2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

Σχετικά έγγραφα
( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

1.4 Tangenta i normala

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

6 Primjena trigonometrije u planimetriji

Trigonometrija 1. Trigonometrijska kružnica. Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

7 Algebarske jednadžbe

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

1. Trigonometrijske funkcije

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

Zadaci iz trigonometrije za seminar

( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

Trigonometrijske nejednačine

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

IZVODI ZADACI (I deo)

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

4.1 Elementarne funkcije

Zadatak 081 (Nina, gimnazija) Tada je: 2 f x = a x + b x + c ima ekstrem čija vrijednost. 4 a c. 4 a c b. 2 a

Uvod u teoriju brojeva

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

1 Promjena baze vektora

Operacije s matricama

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

( , 2. kolokvij)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 5.1 (Dio treci)

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

radni nerecenzirani materijal za predavanja

ALFA List - 1. Festival matematike "Split 2013." Otvoreno ekipno natjecanje učenika osnovnih i srednjih škola Split, 10. svibnja 2013.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Teorijske osnove informatike 1

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable

1 Pojam funkcije. f(x)

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada)

1.3. Rješavanje nelinearnih jednadžbi

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008

POPIS ZADATAKA: 1.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=4+3i 2.Riješi zadatak:izi= *

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

y f x y g x Bernouli diferencijalna jed.: y' f x y g x y n realni broj; Svodi se na linernu dif.jed. Homogena diferencijalna jed.

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5

6. Nelinearne jednadžbe i sustavi

2.6 Nepravi integrali

x n +m = 0. Ovo proširenje ima svoju manu u tome da se odričemo relacije poretka - no ne možemo imati sve...

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

2.7 Primjene odredenih integrala

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Zadaci iz Osnova matematike

IZVODI ZADACI (I deo)

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima

Signali i sustavi Zadaci za vježbu. III. tjedan

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

Transcript:

Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule: Iz relacije sin = sin, = sin tg ctg tg =, ctg =. tg ctg + sin =, odredimo pri čemu predznak funkcije ovisi o tome u kojem se kvadrantu nalazi točka E(t). Budući da je četvrti kvadrant, bit će za predznak plus. Sada računamo: + sin =, 6 6 6 7 6 + = + = = = 6 7 7 7 = = / = ± = ±. 7 7 7 6 Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: Sada redom računamo: =. 6 6 sin = sin = =, 6 6 7 6 6 79 = sin = = =, 6 6 7 7 7 sin 7 79 tg = = =, ctg = =. 79 79 tg 7 Vježba Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je sin =,,. 5 7 7 sin =, =, tg =, ctg =. 5 5 7 Zadatak (Ivana, gimnazija) Riješi jednadžbu: sin =. Rješenje Jednadžba sin = a, a R, ima rješenje ako je a. Ukoliko odredimo jedno rješenje α, zbog valjanosti formule redukcije sin( ) = sin, slijedi da je i α rješenje jednadžbe sin = a. Budući da je sinus periodičan,

slijedi da su rješenja: sin( + k ) = sin, = α + k, = α + k, k Z. - α a α Riješimo zadatak! Rješenja su: sin = sin = /: sin = α =. 6 = + k ili = + k, 6 8 6 k = + k = + 6 ili 5 6 5 k = + = + k, k Z. 6 5.5 Vježba Riješi jednadžbu: sin.5 =. = + k 6, 5 6 = + k, k Z. Zadatak (Petra, gimnazija) sin Pojednostavni izraz:. + Rješenje sin = + sin =, sin = sin, = sin = + sin sin sin = = = = tg. + sin + sin Vježba sin Pojednostavni izraz:. ctg. Zadatak (Petra, gimnazija) Koliko rješenja ima jednadžba log ( ) = log (sin ) unutar intervala,?

- 6 8 - - - - - - - - Rješenje Budući da za funkciju f() = log vrijedi >, mora biti: > i sin >. Tada je: log( ) = log(sin ) = sin /: sin = tg = = + k, k Z. Na zadanom intervalu, je >, sin > i = sin samo za =. Dakle, rješenje je jedno. = log(sin ) = log( ) T Vježba Koliko rješenja ima jednadžba log ( ) = log (sin ) unutar intervala,? Dva rješenja: 9 = i =. Zadatak 5 (Petra, gimnazija) Ako je + =, koliko je +? Rješenje 5 Podsjetimo se formula: Sada slijedi: + sin =, = sin. + = => sin + = => ( ) + = => => + + = => + = / : => + =.5. Vježba 5 Ako je + =, koliko je +?. Zadatak 6 (Martin, gimnazija) Koliko rješenja ima jednadžba: + =? Rješenje 6 Zadanu jednadžbu možemo napisati kao Skicirajmo grafove funkcija slijeve i zdesne strane! =. = - B A = Iz slike se vidi da se sijeku u dvije točke pa jednadžba ima dva rješenja. Vježba 6 Koliko rješenja ima jednadžba: =?.

- 6 - - - - Zadatak 7 (Marko, gimnazija) Koji je osnovni period funkcije f() = sin? Rješenje 7. inačica Ako je P period funkcije f(), onda vrijedi f( + P) = f() za svaki R. Prema tome, ako je P period funkcije f() = sin, onda vrijedi sin ( + P) = sin za svaki R. Posebno za = dobivamo sin P =. Zaključujemo da period funkcije f() reba tražiti među brojevima P = k, k N. Za k = dobivamo P = : što je osnovni period funkcije f() = sin. sin ( + ) = sin => T =,. inačica Zadatak smo mogli riješiti i ovako: f ( ) = sin = ( + ). 8 Ponovimo! Osnovni perid funkcije f() = jednak je : ( + k ) =, k Z. Odredimo osnovni period svake od funkcija i : = ( + P) = ( + P) P = P =. ( ) ( ) = + P = + P P = P =. Zaključujemo da je osnovni period funkcije f() = sin jednak. Vježba 7 Koji je osnovni period funkcije f() =? P =. Zadatak 8 (Marko, gimnazija) Zadana je funkcija f() = sin +. Ako je sin α =, nađite f(α). Rješenje 8 f ( α) = sin α + α = sin α + sin α α + α sin α α = = ( sin α + α ) sin α α = sin α α = ( sinα α ) = 7 = ( sin α ) = sin α = = = =. 9 9 9 Vježba 8 Zadana je funkcija f() = sin +. Ako je sin α =, nađite f(α)..

Zadatak 9 (Zvončica, gimnazija) Riješi trigonometrijsku jednadžbu: + sin =. Rješenje 9 + sin = + sin = ( sin ) + sin = sin + sin = sin + sin = / 5 ( ) ( ) [ a b a b a b = ] sin sin = sin sin = = = ili = ili = I. sin = = k, k Z sin =, sin =. II. sin = sin = /: sin = Jednadžba sin = a, a R, ima rješenje ako je a. Ukoliko odredimo jedno rješenje α, zbog valjanosti formule redukcije sin( ) = sin, slijedi da je i α rješenje jednadžbe sin = a. Budući da je sinus periodičan, slijedi da su rješenja: sin( + k ) = sin, = α + k, = α + k, k Z. = +, i,. k k Z = + k = + k k Z Vježba 9 Riješi trigonometrijsku jednadžbu: sin sin =. = k, k Z i = + k, k Z. Zadatak (Nena, gimnazija) Ako je + = i < <, koliko iznosi? tg ctg Rješenje sin + sin + = ctg + tg = + = = = tg ctg sin sin sin [ proširujemo razlomak s ] = = sin = + sin = sin sin Vježba < < = sin = ± sin = = < < Ako je. 5 5 = = =. 9 9 + = i < <, koliko iznosi? tg ctg

Zadatak (Mirjana, gimnazija) Broj realnih rješenja jednadžbe sin = log iznosi A. B. C. D. 5 E. beskonačno Rješenje Nacrtamo grafove funkcija. 8 6 A B C 5 5 - - -6 Odgovor je pod C. Vježba Broj realnih rješenja jednadžbe = log iznosi Odgovor je pod C. -8 A. B. C. D. 5 E. beskonačno Zadatak (Barbika, gimnazija) Ako je tg + tg = ctg + ctg i,, koliko je +? Rješenje tg + tg = ctg + ctg tg + tg = + / tg tg + tg = + tg tg tg tg + tg tg = tg tg + tg + = tg + tg = ( ) ( ) ( ) ( ) tg =, nema smisla jer je,, tg tg = + = u prvom kvadrantu tangens je pozitivan tg = tg = / tg = =. Sada je: ( + + ) + + = + = + = + = = =. Vježba Ako je tg + tg = ctg + ctg i,, koliko je?. Zadatak (Anamarija, hotelijerska škola) + 5 sin = na segmentu,? Koliko rješenja ima jednadžba [ ] Rješenje + 5 sin = + sin = 5 + ( ) = 6

bikvadratna jednadžba 5 5 5 c + = os + = supstitucija t = b ± b ac 5 ± 5 5 ± 5 6 5 ± 9 5 ± t 5 t + = t = = = = =, a 8 8 8 Rješenja su: Ima sedam rješenja. Vježba 5 + 8 5 t = = =, t = = =. 8 8 8 8, = = = = / = ± = =, 5 = =, 5 = = / = ± = =, 7 =. 6 5 sin na segmentu,? Koliko rješenja ima jednadžba + = [ ] Ima četiri rješenja. Zadatak (Anamarija, hotelijerska škola) sin sin Pojednostavnite:. tg Rješenje 7 ( ) ( + sin ) sin sin sin sin sin sin = = = tg sin sin c os Vježba Pojednostavnite:. sin sin sin sin = = = =. sin sin sin sin. Zadatak 5 (Anamarija, hotelijerska škola) Ako su tgα i tg β korijeni jednadžbe a + b + c = a, b, c R i a, koliko je tg α + β? Rješenje 5 Uporabit ćemo Vièteove formule. Rješenja, kvadratne jednadžbe zadovoljavaju Vièteove formule: a + b + c = b c + =, =. a a Budući da su tgα i tg β korijeni jednadžbe a + b + c =, slijedi: ( ) ( )

b tgα tg β b b tgα tg β + = + a ( ) a a b b tg α + β = = = = = =. tgα tg β c c a c tg tg a c c a α β = a a a Vježba 5 Ako su tgα i tg β korijeni jednadžbe a b + c = a, b, c R i a, koliko je tg α + β? b. a c Zadatak 6 (Anamarija, hotelijerska škola) Ako je sin sin = i = a, koliko je a? Rješenje 6 ( ) ( ) ( ) sin sin = sin sin + = sin = sin = sin =. Tada je a jednako: ( ) = a = a + sin = ( ) ( ) ( ) ( ) sin sin = a = a a =. Vježba 6 Ako je sin sin = i = a, koliko je a?. Zadatak 7 (Anamarija, hotelijerska škola) Nađite broj realnih korijena jednadžbe sin = u intervalu 6, 6. Rješenje 7 Za < vrijedi = pa je sin = = =. Rješenja jednadžbe sin = su: = + k, k Z. 5 9 Na intervalu 6, 6 rješenja su :,,. Za > vrijedi = pa je sin =. = = Rješenja jednadžbe sin = su: = + k, k Z. 5 9 Na intervalu 6, 6 rješenja su :,,. Broj realnih korijena je šest. Vježba 7 Nađite broj realnih korijena jednadžbe sin = u intervalu,. Broj realnih korijena je dva. 8

Zadatak 8 (Tomislav, tehnička škola) Ako je sin α + β = m i α β = n koliko je sin α? Rješenje 8 sinα + β = m [ zbrojimo jednadžbe] sinα + α = m + n [ kvadriramo] α β = n + = + + + = + ( sinα α ) ( m n) sin α sinα α α ( m n) α + sin α = + sin α = ( m + n) sin α = ( m + n). sinα α = sin α Vježba 8 Ako je sin α + β = m i α β = m koliko je sin α? m. Zadatak 9 (Ivan, tehnička škola) Rješenje 9 Odredi skup rješenja jednadžbe sin = sin. sin = sin sin = sin + + sin = sin = /: sin = / sin = = + k, = + k = + k, k Z. Vježba 9 Odredi skup rješenja jednadžbe sin = sin. = + k, k Z. Zadatak (Tomislav, tehnička škola) Izračunaj log( 7º) log(sin º). Rješenje Ponovimo: log a lo gb = log a. b 7 ( ) ( ) 7 ( ) log 7 log sin = log = sinα = 9 α = log = log =. sin 7 Vježba Izračunaj log( 5º) log(sin º).. 9