Predikatska logika January 8, 2012 1 O predikatskoj logici Pre nego što počnemo razmatranje predikatske logike, zadržimo se na nekoliko napomena koje će, nadamo se, pomoći da se rasčiste pre svega terminološke nejasnoće koje se često javljaju u vezi sa ovom temom. Prvo, u literaturi se mogu sresti bar tri različita naziva za isti ili sličan pojam. Svaki od tih naziva ističe različitu osobinu ovih logika. Predikatska logika Ovaj naziv je verovatno najčešći, i ističe činjenicu da se ova logika bavi pre svega predikatima. Pojam predikata nam je prvenstveno poznat iz gramatike prirodnih jezika to je onaj deo rečenice kojim nešto tvrdimo. U matematici, pojam predikata ima modifikovano značenje u najčistijem obliku, to su relacije različitih arnosti (dužine) koje su definisane na nekom skupu objekata (tj. na nosaču matematičke strukture koju izučavamo). Relacije su, dakle, matematička verzija pojma imati neku osobinu (to su relacije arnosti jedan) odnosno pojma objekti su u med usobnom odnosu... (relacije arnosti 2 ili više). Mi ćemo u daljem najčešće koristiti upravo ovaj naziv. Logika prvog reda Ovaj naziv sugeriše da postoje i logike reda dva, tri i više. Kratko (i grubo) rečeno, logika prvog reda ima za cilj (i ima moć) da opiše osobine objekata na prvom nivou, tj. govori o pojedinačnim objektima koji se nalaze u nosaču matematičke strukture koju izučavamo. Na primer, ako želimo da izučavamo osobine prirodnih 1
2 brojeva, onda je nosač matematičke strukure skup prirodnih brojeva. Logika koja bi izučavala osobine skupova prirodnih brojeva bi bila već logika drugog reda, itd. U logici prvog reda funkcije i relacije koje imaju svoje ime u sintaksi su definisane med u elementima sa prvog nivoa, a promenljive mogu uzimati vrednosti takod e samo iz nosača strukture. Naravno, cilj nam je da u daljem tekstu ove maglovite pojmove definišemo matematički precizno. Kvantifikatorski račun Ovaj naziv ističe da se u ovim logikama (pored uobičajenih logičkih veznika koje nasled ujemo iz iskazne logike) javljaju specifični operatori, koji govore o kvantitetu objekata sa nekom osobinom. To su tzv. univerzalni kvantifikator ( za sve ili svaki ) i egzistencijalni kvantifikator ( postoji ). Kao što ćemo videti, oni su na neki način uopštenja (beskonačne verzije) logičkih operacija konjunkcije odnosno disjunkcije. Često, naziv račun sugeriše da se radi o deduktivnom sistemu, dakle o potpuno formalnoj verziji date logike. Mi ćemo u tu svrhu koristiti naziv predikatski račun. Drugo pitanje jeste da li postoji jedna predikatska logika ili više njih? Naime, uobičajeno je da se govori u jednini, predikatska logika, logika prvog reda, a ustvari se misli na sve predikatske logike, koje se med usobno razlikuju samo u skupu nelogičkih simbola. Dakle, odgovor je: postoji puno (beskonačno mnogo) predikatskih logika, ali se one mogu zajedno razmatrati, jer je (bar na nekom nivou) razlika med u njima samo tehničke prirode. Zbog toga, uobičajeno je govoriti u jednini, predikatska logika, i pri tome misliti o svim mogućim predikatskim logikama. Treće pitanje koje se prirodno nameće jeste kakav je odnos predikatske i iskazne logike? Na neki način, možemo smatrati da je iskazna logika grublja. Ona radi sa iskazima kao nedeljivim atomima, a predikatska logika izučava i strukturu iskaza. Sve zakonitosti koje važe za iskaze (a koje smo izučavali u iskaznoj logici) nastavljaju da važe i u predikatskoj logici, ali sad ćemo sprovoditi i finije analize. Ukoliko gore iznete napomene u ovom trenutku nisu previše pomogle da se dobije jasniji uvid šta je predikatska logika, ne treba se obeshrabriti. Savetujemo čitaoca da se vrate na ove redove ponovo, na kraju poglavlja o predikatskoj logici. Pravi smisao ovih napomena će se videti tek posle kompletnog razmatranja sintaktičkih i semantičkih osobina predikatske logike.
3 2 Sintaksa predikatske logike Da bismo definisali sintaksu predikatske logike, potrebno je prvo odrediti azbuku tj. skup simbola od kojih se grade dobre reči. Svaka azbuka predikatske logike ima dve vrste simbola: skup logičkih simbola, i skup nelogičkih simbola, koji je specifičan za datu predikatsku logiku. Skup logičkih simbola svake predikatske logike se sastoji od sledećih simbola: skup promenljivih je proizvoljan neprazan skup simbola X, konačan ili prebrojiv. Najčešće se uzima da je X = {x 1, x 2,..., x n,... }. simboli logičkih veznika:,,,,,,, pomoćni simboli: (, ). Svaka predikatska logika ima svoj specifičan skup nelogičkih simbola L. Skup nelogičkih simbola L je disjunktna unija sledeća tri skupa: C, skup simbola konstanti, R, skup relacijskih simbola, F, skup funkcijskih (operacijskih) simbola. Svakom nelogičkom simbolu s je dodeljen prirodan broj ar(s), tzv. arnost (ili dužina) tog simbola, tako da svi simboli konstanti imaju arnost 0, a svi relacijski i funkcijski simboli neku pozitivnu arnost. Ako je n neki prirodan broj, sa R n (odnosno F n ) obeležavamo sve relacijske (odnosno funkcijske) simbole arnosti n. Jezik predikatske logike (ili jezik prvog reda) jeste skup formula na datoj azbuci ali, kao što ćemo videti, jezik predikatske logike je u principu potpuno odred en kada se definiše skup promenljivih X i skup nelogičkih simbola L, zajedno sa funkcijom arnosti ar. Dogovor: U daljem tekstu, ako kažemo da je L = C R F neki jezik prvog reda sa skupom promenljivih X, to znači da oznake C, R, F imaju značenje koje je navedeno gore, i da je zadata odgovarajuća funkcija arnosti ar.
4 Da bismo stigli do preciznog pojma formule, prvo je neophodno definisati pojam terma. Definicija 1 Neka je L = C R F neki jezik prvog reda sa skupom promenljivih X. Skup termova T erm L (X) je najmanji skup koji zadovoljava sledeće uslove: Sve promenljive su termi tj. X T erm L (X), Svi simboli konstanti su termi tj. C T erm L (X), Ako je f F n i t 1, t 2,..., t n T erm L (X) onda f(t 1, t 2,..., t n ) T erm L (X). Dogovori: 1. Ako je jezik prvog reda L unapred fiksiran (ili je jasan iz konteksta), onda umesto oznake T erm L (X) možemo pisati samo T erm(x). 2. Ako su v 1, v 2,..., v n neke promenljive i t T erm L (X), onda oznaka t = t(v 1, v 2,..., v n ) znači da su sve promenljive terma t u skupu {v 1, v 2,..., v n }. 3. Po dogovoru, ako je f F 2, onda kažemo da je f binaran funkcijski simbol, i umesto prefiksne notacije f(t 1, t 2 ) koristimo tzv. infiksnu notaciju t 1 ft 2. Definicija 2 Neka je L = C R F neki jezik prvog reda sa skupom promenljivih X. Elementarne formule su izrazi oblika ρ(t 1, t 2,..., t n ), gde je ρ R n i t 1, t 2,..., t n T erm L (X). Dogovor: Kao i u slučaju binarnih funkcijskih simbola, i za binarne relacijske simbole ρ R 2 možemo koristiti infiksnu notaciju t 1 ρt 2 umesto prefiksne notacije ρ(t 1, t 2 ).
5 Definicija 3 Neka je L = C R F neki jezik prvog reda sa skupom promenljivih X. Skup formula F orm L (X) je najmanji skup koji zadovoljava sledeće uslove: Svaka elementarna formula pripada skupu F orm L (X), Ako su A i B formule, i x X, tada su formule i sledeći izrazi: (A B), (A B), (A B), (A B), ( A), ( x)a, ( x)a. Dogovori: 1. Ako je jezik prvog reda L unapred fiksiran (ili je jasan iz konteksta), onda umesto oznake F orm L (X) možemo pisati samo F orm(x). 2. Kao u iskaznoj logici, i ovde važe dogovori o brisanju spoljnih zagrada i o prioritetu logičkih veznika, s tim da ćemo smatrati da kvantifikatori imaju najveći prioritet. Definicija 4 Neka je L = C R F neki jezik prvog reda sa skupom promenljivih X, neka je A F orm L (X) i neka je x X. 1. Izraze ( x) i ( x) zovemo redom univerzalni odnosno egzistencijalni kvantifikator, sa promenljivom x. 2. U formulama ( x)a i ( x)a oblast dejstva kvantifikatora ( x) odnosno ( x) je formula A. 3. Pojavljivanje promenljive x u nekoj formuli je vezano ako je to pojavljivanje u oblasti dejstva kvantifikatora ( x) ili ( x). U tom slučaju kažemo i da je to pojavljivanje promenljive x pod dejstvom kvantifikatora ( x) ili ( x). U suprotnom, to pojavljivanje promenljive x je slobodno. 4. Promenljiva x je slobodna u formuli A ako ima bar jedno slobodno pojavljivanje u formuli A. Za formule koje nemaju slobodnih promenljivih kažemo da su zatvorene.