UNIVERSITATEA ŞTEFAN CEL MARE FACULTATEA DE SILVICULTURĂ MATEMATICI SUPERIOARE

UNIVERSITATEA ŞTEFAN CEL MARE FACULTATEA DE SILVICULTURĂ DEPARTAMENTUL PENTRU ÎNVĂŢĂMÂNT LA DISTANŢĂ MATEMATICI SUPERIOARE PENTRU ÎNVĂŢĂMÂNTUL LA DISTANŢĂ - Ediţie reviuită - Lector Agel Picu

Editur Uiversităţii Sucev UNIVERSITATEA ŞTEFAN CEL MARE SUCEAVA FACULTATEA DE SILVICULTURĂ Deprtmetul petru Îvăţămât l Distţă Lector drd. Agel PAICU MATEMATICI SUPERIOARE PENTRU ÎNVĂŢĂMÂNTUL LA DISTANŢĂ Refereţi ştiiţifici: Cof. uiv. dr. Teodor Dumitru HAVARNEANU Fcultte de Mtemtic, Uiversitte Al. I. Cu Işi Lector dr. Ctli ŢIGĂERU Fcultte de Automtiări Clcultore, Uiversitte Ştef cel Mre Sucev

OBIECTIVE OPERAŢIONALE Lucrre de fţă repreită mterilul cursului Mtemtici Superiore petru îvăţămâtul l distţă, îtr-o formă decvtă cestui tip de îvăţămât, respectâd progrm litică şi urmărid celşi oiectiv c şi î cul îvăţămâtului l i. Discipli Mtemtici superiore, discipliă fudmetlă î cdrul Fcultăţii de Silvicultură urmăreşte să costruiscă u prt mtemtic cre să potă oferi cititorului iformţii vlorose şi utile î studiul uor disciplie de specilitte. Oiectivele urmărite pri cestă lucrre sut următorele: preetre oţiuii de spţiu liir, oţiue fudmetlă î mtemtică cu referire specilă l spţiul ritmetic -dimesiol şi l spţiul vectorilor lieri; itroducere produselor de vectori şi le plicţiilor cestor; preetre priciplelor reultte di geometri litică privid drept, plul şi suprfeţele î spţiu. itroducere î teori difereţilă fucţiilor de mi multe vriile; sistemtire clcului itegrl multiplu (itegrle curiliii, dule, de suprfţă şi formule itegrle). Mterilul este preett su form 4 lecţii, fiecre urmtă de u set de eerciţii reolvte. L filul primelor 7 respectiv 4 lecţii sut propuse teste de utoevlure, căror le sut idicte şi răspusurile. Cursul cupride de semee, î iliogrfi s, u umăr de lucrări cre pot fi cosultte şi culegeri cre oferă mteril de lucru petru studeţi. Autorul

CUPRINS. ELEMENTE DE TEORIA SPAŢIILOR VECTORIALE.. Noţiue de spţiu liir (vectoril)... Depedeţă şi idepedeţă liiră. Bă. Dimesiue.... Spţii vectorile euclidiee.. 4.4. Noţiue de vector geometric. Spţiul vectorilor lieri... 6 Eerciţii propuse... NOŢIUNI DE ALGEBRĂ VECTORIALĂ.. Produsul sclr.. 4.. Produsul vectoril. 5.. Produs mit... 6.4. Repere crteiee. 8.5. Aplicţii le produsului vectoril şi produsului mit....6. Repere polre î pl şi î spţiu... Eerciţii propuse.. 4. GEOMETRIE ANALITICĂ.. Drept şi plul î spţiu 6... Drept determită de u puct şi u vector eul... 7... Drept determită de pucte... 8...Ughiul ditre două drepte oriette. 9..4. Plul î spţiu.. 9..5. Ple prticulre..6. Plul determit de trei pucte ecoliire.....7. Plul determit de u puct şi doi vectori ecoliiri.....8. Ecuţiile plului cre trece pri două pucte şi este prlel cu o direcţie dtă....9. Ecuţi ormlă plului. Distţ de l u puct l u pl.... Normlire ecuţiei geerle uui pl. Distţ de l u 4 puct l u pl dt pri ecuţi geerlă...... Ecuţi geerlă dreptei î spţiu. 5... Ughiul ditre două ple î spţiu... 5 Eerciţii propuse.. 6 4. PROBLEME ASUPRA DREPTEI ŞI PLANULUI ÎN SPAŢIU 4.. Ughiul ditre o dreptă şi u pl.. 7 4.. Distţ de l u puct l o dreptă î spţiu.. 7 4.. Ecuţiile perpediculrei duse ditr-u puct pe o dreptă di spţiu... 8 4.4. Perpediculr comuă două drepte î spţiu... 8 4.5. Distţ ditre două drepte.. 9 Eerciţii propuse. 4 5. CUADRICE 5.. Sfer î spţiu.. 4 5.. Elipsoidul... 44 5.. Hiperoloidul cu o pâă... 45 5.4 Hiperoloid cu două pâe 47 5.5. Proloii 48

5.6 Cilidri... 5 Eerciţii propuse. 5 6. FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE 6.. Noţiui de topologie î R 5 6.. Fucţii de mi multe vriile... 57 6.. Fucţiile vectorile de o vriilă vectorilă 57 6.4. Limite. Cotiuitte.. 59 6.5. Derivte prţile... 59 6.6. Derivte prţile le fucţiilor de mi multe vriile... 6 6.7. Derivte prţile le uei fucţii vectorile... 6 6.8. Derivte prţile de ordi superior. 6 Eerciţii propuse.. 64 7. DIFERENŢIALE ALE FUNCŢIIOLR DE MAI MULTE VARIABILE. EXTREME ALE FUNCŢIILOR DE MAI MULTE VARIABILE 7.. Difereţil uei fucţii de o vriilă relă 65 7.. Iterpretre geometrică difereţilei 65 7.. Reguli de clcul petru difereţile... 66 7.4. Difereţile de ordi superior.. 66 7.5. Difereţil uei fucţii de mi multe vriile... 66 7.6. Proprietăţile difereţilei fucţiilor de mi multe vriile... 68 7.7. Difereţile de ordi superior... 69 7.8. Derivt după o direcţie grdiet. Divergeţă. Rotor... 7 7.9. Mime şi miime petru fucţii de două vriile. 7 7.. Mime şi miime petru fucţii de vriile 75 Eerciţii propuse. 77 8. CALCUL INTEGRAL. PRIMITIVE. REGULI DE CALCUL AL PRIMITIVELOR 8.. Determire primitivelor pri metod sustituţiei... 79 8.. Schimre de vriilă... 8 8.. Itegrle reductiile l itegrle de fucţii rţiole 8 8... Itegrle de fucţii trigoometrice 8 8... Itegrle de fucţii hiperolice... 8 8... Itegrle de fucţii irţiole. 84 8..4. Itegrle iome... 85 Eerciţii propuse.. 87 9. INTEGRALA DEFINITĂ 9.. Sume Drou... 89 9.. Fucţii itegrile Riem. 9 9.. Aplicţii le itegrlei defiite. 94 Eerciţii propuse.. 95. INTEGRALE CURBILINII.. Lugime uui rc de cură... 97.. Itegrl curiliie de primul tip 99.. Legătur ditre itegrl curiliie şi itegrl Riem....4. Itegrl curiliie de tipul l doile....5. Itegrl curiliie î pl...

Eerciţii propuse.. 4. INTEGRALE DUBLE.. Itegrle dule 6.. Clculul itegrlelor dule. 8.. Formul lui Gree...4. Schimre de vriilă î itegrl dulă Eerciţii propuse.. 5. INTEGRALE TRIPLE.. Itegrle triple... 8.. Clculul itegrlelor triple..... Schimre de vriilă î itegrl triplă. 4 Eerciţii propuse. 6. ARIA SUPRAFEŢELOR. INTEGRALE DE SUPRAFAŢĂ DE PRIMĂ SPEŢĂ... Suprfeţe. Ari suprfeţeloriu micul deju... 9.. Ari uei porţiui de suprfţă..... Itegrle de suprfţă de primul tip (î rport cu ri)... EXERCIŢI PROPUSE. 6 4. INTEGRALE DE SUPRAFAŢĂ DE TIPUL AL DOILEA.FORMULA LUI STOKES. FORMULA GAUSS-OSTROGRADSKI. 4.. Itegrle de suprfţă de tipul l doile.. 4 4.. Formule itegrle 4 Eerciţii propuse.. 46 BIBLIOGRAFIE... 5

LECŢIA ELEMENTE DE TEORIA SPAŢIILOR VECTORIALE O structură lgerică de o deoseită importţă teoretică şi prctică este ce de spţiu liir (vectoril) pri fptul că e permite modelre uor feomee fiice (este cuoscută repreetre pri vectori forţelor, viteelor, ccelerţiilor) cât şi profudre uor oiecte mtemtice de tură diversă. Cosiderăm că este cuoscută structur de corp. Se ştie că î rport cu operţiile de dure şi îmulţire,, sut corpuri comuttive (impri). Defiim î cotiure oţiue de spţiu liir peste u corp dt... Spţiul liir su vectoril Defiiţie: Mulţime V formeă spţiu liir su vectoril peste corpul K dcă pe V sut defiite două legi de compoiţie, u iteră ottă + +:V V V şi lt eteră :K V V, umită îmulţire cu sclri di K, î rport cu cre: G) (V, +) este grup eli G. (u + v) + w u + (v + w), u, v, w V G. V V.î. V + v v + V v, v V G. v V, ( v) V, v + ( v) ( v) + v V G 4. u + v v + u, u, v V şi sut verificte iomele următore: S. (α + β)v α v + βv, α, β K, v V S. α(u + v) αu + αv, α K, u, v V S. α(βv) (αβ)v, α,β K, v V S. u u, K, u V 4 Elemetele lui V se umesc vectori ir elemetele câmpului K sclri. Dcă KR spţiul se umeşte rel ir dcă KC, comple. Eemple:. (R,R),, N spţiul ritmetic rel de dimesiue R { (,, ) I R, i, }, Fie, R (,, ); (,, ). Pri defiiţie i i, i,. Î rport cu operţiile: + ( +, + + ) α (α, α, α ), α R se verifică, cu uşuriţă, iomele spţiului liir. Elemetul ul este R (,, ), ir opusul lui (,, ) este (,, ). (M m, R) Spţiul liir l mtricelor de tip (m, ) cu elemete di R. Î rport cu operţiile cuoscute A+B [ ij ]+ [ ij ] [ ij + ij ], αa [α ij ], mulţime M m re structură de spţiu liir.. (P [ X ], K ) Spţiul liir l poliomelor de o edetermită X, de grd cel mult, cu coeficieţi di corpul K î rport cu operţi oişuită de dure două poliome şi de îmulţire uui poliom cu u sclr. 4. (C[,], R) Spţiul liir l fucţiilor cotiue pe u compct [,]. Legile de compoiţie sut:

(f + g)() f() + g(), f, g C[, ]; (αf)() αf(), α R, [, ] 5. Spţiul vectoril l vectorilor lieri este trtt l fiele cestei lecţii. Teorem : Îtr-u spţiu vectoril V peste K vem: ) v V, v V ) α V V, α K ) (-) v -v, v V 4) α v V, α K\{} v V Demostrţie: ) Avem v + v ( + ) v v v V ) Di α v + α V α (v + V ) α v α V V ) v + ( ) v v + ( ) v ( + ( )) v v V ( ) v v 4) Di k v V îmulţid cu k - v V Noţiue de suspţiu vectoril Fie V u spţiu liir peste K. Defiiţie: O sumulţime W lui V se umeşte suspţiu vectoril l lui V dcă: ) u, v W u + v W ) k K, v W kv W Codiţiile ), ) pot fi îlocuite pritr-o sigură codiţie: ) k, l K, u, v W ku + lv W W stisfce iomele spţiului vectoril î rport cu operţiile di V. Eemple: ) { V }, V sut suspţii umite improprii (celellte se umesc proprii) ) Mulţime -uplelor de form (,, ) este u suspţiu vectoril l lui R. ) Fie V {f:[,] R f mărgiită} spţiul liir peste R. Mulţime W f :, R f cotiuă este u suspţiu vectoril l lui V. { [ ] }.. Depedeţă şi idepedeţă liiră. Bă. Dimesiue Defiiţie: Fie V u spţiu liir peste u corp K şi v, v, v V. U vector v V este comiţie liiră vectorilor v, v, v dcă eistă sclrii. α, α, α K.î. v α v +α v + +α v Vectorii v, v, v V sut liir depedeţi dcă eistă sclrii α, α, α K,. u toţi uli,.î.: () α v +α v + +α v V Vectorii v, v, v V se umesc liir idepedeţi dcă relţi () este îdepliită şi umi dcă α α α Teorem : Vectorii v, v, v V sut liir depedeţi dcă şi umi dcă cel puţi uul ditre ei este o comiţie liiră celorllţi vectori. Necesitte: Fie v, v, v V liir depedeţi α, α, α K, u toţi uli,.î. α v + α v + + α v O V, presupuem α i α α α α α α vi v v v L i v i+ v L v α α α α i α i+ α i i i i i i dică v i este comiţie liiră vectorilor v, v, v i-,v i+, v. Suficieţ: Presupuem că vectorul v i se scrie c o comiţie liiră vectorilor v, K,v i,v i+, K,v, dică

v i β v +β v + +β i- v i- +β i+ v i+ + +β v su echivlet β v +β v + +β i- v i- +(-)v i +β i+ v i+ + +β v v cee ce rtă că v, v, v sut liir depedeţi. Defiiţie: O mulţime de vectori S V este sistem de geertori petru spţiul liir V dcă orice vector v V se scrie c o comiţie liiră fiită de vectori di S. O mulţime de vectori B V formeă ă spţiului liir V, dcă: ) vectorii di B sut liir idepedeţi ) B este u sistem de geertori petru V Teorem : Fie B {e, e, e } V o ă spţiului liir V. Orice vector v V se eprimă î mod uic c o comiţie liiră vectorilor di B. Demostrţie: Di fptul că B este ă B sistem de geertori v V se scrie su form : () v α e, α e, α e. Să demostrăm că cestă scriere este uică. Presupuem că re loc şi: () v α e +α e + +α e (α -α )e +(α -α )e + +(α -α )e V şi cum B este o mulţime de vectori liir idepedeţi, reultă: α -α, α -α,, α -α α α α α Sclrii α, α,α se umesc coordotele vectorului v i B. Oservţie: Relţi () se mi pote scrie: α e,+ α e + + α e + ( ) v O V, α i K. De ici deducem că e, e,,e, v sut liir depedeţi. Deci, o ă îtr-u spţiu liir pote fi defiită c fiid o mulţime B V cre coţie u umăr mim de vectori liir idepedeţi. Defiiţie: Spţiul V se umeşte fiit dimesiol dcă posedă o fiită; î c cotrr V se umeşte ifiit dimesiol. Dcă V re o ă formtă di elemete, tuci se umeşte dimesiue spţiului V. B uui spţiu liir u este uică, dr umărul vectorilor di orice ă uui spţiu liir dt este celşi. Oservţie: Îtr-u spţiu -dimesiol, vectori liir idepedeţi formeă o ă. Eemple: ) Î spţiul (R,R) sistemul de vectori e (,,,), e (,,,,), e (,,,) formeă o ă, umită turlă su coică dim ( R, R) ) Î spţiul liir (M m, R) sistemul de mtrice L L M i,m; j, Eij L L i, forme coic. M L L j dim ( M m R) m ) Î spţiul (P [X], K) mulţime poliomelor B{, X, X,, X } formeă o ă.

( ) dim P X, K +.. Spţii vectorile euclidiee Defiiţie. Fie V u spţiu vectoril rel. O plicţie (, ): V V R cre re proprietăţile: P ) (u+v,w)(u,w)+ (v,w), u,v,w V P ) (λu,v) λ (u,v), λ R, u,v V P ) (u,v)(v,u), u,v V P 4 ) (u,u), u V şi (u,u) u V se umeşte produs sclr pe V. V îestrt cu u produs sclr, ott(v,(, )) se umeşte spţiu euclidi. Coseciţe: ) (u,v+w)(u,v)+(u,w), u,v,w V; ) (u,λv) λ (u,v), λ R, u,v V; ) ( V,v), v V. Propoiţi : Î spţiul euclidi V re loc ieglitte lui Cuch: ( u,v) ( u,u) ( v,v ), u,v V. Demostrţie Fie u, v V, λ R, w u + λv V. Avem (w, w) ( u + λv, u + λv) (u, u) + λ(u, v) + λ (v, v) λ (v, v) + λ(u, v)+ (u, u), λ R. Triomul î λ vâd sem costt poitiv Δ dică ((u, v)) ( u, v)( v, v) ( u,v) ( u,u) ( v,v) Propoiţi : Î orice spţiu euclidi V re loc ieglitte lui Mikowski: ( u+ v,u+ v) ( u,u) + ( v,v). Demostrţie ( u+ v,u+ v) ( u,u) + ( u,v) + ( v,v) ( u,u) + ( u,v) + ( v,v) ( u,u) ( u,u) ( v, v) ( v,v) ( u,u) ( v,v) + + + Eemple: ) Î spţiul ritmetic -dimesiol se defieşte produsul sclr (,) + + +, (,,, ); (,,, ) R dott cu cest produs sclr se umeşte spţiu vectoril euclidi coic. ) Pe spţiul (C[,], R) se defieşte produsul sclr: ( f,g) f g d. Defiiţie. Se umeşte ormă pe u spţiu liir V o plicţie: : V R cre stisfce N ) v, v V şi v v V N ) u + v u + v, u, v V N ) αv α v, α R, v V V îestrt cu o ormă se umeşte spţiu liir ormt. Orice spţiu euclidi este spţiu ormt. Pri defiiţie: v ( v,v ), v V umidu-se ormă idusă de produsul sclr. 4

Avem: v ( v,v) v ( v, v) ( v,v) şi v v v α α α α α v. Coseciţe: 5) Proprietăţile ormei sigură că orice elemet v V pote fi scris su form v v v e, e v vectorul e cu propriette e umidu-se versorul lui v. 6) Ieglitte di P coduce l ieglitte Cuch-Schwrt u,v u v cre se trscrie: ( u,v),u,v v u v. Acest justifică următore defiiţie: Defiiţie. Fie V u spţiu euclidi rel, u, v doi vectori euli di V. Numărul ( u,v) θ [,] defiit de eglitte: cosθ se umeşte ughiul ditre u şi v. u v Eemple: ) Î R vem (,) + + +, (,, ) şi (,) + + L+. 7) Î C[, ] vem: ( f,f) f d şi f f d. Oservţie: Eistă şi spţii liire ormte, cu orm eproveid ditr-u produs sclr. Fie V u spţiu vectoril ormt. Fucţie relă defiită pri d(u, v) u v este o distţă (metrică) pe V, dică stisfce relţiile: D ) d(u, v) şi d(u, v) u v D ) d(u, v) d(v, u), u, v V D ) d(u, v) d(u, w)+ d(w, v), u, v, w V O mulţime orecre îestrtă cu o metrică se umeşte spţiu metric. Să rătăm că fucţi d stisfce iomele D,D. Pri defiiţie d(u, v) u v d(u,v) u-v u-v V uv; d(u,v) u-v (u-w)+ (w-v) u-w + w-v d(u,w)+ d(u,w) Eemple: Î spţiul R vem: ( ) + L+ ( ) (,, K, ), (,, K, ) d,, Î spţiul C[,] vem:. d f,g f g f g d 5

.4. Noţiue de vector geometric. Spţiul vectorilor lieri. Fie î Ε, spţiul fiic oişuit, mulţime segmetelor de dreptă. Defiiţie: Se umeşte segmet oriett u segmet de dreptă le cărui cpete sut dte îtr-o umită ordie. Segmetul oriett AB re origie î A şi etremitte î B. Drept AB se umeşte drept suport lui AB şi este uic determită umi dcă A B. Drept suport segmetului oriett ul AA este edetermită. Două segmete oriette AB şi AB sut egle dcă A A şi B B. Defiiţie: Două segmete oriette eule u ceeşi direcţie dcă dreptele lor suport sut prlele su coicid (sut coliire). Defiiţie: Două segmete oriette eule coliire u celşi ses dcă sesurile determite pe drept suport comuă coicid. D C B A Două segmete oriette eule prlele u celşi ses, dcă etremităţile lor se flă î celşi semipl determit de drept cre ueşte origiile segmetelor î plul dreptelor suport prlele. A B C D Defiiţie: Două segmete oriette u ceeşi lugime dcă segmetele eoriette corespuătore sut cogruete. Defiiţie: Două segmete oriette eule se umesc echipolete dcă u ceeşi direcţie, celşi ses şi ceeşi lugime. Admitem că tote segmetele oriette ule sut echipolete ître ele. Dcă AB este echipolet cu CD otăm AB CD. Pritr-u rţiomet simplu se stileşte următorul reultt: Teoremă: Relţi de echipoleţă petru segmete oriette este o relţie de echivleţă, dică: ) este refleivă AB AB ) este simetrică AB CD CD AB c) este tritivă AB CD şi CD EF AB EF Defiiţie: Se umeşte vector lier (su vector geometric) o clsă de echivleţă relţiei de echipoleţă pe mulţime segmetelor oriette. Cls segmetului oriett AB este AB { A B / A B AB }. 6

Vectorii lieri vor fi otţi cu litere mici c,,,... ir î dese vor fi repreetţi pritr-uul uuur ditre segmetele oriette echipolete ce defiesc cls vector lier. Se mi oteă AB, CD uuu r,. uuur Petru lugime (orm) uui vector lier su AB vom folosi otţiile, AB. U vector lier de lugime se umeşte versor su vector uitte. Vectorii lieri cre u ceeşi direcţie se umesc vectori coliiri. Doi vectori coliiri cre u ceeşi lugime îsă u sesuri opuse se umesc vectori opuşi. Notăm opusul lui pri. Doi vectori lieri şi sut egli şi se oteă dcă repreetţii lor su echipoleţi su, echivlet, dcă u ceeşi direcţie, celşi ses si ceeşi lugime. Petru lugime vectorului folosim otţi. Fie vectorul. Atuci evidet.5. Adure vectorilor lieri ) Coliiri şi de celşi ses: u, u + u, ude u este versorul lui. + ( + )u Coliiri şi de sesuri opuse: u, u + ( )u + ) Necoliiri. Sum vectorilor este u vector egl î mărime, ses şi direcţie cu digol prlelogrmului costruit pe şi c lturi. Vectorul sumă se umeşte şi reultt vectorilor. B C + Regul prlelogrmului O A 7

+ Regul triughiului Teorem Mulţime V vectorilor lieri di spţiu este grup comuttiv î rport cu dure vectorilor. ),, c V + + c + + ( ) c ( c) c + + + + + c c + ) V + + ) + ( ) ( ) +, V 4) + +,, V. Pri defiiţie, difereţ doi vectori şi este u vector d egl cu sum d +. vectorului cu opusul lui, dică O B d A Vectoru l d este dou digolă prlelogrmului costruit pe şi, vâd origi e î etremitte lui şi etremitte î etremitte lui. OA OB BA. Oservţie: Asocitivitte duării vectorilor permite geerlire regul poligoului strâm folosită petru dure vectori. regulii triughiului l + +... + 8

.6. Îmulţire uui vector cu u sclr Fie R câmpul umerelor rele şi V grupul ditiv l vectorilor lieri. Defiiţie: Fie t R, V ; defiim vectorul t stfel: t este vectorul cre re ceeşi direcţie cu, celşi ses cu,dcă t >, ses cotrr cu dcă t < şi lugime t ; dcă t su, tuci t. Teorem Au loc proprietăţile: ), V ; ) ( st) ( t), s,t R, V ; ) ( s + t) s + t, s,t R, V ; 4) s ( + ) s + s. Teoremele şi coduc l: Teorem 4 Mulţime vectorilor lieri V este spţiul vectoril peste R. Norm uui vector re proprietăţile: Proprietăţi: N. ; N. λ λ N. + + t t Propoiţi : Codiţi ecesră şi suficietă c doi vectori u,v V să fie coliiri (să iă ceeşi direcţie) este c ei să fie liir depedeţi. Demostrţie: ( ) Repreetţii lui u, v î E (spţiu fiic), sut segmetele oriette OA şi OB cu O, A, B coliire. Deci λ R stfel îcât u λv u + ( λ) v u, v liir depedeţi. B A O t > t < λ u + ( ) Presupuem că u, v liir depedeţi λ,λ u mâdoi uli, stfel îcât λ λ v. Presupuâd λ u v u, v coliiri. λ 9

Coseciţe. Doi vectori di V sut liir idepedeţi dcă şi umi dcă sut ecoliiri.. Mulţime vectorilor coliiri cu u vector eul este u spţiu vectoril uidimesiol. Fie u,v, w trei vectori diferiţi di V. Ei se umesc coplri dcă segmetele oriette repreettive le lor sut prlele cu u pl dt. Propoiţi : Trei vectori u, v, w V sut coplri dcă şi umi dcă sut liir depedeţi. ( ) Dcă segmetele oriette u, v, w sut coplri, tuci repreetţii lor î E sut OA,OB, OC stfel îcât O, A, B, C prţi celuişi pl Π. B O B A C A Fie A C OB şi C OA. Avem B OA λu, OB μv şi OC OA + OB w λu + μv u,v,w liir depedeţi. ( ) Dcă uvω,, sut liiri depedeţi, tuci eistă λ, λ, λ R u toţi uli, stfel îcât λu + λv + λω. Dcă presupuem λ şi otăm λ λ λ, μ λ λ oţiem ω λu + μv. Dcă uv, sut coliiri vem u kv şi ω ( λk+ μ) v şi deci cei trei vectori sut coliiri, deci şi coplri. Dcă uv, sut ecoliiri cosiderăm puctele O, A, B stfel îcât uuur uuur OA u, OB v P. Cum ω λu + μv. Puctele O, A, B determiă u pl repreettul lui ω pri este segmetul oriett OC, C ( P) coplri. O v B ω λu + μv u A O. Deci uvω,, sut Coseciţă. Trei vectori sut liir idepedeţi dcă şi umi dcă repreetţii lor pritr-u celşi puct l spţiului u sut coplri.. Mulţime V vectorilor coplri cu doi vectori ecoliiri u şi v este u spţiu vectoril idimesiol. Propoiţi : Spţiul vectoril rel l vectorilor lieri V re dimesiue. Î V eistă vectori liir idepedeţi şi ume oricre trei vectori ecoplri u,v,w. Să rătăm că ceşti geereă pe V. Petru cest fie u l ptrule vector şi OA,OB,OC,OD repreetţii vectorilor u,v, w şi.

ω C C B F B v G E D OA, OB, OC sut coliiri î uvω,,, deci eistă λ, λ, λ R stfel îcât uuur uuuur uuuur OA λ u, OB λ v, OC λ ω. Deorece OAEB şi OEDC sut prlelogrme, reultă uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur OD OE+ OC, OE OA OB. + Deci λ u + λ + λω cee ce rtă că v treivectori ecoplri di V formeă ă î V şi dimesiue lui V este. O u A A

EXERCIŢII PROPUSE ) Fie vectorii v (,, ), v (, -, ), v (,, ). Se pote scrie vectorul v c o comiţie liiră de v şi v? R: v este comiţie liiră de v şi v dcă eistă sclrii α, α R.î. v α v + α v Acest îsemă: α + α (,, ) α (,, ) + α (,, ) α α α, α R: D α + α ) Să se studiee depedeţ liiră sistemului de vectori: v (,,, ), v (,,, ), v (-,, -, ), v 4 (, 5,, ) î R 4 R: Cosiderăm relţi α v + α v + α v. Pri îlocuire vectorilor v, v, v cestă relţie este echivletă cu sistemul omoge α + α α α + α + α α α α + α Rgul mtricei cestui sistem este doi. Pri urmre sistemul dmite şi soluţii ele şi deci sistemul de vectori este liir depedet. O soluţie sistemului omoge este α, α, α şi stfel o relţie de depedeţă este v v + v ) Să se studiee tur sistemului de vectori 4 4 A, A, A î M, 4 4 5 4 8 R: Relţi { αa+ αa + αa este echivletă cu α+ α α 4α 4α 4α+ 5α + 4α 6α+ α + 8α Rgul cestui sistem este doi, deci sistemul de mtrice este liir depedet. Avem o relţie de depedeţă -A + 4A A. 4) Se du î R vectorii: v (,, ), v (, -, ), v (,, ), v (,, -). Să se rte că ceşti formeă o ă. Se cer coordotele vectorului v (,, ) î cestă ă. R: Deorece di R este suficiet să rătăm că cei trei vectori sut liir idepedeţi. Fie α, α, α R.î. α v + α v + α v. Acest îsemă

α+ α α α α α sistem cre re soluţi lă, deci vectorii sut liir idepedeţi şi formeă o ă î α+ α R. Relţi v αv+ αv+ αv se scrie α α cu soluţi α, α, α, α α deci coordotele vectorului v î v dtă sut (,, ). 5) Să se clculee produsul sclr l vectorilor: v (, -, ), v (,, -) şi ormele vectorilor. R: (v, v ) -; v 6 ; v 6 Să se ormee vectorii v (,, ), v (,, -) v e,, v 4 4 4 R: v e,, v 6 6 6 6) Să se rte că petru c trei vectori,,c să îchidă u triughi este ecesr şi suficiet c + + c. uuur uuur uuur uuur uuur uuur R: c CB+ AC ABFiid dt triughiul ΔABC vem AB + BC + CA, dică + + c. Ivers, dcă vectorii,,c stisfc relţi + + c, tuci luâd BC uuur şi CA uuur uuur uuur uuur, di relţi terioră oţiem c CB+ AC AB. Pri urmre vectorii,,c îchid u triughi. 7) Fie,,c vectorii cre coicid cu lturile triughiului. Să se eprime cu jutorul lor vectorii ce coicid cu mediele triughiului şi să se rte că ceşti pot form u triughi. R: Ipote rtă că + + c A uuuur uuur uuuur c Di AAC CC CA + AC + c uuur uuur uuur C B AAB AA AB + BA c + uuur uuur uuur BBC BB BC + CB + B C uuur uuur uuuur A Deorece AA + BB + CC ( + + c) reultă că vectorii mediă îchid u triughi.

LECŢIA NOŢIUNI DE ALGEBRĂ VECTORIALĂ.. Produsul sclr Fie V spţiul vectorilor lieri, V. Petru, ughiul ditre şi. Teoremă Fucţi (, ) :V V R defiită pri cosϕ, si (, ), su este u produs sclr î V. Demostrţie Aiomele următore sut evidete:,, ; comuttivitte omogeitte (,) λ(,) (, λ) λ ; poitivitte (,) (,) ( ). otăm ϕ [, ] Să dovedim distriutivitte fţă de dure şi ume (, + c) (, ) + (,c) Oservăm că (,) pr pr şi că c φ + c (, c) pr ( + c) ( pr + pr c ) (,) (,c) +. + Oservţii. Doi vectori liiri euli sut ortogoli dcă şi umi dcă produsul lor sclr este ul.. Dcă ϕ, tuci (, ), ir dcă ϕ, tuci (,).. (, ) (ieglitte Cuch-Schwr). Fiid dt u sistem de e perpediculre O î spţiu, versori lor otţi defiesc o ă ortoormtă î V (formtă di versorii perpediculri câte ). {, i, j,k } se umeşte reper crtei. Fiecre vector v se eprimă î mod uic î form Coordotele (v, v, v ) le vectorului se umesc coordote euclidiee. i, j, k v v i + v j v k. + 4

vk i k v j v j v i Petru i, j, k vem tloul de îmulţire sclră (, ) i j k i j k Fie vectorii i + j+ k şi i + j+ k. Epresi litică produsului lor sclr se oţie folosid proprietăţile produsului sclr şi tloul terior şi este, + +. Î prticulr (,i), (, j), (,k), deci coordotele euclidiee le uui vector sut proiecţiile ortogole le vectorului pe cele trei e de coordote. Epresi litică ormei uui vector este, + +. Ughiul doi vectori euli, este dt de (, ) + + cosϕ. + + + + Avem + +... Produsul vectoril Defiiţie: Fie, doi vectori. Se umeşte produs vectoril l vectorilor,, vectorul ott crcterit stfel: ) este, pe ; ) re sesul dt de regul urghiului drept; c) si ϕ, ϕ ughiul ditre si. 5

ϕ Proprietăţi coliiri. Dcă. perpediculr pe plul (, );. ; + c + c;. 4. ( ) λ λ λ ; 5. ; ; (idetitte lui Lgrge). Produsul vectoril doi vectori euli este ul dcă şi umi dcă vectorii sut 6. (, ), u sut coliiri, tuci repreită ri prlelogrmului costruit pe repreetţii OA si OB i vectorilor şi. i j i k Avem tloul de produs vectoril: j k k j i k j i Epresi litică produsului vectoril: i+ j+ k i+ j+ k ( ) ( ) k j k+ i+ j i ( ) ( ) ( ) i j+ k i j k i j + k.. Produs mit Fiid dţi vectorii lieri mit l cestor.,, c, umărul (, c) (,,c) se umeşte produsul ot 6

Dcă,, c sut ecoplri, tuci modulul produsului mit repreită volumul prlelipipedului ce se pote costrui pe repreetţii cu origie comuă i celor trei vectori. Fie θ ughiul ditre direcţi vectorilor şi c şi ϕ ughiul ditre direcţiile vectorilor şi c. d c φ φ θ c h (,, c) (, c) (, d ) d cos V 44 ϕ h Epresi litică produsului este: i j k (,,c) (, c) i + j+ k, c c c ( i + j+ k, ( c c ) i ( c c ) j+ ( c c ) k) ( c c ) ( c c ) + ( c c ) Proprietăţi, c,c c, ) ( ) ; (,, c ) ( c,, ) (, c, ) ) (, c) (,c ) ; ) ( t, c) (,t c) (, tc), t R ; 4) ( +, c) (, c) + (, c) ; (,c) 5) (,d),c d idetitte lui Lgrge (,c) (,d) Demostrţie Notăm cu m c d şi vem:,c d,m m, (,m,) (,,m) (, ( c d ) (,c) ( (,d),c,d d,c,c,d,d,c (,c) (,d) 6) (,,c) dcă şi umi dcă: i) cel puţi uul ditre vectori este ul; su ii) doi ditre ei sut coliiri; su iii) vectorii,, c sut coplri. c c c 7

B vectorilă {,,c} (, c) este poitiv (egtiv). Pri urmre ortoormtă {, j,k} se umeşte oriettă poitiv (egtiv) dcă produsul îtrucât: i, j k ude i,,, j,,, k,,..4. Repere crteiee E i este oriettă poitiv Fie spţiul fiic, V spţiul vectoril tridimesiol l vectorilor lieri, R spţiul euclidi coic. Dcă fiăm origie spţiului E î O şi o ă ortoormtă { i, j,k} î V, tuci ître cele trei spţii se pote stili o corespodeţă iuivocă stfel: fiecărui puct M di E îi corespude î mod uic u vector r OM V, umit vector de poiţie l puctului M; cestui vector îi corespude î mod uic tripletul ordot de umere rele (,,) R umite coordotele euclidiee le vectorului OM î rport cu { i, j,k}. Se scrie r OM i + j + k. M(,,) Asmlul {,i, j,k} {, j,k} se umeşte reper crtei î. O se umeşte origie reperului, ir i reperului. Coordotele euclidiee (,, ) le vectorului de poiţie OM r se umesc coordote crteiee le puctului M fţă de reper. ( i,r) pr r scis i ( j,r ) pr r ordot repreită mărimile lgerice le proiecţiilor j ( k,r) pr r cot k ortogole le vectorului r pe cele trei e. E 8

A B k O i j Fie A(,, ) şi B(,, ) vâd vectorii de poiţie r şi r. Atuci: ( ) i + ( ) j+ ( )k AB OB OA r r. Aplicţii ) Vectorul de poiţie l mijlocului uui segmet C Fie A şi A r O r M r r B r puctele cre determiă segmetul AB, ir M mijlocul segmetului, l cărui vector de poiţie îl otăm cu r. S- lut c reper u puct O orecre l spţiului. Se completeă prlelogrmul OBCA şi se oservă imedit că: r + r OA+ OB OC OM su r + r r de ude r. Vectorul de poiţie l mijlocului uui segmet este semisum vectorilor de poiţie i cpetelor segmetului. ) Vectorul de poiţie l puctului cre împrte u segmet îtr-u rport dt. Fie A ( r ), ( r ) MA B şi M () r puctul petru cre k. MB Vom socoti pe k egtiv dcă M prţie segmetului AB şi poitiv dcă M se flă pe prelugire segmetului îtr-o prte su lt. A M B r O r r B 9

Avem: r kr MA k MB r r k( r r ) r k C prticulr: k mijlocul uui segmet; k - r+ r r..5. Aplicţii le produsului vectoril şi produsului mit M,M,M M,,,i, Ari triughiului de vârfuri i i i i M M M uuuuuur uuuuuur A MM MM ( r r) ( r r) r r r r + r r i j k i j k i j k r r r r + r r + i j k o i j k + + S + + Î plul O rportt l u reper {, i, j,k } ri triughiului de vârfuri Mi( i, i),i,, S mod Volumul uui tetredru î fucţie de coordotele vârfurilor sle

M 4 V t - volumul tetredrului S t - ri ei tetredrului h îălţime tetredrului M M M Fie V, S, h mărimile corespuătore le prlelipipedului costruit pe vectorii uuuuuur uuuuuur uuuuuur MM,MM,MM 4 c muchii Vt st h St S Vt V 6 uuuuuur uuuuuur uuuuuur Vt ( MM,MM,MM4) ( r r,r r,r 4 r) 6 6 ( r r, ( r r) ( r4 r) ) ( r r,r r4 r r4 r r) 6 6 ( r,r,r 4) ( r,r,r 4) + ( r,r,r 4) ( r,r,r ) ± 6 6.6. Repere polre î pl şi î spţiu 4 4 4 Reperele ortoormte u sut sigurele repere l cre pot fi referite puctele plului su spţiului. Utile î mecică, geometrie şi î lte domeii sut reperele polre.. Sistemul de coordote polre î pl Să cosiderăm î pl u puct O umit pol şi o ă (D) ce trece pri O. U puct M di pl este uic determit de umerele ρ OM şi θ OM. Fie puctul M di pl rportt î celşi timp l u sistem crtei şi l u sistem polr, vâd polul î origie primului, ir polră cofudtă cu O. M(,) (ρ, θ) O θ (D)

Sistemul de coordote î pl (ρ, θ), θ< se umeşte sistem de coordote polre î pl. { } * Ître mulţimile ( ρθ, ) ρ R, θ< şi {,, R} eistă o corespodeţă iuivocă. ρcosθ Legătur ître cele două tipuri de coordote este dtă de şi ivers ρ si θ ρ + si θ. + cosθ +. Sistemul de coordote sferice Fie u puct M di spţiu. Fie reperul crtei {, i, j,k } şi (,,) coordotele lui M fţă de cest reper. Fie M proiecţi lui M pe plul O. Notăm ρom. O θ φ ρ M(,,) (ρ,θ,φ) ϕ OM θ OM ' M { } Ître mulţimile ( ρθϕ,, ) ρ, θ<, ϕ şi {,,,, R } eistă o corespodeţă iuivocă. Prim mulţime defieşte sistemul de coordote sferice (geogrfice) î spţiu. Legătur ditre coordote este dtă de: ρcosθsiϕ ρ si θ si ϕ ρ cos ϕ

ρ + + si θ + + siϕ ivers cosθ + + siϕ ϕ rccos + +. Sistemul de coordotele cilidrice Este u sistem de coordote cre păstreă primele două coordote ρ şi θ le sistemului polr di p, ce de- trei coordotă fiid cot puctului M. Ître mulţime puctelor di spţiu şi mulţime θ O ρ M(,,) (ρ,θ,) M { ρθ,, ρ, θ<, R} eistă o corespodeţă iuivocă. Formulele de legătură ître coordotele cilidrice şi cele crteiee sut: ρ + ρcosθ cosθ + ρsi θ şi ivers si θ +

EXERCIŢII PROPUSE uuur ) Cuoscâd vectorii cre formeă lturile ui triughi AB i 6j, uuur uuur BC i+ 7 j, CA i j, să se determie ughiurile cestui triughi. uuur uuur ( AB, AC) R: cos A uuur uuur m( A) B rccos C rccos AB AC 5 5 ) Fie vectorii i + j+ k şi i j k. Să se clculee: ) produsul lor vectoril; ) să se verifice că este perpediculr pe şi pe ; c) ri prlelogrmului costruit pe şi. i j k R: ) i+ j 4k ) (, ) + 8 ;(, ) + c) A 8 ) Să se studiee coplritte vectorilor: i + j k; i j + 5k;c i 4 j + 6k R: (,,c ) 5, deci vectorii sut coplri. 4 6 4) Se cosideră triughiul ABC petru cre vectorii de poiţie i vârfurilor sut uuur uuur uuur OA i + 6j + 7 k, OB i j, OC i + j + k. Se cer: ) perimetrul triughiului ABC; ) ri triughiului ABC; c) lugime uuur uuur îălţimii uuur BB. uuur uuur uuur AB OB OA 5i 8j 7 k; BC OC OB 4i + j + k; uuur AB ( 5) + ( 8) + ( 7) 8; uuur R: ) BC 4 + + 9; uuur CA + 5 + 5 5; uuur uuur uuur P AB + BC + CA 8 + 9 + 5 4

) uuur uuur A AB AC ; i j k uuur uuur AB AC 5 8 7 5i 8j + 7k; 5 5 uuur uuur AB AC + + 5 ( 8) 7 68 A B C B A 68 c) uuur uuur A A C BB 68 de ude BB 68 5 5) Să se clculee volumul tetredrului de vârfuri A(,6, 4), B(,5,), C(,, 5), D(,, 4). uuur uuur uuur 6 R: V ± ( A B, AC, AD) ± 5 9 6 6 7 6) Fie M(ρ,θ,φ) î coordote sferice. Cre este locul geometric l puctelor petru cre ) ρ. ) θ, c) φ R: ) sferă de ră ; ) cerc meridi pe o sferă; c) cerc prlel pe o sferă. 5

LECŢIA GEOMETRIE ANALITICĂ.. Drept şi plul î spţiu Defiiţie: Se umeşte vector director l uei direcţii (o dreptă) orice vector coliir cu direcţi dtă. Se umesc prmetri directori i uei drepte dte, proiecţiile ortogole le vectorului său director pe cele trei e de coordote rectgulre. ( l,m, ) ; l,m, mărimile proiecţiilor O Defiiţie Se umeşte versor director l uei direcţii, vectorul uitte (versorul) coliir cu direcţi dtă. e Versorul director e formeă cu ele de coordote ughiurile ughiuri directore le dreptei. e e, i i + e, j j + e, k k cosα i + cosβ j + cos γ k Îtrucât e cos α + cos β + cos γ α, β, γ umite Coordotele lui e se umesc cosiusuri directore le dreptei. Prmetrii directori i uei direcţii di pl su spţiu sut direct proporţioli cu cosiuşii directori i direcţiei. e cosα,cosβ, cos γ, tuci λ e, cee ce îsemă Fie ( l,m, ) cu versorul l λ cos α,m λ cosβ, λ cos γ. l m λ cosα cosβ cos γ l m l + m + cos α cos β cos γ cos α ± l l + m +, cos β m, cos γ de ude ± l + m + ± l + m + 6

Oservţie: Î pl β l l cosα l + cosβj α β α cos α+ cos β O dreptă î spţiu pote fi determită de: (i) u puct şi u vector eul (ii) două pucte (iii) itersecţi două ple... Drept determită de u puct şi u vector eul Fie puctul fit M (,, ) cu vectorul de poiţie r γ + j + k. Fie ( l,m, ) u vector eul di V şi D o dreptă cre trece pri M şi re direcţi lui. uuuuuuur uuuuur uuuuur M (D) MM OM OM; M(,,) M uuuur r OM i + j+ k uuuuur r r r OM i + j+ k uuuu ur MM ( ) i+ ( ) j+ ( ) k Puctul M(,, ) prţie dreptei (D) M M şi sut coliiri, dică: () ( r r ) ecuţi vectorilă dreptei defiită de u puct şi o direcţie. Vectorul ( l,m,) cre dă direcţi dreptei D se umeşte vector director ir coordotele sle l, m, se umesc prmetrii directori i dreptei. Evidet, orice vector k, k jocă celşi rol cu. Coliiritte vectorilor r r şi se pue î evideţă şi pri relţi r r t su () r r + t, t R ecuţi vectorilă prmetrică. Acestă ecuţie vectorilă este echivletă cu ecuţii î R + tl () + tm ecuţiile prmetrice le dreptei (D) cre se pot îlocui + t, t R cu două ecuţii crteiee î R : 7

(4) cu coveţi că dcă u umitor este ul tuci l m umărătorul respectiv treuie eglt cu. l, m,,,, deci cel mult ditre umerele l, m, se Oservţie: pot ul. ) dcă l, m tuci ecuţiile crteiee sut echivlete cu :, şi repreită o dreptă prlelă cu plul O. m ) l m ecuţiile crteiee se reduc l,, o dreptă prlelă cu O. Oservţie: Î plul O ecuţi dreptei cre tece pri (, ) şi de vector director ( l, m) este l m m ( ) l m tgα k coeficietul ughiulr l dreptei su pt. l k( - ) ecuţie crteiă dreptei di pl cre trece pri M (, ) şi re coeficietul ughiulr (pt) k tgα.... Drept determită de pucte Două pucte disticte M (,, ), M (,, ) determiă o dreptă D şi umi u. Cosiderăm drept D determită de puctul M şi de vectorul director repreett de M M MM, MM sut coliiri D r M M r M ( 5MM ) tmm; r r t( r r) Proiectâd pe ele de coordote, oţiem: t( ) + t ( 6 ) t( ) su + t t( ) + t dreptei di spţiu determite de pucte. ( ) ( ), t R ecuţiile prmetrice le 8

7 ecuţiile coice. Oservţie: Î plul O ecuţi dreptei cre trece pri M (, ), M (, ) este Elimiâd t oţiem k tgα ( )...Ughiul ditre două drepte oriette Fie D şi D două drepte oriette pri vectorii directori, dreptele oriette D şi D îţelegem ughiul ditre şi defiit pri cos (, ) ϕ su si ϕ ϕ [, ] D D, ll + m m + ude ( l,m, ) şi ( l,m, ) D D l m l m Oservţie: Î pl cosθ ll + mm l + m l + m. Pri ughiul ditre θ θ β α, m tgα, m' tgβ tgβ tgα m' m tgθ tg( β α) + tgα tgβ + mm' α β Codiţi c cele drepte di pl să fie perpediculre este..4. Plul î spţiu Plul determit de u puct şi u vector orml eul mm', m'. m 9

O M (,, ) N( A,B, C) Fie M(,,) u puct curet di plul cre trece pri M şi re vectorul orml N. N M M N M(,,) () N,M M, ( N, r r ) ecuţi vectorilă plului cre trece pri M şi este perpediculr pe N. Fie N ( A,B, C), A, B, C prmetrii directori i ormlei l pl. M M ( ) i + ( ) j + ( )k ( ) A( ) B( ) C( ) ( ) ;. Codiţi de ortogolitte devie: + + ecuţi crteiă plului A + B + C + D D A A C Orice ecuţie de form A + B + C + D repreită u pl dcă pri ipoteă A, B, C u se uleă simult. Îtr-devăr dcă (,, ) este o soluţie ecuţiei terioră, tuci A + B + C + D D A B C. 4 A + B + C cre repreită Îlocuid oţiem ecuţi uui pl ce coţie puctul M (,, ) şi este perpediculr pe vectorul eul (A,B,C). A + B + C + D cu A + B + C repreită ecuţi crteiă geerlă uui pl. Codiţi ecesră şi suficietă c două ecuţii de grdul I î,, A + B + C + D, A + B + C + D să repreite celşi pl este A B C D k. A B C D..5. Ple prticulre ) plul O re ecuţi şi vectorul orml k (,, ). U pl prlel cu plul O re ecuţi c. repreită ecuţi plului O l cărui vector orml este i (,, ). U pl prlel cu plul O re ecuţi. este ecuţi plului O; orml cestui re direcţi j (,, ). U pl prlel cu plul O re ecuţi. ) ecuţiile plelor perpediculre pe plele de coordote O, O, O sut, respectiv:

A + B + D B + C + D A + C + D ) ecuţiile plelor cre trec pri ele de coordote O, O, O sut respectiv B + C A + C A + B 4) ecuţi plului cre trece pri origie este A + B + C...6. Plul determit de trei pucte ecoliire M (,, ), i, i i i i Folosim ecuţi geerlă plului şi ecuţiile oţiute pri îlocuire coordotelor puctelor M i î cestă ecuţie: A + B + C + D A i+ Bi + C i + D, i,, S- oţiut u sistem liir omoge î ecuoscutele A, B, C, D cu soluţii ele deorece A, B, C u se pot ul simult. Codiţi cre sigură cest lucru ( 5 ) ecuţie crteiă plului (ecuţie de grdul I î,, şi orice puct P( i, i, i ) o stisfce) C u c prticulr putem găsi ecuţi plului pri tăieturi: C(,,c) B(,,) A(,,) c + c + c, ( 6 ) + + c c Ecuţi crteiă plului e jută să stilim codiţi de coplritte ptru M i i, i, i, i, sut coplre, reultă: pucte di spţiu. Puctele 4

7 4 4 4 Prolem stilirii ecuţiei plului pri pucte pote fi trttă şi stfel: Fie M u puct cre pote geer plul l cărui vector de poiţie este OM r i + j + k Oţiem ecuţi vectorilă plului P impuâd codiţi de coplritte vectorilor MM, MM, MM, dică M M, MM MM. M M M M Dcă M i ( ri ), ri ii + i j + ik ( 8 ) ( r r, ( r r) ( r r) ) su, relţi este echivletă cu ecuţi vectorilă 9 ecuţie echivletă cu..7. Plul determit de u puct şi doi vectori ecoliiri u l,m,, v l,m, doi vectori ecoliiri, dică u v şi u Fie puct cuoscut M. Cele elemete M, u, v determiă u pl uic Π. v u v M M u M M Costruim repreetţii vectorilor u, v c fiid M M, M M. U puct M prţie plului dcă şi umi dcă vectorii M M M M, M M, sut coplri. uuuuuur Acest îsemă M M ru + sv. Scrisă î coordote cestă ecuţi vectorilă este echivlet cu:

+ rl+ sl ( ) + rm + sm ecuţiile prmetrice le plului Π, r şi s prmetri reli. + r + s Codiţi de coplritte vectorilor se mi pote scrie M M, u v de ude reultă ecuţi crteiă: l m l m dtă..8. Ecuţiile plului cre trece pri două pucte şi este prlel cu o direcţie M (,, ) v ( l, m, ) v M (,, ) M(,,) Vectorii MM, MM, v sut coplri cee ce îsemă: M M, MM v. ecuţi crteiă plului ce trece pri l m M,M prlel cu direcţi v...9. Ecuţi ormlă plului. Distţ de l u puct l u pl P d M(,,) M (,, ) O p

Notăm: p distţ de l origie l pl; versorul orml l pl; M(,,) puctul curet î pl. cosα,cosβ,cos γ cu cos α + cos β + cos γ ( pcosα,pcosβ,p cos γ) OP PM PM,, ir PM OM OP ( pcosα) i + ( pcosβ) j + ( pcos γ)k ( p cosα) cosα + ( p cosβ) cosβ + ( p cos γ) cos γ ( 4 ) cosα cos β cosγ p Fie M (,, ). Să determie distţ d( M,Π). de ude: + + ecuţi ormlă crteiă plului. Pri M ducem u pl prlel cu plul Π: Π Π ': cos α + cosβ + cos γ ( p + d) Impuâd codiţi de Π' cosα + 5 d M, Π cosα + cos β + cosγ p. M cosβ + cos γ ( p + d)... Normlire ecuţiei geerle uui pl. Distţ de l u puct l u pl dt pri ecuţi geerlă A + B + C + D cosα + cos β + cosγ p Petru c cele două ecuţii să repreite celşi pl, ele treuie să iă coeficieţi proporţioli. cosα cosβ cos γ p A B C D cos α cos β cos γ A B C A + B + C A B cos α ; cosβ ± A + B + C ± A + B + C C p cos γ ; D ± A + B + C ± A + B + C Îlocuid î ecuţi ormlă crteiă plului oţiem A + B + C + D ( 6 ) ecuţi geerlă plului ormlită. ± A + B + C A + B + C + D ( 7 ) d( M, Π ). A + B + C 4

... Ecuţi geerlă dreptei î spţiu Drept dtă c itersecţie două ple N N Π Π :A + B + C + D () Π :A + B + C + D l,m, N A,B,C N N l,m, N A,B,C i j k B C C A A B ( l,m,) A B C i + j + k B C C A A B A B C Π Deci vectorul director l uei drepte di spţiu dte pri ecuţi () re compoetele: B C C A A B l, m, B C C A A B... Ughiul ditre două ple î spţiu Pri defiiţie este ughiul ditre ormlele l cele două ple di spţiu. Π N( A,B,C) Π N( A,B,C) ( N,N ) AA + BB + CC cos α N litic N A + B + C A + B + C N N AA + BB + CC 5

EXERCIŢII PROPUSE ) Să se scrie ecuţi dreptei cre trece pri M (, 5, ) şi formeă cu ele de o o o coordote ughiurile α 6, β 45, γ. o o o R: Se cuoşte deci vectorul director l dreptei e(cos 6,cos 45,cos ), ecuţi dreptei este: + 5 5 + ) Să se determie cosiusurile directore le dreptei: 4 R: l + m + 4 6 + 9 +44 69 cos α ±,cosβ ±, cos γ ± ) Să se studiee coliiritte puctelor M (,, ), M (,, 4), M (, 4, ), R: Scriem ecuţi dreptei pri M şi M şi verificăm dcă M se flă pe cestă dreptă. 4 M dreptei. 4) Să se clculee ughiul dreptelor:,6,,9,6 ; 7, 7 7 R: cosθ, θ rccos 77 77 + 6 5, +, 9 6 5) Să se scrie ecuţi plului determit de puctele M (,,); M (,7,); M (4,,5). R: + 7 6 7 7 4 5 6) Să se verifice dcă următorele ptru pucte se flă î celşi pl M (,,); M (,,4); M (,,); M 4 (4,, ). 4 R: Se verifică 4 6

LECŢIA 4 PROBLEME ASUPRA DREPTEI ŞI PLANULUI ÎN SPAŢIU 4.. Ughiul ditre o dreptă şi u pl Fie Π :A + B+ C+ D de vector orml N( A,B,C ), D de vector director ( l,m, ) l m Ughiul ditre u pl şi o dreptă este ughiul ditre dreptă şi proiecţi dreptei pe pl. (D) l,m, N( A,B,C ) α α (D ) N, la mb C cos α si α + + + + + + N l m A B C D ( l,m, ) N( A,B,C ) D Π ( N,) Π Ecuţiile plelor prlele cu ele de coordote A + B + D cu O N A, B,, k, N k D O A + C + D cu O log B + C + D cu O 4.. Distţ de l u puct l o dreptă î spţiu (D) M M (,, ) Fie drept D de vector director (l,m,) cre trece pri M, ir M u puct orecre î d pl. α Notăm cu d distţ de l M l D. ( l,m, ) 7

si α d MM d d M,D M M siα MM MM siα MM i j k d( M,D) MM l m d + + m l l m l + m + 4.. Ecuţiile perpediculrei duse ditr-u puct pe o dreptă di spţiu Fie D: şi M (,, ). l m M (l,m,) M Perpediculr dusă di M (,, ) pe drept D se flă l itersecţi plelor: ) plul cre coţie M şi drept D; ) plul dus pri M şi perpediculr pe D. l m l( ) + m( ) + ( ) 4.4. Perpediculr comuă două drepte î spţiu Se umeşte perpediculr comuă două drepte orecre cre dmit vectori directori şi o dreptă cre se sprijiă simult pe cele două drepte şi este perpediculră pe ceste două, deci re direcţi. 8

Π B D M N A M Π M D Perpediculr comuă pre c itersecţi două ple: plul Π cre coţie pe D şi şi plul Π cre coţie pe D şi. Presupuem că D, D trec pri M, respectiv M, N puctul curet î P, M puctul curet î Π. Perpediculr comuă se scrie: MN, MM, 4.5. Distţ ditre două drepte Fie două drepte D şi D descrise respectiv de puctele M şi N. Numărul if d( M, N) se umeşte distţ ditre dreptele D şi D : ) dcă D şi D sut cocurete, d ; ) dcă D D pri M D se duce u pl perpediculr pe D cre tie pe D î N, tuci d d( M,N ). c) Distţ ditre două drepte orecre î spţiu Pri distţ ître două drepte orecre î spţiu îţelegem lugime perpediculrei comue, cuprisă ître cele două drepte. M D B D A M Pri drept D ducem u pl Π prlel cu drept D ; ( d D,D d M,P) ude M este u puct cuoscut l dreptei D. Acestă distţă este lugime îălţimii prlelipipedului costruit pe vectorii MM, MM,,. d( D,D) 9

EXERCIŢII PROPUSE ) Să se clculee distţ de l puctul M,, l plul Π de ecuţie 4 4 + + 7. 4 4 + + 7 4 d( M, Π ) 4 6 + 6 + 4 6 ) Să se scrie ecuţiile dreptei cre trece pri M (,, ) şi este prlelă cu drept + + + i j k N,,, N,, N N i j+ k De ici reultă că ecuţi dreptei este: +. ) Să se clculee ughiul ditre drept ( Π) +. Vectorul director l dreptei (D) este ughiul ditre (D) şi N, (, ). + + D şi plul i j k i + 4j k. Determiăm,N 4 + cos (, N) N N 4+ 6+ 4 + + Reultă că drept (D) este perpediculră pe plul Π. Rămâe de studit dcă drept prţie su u plului. Este suficiet să vedem dcă u puct l dreptei D prţie plului Π. O,, D u verifică ecuţi plului, deci drept (D) u este coţiută î plul Π. + 4) Să se clculee distţ de l puctul M (,,) l drept ( D) + + Puem î evideţă u puct l dreptei (D) şi clculăm direcţi cestei 4

i j k,,, M,,, j+ k MM d, MM i j+ k i j k MM 7i j + k 49 498, d 6. 5) Să se scrie ecuţi perpediculrei coorâte di puctul M pe drept (D), + M (,,), D:, M (,,). 8 + + 9 6. + 4 ( ) ( ) ( ) 6) + 8 4 4 i j k ( D ), (,,) ( D ), ( 4,,) i + j 7k 4 + P 6 7 6 + 9 8 4 9 + P 4 6 7 7) Să se clculee distţ ditre dreptele: 4

D: D : 7 4 + t 4 M (7,,) (,4, ) Π: ( 7) + 4( ) + ( ) N + 4 + N : + t, + 4t, t 9t 9 t ; 5; ; d M N 7 5 + + 8) Să se clculee lugime perpediculrei comue dreptelor t 4 4t 5 ( D ) : t+ 4 ( D ) : t+ 5 t 5t+ 5 + 4 4 + + 5 5 5 D: D: 4 5 M 4,4,,, ; M 5,5,5, 4,, 5 MM,, 9 d 6 MM i+ j+ 6k; MM,v,v 9 4 5 i j k i + j k, 4 5 Π 4

LECŢIA 5 CUADRICE 5.. Sfer î spţiu Defiiţie: Se umeşte sferă mulţime puctelor di spţiu egl depărtte de u puct fi C umit cetrul sferei. c M ( r ) uuuur M sferei CM R r R () r R Dcă i+ j+ k, r i+ j+ k Relţi () devie: ( ) + + R su ( ) + + + + + R L, M, N, P + + R devi: Dcă otăm 4 + + + L+ M+ N+ P cre se umeşte ecuţie geerlă sferei. Ecuţi (4) pri grupări coveile se pote pue su form: L M N L + M + N ( 5) + + + + + P cre repreită 4 L M N L + M + N o sferă cu cetrul C,, şi r R P 4 Deoseim curile: L + M + N ) P > (4) repreită o sferă relă 4 L + M + N ) P < (4) repreită o sferă imgiră su φ î rel. 4 L + M + N c) P (4) repreită u puct dulu. 4 Ecuţi geerlă (4) re ptru coeficieţi reli cre pot fi uic determiţi dcă se cuosc ptru codiţii idepedete. De eemplu fie A i ( i, i, i ), e,4 ptru pucte ecoplre. Ecuţi sferei cre trece pri cele ptru pucte, su formă de determit este: 4

+ + + + 5 + + + + + + 4 4 4 4 4 4 Ecuţiile prmetrice le sferei: + Rcosθsiϕ + Rsi θ si ϕ + Rcos ϕ ϕ M cul : θ Cudrice pe ecuţiile lor coice(reduse) 5.. Elipsoidul Se umeşte elipsoid mulţime puctelor di spţiu le căror coordote fţă de reperul R {, i, j, k } verifică ecuţi: E () + + >, >, c > c Plele de coordote sut ple de simetrie le E petru că ecuţi () este verifictă şi de puctele P (-,, ), P (, -, ), P (,, -). Aele de coordote sut e de simetrie petru că ecuţi () este verifictă şi de puctele P 4 (-, -, -), P 5 (-,, -), P 6 (, -, -). Origie reperului este cetru de simetrie petru că P 7 (-, -, -) verifică ecuţi (). Vârfurile E se oţi l itersecţi ecuţiei () cu ele de coordote. + + O c A(,,) A(,,) O B(,,) B(,,) O C(,,c) C(,, c) Avem [, ], [, ], [ c, c] E este o suprfţă mărgiită, puctele lui găsidu-se î iteriorul prlelipipedului limitt de plele ±, ±, ± c. O + elips i O cu plele de simetrie O + elips i O c 44

O elips i O + c. Itersecţiile elipsoidului cu ple prlele cu plele de coordote sut elipse: k + + + + c c k k c c k k k [ c,c] C A B A C B Segmetele AA, BB CC, c se umesc ele suprfeţei. siϕcosθ E re repreetre prmetrică si ϕ si θ c cos ϕθ, [, ), ϕ [, ] 5.. Hiperoloidul cu o pâă + c Aele de coordote, plele de coordote, origie reperului sut e de simetrie, ple de simetrie şi cetru de simetrie. O: A (,, ) A (-,, ) O: B (o,, ) B (, -, ) O: u se oţi soluţii rele k + + + cu plele prlele cu plul O c c k ( ) + r fi O elipsă relă, suprfţă k k + + c c emărgiită. 45

+ Petru k O elipsă colier Vârfurile elipsei () sut: k k + + c c V V + c k k elimiâd pe k reultă că vârfurile V şi V devi o hiperolă î O ( 4) c k k V + V + c c k k elimiâd k reultă că vârfurile V şi V devi o prolă î O 5 c V V V V Hiperoloidul cu o pâă se oţie pri deplsre uei elipse prlel cu plul O le cărei vârfuri descriu hiperolele (5) şi (7). B A A elips colier B 46

5.4. Hiperoloid cu două pâe ( H ) + + c ( 6 ) re celeşi simetrii c şi H H O vârfuri imgire H O vârfuri imgire H O C (,, c) C (o, o, -c) două vârfuri pe H ( + + O) c + k ( k c ) ( k c ) c c k c,c elipse rele petru k > c şi elipse imgire petru k c k c c c Vârfuri V V.Pri elimire lui k reultă k k V 7 c k c k c c c V V k k V, V devi o hiperolă î plul O. ( 8) c Itersecţi cu plele şi sut respectiv hiperole + + c c V, devi o hiperolă sitută î plul O. 47

V V V V C Cudric + c se umeşte coul simptotic l hiperoloidului. 5.5. Proloii Proloid eliptic ( 9) + > > Plurile O şi O sut ple de simetrie. O este ă de simetrie (ă priciplă) şi îţepă suprfţ î origie suprfţ re umi pucte desupr plului O. cu ple prlele cu plul O + k elipse cu vârfurile k V k V k elimiâd k reultă prolă î O k k k k V V elimiâd k reultă prolă î O k k 48

V V V V Proloid hiperolic > > plele (O), (O) sut ple de simetrie, O ă de simetrie O două drepte. k hiperol k k k k hiperolă cu vârfuri rele. k k Cu vârfuri V V k k elimiâd k reultă o prolă î plul O k PH hiperol k k k cu vârfuri rele V k V k elimiâd k ître vârfuri reultă o k k prolă î plul O 49

5.6. Cilidri C ilidrul eliptic ( ) + >, > Cilidrul hiper olic 4 5

Cilidrul prolic 5 p Coul pătrtic + c k elipse 6 + >, >, c > c 5

EXERCIŢII PROPUSE ) Să se scrie ecuţiile sferei ce trece pri P (,, ), P (,, -), P (, -, ), P 4 (-, -). + + R: 5 6 5 Deci + + -7 +7 +9 + 6 ) Să se găsescă puctele de itersecţie sferei + + ----6 cu drept : - R ) Să se determie curele de itersecţie le elipsoidului + cu 4 9 6 plele de coordite. R: Elipse de ecuţii + ; ; + ; ; + ; 4 6 4 9 9 6 4) Să se determie curele de itersecţie le hiperoloidului cu plele de coordote. ecuţii R: Hiperole de ecuţii + ; ; 4 9 ; ; 9 6 +, 4 9 6 ;, elips de 4 6 5) Să se determie curele de itersecţie le: ) proloidului eliptic + ; 4 ) proloidului hiperolic + cu plele de coordote. 4 R: ) Prole de ecuţii -8, ; -,, ir cu plul O itersecţi este origie reperului. ) Prole de ecuţii +8, ; -,, ir cu plul O, două drepte de ecuţii +, ; -,. 5

Astfel, Defiiţie Mulţime R LECŢIA 6 FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE este mulţime formtă di grupe ordote de câte umere rele. { ( ) i } R,,... R,i, şi R R R... R. Elemetele lui R se umesc vectori su pucte. Î rport cu operţiile uule de dure vectorilor şi de îmulţire cu u sclr uui vector, R formeă o structură de spţiu liir peste R. R corespude iivoc cu mulţime puctelor uei drepte oriette. R costă î totlitte perechilor de ordote rele (, ) şi corespude iivoc cu mulţime puctelor uui pl î cre s- les u reper ortogol. M(,) j i uuuur Vectorul de poiţie l puctului M este: OM i + j Alegâd î spţiu u reper triortogol O compus ditr-u puct fi (origie reperului) şi trei e oriette O, O, O perpediculre două câte două, putem idetific puctul P cu tripletul proiecţiilor sle pe cele trei e vâd o corespodeţă iuivocă ître R şi puctele spţiului. Coordotele puctului M sut,, umite scise, ordot respectiv cot puctului. Vectorul de poiţie l puctului M este uuuur OM r i + j + k. M(,,) Petru > u mi vem repreetări geometrice le spţiului structurii lui R, > se fce idepedet de repreetre geometrică. Pe mulţime se defieşte u produs sclr stfel: R R.Studiul 5

, + +... +,,...,,... cre iduce orm... + +, respectiv distţ ( ) + + ( ) d,... 6.. Noţiui de topologie î R Veciătăţile uui puct di R Se umeşte itervl -dimesiol deschis şi mărgiit mulţime: I,,... < <,i,, R { } i i i i Eemplu: Î pl u itervl idimesiol < <, c < < d, este u dreptughi. Î spţiul prlelipiped. R u itervl tridimesiol < <, c < < d, e < < f este u Vom umi sferă (deschisă) cu cetrul î de ră r mulţime V R, < r r { } formtă di tote puctele R căror distţă l este mi mică decât r. Dcă ieglitte este r se umeşte sferă îchisă. Î cul spţiului R R o sferă este u itervl ( - r, + r) cu cetrul î. Î cul spţiului R o sferă este u cerc cu cetrul î şi de ră r. Î cul spţiului R se oţie o sferă cu cetrul î şi de ră r. -r +r 54

Propoiţie: Orice sferă cu cetrul î coţie u itervl dimesiol cre coţie pe şi reciproc, orice semee itervl coţie o sferă cu cetrul î. Defiiţie: Se umeşte veciătte uui puct orice mulţime cre coţie o V cu cetrul î. sferă r Evidet orice sferă cu cetrul î este o veciătte lui. Di propoiţi precedetă deducem că orice itervl -dimesiol cre coţie pe este o veciătte lui. Propoiţie: O mulţime V este veciătte uui puct dcă şi umi dcă eistă u itervl -dimesiol I stfel îcât I V. Defiiţie: Fie A şi u puct A. Spuem că este puct iterior l lui A dcă eistă o veciătte V lui, coţiută î A. V A Mulţime puctelor iteriore le lui A se umeşte iteriorul lui A şi se oteă It A. O mulţime este deschisă dcă este formtă di pucte iteriore, dică dcă A It A. Aşdr o mulţime este deschisă dcă şi umi dcă este veciătte petru fiecre puct l său. Eemple de mulţimi deschise: sferele deschise, itervlele deschise -dimesiole, mulţime vidă,. Mulţimi îchise Defiiţie: u puct este deret mulţimii A dcă orice veciătte V lui coţie cel puţi u puct A dică dcă V A Dcă A tuci este puct deret l lui A petru că oricre r fi veciătte V lui vem V A (evetul putem ve V A { } ). Pot eist îsă pucte derete mulţimii A fără să prţiă lui A. Mulţime puctelor derete le lui A se umeşte dereţ lui A su îchidere lui A şi se oteă A. Evidet A A. O mulţime este îchisă dcă este eglă cu îchidere s A A. Se demostreă că o mulţime A este îchisă dcă şi umi dcă complemetr s CA este deschisă. Eemple de mulţimi îchise: sferele îchise, itervlele îchise -dimesiole R,φ, mulţimile fiite. U puct R este puct frotieră l lui A dcă este deret tât lui A cât şi lui CA, dică orice veciătte V lui coţie tât pucte di A cât şi di CA. V A φ V CA φ Mulţime puctelor frotieră le lui A se umeşte frotier lui A şi se oteă Fr A. Avem Fr A Fr CA Fr A A - It A 55