4 a ; x ) ) 9x ) c) 5y : 5y x 6 y 5 ; ) a 4 ) 4a ) d) ab : b a 5 b 5 Uprostiti izraz A = ab a b ) 4 ab ) a b a b ) a, i izračunati njegovu b vrednost za a = 0, b = 0 6 Ako je A = a b a b, B = a a b dokazati da je A = B b ) a + b a b ) a + b ), 7 a) Proizvod 0, 0, 008 napisati u obliku A 0 5, gde je A konstanta koju treba odrediti b) Proizvod 0, 04 0, 006 napisati u obliku B 0 6, gde je B konstanta koju treba odrediti

Stepenovanje i korenovanje 8 Ako je 0 x = 0 + 0 4 55 0 7, odrediti x 9* Dokazati da je vrednost izraza ) a) b a ) ) ) a b) a + b), b pozitivna za svako ab 0 i a ±b 0* Dokazati da sledeći izrazi: a) a x a x ) a x ) + a x a x + ) ; b) + a x ) a x ) a x, ) a x a x ax a x c) a x + a x a x : a x a x ne zavise od a i x ako je a x * Utvrditi istinitosnu vrednost implikacije a a) a 0 a x x a x ) a x + a x : ax a x ) + a x = ax + a x ; a b) a 0 a n n + a n ) a n + a n an a n a n + a n + = ) a n ; + a c) a 0 a x x a x ) ) a x a x a x ) a x + a x + a x + ) a x + a x + ) = ; + d) a 0 a x ) + a x a x a x + a a x x + 4a x = 4 + a x a x ax a x + * a) x 0 x) ) x x n + y n ) ; b) x x n y n ; a + a b ) c) a a b : b n a b) + b n a + b) ) ; d) a x + a x ) ) a x a x ) )

Stepen čiji je izložilac ceo broj x * Izračunati: a) + x + a + x) b) a + x) 4 Dokazati da je: b + a ab + ba x x a + x ) ax ) ) za x = ; a ), za x = a ) ) a + b ) + b a Uprostiti izraze 5 7): x x 5 x + x + x x ) + x + x a + a 6 a + a a ) a a a + a : + + a xy + ) 7 xy x y x y ) x y + xy : + a b = b a, b 0) : x + x x y + xy + x y Dokazati da vrednost izraza ne zavisi od a, b, c i x 8 5): a x + b x 8 a x + c x b x c x + ) b x a x b x c x + a x + c x 4 4 9 : a x + b x + a x + b x a x b x c x + a x + c x ) b x c x a x ) a x a x + )a x ) a x + 6) ) n ) a x n 0* a x ) n+ b x : a x b x ) n+ b x * a x a x 6 a x 4 * a x a x a x a x + a x + * 5 x 6 5 x + a x + a x 5 x + 5 x 5 x 8 5 x + 5 x + 4 5 x + 5 x + 5 x + 4 5 x + 4

4 Stepenovanje i korenovanje ) a x a x a x a x 4* + a x + a x + + a x a x x + 4 x 6 x ) 5* x x x x x x + 4 x x 4 x 6 Predstaviti kao stepen osnove 5 izraz 7 Predstaviti kao stepen osnove izraz ) ) 4 m 0, 5 m 0, 5 m 5, m Z 5 n 0, n+ 5 n 0, 04, n Z 8 Uporediti po veličini algebarske izraze ) )) 0 y A = 4 0, 5 y 7 i ) ) 5x ) ) 5x B = 7 :, x, y Z Uprostiti izraze 9 4): x + x 9* x x x x ) x + x : 40* 4* n n + 6 n n + + 4 n n 4 a x + x x x + x + x + x x x ) a x a x 8 a x + a x + 4 a x + a x + a x + 4a x + 4 a x + : n 4 n 4* 5 x 5 x 5 x 5 x 4 5 x 5 x ) )

Stepen čiji je izložilac ceo broj 5 4 Dokazati da je za svako x Z \ {0} vrednost izraza neparan broj x 6 64 4 + x + x 44 Za koje je vrednosti x jednakost identitet? x 4 4x + x 4x x + ) x, a + b)b a b)a a + b)a = x + ab 0), + a b)b 45 Izračunati x = a + a i y = a + a, ako je a + a = 5 a 0) 46 Vrednost izraza a n A = a n + a n + a n ) ) a n a n + + a n a n je ceo broj ako je a ± i n prirodni broj Dokazati Izvršite naznačene operacije 47 57) 7 x 47 7 x 7 x + 7 x + 7 x + 7 x + 7 x + 7 x + 48 x + + x + + x + 4 + 4x + 8 + 8x + 6 + 6x 49 4 x + + + 4 x : 4 x 4 x + 4 x 4 x + + + + n 50 + + + + n 5 x y x + y + y x y 5a x + 5 a a a x + 5 a x + + a x a x + 5 t + t t 5 x + 5 x + 5 x t t t + t t +

6 Stepenovanje i korenovanje 54 y + y )x y x 4 ) y 4 + y x y x + y + y 4 ) y + 55 x x + ) + x + ) x + ) + x + ) x + ) + x + ) x + 4) + x + 4) x + 5) 56 x 0 x + 5 x + x ) : x + 57 + x + y z x y x + y ) z 4x y x + 5 x x + x Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj Osnovne operacije sa stepenima i korenima Definicija Neka je a pozitivan realan broj i n prirodni broj Pozitivno rešenje jednačine ) x n = a po x naziva se n-ti koren broja a, u oznaci x = n a Iz ove definicije proizilazi da je ) n a) n = a Definicija Ako je a bilo koji realan broj, onda a = a ) Definicija Ako je a 0, a m, n prirodni brojevi, onda 4) a m n = n a m

Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj 7 Neka su a, b pozitivni realni brojevi, a m, n, p prirodni brojevi Tada je: n ab = n a n b; n a : n b = n a : b; n a) m = n a m ; 4 n m a = mn a; 5 n a m = np a mp Izračunati 58 67): 58 a) 6; b) 9 ; c) 8 00 ; d) 0, 49; e), 5 59 a) ; b) 8; c) 4 6; d) 6 64; e) 60 a) ) ; b) 5) ; c) 6) ; d) 5 6 a) a 8; b) 4 8a ; c) 5a b ; d) 5a 9ab 6 a) x 8a 5 y ; b) a 7a x y ; c) 4ay a 5 x y 4 6 a) 7a 5 x 6 ; b) ax a x 4 ; c) 80x y 4 z 5 64 a) 7x x 8 ; b) 5x a a 50x 9a 65 a) 4 + 4a ; b) 75 a 8 9 a 5 a ) + 66 a + + ) a 67 a) 6 5 + 4 6 5 9 ; b) 4 + 8 + 4 6; 4 c) 9 + 7 4; d) 9 8 5 68 Za koje vrednosti realnog broja x imaju realnu vrednost koreni: a) x; b) x 4; c) 4 x ; d) x + ; e) x + 4? 69 Za koje vrednosti promenjive x važe jednakosti: a) x ) = x ; b) x 5) = 5 x; c) x ) = x; d) x 4) = x + 4?

8 Stepenovanje i korenovanje Odrediti vrednosti izraza i rezultat grafički prikazati u ravni xoa x R) 70 7) 70 a) A = x 5) + x + 5) ; b) A = x ) x ; c) A = a 6a + 9 + a ; d) A = x + x 4x + 4 70 A = x + 6x + 9 x + x 6x + 9 7 A = x + 4x + 4 x x + + x x + 6 Primenom definicije korena n a) n = a pod uslovom da postoji n a) izračunati 7 74): 7 a) 5 + ) 5 ); b) 5 + ) 5 ); c) 5 + 9) 5 9); d) 6 6) 6 + 6) 74 a) x) + + x) za x ; b) 4x + 5 x) 4x + 5 + x); c) x x 5) x + x 5); x > 5 Dati su izrazi A i B Dokazati da izrazi A i B imaju jednake vrednosti 75 80): 75 A = a a a)a + a) a i B = 9 + a 76 A = b ) ) a a b b i a B = ab a b a + b + ) : a b a + b) ab 9 77 A = x + ) x ) x i B = x + ) x x 7 9 + 9x ) 7x a n+ 78 A = n x an+ an+ + + n xn x n i B = n a n x n a x n + a x n )

Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj 9 79 A = 80 A = ) 5 + 5 i B = 7 4 ) 5 + ) 8 i B = + 4 ) 75 Izraze ispred korena uneti pod koren i uprostiti ih 8 8): x 8 y y ) x y x x 4 x y + y 4 8 + a ) a + ab + b b a + ab + b a a + b ) 8 a a + a a a + a a + a a 84 Ako je A = x a a x n a ) n i B = x a a n a n x + a) n x a) n, tada je A = B Dokazati 85 Ako je A = a b ab n b n b a n b a n i B = a b n a 4 b n+ a n+ + a n b a 4 + ) b, tada je A B = 0 Dokazati Racionalisati imenioce razlomaka 86 09): 6 a) ; b) ; c) 4 6 ; d) 5 7 87 a) 8 ; b) 88 a) 6 5 0 ; b) 9 ; c) 8 ; d) 5 0 6 ; c) 89 a) 8 90 a) 5 9 ; b) 4 5 5 5 6 ; b) ; c) 6

0 Stepenovanje i korenovanje 9 a) 9 a) 94 a) 96 a) 9 ; b) 5 6 ; c) 6 ; b) + 5 4 ; c) 4 9 a) 0 ; b) 5 5 ; c) 5 9 95 a) 5 ab a b ; b) a b 4 a b ; c) 4a a b ; 97 a) a b b a ab ; b) a ) a + 6 a + 98 a) 99 a) 00 a) 0 a) + ; b) ; c) 5) ; b) 0 4 ; b) 4 5 5 ; c) 8 6 4 ; b) d) 6a b 5 a6 b 5 + ) + ; b) + 0 a) 5 7 + + ; b) 5 + ) 5 0 a) ; b) 6 + 04 a) 05 a) 6 + 6 + 6 + ) ; b) ) 4a ) a ; b) a ax a + x 06 a) a + + a + ) a + ; b) 07 a) a + a + a + ; b) 08 a) a a a + a ; b) 09 a) 4 ; b) a a + a a + + x + m + x m x + m x m + ; c) 4 5 50 4 40 ; c) 6 4 54 + ; b) 5 5

Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj 0 Dokazati jednakosti: a) 7 4 = ; b) 7 4 + 7 + 4 = 4; c) + 6 6 = ; d) 7 + 5 = + ; e) + = Skratiti razlomke: 0 0 a) ; b) ; c) + x 8 x + x ; d) a + b + ab a b + b a ; e) a b + b a a + b Obaviti naznačene operacije a) 6 4; b) 5 0; c) x n+ x n ; d) 48 : 6; e) a b : ab; f) a b : a b Ako je A = a a i B = 4 a a a, tada je A = B Dokazati 4 Ako je A = 6 a 5 x 4 5 a 4 x 0 a i B = 0 ax a x 5 ax 0 a 7, tada je A B = 0 Dokazati 5 Ako je a b 5a a a 4 b 8 A = b 4 5a 6 b i B = 8 b b 7 4 a 4 5b, tada je A = B Dokazati a b a 5b a 9b 6 Ako je A = b 4 9a b i B = 4 4a b 4 0a, tada je A = B Dokazati 7 Ako je ax y P = b 6 b a 5 xy i Q = tada je P Q = Dokazati a a b b b ab x 4 a x,

Stepenovanje i korenovanje 8 Ako je M = + 4 4 + ) 5 9 + 7 i N = + 4 4 6 4 + ), tada je MN = 5 Dokazati b a 5 a 9 Ako je M = 5 a 4 b 6 a b i 4a b b a b N = b a a + b 4, tada je M N = 0 Dokazati a a 0 Ako je P = a + m a ) a + m m Q = a m 6 a + m m 0) Dati su izrazi L = ab ab + xy a i K = ax by recipročne Dokazati by + x b y Izvršiti naznačene operacije ) a m + m ) a : a m m ) a a + m, tada je P = Q = za m a, a m ax by a b x y ab + xy ) b ax + y a x a) 5, 5x y 5 0, xy 7 5 6x y 5 4x y ; i xy xy ab ), njihove vrednosti su b) y x a x y 4 x x a 6 x y a x a 4 x y 4x 0 x a x 9 y x ; a 7 b c 5 a 8 c 5 x a x 4 c) 9 x 8 y 5 : 9 b 6 y 5 ; d) b 7 b 7 x x c x 6 a x : c 6 x a 4 a) 6 6 54; b) a ab 8 ab 4 a 7 b 7 a > 0, b > 0); c) a 4 a a 4 8a; d) 4 x 4x 4 x 8 4x 7

Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj 4 a) 5 a b 8 5 a a 5 b ab; b) 4 6 a 5 8 a a 9 a; c) x x x x x x x x x x 5 a) + ; b) 5 + 7 5 7; c) 5 + 5; d) a + a b a a b 6 a) x + 8 + x x 8 + x; b) m + x + m x m + x m x; c) + + 9 + 7 9 7; d) 4 4 6 7 + 7 + 5 7 6 5 + 7 7 a) x x a) x x a 8xx a) x x a x 0, x a); b) 4 + x + x x 5 + x 4 x x x 4 x > ) Obaviti sledeće operacije ): 8 a) 48 : 6; b) 5 : ; c) 8 : 6; d) 5 : 7 9 a) a b : ab a i b istoga znaka); b) a b : a b; c) a b : a + ab + b a 7 b c 5 a 8 c 5 x 0 a) 9 x 8 y 5 : 9 b 6 y 5 ; a x 4 b) b 7 b 7 x x c x 6 a x : c 6 x a 4 a) n n a n+ : a n+ ; b) n a 4n : n a n a) x ) x ) ; x : x b) x x ) ) 4 x : x 7 x x ) x x : x 4 6 x 5 x > 0)

4 Stepenovanje i korenovanje 4 Dati su količnici: a a) 5 b : 0 a ab9; b) b : 6 a b 5 ; c) n a n+ b n n : a n+6 b n Dokazati da su njihove vrednosti geometrijske sredine pozitivnih brojeva a i b ) ) a b ab 5 Ako je A = c a b a : c 4c b 5 6 4c 4 i ) ) a b ab bc B = c c 4 6 a b 8b 7 a : c 6c 7, gde su a, b, c pozitivni brojevi, tada je A = B Dokazati a a b) ) 6 Dati su izrazi V = n aa + b) n + b a + b) 4n : a b a 6 a b) i a + b) 4 W = n aa b) a b) 0 5n 4n a a b) 7 a + b) 5 :, dokazati da je V = a + b W, pri čemu je a > b > 0 Uprostiti izraze 7 4): a 6a x + ax 8x 4 7 b a + x) a x : b 8 a 4ax + 4x 6 ab + bx ab + bx a a x) : 4x 4 b : a 9 x + x a : 6 4 a a + a 4 : a + 4 : a x a 40 4 x a a + a a + a a : 6 a a + a 9a 6a + ) 4 : a + x + + x + ) : a + a 7a + 7a + 9a + : 6 x + 4 x + a ) 4 9a + 6a + a

Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj 5 44 Ako je A = B = 5 4 5x 4 8y : 5x 4 6 y xy 6 y x tada je AB = Dokazati a ) n + 45 Ako je U = n n a a a V = a + n 46 Ako je 5x x y + 6 y, ) x y 6 : xy x y, 8 + a) n i a + ) n+ a + ) a ), tada je U = V Dokazati a ) n V = W = ax a x a a x tada je V W = 0 Dokazati x + a ax x a i a + x ax a + x ), Izvršiti sabiranje i oduzimanje korena 47 6): 47 a) 5 + 8 50 98; b) 8 + 50; c) + 7 48; d) 50 + 7 8 e) 45 + 48 + 5) + 0 + 08; f) 75 6 7 ) 8 4) 48 + 8 5 75 7 + 7 48 5 4 49 a) 8 4 + 4 7 6 ; 75 b) 4 + + 5 5

6 Stepenovanje i korenovanje 50 a) 08 5 84 + 500 56 + 8 6 + 4 6; b) 4 4 5 7 + 8 4 6 + 5 0 8 0 ; c) 8 0 9 6 9 4 6 6 + 4 6 7 + 8 + 5 8 5 6 50 8 + 5 54 5 7 + 4 6 8) 68 8 6 4 4) 5 8 6 8 65 + 6 5 + 6 8 54 5 4 5 6 8) 6 5 4 4 4) 55 4a 5 a + 5 9a + 75a 8a 56 9 a a 6 a 7 a + 4 a + 6 a 57 4 8 8a 4 + a) 6 7a + 4 9a ) 58 a 4 6 7a + 5 a 4 9a 5a b 5 a b 8a 5b) a b a 5b) 59 c + c + c 64a b a + b) 7a 5 b 8a b 5 60 c + c c a 9a a 4a 8a 5a 5a 6 64 + 4 8 + 9 + 8 7 + 6 + 64 6 Dati su izrazi A = 49a + 98b + am + bm 4a + 8b 6a + 7b, B = 9am + 8bm 5a + 50b + 6a + b 4am + 8bm Dokazati da je A B = 0 6 Dati su izrazi A = 9a + 9 + a 6 + a 4 + a + a 4 )a ), B = 6a +6+ 4 8a a +)+8 6 64a 6 +)+9a a +), pri čemu je a Dokazati da je A = B

Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj 7 64 Dati su izrazi A = a )a a 4a + 8) 8a 4 + 6a + 5a + 50, B = a a + a )a + ) 7a 4 + 54a + a + 4a + 4) Dokazati da je A + B = 0 65 Dati su izrazi A = a + ) a 4 a) + a ) a 4 + a) a, 9) B = a 7 + 64a 4 7a aa 6 5a 4 + 75a 5) a + ) Dokazati da se izrazi A i B mogu svesti na isti oblik 66 Dokazati da su vrednosti izraza A = 5 60, B = 5 40 i C = 6 7 prirodni brojevi 67 Dokazati da su izrazi A = 6 5, B = 5 6 i C = 5 0, iracionalni brojevi 68 Dokazati da su izrazi racionalni i jednaki A = 5 0 i B = 5 0 6, Dati su izrazi A, B, C Dokazati da su njihove vrednosti iracionalne i jednake 69 74): 5 8 4 8 4 8 69 A = 5, B = 7 9, C = 6 80 9 5 70 A = 45 5 5 i B = 5 4

8 Stepenovanje i korenovanje 5 40 7 A = 7 + 0 5 i B = 8 + 5 7 + 9 5 6 7 A = ) + ) i B = + 6) 6 ) 7 A = ) + ) + ) ) i B = + ) ) + + 4 5) + ) 74 A = + 5) 5) 5 + 5) 5) i B = 5 + ) 5 ) 6 5 + ) 5 ) 75 Dati su izrazi A = 5 ) 5+ ) + 5) 5) i B = + ) ) 5 ) + 5 + ) Dokazati da su vrednosti izraza A i B prirodni brojevi 76 Dati su izrazi A= 5 9 B = + 5 77 Dati su izrazi + 9 ) 5 ) i 4 + ) 5 7 4 + ) Dokazati da je A B = A = a + b + x + a + b x) a + b + x a + b x) i B = x + a) x a) a + x)a x) + a Dokazati da su njihove vrednosti med - usobno jednaki parni brojevi za svako x Z, x 0 78 Dati su izrazi A = + 5 6 9, B = 7 + 5 Dokazati da su A i B racionalni i jednaki Uprostiti izraze 79 84): 79 x + y + y x 80 x + y + y x y y x xy x + y x y x x + y x > y > 0) x > y > 0) y

Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj 9 a b a 8 a + b + ab + b a a + ab + b + b a b a > b > 0) a b 8 a + ab ab a b b ab a > b > 0) a + b 8 + y x x y x + xy x > y > 0) x y 84 x x y x + y x > 0, y > 0, xy > ) a x + ax 85 Ako je A = a x B = a + ax x xy ) x + y xy + ) xy + + x ) x ) a + a a a + x i a a a, gde je a > x >, tada je A = B a Dokazati am + m a + x 86 Ako je A = a x a x am m a + ax B = a a m tada je A B = 0 Dokazati 87 Dokazati implikacije: a x a + m i a + am a, gde je a > m > 0, a > x > 0, x a) x > 0 ) ) 4 5 9x 6 9 x 4 x + x 4 x x = x; ax b) a > 0 x > 0) 6 4 6 a x x a a 6 + a a x 9x = 4 ax; c) x > 0 a > 0) 8x a x x a x x x +6 4 a a + x = x; d) a > b > 0) 8b a b a b a b) a b a a + b 4 a + b b a b + a a + b = a b

0 Stepenovanje i korenovanje Korenovati sledeće korene 88 94): 88 a) 8; b) 4 6; c) 5 4 89 a) 7 8a ; b 4 6a 4 ; c) 5 8a 90 a) 5 a 4 5 a 0 a ; b) a a 5 a 9 m n a 5 m 6n a 9 6m n a 6n m a 9 a) n a n a m a n m ; b) n a n a 8 5 9 x y 0 xy 4 x 5 8 xy 94 Ako je A = 6 a 5 a, B = 6 a a 5 a, C = 5, tada je a4 A = B = C Dokazati 95 Ako je A = xy xy xy xy, B = x xy x y y x, gde je xy > 0, tada je A = B Dokazati a x 96 Ako je M = b y y b x x x a y y i a N = 4 4x b 9y x 4 4ay, tada je M N = 0 Dokazati y bx Uprostiti izraze 97 99): a ay 97 b bx b x a y x a y b 98 a + a a + ) a + ) a + b) 4 a b) a + b 99 : 4 a b a b a + b a b) a + b)

Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj 00 Ako je A = a b) a 9b a + b) a 9b i a + b a B = a b : ab + b, tada je A = B = Dokazati a b b ab 0 Ako je S = 4 a b a 4 i T = 4 tada je S T = 0 Dokazati 0 Ako je ab 6 b a a b A = a b a + b a + b a b b : ab a i ab B = a 6 a + b a b b a a + b a b 6 a + b a 5 b a b : a + b) 6, b tada je A = B Dokazati 0 Dati su izrazi a x V = a + ax) a x ax x ) a x i a + x W = axa + x) a x a x + x a a : x x ), a dokazati da se izrazi V i W mogu svesti na isti oblik 04 Ako je b a 4 b a, A = 4 a x a x x n : n a + x a x ax a n i ax x n a x a+x B= n a+x) n a n+ a n+ x+a n x a+x n a x), a x gde je a > x > 0, tada je AB = Dokazati

Stepenovanje i korenovanje 05 Ako je a + x A = n a x n a + x a x a n ax : n B = ax n ) + ax n+ + x n+ n a n+ a n+ + a n x), a x a + x x n ax i gde je a > x > 0, tada je A = B Dokazati Izračunati 06 07): 06 a) + ) ; b + ) ; c) 5 + ) ; d) ) ; ) ; ) ; e) + + f) 6 5 6 + 5 ) g) 7 6 + 7 + 6 ) x + x 4 x x 4 07 a) x ); ) b) a + + a + a + a a 0); c) a + b + ab + a + b ) ab a, b 0) Izračunati 08 ): 08 a) 4 + 8 + 6 4 + 5 ; b) c) 5 7 09 a) 6 8 + b) 4 4 + 7 ) ) 5) ; ) + 000 ; d) 0,6 6 0,75 +, 44) 0,5 7 ) 4 ) 0,5 4 0,5 9 ) ) 4 ; ;

Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj ) ) 0,75 c) 0 ) 4 + 4 6; ) ) d) 5 + 5 5 + ; ) ) e) 6 6 + 8 + a b 0 a) a + b + a b a b ; b) a a + a + a ; a x + c) x + x : + x,5 ; d) a + a a a + a a a) x x ) x x x x 4 x ; x b) m m 4 ) 0 m m m m 4 m m + m ) m + 5 Uporediti brojeve + i + Dat je broj A = 6 + ) ) + Izračunati A i, na osnovu toga, odrediti vrednosti broja A 4 Dati su brojevi a = 4 Izračunati a + b, ab i a + b 5 Dati su brojevi 0 + 5 i b = 4 + 0 + 5 A = 9 + 7 9 7 i B = Dokazati da su A i B racionalni i jednaki 57 + 57

4 Stepenovanje i korenovanje Dokazati 6 8): 6 + + + + + + + + = 7 a) 0 + 4 + 0 4 = 4; b) 5 + 7 5 7 = 8 a) 4 + 5) 0 6) 4 5 = ; b) 5) + 5) 0 ) = 8; c) 6 + 5 ) = ; d) 7 + 5 ) ) 4 + = Izračunati 9 0): 8 9 a) 5 + 5 ; b) ; 5 5 + c) + 7 + 7 ; d) 6 + 5 + 4 5 5 4 + ) 6 + ); 6 + 6 0 a) b) + c) + + 5 ) : 8 + 6 ) + 5) ; ; d) + + + + + + + Obaviti naznačene operacije ): x + y x y a) x + + xy xy x > 0, y > 0); b) x a + x + y x xy + ) y x +, xy a a + x x ) ax : a x), a > 0, b > 0); a + x

Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj 5 a + a c) b a a b a ) a b a + : 4a a b a b b a > b ); ) a + a a d) + a a + a a > 0); a a + ) x y e) x y + xy : x + y ) a a) a a ) a a > 0, a ); a a + a a b) + a + ) ) a a a < 0, a ); a c) d) a + a ) ) a b + a a a a b ) + ab ) : a > 0, b > 0) 0 a + a > 0, a ); Izračunati vrednost izraza 4): a) x x za x = + ; b) 4x 8x + x + za x = + ; c) x + ) + y + ) za x = + ) i y = ) d) x xy y za x = 5 + 6 i y = 5 6; e) x x + 6x + 6 za x = x ) 4 a) x x + za x = + i x = ; a a + x b) x + + x za x = ) b b a > 0, b > 0); a a + x + a x c) za x = an a + x a x n n >, a > 0); + a + bx + a bx am d) za x = a + bx a bx b + m m < ); )

6 Stepenovanje i korenovanje e) xy x y xy + x y za x = b ) 5 Dokazati implikaciju: a) a b a > 0 b > 0) a b a b + b a + a + b a b b a b) a b a > 0 b > 0) a b) + a + b b a a + b b a + ), y = b + ), a, a b ) a b a + b b a b = ; + ab b a b = 6 Uprostiti izraz: x + x + x x, ako x [, ] 7 Dokazati identitet Lagranžev identitet): a ± a + a b = b a a ± b a > 0, b > 0, b < a ) Koristeći Lagranžeov identitet, uprostiti i izračunati, sa tačnošću od 0,0 izraze: a) + 4 7; b) + ; c) 5 ; d) 7 + 4 ; e) + Primena Lagranžeovog identiteta 9 ): 9 a) 8; b) 6 + 0; c) 7 + 4 0 a) + 4 5; b) 6 4 a) 7 + 6; b) 8 5 + 6 + 5 Ako je A = 6 +, B = 7 + +, tada je A = B Dokazati

Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj 7 4 Ako je M = 9 65, N = + 5 7 +, tada je M + N = 0 Dokazati 5 Ako je A = 9 77 i R = 7 5, tada je A B = 0 Dokazati 6 Ako je V = 4 5, W = + 0 7 + 6, tada je V = W Dokazati 7 Ako je A = + 4 + ) i B = 8 + 5 6 5, tada je A = B = Dokazati 8 Ako je tada je A = B = A = 5 + 4 + 5 5, 9 B = 0 + 5 5 7 6 6, + 5 Dokazati Primenom Lagranžeovog identiteta ili na neki drugi način uprostiti izraze 9 46): 9 a) a + a b ; b) a + b ab + b 40 a) a + b + ab; b) x x y 4 a a a + a + a 4 Ako je A = a + b a + a + ab i B = a + b + b a + ab b ab b ba b), tada je A = B = a Dokazati 4 Ako je A = a + + a + a + a + i B = a x + a x a x a x, tada je A = B = Dokazati

8 Stepenovanje i korenovanje 44 Ako je P = xy + ) + x y x + x i Q = x + xy + + xyx + ) x + x +, tada je P = Q Dokazati 45 Dato je V = x + a x a + x a x x a i W = a + x + a x + x + x x x, dokazati da je V = W = a + x 46 Ako je S = T = a + a x + a ) a x a + x a ) x a + a x, tada je S = T = x, x > 0) Dokazati 47 Dokazati da je vrednost izraza + + + + x a + x iracionalan broj 48 Razlomak n + ) n + n predstaviti kao razliku dva redukovana razlomka Primenom dobijene jednakosti izračunati n + sumu: S = + + + + + 00 99 + 99 00 49 Ako je ax = by = cz i x + y + z =, onda je i ax + by + cz = a + b + c Dokazati 50 Izračunati vrednost funkcije fx) = x + x, za x = 4 5 + ) 4 5 )

Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj 9 5 Izračunati vrednost funkcije y = x + ax + b, ako je x = b b + 4 + a 7 + b b 4 + a 7 5* Dokazati da je A + B x = A B + A B A + B nula funkcije fx) = x x A + B) A B 5 Data je funkcija Fx) = a b x ax + a b Dokazati da su b ab ab x = i x = nule funkcije a > 0 i b > 0) a b a + b 54 Dokazati da je: x + x a) 4 9x + x x x + x x a a b) a a a + a 4a ) + x = x 5 x ; ) a + = a 5 a 55 Dat je niz brojeva x n definisan rekurzivnom formulom + xn x n = x n Dokazati da je ovaj niz periodičan ako je x = Izračunati vrednosti izraza 56 60): + x 56 y = + + x + x x, za x = 57 x + x + x x, za x = 6 4

40 Stepenovanje i korenovanje x + a ) 0,5 + x a ) 0,5 ) m + n ) 0,5 58 x + a ) 0,5 x a ) 0,5, za x = a, mn a > 0, n > m > 0) 59 x ) 0,5 + x + ) 0,5) : x ) 0,5 x + ) 0,5), za x = a + b ) : ab), a > 0 i b > 0 60 x + x ) 0,5 ) : x x ) 0,5 ), za x = a + a ), gde je a realno i različito od nule a 6 Ako je x = ) b b, a > 0 i b > 0, onda je: a Dokazati a + x ) 0,5 : x + + x ) 0,5 ) = a + b Dokazati da su vrednosti sledećih izraza prirodni brojevi 6 74): 6 5 + ) + 5 ) ) ) 5 + 5 ) ) 6 + + + 64 + ) 4 + 4 + + 9 6 ) + 6 65 + 4 5) 4 5)9 + 5) 66 7 + ) ) 67 + 4 )4 + ) 4 ) 68 7 4 ) + ) 69 4 7 + 70 + 5 + 6 5 6 4 7 9 + 4 5 5 7 + + 9 7 5 ) 5 + ) + ) 6 +

Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj 4 74 + 5) 6 8 5 ) 4 : 8 6 Upostiti izraze 75 80): 75 + 4 + 4 5 6 + 5 76 + ) 7 4 + 4 6 4 77 5 ) 4 + 5 + ) 7 + 5 78 + + ) + + 79 + a + b ) c ab : a + b ) c 4 a b 80 6 0 7 5 7 + 5 7 0 6 7 8 Ako je A = 5 + 7 5 7 + 4 + 5 ) 4 5), B = + 5) 9 5 0 + 8 ) +, 6 + 0, 4), tada su A i B prirodni brojevi i jednaki Dokazati 8 Ako je A = 4 5 5 5 5 5 0, B = 4 5 5 5 ) 5 : 4 5 5, tada je A = B = 4 5 Dokazati Uprostiti izraze 8 9): 8 5 4 6 5 4 5 8 5 + 4 5 5 4 4 5 84 6 6 a 5 7 a 4 a + 4 6a a 5 6 a a 9 85 a5 6 a a 5 a7 6 86 a 4 a a 8 a a a 4 a

4 Stepenovanje i korenovanje a 87 a + a + a + + a + a + a a + a 88 a a a a + a ) b a 89 a a + b + a b) b 90 a + b ) + a a ) b b) ) + ab) 9 a + b ) a ) b ab b + a 9 ab + + ab + ab + ab Dokazati da je 9 99): 9 5 4 + 5 50 + 5 4 8 5 + 5 + = 9 5 94 9 + 5 = 0 + 95 a + a 6 a a a = 6 a < ) 96 4 a 4 b ) + 4 a + 4 b ) a + b : a b) 97 + + = 0 0 + 98 ) 7 + 0 7 0 4 7 = 0 a b a + b ) = a, b > 0, 99 4 + = + 0 + 6

Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj 4 Dokazati da je vrednost izraza iracionalan broj 00 04): 00 A = + ) 7 4 + ) 5 + 6 0* A = 7 + 7 + 4 8 + 4 8 0* A = 4 8 + 4 7 + 4 7 0* A = 4 7 + 4 8 + 04* A = 4 8 + 4 8 Uprostiti izraz 05 07): 5 + 5 05 + + 5 06 + + 07 5 + + + 8 8 4 5 5 5 + 4 + 5 ) : 5 ) 8 6 Racionalisati imenilac razlomka 08 ): 0 08 a) + 5 ; b) 5 + 8 09 0 5 + + 5 + 5 0

44 Stepenovanje i korenovanje Ako je A = + 6 6 +, B =, tada je A B = 0 Dokazati Ako je A = + + 7, B =, tada je A = B 7 Dokazati 4 0 0 Ako je M =, N =, dokazati da + 5 + 7 je M + N = 0 4 Ako je V = 0 + 0 + + 7 5 +, W = je V = W = 6 + 5 + Dokazati 5* 9 + 6 + 4 6* 8 5 + 5 6 + 7 + + 8* 7* 7 9 4 + 0 + 7 + 7 + 7 9 + 5 0 * Ako je x + x 4 y + x + y = a Dokazati 6 7 + + 4 6 5 +, tada y + x y 4 = a x, y > 0), tada je * Ako je a b = a b = a b = = a n b n, tada je a + a + a + + a n ) b + b + b + + b n ) Dokazati = a b + a b + a b + + a n b n Uprostiti izraze 4 4): ) ) + n n 4 A = + + n n n + n n n 0 < n < )

Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj 45 n) + n n n 4 8n + 4n 5* A = ) 0 < n < ) n n n + a) + a 6 A = a 9 + 8a + 9a a > 0) 7 A = p 0,5 + q 0,5 ) p + q ) + p > 0, q > 0) p 0,5 + q 0,5 ) p 0,5 + q 0,5 ), a + a 8 A = x) : x + 6 ax ) a x x) 4 9 A = x x + 4 y) + 4 x 4 y) ) x + x x x, y > 0) xy x + x) 0 A = 9 + 8x + 9x x x ) 4 0,5 x 8 * A = 4 + 4 x 4x x ) x A = x x x 4 x + 8 4 x + x 0,5 a x 4 a 4 x a + 4 ) ax a + 4 ax 4 ax : 4 a 4 x ) ) * A = 0 4 x a + a 4x 4 ) 5 a + 6x a 6x, ako je a x i x 0 6 + 6 + + ) 6 6 + ) 4* A = 6 5 A = ) 5 + 6 + + 6 A = 6 + 6 5 + 4 6) 6

46 Stepenovanje i korenovanje 7 A = 9 + 4 5 + + 5) 5 8* A = 9 A = + + 6 5 + 6 + 6 + 5 7 + 0 + 5 + 48 40 A = + 0 + 9 + 4 4* A = 6 + + + ) 4 A = 5 9 5 4 Izračunati vrednost izraza x x + A = x 4x + 8 x + 4x + 8 za x = Svesti na najjednostavniji oblik izraze 44 5): 44 a + + a + a + a a 45 + + m m + m + am + m 46 + a am a a + ) + m x x + am + m a am 47 + m x + ax a + b a b + + a a b a + b 48 a + + a 49 a + a + b a b + a a b a + b a + a a +

Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj 47 a 50 a a ) a + a + a a a a a ) x a) 4 x + a x a ) x a 5 4 x + a x a ) x a x + a 6 4 x a x a x + a ) a m a m + a a 5 5 b b a a + 4a + m) a b b a) m b a 54 Ako je A = ) a + x a x ax + + + x ax, x a x a B = + x a) x a) x a) x a) x+ + a x+ a 4a 4a 4a 4a tada je A B = 0 Dokazati, Uprostiti izraze 55 70): 55 a 4 b a 4 b 4 a 4 b a 4 + b a 4 5 b 4 a + 4 b 56 5 + 5 5 + + 5 5 n 5 + 5 5 + + 5 5 5 n 57 x + y) x y xy x y) + xy

48 Stepenovanje i korenovanje 58 59 60 6 6 7 8 7 + 8 6 6 + + + 5 + 5 5 5 + 5 5 + + 5 + 5 a + + a + + a + 4 + a + 8 4 + a + 6 8 + a 6 + b b + ) + b + ) b + ) + b + ) b + ) b + 4) b + 5) 5 b b + 5) b + ) b + 4) + y xyz + x + z ) x + y + z : x + y 6 64 65 66 67 x + y x y + x y x + x + y) y x y x y x + y) 4 4 x + y + z x y y + x + + x y 4 a + + 5 4 + 5 4 + 5 6 : 4 y xyz + x + x + z ) y + x y y x xy 4 a + + 4 a 4 a + ) 4 a 4 a 4 a + )

Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj 49 x y x y 68 x + : x + y ) xy xy x y y 4 y + 4 ) 4 x 69 x + 4 ) y 4 xy + 4 + yx ) a b 70 ab + b b 7 Dokazati da je vrednost izraza a ab b 4 + b a 4 y 4 x 4 xy) + + + + + 4 + + 8 4 + + 6 8 +, 6 racionalan broj Uprostiti izraze 7 77): ) + + 5 + 5 7 + + 5 + + 5 ) + + 5 + 5 + 5 + + 5 7 5 + + 5 + ) + ) 5 + 5 + ) 5 5 + ) + ) + 5 + + 4 4 + 4 + 74 4 4 + 4 + + 6 4 4 + 4 ) 4 4 + 4 ) 4 4 + 4 ) 4 4 + 4 75 a + b a + b) + a + b) + a + : b) a + b ) 4 a ) b a + a + b a + b) b ) + 76 5 + 4 ) + 5 + 4 ) + 5 + 4 + 5 + 4 )

50 Stepenovanje i korenovanje 77 5 5 5 + + + 5 5 5 + 5 + 5 Kompleksni brojevi i osnovne operacije sa njima Definicija Skup svih kompleksnih brojeva, u oznaci C, jeste skup ured - enih parova z = x, y) realnih brojeva za koje važe sledeće aksiome: ) Aksioma sabiranja: x, y ) + x, y ) = x + x, y + y ) ) Aksioma množenja: x, y ) x, y ) = x x y y, x y + x y ) Definicija Kompleksan broj 0, 0) naziva se kompleksna nula, a broj, 0) kompleksna jedinica Definicija Kompleksan broj 0, ) naziva se imaginarna jedinica i označava se sa i Stav Svaki kompleksan broj x, y) može se predstaviti na jedinstveni način u obliku x + iy, koji se naziva algebarski oblik kompleksnog broja x, y) Definicija 4 Neka je dat broj z = x + iy x, y R) Broj z = x iy konjugovan je broju z Definicija 5 Modul ili norma kompleksnog broja z = x + iy je realan nenegativan broj x + y i označava se sa z Često se z označava sa r ili ρ, tj z = r = ρ = x + y ) 78 Izračunati: a) 6 6 64 + 49; b) 8 50 + 7 98; c) a a + ab b + b, a > b > 0) Izračunati, tj svesti na oblik x + iy 79 8): 79 a) + i) + 5 + 8i); b) 7 + i) 4 + i); c) 8 + 4i) + 7 i) + 6 + i); d) 7 + i) + 8i) + 9 i)

Kompleksni brojevi i osnovne operacije sa njima 5 80 a) 5 + i) + i); b) 6 + i)6 i); c) + i) + i) i) ; d) 5 + i) i) + 5 + i) 8 a) + i + i ; b) + i + i 5 i ; c) ; d) i i i 8 a) + i i + i + i ; b) + i 4 + i) 4 i) + ; i) + i c) i + i i + i) + i) ; d) + i i 8 a) i, i, i 4, i 5, i 6, i 7, i 8, i 60 ; b) + i i + i + i + i4 + i + i 49 84 Odrediti module brojeva: a) + 4i; b) 4 i; c) 5 + i; d) 8 + 5i; e) 4 + i; f) 7 i 85 Dat je kompleksan broj z: a) z = + i i ; b) z = i) + i + i Odrediti Re z) i Imz) + i 86 Data je funkcija formulom: Odrediti f + i) i f + i) fz) = z 4iz 7 4i 87 Ako je fz) = + z + z, izračunati fz) i f z) za z = + i 88 Izračunati vrednost kompleksnog izraza: z z z + z a) za z = + i; b) + z z z + za z = + i 89 Rešiti po z jednačinu z = x + iy): a) + i)z = 5 + 4i; b) + i)z + z = 4 + 6i; c) z 5i) + z = 0 65i; d) z + i) + i) + + zi) 4i) = + 7i 90 Rešiti po z jednačinu z = x + iy): a) z + z = 6 i; b) z + 4z = 0 + 8i 9* Dat je kompleksan broj z = i Odrediti kompleksan ) broj z z = x+iy koji zadovoljava konjunkciju Re z z ) = 8 Im = z

5 Stepenovanje i korenovanje 9* Dat je kompleksan broj z = + i Odrediti kompleksan broj z = x + iy koji zadovoljava konjunkciju: ) z a) Re = z 5 Im z z ) = ; ) z b) Re z z ) = Im = 5 9 Odrediti realne brojeve x i y iz jednačina: z a) x + xi y = iy i; b) 5x yi + i = 6 ix y; c) x + iy) 7i) = + 4i; d) x + iy) + i) = + i 94 Rastaviti na kompleksne činioce sledeće binome: a) x + ; b) x + 8; c) 4x + 49; d) a + b ; e) a + b 95* Ako je z = ± i, dokazati da je z + z + = 0 i z = 96* Dokazati: + ) i ) a) + = ; + i ) 4 i ) 4 b) + = ; + i ) 4 7 i ) 4 7 c) + = d) + i + i = 6 97 Dokazati da je z = + i) 4 i) 4 realan broj 98 Dokazati da je z = + i)6 i) 6 + i) 6 imaginaran broj i) 6 99 Dokazati da je: a) + i) 4k realan broj ako je k prirodan broj; b) + i) 4k+ imaginaran broj ako je k prirodan broj 400 Odrediti realni i imaginarni deo kompleksnog broja ) n + i + i)n a) z = ; b) z =, ako je n prirodan broj i i) n

Kompleksni brojevi i osnovne operacije sa njima 5 40 Ako je z = x + iy i w = a + bi, dokazati da je: a) z w = z w ; b) z = z w w 40 Izračunati + i + + i ) 6 i 40* Dokazati da je + i) 6 + i) 6 = 46 404* Ako je z = + i, onda je z + z = 4 Dokazati 405 Odrediti kompleksan broj z = x + iy koji zadovoljava konjunkciju: ) a) z + z z = Re = ) + i ; b) z z z = Re = + i Rešiti po z jednačinu z = x + iy) 406 4): 406 a) z + z = + i; b) z z = + i 407 z + z + + i = 0 408 z iz + i = 0 409 z = + ai a a > 0) 40 z = ab ab i, a > 0, b > 0) 4 a) z = + 4i; b) z = i ; c) z = + i 6 4* Odrediti kompleksan broj z ako je z i = z z i = z 4* Odrediti realne brojeve a i b tako da je kompleksni broj x = a + bi koren jednačine x x + + i = 0 44* Ako je z = + i, z = 5 i i z = 4i, dokazati da je z z + z z = 4 45* Dokazati + i ) 9 i ) 9 + =

II GLAVA KVADRATNA JEDNAČINA I KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna jednačina Definicija Jednačina oblika ) ax + bx + c = 0, a 0) naziva se kvadratna jednačina, gde su a, b, c realni brojevi a x nepoznata Ako je c = 0, jednačina ) svodi se na oblik nepotpuna kvadratna jednačina) ) ax + bx = 0 Ako je b = 0, onda se jednačina ) svodi na oblik ) ax + c = 0 Rešenja kvadratne jednačine ) x i x data su formulom 4) x, = b ± b 4ac a Definicija Izraz D = b 4ac naziva se diskriminantom kvadratne jednačine ) Priroda rešenja kvadratne jednačine ) zavisi od diskriminante D, i to: ako je D > 0, rešenja x i x su realna i različita; ako je D = 0, rešenja x i x su realna i jednaka; ako je D < 0, rešenja x i x su konjugovano kompleksna Ako kvadratna jednačina ) ima oblik ax +kx+c = 0, b = k), onda su rešenja 5) x, = k ± k ac

Kvadratna jednačina 55 Ako kvadratna jednačina ) ima oblik x + kx + c = 0, rešenja su 6) x, = k ± k c 46 Rešiti nepotpunu kvadratnu jednačinu: a) 4x 9 = 0; b) 4x 7 9 = 0; c) 5 6 x = 5 ; d) 0, 04x + 0, 75 = 0; e) 5x + 80 = 0; f) 0, x = 4, 4 47 Rešiti jednačine: a) x 5x = 0; b) x + 4 5 x = 0; c) x x = 0; d) 4 x x = x + x; e) x ) + x + ) = 4x; f) x 5)x 7) x 6)x 8) + 6 = 0 48 Rešiti po x jednačinu a, b, m, n parametri): a) a x + bx = b x + ax; b) mx m x = nx n x; c) y m) + y + n) = m + n ; d) x a) xx a) + a ; e) m z 5) = n z 5); f) x + a) : x b) = b + x) : a x); g) a x)b + x) + ax) + bx) = ab x ) 49 Odrediti skup rešenja jednačine: a) x + 4 x 4 + x 4 x + 4 = ; b) 4 4x + x + x = x x + ; c) 5 x x + 5 + 5 + x 5 x = 00 5 x ; d) x + x + x x + = 6 40 Odrediti skup rešenja jednačina a) x + x + = x + x + ) ; b) x + = 4 5 5 ; c) x + x ) x = x + ; 8 4 d) x + + x + + x + x = 0; x e) x + x x + x )x 5) = x 0 x x 5

56 Kvadratna jednačina i kvadratna funkcija 4 Rešiti po x jednačinu a, b parametri): a) a + b + y y + a b = y a + b a + b y ; b) b + x a x b x a + x = a b )x a x ; c) x a b + x b a + x + a + b = 0; ab d) x a b a + b = b x ab a + 4 Koristeći ekvivalenciju AB = 0 A = 0 B = 0, odrediti skup rešenja jednačine: a) x)4 x) = 0; b) x ) 9 = 0; c) 4x )x ) = 0; d) x + ) 5 = 0; e) x + 4) + 5 = 0; f) x 5) + 5 = 0 4 Koristeći formulu x, = b ± b 4ac za rešenja kvadratne a jednačine ax + bx + c = 0, rešiti jednačinu: a) x 5x + 6 = 0; b) x x 8 = 0; c) x 5x 5 = 0; d) x 0, x+0, 00 = 0; e) 4x 7x+4 = 0; f) x 9 x+ = 0 9 b b a ± ac ) 44 Koristeći formulu x, = za rešenja kvadratne a jednačine ax + bx + c = 0, rešiti jednačinu: a) x + x = 0; b) x 6x + 58 = 0; c) 9y 6y + 7 = 0; d) z 8z + 4 = 0; e) 0, x, 4x 0, 4 = 0; f) x 4x + 08 = 0 45 a) x 9x + 8 = 0; b) 5x + 7x + 6 = 0 46 a) 6x 5x + = 0; b) 6x 7x 0 = 0 47 a) 5x 4x + 8 = 0; b) 8x + 0x = 0 48 a) x 0x + = 0; b) x + 4x 07 = 0 49 a) x x + = 0; b) x 6 x + 6 = 0 40 a) x 4 5 x + = 0; b) 4x 4 )x = 0

Kvadratna jednačina 57 4 Rešiti po x jednačine: a) x + 5 )x + 7 + 5 = 0; b) x )x + 4 = 0; c) + )x )x + = 0 4 Rešiti po x jednačine a, b realni brojevi): a) x + bx a + 8ab 5b = 0; b) x ax + a + a = 0; c) x + a n x = a n x + a 4n ; d) a b )x a + b )x + ab = 0 4 a) 5x 0mx + 9m 4 = 0; b) x 4ax + 4a b = 0 44 a) x b = ab x); b) x 4mx + 4m = 0 45 a) mn + )x + x mm ) = 0; b) a m )x a + m )x + a m = 0 46 a) x a) = x + ) a; b) xa + b) x ) + ab = 0 47 x + aba + ab + b ) = a x + b x + abx 48 Jednačine amx a m )x am = 0, amx + ) = a x + m x imaju dva jednaka korena a druga dva suprotna Dokazati 49 U jednačinama x 5mx + 4m = 0 i x + mx 4m = 0, prva rešenja su jednaka a druga suprotna Dokazati 440 Date su jednačine x ax+a b = 0 i a b )x ax+ = 0 Dokazati da su rešenja druge jednačine recipročne vrednosti rešenja prve 44 Jednačine x 4amx+4m a b ) = 0 i x bx 4m a b ) = 0, imaju dva jednaka korena a druga dva suprotna Dokazati 44 Jednačine x 4a x a a x 4a = i x +4ax a imaju dva jednaka rešenja a druga dva suprotna Dokazati Jednačine u zadacima 44 456) transformisati u ekvivalentne kvadratne jednačine i zatim odrediti skup njihovih rešenja: 44 a)x ) + x 5) = 4x ) + 0; b) z ) + z 4) = z 5) + 5 444 x )x ) + x )x ) + x )x ) = 0 445 x + )x + )x + ) x + 4)x + )x + ) = x 5

58 Kvadratna jednačina i kvadratna funkcija 446 a) x x 4 = x 4 ; b) y + y ) + = y ) + 4 447 y 9 y y + 5 = 9 y 7 8 y + 448 a) x + x + x x 9 = x + x 4 + x + x ; 5x b) x x 5 x + = 4x 5 x x 449 a) x 9 x + 5 x 8 = 5 x + 9 5 x 9 ; x + b) x + x 6 x x 5x + 6 = 6 x 9 xx + 5) 450 x 8x + + x + x + 7 = x x ) + x + 7 x 8x + 45 x 5 x + 7 x x 6) + = x 4 x ) + x x 6) + xx + 5) 45 x 8x + 9 x x + 5 = 4 x + 6 x + 5 x 8x + 9 45 x x 0 x + 7x + 0 = x 4 + x 7x + 0 x + 454 x x + x x 8 x x + x = 8 0x 0 455 a) x + x x + = 0; b) x x + = 0 c) x 8 x + 5 = 0; d) x + x x + + = 0 456 a) x x + = 4; b) x x + = ; c) x 8x + = x 8x + ; d) x x + x + 5 = 0; e) x + x + + x = 4, 5 x + 6 Jednačine u zadacima 457 467) transformisati u ekvivalentne kvadratne jednačine i zatim odrediti njihov skup rešenja a, b, m, n realni brojevi): 457 459 a a x + b b x x c x4a + b + c ) = a + b) = 458 x + ab ab ax a + b c 4a + b + c ) = + b + c a c x

Kvadratna jednačina 59 460 a x b x ab a + b = a + b b x ab a + m 46 a + x) a + m a + b + x = b m 46 x 46 a) x + b am a b ) = a a x a + b + x b ) a x m m m b b + m b + x) m m x + x x m = + nx; b) x m + x n = m + n 464 a) x n x m + x m x n = 0 ; b) x + m x n x n x + m = 465 a) a + 4b x + b a 4b 466 a) b) x b = 4b a a x a x) a = a a axa x) ; n + nx n + ) = x x x 4x a 467 a) nx x a x nx + n x = ; ) a x ) a x a + b b) x ax + a = 5 9x ; b) a + 6b x + b a 6b x b = 6 b a 468* Data je jednačina x a+b)x+ ab a+b x) = 0, gde su a i b realni brojevi Dokazati da je jedno rešenje date jednačine aritmetička, a drugo geometrijska sredina brojeva a i b 469* Data je jednačina a + b)x a + b) x abx a b) = 0, gde su a i b realni brojevi Dokazati da je jedno rešenje date jednačine aritmetička, a drugo harmonijska sredina brojeva a i b 470* Ako je fx) = x x + ) x + ) x x + x + x + x, rešiti jednačinu fx) = x

60 Kvadratna jednačina i kvadratna funkcija x 0x + 9 47 Ako je fx) = x ), rešiti jednačinu fx) = x) x) { x +, x > 47 Ako je fx) = rešiti jednačinu fx)) x, x < = 4x+ 47 U sledećim jednačinama odrediti parametar m tako da rešenja po x budu jednaka: a) 4x m+)x+m m = 0; b) x m )x m 4) = 0; c) x + m)x + m = 0; d) mx + m + 4)x + m 5 = 0; e) m + )x + m )x + 4m + = 0; f) m )x + m + )x + m = 0 474 Zavisno od parametra k odrediti prirodu rešenja kvadratne jednačine po x: a) k )x k + )x + k + = 0; b) k )x k + )x + 4 = 0; c) 4k )x + k )x + 7 6k = 0; d) k x k5k + )x 4k + ) = 0 475 Ako su a, b, c merni brojevi stranica trougla, onda su koreni jednačine b x + b + c a )x + c =0 kompleksni Dokazati 476* Data je jednačina ab c)x +bc a)x+ca b) = 0 Dokazati da su za svako a, b, c, ab c) 0) rešenja date jednačine realna Odrediti ta rešenja 477* Ako je a + b 0, jednačina a + b) x a b)a b )x aba + b ) = 0 ima realna rešenja Dokazati, a zatim rešiti datu jednačinu 478* Date su jednačine ) ) x + x + a = 0, + a)x + x + a) a )x + ) = 0, u kojima je a realan parametar, a x nepoznata Dokazati da su koreni jednačine ) realni i različiti ako su koreni jednačine ) kompleksni i, obrnuto, da su koreni jednačine ) kompleksni ako su koreni jednačine ) realni i različiti

Vietove formule Rastavljanje kvadratnog trinoma na činioce 6 479* Ako jednačina ) x + px + q = 0 p, q realni brojevi) ima realna rešenja, onda i jednačine ) ) x + p + a)x + q + ap = 0 a realan broj), x + p + a)x + q + ap = 0 takod - e imaju realna rešenja Dokazati 480* Ako jednačina ) x + px + q = 0 p, q realni brojevi) ima realna rešenja, onda i jednačina x + k + ) px + p + q k ) = 0, k k) gde je k realan broj, takod - e ima realna rešenja Dokazati 48 Ako su a, m, n realni brojevi, dokazati da su koreni jednačine x m + x n = a, realni Vietove formule Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce Vietove formule jednačine ax + bx + c = 0 a 0) glase ) x + x = b a i x x = c a Činioci trinoma ax + bx + c su: ) ax + bx + c = ax x )x x ) 48 Formirati kvadratnu jednačinu x + px + q = 0 ako su poznata njena rešenja x i x : a) x = 7, x = ; b) x =, x = ;

6 Kvadratna jednačina i kvadratna funkcija c) x = 5 +, x = 5 ; d) x = 5 +, x = 5 ; 6 6 e) x = + i, x = i; f) x = + i, x = i; g) x = a a + b, x = b a b 48 a) x = + 5, x = 5 ; b) x = 484 a) x = 4 + 5i, x = 4 5i 5 +, x = 5 ; b) x = + i, x = i ; 5 5 485 a) x = a, x = a ; b) x = m, x = 4 m 486 a) x = m + 5 487 a) x = m m, x =, x = m 5 m m + ; b) x = a + ; b) x = a + m a m, x = a m a + m, x = a Ako je dat zbir rešenja s i proizvod p kvadratne jednačine, odrediti njena rešenja 488 497): 488 a) s = 4, p = ; b) s = 4, p = 9 489 a) s = 8 + 5 490 a) s = 4 +, p = 5 ; b) s = 5 6 6 + ), p =, p = + 6 6 ; b) s = 5 5, p = 5 5 49 a) s = a b, p = a b ; b) s = a b m, p = a b m 49 a) s = a b m, p = a ab m ; b) s = 5a 4, p = a a 6b b 49 s = b m, p = 4b 4bm m ) 494 s = a + b, p = 9 a + 7ab 4b ) 495 s = a + m, p = 4 m + 8am a )

Vietove formule Rastavljanje kvadratnog trinoma na činioce 6 496 s = mm + ) m +, p = 7a 6m 497 s =, p = 6a am + 4m 498 Data je jednačina x x 7 = 0, čija su rešenja x i x Ne rešavajući ovu jednačinu, odrediti numeričke vrednosti izraza: a) x + x ; b) x x ; c) 4x + x x + x x + 4x 499 Ako su x i x rešenja jednačine 5x x = 0, ne rešavajući je odrediti numeričke vrednosti izraza: a) x x x + x x x ; b) x + x x x + + x + x x x + + x x 500 Neka su x i x rešenja jednačine 6x 5x + = 0, ne rešavajući datu jednačinu formirati kvadratnu jednačinu po y, čija su rešenja ) y = x + x, y = x + x 50 Data je jednačina x + 5x 6 = 0 Ne rešavajući ovu jednačinu, formirati kvadratnu jednačinu po y, čija su rešenja y i y povezana sa rešenjima x i x date jednačine pomoću y = x + x, y = x + x 50 Ako su x i x rešenja kvadratne jednačine x x 7 = 0, napisati kvadratnu jednačinu po y čija su rešenja y = x + x, y = x x 50 Napisati kvadratnu jednačinu čija su rešenja četvrti stepeni rešenja jednačine x + px + q = 0 504 Rešenja x i x kvadratne jednačine zadovoljavaju uslove: a) x + x x x = 0, mx x x + x ) = m ; b) x + x + x x = m, x x mx + x ) = ; Napisati ovu kvadratnu jednačinu i odrediti za koje vrednosti parametra m ta jednačina ima realna rešenja

64 Kvadratna jednačina i kvadratna funkcija 505 Ne odred - ujući rešenja x i x date kvadratne jednačine po x, sastaviti kvadratnu jednačinu y + py + q = 0 po y, čija su rešenja y i y : a) x 5x = 0, y = x +, y = x + ; b) x 4x + = 0, y = x + x, y = x x ; c) 4x x + = 0, y = x x, y = x x ; d) x x + 5 = 0, y = x + x, y = x + x 506 Neka su x i x rešenja jednačine x + px + q = 0 Odrediti jednačinu az + bz + c = 0, čija su rešenja z = x + x, z = x + x 507 Neka su x i x koreni jednačine x p + )x + p = 0: a) odrediti jednačinu az + bz + c = 0, čiji su koreni z = x, z = x ; x x b) u tako dobijenoj jednačini odrediti parametar p tako da jedan koren te jednačine bude 4 ; c) za dobijenu vrednost parametra p naći odgovarajuće vrednosti x i x 508 Ako su x i x koreni jednačine x m+)x+m = 0 m realno): a) formirati kvadratnu jednačinu ay + by + c = 0 po y, čija su rešenja y = x, y = x ; b) u dobijenoj jednačini odrediti parametar m tako da jedno njeno rešenje bude dva puta veće od drugog; c) za tako nad - eno m odrediti odgovarajuće vrednosti x i x 509 Neka su x i x koreni jednačine x p + )x + p = 0: a) formirati kvadratnu jednačinu az +bz +c = 0, čiji su koreni x = x, z = x ; b) u dobijenoj jednačini odrediti parametar p tako da jedan njen koren bude četiri puta veći od drugog; c) za dobijenu vrednost parametra p odrediti odgovarajuće vrednosti x i x

Vietove formule Rastavljanje kvadratnog trinoma na činioce 65 50 Proveriti da li su brojevi x = 5 5, x = 5 + 5 + rešenja jednačine x + x = 0? 5 Ako je a + b + c = 0, odrediti korene jednačine ax + bx + c = 0 5 U jednačini x +mx+8 = 0, odrediti realnu vrednost broja m tako da je zbir recipročnih vrednosti rešenja jednak 4 5 U jednačini x 5x + n = 0, odrediti realan broj n tako da je zbir kvadrata rešenja jednak 54 U jednačini x sx+8 = 0, odrediti vrednost realnog broja s tako da je suma kvadrata rešenja jednaka 0 55 Data je kvadratna jednačina x k + )x + k + = 0, gde je x nepoznata a k realan parametar Odrediti parametar k tako da je suma kvadrata rešenja jednaka 6 56 U jednačini x m 4)x+m 6 = 0, odrediti realan broj m tako da je zbir kvadrata rešenja 57 Data je kvadratna jednačina x m )x+4 m = 0, odrediti realan parametar m iz uslova: a) da su rešenja realna i jednaka; b) da su rešenja suprotni brojevi; c) da su rešenja recipročna; d) da je jedno rešenje jednako nuli 58 Data je kvadratna jednačina m+)x m+)x+9 = 0 Odrediti realan broj m tako: a) da su rešenja realna i jednaka; b) da su rešenja suprotni brojevi; c) da su rešenja recipročna 59 Data je kvadratna jednačina 5x mx + m 4 = 0, odrediti realan broj m iz uslova: a) da su rešenja realna i jednaka; b) da su rešenja suprotni brojevi; c) jedno rešenje je nula; d) jedno rešenje je ; e) suma kvadrata rešenja jednaka je 5 50

66 Kvadratna jednačina i kvadratna funkcija 50 Data je kvadratna jednačina 4x a )x + a a = 0 Odrediti realan broj a tako da važi: a) rešenja realna i jednaka; b) rešenja suprotni brojevi; c) jedno rešenje je jednako nuli; d) jedno rešenje je 5 Ne rešavajući datu kvadratnu jednačinu, odrediti m tako da njena rešenja zadovoljavaju uslov: a) x +5x + m 4m + = 0, x x = ; b) m + )x mx + m = 0, x x = ; c) m )x 4m )x + m = 0, x = x ; d) mx m + )x + m 4 = 0, 4x + )4x + ) + = 0; e) m )x m )x + m = 0, x + x = 5 4 ; f) x mx m 5 = 0, x + x x x = 8; g) x mx + m + = 0, x + x = 6; h) m )x mx + m = 0, x + x = 0x x ; i) x + m )x + m = 0, x x + x x + 6 = 0; j) x x + m = 0, x + x = 7; k) mx m + )x + = 0, x x + x x = 4 5 Data je jednačina m )x m + )x + m + = 0 Odrediti parametar m tako da zbir kvadrata njenih rešenja bude jednak 5 5 U jednačini x m )x + m + = 0 odrediti parametar m tako da je zbir kubova rešenja date jednačine jednak zbiru rešenja 54 Neka su x i x rešenja jednačine ax +bx+c = 0 a 0) Izraziti u funkciji koeficijenata a, b, c vrednosti sledećih izraza: a) x + x ; b) + ; c) x + x ; d) x x x + x

Vietove formule Rastavljanje kvadratnog trinoma na činioce 67 55 Za svaku od sledećih jednačina naći vezu izmed - u njenih rešenja koja ne zavise od parametara: a) m )x 4mx m + = 0; b) mx m )x + m + = 0; c) m + )x m + )x + 4 m = 0; d) x a + )x + a + = 0; e) k )x k )x + k = 0; f) 8x 4p )x + pp 4) = 0 56 U jednačini k )x + k 5)x k + ) = 0 odrediti parametar k tako da je: a) x + x > ; b) x + x < ; c) x x + x x < 57 Data je jednačina x m+)x+m+ = 0 Odrediti sve vrednosti realnog parametra m za koje je tačna konjunkcija x + x > x + x < 5, gde su x i x rešenja date jednačine 58 Ako su α i β koreni jednačine x + ax + a + b = 0, dokazati da važi jednakost α + αβ + β + b = 0 59 U jednačinama x ax + b 4 = 0 i y by + a = 0, odrediti 4 realne brojeve a i b tako da koreni jedne od tih jednačina budu jednaki recipročnim vrednostima korena druge jednačine 50 U jednačini x m + )x + m = 0 odrediti realan parametar m tako da razlika kvadrata njenih korena bude 5 Za tako nad - eno m rešiti datu jednačinu 5 Za koje vrednosti parametra m jednačine: a) x m + )x + = 0 i 4x 9m )x + 6 = 0; b) x + mx m = 0 i x mx + m = 0, imaju zajedničko rešenje?