Mathcad Modul #9 Simbolicki proracuni Resavanje jednacine po jednoj nepoznatoj Simbolicko diferenciranje i integracija

Σχετικά έγγραφα
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

Reverzibilni procesi

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

IZVODI ZADACI (I deo)

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 16.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elementi spektralne teorije matrica

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

Aritmetički i geometrijski niz

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

transformacija j y i x x promatramo dva koordinatna sustava S i S sa zajedničkim ishodištem z z Homogene funkcije Ortogonalne transformacije

IZVODI ZADACI (I deo)

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

Trigonometrijske nejednačine

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

Moguća i virtuelna pomjeranja

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

( ) BROJNI PRIMER 4. Temeljni nosač na sloju peska. Slika 6.3. Rešenje: Ekvivalentni modul reakcije podloge/peska k i parametar krutosti λ :

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Računarska grafika. Rasterizacija linije

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

Teorijske osnove informatike 1

numeričkih deskriptivnih mera.

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

TEHNIČKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U RIJECI Zavod za elektroenergetiku. Prijelazne pojave. Osnove elektrotehnike II: Prijelazne pojave

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Operacije s matricama

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Kaskadna kompenzacija SAU

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

18. listopada listopada / 13

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

Računarska grafika. Rasterizacija linije

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

5. Karakteristične funkcije

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su

POLINOMI predavač: dr Marko Petković

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Polarizacija. Procesi nastajanja polarizirane svjetlosti: a) refleksija b) raspršenje c) dvolom d) dikroizam

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

radni nerecenzirani materijal za predavanja

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

Dinamika krutog tijela ( ) Gibanje krutog tijela. Gibanje krutog tijela. Pojmovi: C. Složeno gibanje. A. Translacijsko gibanje krutog tijela. 14.

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

1 Promjena baze vektora

Metoda najmanjih kvadrata

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

7 Algebarske jednadžbe

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Obrada signala

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

5 Ispitivanje funkcija

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

Ekonometrija 4. Ekonometrija, Osnovne studije. Predavač: Aleksandra Nojković

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Transcript:

Mathcad Modul #9 Smbolck proracun Resavanje jednacne po jednoj neponatoj Smbolcko dferencranje ntegracja U nženjerskm proračunma občno želmo numerčk reultat tj. reultat u oblku brojnh vrednost. U nekm prlkama je korsno dobt reultat u smbolčkom (analtčkom) oblku. Mathcad je prvenstveno numerčk paket ovde ćemo samo ukratko spomenut mogućnost Mathcad-a u smbolčkm proračunma. Smbolčk sstem je dostupan na dva mesta. Prvo je u glavnom menju Matcad-a opcja Smbolcs. Drugo je Smbolc paleta. Smbolčk proračun se mogu vršt u Mathcadu tako što unesete matematčk regon a atm obuhvatte taj regon lnjama a edtovanje Zatm glavnog menja brate brate opcju Smbolcs>Evaluate>Smbolcall. Dobjate reultat spod datog regona (u avsnost kako je defnsano u Smbolcs>Evaluaton stle) ( x ) ( x ) x x Drug načn je korštenjem palete kada umesto bora menja brate strelcu udesno Smbolc palete, skraćenca sa tastature je stovremen prtsak na dve tpke [CTRL]. ( x ) x x x Dobl ste takav reultat (smbolčk) jer vektor x nje defnsan. Ako vektor x pre toga defnšete, recmo x : 4.8 0 ( x ).8

Zamenjuje se vrednost a promenljvu x u prethodn reultat. Prmette da Mathcad daje smbolčk reultat u oblku sa nedefnsanm promenljvama, celm brojevma, osnovnm računskm radnjama, operacjama funkcjama - kad god je to moguće. Ako baš nsstrate da vam da reultat kao brojnu vrednost, možete umesto desne strelce abrat desnu strelcu sa ključnom reč (desnu strelcu sa plejsholderom unet float tj. jednu od ključnh reč u Smbolc palet) nanačt sa kolko cfara želte reultat, npr. 0 ( x ) float, 0 44.049 Pronađte smbolčke reultate sledećh raa (operator su u Calculus palet) Prv vod d d n - t vod d d Neodređen ntegral (prmette da reultat ne daje ntegraconu konstantu) d Određen ntegral r 4 0 r d Všestruk određen ntegral R π L r dl dθ dr 0 0 0 Grančne vrednost (lmes) lm Rešavanje jednačne po jednoj neponatoj. Evo odmah prmera. Ako mate potrebu da rate jednu promenljvu složenog raa, takođe vam tu Mathcad može pomoć. Recmo da mate ra da ga želte

rešt po a b c b a a a b c d poconrate se na promenljvu po kojoj želte da rešte jednačnu (obratte pažnju da u jednačn fgurše relacono jednako) aberemo opcju glavnog menja Smbolcs>Varable>Solve a b c b a a a b c d ( a d a d b a d b a d c c d) b ( c d a a b a b a ) Ispod ove jednačne (l u avsnost kako je defnsano pod opcjom Smbolcs>Evaluaton stle) ćemo dobt reultat jednačnu rešenu po Možete reć da se problem može rešt "pešaka" al vam pak a "sređvanje" ove jednačne treba vše vremena da ste najverovatnje slčan problem moral da proveravate vše puta. Pokušajte ovu jednačnu da rešte po a,b,c,d Često se traž resenje kvadratne jednačne tj. rešenja jednačne a b c 0 Još najranjeg školovanja namo da ova jednačna ma dva rešenja po gde su a,b,c nek ponat parametr. Da l Mathcad može da h nađe (pod pretpostavkom da smo to aboravl l nemamo pr ruc nek matematčk prručnk)?. Možemo to uradt na dva načna. Prv je već spomenut načn tj poconramo se na promenljvu abermo glavnog menja Smbolcs>Varable>Solve a a b c 0 b b 4 a c a b b 4 a c Nema neke velke korst od ovog prmera nego je samo dat da se vd načn koršćenja Smbolcs opcje

glavnog menja. Ako baš želmo rešenja a ralčte a,b,c onda je bolje korstt drug načn tj. paletu Smbolcs jer su takv regon "žv" tj. menjaju se rešenja u avsnost od promene parametara. Kako? Prethodnu jednačnu b smo, u opstem slučaju, na ovaj načn mogl rešt tako što aberemo opcju solve Smbolcs palete Prmette dva plejsholdera. U levom unosmo jednačnu a u desnom promenljvu po kojoj tu jednačnu želmo da rešmo tj. a b c 0 solve, b b b 4 a c a b 4 a c a Al dalje nsmo rešl problem rešenja a ralčte a,b,c. Prncpjelno, dobjate rešenje u smbolčkom oblku pr čemu će se ponate promenljve koje fguršu u reultatu ament njhovm numerčkm vrednostma. Ponovmo sledeć prmer u prethodno defnsane a,b,c a a : b : c : 7 b c 0 solve, Ako želte baš brojne vrednost možete korstt već spomenut float operator l operator a numerčko računavanje reultata raa tj. občno jednako. Evo reultata a b c 0 solve,.97 0.77 Promente defnsane numerčke vrednost a a,b,c apate šta nač da je ovaj smbolčk regon "žv" (menjaju se reultat!) Evo jednog očglednog prmera gde rešavamo jednačnu koje odmah možemo vdet rešenja a Mathcad će nam dat vektor baš th rešenja ( ) ( ) ( ) 0 solve, Obratte pažnju da će Mathcad da se bun (pocrven) ako je pre ovog regona defnšana promenljva tj ma numerčku vrednošt (pokusajte). To u prevodu nač da nje dovoljeno šmbolčko rešenje neke jednačne po promenljvoj kojoj je prethodno dodeljena numerčka vrednost. Možemo l onda promenljvoj dodelt smbolčk ra? Pa da probamo.

a : ALFA b c : BETA Ovde se Mathcad bun jer promenljve ALFA,BETA,GAMA nsu defnsane : GAMA Prmette da to smbolčkom mehanmu ne smeta. Čak šta vše, dobjate korektan reultat a b c 0 solve, BETA BETA BETA 4 ALFA GAMA ALFA BETA 4 ALFA GAMA ALFA Nota Prmetl ste da Mathcad smbolčk sstem daje reultat u što sređenjoj form može, odnosno 7 0 solve, 09 09 Međutm ako to ne može, dobćete numerčke vrednost čak sa 0 cfara (pomoću float možete smanjt broj prkaanh cfara).7 7 0 solve, 0.708747700899.99909708.7 7 0 solve, float, 4 0.709.9 Ovo je dobjeno kada posle solve, aberete float Smbolc palete. Dobjate vertkalnu crtu tada unesete 4 u preostal plejsholder. Na taj načn se mogu kombnovat vše ključnh reč u smbolčkm proračunma Ponovte unos prethodnog regona Kvadratna jednačna je nelnearna jednačna a koje se može nać analtčko rešenje a šta je sa nelnearnm jednačnama a koje nemamo analtčko rešenje? Pokušajmo da takav problem adamo smbolčkom sstemu Mathcad-a Defnšmo neku funkcju jedne promenljve f ( v) :.8 00 v 0 0. v v 0 tražmo vrednost v a koju ova funkcja ma nultu vrednost (koren)

f ( v) 0 solve, v 0.794809477890 0.00000984.7744888887e-9 0.77477904404874.7744888887e-9 Ko b rekao da se ovoga vukao? Dao nam je čak tr rešenja. Kako to da provermo? Pošto je reultat vektor, smestćemo ga u vektor tj. re : f ( v) 0 solve, v 0.794809477890 0.00000984.7744888887e-9 0.77477904404874.7744888887e-9 re 0.79 0.0 0.77 provermo kolko vrednost ma funkcja a svak element vektora f ( re).74 0.87 0.84 0 Nje tako loše, sve vrednost su dosta blske 0. O ovome b se moglo jos dskutovat al drugom prlkom. Nje to nšta čudno jer je u prncpu adata kubna jednačna a ona ma tr rešenja (korena). Kako namo da je ovo kubna jednačna? Ostavćemo to čtaocu da aključ l ćemo to prepustt Mathcad-u. Pomnožćemo levu desnu stranu jednačne sa menocma (desna strana ostaje 0) skorsttmo ključnu reč smplf koja pojednostavljuje ra..8 00 v 0 0. v v 0 ( v 0 ) v v 0 smplf 99. v 0.4 v 4.0 v 0.99 float, 4 Ako Mathcad ne može da nađe rešenje smbolčkm sstemom onda vam kao reultat vraća st ra kao polan, što je nak da ne uspeva da ga reš, l vam daje poruku Ipak obratte pažnju u ovakvm slučajevma jer stu poruku možete dobt ako je slučajno neka promenljva numerčk defnsana tj. nje smbolčka. Nota Smbolčk proračun su veoma kompleksan problem današnj softver (ako moćan) često ma problema sa smbolčkm proračunma. Postoje moćn posebn smbolčk paket kao što su Mathematca, Maple, Maxma, Axom td (Mathcad korst deo Maple-a a smbolčke proračune) Znač, nemojte pomslt da vam nanje matematke vše nje potrebno jer ono je preduslov a uspešno korštenje datog softvera. Preporuka je da treba uvek bt obarv krtčan prema reultatma koje dobjate smbolčkm sstemom blo kog smbolčkog softvera.

Kraj