BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15

Sadržaj 1 Međuspratne konstrukcije nepravougaonog oblika 2 Ploče oslonjene na stubove

Međuspratne konstrukcije kružnog oblika Kružne ili prstenaste ploče su relativno čest noseći element u građevinskim konstrukcijama Kružne ploče, a posebno ploče u obliku dela kruga (npr. polukruga), mogu da budu delovi međuspratne konstrukcije Najčešće se kružne ploče javljaju kao krovne i temeljne ploče kod cilindričnih rezervoara, ploče u sklopu silosa, temljne ploče kod dimnjaka, TV tornjeva i sl. Kružne ploče sa većim centralnim otvorom zovu se prstenaste ploče

Primeri kružnih i prstenastih ploča kao elemenata građevinskih konstrukcija

Statički sistemi kružnih i prstenastih ploča

Međuspratne konstrukcije kružnog oblika Diferencijalna jednačina savijanja pravougaonih ploča, u dekartovim koordinatama, data je sa w = q D odn. 4 w x 4 + 2 4 w x 2 y 2 + 4 w q(x, y) = y4 D (1) gde je D krutost na savijanje ploče: D = E J (1 ν 2 ) = E t 3 12(1 ν 2 ) (2)

Međuspratne konstrukcije kružnog oblika Sa je označen Laplasov operator (u dekartovim koordinatama (x, y)): (...) = 2 (...) x 2 + 2 (...) y 2 (3) Kod ploča kružnog oblika dekartove koordinate nisu pogodne Ako se umesto dekartovih koordinata (x, y) uvedu polarne koordinate (r, ϕ), za radijalan i za tangencijalni pravac, Laplasov operator se dobija u obliku (...) = 2 (...) r 2 + 1 r (...) r + 1 r 2 2 (...) ϕ 2 (4)

Međuspratne konstrukcije kružnog oblika - jednačina savijanja Diferencijalna jednačina savijanja kružnih ploča, u polarnim koordinatama, data je sa w = q(r, ϕ) D (5) Napisano u razvijenom obliku, dobija se ( 2 r 2 + 1 r r + 1 2 ) ( 2 w r 2 ϕ 2 r 2 + 1 w r r + 1 2 ) w r 2 ϕ 2 = q D (6) gde je q = q(r, ϕ) raspodeljeno opterećenje upravno na ploču

Međuspratne konstrukcije kružnog oblika - sile u preseku Momenti savijanja, kao i torzioni momenat, izražavaju se preko ugba w = w(r, ϕ) u obliku [ 2 ( w 1 M r = D r 2 + ν 2 w r 2 ϕ 2 + 1 )] w r r [ 1 2 w M ϕ = D r 2 ϕ 2 + 1 ] w r r + ν 2 w r 2 M rϕ = M ϕr = (1 ν) D ( ) 1 w r r ϕ (7)

Međuspratne konstrukcije kružnog oblika - sile u preseku Transverzalne sile Q r i Q ϕ izražavaju se preko ugba w = w(r, ϕ) u obliku Q r = D ( w) r Q ϕ = D 1 ( w) r ϕ (8) pri čemu je w = 2 w r 2 + 1 w r r + 1 2 w r 2 ϕ 2

Izdvojen element dr dϕ kružne ploče i sile u preseku

Međuspratne konstrukcije kružnog oblika - rotaciona simetrija Ako je opterećenje kružne ploče ravnomerno raspoređeno i ako su uslovi oslanjanja rotaciono - simetrični, onda postoji rotaciona simetrija problema savijanja Ugibi ploče w(r, ϕ) u takvom slučaju postaju nezavisni od koordinate ϕ Laplasov operator u tom slučaju postaje = d2 dr 2 + 1 r d dr = 1 r d dr ( r d dr ) (9)

- načini oslanjanja (a) Kontinualno oslanjanje kružne ploče na zid (AB ili od opeke) (b) Tačkasto oslanjanje na sistem stubova posredstvom AB prstenaste grede

Međuspratne konstrukcije kružnog oblika - rotaciona simetrija Diferencijalna jednačina savijanja (6) u slučaju rotacione simetrije glasi d 4 w dr 4 + 2 d 3 w r dr 3 1 d 2 w r 2 dr 2 + 1 dw r 3 dr = q(r) D Opšte rešenje dif. jednačine (10) dato je sa ( ) ( ) r r w(r) = w 0 + c 1 + c 2 r 2 + c 3 r 2 ln + c 4 ln r 0 r 0 (10) (11) gde je w 0 (r) partikularni integral nehomogene jednačine savijanja (10), dok su c i (i = 1,..., 4) integracione konstante koje se određuju iz graničnih uslova

Međuspratne konstrukcije kružnog oblika - rotaciona simetrija Partikularan integral može da se odredi ako se jedn. (10) prikaže u razdvojenom obliku M = q w = M D (12) Prva od jednačina (12) može da se napiv se u obliku ( 1 d r dm ) ( d = q odn. r dm ) = q r r dr dr dr dr Integracijom se dobija M = dr r q(r) rdr

Međuspratne konstrukcije kružnog oblika - rotaciona simetrija Sa M obeležen je M momentni zbir M = M x + M y 1 + ν tako da M može da se odredi na osnovu datog opterećenja q(r) Dvostrukom integracijom druge od jedn. (12) dobija se partikularni integral w 0 (r) u obliku w 0 (r) = 1 dr M r dr (13) D r

Međuspratne konstrukcije kružnog oblika - rotaciona simetrija Za jednako podeljeno opterećenje q = const dobija se opšti integral nehomogene jednačine u obliku w(r) = q r4 64 D + c 1 + c 2 r 2 (14) Za slobodno oslonjenu kružnu ploču koja je opterećenja ravnomernim opterećenjem q = const integracione konstante određuju se iz uslova w r=a = 0 M r r=a = dw dr 2 + ν dw r dr = 0

Međuspratne konstrukcije kružnog oblika - rotaciona simetrija Konačno rešenje, za slobodno oslonjenu kružnu ploču poluprečnika a, opterećenu sa q = const i slobodno-oslonjenu po obimu, dobija se u obliku w(r) = q 64 D ( 5 + ν 1 + ν a4 2 3 + ν 1 + ν a2 r 2 + r 4 Najveći ugib je u centru ploče r = 0: ) (15) w max = 5 + ν 1 + ν q a 4 64 D (16)

Međuspratne konstrukcije kružnog oblika - rotaciona simetrija Momenti savijanja u radijalnom i tangencijalnom pravcu dobijaju se u obliku M r = (3 + ν) q 16 (a2 r 2 ) M ϕ = q 16 [(3 + ν) a2 (1 + 3ν) r 2 ] Maksimalna vrednost oba momenta je u središtu ploče i iznosi M r,max = M ϕ,max = M max = (3 + ν) q a2 16

Kružna slobodno oslonjena ploča Kružna ploča slobodno oslonjena po obimu, izložena ravnomernom opterećenju q = const

Međuspratne konstrukcije kružnog oblika - rotaciona simetrija Za kružnu ploču koja je potpuno uklještena po svom obimu r = a granični uslovi su dati sa w(r) r=a = 0 w r r=a = 0 Integracione konstante u opštem integralu nehomogene jednačine (14) određuju se iz graničnih uslova, pa se dobija konačno rešenje za ugib uklještene kružne ploče u obliku: w(r) = q 64 D (a2 r 2 ) 2 (17)

Međuspratne konstrukcije kružnog oblika - rotaciona simetrija Najveći ugib je u sredini ploče i iznosi w max = q a4 64 D (18) Momenti savijanja u radijalnom i tangencijalnom pravcu, za uklještenu ploču, dobijaju se u obliku M r = q 16 [(1 + ν) a2 (3 + ν)r 2 ) M ϕ = q 16 [(1 + ν) a2 (1 + 3ν) r 2 ]

Međuspratne konstrukcije kružnog oblika - rotaciona simetrija Za uklještenu ivicu r = a dobija se M r = q a2 8 M ϕ = ν M r Maksimalna vrednost oba momenta je u središtu ploče i iznosi M r,max = M ϕ,max = M max = (1 + ν) q a2 16

Kružna ravnomerno opterećena uklještena ploča

Međuspratne konstrukcije kružnog oblika - rotaciona simetrija Kao što može da se vidi, ako se porede dve iste kružne ploče poluprečnika a, opterećene sa ravnomernim opterećenjem q = const, pri čemu je jedna slobodno oslonjena, a druga uklještena, odnosi maksimalnih ugiba w s i w u iznose: α = ws w u = 5 + ν 1 + ν Ako se posmatraju granične vrednosti Poisson-ovog koeficijenta ν, dobija se - za ν = 0.0... α = 5 - za ν = 0.2... α = 4.33

Međuspratne konstrukcije kružnog oblika - rotaciona simetrija Slično, odnosi maksimalnih momenata svijanja u središtu slobodno oslonjene i uklještene ploče M s i M u iznose: β = M s M u = 3 + ν 1 + ν Ako se posmatraju granične vrednosti Poisson-ovog koeficijenta ν, dobija se - za ν = 0.0... β = 3 - za ν = 0.2... β = 2.67 Naravno, reč je o različitoj radijalnoj raspodeli momenata savijanja: ukupan zbir negativnog M r u uklještenju i maksimalnog M r u sredini za uklještenu ploču jednak je maksimalnom radijalnom momentu M r u sredini za slobodno oslonjenu ploču: 1/8 + 1/16 = 3/16

Međuspratne konstrukcije kružnog oblika - dimenzionisanje Dimenzionisanje kružnih ploča vrši se kao dimenzionisanje pravougaonih preseka na čisto savijanje, dimenzija b/d p, gde je b = 100 cm, dok je d p debljina ploče Dimenzionisanje se vrši za radijalni i transverzalni pravac prema izračunatim momentima savijanja M r i M ϕ Pri tome su statičke visine za radijalni i transverzalni (ili tangencijalni) pravac međusobno različiti: h r h ϕ Za veći od momenata savijanja treba da se usvoji veća statička visina

Statički uticaji i dimenzionisanje kružnih ploča

Međuspratne konstrukcije kružnog oblika - armiranje Armatura kod kružnih i prstenastih ploča raspoređuje se u radijalnom i transverzalnom pravcu Kod prstenastih ploča radijalna armatura se prekida kod unutrašnjeg otvora (ako nije oslonac duž otvora)

Međuspratne konstrukcije kružnog oblika - armiranje Šipke u radijalnom pravcu ne mogu da se vode do centra ploče jer bi se ukrštale u jednoj tački Moguće je da se u centralnom delu ploče usvoji posebna ortogonalno raspoređena armatura (Varijanta I), a moguće je i da se radijalna armatura posebno oblikuje (Varijanta II)

Međuspratne konstrukcije kružnog oblika - armiranje Kružne ploče manjeg raspona D mogu da se proračunaju kao kvadratne ploče stranice a 0.9 D i da se armiraju ortogonalnom armaturom

Međuspratne konstrukcije kružnog oblika - armiranje Relativno česte su prstenaste ploče koje su oslonjene duž unutrašnje ivice Linijski oslonac duž unutrašnje ivice može da bude slobodno oslanjanje ili uklještenje Ako je u pitanju prstenasta konzolna ploča, sa unutrašnje strane uklještena je u AB prstenastu gredu, a spoljašnja ivica je slobodna Armiraju se radijalnom i transverzalnom armaturom, pri čemu je kod konzolne prstenaste ploče radijalna armatura uklještena (usidrena) u AB prsten

Međuspratne konstrukcije kružnog oblika - armiranje

Međuspratne konstrukcije nepravougaonog oblika javljaju se u međuspartnim konstrukcijama kada se oslonačke grede, na kojima leže ploče, seku pod nekim uglom (obično 60 ) Trougaone ploče su relativno ekonomične sa stanovišta momenata savijanja i raspona U konstrukcijama se trougaone i trapezne ploče javljaju kao izolovane (samostalne), ali i kao kontinualne ploče

Međuspratne konstrukcije nepravougaonog oblika - dispozicije

Međuspratne konstrukcije nepravougaonog oblika Konturni uslovi kod trougaonih ploča mogu da budu slobodno oslanjanje, kruto ili elastično uklještenje duž pojedinih ivica Ne postoje analitička rešenja za trougaone ploče - samo numerička Samostalne trougaone ploča armiraju se armaturom raspoređenom u dva ortogonalna pravca Za slobodno oslonjene ivice armatura se postavlja samo u donjoj zoni, ali se duž ivica deo armature (svaka druga šipka) prevodi u gornju zonu (kao i kod pravougaonih slobodno oslonjenih ploča)

Međuspratne konstrukcije nepravougaonog oblika Trougaone ploče - momenti savijanja

Međuspratne konstrukcije nepravougaonog oblika Armiranje trougaonih kontinualnih ploča

Međuspratne konstrukcije nepravougaonog oblika Trapezne ploče se de facto ponašaju kao krstato armirane pravougaone ili trougaone ploče, u zavisnosti od dimenzija stranica Ako su a i c dve paralelne stranice trapeza, a b njegova visina, trapezne ploče mogu da se posmatraju kao pravugaone ukoliko je c/a > 0.25 U takvom slučaju redukuju se stranice trapezne ploče i formira se ekvivalentna pravougaona ploča Ako je c/a 0.25 onda se trapezna ploča posmtra kao ekvivalentna trougaona ploča

Međuspratne konstrukcije nepravougaonog oblika Ako su paralelne stranice u trapeznoj ploči u odnosu c/a > 0.25, onda su redukovane stranice ekvivalentne pravougaone krstato armirane ploče date sa a r = 2 3 a (2c + a) a + c b r = b a (a c) b (a + c) Ako je ispunjeno c/a 0.25 onda se trapezna ploča posmtra kao ekvivalentna trougaona ploča čija je osnovica jednaka većoj dimenziji a trapezne ploče, dok je visina ekvivalentne trougaone ploče određena sa B = a b a c

Međuspratne konstrukcije nepravougaonog oblika Trapezna ploča i ekvivalentna pravougaona ili trougaona ploča

Monolitne međuspratne konstrukcije su uvek prisutni u međuspratnim konstrukcijama U zavisnosti od dimenzija, otvori mogu da budu mali, srednji ili veliki Mali otvori se posmatraju kao zanemarljivi poremećaji u ploči Srednji otvori se konstruktivno reše odgovarajućim armiranjem ( vekslovanjem ) Veliki otvori moraju da imaju odgovarajući poseban tretman u statičkom proračunu

Monolitne međuspratne konstrukcije

Monolitne međuspratne konstrukcije Zanemarljivi otvori su pojedinačne rupe za prodor cevi manjih prečnika kroz ploču Izaraz manji prečnik znači da je Φ cevi manji od razmaka šipki armature na tom mestu Srednji otvori u ploči veksluju se armaturom oko otvora Prekinuta armatura u oba pravca usled otvora u ploči, nadoknadi se postavljanjem koncnetrisane armature oko otvora Armatura sa jedne i sa druge strane otvora, u posmtranom pravcu, mora da bude barem jednaka površini prekinute armature i da je dobro usidrena

Monolitne međuspratne konstrukcije Ako je u jednom pravcu zbog otvora u ploči prekinut izvestan broj šipki armature ukupne površine A a, onda se sa jedne i sa druge stranse otvora (u datom pravcu) koncentirano postavi nekoliko šipki čija je ukupna površina, sa svake strane otvora, veća od A a /2 Ta armatura oko otvora postavlja se u pravcu prekinute armature, ali takođe i ukoso, pod uglom od 45 u odnosu na pravce prekinute armature Ako su otvori u ploči veći, onda se oko otvora postavljaju grede (podvlake), ili makar skrivene grede unutar debljine ploče

Vekslovanje armature oko srednjih otvora u ploči

Sadržaj Ploče oslonjene na stubove 1 Međuspratne konstrukcije nepravougaonog oblika 2 Ploče oslonjene na stubove

Ploče oslonjene na stubove Ploče oslonjene na stubove Ploče oslonjene direktno na stubove često se kombinuju sa AB zidovima i pretstavljaju međuspratne konstrukcije relativno novijeg datuma Raspored stubova je obično pravilan, u dva ortogonlna pravca, ali može da bude u heksagonalnom rasporedu ili potpuno nepravilan Proračun takvih međuspratnih konstrukcija obavlja se numeričkim metodama (MKE) i primenom računara, ali postoje i približni ( pešački ) pristupi

Ploče oslonjene na stubove Ploče oslonjene na stubove Ploče oslonjene na stubove mogu da budu sa kapitelom (pečurkaste ploče) ili bez kapitela Pečurkaste ploče su statički bolje (sigurnije), a ploče oslonjene na stubove bez kapitela su arhitektonski atraktivnije Ponekad se između stubova i ploča usvajaju jastuci pravougaone osnove umesto oblikovanih kapitela U Pravilniku BAB 87 ploče oslonjene na stubove, sa kapitelom ili bez kapitela, nazivaju se pečurkaste tavanice

Kapiteli kod pečurkastih ploča Ploče oslonjene na stubove Pečurkaste tavanice Kapiteli i jastuci kod pečurkastih ploča

Ploče oslonjene na stubove Ploče oslonjene na stubove - približni postupci Pečurkaste ploče sa ravnomernim ortogonalnim rasporedom stubova (osovinska rastojanja l x l y ) i sa jednakopodeljenim opterećenjem, ukoliko je odnos osovinskih rastojanja stubova u granicama 0.75 l x /l y 1.33, mogu da se proračunavaju približnim postupcima Može da se tada koristi Metoda zamenjujućeg 1 kontinualnog okvira (kruta veza između ploče i stubova) 2 kontinualnog grednog nosača (zglobna veza između ploče i stubova Širina rigli ili greda jednaka je odgovarajućem osovinskom rastojanju stubova (l x ili l y ), dok je visina preseka jednaka debljini ploče d p

Ploče oslonjene na stubove Ploče oslonjene na stubove - približni postupci U analizi zamenjujućeg okvira ili zamenjujućeg kontinualnog nosača, usvaja se, za svaki pravac, ukupno odgovarajuće opterećenje Pri tome se vodi računa o najnepovoljnijem rasporedu pokretnog (korisnog) raspodeljenog opterećenja Ako je prečnik kapitela (ili stranice) na spoju sa pločom veći od 0.3 l min, gde je l min = min(l x, l y ), i ako je nagib konusa ili piramide upisane u kapitel, u odnosu na ravan ploče, veći od 1:3, u primeni približnog proračuna koristi se metod zamenjujućeg okvira (kruta veza stubova i ploče)

Ploče oslonjene na stubove Ploče oslonjene na stubove - približni postupci Kruta veza između stubova i ploče usvaja se, bez obzira na kapitel, kada krutost stubova nije mala u odnosu na krutost rigle Kada ovi uslovi nisu ispunjeni, u približnom proračunu pečurkastih ploča koristi se metod ekvivalentnog kontinualnog (grednog) nosača Ako kapitel ima nagib veći od 1:3, pri dimenzionisanju ploče u preseku kod stuba, za uticaje momenata savijanja, određuje se statička visina koja odgovara nagibu 1:3

Ploče oslonjene na stubove Zamenjujući okvir kod pečurkastih ploča Za svaki od ortogonalnih pravaca formira se ekvivalentni okvirni nosač

Ploče oslonjene na stubove Zamenjujući okvir kod pečurkastih ploča Raspodela momenata savijanja, dobijenih analizom zamenjujućeg okvira, na traku u polju i na traku iznad stubova

Ploče oslonjene na stubove Zamenjujući okvir kod pečurkastih ploča

Ploče oslonjene na stubove Ploče oslonjene na stubove - približni postupci Slično je i za slučaj zamenjujućeg kontinualnog grednog nosača Kao što se vidi, ovakvi približni postupci su prilično komplikovani Približni postupci su bili u upotrebi pre izraženije upotrebe računara u projektovanju građevinskih konstrukcija Sada se, po pravilu, formira integralni računski model kompletnog objekta primenom odgovarajućeg programa na bazi MKE

Kapitel kod pečurkastih ploča Ploče oslonjene na stubove Ako je nagib kapitela veći od 1:3, u određivanju statičke visine ploče u preseku na kontaktu sa stubom usvaja se statička visina koja odgovara nagibu 1:3

Ploče oslonjene na stubove Ploče oslonjene na stubove - prednosti i mane Ploče direktno oslonjene na stubove, sa ili bez kapitela, imaju niz prednosti u odnosu na klasične tavanice u vidu ploča koje nose u jednom ili u dva pravca: - izvođenje je lakše zbog jednostavne oplate i armature (kapiteli malo remete i oplatu i armaturu) - provlačenje svih horizontalnih instalacija u objektu (posebno klimatizacije) je jednostavnije (nema prodora kroz grede) - konstrukcija ima relativno malu visinu (nema greda) - mogu da se realizuju relativno veći rasponi (obično do 8.0m) Ograničavajući faktor kod ovakvih ploča je nosivost u odnosu na probijanje stuba kroz ploču, kao i pojava relativno velikih ugiba

Ploče oslonjene na stubove Ploče oslonjene na stubove - kontrola proboja Kod ploča diretno oslonjenih na stubove neophodna je analiza mogućeg proboja stuba kroz ploču Proračun ploče u odnosu na napone probijanja zasniva se na nemačkim normama DIN 1045 Proračun proboja sprovodi se prema dopuštenim naponima, a provera se vrši za eksploataciona opterećenja Maksimalni smičući napon u kritičnom preseku oko stuba upoređuje se sa dopuštenim smičućim naponima za beton date MB

Ploče oslonjene na stubove Ploče oslonjene na stubove - kontrola proboja Kritičan presek I-I

Ploče oslonjene na stubove Ploče oslonjene na stubove - kontrola proboja Maksimalni računski smičući napon usled probijanja ploče, za presek I-I, dat je sa τ = T max O kp h s (19) U izrazu (19) uvedene su oznake - T max... najveća transverzalna sila pri eksploatacionom opterećenju, za presek I-I - Za pravougaoni raster stubova i opterećenje q = g + p u srednjem polju, T max je T max = q (l x l y 1 4 π d2 kp)

Ploče oslonjene na stubove Ploče oslonjene na stubove - kontrola proboja U izrazu (19) uvedene su oznake - h s... srednja statička visina ploče za dva usvojena pravca armature - O kp... obim preseka oko stuba, ili ojačanja sa prečnikom d kp, dat je sa O kp = π d kp - d kp... prečnik kritičnog preseka I-I, dat sa d kp = d s + h s, gde je d s prečnik stuba tretiranog kao kružnog oslonca Ako je stub pravougaonog preseka b d, onda se d s izračunava prema izrazu d s = 1.13 b d (20) Ako je d > b, onda se u izrazu (20) usvaja da je d = 1.50 b, bez obzira na stvarni odnos strana pravougaonog preseka