Glava 1. Trigonometrija

Glava 1 Trigonometrija 1.1 Teorijski uvod Neka su u ravni Oxy dati krug k = {x, y) R R : x +y = 1} i prava p = {x, y) R R : x = 1}. Predstavimo skup realnih brojeva na pravoj p, kao brojevnoj pravoj, tako da broju t odgovara taqka 1, t) videti sliku 1.1). Slika 1.1: 1

1.1. Teorijski uvod Namotajmo bez isteza a ili skup a a) pravu p oko kruga k na sledei naqin videti sliku 1.): Taqka 1, 0) ostaje fiksirana. Polupravu qiji je poqetak taqka 1, 0) i qija je jedna taqka, taqka 1, 1) namotajmo u pozitivnom smeru smeru suprotnom od kreta a kaza ke na satu). Polupravu qiji je poqetak taqka 1, 0) i qija je jedna taqka, taqka 1, 1) namotajmo u negativnom smeru smeru kreta a kaza ke na satu). Prethodnim postupkom namotava em prave p oko kruga k) smo svakom realnom broju t pridruili taqno jednu taqku kruga k, taqku Et). Apscisa taqke Et) je kosinus realnog broja t oznaqava se sa cos t). Ordinata taqke Et) je sinus realnog broja t oznaqava se sa sin t) videti sliku 1.). Slika 1.: Slika 1.: Navedimo neka svojstva funkcija sinus i kosinus. 1) Domen funkcija kosinus i sinus jeste R. ) Za svaki realan broj t vai 1 cos t 1 i 1 sin t 1. ) Funkcije kosinus i sinus su π periodiqne. 4) Za svaki realan broj t vai cos t + sin t = 1. 5) Funkcija kosinus je parna tj. za svako t R vai cos t) = cos t. Funkcija sinus je neparna tj. za svako t R vai sin t) = sin t.

1. Trigonometrija 6) Skup nula kosinusa jeste skup { π + kπ : k Z }. Skup nula sinusa jeste skup {kπ : k Z}. 7) Za svako t 1, t R vai: cos t 1 + t ) = cos t 1 cos t sin t 1 sin t sin t 1 + t ) = sin t 1 cos t + cos t 1 sin t. Grafici funkcija kosinus i sinus su prikazani na slikama 1.4 i 1.5. Slika 1.4: Slika 1.5:

4 1.1. Teorijski uvod Koliqnik sinusa i kosinusa realnog broja t u sluqaju kada je definisan) se naziva tangens realnog broja t oznaqava se sa tg t). Koliqnik kosinusa i sinusa realnog broja t u sluqaju kada je definisan) se naziva kotangens realnog broja t oznaqava se sa ctg t). Navedimo neka svojstva funkcija tangens i kotangens. 1) Domen funkcije tangens jeste R\ { π + kπ : k Z } a domen funkcije kotangens jeste R\ {kπ : k Z}. ) Funkcije tangens i kotangens su π periodiqne. ) Skup nula tangensa jeste skup {kπ : k Z}. Skup nula kotangensa jeste skup { π + kπ : k Z }. Grafici funkcija tangens i kotangens su prikazani na slikama 1.6 i 1.7. Slika 1.6:

1. Trigonometrija 5 Slika 1.7: Funkcije sinus, kosinus, tangens i kotangens nisu bijekcije na svom domenu. Meutim, ako restrikujemo domen i kodomen onda su funkcije: cos : [0, π] [ 1, 1], [ sin : π, π ] [ 1, 1], tg : π, π ) R, ctg : 0, π) R, bijekcije. Otuda date funkcije imaju inverzne funkcije arkus kosinus, arkus sinus, arkus tangens, arkus kotangens): arccos : [ 1, 1] [0, π], [ arcsin : [ 1, 1] π, π ], arctg : R π, π ), za kodomen uzimamo skup R

6 1.1. Teorijski uvod arcctg : R 0, π). Grafici funkcija arkus kosinus, arkus sinus, arkus tangens, arkus kotangens su prikazani na slikama 1.8, 1.9, 1.10 i 1.11. Slika 1.8: Slika 1.9: Slika 1.10:

1. Trigonometrija 7 Slika 1.11: 1. Rexeni zadaci Vrednosti trigonometrijskih i inverznih trigonometrijskih funkcija. Trigonometrijski identiteti 1..1. Izraqunati: a) sin π ; b) cos 7π; v) cos π 4 ; g) sin 7π 6. a) Kako je duina qetvrtine kruga k jednaka π sledi da je π E 0, 1) odnosno sin π = 1; ) = b) Kako je duina kruga k jednaka π sledi da je E7π) = E π + π) = Eπ) = 1, 0) odnosno cos 7π = 1; v) Da bismo odredili cos π potrebno je odrediti koordinate taqke M, 4 π ) M = E videti sliku??). Neka je O = O0, 0) i I = I1, 0). 4 Kako je duina pozitivno orijentisanog luka IM jednaka π 4 sledi da je IOM = 45. Neka su A i B normalne projekcije taqke M na koordinatne ose Ox i Oy. Trougao OAM je pravougli jednakokraki trougao. Duina osnovice OM trougla OAM je jednaka 1. Otuda Pogledati Teorijski uvod.

8 1.. Rexeni zadaci je duina krakova OA i OB trougla OAM jednaka π ) ) 1 1 E =,, odnosno cos π 4 4 = 1 ; 1. Konaqno g) Da bismo odredili sin 7π potrebno je odrediti ordinatu taqke M, ) 6 7π M = E videti sliku??). Neka je O = O0, 0) i J = J 1, 0). 6 Kako je duina pozitivno orijentisanog luka JM jednaka π 6 sledi da je JOM = 0. Neka je N taqka simetriqna taqki M u odnosu na Ox osu. Trougao N OM je jednakostraniqni, pri qemu je duina egove stranice jednaka 1. Neka je B normalna projekcija taqke M na koordinatnu osu Oy. Duina dui OB je jednaka polovini duine stranice trougla NOM. tj. jednaka je 1. Otuda je sin 7π 6 = 1. 1... Da li postoji realan broj t takav da je: a) cos t = 4 5 i sin t = 5 ; b) cos t = 1 i sin t =? a) Neka je x = 4 ) 5 i y = 5. Tada je 4 x + y = + = 1. Na 5 5) osnovu definicije preslikava a E za svako x, y) takvo da je x +y = 1 postoji t R takvo da je cos t = x i sin t = y. Otuda postoji realan broj t takav da je cos t = 4 5 i sin t = 5 ; b) Pretpostavimo da postoji t R takvo da je cos t = 1 i sin t =. ) ) 1 Tada je cos t + sin t = + = 5, xto je u suprotnosti sa 9 identitetom cos t + sin t = 1 koji vai za svako t R. Dakle ne postoji realan broj t takav da je cos t = 1 i sin t =. 1... Xta je vee: a) cos 1 ili cos ; b) sin ili sin 1;

1. Trigonometrija 9 v) sin 1 ili cos 1; g) cos 4 ili sin? a) Kako je cos 1 > 0, a cos < 0 videti sliku??) sledi da je cos 1 > cos ; b) Kako je sin < sin π 4, sin π 4 = sin π 4 i sin π 4 sin < sin 1; < sin 1, sledi da je v) Kako je sin 1 > sin π 4 = 1 i cos 1 < cos π 4 = 1, sledi da je sin 1 > cos 1; g) Kako je cos 4 < 0 i sin > 0, sledi da je sin > cos 4. 1..4. Ako je cos α = 40 41 i α π, π ) odrediti sin α, tg α i ctg α. Kako je poznata vrednost cos α, vrednost sin α moemo odrediti iz identiteta sin α + cos α = 1. Naime, sin α = 1 cos α = 1 40 ) ) 9 =. 41 41 Otuda je sin α = 9 9 ili sin α =. Da e, kako α π, π ) zak uqujemo 41 41 videti sliku??) da je sin α < 0, odnosno sin α = 9 sin α. Na kraju dobijamo da je tg α = 41 cos α = 9 40 i ctg α = cos α sin α = 40 9. 1..5. Ako je α π, π ) i tg α = 100 izraqunati 10 sin α 11 cos α 10 cos α 11 sin α. 10 sin α 11 cos α Kako je tg α = 100 sledi da je cos α 0. Otuda je 10 cos α 11 sin α = 10 sin α 11 cos α)/ cos α 10 tg α 11 10 100 11 = = 10 cos α 11 sin α)/ cos α 10 11 tg α 10 11 100 = 989 1090. Primetimo da je podatak da α π, π ) suvixan u ovom zadatku. { π } ) 1..6. Dokazati da za svako t R\ + kπ : k Z {kπ : k Z} vai: tg t ctg t = 1.

10 1.. Rexeni zadaci tg t ctg t = sin t cos t cos t = 1. Napomenimo da je najxiri skup na sin t kome su istovremeno { definisane i funkcija tangens i funkcija kotangens π } skup R\ + kπ : k Z {kπ : k Z}). 1..7. Dokazati da za svako t R vai: a) sin t + π ) = cos t; b) cos t + π) = cos t. a) sin t + π ) = sin t cos π + cos t sin π = sin t 0 + cos t 1 = cos t; b) cos t + π) = cos t cos π sin t sin π = cos t 1) sin t 0 = cos t. 1..8. Izraqunati: ) a) arcsin ; b) arccos 1. ) a) Da bismo izraqunali arcsin potrebno je odrediti jedinstven) [ realan broj t π, π ] za koji je sin t =. Kako je sin π ) = ), sledi da je arcsin = π ; b) Da bismo izraqunali arccos 1 potrebno je odrediti jedinstven) realan broj t [ 0, π] za koji je cos t = 1. Kako je cos 0 = 1, sledi da je arccos 1 = 0. 1..9. Izraqunati: a) arctg 0; b) arcctg 1 ).

1. Trigonometrija 11 a) Da bismo izraqunali arctg 0 potrebno je odrediti jedinstven) realan broj t π, π ) za koji je tg t = 0. Kako je tg 0 = 0, sledi da je arctg 0 = 0; b) Da bismo izraqunali arcctg 1 ) potrebno je odrediti jedinstven) realan broj t 0, π) za koji je ctg t = 1 ) π. Kako je ctg = 1, sledi da je arcctg 1 ) = π. 1..10. Izraqunati: a) sin arcsin 1 ) ; b) sinarcsin 1)). Za koje t R vai sinarcsin t) = t? a) sin arcsin 1 ) = sin π 6 = 1 ; b) sinarcsin 1)) = sin π ) = 1. Funkcija arcsin je definisana na intervalu [ 1, 1]. Na osnovu definicije funkcije arcsin vai s = arcsin t ako i samo ako t = sin s. Otuda sinarcsin t) = t za svako t [ 1, 1]. 1..11. Izraqunati: ) a) cos arccos ; )) b) cos arccos. Za koje t R vai cosarccos t) = t? ) a) cos arccos )) b) cos arccos = cos π 4 = ; = cos 5π 6 =.

1 1.. Rexeni zadaci Funkcija arccos je definisana na intervalu [ 1, 1]. Na osnovu definicije funkcije arccos vai s = arccos t ako i samo ako t = cos s. Otuda cosarccos t) = t za svako t [ 1, 1]. 1..1. Izraqunati: a) arcsin sin π ) ; 6 b) arcsin sin π); v) Da li za svako t R vai arcsinsin t) = t? Za koje t vai data jednakost? a) arcsin sin π ) = arcsin 1 6 = π 6 ; b) arcsin sin π) = arcsin 0 = 0; v) Ne. Na primer arcsin sin π) = 0. Na osnovu [ definicije funkcije arcsin vai t = arcsin s ako i samo ako t π, π ] i sin t = s. Otuda [ arcsinsin t) = t ako i samo ako t π, π ]. 1..1. Izraqunati: a) arccos cos π )) ; b) arccos cos π ) ; v) Da li za svako t R vai arccoscos t) = t? Za koje t vai data jednakost? a) arccos cos π )) = arccos 0 = π ; b) arccos cos π ) = arccos 1 = π ; v) Ne. Na primer arccos cos π )) = π. Na osnovu definicije funkcije arccos vai t = arccos s ako i samo ako t [0, π] i cos t = s. Otuda arccoscos t) = t ako i samo ako t [0, π]. 1..14. Izraqunati:

1. Trigonometrija 1 a) tg arctg 1); b) ctg arcctg π). a) tg arctg 1) = tg π 4 = 1; b) Neka je t = arcctg π. Tada je t 0, π) i ctg t = π. Otuda ctg arcctg π) = π. 1..15. Izraqunati: a) arctg tg π ) ; 4 b) arcctg ctg π ) ; v) arctg tg 5π )) ; g) arcctg ctg 5π ). a) arctg tg π ) = arctg 1 = π 4 4 ; b) arcctg ctg π ) = arcctg 1 ) = π ; v) arctg tg 5π )) = arctg ) = π ; g) arcctg ctg 5π ) = arcctg 0 = π. 1..16. Dokazati da za svako t R vai: a) sin t = sin t cos t; b) cos t = cos t sin t; v) sin t = 1 cos t ; g) cos t = 1 + cos t.

14 1.. Rexeni zadaci a) sin t = sin t + t) = sin t cos t + cos t sin t = sin t cos t; b) cos t = cos t + t) = cos t cos t sin t sin t = cos t sin t; v) 1 cos t 1 cos t ) 1 cos t t ) sin = = = g) 1 + cos t 1 + cos t ) 1 + cos t t ) sin = = = 1..17. Izraqunati: sin t cos t = sin t ; = cos t. a) sin π 8 ; b) cos 7π 1. a) sin π 8 = 1 cos π 4 =. 4 Kako je sin π 8 > 0 sledi sin π 8 = 7π b) cos 7π 1 + cos 1 = 6 =. 4 Kako je cos 7π 7π < 0 sledi cos 1 1 =. 1..18. Dokazati da za svako t 1, t R vai: ; a) sin t 1 sin t = 1 cos t 1 t ) cos t 1 + t )); b) cos t 1 cos t = 1 cos t 1 t ) + cos t 1 + t )); v) sin t 1 cos t = 1 sin t 1 + t ) + sin t 1 t )). a) cos t 1 t ) cos t 1 + t ) = cos t 1 cos t +sin t 1 sin t cos t 1 cos t sin t 1 sin t ) = sin t 1 sin t ;

1. Trigonometrija 15 b) cos t 1 t )+cos t 1 + t ) = cos t 1 cos t +sin t 1 sin t +cos t 1 cos t sin t 1 sin t ) = cos t 1 cos t ; v) sin t 1 + t )+sin t 1 t ) = sin t 1 cos t +cos t 1 sin t +sin t 1 cos t cos t 1 sin t ) = sin t 1 cos t. 1..19. Dokazati da za svako t 1, t R vai: a) cos t 1 + cos t = cos t 1 + t b) sin t 1 sin t = cos t 1 + t a) Neka je a = t 1 + t cos t 1 t ; sin t 1 t. i b = t 1 t. Tada je t 1 = a + b i t = a b. Otuda cos t 1 + cos t = cos a + b) + cos a b) b) Neka je a = t 1 + t = cos a cos b sin a sin b + cos a cos b + sin a sin b = cos a cos b = cos t 1 + t cos t 1 t ; i b = t 1 t. Tada je t 1 = a + b i t = a b. Otuda sin t 1 sin t = sin a + b) sin a b) = sin a cos b + cos a sin b sin a cos b cos a sin b) = cos a sin b = cos t 1 + t sin t 1 t ; 1..0. Dokazati da za svako t R vai: cos t + sin t = sin t + π ). 4 π ) Kako je sin t = cos t dobijamo π ) t + π π ) cos t + cos t = cos t t cos t = cos π 4 cos t π ) 4 = cos t π ) 4 = sin t + π ). 4

16 1.. Rexeni zadaci 1..1. Dokazati da za svako t 1, t, t 1 + t R\ { π + kπ : k Z } vai: tg t 1 + t ) = tg t 1 + tg t 1 tg t 1 tg t. tg t 1 + t ) = sin t 1 + t ) cos t 1 + t ) = sin t 1 cos t + cos t 1 sin t cos t 1 cos t sin t 1 sin t. Ako i brojilac i imenilac posled eg razlomka podelimo sa cos t 1 cos t dobijamo tg t 1 + t ) = tg t 1 + tg t 1 tg t 1 tg t. Napomenimo da su svi izrazi u prethodnim formula definisani za svako t 1, t, t 1 + t R\ { π + kπ : k Z }. 1... Neka su t, s R. Dokazati da izraz cos t + s) cos t s) + sin s ne zavisi od s. Neka je fs, t) = cos t + s) cos t s) + sin s. Tada je fs, t) = cos t cos s sin t sin s)cos t cos s + sin t sin s) = cos t cos s) sin t sin s) + sin s = 1 sin t)1 sin s) sin t sin s + sin s = 1 sin t sin s + sin t sin s sin t sin s + sin s = 1 sin t = cos t. 1... Izraqunati 1 tg π 1 1 + tg π. 1 Izraqunajmo prvo tg π 1. Vai tg π 1 π = tg + π )) 4 tg π = + tg π ) 4 1 tg π ) tg π 4 = 1 1 +.

1. Trigonometrija 17 Konaqno, 1 tg π 1 1 + tg π 1 = 1. 1..4. Dokazati da za svako t R\ { π + kπ : k Z } vai tg t + 1 = 1 cos t. Kako je tg t = sin t cos t sledi tg t + 1 = sin t cos t + 1 = sin t + cos t cos = 1 t cos t. 1..5. Ako je α π ), π i tg α + π ) = a izraqunati tg α, sin α i 4 4 cos α. Kako je tg α + π ) = 4 tg α + tg π 4 1 tg α tg π 4 = tg α + 1 1 tg α dobijamo 1 + tg α a 1 = a. Otuda tg α = 1 tg α a + 1. 1 Kako je cos α = ± i kako je tg α + 1 α π ), π dobijamo da je 4 cos α > 0 odnosno cos α = Kako je sin α = tg α cos α dobijamo sin α = 1 tg α + 1. Dakle, cos α = a + 1 a + 1). 1..6. Ako je sin = a izraqunati sin 6). Vai a 1 a + 1). sin 6) = sin 6 = sin = sin cos. Kako je π < < π sledi da je cos < 0. Otuda cos = 1 sin = 1 a. Konaqno, sin 6) = a 1 a.

18 1.. Rexeni zadaci 1..7. Dokazati da vai jednakost: cos π 5 cos π 5 = 1 4. Vai cos π 5 cos π 5 sin π = 5 cos π 5 cos π 5 sin π = 1 sin π 5 cos π 5 sin π 5 5 = 1 sin 4π 5 4 sin π = 1 sin π 4π ) 5 4 sin π 5 5 = 1 sin π 5 4 sin π 5 = 1 4. Ispitiva e toka trigonometrijskih funkcija 1..8. Odrediti domen funkcije: a) y = fx) = cos x 1 sin x ; b) y = fx) = tg x ctg x ; v) y = fx) = g) y = fx) = 1 sin x + cos x ; 1 cos x cos x. Neka je D f domen funkcije f. Tada: a) x D f ako i samo { ako 1 sin x > 0 tj. ako i samo ako 1 < sin x < 1. Otuda D f = R\ k + 1) π } : k Z ; b) x D f ako i samo ako su definisani tg x i ctg x i ctg x 0. Domen funkcije tangens jeste R\ { π + kπ : k Z }, domen funkcije kotan- { π } gens jeste R\ {kπ : k Z} a ctg x = 0 ako i samo ako x R\ + kπ : k Z. { π } Otuda D f = R\ + kπ : k Z {kπ : k Z}) ;

1. Trigonometrija 19 v) x D f ako i samo ako sin x + cos x 0. Primetimo da vai: sin x + cos x = sin x + cos x)sin x sin x cos x + cos x) = sin x + π ) 1 sin x cos x) 4 = sin x + π ) 1 1 ) 4 sin x. Otuda sin x + cos x = 0 ako i samo ako sin x + π ) { 4 π } { π } x 4 + kπ : k Z. Konaqno Df = R\ 4 + kπ : k Z ; = 0 odnosno g) x D f ako i samo ako cos x cos x > 0. Kako je cos x cos x = cos x 1 cos x sledi x D f ako i samo ako cos x cos x 1 > 0. Neka je t = cos x. Tada vai ako i samo ako t [ 1, 1 ] i cos x cos x 1 > 0 t t 1 > 0. Skup rexe a posled e nejednaqine jeste, 1/) 1, + ). Otuda x D f ako i samo ako cos x [ 1, 1/), odnosno D f = {x R : π/ + kπ < x < 4π/ + kπ, k Z}. 1..9. Odrediti minimum i maksimum funkcije: a) y = fx) = sin x + 4 cos x; b) y = fx) = sin sin x); v) y = fx) = 1 cos x ; g) y = fx) = 7 sin x 5 cos x. Kako je a) Domen funkcije f jeste R. Primetimo da vai ) + 5 fx) = sin x + 4 cos x = 5 5 sin x + 4 ) 5 cos x. ) 4 = 1 postoji ϕ R takvo da je cos ϕ = 5 5 i sin ϕ = 4 5. Otuda je fx) = 5cos ϕ sin x + sin ϕ cos x) = 5 cos x + ϕ).

0 1.. Rexeni zadaci Kako je za svako x R vai 5 5 cos x + ϕ) 5 i kako je fπ ϕ) = 5 i f ϕ) = 5 sledi min fx) = 5 i max fx) = 5; x R x R b) Domen funkcije f jeste R. Pri tome vai sinr) = {sin x : x R} = [ 1, 1 ]. Kako je [ 1, 1 ] [ π/, π/] i kako je funkcija sinus rastua na [ π/, π/] sledi sin[ 1, 1 ]) = {sin x : x [ 1, 1 ]} = [sin 1), sin 1] = [ sin 1, sin 1]. Konaqno sinsinr)) = {sin sin x) : x R} = [ sin 1, sin 1]. Otuda min fx) = sin 1 i max fx) = sin 1; x R x R v) Domen funkcije f jeste R. Kako je 1 cos x 1 sledi cos x 1. Otuda za svako x R vai 1 1 1. Konaqno, kako je cos x f π) = 1/ i f0) = 1 sledi min fx) = 1/ i max fx) = 1; x R x R g) Domen funkcije f jeste R. Primetimo da vai fx) = 7 sin x 5 cos x = 7 sin x 51 sin x) = 1 sin x 5. Kako je 0 sin x 1 sledi 5 fx) 7. Konaqno, kako je f0) = 5 i fπ/) = 7 sledi min fx) = 5 i max fx) = 7. x R x R 1..0. Skicirati grafik funkcije: a) y = fx) = cos x; b) y = fx) = sin x; v) y = fx) = cos x + π ) ; g) y = fx) = sin x π ). 4 1..1. Skicirati grafik funkcije: a) y = fx) = sin x + cos x;

1. Trigonometrija 1 b) y = fx) = cos x + cos x ; v) y = fx) = tg x ; g) y = fx) = sin 4 x + cos 4 x. Trigonometrijske jednaqine i nejednaqine 1... Neka je a R. Rexiti jednaqinu sin x = a. Kako je funkcija sinus π periodiqna dovo no je odrediti sva rexe a iz intervala [ π/, π/). Naime, ako je S 0 skup svih rexe a date jednaqine u intervalu [ π/, π/) onda je skup svih realnih rexe a date jednaqine skup S = {s+kπ : s S 0, k Z}. Rexe a jednaqine u intervalu [ π/, π/) su svi x [ π/, π/) takvi da je x apscisa preseqne taqke prave y = a i sinusoide y = sin x. Ako je a > 1 onda takvo x ne postoji jer je sin x 1 za svako x [ π/, π/). Ako je a < 1 onda je x = arcsin a ili x = π arcsin a. Ako je a = 1 onda je x = π. Ako je a = 1 onda je x = π. Za jednaqinu sin x = a vai: 1 Ako je a > 1 onda jednaqina nema rexe a; Ako je a < 1 onda je x = arcsin a + kπ, k Z ili x = π arcsin a + lπ, l Z; Ako je a = 1 onda je x = π + kπ, k Z; 4 Ako je a = 1 onda je x = π + kπ, k Z. 1... Neka je a R. Rexiti jednaqinu cos x = a. Kako je funkcija kosinus π periodiqna dovo no je odrediti sva rexe a iz intervala [ 0, π). Naime, ako je S 0 skup svih rexe a date jednaqine u intervalu [ 0, π) onda je skup svih realnih rexe a date jednaqine skup S = {s + kπ : s S 0, k Z}. Rexe a jednaqine u intervalu [ 0, π) su svi x [ 0, π) takvi da je x apscisa preseqne taqke prave y = a i kosinusoide y = cos x. Ako je a > 1 onda takvo x ne postoji jer je cos x 1 za svako x [ 0, π).

1.. Rexeni zadaci Ako je a < 1 onda je x = arccos a ili x = π arccos a. Ako je a = 1 onda je x = 0. Ako je a = 1 onda je x = π. Za jednaqinu cos x = a vai: 1 Ako je a > 1 onda jednaqina nema rexe a; Ako je a < 1 onda je x = arccos a + kπ, k Z ili x = π arccos a + lπ, l Z; Ako je a = 1 onda je x = kπ, k Z; 4 Ako je a = 1 onda je x = π + kπ, k Z. 1..4. Neka je a R. Rexiti jednaqinu tg x = a. Kako je funkcija tangens π periodiqna dovo no je odrediti sva rexe a iz intervala π/, π/). Naime, ako je S 0 skup svih rexe a date jednaqine u intervalu π/, π/) onda je skup svih realnih rexe a date jednaqine skup S = {s + kπ : s S 0, k Z}. Rexe a jednaqine u intervalu π/, π/) su svi x π/, π/) takvi da je x apscisa preseqne taqke prave y = a i funkcije y = tg x. Za svako a R postoji taqno jedno x π/, π/) takvo da je tg x = a i vai x = arctg a. Dakle, rexe a jednaqine tg x = a su x = arctg a + kπ, k Z. 1..5. Rexiti jednaqinu: a) sin x π ) = 1; 4 b) cos x + π ) = 1 6 5 ; v) cos x = ; g) sin x 1 = 0. a) Na osnovu zadatka 1.. dobijamo x π 4 = π + kπ, k Z. Otuda x = π 8 + kπ, k Z;

1. Trigonometrija b) Na osnovu zadatka 1.. dobijamo x+ π ) 1 6 = arccos +kπ, k Z ili 5 x+ π ) 1 6 = π arccos +kπ, k Z. Otuda x = π ) 1 5 6 +arccos +kπ, 5 k Z ili x = 11π ) 1 6 arccos + kπ, k Z ; 5 v) Kako je cos x 1 za svako x R i kako je > 1 sledi da jednaqina nema rexe a; g) Jednaqina sin x 1 = 0 je ekvivalentna sa jednaqinom sin x = 1. Na osnovu zadatka 1.. i s obzirom da je x 0 dobijamo x = π 6 + kπ, k N 0 ili x = 5π 6 + kπ, k N 0. Konaqno, x = π + kπ ili 6 x = π 6 kπ ili x = 5π 6 + kπ ili x = 5π kπ pri qemu je 6 k N 0. 1..6. Rexiti jednaqinu cos x = sin x. Data jednaqina je ekvivalentna sa jednaqinom cos x sin x = 0. π ) Kako je sin x = cos + x, sledi da je jednaqina cos x sin x = 0 ekvivalentna sa jednaqinom cos x+cos π ) + x = 0. Na osnovu zadatka 1..19 dobijamo da je posled a jednaqina ekvivalentna sa jednaqinom cos x + π ) = 4 0. Na osnovu zadatka 1.. dobijamo x+ π 4 = π +kπ ili x+ π 4 = π +kπ, pri qemu je k Z. Konaqno, x = π 4 + kπ ili x = 5π 4 k Z. 1..7. Rexiti jednaqine: a) tg π x = 1; b) ctg x π ) 6 = 1. + kπ, pri qemu je a) Na osnovu zadatka 1..4 dobijamo π x = arctg 1+kπ = π 4 +kπ, k N 0. Otuda x = 1 4 + k, k N 0 ili x = 1 4 k, k N 0; b) Sliqno kao u zadatku 1..4 dobijamo x π 6 = arcctg 1 ) + kπ = π + kπ, k Z. Otuda x = 5π 18 + kπ, k Z.

4 1.. Rexeni zadaci 1..8. Rexiti jednaqine: a) sin x = 1; b) cos x = 8 ; v) ctg x = ; g) tg 4 x = 1. a) Data jednaqina je ekvivalentna sa sin x = 1 odnosno sa sin x = 1 ili sin x = 1. Iz jednaqine sin x = 1, na osnovu zadatka 1.., dobijamo x = π 4 + kπ, k Z ili x = π 4 + lπ, l Z. Iz jednaqine sin x = 1, na osnovu zadatka 1.., dobijamo x = π 4 + mπ, m Z ili x = 5π 4 + nπ, n Z; b) Data jednaqina je ekvivalentna sa jednaqinom cos x = 8, to jest jednaqinom cos x =. Iz posled e jednaqine, na osnovu zadatka 1.., dobijamo Konaqno, x = 5π 6 + kπ, k Z ili x = 7π 6 + lπ, l Z. x = 5π + kπ, k Z ili x = 7π + lπ, l Z;

1. Trigonometrija 5 v) Data jednaqina je ekvivalentna sa ctg x = ili ctg x =. Otuda x = arcctg ) + kπ, k Z ili x = arcctg ) + lπ, l Z, odnosno x = π 6 + kπ, k Z ili x = 5π 6 + lπ, l Z; g) Data jednaqina je ekvivalentna sa tg x = 1 ili tg x = 1. Jednaqina tg x = 1 nema rexe a u skupu R a jednaqina tg x = 1 je ekvivalentna sa tg x = 1 ili tg x = 1. Otuda Konaqno, x = arctg 1 + kπ, k Z ili x = arctg 1) + lπ, l Z. x = π 4 + kπ, k Z ili x = π + lπ, l Z. 4 1..9. Rexiti jednaqine: a) cos x cos x = 0; b) sin x = 1 cos x ; v) sin x sin x = 0; g) cos x = sin x. a) Datu jednaqinu transformixmeo u sledee ekvivalentne oblike: Odnosno, cos x4 cos x 1) = 0 cos x cos x 1) cos x + 1) = 0. cos x = 0 ili cos x 1 = 0 ili cos x + 1 = 0 cos x = 0 ili cos x = 1 ili cos x = 1.

6 1.. Rexeni zadaci Iz jednaqine cos x = 0, na osnovu zadatka 1.., dobijamo x = π + kπ, k Z ili x = π + lπ, l Z. Iz jednaqine cos x = 1, na osnovu zadatka 1.., dobijamo x = π + mπ, m Z ili x = 5π + nπ, n Z. Iz jednaqine cos x = 1, na osnovu zadatka 1.., dobijamo x = π + pπ, p Z ili x = 4π + qπ, q Z; b) Datu jednaqinu transformixmeo u sledee ekvivalentne oblike: sin x sin x x sin sin x 1 sin x ) = sin x = 0 = 0. Odnosno, Iz jednaqine sin x sin x = 0 ili sin x = 1. = 0, na osnovu zadatka 1.., dobijamo x = 4kπ, k Z ili x = π + 4lπ, l Z. Iz jednaqine sin x = 1, na osnovu zadatka 1.., dobijamo x = π + 4mπ, m Z; v) Datu jednaqinu transformixmeo u sledee ekvivalentne oblike: sin x cos x sin x = 0 sin xcos x 1) = 0. Odnosno, sin x = 0 ili cos x = 1. Iz jednaqine sin x = 0, na osnovu zadatka 1.., dobijamo x = kπ, k Z ili x = π + lπ, l Z. Iz jednaqine cos x = 1, na osnovu zadatka 1.., dobijamo x = mπ, m Z; Primetimo da su sva rexe a jednaqine cos x = 1 i rexe a jednaqine sin x = 0.

1. Trigonometrija 7 g) Datu jednaqinu transformixmeo u sledee ekvivalentne oblike: cos x sin x = sin x cos x + sin x = 1. Kako za svako x R vai cos x + sin x = 1 dobijamo da je skup rexe a zadate jednaqine skup R. 1..40. Rexiti jednaqine: a) sin x + sin x = ; b) cos x sin x = 0.. a) Smenom t = sin x jednaqina se svodi na kvadratnu jednaqinu t + t = 0. Rexe a te kvadratne jednaqine su t 1 = 1 i t =. Otuda je polazna jednaqina ekvivalentna sa sin x = 1 ili sin x =. Iz jednaqine sin x = 1 dobijamo x = π 6 + kπ, k Z ili x = 5π 6 + lπ, l Z. Jednaqina sin x = nema rexe a; b) Kako je cos x = 1 sin x data jednaqina je ekvivalentna sa jednaqinom sin x + sin x + 1 = 0. Smenom t = sin x posled a jednaqina se svodi na kvadratnu jednaqinu t + t + 1 = 0. Rexe a te kvadratne jednaqine su t 1 = 1 i t = 1. Otuda je polazna jednaqina ekvivalentna sa sin x = 1 ili sin x = 1. Iz jednaqine sin x = 1 dobijamo x = π 6 + kπ, k Z ili x = 7π 6 + lπ, l Z. Iz jednaqine sin x = 1 dobijamo x = π + mπ, m Z. Zadatak iz filma,,xexir profesora Koste Vujia"

8 1.. Rexeni zadaci 1..41. Rexiti jednaqine: a) sin x cos x = 0; b) sin x + sin x + π ) + sin x + 4π ) = 0; v) cos x π ) cos x π ) = sin x + π ) ; 6 6 g) 5 sin x + sin x cos x + cos x = ; a) Data jednaqina je ekvivalentna sa jednaqinom sin x cos x =. Ako i levu i desnu stranu posled e jednaqine podelimo brojem dobijamo jednaqinu 1 sin x cos x = 1. Kako je cos 5π = 1 i sin 5π = posled u jednaqinu transformixemo u sledee ekvivalentne oblike: sin x cos 5π + cos x sin 5π = 1 sin x + 5π ) = 1. Iz jednaqine sin x + 5π ) = 1 dobijamo x = 7π 6 + kπ, k Z. b) Kako je i sin x + π ) sin x + 4π ) = sin x cos π + sin π cos x = sin x 1 ) + cos x = sin x cos 4π + sin 4π cos x = sin x 1 ) ) + cos x dobijamo da je leva strana zadate jednaqine identiqki jednaka 0. Otuda je skup rexe a zadate jednaqine skup R.

1. Trigonometrija 9 v) Kako je sin x + π ) π = cos 6 x π ) = cos x π ) sledi da je zadata jednaqina ekvivalentna sa jednaqinom 6 cos x π ) = 0. 6 Iz posled e jednaqine dobijamo x = π + kπ, k Z ili x = 5π + lπ, l Z. g) Kako je = cos x + sin x) zadata jednaqina je ekvivalentna sa jednaqinom sin x + sin x cos x cos x = 0. Ako je x rexe e posled e jednaqine onda je cos x 0. U suprotnom bi bilo i sin x = 0, a to je nemogue). Otuda jednaqinu moemo podeliti sa cos x. Nakon de e a dobijamo jednaqinu tg x + tg x 1 = 0. Smenom t = tg x posled a jednaqina se svodi na kvadratnu jednaqinu t + t 1 = 0. Rexe a te kvadratne jednaqine su t 1 = 1 i t = 1. Otuda je polazna jednaqina ekvivalentna sa tg x = 1 ili tg x = 1. Konaqno, x = arctg ) 1 + kπ, k Z ili x = π + lπ, l Z. 4 1..4. Rexiti jednaqine: a) cos x cos x = cos 5x; b) sin x + sin x + sin x = 0. a) Kako je cos x cos x = 1 cos 5x + cos x) zadatu jednaqinu transformixemo u sledee ekvivalentne oblike: cos 5x + cos x = cos 5x cos x = cos 5x 0 = cos 5x cos x.

0 1.. Rexeni zadaci Kako je cos 5x cos x = sin x sin x, dobijamo da je zadata jednaqina ekvivalentna sa jednaqinom Iz jednaqine sin x = 0 dobijamo sin x = 0 ili sin x = 0. x = kπ, k Z ili x = π + lπ, l Z. Iz jednaqine sin x = 0 dobijamo x = mπ, m Z ili x = π + nπ, n Z. b) Kako je sin x+sin x = sin x cos x zadatu jednaqinu transformixemo u sledee ekvivalentne oblike: Odnosno, Iz jednaqine sin x = 0 dobijamo sin x cos x + sin x = 0 sin x cos x + 1) = 0. sin x = 0 ili cos x = 1. x = kπ, k Z ili x = π + lπ, l Z. Iz jednaqine cos x = 1 dobijamo x = π + mπ, m Z ili x = π + nπ, n Z. 1..4. Rexiti jednaqinu sin 4 x + cos 4 x = 1. Kako je sin 4 x + cos 4 x = sin x + cos x) sin x cos x = 1 sin x cos x. sledi da je zadata jednaqina ekvivalentna sa sin x cos x = 0 odnosno sa Iz jednaqine sin x = 0 dobijamo sin x = 0 ili cos x = 0. x = kπ, k Z ili x = π + lπ, l Z. Iz jednaqine cos x = 0 dobijamo x = π + mπ, m Z ili x = π + nπ, n Z.

1. Trigonometrija 1 1..44. Neka je a R. Rexiti nejednaqinu sin x > a. Kako je funkcija sinus π periodiqna dovo no je odrediti sva rexe a iz intervala [ π/, π/). Naime, ako je S 0 skup svih rexe a date nejednaqine u intervalu [ π/, π/) onda je skup svih realnih rexe- a date nejednaqine skup S = {s+kπ : s S 0, k Z}. Rexe a nejednaqine u intervalu [ π/, π/) su svi x [ π/, π/) takvi da je grafik funkcije y = sin x,,iznad" grafika funkcije y = a. Ako je a 1 onda takvo x ne postoji jer je sin x 1 za svako x [ π/, π/). Ako je 1 a < 1 onda je x arcsin a, π arcsin a) videti sliku??). Ako je a < 1 onda je x [ π/, π/). Dakle, skup rexe a nejednaqine sin x > a jeste: 1 prazan skup, ako je a 1; unija svih intervala oblika arcsin a + kπ, π arcsin a + kπ), k Z, ako je 1 a < 1; skup R, ako je a < 1. 1..45. Neka je a R. Rexiti nejednaqinu cos x a. Kako je funkcija kosinus π periodiqna dovo no je odrediti sva rexe a iz intervala [ 0, π). Naime, ako je S 0 skup svih rexe a date nejednaqine u intervalu [ 0, π) onda je skup svih realnih rexe a date nejednaqine skup S = {s + kπ : s S 0, k Z}. Rexe a nejednaqine u intervalu [ 0, π) su svi x [ 0, π) takvi da je grafik funkcije y = cos x,,ispod" grafika funkcije y = a.. Ako je a 1 onda takvo x [ 0, π). Ako je 1 a < 1 onda je x [ arccos a, π arccos a ] videti sliku??). Ako je a < 1 onda takvo x ne postoji jer je cos x > 1 za svako x [ 0, π) Dakle, skup rexe a nejednaqine cos x a jeste: 1 skup R, ako je a 1; unija svih intervala oblika [ arccos a+kπ, π arccos a+kπ ], k Z, ako je 1 a < 1; prazan skup, ako je a < 1.

1.. Rexeni zadaci 1..46. Neka je a R. Rexiti nejednaqinu tg x a. Kako je funkcija tangens π periodiqna dovo no je odrediti sva rexe a iz intervala π/, π/). Naime ako je S 0 skup svih rexe a date nejednaqine u intervalu π/, π/) onda je skup svih realnih rexe a date nejednaqine skup S = {s + kπ : s S 0, k Z}. Rexe a nejednaqine u intervalu π/, π/) su svi x π/, π/) takvi da je grafik funkcije y = tg x,,iznad" grafika funkcije y = a. Dakle x arctg a, π/). Otuda skup rexe a nejednaqine tg x a jeste unija svih intervala oblika arctg a + kπ, π/ + kπ), k Z. 1..47. Rexiti nejednaqine: ) π a) sin x < ; b) sin x > 1. v) tg π x) 1; g) cos x cos x + 1 > 0. ) π a) Kako je sin x = cos x zadata nejednaqina se svodi na nejednaqinu cos x >. Kako je funkcija kosinus π periodiqna dovo no je odrediti sva rexe a posled e jednaqine koja pripadaju intervalu [ 0, π). Ta rexe a su svi x [ 0, π) takvi da je grafik funkcije y = cos x,,iznad" grafika funkcije y =. Otuda skup rexe a zadate nejednaqine koja pripadaju intervalu [ 0, π) jeste skup [ 0, 5π/6) 7π/6, π). Odnosno skup svih rexe a zadate nejednaqine jeste unija svih skupova oblika [ kπ, 5π/6 + kπ) 7π/6 + kπ, π + kπ), k Z; b) Data nejednaqina se svodi na nejednaqinu sin x > 1. Rexe a date nejednaqine su svi x R takvi da je grafik funkcije y = sin x,,iznad" grafika funkcije y = 1 videti sliku??). Skup svih rexe a zadate nejednaqine jeste unija svih intervala oblika 5π/6 + kπ, 7π/6 + kπ), k Z; v) Kako je tg π x) = tg x zadata nejednaqina se svodi na nejednaqinu tg x 1. Otuda skup svih rexe a zadate nejednaqine jeste unija svih intervala oblika π/ + kπ, π/4 + kπ), k Z;

1. Trigonometrija g) Smenom t = cos x zadata nejednaqina se svodi na kvadratnu nejednaqinu t t+1 > 0. Skup rexe a te kvadratne nejednaqine jeste skup, 1/) 1, + ). Otuda je skup svih rexe a polazne nejednaqine skup svih x R takvih da je cos x, 1/) 1, + ). Dakle, skup svih rexe a polazne nejednaqine jeste unija svih intervala oblika π/ + kπ, 5π/ + kπ), k Z. 1..48. Odrediti sva rexe a nejednaqine a) cos x > sin x; b) sin x cos x >. v) cos π 6 cos x + sin π 6 sin x ; g) cos x sin x > 1. koja pripadaju intervalu [ π, π). a) Skicirajmo grafike funkcija y = cos x i y = sin x na intervalu [ π, π] videti sliku??). Skup rexe e zadate nejednaqine koja pripadaju intervalu [ π, π) jeste skup svih x [ π, π) takvih da je grafik funkcije y = cos x,,iznad" grafika funkcije y = sin x tj. interval π/4, π/4); b) Kako je sin x cos x = sin x zadata nejednaqina se svodi na nejednaqinu sin x >. Skup svih rexe a posled e nejednaqine koja pripadaju intervalu [ π, π) jeste skup 7π/8, 5π/8) π/8, π/8) videti sliku); v) Kako je cos π 6 cos x + sin π 6 sin x = cos x π ) zadata nejednaqina se 6 svodi na nejedna cinu cos x π ) 6. Smenom t = x π jednaqina zadata nejednaqina se svodi na nejednaqinu cos t a uslov x [ π, π) se svodi na uslov t [ 7π/6, 5π/6). 6 Otuda t [ π/6, π/6] odnosno skup svih rexe a polazne nejednaqine jeste interval [ 0, π/];

4 1.. Rexeni zadaci g) Data nejednaqina se moe transformisati na sledei naqin cos x sin x cos x x sin sin x 1 sin x x sin sin x sin x + sin x > 1 > 1 > 1 < 0. Ako u posled u nejednaqinu uvedemo smenu t = sin x dobijamo kvadratnu nejednaqinu tt + ) < 0. Skup rexe a te nejednaqine jeste ), 0. Otuda je polazna nejednaqina ekvivalentna sa sin x < 0 i sin x >. Skup rexe a nejednaqine sin x < 0 koja pripadaju intervalu [ π, π) jeste π, 0). Skup rexe a nejednaqine sin x > koja pripadaju intervalu [ π, π) jeste π/, π). Otuda skup svih rexe a polazne nejednaqine koja pripadaju intervalu [ π, π) jeste π/, 0). 1..49. Odrediti sva rexe a nejednaqine: a) sin x 1 ; b) sin x cos x > ; koja pripadaju intervalu [0, π]. a) Realan broj x zadovo ava zadatu nejednaqinu sin x 1 ako i samo ako sin x 1 ili sin x 1. Otuda je skup rexe a zadate nejednaqine unija skupova rexe a nejednaqina sin x 1 i sin x 1. Skup rexe a nejednaqine sin x 1 koja pripadaju intervalu [ 0, π] jeste skup [ π/4, π/4]. Skup rexe a nejednaqine sin x 1 koja pripadaju intervalu [ 0, π] jeste skup [ 5π/4, 7π/4].

1. Trigonometrija 5 Otuda je skup rexe a polazne nejednaqine koja pripadaju intervalu [ 0, π] skup [ π/4, π/4] [ 5π/4, 7π/4]; b) Kako je sin x cos x = sin x zadata nejednaqina se svodi na nejednaqinu sin x >. Skup svih rexe a posled e nejednaqine koja pripadaju intervalu [ 0, π] jeste skup π/8, π/8) 9π/8, 11π/8) videti sliku); 1..50. Dokazati da za svako t R vai cos t + sin t 1. Kako za svako t R vai cos t 1 i sin t 1 sledi da za svako t R vai i cos t cos t i sin t sin t. Otuda je 1 cos t + sin t cos t + sin t.

6 1.. Zadaci za vebu 1. Zadaci za vebu 1..1. Izraqunati: a) cos 0; b) sin 9π 4 ; v) tg π ; g) ctg 1π 6. 1... Brojeve sin, sin 4, sin 6, sin 8 i sin 10 poreati od najma eg do najveeg. 1... Ako je α 1..4. Ako je α 1..5. Izraqunati: a) sin 19π 6 tg 19π cos 1π ctg 9π 4 sin 17π 4 cos 7π 6 π, π ) i sin α = 5 odrediti cos α, tg α i ctg α. ) π, π i tg α = a odrediti sin α, cos α i ctg α. ; b) cos π 7 cos 8π 7 + sin π 7 sin 8π 7 ; 1..6. Izraqunati cos t sin t cos t + 1, ako je poznato da je 5 + sin t cos t + sin tg t =. t 1..7. Odrediti sin α i cos α, ako je cos α + sin α =. 1..8. Izraqunati:

1. Trigonometrija 7 a) arccos 1 ; b) arcsin 0; v) arcctg 1); g) arctg. 1..9. Izraqunati: a) arcsin sin5π/4)); b) arccos cos π/)); v) arctgtg π); g) arcctg ctg π/)). 1..10. Dokazati da za svako s R vai arcsin s + arccos s = π. 1..11. Dokazati da za svako t [ 1, 1] vai sin arccos t) = 1 t. 1..1. Izraqunati arctg + arctg 1. 1..1. Dokazati da za svako x [ 1, 1] vai arcsin x) = arcsin x. 1..14. Dokazati da za svako x R vai cos arctg x) = 1..15. Izraqunati: a) sin arctg ); b) cos arcsin/7)). 1..16. Ako je sin α = m i 1 1 + x.

8 1.. Zadaci za vebu a) α [9π/, 11π/]; b) α [11π/, 1π/] izraziti α pomou arcsin m. 1..17. Izraqunati cos α, ako je sin α = 5 i α π, π ). 1..18. Izraqunati sin α + β), ako je sin α = 4, cos β = 1 5 i β π, π ). 1, α 0, π ) 1..19. Izraqunati sin π 6 + α ), ako je α 0, π ) i tg α =. π ) 1..0. Izraqunati sin α, ako je sin 4 α 1..1. Izraqunati sin α i cos α, ako je α = 1 5 i π < α < π/. 0, π ) i cos α = a. 1... Dokazati da za svako t 1, t R vai: a) cos t 1 cos t = sin t 1 + t sin t 1 t ; b) sin t 1 + sin t = sin t 1 + t cos t 1 t. 1... Dokazati da za svako t R vai a) sin t = sin t 4 sin t; b) cos t = 4 cos t cos t. 1..4. Dokazati da za svako t R\{k + 1)π : k Z} vai a) sin t = tgt/) 1 + tg t/) ;

1. Trigonometrija 9 b) cos t = 1 tg t/) 1 + tg t/). 1..5. Izraqunati cos + cos 1 cos 4 cos. 1..6. Za koje sve α i β vai sin α + sin β = sin α + β)? 1..7. Neka je α π/8 + kπ/, pri qemu je k Z. Dokazati da vai sin 4 α + sin α cos α cos 4 α tg α 1 = cos α. 1..8. Neka su α, β i γ realni brojevi koji pripadaju domenu funkcije tg takvi da je α + β + γ = π. Dokazati da tada vai tg α + tg β + tg γ = tg α tg β tg γ. 1..9. Odrediti rexe a jednaqine sin x = cos x u intervalu [0, π] x { π 6, π, 5π 6, } π 1..0. Neka je a R. Rexiti nejednaqinu sin x a. 1..1. Neka je a R. Rexiti nejednaqinu cos x > a. 1... Neka je a R. Rexiti nejednaqinu ctg x < a. 1... 1..4. Odrediti sva rexe a nejednaqine 1 cos x) sin x > [ sin x koja pripadaju intervalu π, π ].

Glava 1 Primena trigonometrije 1.1 Teorijski uvod Neka su date poluprave Op i Oq. Unija polupravih Op i Oq naziva se ugaona linija. Ugaona linija deli ravan kojoj pripada na dve oblasti. Unija svake od tih oblasti i ugaone linije naziva se ugao. Dakle, svaka ugaona linija odreuje dva ugla videti sliku??). Poluprave Op i Oq nazivaju se kraci ugla a taqka O naziva se teme ugla. Obiqno je iz konteksta jasno na koji se od tih uglova misli. Ugao qiji su kraci Op i Oq obeleava se sa poq. Radijanska mera poq jeste broj s koji je jednak duini krunog luka qiji je centar taqka O, polupreqnik jednak 1 i qiji krajevi pripadaju ugaonoj liniji videti sliku??). Ugao qija je radijanska mera 1 se naziva radijan i obeleava se sa rad. U tabeli 1.1 su date radijanske mere nekih uglova. Tabela 1.1: Radijanske mere nekih uglova ugao oxtar prav tup opruen pun mera rad) 0, π ) π π, π ) π π Osim radijana za mere e uglova koriste se i stepeni. Jedan stepen u oznaci 1 ) jeste 180-ti deo opruenog ugla. Vai 1 = π 180 rad. Jedan stepen je jednak 60 minuta 1 = 60 ) a jedan minut je jednak 60 sekundi 1 = 60 ). 1

1.1. Teorijski uvod Sinus i kosinus ugla definixemo kao sinus i kosinus ihove radijanske mere. Dakle, ako za ugao α vai α = t rad onda je sin α = sin t i cos α = cos t. Analogno se definixu tangens i kotangens ugla. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija brojeva prenose se i na trigonometrijske funkcije uglova trigonometrijski identiteti, adicione formule itd.). Neka je ABC pravougli trougao sa pravim uglom kod temena C videti sliku??). Tada vai sin α = a c cos α = b c tg α = a b ctg α = b a. Neka je ABC proizvo an trougao videti sliku??). Tada vae sinusna teorema a sin α = b sin β = c sin γ, i kosinusna teorema a = b + c bc cos α b = a + c ac cos β c = a + b ab cos γ.

1. Primena trigonometrije 1. Rexeni zadaci 1..1. Izraziti u radijanima uglove: a) α = 0 ; b) α = 5 ; v) α =, 5 ; g) α = 0 7 0. a) Kako je 1 = π 180 rad sledi da je α = π 0 = 0 180 rad = π 6 rad; b) α = 5 π = 5 180 rad = 5π 4 rad; v) α =, 5 π =, 5 180 rad = π 8 rad; g) Kako je 0 = 0, 5 i kako je 7, 5 = 0, 15 sledi da je α = 0 7 0 = 0, 15 π 161π = 0, 15 rad = 180 1440 rad. 1... Izraziti u stepenima uglove: a) α = 1 rad; b) α = π rad; v) α = 8π 9 rad; g) α =, 14 rad. a) Kako je 1 = π 180 rad sledi da je 1 rad = 180 π odnosno α = 180 π ; b) Kako je 1 rad = 180 π sledi α = π 180 π rad = 60 ; v) α = 8π 9 rad = 8π 9 180 π = 160 ; g) α =, 14 rad =, 14 180 π = 565 10π.

4 1.. Rexeni zadaci 1... Izraziti u radijanima jedan minut. Kako je 1 = 1..4. Izraqunati: a) sin 00 ; b) cos 67 0. π 180 rad i kako je 1 = 60 sledi da je 1 = π 10800 rad. a) Kako je 00 = 5π rad sledi sin 00 = sin 5π = ; b) Kako je 67 0 = π 8 rad sledi cos 67 0 = cos π 8 =. 1 + cos π 4 = 1..5. Izraqunati vrednost izraza cos 18 +cos 7 +sin 7 +sin 6. Neka je S = cos 18 +cos 7 +sin 7 +sin 6. Kako je cos 90 α) = sin α i sin 90 α) = cos α i kako je cos α + sin α = 1 sledi S = cos 18 + sin 90 7 ) + sin 7 + cos 90 6 ) = cos 18 + sin 18 + sin 7 + cos 7 = 1 + 1 =. 1..6. Izraqunati vrednost izraza sin 1 + sin +... + sin 89. Neka je S = sin 1 + sin +... + sin 89. Kako je sin α = cos 90 α) sledi S = sin 1 + sin 89 ) + sin + sin 88 ) +... + sin 44 + sin 46 ) + sin 45 = sin 1 + cos 1 ) + sin + cos ) +... + sin 44 + cos 44 ) + sin 45 = 44 + 1 = 44, 5. 1..7. Izraqunati vrednost izraza 4 cos 40 cos 10 tg 10.

1. Primena trigonometrije 5 Neka je S = 4 cos 40 cos 10 tg 10. Tada je S = 4 cos 40 sin 10 cos 10 = 4 cos 40 sin 90 + 40 ) cos 10 = 4 cos 40 sin 90 cos 40 cos 90 sin 40 ) cos 10 cos 40 = cos 10 cos 40 = cos 90 + 40 ) cos 40 = sin 40 = ctg 40. 1..8. Izraqunati vrednost izraza sin 4 + sin sin 1 sin cos 4 + cos + cos 1 + cos. Tada je Neka je S = sin 4 + sin sin 1 sin cos 4 + cos + cos 1 + cos. S = sin 4 sin 1 ) + sin sin ) cos 4 + cos 1 ) + cos ) + cos = sin 15 cos 7 + sin 15 cos 17 cos 7 cos 15 + cos 17 cos 15 = sin 15 cos 15 cos 7 + cos 17 cos 7 + cos 17 = sin 15 cos 15 = 1 cos 0 1 + cos 0 = +. 1..9. Izraqunati vrednost izraza 4 sin 70 sin 0 cos 0.

6 1.. Rexeni zadaci Neka je S = 4 sin 70 sin 0 cos 0. Tada je ) S = 4 sin 70 sin 0 + 1 cos 0 = 4 sin 70 cos 0 sin 0 + sin 0 cos 0 ) = 4 sin 70 sin 50 = 1 cos 140 ) sin 50 = cos 90 cos 50 sin 90 sin 50 ) sin 50 = + sin 50 sin 50 =. 1..10. Izraqunati cos 10 cos 50 cos 70. Neka je S = cos 10 cos 50 cos 70. Tada je S = 1 cos 60 + cos 40 ) cos 70 = 1 ) 1 cos 70 + cos 40 cos 70 = 1 1 cos 70 + 1 ) cos 110 + cos 0 ) = 1 ) cos 70 + cos 110 + 4 = 1 ) cos 70 cos 70 + = 4 8. 1..11. Neka su α i β oxtri uglovi i α < β. Dokazati da vai sin α < sin β i cos α > cos β. Kako su α i β oxtri uglovi, ihova radijanska mera pripada intervalu 0, π ). Funkcija sinus je rastua a funkcija kosinus opadajua na intervalu 0, π ) pa vai sin α < sin β i cos α > cos β. 1..1. Poreati brojeve a = sin 5, b = ctg 50 i c = cos 65 od najma- eg do najveeg. Uporedimo brojeve a i c. Vai cos 65 = sin 90 65 ) = sin 5. Kako je 5 < 5 sledi sin 5 < sin 5 tj. c < a.

1. Primena trigonometrije 7 Uporedimo brojeve b i c. Vai ctg 50 cos 50 cos 65 = > sin 50 sin 50 > cos 65. Pri tome prva nejednakost sledi iz nejednakosti 50 < 65 a druga iz nejednakosti sin 50 < 1. Dakle b > c. Uporedimo brojeve a i b. Vai ctg 50 cos 50 sin 40 = = sin 50 sin 50 > sin 40 > sin 5. Pri tome prva nejednakost sledi iz nejednakosti sin 50 < 1 a druga iz nejednakosti 5 < 40. Dakle b > a. Konaqno c < a < b. 1..1. Duine kateta pravouglog trougla su a = 16 i b, duina hipotenuze je c a veliqine odgovarajuih uglova su, redom, α, β i γ. Izraqunati b, c, α, β i γ, ako je poznato da je sin α = 1. Kako je sin α = a c sledi c = a tj. c =. Iz Pitagorine sin α teoreme dobijamo b = c a = 16. Kako je sin α = 1, sin β = a c = i γ prav ugao sledi α = 0, β = 60 i γ = 90. 1..14. Duine stranica oxtrouglog trougla su a = 9, b = 60 i c, a veliqine odgovarajuih uglova su, redom, α, β i γ. Ako je sin α = 5, izraqunati sin γ. Kako je poznato sin α iz jednakosti cos α + sin α = 1 moemo izraqunati i cos α. Vai cos α = ± 1 sin α. Kako je trougao oxtrougli bie cos α > 0. Odnosno ) cos α = 1 sin α = 1 = 4 5 5. Otuda duinu stranice c moemo izraqunati iz jednakosti a = b + c bc cos α, odnosno duina stranice je rexe e kvadratne jednaqine c 96c + 079 = 0. Rexe a te kvadratne jednaqine su 6 i. Pretpostavimo da je c =. Tada iz jednakosti b = a + c ac cos β

8 1.. Rexeni zadaci dobijamo da je cos β < 0 a to je u suprotnosti sa pretpostavkom da je trougao oxtrougli. Dakle c = 6. Konaqno sin γ dobijamo iz jednakosti a sin α = c sin γ. Vai sin γ = c a sin α = 6 65. 1..15. Neka su a, b i duine stranica trougla a γ ugao koji odreuju te stranice. Dokazati da je povrxina trougla P 1 jednaka ab sin γ. Posmatrajmo sliku??. Vai P = 1 bh h b b. Kako je a P = 1 ba sin γ. = sin γ sledi 1..16. Povrxina oxtrouglog trougla jeste P = 1 a dve stranice su 1 a = 1 i b =. Izraqunati duinu tree stranice c. Kako je P = 1 P ab sin γ sledi sin γ = ab = 1. Kako je trougao 1 oxtrougli cos γ = 1 sin γ = 5 1. Otuda iz jednakosti c = a + b ab cos γ dobijamo c = 45 5 1 tj. c = 1. 1..17. Duine stranica trougla su a =, b = 1 i c, a veliqine odgovarajuih uglova su, redom, α, β i γ. Ako je α = β, izraqunati obim i povrxinu trougla. Neka je O obim a P povrxina trougla. Kako je O = a + b + c P = 1 ab sin γ. Dovo no je da odredimo c i sin γ. Vai γ = 180 α+β), pa ugao γ moemo odrediti ako znamo uglove α i β. Kako je α = β a i sin α = b sin β dobijamo a sin β a sin β cos β a cos β = = = b b sin β b sin β

1. Primena trigonometrije 9 odnosno cos β = a b =. Otuda je β = 0, α = 60 i γ = 90. Kako je γ = 90 sledi c = a + b =. Konaqno O = + a P =. 1..18. Neka je a duina jedne stranice, α ugao naspram te stranice i a R polupreqnik opisane krunice trougla. Dokazati da vai sin α = R. Prvi sluqaj α = 90 ). Kako je u ovom sluqaju a hipotenuza trougla sledi a sin 90 = a = R. Drugi sluqaj α < 90 ). Posmatrajmo sliku??. Kako su α i BOC periferijski i centralni ugao nad tetivom BC i kako su taqke O i A sa iste strane prave BC sledi BOC = α. Primenom kosinusne teoreme na trougao BOC dobijamo a = R + R R R cos α = R 1 cos α) = 4R sin α. a Iz posled e jednakosti neposredno sledi sin α = R. Drugi sluqaj α > 90 ). Posmatrajmo sliku??. Kako su trouglovi ACO i ABO jednakokraki sa vrhom O dobijamo ACO = CAO i BAO = ABO. Kako je α = CAO + BAO i kako je zbir uglova u qetvorouglu 60 sledi BOC = 60 α. Primenom kosinusne teoreme na trougao BOC dobijamo a = R + R R R cos 60 α = R 1 cos α) = 4R sin α. Iz posled e jednakosti neposredno sledi a sin α = R. 1..19. Neka su a, b i c duine stranica a R polupreqnik opisane krunice trougla. Dokazati da je povrxina trougla P jednaka abc 4R. Kako je P = 1 c ab sin γ i kako je sin γ = R sledi P = abc 4R. 1..0. Duina stranice pravilnog osmougla je a. Izraqunati povrxinu pravilnog osmougla.

10 1.. Rexeni zadaci Posmatrajmo sliku??. Sa slike se vidi da je povrxina osmougla P = d + 4 1 a sin α. Primenom kosinusne teoreme dobijamo d = a + a a a sin α Zbir unutrax ih uglova osmougla je S 8 = 8 ) 180. Kako je osmougao pravilan sledi α = S 8 8 = 15. Konaqno P = a 1 + sin α cos α) = a 1 + ). 1..1. Za koje vrednosti x je trougao qije su stranice duine x, 5 i 1 tupougli. Na osnovu nejednakosti trougla od dui duine x, 5 i 1 se moe konstruisati trougao ako i samo ako je x > 1 5 i x < 1 + 5, tj. ako i samo ako x 7, 17). Trougao je tupougli ako i samo ako je ugao naspram najdue stranice tup. Pretpostavimo da je najdua stranica trougla stranica duine 1 i neka je ϕ ugao naspram te stranice. Kako je ϕ tup ugao ako i samo ako je cos ϕ < 0 iz jednakosti 1 = x + 5 x 5 cos ϕ dobijamo da je ugao ϕ tup ako i samo ako je 1 > x +5 i x 7, 1] odnosno ako i samo ako x 7, 119 ). Pretpostavimo da je najdua stranica trougla stranica duine x i neka je ϕ ugao naspram te stranice. Kako je ϕ tup ugao ako i samo ako je cos ϕ < 0, iz jednakosti x = 1 + 5 1 5 cos ϕ dobijamo da je ugao ϕ tup ako i samo ako je x > 1 + 5 i x 1, 17) odnosno ako i samo ako x 1, 17). Konaqno, x 7, 119 ) 1, 17). 1... Dva ugla trougla su 45 i 0 obim trougla je 6 + + ). Izraqunati povrxinu trougla. Neka je α = 45, β = 0 a γ nepoznati ugao trougla. Neka su a, b i c duine stranica trougla naspram uglova α, β i γ redom. Tada je γ = 180 45 + 0 ) = 105. Iz jednakosti a sin α = b sin β = c sin γ,

1. Primena trigonometrije 11 s obzirom da je sin 45 = 1, sin 0 = 1 i sin 75 = sin 45 + 0 = + 1) 4 dobijamo a = b = 4c + 1). Otuda je b = a + 1) i c = a. Da e je a + b + c = a + + ) = 6 + + ) odakle sledi a = 1, b = 6 i c = 6 + 1). Neka je P povrxina trougla. Tada je P = 1 ab sin γ = 18 + 1). 1... Zbir uglova pod kojim se sa 100, 00 i 00 metara uda enosti vidi tora jeste 90. Odrediti visinu tor a. Posmatrajmo sliku??. Vai α + β + γ = 90, tg α = x 00 i tg γ = x. Otuda je 100 odnosno tg γ = tg 90 α + β)) = tg α + β) = x x 1 100 = 00 x 00 x 00 + x. 00 1 tg α tg β tg α + tg β, x 00, tg β = Posled a jednaqina se svodi na jednaqinu x = 10 000. Sledi da je visina tor a 100 metara.

1 1.. Zadaci za vebu 1. Zadaci za vebu 1..1. Izraziti u radijanima uglove: a) α = 100 ; b) α = 6, 5 ; v) α = 18 15 ; g) α = 18 0. 1... Izraziti u stepenima uglove: a) α = π 8 ; b) α = 9π 7. 1... Odrediti konveksan ugao koji odreuju mala i velika kaza ka na satu, ako sat pokazuje sledee vreme: a) 14h; b) 18h0min; v) h45min. 1..4. Neka je ϕ = 5. Izraqunati sin ϕ, cos ϕ, tg ϕ i ctg ϕ. 1..5. Izraqunati: a) sin 47 + sin 61 sin 11 sin 5 cos 7 ; b) cos 0 cos 40 cos 60 cos 80 ; v) sin 160 sin 100 cos 4 40 sin 4 40 ) ; g) tg 9 + tg 81 + tg 117 + tg 15. 1..6. Poznato je da je α tup ugao i sin α = stepenima i radijanima.. Odrediti ugao α u

1. Primena trigonometrije 1 α. 1..7. Poznato je da je α oxtar ugao i cos α 45 ) = 1. Odrediti ugao 1..8. Neka su α i β oxtri uglovi takvi da je tg α = Izraqunati α β. + 1 1 i tg β = 1. 1..9. Hipotenuza pravouglog trougla tri puta je vea od jedne katete. Izraqunati uglove tog trougla. 1..10. Dokazati da je trougao qije su stranice a = 11, b = 14 i c = 18 tupougli. 1..11. Tora koji je visok 0m i nalazi se na levoj obali reke je od iste uda en 0m. Vrh tor a se iz taqke na desnoj obali koja je taqno preko puta taqke sa leve obale koja je najblia tor u vidi pod uglom 0. Kolika je xirina reke na tom mestu? 1..1. Izraqunati povrxinu xrafirane figure na slici?? 1..1. Oko kruga polupreqnika + 1 opisan je pravilan osmougao. Izraqunati povrxinu tog osmougla. U zadacima?? se razmatra trougao ABC u kome je a = BC, b = CA, c = AB, α = BAC, β = CBA i γ = ACB. 1..14. Odrediti nepoznate stranice i uglove trougla ABC ako je a = 18, β = 60 i γ = 75. 1..15. Odrediti uglove trougla ABC ako je a = 6, b = 1 i c = 1. 1..16. Odrediti nepoznate stranice i uglove trougla ABC ako je:

14 1.. Zadaci za vebu a) a = 4, b = 4 i β = 0 ; b) a = 4, b = 4 4 i β = 0 ; v) a = 4, b = 4 i β = 0. 1..17. Odrediti nepoznate stranice i uglove trougla ABC ako su poznati uglovi α i β i polupreqnik opisane krunice R. 1..18. Dat je trougao ABC. Ako je ACB = 70, duina visine iz temena A jednaka 4 i duina visine iz temena B jednaka izraqunati du- inu stranice AB, polupreqnik opisane kruinice i povrxinu trougla ABC. 1..19. Ako su α, β i γ uglovi trougla, dokazati da vai: a) sin α + sin β + sin γ = 4 cos α cos β cos γ ; b) tg α + tg β + tg γ = tg α tg β tg γ. a) Iskoristiti da vai γ = 180 α+β), sin α+sin β = sin α + β cos α β, sin α + β) = sin α + β cos α + β i cos α + β +cos α β = cos α cos β ; b) 1..0. Dokazati da ako za uglove α, β i γ nekog trougla vai jednakost onda je taj trougao jednakokraki. tg α β) + tg β γ) + tg γ α) = 0, 1..1. Neka su a, b i c duine stranica, α, β i γ uglovi i R polupreqnik opisane krunice trougla. Dokazati da vai a cos α + b cos β + c cos γ = 4R sin α sin β sin γ. 1... Dat je trougao ABC sa stranicama AB = i AC =. Neka je D taqka na stranici BC takva da je BAD = 0 i CAD = 45. Izraqunati duinu dui AD.