Defiicija: Beskoači iz realih brojeva je fukcija a : N R i Umjesto zapisa a(), a(),,a(), može se koristiti zapis a, a,,a, Broj a zove se opći čla iza, a cijeli iz se kratko ozačuje (a ). Niz je : -rastući ako je a a a -strogo rastući ako je a < a < < a < -padajući ako je a a a -strogo padajući ako je a > a > > a > Ako iz ima točo jedo gomilište oo se zove graiča vrijedost ili limes iza. U prvom primjeru gomilište je i oo je ujedo i graica vrijedosti, tj. limes iza, iako e pripada izu. Primjer. ema gomilište U slijedećim primjerima treba izračuati prvih pet člaova, prikazati grafički a brojevim pravcu i odgovoriti da li je rastući, strogo rastući, padajući ili strogo padajući: Defiicija: «ε okolia». broja a je skup R: -a < ε.budući je -a < ε ekvivaleto sa a-ε < < a+ε to možemo opisati i ovako: udaljeost od a do je maja od ε. Defiicija: Broj a azivamo točkom gomilaja ili gomilištem iza (a ) ako se u svakoj ε-okolii broja a alazi beskoačo mogo člaova iza. Gomilište e mora užo pripadati izu. Dakle broj A je graiča vrijedost ili limes iza (a ) ako za svaku (ma kako malu) ε-okoliu točke A postoji priroda broj, takav da se svičlaovi iza od dalje alaze u toj okolii. (Zači za > a -A < ε ). Piše se : lim a A odoso ( a A) kada ( ). Niz je kovergeta ako ima graiču vrijedost (limes). U suprotom je divergeta. Može se reći da iz teži svom limesu.
Poavljaje: ARITMETRIČKI NIZ GEOMETRIJSKI NIZ Aritmetički iz je iz kod kojeg je razlika između svaka dva uzastopa člaa, kostata. Najčešće se obilježava sa d. Dakle da + - a. Niz je dobio ime po tome što je svakičla aritmetička sredia predhodika i sljedbeika. a, a a +d, a a +d (a +d) + d a +d, Općičla iza: a a +(-) d Suma prvih člaova iza: S ( a + a) (a + ( ) d) Da li je eki od prethodih izova aritmetički. Ako je, ađite razliku d, stotiu i prvi čla iza i sumu prvih 6 člaova. Geometrijski iz je iz kod kojeg je kvocijet između svaka dva uzastopa člaa, kostata. Najčešće ga obilježavamo sa q. Dakle: a+ q a Niz je dobio ime po tome što je svaki čla geometrijska sredia predhodika i sljedbeika. Ako je q < iz je kovergeta, u suprotom je divergeta. Za beskoači kovergeti geometrijski iz može se aći suma svih člaova: a S q a, a a q, a a q (a q) q a q, Općičla iza: a a q - Suma prvih člaova iza: q S a q
Teorem: Ako je a) b) c) d) e) lim a lim b lim( a + b ) A + B lim( a b ) A B lim( a b ) A B a lim( ) b A B lim( k a ) k A A i B tada vrijedi: Broj e, Eulerov broj proizašao je iz matematičkih izraza za prirode i društvee probleme kao što su prirodi prirast (prirast eke mase koji je proporcioala toj masi) pr. prirast staovištva, eprekido ukamaćivaje, radioaktivo raspadaje itd. Uzet je za bazu prirodog logaritma a defiira je kao: e lim ( + ),78888... Aproksimacije: Za ( + ) 9 ( + ),5 6 ( + ),77 7 ( + ) ( + ) 5 ( + ) 6 5 6 65, 56 7776,88 5 769,566 6676 Domaća zadaća: ( ) Zadatak. Napiši prvih petčlaova iza a kojem je općičla a + ( ) a + ( ) Zadatak. Napiši prvih petčlaova iza kojem je općičla ( ) Zadatak. Niz a je aritmetički. Ako je a 8, a 8 odredi. a. i sumu prvih 8člaova. Zadatak. Odredi aritmetički iz ako je a a, a a 6. Zadatak 5. Napiši prvih petčlaova geometrijskog iza kojem je a 6... q /. Nađi sedmičla iza i sumu prvih. a
. Graiča vrijedost fukcije kada Domea izova je skup prirodih brojeva N. Sada ćemo promatrati fukcije sa domeom iz skupa realih brojeva i jihove graiče vrijedosti. Defiicija (Cauchyjeva): Neka je zadaa fukcija y f( defiiraa u svim točkama itervala (a,b) osim možda u točki (a,b). Broj L je graiča vrijedost (limes) fukcije f u točki, ako za svaki pozitivi broj ε postoji pozitivi broj δ takav da je f( - L < ε (f( u ε okolii) kad god je < < δ ( u δ okolii). Pišemo lim f ( L Drugim riječima broj L je limes fukcije u točki ako za svaki (po volji izabra, ma kako mali bio) broj ε> postoji δ-okolia točke takva da se svaki iz te okolie preslikava u f( koji je u ε- okolii broja L. Može se objasiti i a slijedeći ači: Ako postoji reala broj L takav da f( teži (kovergira) ka L kada teži (kovergira) ka, oda kažemo da fukcija f u točki ima limes (graiču vrijedost) L i pišemo lim f ( L Kotraprimjer Defiicija. Fukcija je eprekiuta (kotiuiraa) u točki ako je: lim f ( f ( ) Fukcija je eprekida a itervalu I (a,b) ako je oa eprekiuta u svakoj točki itervala. Uočimo da može broju težiti s lijeva ili s desa ili aizmjece.
.)primjer: Kojem broju teži fukcija f(+ kada teži broju ( ).,9,99,999 f(,,,,7,97,997,,, Vidimo da: kada teži prema s bilo koje strae, f ( teži prema pa je lim( + ) a to je ujedo i jedako f () pa je fukcija u toj točki eprekida. f( Limes fukcije kada lim f ( s lijeva koji ozačavamo e mora uvijek biti jedak limesu iste fukcije u istoj točki kada s desa ( lim f ( + ). Ukoliko su različiti fukcija u toj točki ima prekid. U prethodom primjeru mogli smo zapisati: lim( + ) lim( + ) lim( + ) + Postojaje i vrijedost limesa as zaima aročito u oim točkama u kojima fukcija ije defiiraa, odoso koje isu u prirodoj domei ego predstavljaju «prekid» ili «rub domee». Promotrimo fukciju f ( Priroda domea joj je DR\{} Pošto za oa ema defiirau vrijedost pitamo se kakva je u okolii te točke tj. kada se približava uli ( ). Umjesto lim pisati ćemo i sličo iličak. + Osova svojstva graičih vrijedosti fukcije Teorem. Ako postoje graiče vrijedosti fukcija f i g kada teži prema lim f ( A i lim g( B tada postoje graiče vrijedosti fukcija: Kod ekih fukcija je potrebo zati graiču vrijedost fukcije kada eograičeo pada i teži - ili eograičeo raste i teži +. Te se vrijedosti zovu eograičee vrijedosti u beskoačosti. Ispitajmo isto fukciju. f+g, f-g, f g, f/g (za B ) i c f te vrijedi: lim( f ( ± g( ) A ± B lim( f ( g( ) A B f ( A lim g ( B lim c f ( c A 5
a za a > za < a < a za a > za < a < Pogledajmo pr. oblik -. O ema uvijek jedako rješeje tj. rješeje ovisi od oblika fukcije iz koje je astao: pr: lim( lim( ) lim( ) Zato taj oblik svrstavamo u «eodređee oblike». + Primjer: Čemu teži f ( + + lim f ( lim + kada f( To je također eodređei oblik. + + + lim ( podijelimobrojik i azivik sa lim + + + Vrijedosti ekih začajih graičih vrijedosti koje spadaju u eodređee oblike PRIMJENA DERIVACIJA U IZRAČUNAVANJU LIMESA L'HOSPITAL-ovo PRAVILO si lim lim + e lim( + e,,, Osovi eodređei oblici razvrstavaju se u grupe: I grupa, II grupa (± ), - III grupa,,, lim a l a Graiče vrijedosti tj. limese fukcija koje smo svrstali u tzv. eodređee oblike i svrstali ih u tri grupe mogu se riješavati primjeom L'Hospital-ovog pravila. Oo je sadržao u slijedećem teoremu: Teorem Neka su f( i g( reale fukcije defiirae i derivabile a itervalu I <a,b> i eka je lim f ( lim g( i g' ( za eko c I 6
Ako postoji Oda postoji i f '( lim L c g' ( f ( lim g ( ) I grupa eodređeih oblika: riješava se direktom primjeom L'Hospital-ovog pravila bez ikakvih prethodih trasformacija. Budući da takvi oblici proizlaze iz fukcija koje su oblika razlomka, riješavamo ih derivirajući posebo brojik, posebo azivik (dakle e po formuli za derivaciju kvocjeta). Ako ako prvog koraka i dalje imamo jeda od ova dva oblika astavljamo postupak a isti ači sve dok e dođemo do određeog oblika i ađemo riješeje. i i o je također jedak L, to jest važi: f ( f '( lim lim L c g( g'( II grupa eodređeih oblika: (± ) i - riješava se prethodom trasformacijom fukcije a oblik iz prve grupe: a) oblik (± ) priozlazi iz fukcije oblika umoška a e kvocjeta pa prije primjee L'Hospitalovog pravila moramo apraviti trasformaciju fukcije a slijedeći ači: f ( g( f ( g( ili f ( g( g( f ( Na taj ači siguro dobivamo jeda od oblika iz I grupe. b) oblik - trasformiramo ili svođejem a zajedički azivik ili izlučivajem jedog člaa iz razlike čime ga svodimo a I grupu ili II a) grupu III grupa eodređeih oblika:,,, riješava se logaritmirajem jedadžbe prirodim logaritmom čime se oblik potecije svodi a umožak (II a) grupu) ili kvocijet (I grupu): h( h L lim g( / l l l [ lim ( ) ] ( L g ) l L Zbog eprekidosti logaritamske fukcije možemo pisati: [ ] ( lim l g( [ ] h ) l L lim h( l g( L lim g( lim c e h( [ h( l g ( ] lim[ h( l g( ] c e tj. polazi limes možemo direkto izjedačiti sa: 7