ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΎΛΗ: Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνάρτησης ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: Οκτωβρίου 07 Θερινά Τμήματα Απαντήσεις ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό Βιβλίο Σελίδα 5 (Μονάδες 5) Α. Σχολικό Βιβλίο Σελίδα 9. (Μονάδες 3) Α3. (α) Ψ (β) Θεωρούμε τις συναρτήσεις:, 0 και, 0 g έχουμε: Για την συνάρτηση g, 0, 0, 0 0, 0 g 0 για κάθε R., 0 0, 0 g 0 0. Άρα το όριο της συνάρτησης Οπότε 0 0 g στο 0 υπάρχει και είναι ίσο με το 0. Α. δ Όμως: 0 0 0 0 Άρα δεν υπάρχει το όριο της στο 0. g 0 0 0 0 g Άρα δεν υπάρχει το όριο της g στο 0. Α5. (i) Λάθος (ii) Λάθος (iii) Λάθος (iv) Σωστό (v) Λάθος (Μονάδες + 3) (Μονάδες 3) (Μονάδες 0) Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα
ΘΕΜΑ B, 0 και g B. B.. Έχουμε D = [0,+ ) και Dg = [,+ ). Για την g: Dg: g() D: g 0 0 0 Οπότε Dg = [,+ ). Για τον τύπο της έχουμε: g g Για την g: D: 0 ή () Dg: Οπότε Dg = [,+ ). Για τον τύπο της έχουμε: Για την : g g Για κάθε, D με έχουμε: 0, 0 Άρα η είναι και αντιστρέψιμη. Έστω y y y y y 0 y 0, που ισχύει πάντα. Οπότε D Για την g :, [, ). Για κάθε, Dg με g g έχουμε: Άρα η g είναι και αντιστρέψιμη. Έστω y g y y y0 y y y 0 που ισχύει πάντα g, D [0, ). Οπότε g (Μονάδες 5) Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα
B3. Για την g g D g : : 0 D g : R Οπότε D [0, ). Για τον τύπο της έχουμε: g g g g = έστω y = + όταν το + το y = y y Άρα το αρχικό όριο γίνεται:. g g = 0, αφού έστω y = όταν το + το y = y y Άρα το αρχικό όριο γίνεται: (Μονάδες 6). (Μονάδες 6) Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 3
B. g e g e g Θα πρέπει: 6 () e - + 0 e -, που ισχύει πάντα + 0 g e g g g e g g e e 0() έστω h() = e - με Dh =[,+ ) Παρατηρώ ότι h(0) = 0. Άρα το = 0 είναι μια ρίζα της h. Για κάθε, Dh με < έχουμε: e e e Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω ανισότητες έχουμε: e e h( ) h Άρα η h είναι γνησίως φθίνουσα στο Dh οπότε η παραπάνω ρίζα είναι μοναδική. Οπότε θα έχουμε: e 0 h( ) 0 0 (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Γ Γ. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο των τετμημένων των σημείων της C στον άξονα, επομένως: D = (,) (,+ ) T σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το σύνολο των τεταγμένων των σημείων της C στον άξονα y y, επομένως: (D) = R Παρατηρούμε ότι υπάρχουν ευθείες παράλληλες στον οι οποίες τέμνουν την γραφική παράσταση σε παραπάνω από ένα σημείο. Οπότε η δεν είναι αντιστρέψιμη. (Μονάδες 6) Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα
Γ. 3 3 H συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στα,,,,, Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 3 = 3., 3 3 3 3 0 0 Γ3. H πρόταση είναι Σωστή, αφού τα σημεία συνέχειας μιας συνάρτησης τα αναζητούμε μόνο στα σημεία του πεδίου ορισμού της. Οπότε η είναι συνεχής στο διάστημα (,), (,+ ), δηλαδή σε όλο το πεδίο ορισμού της. Γ. (α), διότι, από το σχήμα, όταν το παίρνει όλο και μικρότερες τιμές το y μειώνεται συνεχώς, οπότε η τείνει στο. (β) 0, αφού η είναι συνεχής στο = και ( ) = 0 (σημείο τομής της C με τον άξονα ) (γ) δεν υπάρχει, αφού: 0 0 ( ) 0 0, αφού () > 0 κοντά στο 0-0 ( ), αφού () <0 κοντά στο 0 +. 0 ( ) 07 (δ) 07, αφού, αφού > 0 ( ) κοντά στο + και () > 0 κοντά στο +., ( ) αφού < 0 κοντά στο - και () < 0 κοντά στο -. e (ε) 0 = 0, αφού e άρα και e 0 e 0 ( ).. Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 5
(στ) ΘΕΜΑ Δ Έστω y = () όταν + το y ( ) = 0, αφού ( y) y y y 3 3e :R R, e e Δ. Για = 0 στην () έχουμε: 0 (0) 3 3e (0) 3 e (0) e 0 0 () e 3 Έστω g( ) e, D g R Για κάθε, Dg με < έχουμε: e e 3 3 Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω ανισότητες έχουμε: 3 3 e e g( ) g () Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο Dg οπότε και. Οπότε η σχέση () γίνεται: () g 0 g 0 g 0 0 0 (Μονάδες 5) Δ. H σχέση () γράφεται: 3e 3e 3 g ( ) g ( ) e e 3e 3 3e g ( ) g ( ) e e e e g ( ) 3 e (3) Α τρόπος για μονοτονία: Για κάθε, D με < έχουμε: e e e e e e (3) g 3 3 g g e e e e Άρα γνησίως αύξουσα στο D. g ύ Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 6
Β τρόπος για μονοτονία: Έστω, D με <. Θα αποδείξουμε ότι μέθοδο απαγωγής σε άτοπο. Υποθέτουμε ότι ισχύει e e 3 3 Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω ισότητες έχουμε: (3) Θα εργαστούμε με τη 3 3 e e 3 3 e e e 0 e e e e Άρα γνησίως αύξουσα στο D. Τότε έχουμε:, άτοπο αφού <. Οπότε το = 0 θα είναι και μοναδική ρίζα της, αφού (0) = 0.. ύ για κάθε > 0 0 0. ύ 0 0 για κάθε < 0 Οπότε το πρόσημο της φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: 0 + + (Μονάδες 8) Δ3. 0 y y0 y0 y y 0 0 0 Άρα από κριτήριο παρεμβολής 0 0 (Μονάδες 5) Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 7
3 Δ. Θεωρούμε τη συνάρτηση h( ) Η h είναι συνεχής στο [α,β] ως πολυωνυμική. h( ) 0, αφού 0. ύ 0 3 h( ) 0, αφού 0 0 3. ύ 0 0 0 Άρα από θεώρημα Blzan, υπάρχει τουλάχιστον ένα γ (α,β) τέτοιο ώστε: 3 0 3 h 0 0 Έστω, [α,β] με < 3 3 ( ) 0 3 3 ( ) ( ) 0 Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω ανισότητες έχουμε: h() < h(). Οπότε η h είναι γνησίως αύξουσα στο [α,β], άρα ο αριθμός γ είναι η μοναδική ρίζα της h(). (Μονάδες 7) ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!! Τις απαντήσεις επιμελήθηκαν οι καθηγητές: Καψαλιάρης Στέλιος Νίκου Δημήτρης Παπαθανασίου Νίκος Σιταρίδης Σπύρος Τογανίδης Νίκος Χαραλαμπίδης Δημήτρης Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 8