GIMNZIJ I STRUKOVN ŠKOL JURJ DORILE PZIN NSTVNI PREDMET: MTEMTIK nalitiča geometrija u ravnini. GORTN ROERT..00 Nastavno pismo
NSTVNO PISMO - MTEMTIK TEHNIČR Z ELEKTROTEHNIKU TLI SDRŽJ. NLITIČK GEOMETRIJ U RVNINI...... udaljenost točaa u ravnini...... polovište dužine...... površina trouta.....4. težište trouta.... 4 4. OLII JEDNDŽE PRV.... 5 4.. implicitni obli jednadžbe pravca... 5 4.. esplicitni obli jednadžbe pravca... 5 4.. segmentni obli jednadžbe pravca... 5 4.4. jednadžbe pravaca roz jednu i dvije toče.... 6 4.5. jednadžba pravca roz jednu toču.... 6 4.6. jednadžba pravca roz dvije toče.... 7 5. PRLELNOST I OKOMITOST PRV.... 7 6. PRESJEK DVJU PRV.... 8 7. KRUŽNI.... 9 7.. odnos pravca i ružnice.... 9 7.. tangenta i normala ružnice...
NSTVNO PISMO - MTEMTIK TEHNIČR Z ELEKTROTEHNIKU. NLITIČK GEOMETRIJ U RVNINI... UDLJENOST TOČK U RVNINI. o su zadane dvije toče u oordinatnom sustavu ao odrediti njihovu udaljenost? ( ) ( ) d( ) ( ) ( ) Primjer. Odredi udaljenost točaa (4) i (5). d d d ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4) ( 5 ) ( ) 9 6 5 5 (8) (5) (4) 0.. POLOVIŠTE DUŽINE. o su zadane dvije toče i njihova spojnica dužina ao odrediti polovište ili toču oja dijeli dužinu na dva jednaa dijela? ( ) ( ) P P P (9) Primjer. Odredi polovište dužine ao su (4) i (5). P 4 5 P P ( ) poloviste duzine.. POVRŠIN TROKUT. (5) P() (4) 0 o su zadane tri toče u oordinatnom sustavu ao izračunati površinu trouta što ga te tri toče određuju? ( ) ( )( ) P ( ) ( ) ( ) (0) NPOMEN: o su toče trouta orijentirane u smjeru azalje na satu površina bi bila negativna pa je stoga u formulu uljučena i apsolutna vrijednost.
NSTVNO PISMO - MTEMTIK TEHNIČR Z ELEKTROTEHNIKU Primjer. Odredi površinu trouta ao su ()(5) i (4). P P ( 4) 5( 4 ) ( ) P 5 0 5 v.jedinica ( ) ( ) ( ) (4) () (5) 0 NPOMEN: Površinu trouta moguće je izračunati i po Heronovoj formuli ( s a)( s c)( s c) P s () gdje je s poluopseg trouta a b c s (). ab i c su duljine stranica trouta (formula (8)) a d()b d()c d( )..4. TEŽIŠTE TROKUT. o su zadane tri toče u oordinatnom sustavu ao izračunati težište trouta što ga te tri toče određuju? Težište je toča u ojoj se sijeu težišnice trouta. Težišnice su dužine oje spajaju vrh trouta i polovište nasuprotne stranice. ( ) ( )( ) T () T ( ) T T Primjer. Odredi oordinate težišta trouta ao su ()(5) i (4). T 5 4 T 7 T teziste trouta Primjer. Odredi duljinu težišnice iz vrha u troutu iz primjera. t d( P) P 5 4 P P( 4) (9) d d ( P) ( 4 ) ( ) ( ) 9 4 (4) () spojnica tocaa () i P(4) (8) (5) 0 4
NSTVNO PISMO - MTEMTIK TEHNIČR Z ELEKTROTEHNIKU 4. OLII JEDNDŽE PRV. Postoje tri arateristična oblia jednadžbe pravca. 4.. IMPLIITNI OLIK JEDNDŽE PRV. i su tri realna broja R tava da i nisu u isto vrijeme jednai 0 0 0 ili 0 0. Implicitni obli jednadžbe pravca glasi 0. (4) 4.. EKSPLIITNI OLIK JEDNDŽE PRV o su i l realni brojevi l R je oeficijent pravca a l odsječa na osi. Esplicitni obli jednadžbe pravca glasi 0 : l l (5) l gdje je oeficijent smjera odsjeca na osi 4.. SEGMENTNI OLIK JEDNDŽE PRV o su m i n realni brojevi m.n R m je odsječa na osi a n odsječa na osi. Segmentni obli jednadžbe pravca glasi (6) m n 0 : m n m odsjeca na osi n odsjeca na osi Primjer. Pretvori u ostale oblie jednadžbu pravca 4 6 0. 4 6 : 4 esplicitni obli 4 6 6 4 6 : 6 segmentni obli 5
NSTVNO PISMO - MTEMTIK TEHNIČR Z ELEKTROTEHNIKU Primjer. Pretvori u ostale oblie jednadžbu pravca 6 8 0 te nacrtaj pravac. 6 8 0 6 8 : 6 oeficijent pravca l odsjeca na osi esplicitni obli jednadžbe pravca n - 0 6 m 6 8 0 6 8 6 8 8 6 m 6 odsjeca na osi n :8 odsjeca na osi segmentni obli jednadžbe pravca NPOMEN: Kod crtanja espolicitnog oblia jednadžbe pravca prvo ucrtamo odsječa na osi i dobijemo toču (0l). Od te toče crtamo oeficijent pravca tao da brojni crtamo po osi a nazivni po osi. u primjeru. ucrtali smo toču (0). Od te toče crtamo oeficijent pravca tao da od (0) idemo dole po osi te desno po osi. Dobijemo toču (). Spojimo te dvije toče i dobili smo pravac. 4.4. JEDNDŽE PRV KROZ JEDNU I DVIJE TOČKE. Kao odrediti jednadžbu pravca ao su zadane dvije toče ili ao nam je poznata jedna toča i oeficijent smjera? 4.5. JEDNDŽ PRV KROZ JEDNU TOČKU. Zadana je jedna toče ( ) Jednadžba tog pravca glasi ( ) T i oeficijent smjera pravca oji prolazi točom T. što ga pravac zatvara s pozitivnim smjerom osi.. (7) Koeficijent smjera predstavlja tangens uta tgα (8) Primjer. Odredi jednadžbu pravca oji prolazi točom T() i ima oeficijent smjera. T() ( ) 6
NSTVNO PISMO - MTEMTIK TEHNIČR Z ELEKTROTEHNIKU 7 4.6. JEDNDŽ PRV KROZ DVIJE TOČKE. Zadane su dvije toče T T. Jednadžba pravca roz dvije toče glasi (9) gdje je (40) oeficijent smjera pravca. Primjer. Odredi jednadžbu pravca oji prolazi točama T () i T (45). Kolii ut zatvara pravac s pozitivnim smjerom osi? 4 5 45 T T π α α α 45 4 arctg tg tg 5. PRLELNOST I OKOMITOST PRV. Zadana su dva pravca l... p l... p. Pravci su paralelni ao su im oeficijenti jednai tj. (4). Pravci su oomiti ao su im oeficijenti suprotni i recipročni brojevi tj. (4) Primjer. Odredi jednadžbu pravca oji prolazi točom (-) i : a) paralelan je pravcu 0 b) oomit je na pravac a) 4 - pravci paralelni 0 b) 8 - pravci oomiti
NSTVNO PISMO - MTEMTIK TEHNIČR Z ELEKTROTEHNIKU 6. PRESJEK DVJU PRV. Zadana su dva pravca p... l p... l. Presje pravaca možemo odrediti analitiči (računsi) metodom suprotnih oeficijenata metodom supstitucije ili metodom omparacije te grafičom metodom. Primjer. Odredi presje pravaca 0 8 0 analitiči i grafiči. 0 8 0 6 0 6 : 0 0 5 T( 5) presje pravaca 0 p T(-5) p... p... 8 p ZDI Z VJEŽU:. Odredi udaljenost točaa (-) i (-).. Odredi polovišta (PQR) stranica trouta ao su () (-) i (-54).. Odredi površinu trouta iz zadata. 4. Odredi težište trouta iz zadata. 5. Odredi duljine težišnice iz vrha trouta iz zadata. 6. Odredi jednadžbu težišnice iz vrha trouta iz zadata. 7. Odredi jednadžbu stranice c trouta iz zadata. 8. Odredi jednadžbu visine iz vrha trouta iz zadata. 9. Odredi jednadžbu pravaca oji prolaze točom (-54) oji je: a. oomit napravac 6 0 b. paralelan pravcu. 4 0. Odredi presje pravaca 5 0 i 6 0 analitiči i grafiči. 8
7. KRUŽNI. NSTVNO PISMO - MTEMTIK TEHNIČR Z ELEKTROTEHNIKU DEFINIIJ: Kružnica je sup svih točaa ravnine oje su od čvrste toče ili središta jednao udaljene. Udaljenost središta i bilo oje toče na ružnici označava se s d ( ST) r (4) i naziva se polumjer ružnice. ( S r) { T( ) : d(s T) r} (44). Jednadžba ružnice p q r (45) gdje je S(pq) središte a r polumjer ružnice. Uolio je središte ružnice u ishodištu oordinatnog sutava jednadžba glasi r (46). Primjer. Napiši jednadžbu ružnice ao je središte u toči S(-) a polumjer je 5. ( p) ( q) r ( ) ( ) 5 ( ;5) Primjer. Odredi središte i polumjer ružnice ao je zadana sa ( ;4 ). ( ;4) ( p) ( q) r ( ) ( ) 6 S( )r 4 7.. ODNOS PRV I KRUŽNIE. ODNOS PRV I KRUŽNIE s pravac sječe ružnicu s { } t pravac dodiruje ružnicu s { D} p pravac ne sječe ružnicu s { } Pravac i ružnica mogu biti u sljedeća tri odnosa: o pravac siječe ružnicu u dvije toče s { } o pravac dodiruje ružnicu u jednoj toči s { D} o pravac ne siječe ružnicu s (p) i naziva se SEKNT (s) i naziva se TNGENT (t) 9
NSTVNO PISMO - MTEMTIK TEHNIČR Z ELEKTROTEHNIKU Primjer. U ojem su odnosu ružnica ( 5) ( 4) 9 ( 5) ( 4) 0 ( 5) ( 4) ( ) ( 4) 6 9 8 0 D b D < 0 6 0 9 9 8 6 9 0 : 9 4ac i pravac 0? izrazimo nepoznanicu i uvrstimo je u jednadžbu ružnice Ispitajmo ima li vadratna jednadžba rješenja promatrajući disriminantu Kvadratna jednadžba nema relanih rješenja jer je disriminanta manja od nule. Zaljučujemo da se pravac i ružnica ne sijeu. Primjer. U ojem su odnosu ružnica 4 0 i pravac 5 7? 4 0 4 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 6...( ; 6) ( ) ( ) 6 5 7 7 5 ( 5 7 ) ( ) ( 6 5) ( ) 6 6 56 60 5 4 4 6 0 6 56 4 0 : 78 7 0 D b 4ac 6084 6084 0 D 0 78 7 0 78 ± 0 6 7 5 7 5 D() Određujemo toču dodira pravca i ružnice D() Kvadratna jednadžba ima jedno dvostruu relano rješenje jer je disriminanta jednaa nula. Zaljućujemo da se pravac i ružnica dodiruju. 0
NSTVNO PISMO - MTEMTIK TEHNIČR Z ELEKTROTEHNIKU NPOMEN: o je disriminanta dobivene vadratne jednadžbe (ao u primjerima i ) veća od nule tada pravac i ružnica imaju dvije toče presjea. Kažemo da se pravac i ružnica sijeu. Zaljučimo disriminanta određuje odnos pravca i ružnice i to: o ao je D < 0 pravac i ružnica se ne sijeu (47) o ao je D 0 pravac i ružnica se dodiruju (48) o ao je D > 0 pravac i ružnica se sijeu (49) Primjer. Odredi jednadžbu ružnice oja prolazi točom T(4) sa središtem u toči S(). r d ( ST) ( ) ( ) ( 4 ) ( ) 4 4 8 T S T S ( p) ( q) r ( ) ( ) 8 ( ; 8) 7.. TNGENT I NORML KRUŽNIE Normala ružnice n uvije prolazi središtem ružnice i točom D na ružnici. Točom D prolazi tangenta t oja je oomita na normalu. t n Tangenta ružnice u toči ružnice D( ) (50) p p q q r središte ružnice S(pq) (5) r središte ružnice S(00) o sa toča ( ) T nalazi izvan ružnice tada je moguće povući dvije tangente iz te toče na ružnicu.( UVJET TNGENIJLNOSTI) Uvjet da je pravac oji prolazi točom ( ) l T tangenta ružnice glasi r ( ) ( q p ) (5) ili r ( ) l l. (5) NPOMEN: Prije primjene formula za određivanje jednadžbi tangenata (50) do (5) potrebno je provjeriti nalazi se toča na ružnici ili ne.
NSTVNO PISMO - MTEMTIK TEHNIČR Z ELEKTROTEHNIKU Primjer. Odredi jednadžbu tangente u toči ( 0) D < ružnice 5. Toča se nalazi na ružnici sa središtem u ishodištu oordinatnog sustava S(00) pa ćemo oristiti formulu (5) za određivanje jednadžbe tangente u toči D. 5 5 5 9 6 ± 4 4 D( 4) zbog uvjeta iz toče D( < 0) - 4 pa je toča D(-4) r (5) 4 5 4 5 : ( 4) 5 4 4 uvrštavamo u jednadžbu tangente (5) i dobijemo jednadžbu tangente iz toče D na ružnici Primjer. Odredi jednadžbu tangente u toči D ( 5 > 0) ružnice ( ) ( ) 5. Toča se nalazi na ružnici sa središtem u toči S() pa ćemo oristiti formulu (50) za određivanje jednadžbe tangente u toči D. ( ) ( ) 5 ( 5 ) ( ) 9 ( ) 5 ( ) 6 ± 4 D(55) 4 5 5 4 zbog uvjeta iz toče D(5 > 0) 5 pa je toča D(55) 5 ( p)( p) ( q)( q) ( 5 )( ) ( 5 )( ) ( ) 4( ) 5 6 4 4 4 4 5 5 4 5 : 4 r 5 uvrštavamo u jednadžbu tangente (50) i dobijemo jednadžbu tangente iz toče D na ružnici Primjer. Odredi jednadžbu tangente ružnice ( ) ( 7) 5 paralelne s. U ovom primjeru moramo oristiti uvjet tangencijalnosti (5). r ( ) ( q p l) ( 4) ( 7 ( )( ) l) ( 7 4 l) ( l) 5 5 5 l l ± 5 l 5 5 8 t... l t... l 8 pravac i tangenta su paralelni pa je oeficijent tangente jedna oeficijentu pravca - Dvije paralelne tangentesu rješenje primjera.
NSTVNO PISMO - MTEMTIK TEHNIČR Z ELEKTROTEHNIKU ZDI Z VJEŽU:. Odredi jednadžbu ružnice sa središtem u toči S(-) oja prolazi točom T(4).. Odredi jednadžbu tangente ružnice ( 7; 5) oja je oomita na pravac 5 0.. Odredi jednadžbu tangente na ružnicu 0 u toči D(>0). 4. Odredi tangente na ružnicu ( ) ( ) 5 iz toče T(4). 5. U ojem su odnosu pravac 7 7 69 0 i ružnica 69? 6. U ojem su odnosu pravac 9 i ružnica 7 9 5? UPUT (zadata ): Uolio tangenta ružnice l prolazi točom T(4) tada možemo pisati l 4 l te izrazimo odsječa l 4 i uvrstimo u uvijet tangencijalnosti (5) ili (5)