Dodtk B Furijeovi redovi Posmtrjmo itervu [, eku fukciju f () i ek je o tom itervu eprekid u deovim (im koč roj prekid prve vrste - prekidi u kojim fukcij im koč skok s eve desu griču vredost (vidi S. B.). d se mogu izrčuti rojevi, π f ( )cos d,,,... π f ( )si d,,,... (B.) (B.) koji predstvjju koeficijete u Furijeovom redu posmtre fukcije: + π cos + π si (B.) f ( f ( ) ) f ( ) f ( + ) f ( + ) Sik B.- Fukcij f (), eprekid u deovim itervu [,
Kovergecij Furijeovog red Postvjju se pitj, kovergecije formirog red (B.), i ko je u ekoj tčki red koverget, d i je vredosti fukcije u toj tčki, s ( ) f ( ) jegov sum jedk Odgovor jih dje sedeć teorem [Hdžić,O ]. Ako je fukcij f () posmtrom itervu [, eprekido-difereciji u deovim (i je prvi izvod je ko i fukcij, eprekid u deovim) Furijeov red te fukcije (B..) kovergir u svkoj tčki iterv, pri čemu je, u tčkm u kojim je fukcij eprekid : u tčkm prekid u itervu (, ) : krjevim iterv: s ( ) f ( ) (B.3) f ( ) + f ( + ) s ( ) (B.3) f ( + ) + f ( ) f ( ) f ( ) (B.3c) Furijeov red (B.) z posmtru eprekido-diferecijiu u deovim, fukciju f () se ziv i rzvoj fukcije f () u Furijeov red.u priručiku [Broštej,... ] mogu se ći rzvoji u Furijeov red z iz eemetrih fukcij. Vidimo d je Furijeov red eke fukcije, zdte ogričeom itervu [,, defiis ceoj rojoj prvoj, < <, te d je jegov sum periodič fukcij s periodom koje imju fukcije cos π i si π : π (B..) π ko, formue z Furijeove koeficijete se mogu pisti preko periode ko, sm red ko: π f ( )cos d,,,... (B.5) π f ( )si d,,,... (B.5)
+ cos + si π π (B.6) Periodičko produžeje fukcije N osovu prethodih zpžj u vezi s krkteristikm Furijeovog red, meće se idej tzv. periodičkog produžej fukcije f () s dtog iterv [, ) ceu roju prvu < <. Oo je iustrovo S. B.. Ako fukciju stu peridičkim produžvjem fukcije f () ozčimo s f ) (), immo: ) ) f ( + k) f ( + k ) f ( ), [, ), k, ±, ±,... Furijeov red poze fukcije je istovremeo i Furijeov red fukcije f ) (). (B.7) f () ) f () 5 3 3 5 Sik B. - Periodičko produžeje fukcije f () Jso je d se u sučju d je fukcij f (), odoso fukcij f ) () pr ii epr, je rzvoj u Furijeov red (B.6) redukuje kosiusi (sdrži smo kosiuse fukcije) ii siusi red. ko, iz (B.5,) izvodimo: ko je f ) () pr fukcij, ko je f ) () epr fukcij, π fˆ( )cos d,,,... (B.8),,,... (B.8),,,... (B.9) π fˆ( )si d,,,... (B.9) 3
U prktičim proemim, često je fukcij f (), koju rzivijmo u Furijeov red, zdt itervu [, ]. D i iskoristii uočeo pojedostvjeje red, kd je fukcij pr ii epr, pre o što izvršimo periodičko produžeje ceu roju prvu, dtu fukciju produžimo iterv [, ] i to tko d rezutujuć fukcij ude pr ii epr. Opisi postupk ćemo zvti pro ii epro produžeje fukcije f () (vidi S. B.3,) f () 3 3 Sik B.3 Pro produžeje fukcije f () f () 3 3 Sik B.3 Nepro produžeje fukcije f () PRIMER B. Rzviti u Furijeov red fukciju, f ( ), [,] (B.) N sici su prikze periodiče fukcije s periodom, ste eprim i prim produžejem dte fukcije. U sučju eprog produžej (grfik ) sici), immo, f ˆ( ), [, ) (B.) i koeficijeti su jedki ui, z koeficijete, jed. (B.9) dje: π si d si π d
) Nepro produžeje fukcije ) Pro produžeje fukcije Sik uz primer B.. π π ( π cos π + si π) ( cos π) π ( ) ( ),,... π ko doijmo siusi red: π ( ) si π si 3π si π si π + L π 3 (B.) Pošto je posmtr periodič fukcij f ˆ( ) eprekid u deovim, doijei Furijeov red je koverget u ceoj osti < < jegov sum je, u svim tčkm u kojim je fukcij eprekid, jedk smoj fukciji. ko, možemo d pišemo: π ( ) si π, [,) (B.) Z, desoj stri jedkosti doijmo roji red i ostvjmo čitocu d pokže: ( ) π + + L (. red u..) 3 5 7 9 + U sučju prog produžej (grfik ) sici), immo, f ˆ( ), [, ] (B.) i koeficijeti su jedki ui, z koeficijete, jedči (B.8) dje: d. 5
cos πd π ( ) cos π + πsi π [( ), ],,... cos π π π Koeficijeti s prim idekso, k, k,,..., jedki su ui, oi s eprim: ko doijmo kosiusi red:, k,,... π (k ) k π k cos(k ) (k ) Pošto je posmtr periodič fukcij eprekid, doijei Furijeov red je koverget u ceoj osti < < i jegov sum je jedk smoj fukciji. Dke, možemo d pišemo: cos( ), [,] π ( ) (B.) ko i, cos( ), [, ] π ( ) (B.) Z, doijmo umerički red pod redim rojem 8, u... PRIMER B. Formuisti trigoometrijski fikcijski red čij je sum jedk jediici itervu <. ržei red ćemo doiti ko Furijeov red fukcije, f ( ), [, ] Njpre ćemo je produžiti iterv [, ] i to pr či, jer i epro produžeje (S. uz Primer) imo tčku prekid u kojoj i sum red i: f ( ) + f ( + ) + s ( ) 6
Sik. uz Primer B.- Nepro produžeje fukcije - - 3 3-3 3 () () Sik. uz Primer B.- Pro produžeje fukcije Dke, tre uz pomoć formue (B.8) izrčuti koeficijete u kosiusom redu: + cos Pro produžeje ozčeo s () S.. uz Primer, ko rezutt i imo trivijo rešeje: π,,,,... koje s e zim. Zto ćemo kostruisti pro produžeje dte fukcije, dto istoj sici s ozkom ().Vidimo d rezutujuć periodič fukcij f ˆ( ),, [, ) [,] f ˆ( ) (B.3), [, ) im period. ko, iz (B.8) z koeficijete u kosiusom redu doijmo: π π π π ˆ( )cos ˆ( ) cos cos + ( ) cos f d f d d d π si π π si π si,,,... π Koeficijeti s prim ideksom su jedki ui, oi s eprim: k k + k ( ) k + si π ( ), k,,... (k + ) π (k + ) π ( k +.5) π 7
Kočo rešeje je : π k ( ) cos( +.5) π, k +.5 [, ) (B.) Rvomer kovergecij Furijeovog red Neophod usov d Furijeov red eke fukcije f () ude itervu [, rvomero koverget je, prem stvu. o osoim rvomero kovergetih redov (Pog..), eprekidost sume red s (). Dke, ko sum red s() ije eprekid, to zči (vidi jed.b.3.,c): fukcij f () ije eprekid u itervu [,, ii f ( ) f ( ) Furijeov red posmtre fukcije ije rvomero koverget itervu [,. Primeri:. Furijeov rzvoj fukcije f ( ), [,] doije u Primeru B., ko Furijeov red (B.) jeog eprog produžej, f ˆ ( ), [, ), ije rvomero koverget u itervu [,], jer f ˆ ( ) fˆ( ). Furijeov rzvoj fukcije f ( ), [, ] doije u Primeru B., ko Furijeov red (B.) jeog prog produžej (B.3), ije rvomero koverget u itervu [,], jer f ˆ( ) im prekide prve vrste u tčkm,. Dovoj usov rvomere kovergecije Furijeovog red (B.) fukcije f () itervu [, dje sedeć teorem [Hdžić,O ]. Ako je fukcij f () eprekid itervu [,, im eprekid prvi izvod u deovim i vži : f ( ) f ( ), je rzvoj u Furijeov red kovergir fukciji ( s ( ) f ( ) ) rvomero tom itervu. Pri tom je red rvomero koverget ceoj rojoj prvoj < <, ko i svkom ztvoreom ogričeom poditervu i pri tome je s ( ) f ˆ( ). Primer : Furijeov rzvoj fukcije f ( ), [,] doije u Primeru B., ko Furijeov red (B.) jeog prog produžej f ˆ( ), [, ] je rvomero koverget u ceoj osti < <, jer f ˆ( ) zdovojv sve usove dte teoreme. Drugi dovoj usov se doij primeom Vjerštrsovog kriterijum. Imjući u vidu ejedkosti, π π π π cos + si cos + si + 8
zkjučujemo d, ko su umerički redovi (B.) rvomero koverget u osti Primer : Furijeov red i < <. kovergeti, od je Furijeov red π cos( ) ( ) fukcije f ( ), [,], doije u Primeru B., ko Furijeov red jeog prog produžej je rvomero koverget u osti < <, jer je umerički red psouto koverget. ( ) 9