MEHANIKA FLUIDA. Dinamika viskoznog fluida

Σχετικά έγγραφα
MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

Elementi spektralne teorije matrica

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

IZVODI ZADACI (I deo)

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Kaskadna kompenzacija SAU

MEHANIKA FLUIDA. Zakon o količini kretanja

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

MEHANIKA FLUIDA. Prosti cevovodi

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:

Sistem sučeljnih sila

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Cenovnik spiro kanala i opreme - FON Inžinjering D.O.O.

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

OTPORNOST MATERIJALA

4 Numeričko diferenciranje

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

numeričkih deskriptivnih mera.

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

1.4 Tangenta i normala

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

( , 2. kolokvij)

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

OSNOVI AERODINAMIKE DRUMSKIH VOZILA

Analitička geometrija

Pismeni dio ispita iz Matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja u zavisnosti od parametra a:

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

18. listopada listopada / 13

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Trigonometrijske nejednačine

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

Teorija betonskih konstrukcija 1. Vežbe br. 4. GF Beograd

МЕХАНИКА НА ФЛУИДИ (AFI, TI, EE)

MEHANIKA FLUIDA. Složeni cevovodi

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

8 Funkcije više promenljivih

Funkcija prenosa. Funkcija prenosa se definiše kao količnik z transformacija odziva i pobude. Za LTI sistem: y n h k x n k.

Opšte KROVNI POKRIVAČI I

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

2.7 Primjene odredenih integrala

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Osnovne vrste naprezanja: Aksijalno naprezanje Smicanje Uvijanje. Savijanje. Izvijanje

1.1 Tangentna ravan i normala površi

PP-talasi sa torzijom

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

3525$&8158&1(',=$/,&(6$1$92-1,095(7(120

VISKOZNOST TEČNOSTI Viskoznost

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

Operacije s matricama

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Reverzibilni procesi

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

4 Izvodi i diferencijali

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Elektrodinamika 2. zadaci sa prošlih rokova, emineter.wordpress.com

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

1 Pojam funkcije. f(x)

Transcript:

MEHANIKA FLUIDA Dinamika viskonog fluida adatak Mineralno ulje, kinematičke viskonosti ν=,5-5 m /s i gustine ρ=87 kg/m ustaljeno struji u horiontalnom procepu širine =4mm Dimenije procepa su B=cm (upravno na ravan crteža) i L=m Ako je ralika pritisaka na ulanom i ilanom preseku p=, ar, odrediti maksimalnu i srednju rinu strujanja, kao i protok ulja Uticaj očnih idova procepa (paralelnih sa ravni crteža) anemariti Najpre napišemo Navije-Stoksove jednačine a nestišljiv fluid u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu i jednačinu kontinuiteta: p v v v + v + vy + v = X +ν + + t ρ y y y y p vy vy v y + v + vy + v = Y +ν + + t ρ y p v v v + v + vy + v = Z +ν + + t ρ y + + = Uslovi stujanja (uprošćenja): - stacionarno strujanje: =, χ - fiička veličina strujanja ; t - ravansko strujanje: v =, = ; - strujanje se odvija pretežno u pravcu ose, v= v ( vy = ) U U U - strujanje u polju emljine teže: X =, Y =, Z= I jednačine kontinuiteta doija se: = Prethodni sistem jednačina svodi se na olik: p U v v =ν ( p ρ U) =ν ρ ρ p U = ( p ρ U) = ρ ρ p U = ( p ρ U) = ρ ρ

Uvedimo generalisani pritisak iraom: Ρ = p ρ U Tada prethodni sistem jednačina postaje: P v =η P = P P ( y ) P=P( ) P = P P ( ) P v dp d v Onda se sistem svodi na jednačinu: =η =η = k, k=const d dy Konstantu k trea odrediti na osnosu adatih vrednosti dp d v k Prethodna jednačina ekvivalentana je sa dve sledeće: = k i = d dy η I prve se doija: P= k+ C Korišćenjem graničnih uslova: - a =, P= p+ gρ y (U = gy) - a =L, P= p p+ gρ y p+ gρ y = C p kpa p = kl k= = 8 p p+ gρ y = kl+ C L m Sada integralimo drugu jednačinu i doijamo: dv k y C v= k y C y C dy = η + η + + Koristimo granične uslove a rinu: k = + C + C η - a y=±, v= + k = C + C η k k C = C= η η, k k k C= C = = η η η k k k Raspored rine je: v= y + v= ( y ) η η η k p Brina je maksimalna a y= i inosi: v ma = = =,65 m/s η Lη Zapreminski protok je: p dq = vbdy ( ) B p Q= vbdy= B vdy= B y dy= ( y ) dy ηl ηl B p Q = =,98 l/s ηl Q Q Srednja rina strujanja je: v sr = = =,4 m/s A B

adatak Imeđu dveju paralelnih ploča, koje su na međusonom rastojanju h i nagnute pod uglom α u odnosu na horiontalnu ravan struji fluid dinamičke viskonosti η Ako je strujanje ustaljeno, a protok po jedinici širine ploča Q, odrediti maksimalnu vrednost inteniteta vtloga Ploče se nalae u polju emljine teže, a gornja ploča se kreće konstantnom rinom v (vsl) Najpre napišemo Navije-Stoksove jednačine a nestišljiv fluid u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu i jednačinu kontinuiteta: p v v v + v + vy + v = X +ν + + t ρ y y y y p vy vy v y + v + vy + v = Y +ν + + t ρ y p v v v + v + vy + v = Z +ν + + t ρ y + + = Karakteristike stujanja: - stacionarno strujanje: =, χ - fiička veličina strujanja ; t - ravansko strujanje: v =, = ; - strujanje se odvija pretežno u pravcu ose, v= v ( vy = ) U U U - strujanje u polju emljine teže: X =, Y =, Z= I jednačine kontinuiteta doija se: = Prethodni sistem jednačina svodi se na olik: p U v v =ν ( p ρ U) =ν ρ ρ p U = ( p ρ U) = ρ ρ p U = ( p ρ U) = ρ ρ

Uvedimo generalisani pritisak iraom: Ρ = p ρ U Tada prethodni sistem jednačina postaje: P v =η P = P P ( y ) P=P ( ) P = P P ( ) P v dp d v Onda se sistem svodi na jednačinu: =η =η = k, k=const d dy Konstantu k trea odrediti na osnosu adatih vrednosti Prethodna jednačina ekvivalentana je sa dve sledeće: dp k P= k+c d = i dv = k dv = k y + C dy η dy η Koristimo granične uslove a rinu: - a y =, v= C= - a y = h, v= v v= k h + Ch η Brina je: k k v η η h v= y + h + y k + + η v= y Cy C k v + η h C= h Polaeći od iraa a protok po jedinici širine: dq = vda = vdy h k k v k k v h vh kh Q= y + h+ y dy= h + h + = + η η h 6η 4η h η η vh k = Q h Ira a vrtlog ω je: i j k k k v ω= rotv= = k = y h k η η h v Zapaža se da će intenitet vrtloga iti maksimalan a y = i tada je: k v h η vh v 6Q v v 6Q v Q ω = h+ = Q v ma + = + = = η h η h h h h h h h h h Dakle, ω == Q ma v h h

adatak Ravna ploča kreće se konstantnom rinom u paralelno nepokretnoj horiontalnoj ravni i gradi sa njom aor koji je ispunjen dvema tečnostima dinamičkih viskonosti η i η Deljine slojeva su i (vsl) Odrediti jednačinu rasporeda rine u aoru Najpre napišemo Navije-Stoksove jednačine a nestišljiv fluid u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu i jednačinu kontinuiteta: p v v v + v + vy + v = X +ν + + t ρi y y y y p vy vy v y + v + vy + v = Y +ν + + t ρi y p v v v + v + vy + v = Z +ν + + t ρi y + + = Karakteristike stujanja: - stacionarno strujanje: =, χ - fiička veličina strujanja ; t - ravansko strujanje: v =, = ; - strujanje se odvija pretežno u pravcu ose, v= v ( vy = ) U U U - strujanje u polju emljine teže: F = gradu, tj X =, Y =, Z= I jednačine kontinuiteta doija se: = Uvedimo generalisani pritisak iraom: Ρ i = p ρ iu Tada prethodni sistem jednačina postaje: Pi vi Pi Pi =η i, =, = I poslednjih jednačina, ako je ploča jedini urok kretanja, imamo da je: dvi dy = v=cy + C v=cy + C4 I graničnih uslova imamo: - a y=, v= C4 = - a y= +, v=u C( + ) + C = u () - a y=, v( ) =v( ) C + C = C () - a y=, τ= τ η =η η C =η C () y= y=

η I () C = C (): C C C η η + = C = C () η η η η η u C( + ) + C = u C + = u C η η = η η + η C = η η u η + η η ηu C = C = η η + η Jednačina rasporeda rine u aoru data je iraom: ηu y, a y η + η v(y) = ηu η η y + u, a y + η + η η + η 4 Zadatak Ulje a podmaivanje ložišta dovod se i spremišta do tarućih površina pomoću eskonačnog kaiša pravougaonog poprečnog preseka Ako je rina kaiša v, deljina sloja ulja, odrediti dinamičku viskonost ulja ako je njegova gustina ρ Napomena: Na spoljašnjoj granici sloja rina ulja jednaka je nuli, Napišimo prvo Navije-Stoksovu jednačinu i jednačinu kontinuiteta a stacionarno strujanje p v v v v + vy + v = X +ν + + ρ y y y p vy vy v y v + vy + v = Y +ν + + ρ y p v v v v + vy + v = Z +ν + + ρ y + + = Karakteristike stujanja: - ravansko strujanje: v =, = ; - strujanje se odvija pretežno u pravcu ose, v= v ( vy = ) - u jednačinama anemarujemo uticaj sile emljine teže;

I jednačine kontinuiteta doija se: = ( ) ( ) ( ) ( ) v v v v v v( y) = I druge jednačine je: p p p y = p p p= p( ), pa se prva jednačina svodi na jednačinu: p v p v v k =ν k = i η = k = y+ C ρ η k v= y + Cy+ C η Konstante C i C određujemo korišćenjem graničnih uslova: a y=, v=v C=v i a y=, v= k k v = + C+ C C = +, η η pa je: k k v v= y + y+ v η η Da odredimo konstantu k, posmatramo ravnotežu fluidnog delića: gρ Bd = Bdp dp g k d = ρ= k = gρ Onda raspored rine u sloju ima olik: gρ gρ v v= y + y+ v η η Pođimo sada od iraa a protok: gρ gρ v gρ gρ v Q = B vdy = B y + y + v dy = B + + v = Bv η η η η vsr = v, jer je u pitanju paraolični raspored tako da poslednja jednačina doija olik: gρ gρ v v = + + v 6 η η gρ gρ gρ + = v v = v 6 η 4 η η 6 Za paraolički raspored je: Q= v = vsr vsr = v sr gρ η= v

5 adatak Tečnost gustine ρ=9 kg/m i dinamičke viskonosti η=,6 kg/ms, struji kro horiontalni procep unutrašnjeg poluprečnika a=mm, spoljašnjeg poluprečnika =6mm i dužine L=6,4m usled ralike pritisaka p=,8 ar Naći ira a raspored rine, protok, maksimalnu i srednju rinu Napišimo prvo Navije-Stoksovu jednačinu i jednačinu kontinuiteta u polarno-cilindričnom koordinatnom sistemu a nestišljiv fluid: r r vθ r r p vr r vr vr θ v r + vr + + v vθ = Fr +ν + + + t r r θ r ρ r r r r r r θ r θ v v v p v v v v t r r θ r ρ r θ r r r r r θ r θ vθ p v v v + vr + + v = F +ν + + + t r r θ ρ r r r r θ r vr θ + + + = r r θ θ θ θ θ θ r θ θ θ θ θ r θ + vr + + v + = Fθ +ν + + + + Karakteristike stujanja: - stacionarno strujanje: =, χ - fiička veličina strujanja ; t - ravansko strujanje: v = θ, = θ ; - strujanje se odvija pretežno u pravcu ose, v= v - anemarimo apreminske sile Sistem jednačina se svodi na: p = ρ r p v =ν +, p p( r ), v v( ), pa je p= p( ), v=v( r) ρ r r r = Onda parcijalna diferencijalna jednačina postaje oična diferencijalna jednačina: dp d v dv = η + k = d dr r dr Integracijom pritiska doija se: p= k+ C Za =, p=p ; a =L, p=p + p p p = C, p+ p= kl+ p k = =,85 kpa/m L

dv dv k d dv k Integracijom jednačine + + = r + r =, dr r dr η dr dr η doija se: k v= r + Clnr+ C 4η Konstante se određuju i graničnih uslova: k a k a r=a, v= i r=, v= C =, C = a lna 4 a + 4 a η ln η ln Konačno se doija da je: k a r v= r a + ln 4 a η ln a / I iraa dv dr = a rm = 7,6 mm a =, ln pa je maksimalna rina: vma = v( rm ) =,6 m/s Protok je: a π p( a ) ( ) a ( Q v r dr a ln a ) = π =,8 l/s a + r = 8ηLln Srednja rina je: v Q = = m/s π ( a ) sr