Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Σχετικά έγγραφα
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Elementi spektralne teorije matrica

IZVODI ZADACI (I deo)

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

STATISTIKA. Miroslav M. Risti 2008/2009. Katedra za Matematiku Prirodno-matematiqki fakultet Univerzitet u Nixu

Operacije s matricama

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

2. OSNOVNI POJMOVI TEORIJE VJEROJATNOSTI

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

Trigonometrijske nejednačine

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

18. listopada listopada / 13

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

IZVODI ZADACI (I deo)

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

Teorijske osnove informatike 1

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

Statistika i osnovna mjerenja

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Rešenje predhodnog primera: Neka je A događaj izvlačenja crne kuglice, a B verovatnoća izvlačenja bele kuglice iz prvog izvlačenja.

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Računarska grafika. Rasterizacija linije

5. Karakteristične funkcije

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

Deljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

7 Algebarske jednadžbe

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

radni nerecenzirani materijal za predavanja

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

numeričkih deskriptivnih mera.

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

VEROVATNO A I STATISTIKA A - TEST 1 9. NOVEMBAR 2013.

Kaskadna kompenzacija SAU

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

1 Promjena baze vektora

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe,

Zadaci iz Osnova matematike

ELEMENTARNA MATEMATIKA 1

Računarska grafika. Rasterizacija linije

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

Uvod u teoriju brojeva

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Granične vrednosti realnih nizova

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

Verovatnoće i statistike

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

Transcript:

VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju, mi ćemo ih obeležiti sa e, e, e,... a vi naravno radite kako kaže vaš profesor. Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } E e e e e n primer. Odrediti skup svih elementarnih događaja za sledeće opite: a) bacanje jednog dinara b) bacanje dva dinara c) bacanje tri dinara d) bacanje jedne kocke e) bacanje dve kocke f) bacanje tri kocke Rešenja: a) bacanje jednog dinara Naravno, prilikom bacanja dinara može pasti pismo ili može pasti grb. ko sa e obeležimo pojavu pisma na gornjoj strani novčića a sa e obeležimo pojavu grba onda je skup svih elementarnih događaja ovog opita E= { e, e}, a mislimo da je bolje ovo obeležiti sa E= {, }. b) bacanje dva dinara Na gornjoj strani novčića se može pojaviti: a je E= {,,, }, odnosno ima ishoda ovog opita.

c) bacanje tri dinara ko bacamo tri novčića, broj ishoda je 8. Da vidimo: E= {,,,,,,, } d) bacanje jedne kocke Većina nas je igrala ''ne ljuti se čoveče'' ili neku sličnu igricu sa jednom kockicom... Na gornjoj strani kocke može pasti jedan od brojeva : pa je skup svih elementarnih događaja : E= {,,,,,}. Jasno je da ih ima. reko formula iz kombinatorike bi ovo izračunali kao varijacije sa ponavljanjem: V = = e) bacanje dve kocke ri bacanju dve kockice, broj mogućih ishoda je veći: V = = Naš savet je da uvek kad je to moguće, odnosno kad ne zahteva previše pisanja, ispišete sve mogućnosti opita: E= {,,,...,}

f) bacanje tri kocke roj svih elementarnih događaja je V = =. E ovde bi već bilo preterano da pišemo redom sve moguće ishode. E= {,,,...,} itno je da znamo koliko ih ukupno ima. E sad, u zadacima mi moramo obavezno odrediti skup svih elementarnih događaja, a oni od nas traže da nađemo verovatnoću pojave jednog od njih ( ili više njih...). Jedan takav događaj se najčešće obeležava slovima latinice:,,... Slučajan događaj je podskup skupa E elementarnih događaja. Mi moramo precizno, navodnicima da opišemo taj događaj =.. ko smo sigurni da neki opit izaziva pojavu događaja, onda za događaj kažemo da je pouzdan. ko se događaj sigurno ne realizuje datim opitom, onda se on naziva nemoguć. ( obeležava se sa ) Na primer, kad bacamo jednu kockicu, sigurni smo da će se na gornjoj strani pojaviti jedan od brojeva,,,,, a ako obeležimo u tom opitu da je događaj : pojavio se broj 7 na gornjoj strani kockice, sigurni smo da je to nemoguć događaj. ko posmatramo dva događaja koji se mogu dogoditi u istom opitu, onda oni mogu biti zavisni i nezavisni. Na primer, neka je opit bacanje dve kockice. osmatramo tri događaja: Događaj : pao je zbir 8 Događaj : pao je zbir 7 Događaj : pala je bar jedna šestica Ispitati da li su ovi događaji međusobno zavisni ili ne. Ovde je najbolje ispisati sve mogućnosti... www.matematiranje.com

: pao je zbir 8 : pao je zbir 7 : pala je bar jedna šestica Vidimo da su događaji i nezavisni. Međutim, ako posmatramo događaje i, vidimo da su oni zavisni, jer se oba dešavaju kad padne (,) i (,). Takođe su i i zavisni, jer kod oba događaja imamo (,) i (,). Zbir ( unija)dva događaja i naziva se događaj + (ili ) koji se sastoji u tome da se realizuje bilo koji od njih, to jest bilo, bilo, bilo i. roizvod ( presek) dva događaja i se obeležava sa ( ili ) i predstavlja događaj koji se sastoji u tome da se događaji i pojavljuju zajedno. ko se u vršenju jednog opita realizacijom događaja uvek realizuje i događaj, tada kažemo da događaj povlači događaj i tada je. Suprotan događaj događaja se obeležava sa. Događaji,,..., n obrazuju potpun sistem događaja ako je... n =Ω i i dva su isključivi događaji. Verovatnoća slučajnog događaja se obeležava sa (). ravila:. 0 ( ) =, to jest dva po Znači, verovatnoća se meri od 0 do. Nula je verovatnoća nemogućeg događaja a jedinica je verovatnoća sigurnog događaja. j

. ( ) + ( ) = Kad saberemo verovatnoću nekog događaja i verovatnoću njemu suprotnog događaja, dobijamo siguran događaj, odnosno, nešto il će se desi il neće... Često je u zadacima lakše izračunati verovatnoću suprotnog događaja, pa je onda ( ) = ( ). ko je onda je ( ) ( ) primer. Data su dva događaja i. omoću simboličkih operacija sa datim događajima odrediti sledeće događaje: i) realizovan je događaj a nije realizovan događaj ii) realizovan je događaj a nije realizovan događaj iii) realizovana su oba događaja Rešenja: ogledajmo najpre sledeću sliku: i) realizovan je događaj a nije realizovan događaj To ćemo obeležiti sa, to jest, realizovan je a nije. ii) realizovan je događaj a nije realizovan događaj Ovo možemo obeležiti sa iii) realizovana su oba događaja Ovde je rešenje presek, odnosno to je događaj

primer. Data su tri događaja, i. omoću simboličkih operacija sa datim događajima odrediti sledeće događaje: a) realizovan je događaj, a nisu realizovani događaji i b) realizovani su događaji i, a događaj nije c) realizovana su sva tri događaja d) realizovan je jedan i samo jedan od ova tri događaja Rešenja: ogledajmo opet sliku gde su događaji predstavljeni pomoću skupova: Da odgovorimo sada na postavljena pitanja: a) realizovan je događaj, a nisu realizovani događaji i Rešenje je:

b) realizovani su događaji i, a događaj nije Rešenje je: ili možemo zapisati + + ( vidi sliku) c) realizovana su sva tri događaja Rešenje je: d) realizovan je jedan i samo jedan od ova tri događaja Rešenje je: + + www.matematiranje.com 7

omenimo još neka pravila: ko je proizvoljan događaj, tada je : i) = v) + = ii) = vi) + = iii) E = vii) + = E iv) = viii) + E= E ko su, i proizvoljni događaji, tada je: a) + = + b) + ( + ) = ( + ) + = + + c) ( ) = ( ) = d) ( + ) = + 8