VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju, mi ćemo ih obeležiti sa e, e, e,... a vi naravno radite kako kaže vaš profesor. Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } E e e e e n primer. Odrediti skup svih elementarnih događaja za sledeće opite: a) bacanje jednog dinara b) bacanje dva dinara c) bacanje tri dinara d) bacanje jedne kocke e) bacanje dve kocke f) bacanje tri kocke Rešenja: a) bacanje jednog dinara Naravno, prilikom bacanja dinara može pasti pismo ili može pasti grb. ko sa e obeležimo pojavu pisma na gornjoj strani novčića a sa e obeležimo pojavu grba onda je skup svih elementarnih događaja ovog opita E= { e, e}, a mislimo da je bolje ovo obeležiti sa E= {, }. b) bacanje dva dinara Na gornjoj strani novčića se može pojaviti: a je E= {,,, }, odnosno ima ishoda ovog opita.
c) bacanje tri dinara ko bacamo tri novčića, broj ishoda je 8. Da vidimo: E= {,,,,,,, } d) bacanje jedne kocke Većina nas je igrala ''ne ljuti se čoveče'' ili neku sličnu igricu sa jednom kockicom... Na gornjoj strani kocke može pasti jedan od brojeva : pa je skup svih elementarnih događaja : E= {,,,,,}. Jasno je da ih ima. reko formula iz kombinatorike bi ovo izračunali kao varijacije sa ponavljanjem: V = = e) bacanje dve kocke ri bacanju dve kockice, broj mogućih ishoda je veći: V = = Naš savet je da uvek kad je to moguće, odnosno kad ne zahteva previše pisanja, ispišete sve mogućnosti opita: E= {,,,...,}
f) bacanje tri kocke roj svih elementarnih događaja je V = =. E ovde bi već bilo preterano da pišemo redom sve moguće ishode. E= {,,,...,} itno je da znamo koliko ih ukupno ima. E sad, u zadacima mi moramo obavezno odrediti skup svih elementarnih događaja, a oni od nas traže da nađemo verovatnoću pojave jednog od njih ( ili više njih...). Jedan takav događaj se najčešće obeležava slovima latinice:,,... Slučajan događaj je podskup skupa E elementarnih događaja. Mi moramo precizno, navodnicima da opišemo taj događaj =.. ko smo sigurni da neki opit izaziva pojavu događaja, onda za događaj kažemo da je pouzdan. ko se događaj sigurno ne realizuje datim opitom, onda se on naziva nemoguć. ( obeležava se sa ) Na primer, kad bacamo jednu kockicu, sigurni smo da će se na gornjoj strani pojaviti jedan od brojeva,,,,, a ako obeležimo u tom opitu da je događaj : pojavio se broj 7 na gornjoj strani kockice, sigurni smo da je to nemoguć događaj. ko posmatramo dva događaja koji se mogu dogoditi u istom opitu, onda oni mogu biti zavisni i nezavisni. Na primer, neka je opit bacanje dve kockice. osmatramo tri događaja: Događaj : pao je zbir 8 Događaj : pao je zbir 7 Događaj : pala je bar jedna šestica Ispitati da li su ovi događaji međusobno zavisni ili ne. Ovde je najbolje ispisati sve mogućnosti... www.matematiranje.com
: pao je zbir 8 : pao je zbir 7 : pala je bar jedna šestica Vidimo da su događaji i nezavisni. Međutim, ako posmatramo događaje i, vidimo da su oni zavisni, jer se oba dešavaju kad padne (,) i (,). Takođe su i i zavisni, jer kod oba događaja imamo (,) i (,). Zbir ( unija)dva događaja i naziva se događaj + (ili ) koji se sastoji u tome da se realizuje bilo koji od njih, to jest bilo, bilo, bilo i. roizvod ( presek) dva događaja i se obeležava sa ( ili ) i predstavlja događaj koji se sastoji u tome da se događaji i pojavljuju zajedno. ko se u vršenju jednog opita realizacijom događaja uvek realizuje i događaj, tada kažemo da događaj povlači događaj i tada je. Suprotan događaj događaja se obeležava sa. Događaji,,..., n obrazuju potpun sistem događaja ako je... n =Ω i i dva su isključivi događaji. Verovatnoća slučajnog događaja se obeležava sa (). ravila:. 0 ( ) =, to jest dva po Znači, verovatnoća se meri od 0 do. Nula je verovatnoća nemogućeg događaja a jedinica je verovatnoća sigurnog događaja. j
. ( ) + ( ) = Kad saberemo verovatnoću nekog događaja i verovatnoću njemu suprotnog događaja, dobijamo siguran događaj, odnosno, nešto il će se desi il neće... Često je u zadacima lakše izračunati verovatnoću suprotnog događaja, pa je onda ( ) = ( ). ko je onda je ( ) ( ) primer. Data su dva događaja i. omoću simboličkih operacija sa datim događajima odrediti sledeće događaje: i) realizovan je događaj a nije realizovan događaj ii) realizovan je događaj a nije realizovan događaj iii) realizovana su oba događaja Rešenja: ogledajmo najpre sledeću sliku: i) realizovan je događaj a nije realizovan događaj To ćemo obeležiti sa, to jest, realizovan je a nije. ii) realizovan je događaj a nije realizovan događaj Ovo možemo obeležiti sa iii) realizovana su oba događaja Ovde je rešenje presek, odnosno to je događaj
primer. Data su tri događaja, i. omoću simboličkih operacija sa datim događajima odrediti sledeće događaje: a) realizovan je događaj, a nisu realizovani događaji i b) realizovani su događaji i, a događaj nije c) realizovana su sva tri događaja d) realizovan je jedan i samo jedan od ova tri događaja Rešenja: ogledajmo opet sliku gde su događaji predstavljeni pomoću skupova: Da odgovorimo sada na postavljena pitanja: a) realizovan je događaj, a nisu realizovani događaji i Rešenje je:
b) realizovani su događaji i, a događaj nije Rešenje je: ili možemo zapisati + + ( vidi sliku) c) realizovana su sva tri događaja Rešenje je: d) realizovan je jedan i samo jedan od ova tri događaja Rešenje je: + + www.matematiranje.com 7
omenimo još neka pravila: ko je proizvoljan događaj, tada je : i) = v) + = ii) = vi) + = iii) E = vii) + = E iv) = viii) + E= E ko su, i proizvoljni događaji, tada je: a) + = + b) + ( + ) = ( + ) + = + + c) ( ) = ( ) = d) ( + ) = + 8