Sveučilište u Splitu Građevinko-arhitektonki akultet len Harapin Dimenzioniranje betonkih kontrukcija prema TPBK (EC
Literatura: [] Tehnički propi za betonke kontrukcije, NN 0/05 [] HRN ENV 99- EUROKOD : Onove projektiranja i djelovanja na kontrukcije. dio: Onove projektiranja, Državni zavod za normizaciju i mjeriteljtvo, 005. [3] HRN ENV 99-- EUROKOD : Projektiranje betonkih kontrukcija. dio: Opća pravila i pravila za zgrade, Državni zavod za normizaciju i mjeriteljtvo, 004. [4] Jure Radić i uradnici: Betonke Kontrukcije Priručnik, Hrvatka veučilišna naklada, Sveučilište u Zagrebu Građevinki akultet, ndri, Zagreb, 006. [5] Ivan Tomičić: Betonke kontrukcije, DHGK, Zagreb, 996. [6] Zorilav Sorić, Ivan Tomičić: EUROCODE, Projektiranje, proračun i dimenzioniranje armiranobetonkih i prednapetih betonkih noivih kontrukcija, u okviru Građevinkog godišnjaka 95., Zagreb, 995. [7] Vahid Haanović: Proračun armiranobetonkih kontrukcija: EUROCODE, Građevinki akultet u Sarajevu, Sarajevo, 000. Sva predavanja na temu EC nalaze e na: www.gradt.hr/katedre/bkm
Opterećenja: enja: Pregled hrvatkih i europkih normi za djelovanja na kontrukcije Djelovanje Hrvatke norme Europke norme Protorne težine, vlatite težine, uporabna opterećenja HRN ENV 99-- EN 99-- Požarno djelovanje HRN ENV 99-- EN 99-- Opterećenje nijegom HRN ENV 99--3 EN 99--3 Opterećenje vjetrom HRN ENV 99--4 EN 99--4 Toplinka djelovanja HRN ENV 99--5 EN 99--5 Djelovanja tijekom izvedbe HRN ENV 99--6 EN 99--6 Izvanredna djelovanja uzrokovana udarom i ekplozijom HRN ENV 99--7 EN 99--7 Prometna opterećenja motova HRN ENV 99-3 EN 99- Djelovanja na iloe i premnike tekućina Djelovanja uzrokovana kranovima i drugim trojevima HRN ENV 99-4 EN 99-3 HRN ENV 99-5 EN 99-4 Potreno djelovanje nhrn ENV 998-- pren 998-
Opterećenja: enja: Tipovi djelovanja: STLN DJELOVNJ Vlatita težina kontrukcije Vlatita težina nekontruktivnih dijelova, obloge ili nepomične opreme Sile od djelovanja tlaka tla, koje nataju od težine tla Deormacije ulijed načina izgradnje kontrukcije Sile ulijed hidrotatičkog tlaka vode Sile natale ulijed lijeganja olonaca Sile prednapinjanja PROJENJIV DJELOVNJ Opterećenja ulijed aktivnog i paivnog korištenja objekta (uporabno/korino opterećenje Prometno opterećenje Pojedini dijelovi težine kontrukcije koji djeluju amo u pojedinim azama izgradnje ontažna opterećenja Opterećenja vjetrom Opterećenja nijegom Opterećenja ledom Poljedice promjenjive razine površine vode (ako je potrebno Promjena temperature Opterećenje valovima IZVNREDN DJELOVNJ Udari vozila ili plovila Ekplozije Slijeganje i klizanje terena Ektremno jaki vjetar (Tornado Potre Požar Uporabna opterećenja zgrada: Promjenjivo djelovanje q k [kn/m ] Q k [kn]. Stambeni protori, odjeli u bolnicama, hotelke obe B. Uredi Uobičajene protorije.0.0 Stubišta 3.0.0 Balkoni 4.0.0 Uredi 3.0.0 C. Protorije u kojima je moguće okupljanje ljudi Protorije a tolovima, škole, kavane, retorani, čitaonice, recepcije Protorije nepomičnim jedalima, crkve, kina, prodavaonice, čekaonice, konerencijke dvorane Protorije bez prepreka za kretanje ljudi, izložbeni protori, pritupi u javnim zgradama, hotelima i l. Športke protorije i protori za igru, plene dvorane, gimnatičke dvorane Protorije za velika okupljanja ljudi, zgrade za javne priredbe, koncertne dvorane, športke dvorane D. Prodajne protorije 3.0 4.0 4.0 4.0 5.0 4.0 Protorije u trgovinama 5.0 4.0 Protorije u robnim kućama i trgovinama na veliko E. Protorije mogućnošću gomilanja robe i tvari 5.0 7.0 5.0 4.0 5.0 7.0 Skladišta uključujući i knjižnice 6.0 7.0
Opterećenja: Vrijednot u komb. ψ0 Četa vrijed. ψ Kvazitalna vrijednot ψ.0 0.5 0.5 0.9 0.3 0.3 0.6 0.6 0.8 0.0 0.5 0.0 0.6 0.3 0.0 Opterećenje vjetrom na zgrade 0.6 0.5 0.0 Opterećenje nijegom 0.6 0. 0.0 Temperatura u zgradama (ne požar 0.6 0.5 0.0 Promjenjivo djelovanje Uporabna opterećenja u zgradama -Stambeni protori -Uredi -Protori za veće kupove ljudi -Trgovine -Skladišta Prometna opterećenja u zgradama -Težine vozila 30 kn -Težine vozila 30 kn -Krovovi Četiri reprezentativne vrijednoti: - karakteritična vrijednot (Qk - vrijednot u kombinaciji (ψ0qk uzima u obzir manjenu vjerojatnot itodobnog djelovanja više promjenjivih neovinih opterećenja njihovom najnepovoljnijom vrijednošću. Koriti e za provjeru graničnog tanja noivoti i nepovratnog graničnog tanja uporabe. Ova kombinacija je vrlo rijetka, i u vijeku trajanja kontrukcije događa e jednom ili nijednom. - četa vrijednot (ψqk koriti e za provjeru graničnog tanja noivoti uzimajući u obzir izvanredna djelovanja i za povratna granična tanja uporabe. Ovakva četa kombinacija događa e npr. jedamput godišnje. - nazovitalna vrijednot (ψqk također e koriti za provjeru graničnog tanja noivoti uzimajući u obzir izvanredna djelovanja i za povratna granična tanja uporabe. Nazovitalna kombinacija događa e npr. jednom tjedno.
Koeicijenti igurnoti granična na tanja noivoti Koeicijenti igurnoti na materijal Kombinacija aterijal Beton (γ c Čelik (γ Uobičajena komb..50.5 Izvanredna komb..30.00 Koeicijenti igurnoti za opterećenje Djelovanje Stalno (γ G Nepovoljno.35 Pokretno (γ Q Prednap. (γ P.50.0-. Povoljno.00 0.00 0.9-.0 Koeicijenti kombinacije (ψ Promjenjivo djelovanje Uporabna opterećenja u zgradama -Stambeni protori -Uredi -Protori za veće kupove ljudi -Trgovine -Skladišta Prometna opterećenja u zgradama -Težine vozila 30 kn -Težine vozila 30 kn -Krovovi Vrijednot u kombinaciji ψ 0.0 0.0 Četa vrijednot ψ 0.5 0.5 0.9 0.5 0.0 Kvazitalna vrijednot ψ Opterećenje vjetrom na zgrade 0.6 0.5 0.0 Opterećenje nijegom 0.6 0. 0.0 Temperatura u zgradama (ne požar 0.6 0.5 0.0 0.3 0.3 0.6 0.6 0.8 0.6 0.3 0.0 Uobičajena (talna proračunka kombinacija S i ( γg Gk,i + γq Qk, + ( γq ψ0,i Qk,i + γp Pk i> Napomena: Znak + znači: kombinira e a
Koeicijenti igurnoti granična na tanja noivoti Koeicijenti igurnoti na materijal Kombinacija aterijal Beton (γ c Čelik (γ Uobičajena komb..50.5 Izvanredna komb..30.00 Koeicijenti igurnoti za opterećenje Djelovanje Stalno (γ G Nepovoljno.35 Pokretno (γ Q Prednap. (γ P.50.0-. Povoljno.00 0.00 0.9-.0 Koeicijenti kombinacije (ψ Promjenjivo djelovanje Uporabna opterećenja u zgradama -Stambeni protori -Uredi -Protori za veće kupove ljudi -Trgovine -Skladišta Prometna opterećenja u zgradama -Težine vozila 30 kn -Težine vozila 30 kn -Krovovi Vrijednot u kombinaciji ψ 0.0 0.0 Četa vrijednot ψ 0.5 0.5 0.9 0.5 0.0 Kvazitalna vrijednot ψ Opterećenje vjetrom na zgrade 0.6 0.5 0.0 Opterećenje nijegom 0.6 0. 0.0 Temperatura u zgradama (ne požar 0.6 0.5 0.0 0.3 0.3 0.6 0.6 0.8 0.6 0.3 0.0 Primjer: Nepovoljno djelovanje opterećenja; Stalno opterećenje: (G i Prednaprezanje (P Pokretno opterećenje: Korino (Q k, Vjetar (Q w, Snijeg (Q Vodeće pokretno opterećenje: Korino S.35 G +.5 Q +.5 ( 0.6 Q + 0.6 Q +.0 P Vodeće pokretno opterećenje: Vjetar S.35 G +.5 Q k w +.5 w ( Q + 0.6 Q +.0 P k
Koeicijenti igurnoti granična na tanja noivoti Koeicijenti igurnoti na materijal Kombinacija aterijal Beton (γ c Čelik (γ Uobičajena komb..50.5 Izvanredna komb..30.00 Koeicijenti igurnoti za opterećenje Djelovanje Stalno (γ G Nepovoljno.35 Pokretno (γ Q Prednap. (γ P.50.0-. Povoljno.00 0.00 0.9-.0 Koeicijenti kombinacije (ψ Promjenjivo djelovanje Uporabna opterećenja u zgradama -Stambeni protori -Uredi -Protori za veće kupove ljudi -Trgovine -Skladišta Prometna opterećenja u zgradama -Težine vozila 30 kn -Težine vozila 30 kn -Krovovi Vrijednot u kombinaciji ψ 0.0 0.0 Četa vrijednot ψ 0.5 0.5 0.9 0.5 0.0 Kvazitalna vrijednot ψ Opterećenje vjetrom na zgrade 0.6 0.5 0.0 Opterećenje nijegom 0.6 0. 0.0 Temperatura u zgradama (ne požar 0.6 0.5 0.0 0.3 0.3 0.6 0.6 0.8 0.6 0.3 0.0 Izvanredna proračunka kombinacija S i ( γg Gk,i + ψ, Qk, + ( ψ,i Qk,i + d + γp Pk i> Napomena: Znak + znači: kombinira e a
Koeicijenti igurnoti granična na tanja noivoti Koeicijenti igurnoti na materijal Kombinacija aterijal Beton (γ c Čelik (γ Uobičajena komb..50.5 Izvanredna komb..30.00 Koeicijenti igurnoti za opterećenje Djelovanje Stalno (γ G Nepovoljno.35 Pokretno (γ Q Prednap. (γ P.50.0-. Povoljno.00 0.00 0.9-.0 Koeicijenti kombinacije (ψ Promjenjivo djelovanje Uporabna opterećenja u zgradama -Stambeni protori -Uredi -Protori za veće kupove ljudi -Trgovine -Skladišta Prometna opterećenja u zgradama -Težine vozila 30 kn -Težine vozila 30 kn -Krovovi Vrijednot u kombinaciji ψ 0.0 0.0 Četa vrijednot ψ 0.5 0.5 0.9 0.5 0.0 Kvazitalna vrijednot ψ Opterećenje vjetrom na zgrade 0.6 0.5 0.0 Opterećenje nijegom 0.6 0. 0.0 Temperatura u zgradama (ne požar 0.6 0.5 0.0 0.3 0.3 0.6 0.6 0.8 0.6 0.3 0.0 Seizmička proračunka kombinacija Gk,i + i i ( ψ,i Qk,i + γi d Pk S + γ i - Koeicijenti važnoti: građevina niže važnoti.0 građevina normalne važnoti.3 građevina povećane važnoti
Koeicijenti igurnoti granična na tanja uporabe Koeicijenti igurnoti na materijal Kombinacija aterijal Beton (γ c Čelik (γ Uobičajena komb..50.5 Izvanredna komb..30.00 Koeicijenti igurnoti za opterećenje Djelovanje Stalno (γ G Nepovoljno.35 Pokretno (γ Q Prednap. (γ P.50.0-. Povoljno.00 0.00 0.9-.0 Koeicijenti kombinacije (ψ Promjenjivo djelovanje Uporabna opterećenja u zgradama -Stambeni protori -Uredi -Protori za veće kupove ljudi -Trgovine -Skladišta Prometna opterećenja u zgradama -Težine vozila 30 kn -Težine vozila 30 kn -Krovovi Vrijednot u kombinaciji ψ 0.0 0.0 Četa vrijednot ψ 0.5 0.5 0.9 0.5 0.0 Kvazitalna vrijednot ψ Opterećenje vjetrom na zgrade 0.6 0.5 0.0 Opterećenje nijegom 0.6 0. 0.0 Temperatura u zgradama (ne požar 0.6 0.5 0.0 0.3 0.3 0.6 0.6 0.8 0.6 0.3 0.0 Rijetka kombinacija koriti e kod proračuna širine pukotina i progiba trajna lokalna oštećenja i deormacije Gk,i + Qk,i + i i> ( ψ0,i Qk,i Pk S +
Koeicijenti igurnoti granična na tanja uporabe Koeicijenti igurnoti na materijal Kombinacija aterijal Beton (γ c Čelik (γ Uobičajena komb..50.5 Izvanredna komb..30.00 Koeicijenti igurnoti za opterećenje Djelovanje Stalno (γ G Nepovoljno.35 Pokretno (γ Q Prednap. (γ P.50.0-. Povoljno.00 0.00 0.9-.0 Koeicijenti kombinacije (ψ Promjenjivo djelovanje Uporabna opterećenja u zgradama -Stambeni protori -Uredi -Protori za veće kupove ljudi -Trgovine -Skladišta Prometna opterećenja u zgradama -Težine vozila 30 kn -Težine vozila 30 kn -Krovovi Vrijednot u kombinaciji ψ 0.0 0.0 Četa vrijednot ψ 0.5 0.5 0.9 0.5 0.0 Kvazitalna vrijednot ψ Opterećenje vjetrom na zgrade 0.6 0.5 0.0 Opterećenje nijegom 0.6 0. 0.0 Temperatura u zgradama (ne požar 0.6 0.5 0.0 0.3 0.3 0.6 0.6 0.8 0.6 0.3 0.0 Četa kombinacija koriti e kod proračuna širine pukotina i progiba privremena lokalna oštećenja i deormacije, te kod proračuna ograničenja naprezanja Gk,i + ψ, Qk,i + i i> ( ψ,i Qk,i Pk S +
Koeicijenti igurnoti granična na tanja uporabe Koeicijenti igurnoti na materijal Kombinacija aterijal Beton (γ c Čelik (γ Uobičajena komb..50.5 Izvanredna komb..30.00 Koeicijenti igurnoti za opterećenje Djelovanje Stalno (γ G Nepovoljno.35 Pokretno (γ Q Prednap. (γ P.50.0-. Povoljno.00 0.00 0.9-.0 Koeicijenti kombinacije (ψ Promjenjivo djelovanje Uporabna opterećenja u zgradama -Stambeni protori -Uredi -Protori za veće kupove ljudi -Trgovine -Skladišta Prometna opterećenja u zgradama -Težine vozila 30 kn -Težine vozila 30 kn -Krovovi Vrijednot u kombinaciji ψ 0.0 0.0 Četa vrijednot ψ 0.5 0.5 0.9 0.5 0.0 Kvazitalna vrijednot ψ Opterećenje vjetrom na zgrade 0.6 0.5 0.0 Opterećenje nijegom 0.6 0. 0.0 Temperatura u zgradama (ne požar 0.6 0.5 0.0 0.3 0.3 0.6 0.6 0.8 0.6 0.3 0.0 Nazovitalna (Kvazitalna kombinacija koriti e kod proračuna ograničenja naprezanja u elementima Gk,i + i i ( ψ,i Qk,i Pk S +
Gradivo - Beton Klae betona normalne gutoće (gutoća 000-600 kg/m 3 Karakteritika betona C/5 C6/0 C0/5 C5/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 ck (Pa Čvrtoća na valjku 6 0 5 30 35 40 45 c,cub (Pa ck α cd σ c Čvrtoća na kocki Srednja vlačna ct,m (Pa.6.9..6.9 3. 3.5 3.8 čvrtoća τ Rd (Pa Pomična čvrtoća 0.8 0. 0.6 0.30 0.34 0.37 0.4 0.44 Početni modul E cm (Pa 6000 7500 9000 30500 3000 33500 35000 36000 elatičnoti σ 5 (B 5 4 ck c 4 ( ε c ε c 0 (B 0 5 (B 5 30 (B 30 E cm ct,m 9500 0.3 37 (B 40 45 (B 45 50 (B 50 55 (B 55 3 ck + 8 [ Pa] ; ck [ Pa] 3 ( [ Pa] ; [ Pa] ck cd γ ck c ck C50/60 50 60 (B 60 4. 0.48 37000.0 3.5 ε c [ ] Koeicijentom α uzima e u obzir nepovoljno djelovanje dugotrajnog opterećenja i dinamičkih učinaka. Za α e uzima: α 0.85 za prejeke oblika pravokutnika α 0.80 za prejeke oblika trokuta ili trapeza Koeicijenti igurnoti na materijal aterijal Beton Kombinacija (γ c Uobičajena kombinacija.50 Izvanredna kombinacija.30 Čelik (γ.5.00
Gradivo - Čelik Svojtva čelika za armiranje: Šipkata armatura (nhrn EN 0080-, nhrn EN 0080-3 i nhrn EN 0080-4 režata armatura (nhrn EN 0080-5 Naziv i oznaka (broj čelika Nazivni promjer, d (mm B500 (.0438 Namot: 4-6 Šipke: 6-40 B500B (.0439 Namot: 6-6 Šipke: 6-40 B450C (.04 B500 (.0438 B500B (.0439 B450C (.04 Namot: 6-6 5-6 6-6 6-6 Granica razvlačenja yk (Pa 500 500 450 500 500 450 Omjer vlačne čvrtoće i granice razvlačenja.05.08.5.35.05.08.5.35 yk ±σ B500 tri reda poprečnih rebara B450C dva reda poprečnih rebara; jedne trane rebra pod različitim kutovima u odnou na o yd yd γ yk ε [ ] 0.0 aterijal Beton Čelik Kombinacija (γ c (γ Uobičajena komb..50.5 Izvanredna komb..30.00 B500B dva reda poprečnih rebara; obje trane rebra u paralelna (pod itim kutom u odnou na o
Dimenzioniranje na moment avijanja TPBK (005. h d d b N d d-x xξ*d ε Neutralna o ε ε c d-d zζ*d 0.85 cd F F c F PBB (987. d h u ' a N u a a' h-x xk *d x Neutralna o εa ε a ' ε b d-a' zk *d z B F' a F b F a a b
Dimenzioniranje na moment avijanja onovni izrazi ε c 0.85 cd xξ*d B F c h d d-x Neutralna o d-d zζ*d Rd d b ε F d tatička viina prejeka h ukupna viina prejeka b širina prejeka d udaljenot težišta vlačne armature od vlačnog ruba prejeka d udaljenot težišta tlačne armature od tlačnog ruba prejeka x udaljenot neutralne oi od tlačnog ruba prejeka ( koeicijentom ξ z krak unutrašnjih ila ( koeicijentom ζ ε c deormacija betona na tlačnom rubu ε deormacija armature u težištu vlačnih šipki cd računka čvrtoća betona računki moment avijanja F ila u vlačnoj armaturi površina vlačne armature
F F Dimenzioniranje na moment avijanja onovni izrazi c h d µ d yd 0.85 α ( F c 0 v b 0.85 α ( B z d k d-x x b v a z 0.85 α 0 yd ζ d yd v xξ*d cd Neutralna o ε ε c 0.85 α F c x d k ξ ζ b d ζ d z a ξ d b F cd cd d-d v ξ d z zζ*d B ξ db ( k ξ ζ d a 0.85 cd Rd cd F c d ζ d F N 0 0.85 α v ω 0.85 α cd α α v k k v v a a σ c εc 3 εc 3 ε 8 ε 4 ε F ( 6 ε ( 6 εc c( 3εc 4 + ε ( 3ε c ξ db cd σ c c T k a c F 4 c cd c c ξ db ( 4 ε c ε c yd cd 0 < ε < ε yd σ ρ c cd 3.5 c c 0 < ε < ε yd cd 3.5 c c ε c 3.5
Jednotruko armirani pravokutni prejek opterećen en momentom avijanja TPBK (005. PBB (987. ε c ε b x x Neutralna o Neutralna o h60 cm d56 cm d-x d60 cm h56 cm u h-x ε a ε a Geometrija : b 40 cm; aterijal : C 5 30 B500B g d 4 cm Opterecenje : Potupak : µ za ε h 60.0 cm; yk 30.0 knm; γ g ck b d ζ d b40 cm d 5.0 Pa 500.0 Pa yd g cd 0 ; + γ q q q oci tano : 4.0 cm; γ 80.0 knm; cd yd d h d γ ck c yk 56.0 cm.35 30.0 +.5 80.0 95.5 knm; 9550 0.4 40 56.67 ε c 9550.56 cm 0.904 56 43.48 5.0 6.67 Pa.5 500.0 434.78 Pa.5 3. ; ζ 0.904 B 30 a4 cm Geometrija : b 40 cm; aterijal : 500 / 560 g u Opterecenje : Potupak : m u za ε a b40 cm d 60.0 cm; 0.5 Pa 30.0 knm; γ a g z B bh g u B 0 ; u k hσ vi σ vi + γ 500.0 Pa p a 4.0 cm; p p oci tano : 80.0 knm; h d a 56.0 cm.6 30.0 +.8 80.0 35.0 knm; 3500 0.37 40 56.05 ε b.5 ; 3500 3.63 cm 0.9 56 50.0 k z 0.9
Jednotruko armirani pravokutni prejek opterećen en momentom avijanja TPBK (005. PBB (987. Geometrija : b 40 cm; aterijal : h 60.0 cm; d 4.0 cm; d h d 56.0 cm Geometrija : b 40 cm; aterijal : d 60.0 cm; a 4.0 cm; h d a 56.0 cm ck 5.0 B 30 B 0.5 Pa C 5 30 ck 5.0 Pa cd 6.67 Pa γc.5 500 / 560 σvi 500.0 Pa 500.0 za ε yk a 0 i εb 3.5 Opterecenje ; σ c ck : B500B yk 500.0 Pa yd 434.78 Pa γ.5 mu 0.87 gα 30.0 cd knm; p 80.0 knm; Opterecenje : µ 0.59 u γ g g + γp p.6 30.0 +.8 80.0 35.0 knm; g 30.0 knm; q 80.0 knm; µ 0.59 0.85Potupak α : ε m 0.87 c [ ] γ g g + γq q.35 30.0 +.5 80.0 95.5 u knm; u 3500 mu.0 3.5 0.37 Potupak : bh 40 56.05 µ za ε b d ζ d cd 0 ; yd 9550 0.4 40 56.67 oci tano : ε c 3. ; ζ 0.904 9550.56 cm 0.904 56 43.48 za ε a a z B 0 ; u k hσ vi oci tano : ε b.5 ; 3500 3.63 cm 0.9 56 50.0 k z 0.9
Dvotruko armirani pravokutni prejek opterećen en momentom avijanja d Vlak Tlak.0 3.5 B d d a b c 3 0.0 3.0 d e 4 g 5 C h h d d b d x d-x ε Neutralna o ε ε c d-d z 0.85 cd F F c F Rd,lim > Rd,lim µ µ ζ,lim,lim lim ζ Rd,lim ζlim d - b d yd ( d d yd ( εc 3.5 ; ε 0.0 ( ε 3.5 ; ε 0.0 µ c Rd,lim + cd - ( d d yd Rd,lim
Jednotruko/Dvotruko armirani pravokutni prejek opterećen en momentom avijanja i uzdužnom ilom Potupak Wuczkowkog Rd,lim µ + N,lim Rd,lim ζlim d - b d yd Rd,lim ( d d yd d h + cd - ( d d Rd,lim yd N yd vl N Konvencija: Tlak + Vlak - tl N d-h/ b d h d d x ε ε c 0.85 cd F F c Neutralna o h d N d-x d-d z d b ε F
Pravokutni prejek opterećen en momentom avijanja i uzdužnom ilom Dimenzioniranje pomoću u dijagrama interakcije ν µ N b d b d ω cd yd β cd cd b d h d d b N d x d-x Ograničenja: Prema EC-8 (HRN ENV 998--3, za različite razrede duktilnoti potoji ograničenje najveće uzdužne tlačne ile u tupovima: Razred duktilnoti L: N 5 b h cd Razred duktilnoti : N 0.65 b h cd Razred duktilnoti H: N 0.55 b h cd
Pravokutni prejek Dijagram toka rješenja enja problema Učitavanje podataka o prejeku, materijalu, napadnim ilama, te tražene deormacije armature b, h, d, cd, yd,, ε,poc ε Izračunavanje bezdimenzionalnog momenta avijanja µ b d Potavljanje početne ravnine deormacije c,don ; εc,gor 3.5 ; ε 0 ε cd,poc ε c,don ε c,tek Potavljanje tekuće ravnine deormacije ε c,tek ε c,don + ε c,gor ε c,gor ε c,tek ξ ε c ε c + ε Izračunavanje koeicijenata za tekuću ravninu deormacije ; ζ izr ( k ξ ; µ 0.85 α ξ ζ ; ω 0.85 α ξ a v v Uporedba izračunatih i traženih vrijednoti izr izr µ < µ izr µ > µ µ µ Rd,lim ζ d lim Izračunavanje potrebne armature, ipi yd + - Rd,lim ( d d ( d d yd Rd,lim yd N + yd ; -
T prejek opterećen en momentom avijanja h b e d x Neutralna o ε ε c ε* c 0.85 cd F F c h d N d-x d-d z d b ε F ko neutralna o iječe ploču (x h, tada e ovakav prejek rješava kao pravokutni dimenzija b e *h (d. ko neutralna o iječe rebro (x > h, tada je ovakav prejek pravi T prejek i potrebno ga je kao takvog proračunati.
T prejek opterećen en momentom avijanja određivanje eektivne širine F b b ca 0.85 α i i v F cb v cd F ξ db α α α α e v v v ci ξ db ξ d α e v be 0.85 cd αv ( ξ d h ( be b ( ξ d h ( be b αv ξ dbi ( ξ d h ( b b α α v v ξ d h ξ d b b e b e e 0.85 cd α v ξ db i b e i h x ε c ε * c 0.85 cd α * v α v a b b i b
T prejek Dijagram toka rješenja enja problema Učitavanje podataka o prejeku, materijalu, napadnim ilama, te tražene deormacije armature Izračunavanje bezdimenzionalnog momenta avijanja Izračunavanje bezdimenzionalnog momenta avijanja b, b, h, d, h,,,, ε ; b e µ b i d cd yd cd,poc i b e ε Potavljanje početne ravnine deormacije c,don ; εc,gor 3.5 ; ε 0 ε,poc ε c,don ξ ε c ε ε c + ε c,tek ; Potavljanje tekuće ravnine deormacije ε c,tek ε c,don + ε Izračunavanje koeicijenata za tekuću ravninu deormacije ζ c,gor ε c,gor ε c,tek izr ( k ξ ; µ 0.85 α ξ ζ ; ω 0.85 α ξ a v v Kontrola položaja neutralne oi ζ lim Uporedba izračunatih i traženih vrijednoti izr izr µ < µ izr µ > µ µ µ Rd,lim d yd x h Izračunavanje potrebne armature, ipi + - Rd,lim ( d d ( d d yd Rd,lim x > h yd N + yd ; Proračun reducirane širine T prejeka α v h b bi be v d b α ξ e -
Dimenzioniranje na poprečnu ilu Poprečne ile e proračunavaju prema poboljšanoj örch-ritterovoj analogiji rešetke. Po toj metodi pretpotavlja e da jedan dio poprečne ile prihvaća beton i uzdužna armatura nakon razvoja dijagonalnih pukotina u betonu, a otatak poprečne ile e prihvaća vertikalnim ponama (tremenovima i/ili koom armaturom (Standardna metoda. Po drugoj metodi, koja e kao alternativa predlaže EC, noivot betona e ne uzima u obzir, već e uzima blaži kut nagiba tlačnih dijagonala od 45, čime e potižu uštede na poprečnoj armaturi, ali e povećava uzdužna armatura, izravno ili preko pomaka dijagrama vlačnih ila prilikom rapodijele armature. F F V wd z d h w w l w V Rd V wd Uvjet noivoti na poprečne ile: V V Rd gdje je: V računka poprečna ila V Rd računka noivot na poprečne ile
Dimenzioniranje na poprečnu ilu - natavak Računka armatura za prihvaćanje poprečnih ila (tj. glavnih koih vlačnih naprezanja neće biti potrebna ako je zadovoljen uvjet: V V Rd [ τ k (. + 40 ρ + 0.5 σ ] b d Rd l gdje je: τ Rd računka čvrtoća na djelovanje glavnih koih naprezanja k.6-d.0 - korekcijki aktor kojim e povećava noivot na poprečne ile (d u metrima ρ l koeicijent armiranja uzdužnom armaturom ( / c < 0.0 (.0% b w najmanja širina prejeka u vlačnoj zoni d tatička viina prejeka σ cp N / c redišnje naprezanje (+ za tlak, - za vlak N računka uzdužna ila u prejeku c površina betonkog prejeka Noivot tlačnih štapova biti će zadovoljena ako je: cp w ck ν 0.5 00 V V Rd 0.5 ν cd b w z - redukcijki aktor ( ck u N/mm Karakteritika betona C/5 C6/0 C0/5 C5/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60 ck (Pa Čvrtoća na valjku 6 0 5 30 35 40 45 50 c,cub (Pa Čvrtoća na kocki 5 (B 5 0 (B 0 5 (B 5 30 (B 30 37 (B 40 45 (B 45 50 (B 50 55 (B 55 60 (B 60 τ Rd (Pa Pomična čvrtoća 0.8 0. 0.6 0.30 0.34 0.37 0.4 0.44 0.48
Dimenzioniranje na poprečnu ilu - natavak ko u elementu djeluje uzdužna tlačna ila, potrebno je reducirati noivot tlačnih štapova: Pri čemu je: σ cp,e N V ko nije zadovoljen uvjet: Rd,red yk.67 V γ V V Rd cp,e potrebno je proračunati računku armaturu za prijem poprečnih ila. c Rd σ cd V Rd -tlačno naprezanje u betonu (a Standardna metoda Ova metoda pretpotavlja nagib tlačnih štapova pod kutom od 45. Poprečna armatura (tremenovi, vilice, pone e proračunava iz uvjeta: gdje je: w površina jedne grane pona m reznot pona z krak unutrašnjih ila (z 0.9 d w razmak pona yw,d računka granica popuštanja poprečne armature V V wd V Rd3 w V Rd yw,d w 0 + V wd m z Kontrukcijka poprecna armatura V Rd V wd Proracun poprecne armature V Nedopušteno podrucje V Rd V
Dimenzioniranje na poprečnu ilu - natavak Noivot koe armature može e izračunati po izrazu: V wd w yw,d z in ( + ctgα α gdje je: razmak koe armature mjeren uzduž oi elementa α Kut nagiba koih šipki prema oi noača Θ α Kontrukcijka poprecna armatura Proracun poprecne armature Nedopušteno podrucje 0 V Rd V V Rd V V wd
Dimenzioniranje na poprečnu ilu - natavak (b etoda lobodnog odabira nagiba tlačnih štapova Primjena ove metode predlaže e kada na prejek imultano djeluju poprečna ila i moment torzije. Nagib tlačnih štapova prema uzdužnoj oi bira e u granicama: o o.8 Θ 68. 0.4 Θ.5 o o 6.6 Θ 63.4 0.5 Θ.0 Njemački propii predlažu ljedeći izraz: σ ctgθ.5 3 cp,e cd Kada e glavna uzdužna armatura vodi do ležaja Kada e glavna uzdužna armatura potupno prekida u polju Za σ cp,e 0, Θ39 Kod elemenata vertikalnom poprečnom armaturom, noivot na poprečne ile: z VRd ν cd bw ctgθ + tgθ V Rd3 V wd w w yw,d w z m ctgθ w yw,d V Sd ; z m ctgθ uz uvjet : w b m w w yw,d ν cd Proracun poprecne armature Nedopušteno podrucje 0 V V Rd V V wd
Dimenzioniranje na poprečnu ilu - natavak Kod elemenata koom poprečnom armaturom, noivot na poprečne ile: V V Rd Rd3 ν V wd cd b w w ctgθ + ctgα z + ctg Θ yw,d z ν inα w yw,d ( cd ctgθ + ctgα inα ; uz uvjet : bw w co α Da bi e utanovila najmanja količina poprečne armature za mala i rednja pomična naprezanja, gornje granice za ctg Θ, bit će u običnom lučaju mjerodavne za dimenzioniranje. Za veća pomična naprezanja najveću vrijednot za ctg Θ (što odgovara najmanjoj količini poprečne armature može e naći izjednačavanjem vrijednoti proračunkih poprečnih ila V Sd i V Rd. Nakon rapucavanja noača, ila u donjem pojau bit će: F Sd + VSd ctg z ( ctgθ α te je za drugi član potrebno povećati uzdužnu armaturu u polju.
Dimenzioniranje na poprečnu ilu - natavak Ukupna poprečna armatura (pone ne mije biti manja od minimalne: ρmin w bw w,min m Klaa betona C/5 C6/0 C0/5 C5/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60 ρ min 0.0007 0.00 0.003 akimalni razmaci pona, ovino o veličini računke poprečne ile prikazani u u tablici: Broj Računka poprečna ila V akimalni razmak pona u mjeru glavne vlačne armature w,max V 0. V Rd 0.8 d; 30 cm 0. V Rd < V 0.67 V Rd 0.6 d; 30 cm 3 V > 0.67 V Rd 0.3 d; 0 cm Broj 3 Računka poprečna ila V V 0. V Rd 0. V Rd < V 0.67 V Rd V > 0.67 V Rd akimalni razmak vertikalnih krakova pona u poprečnom mjeru.0 d; 80 cm 0.6 d; 30 cm 0.3 d; 0 cm
Dimenzioniranje na poprečnu ilu - Primjer V (kn (knm a G, Q c d.0 7.0 8.0 R 44.4 kn a 44.4 7. 6.6 3.3 g, q b R b8.5 kn 8.5 30 γ S γ 73 80 7 g 8.0 kn m' q.0 kn m' g g g + γ q 7.3 kn m' G + γ q.35 8.0 +.5.0 q C30 τ Q.35 40.0 +.5 67.0 S 54.5 kn ; ; ck Rd 37 30.0 Pa 0.34 Pa G 40.0 kn Q 67.0 kn Ø4 ( 3.08 cm 30.8 µ za ε b d cd 0 ; ζ d oci tano : yd ε c 30.4 3040 0.095 30 73.0. ; ζ 0.934 3040 0.0 cm 0.934 73 43.48 80 73 7 30 Ø4 ( 3.08 cm 5Ø6 ( 0.05 cm
Dimenzioniranje na poprečnu ilu Primjer (natavak 80 73 Ø4 ( 3.08 cm Ø4 ( 3.08 cm ρ l 0.5 + 3.08 6.cm c 6. 0.00675 30 80 Beton C30/37 7 5Ø6 ( 0.05 cm ck (Pa Čvrtoća na valjku 30.0 τ Rd (Pa Pomična čvrtoća 0.34 30 Dio poprečne ile koju preuzima beton i uzdužna armatura: V V Rd Rd [ τ k (. + 40 ρ + 0.5 σ ] Rd k.6 d.6 3 0.87 <.0 k.0 σ [ 0.034.0 (. + 40 0.00675 + 0.5 0.0] V cp Rd N c 09.5 kn l 0.0 cp b w d 30 73 Dio poprečne ile koju mogu preuzeti tlačne dijagonale: V V Rd Rd 0.5 ν cd b z ck ν 00 0.5 0.55.0 30 w 30 00 0.55 > 0.5 ( 0.9 73 084.kN ν 0.55
Dimenzioniranje na poprečnu ilu Primjer (natavak G, Q Ležaj a : V (kn a c.0 R 44.4 kn a 44.4 7. 6.6 d 8.0 V V ρ min 44.4 kn V w,max Rd min min 0.004 44.4 084. 0.3 m ρ { 0.6 d; 30.0 cm} { 0.6 73 43.8; 30.0} 9 0.004 30 w,min w,pot min bw Odabrane pone 0 ( w 9 cm : V 0.3 V w,max.94 cm Rd 30.0 cm (knm 30.8 3.3 30.4 Odabrane pone 0/0. Ukupna noivot betona i odabrane poprečne armature: yk yw,d ; G 40 360 γ V Rd V yw,d Rd + V,a 40.5 wd V Rd 08.7 Pa 0.87 kn Rd m + w 9 0.87 09.5 + 0 V > V w yw,d z ( 0.9 73 cm 7.8 kn
Dimenzioniranje na poprečnu ilu Primjer (natavak 44.4 V 7.8 kn Rd 7. Odabrane pone 0 ( w 9 cm : m V z 9 0.87 44.4 09.5 ( 0.9 73 w yw,d w,pot VRd Odabrane pone 0/5. 6.06 cm 6.6 73 80 7.0 7.0 Ø0/5 Ø0/0 8.0 30
Dimenzioniranje na moment torzije Proračun elemenata naprezanih torzijom provodi e uporabom modela oblika protorne rešetke. Puni prejeci zamjenjuju e šupljim prejecima debljine t. Nagib tlačnih štapova lobodno e odabire u granicama navedenim pri proračunu na poprečne ile. k Kontura u Kontura u k t / t c Uvjet noivoti na moment torzije: T T Rd gdje je: T računki moment torzije T Rd računka noivot na torziju Noivot tlačnih štapova biti će zadovoljena ako je: ν cd k t T TRd ctgθ + tgθ ck ν 0.35 - redukcijki aktor ( ck u N/mm 00 0 Proracun poprecne armature T Nedopušteno podrucje T Rd T Sd gdje je: t/u debljina tijenke zamjenjujućeg šupljeg prejeka k površina unutar rednje konture šupljeg prejeka u opeg vanjke konture ukupna površina prejeka T Rd T Rd3
Dimenzioniranje na moment torzije - natavak Površina poprečne armature za prihvaćanje momenta torzije određuje e iz uvjeta: T Sd T gdje je: uk w prejek pone koja obuhvaća prejek na razmaku w w l površina vih uzdužnih šipki 8 yw,d, yl,d računke granice popuštanja poprečne i uzdužne armature Rd w k yw,d ctgθ Površina uzdužne armature za prihvaćanje momenta torzije određuje e iz uvjeta: T Sd T Rd3 l k yl,d k w tgθ u Uzdužne šipke treba rapodijeliti po opegu. U vakom kutu treba potaviti jednu šipku, a otale jednoliko rapodijeliti po opegu, tim da razmak između njih ne bude veći od 35.0 cm. Kada u poznate armature w i l, te kut Θ i noivot T Rd, moraju biti zadovoljene i ljedeće jednadžbe: w yw,d tg Θ w l yl,d u T Rd k k w w yw,d u l k yl,d
Dimenzioniranje na moment torzije - natavak Pri itodobnom djelovanju poprečne ile i momenta torzije valja zadovoljiti uvjet: T T Sd Rd V + V Sd Rd ; uz : V Rd 0.5 ν cd b w z Poprečna armatura e poebno određuje za vako djelovanje te uperponira. Pri imultanom djelovanju momenta avijanja i momenta torzije valja poebno za vako naprezanje izračunati uzdužnu armaturu, amo što e one u vlačnoj zoni od avijanja zbrajaju, a u tlačnoj redovito nije potrebno dodavati onu zbog naprezanja torzijom, jer je ona četo manja od kontruktivne. Kad itodobno djeluju moment torzije i veliki moment avijanja (andučati prejeci, može biti kritično glavno naprezanje u tlačnoj zoni od avijanja, pa valja zadovoljiti uvjet: Uz: σ τ Sd Sd Sd z b t TSd t k σ σsd σsd + τsd 0.85 cd -Računko normalno tlačno naprezanje koje e uvrštava predznakom + -Računko pomično naprezanje uzrokovano torzijom Spone za prihvaćanje torzije moraju biti zatvorene i preklopljene po kraćoj tranici. Uvjeti za minimalnu armaturu i makimalne razmake pona u iti kao i kod proračuna na poprečne ile.
Dimenzioniranje na torziju - Primjer Iti zadatak kao kod proračuna na poprečne ile, uz T Sd 35.0 knm 80 73 6 6 4 4 30 T T T Rd Rd Rd C30 τ ck Rd t 37 30.0 Pa 0.34 Pa ν cd k t ctgθ + tgθ ck ν 00 b h 30 80 400 cm u k u Θ 45 ( b + h ( 30 + 80 400 0 0.9cm ( b t ( h t ( 30 0.9 ( 80 0.9 o ν cd k t ctgθ + tgθ 080.5 kncm 0.8 kncm 0 cm 30 00 0.385 0.385.0 39 0.9 o o ctg45 + tg45 39 cm
Dimenzioniranje na torziju - Primjer 8Ø0 + Ø0/ Odabrane pone 0 ( w 9 cm : T Sd w,pot T Rd w w k T Sd k yw,d yw,d ctgθ ctgθ 9 39 0.87.4 cm 3500 Odabrana poprečna armatura: 0/. Uzdužna armatura: T Sd T Rd u k l l w (( b t + ( h t (( 30 0.9 + ( 80 0.9 k k yl,d yl,d tgθ u TSd uk tgθ k 3500 76.36 5.38 cm 39 43.48 76.36 cm Odabrana uzdužna armatura: 8 0 ( l 6.8 cm.
Dimenzioniranje na avijanje, torziju i poprečnu ilu - Primjer Prejek (element mo doad dimenzionirali odvojeno na moment avijanja, poprečnu ilu i torziju. U lučaju da va tri djelovanja u itovremena, imamo: Uzdužna armatura: T Ukupno Ø4 Ø0 Ø0 Ø4 "+" Ø0 Ø0 "" Ø0 Ø0 5Ø6 Ø0 6Ø6 - U gornjoj zoni i redini prejeka armatura od avijanja je kontruktivna, a armatura od torzije je računka. Uvaja e armatura od torzije. -U donjoj zoni obje armature (i od avijanja i od torzije u računke. Potrebno ih je zbrojiti. 5 6 ( 0.05 cm ; 0 (.57 cm 6 6 (.06 cm > 5 6+ 0
Dimenzioniranje na avijanje, torziju i poprečnu ilu - Primjer Prejek (element mo doad dimenzionirali odvojeno na moment avijanja, poprečnu ilu i torziju. U lučaju da va tri djelovanja u itovremena, imamo: Poprečna armatura: 8.0 - Spone na prvih m grede: w,v w,t wt + w,v w,t 5 6.7 cm 5 +.0 7.0 Ø0/5 Ø0/0 "+" V - Spone na otalom dijelu grede: w,v w,t wt + w,v w,t 0 7.5 cm 0 + 8.0 T Ø0/ "".0 7.0 Ø0/6.5 Ø0/7.5 Ukupno - Kontrola zajedničkog djelovanja: T T T V Sd Sd V Sd + V Rd 35.0 knm Sd Rd 44.4 kn 35.0 0.8 V Rd + ; ; V 44.4 758.8 T V Rd Rd Rd 0.8 knm 084.kN 758.8 kn 0.04
Dimenzioniranje ploča a na proboj.5 d.5 d.5 d.5 d a b a b ; b.8 d 5.6 d b.5 d l c.5 d b / b / b Kriticna površina Kriticni prejek a / a / a > b β d d h Stup pri rubu Stup u kutu.5 d.5 d l c Kriticni prejek.5 d.5 d Uvjet noivoti na proboj: v v Rd gdje je: v računka poprečna ila po jedinici kritičnog opega v Rd računka noivot na proboj po jedinici kritičnog opega
Dimenzioniranje ploča a na proboj - natavak.5 d l c.5 d Kriticna površina.5 d l.5 d c β Kriticni prejek d d h Kriticni prejek Uvjet noivoti na proboj: v v Rd βp v V ucr gdje je: V računka ila proboja od vanjkog opterećenja u cr duljina kritičnog opega β p korekcijki aktor kojim e uzima u obzir ekcentrično djelovanje ile proboja u odnou na kritičan prejek β p.0 za imetrično naprezane tupove β p.5 za unutrašnje tupove neimetrično naprezanje β p.4 za tupove na rubu β p.5 za tupove u kutu β.4 β.0 β.0 β.4 β.5 β.0 Intalacijki šaht β.5 β.4 β.4
Dimenzioniranje ploča a na proboj - natavak rmatura za oiguranje od proboja neće biti potrebna ako je zadovoljen uvjet v v Rd τ Rd k (. + 40 ρ d gdje je: τ Rd računka čvrtoća za djelovanje glavnih koih naprezanja k koeicijent viine prejeka ploče (vidi dimenzioniranje na poprečne ile d rednja tatička viina prejeka ploče ( (d x +d y / ρ l koeicijent armiranja ploče ρ l ρ lx ρ ly ; 0.5% ρl.5% ko gornji uvjet nije zadovoljen, potrebno je kontrolirati noivot na tlak te proračunati poprečnu armaturu: v v.6 v noivot tlačnih štapova u ploči v v Rd Rd3 v Rd + Rd w yd inα u w ukupna poprečna armatura α kut nagiba poprečne armature prema ravnini ploče cr l noivot poprečne armature za oiguranje od proboja inimalna poprečna armatura proračunava e po izrazu: w,min ρ w,min ( crit inα load ρ w,min 0.6 ρ min (ρ min minimalni koe. armiranja na pop. ile crit površina unutar kritičnog prejeka load površina djelovanja opterećenja
Dimenzioniranje ploča a na proboj razmještaj armature Oiguranje vilicama Oiguranje koim šipkama α90 α < 0.5 d 5 d.5 d.5 d l c.5 d.5 d l c.5 d
Dimenzioniranje ploča a na proboj razmještaj armature Oiguranje poebnom ugradnom armaturom
Granično no tanje ravnoteže e na deormiranom utavu Teorija II reda Proračun po teoriji II reda mora e proveti za pojedinačne tupove i kontrukcije od vitkih elemenata pretežno naprezanih uzdužnom tlačnom ilom. Tim proračunom valja dokazati da za najnepovoljniju kombinaciju opterećenja u graničnom tanju noivoti neće doći do gubitka ravnoteže pojedinih elemenata ili utava kao cjeline prije otkazivanja noivoti prejeka naprezanih na ekcentrični tlak. U analizi utava po teoriji II reda valja razlikovati: - Krute utave i elemente od onih koji to niu, - Horizontalno pomične i horizontalno nepomične utave. Kruti element ima veliku krutot na avijanje, upet je u temelj ili podrumko ziđe (npr. armiranobetonki zid. Kruti utav adrži jedan ili više krutih elemenata u oba mjera. Horizontalno nepomični utavi u oni koji zadovoljavaju uvjet: za n 3 h tot Fv E I cm c 0. + 0. n za n > 4 h tot Fv E I cm c 0.6 gdje je: h tot ukupna viina zgrade od temelja ili tropa podruma n broj katova F v uma ukupnog vertikalnog opterećenja E cm I c uma krutoti na avijanje vertikalnih krutih elemenata Horizontalno pridržani utavi proračunavaju e tako da ve horizontalne ile prihvaćaju kruti elementi (zidovi, a otali elementi (tupovi, ovino o vitkoti, proračunavaju prema teoriji I, odnono II reda, uključujući inperekciju i puzanje betona. Četo e pri tome korite pojednotavljene metode.
Granično no tanje ravnoteže e na deormiranom utavu Teorija II reda Rezne računke ile po teoriji I reda: F F N I I F H h H H u v Rezne računke ile po teoriji II reda: N II II F H ( h v + F u. SLUČJ: Nema uzdužne ile ili je zanemariva (F 0.0 h II H I ( h v + F u H ( h v < H h. SLUČJ: Sutav nije vitak ( u v 0.0 II ( h v + F u H h I H 3. SLUČJ: Sutav je vitak ( u >> v 0.0 II H I ( h v + F u > H h jera vitkoti parametar izvijanja λ l l0 λ 0 i I
Granično no tanje ravnoteže e na deormiranom utavu Teorija II reda Za određivanje dužine izvijanja Eurokodom e predlažu Jackon-orelandovi nomogrami. Dužina izvijanja e općenito može izraziti: Za korištenje nomograma treba općenito izračunati k i k B, te očitati vrijednot β iz nomograma. Za upete čvorove je: k k B 0 a za lobodni vrh (vrh konzole: k Za otale lučajeve: k l β 0 l col ( ili k B pri čemu indek col označava tupove (column, a indek b grede (beam. α koeicijent olanjanja uprotnog kraja grede; α.0 kraj upet, α0.5 zglob; α0.0 konzola E E cm l col cm l b l col α I b
Granično no tanje ravnoteže e na deormiranom utavu Teorija II reda jera izvijanja je tzv. parametar vitkoti λ pojedinog tlačnog elementa. Za određivanje dužine izvijanja Eurokodom e predlažu Jackon-orelandovi nomogrami. Pojedinačne tlačne elemente nije potrebno proračunavati po teoriji II reda, ako je zadovoljen uvjet: l 0 l 0 e 0 λ λcrit 5 ; e0 e 0 i I e 0 gdje u e 0 i e 0 ekcentriciteti uzdužne tlačne ile na krajevima elementa. Elemente koji ne zadovoljavaju gornji kriterij valja proračunati po teoriji II reda, pri čemu vitkot ne mije prelaziti graničnu λ lim 40. Približni potupak koji predlaže EC-, a koji vrijedi za elemente kontantnog prejeka i armature, pronalazi e ukupni ekcentricitet za koji e izračuna povećani moment avijanja dok odgovarajuća uzdužna ila otaje nepromijenjena. Ukupni ekcentricitet, bez utjecaja puzanja, bit će: e e + e + e gdje je: e a ekcentricitet zbog imperekcije e 0 ekcentricitet po teoriji I reda e dodatni ekcentricitet po teoriji II reda h tot ukupna viina građevine l 0 dužina izvijanja tupa l col tvarna dužina tupa β koeicijent izvijanja (iz nomograma tot 0 a e a e 0 N ν l0 l 0 β ν ( nomogrami lcol 00 h tot e 0 ν N N min ν ν min min e 0 e 0 400 00 N N N e 0 e 0 (Pridržani utavi (Nepridržani utavi N
Granično no tanje ravnoteže e na deormiranom utavu Teorija II reda Ekcentricitet natao zbog deormiranja utava (dodatni ekcentricitet po teoriji II reda može e izračunati po izrazu: e 0.K l0 r gdje je: ε K yd r 0.9 d λ K 5 ; za λ > 35, K.0 - Korekcijki aktor 0 K - Koeicijent kojim e uzima u obzir zakrivljenot ε yd E yd -Računka deormacija u čeliku koja odgovara računkoj granici popuštanja Rezne računke ile na deormiranom utavu bit će: N II II N N I I e tot
Teorija II reda - primjer Potrebno je proračunati i dimenzionirati tup dimenzija prema lici. aterijal C 5/30 i B500B. H F N - Rezne ile pri dnu tupa G G 50 kn ; 36 kn ; N N Q Q 70 kn 54 kn 4.5 m 35 40 30 -Računke čvrtoće C 5 30 B500B l yd cd - Koeicijent izvijanja 0 l crit col 5.5 6.6 Pa 500.5 434.8 Pa 450 900 cm l0 900 λ 78 i 0.89 40 e0 λcrit 5 5 e 0 λ > λ 0 e 0 50 - Potreban proračun na deormiranom utavu!
Teorija II reda - primjer H F 4.5 m 35 40 30 e - Ekcentricitet po teoriji I reda - Ekcentricitet zbog imperekcije ν 0.0047 00 h 00 4.5 ν ν e - Dodatni ekcentricitet po teoriji II reda λ K 5 ; za λ > 35, K.0 0 K.0 e N ε.35.35 N yd E yd +.5 434.8 00000.0 9.6 457.5 G Q 0 G +.5 NQ min a < ν ν 00 min tot 0.005 ν l0 0.005 0.005 9.0 0.05 m 0.074 0.83 m εyd 0.074 3 K.0.38 0 r 0.9 d 0.9 35 3 0.K l0 0..0 9.0.38 0 0.0 m r
Teorija II reda - primjer H F N - Ukupne ile po teoriji I reda I I.35 N G.35 G +.5 N Q +.5 Q 457.5 kn 9.6 knm 35 - Ukupni ekcentricitet e tot e0 + ea + e 0.83 + 0.05 + 0.0 0.367 m 4.5 m 40 30 N - Ukupne ile po teoriji II reda II II N N I I 457.5 kn e tot 457.5 0.367 44.9 knm - Odno momenata II 44.9 I 9.6.
Granično no tanje naprezanja Prekomjerno naprezanje betona i/ili čelika pod opterećenjem u ekploataciji utječe preko rapucavanja i platičnog deormiranja na trajnot i uporabljivot armiranobetonkih i prednapetih kontrukcija. Da bi e izbjegle negativne poljedice, prema EC- ograničavaju e naprezanja, i to: U Betonu: - Pod rijetkom kombinacijom opterećenja σc 0.6 ck - Pod kvazitalnom kombinacijom opterećenja σc 0.45 ck U Čeliku: - Pod rijetkom kombinacijom opterećenja C 5 30 B 30 σ σ dop,rub,b 30 c 0.45 ck.0 Pa 0.45 5.5 Pa σ 0.8 yk - Pod naprezanjem izazvanim amo indirektnim djelovanjem (prinudne deormacije σ.0 yk -U čeliku za prednaprezanje nakon vih gubitaka pod rijetkom kombinacijom djelovanja σp 5 pk Ograničenjem naprezanja priječava e labljenje tlačne zone otvaranjem poprečnih mikropukotina natalih poprečnim vlačnim naprezanjima (ile cijepanja i platiikacija betona. Za određivanje naprezanja koriti e linearna rapodjela naprezanja u betonu i čeliku (linearna teorija, te kontantan odno modula elatičnoti (E /E c 5. Kada uvjeti ograničenja naprezanja niu ipunjeni, potrebno je pojačati prejek i/ili armaturu, ili poduzeti druge mjere.
Granično no tanje pukotina Rapucavanje armiranobetonkih kontrukcija ograničava e kako bi e priječile šetne poljedice za trajnot građevine. Pukotine nataju kada vlačna naprezanja izazvana avijanjem, torzijom, poprečnim ilama i uzdužnom vlačnom ilom, pojedinačno ili zajednički, prijeđu vlačnu čvrtoću betona. Kada nema poebnih zahtjeva na rapucavanje (npr. vodonepropunot armiranobetonkih utava, može e uzeti za normalne klae onečišćenja, za ab kontrukcije w g 0.3 mm, a za prednapete kontrukcije w g 0. mm. inimalna armatura rmiranobetonke i prednapete elemente valja uvijek armirati u području vlačnih naprezanja barem minimalnom armaturom za ograničenje širina pukotina, oobito ako e očekuje indirektno djelovanje izazvano priječenošću lobodnog kupljanja ili prinudnim deormacijama (popuštanje ležaja. Kako rapodjela vlačnih naprezanja po viini prejeka utječe na rapucavanje elementa, valja razlikovati: - Promjenjivu rapodjelu izazvanu momentom avijanja (potoji vlačna i tlačna zona, - Jednoliku rapodjelu izazvanu vlačnom ilom ( cijeli prejek naprezan na vlak. inimalna armatura može e izračunati po izrazu: ct,min kc k ct,e gdje je: σ k c koeicijent kojim e uzima u obzir rapodjela naprezanja po viini prejeka pri pojavi prve pukotine (k c.0 za centrični vlak; k c 0.4 za avijanje k korekcijki koeicijent (k0.8 kod priječenih deormacija; k.0 za prinudne deormacije ct,e vlačna čvrtoća betona pri pojavi prve pukotine ct vlačna površina neporedno prije pojave pukotine σ naprezanje u armaturi neporedno nakon pojave pukotine
Granično no tanje pukotina - natavak Granično tanje pukotina nije potrebno kontrolirati kod ploča, ako debljina ploče ne prelazi 00 mm, te kada je ploča armirana u kladu preporukama u vezi površine i raporeda armature potrebnom za noivot. Za elemente armirane minimalnom armaturom, dobivenom po prethodno prikazanom izrazu, granično tanje pukotina biti će zadovoljeno ako promjeri šipaka i razmaci šipki budu manji od graničnih. Naprezanja u čeliku (σ odgovara onom pri određivanju minimalne armature, a proračunava e za kvazitalnu kombinaciju opterećenja. Onovni odno rapona i eektivna debljina prejeka (l/h, ortirani u u tablici: Kontrukcijki utav Jače napregnut beton Slabije napregnut beton. Prota greda; Samotojeće ploče koje noe u jednom ili dva mjera (ploče koje e natavljaju 8 5. Krajnji rapon kont. noača ili ploče koja noi u dva mjera a natavlja e preko jedne tranice 3 3 3. Unutarnji rapon kont. noača ili ploče koja noi u mjeru ili mjera a koja natavlja e 5 35 4. Ploče olonjene na tupove bez greda (bazirano na duljem raponu 30 5. Konzole 7 0 akimalni promjeri šipki i njihovi makimalni razmaci za različite nivoe naprezanja u čeliku, ortirani u u tablici: Naprezanje u armaturi (Pa 60 00 40 80 30 360 akimalni promjer šipke φ (mm 3 5 0 6 0 Savijanje 300 50 00 50 00 50 akimalni razmak šipki (mm Vlak 00 50 5 75 - -
Granično no tanje pukotina - natavak Širina pukotine e upoređuje graničnom vrijednošću: w k w g Računka širina pukotine može e prognozirati pomoću izraza: w β k rm ε gdje je: β odno računke i rednje širine pukotina (β.7 za vanjko opterećenje; β.3 za neizravno opterećenje rm rednji razmak pukotina ε m rednja deormacija armature Srednja deormacija armature određuje e po izrazu: gdje je: ζ koeicijent rapodjele ε σ E σ ζ E m β σ naprezanje u vlačnoj armaturi na mjetu pukotine m β σ r naprezanje u vlačnoj armaturi na mjetu pojave prve pukotine cr b h σr ; cr ctm z 6 β koeicijent kojim e uzima u obzir vrta armature (β.0 - rebrata armatura, β 0.5 - glatka armatura β koeicijent kojim e uzima u obzir trajanje opterećenja (β.0 kratkotrajno opterećenje, β 0.5 dugotrajno opterećenje ili promjenjivo četim udjelom σ σ r σ z x d 3
Granično no tanje pukotina - natavak Srednji razmak pukotina određuje e po izrazu: rm 50 + 0.5 k k φ ρ r [ mm] gdje je: φ promjer šipke u mm ρ r djelotvorni koeicijent armiranja glavnom vlačnom armaturom ρr k koeicijent kojim e uzima u obzir prionjivot čelika i betona (k 0.8 - rebrata armatura, k.6 - glatka armatura k koeicijent kojim e uzima u obzir utjecaj rapodjele deormacija (k 0.5 avijanje, k.0 vlak c,e udjelujuća vlačna zona prejeka Grede c,e Ploce h d d c,e b.5 d Težište armature d hd c c,e anja vrijednot od.5 (c+φ/ ili (h-x/3
Granično no tanje pukotina - primjer Potrebno je odrediti granično tanje pukotina za gredu prikazanu na crtežu. w k β β.7 rm ε m w g σ σ σ r ε ζ β β m E E σ n b d 5.7 6.03 30 40 S x + + + + 8.50 cm b n S 30 5.7 6.03 σ z - odno računke i rednje širine pukotina Proračun rednje deormacije armature: x d 3 4390 8.5 40 3 kn 9.59 cm 6.03 95.9 Pa h44 cm d40 cm d 4 d 4 3Ø 43.90 knm 3Ø6 b30 cm x σ σ r r cr z ctm ; 0.3 30 44 cr 0.35 6 cr cr z x d 3 b h 6 3 ( 0.3 ( 40.0 ck cr ctm 3388 8.5 40 3 ; 3 ctm 0.3 3.5 Pa ( 3 ck 3388.0 kncm 33.88 knm ; 40.0 Pa 3388 kn 5. 0.9 40 6.03 cm 6.03 ck 5. Pa
ε Granično no tanje pukotina - primjer m E β β σ E 00.0 GPa 00000000.0 kpa.0 0.5 β β 95.9 00000.0 - Rebrata armatura - Dugotrajno opterećenje σ σ Proračun rednjeg razmaka pukotina: rm 50 + 0.5 k k k 0.8 0.5 r 5..0 0.5 95.9 k φ ρ r [ mm] φ 6 mm - Promjer najdeblje šipke ρ - Rebrata armatura -Savijanje 6.03 30 0 r c,e 50 + 0.5 k k φ 0.00 - modul elatičnoti armature 0.688 0 3 d 4 b30.5*d 0 cm - Djelotvorni koeicijent armiranja glavnom vlačnom armaturom 6 50 + 0.5 0.8 0.5 0.00 rm ρr 3 9.6 mm wk β rm εm.7 0.688 0 9.6 0.5mm < w g 0.3 mm Po Gergely-Lutzu: h h w w d x 40.0 8.50 3.50 cm h x 44.0 8.50 35.50 cm max max b c n a h h 30 4 3 σ S 3 80 cm d 0 ( cm 35.5 3. 95.7 80.0 4.0 0 3.5 0.66 mm < w 0.3 mm g 6 5
Granično tanje deormiranja Deormiranje elemenata i kontrukcija dozvoljava e u određenim granicama i pod uvjetom da ne izazove oštećenja u amom utavu i drugim noivim elementima. Pod pojmom deormiranje (izobličenje podrazumijeva e deormacija, progib, zakrivljenot, pomak, uvrtanje i promjena nagiba. Najčešća analiza je analiza progiba. Preporučene vrijednoti makimalnih vertikalnih progiba prikazane u u tablici: δ0 nadvišenje δ progib za kratkotrajno opterećenje δ progib od vremenkih eekata δmax makimalni (ukupni progib
Granično no tanje deormiranja - natavak Kontrolu progiba nije potrebno provoditi uvijek. EC propiuje da kontrolu graničnog tanja uporabe nije potrebno provoditi kada vitkot elementa na avijanje (l e /d ne prelazi vrijednoti naznačene u tablici. Vrijednoti naznačene u tablici valja umanjiti: - Za grede T prejeka kojima je b e /b w >3 aktorom: 0.8; - Za ve elemente, oim ravnih ploča, rapona preko 7 m, koji noe pregradno ziđe, aktorom: 7/l e. - Za ravne ploče, rapona preko 8.5 m, aktorom: 8.5/l e. Također, kada je tvarno naprezanje u čeliku manje od 50.0 N/m, vrijednoti u tablici treba korigirati nepovoljnijim od dva aktora: 50 400 3 ; 3 σ,req yk,prov gdje je,prov potojeća, a,req potrebna površina armature. Upotreba ove tablice je na trani igurnoti.
Granično no tanje deormiranja - natavak Potrebno je dokazati da je progib izazvan opterećenjem manji od graničnog: k g Za elemente pretežno naprezane na avijanje vrijedi ljedeći izraz: ( ζ I α ζ αii + α ζ β gdje je: σ α općenita vrijednot deormiranja, a može biti progib, zakrivljenot, pomak i l. ζ koeicijent rapodjele (već primjenjivan kod proračuna pukotina; za nerapucali element ζ0.0 α I, α II odgovarajuće vrijednoti deormiranja za nerapucali (homogeni i potpuno rapucali element Za elemente kontantne viine koriti e pojednotavljena metoda prema kojoj e izračuna zakrivljenot na mjetu makimalnog momenta, a progib e tada izračuna prema izrazu: tot k l rtot gdje je: k koeicijent ovian o tatičkom utavu i opterećenju (vidi ljedeći lit l rapon elementa r tot ukupna zakrivljenot elementa, prema izrazu r r m zakrivljenot zbog opterećenja i puzanja r cm zakrivljenot zbog kupljanja tot r m + r cm β σ r
Granično no tanje deormiranja - natavak Srednja zakrivljenot zbog opterećenja i puzanja atoji e od zakrivljenoti u tanju naprezanja I i tanju naprezanja II: r m ζ r ( ζ gdje je: I moment tromoti prejeka u tanju I (nerapucalo tanje I + Zakrivljenot za tanje naprezanja I proračunava e prema izrazu: Sd r E I I c,e Približne vrijednoti vlačne čvrtoće betona i modula elatičnoti mogu e odrediti izrazima: E cm ct,m 9500 0.3 r 3 ck + 8 [ Pa] ; ck [ Pa] 3 ( [ Pa] ; [ Pa] ck nakon očitanja trajnog koeicijenta puzanja iz norme: Ecm Ec,e.0 + ϕ t,t ( 0 II ck
Granično no tanje deormiranja - natavak Zakrivljenot za tanje naprezanja II: ε rii d yiig gdje je: y IIg udaljenot neutralne oi od gornjeg ruba poprečnog prejeka za tanje II ε relativna deormacija armature, koja e izračunava po izrazu: σ ε ; σ E z oment natanka prve pukotine određuje e prema izrazu: cr ct,m b h 6 ; ct,m 0.3 ( 3 Te, ako je cr >, tada e koeicijent rapodjele ζ uzima jednak 0, bez obzira na proračunatu vrijednot, jer je noač u elatičnom tanju. Zakrivljenot zbog kupljanja za tanje naprezanja I i II iznoe: εc αe SI εc αe S ; r I r I cl,i I gdje je: S I, S II tatički moment površine armature za tanje naprezanja I, tj. II, I I, I II momenti tromoti poprečnog prejeka za tanje naprezanja I, tj. II, ε c relativna deormacija zbog kupljanja u bekonačnoti (iz tablica α e omjer modula elatičnoti čelika i betona, prema: E E αe ( za t 0 ; αe ( za t E E cm cl,ii ck c,e II II
Granično no tanje deormiranja - natavak Jedan jednotavan, a za praku dovoljno točan način izračunavanja progiba armirano betonkih elemenata, je potupak po Branonu (CI propii. q Kontinuirani noači: B Rapodijeljeno opterećenje l 5 l k I + B 48 Ec I k 0 ( + B Koncentrirana ila: l F c l k I + 48 E I k [ 4 + ] B l K q Konzole: Rapodijeljeno opterećenje k 4 E K c l I k K l F Koncentrirana ila: k K 3 E c l I k
Granično no tanje deormiranja - natavak Branonov potupak uključuje izračunavanje eektivnog momenta tromoti prejeka prema izrazu: ' k ' k,l ' ' ( I I I I + 0.5 + gdje je: I k eektivni moment tromoti grede I k,l eektivni moment tromoti grede u polju I k, eektivni moment tromoti grede na lijevom ležaju (ležaj I k,b eektivni moment tromoti grede na denom ležaju (ležaj B Eektivni moment tromoti u vakom prejeku računa e prema izrazu: bp ' ' Ik,i Iid,i ( Iid,i Iid,i - k,i gdje je: I id,i idealni moment tromoti ne rapucalog betonkog prejeka i n-truke armature u prejeku i I id,i moment tromoti rapucalog betonkog prejeka i n-truke armature u prejeku i k,i računki moment u prejeku i bp moment noivoti betonkog prejeka prije pojave prve pukotine bp ctm b h 6 ; k, ctm k,b 0.3 ( 3 ck
Granično no tanje deormiranja - primjer Potrebno je izračunati granično tanje progiba za noač prikazan na crtežu. 0 knm q 43.9 knm l l460 cm Prejek na lijevom ležaju: 57.5 knm B Granični progib: l 460 g.84 cm 50 50 Beton: C 40/50; ck 40.0 Pa E c 35.0 GPa Čelik: B500B; E 00.0 GPa 3 3 ( 0.3 ( 40.0 3.5 Pa ctm 0.3 ck E n E c 00.0 35.0 5.7 h44 cm 40 d 4 d 4 Ø Ø6 I 6 4.0 cm.6 cm id, 3 bh + n 30 44 3 h d 960.0 + 68.3 4578.3 cm + + 5.7 4.0 44 h 4 d 4 +,6 44 4 b30 ' id, I I id,
Grani Granično tanje deormiranja no tanje deormiranja - primjer primjer 3 6 6.03 cm.6 cm Prejek u polju: 4 d b30 h44 cm 40 3Ø6 3Ø x 4 d 4 3 3 id,l 896.8 cm 5336.8 960.0 4 44.6 4 44 6.03 5.7 44 30 d h d h n bh I + + + + + 8.50 cm 6.03 5.7 40 30 30 6.03 5.7 n bd b n x + + + + ( 4 3 3 ' id,l 973.cm 5336.8 8876.3 4 44.6 4 44 6.03 5.7 8.50 44 8.50 30 8.50 30 d h d h n x h bx bx I + + + + + + +