9 VJEŽBE MEANIKA FIDA II / 9 9 Vježbe 4 Široki remen, prema slici, postavljen je vertikalno između dva spremnika ispunjena istim fluidom i giba se prema gore konstantnom brzinom v, povlačeći fluid iz donjeg spremnika sa sobom u gornji spremnik, pri čemu se uz remen formira film fluida debljine Debljina filma određena je širinom otvora na dnu gornjeg spremnika kroz koji remen ulazi u taj spremnik Odredite protok Q fluida u filmu fluida, konstantne gustoće ρ, konstantne kinematičke viskoznosti υ, u zavisnosti od v, i υ Pretpostavite ravninsko stacionarno laminarno strujanje fluida izobraženim profilom brzine Odredite brzinu remena v i smično naprezanje τ između fluida i remena za slučaj Q = radak Strujanje je ravninsko u ravnini z, gdje je os z usmjerena vertikalno uvis, a os od remena u desno Znači da je brzina vy, a derivacije svi veličina u smjeru osi y jednaka nuli Dakle jednadžbu količine gibanja u smjeru osi y nije potrebno uzimati u obzir Strujanje je stacionarno, što znači da je t Strujanje je izobraženim profilom brzine što znači da se komponente brzine ne v mijenjaju u smjeru osi z : z v i z z 4 Masena sila ima samo komponentu u smjeru osi fz = g ( f = ) S obzirom da je strujanje nestlačivo problem je opisan jednadžbom kontinuiteta i jednadžbom količine gibanja, koje za slučaj konstantne viskoznosti fluida, nakon što se ispuste svi članovi s brzinom v y i derivacijom u y smjeru, glase (vidjeti npr formule uz vježbe 7):
9 VJEŽBE MEANIKA FIDA II / 9 JK v v + z z = JKG- v v v ρ v v p v z μ + + = + t z z JKG-z p v t z + + = + z z ρ g gornjim jednadžbama su žutom bojom označeni članovi koji su prema navedenim pretpostavkama jednaki nuli Iz jednadžbe kontinuiteta slijedi da brzina v nije funkcija koordinate, zbog stacionarnosti problema nije funkcija vremena t, zbog pretpostavke o izobraženom profilu brzine nije funkcija niti koordinate z, pa zaključujemo da je konstantna Vrijednost te konstante se određuje iz rubni uvjeta Na samom remenu koji se giba prema gore i nepropustan je, jasno je da je brzina v jednaka nuli, pa zaključujemo da je brzina v u čitavom području izobraženog strujanja p Prema tome iz -komponente jednadžbe količine gibanja slijedi da je =, što znači da tlak nije funkcija koordinate, odnosno da je tlak u orizontalnim ravninama konstantan Budući da na rubu sloja fluida vlada konstantni atmosferski tlak (u zraku se zanemaruje promjena tlaka s visinom) zaključuje se da će u svakoj orizontalnoj ravnini (bez obzira na p visinu z vladati atmosferski tlak p= pa = konst, što znači da vrijedi = z zimajući u obzir da je brzina v z funkcija samo koordinate, od z -komponente jednadžbe količine gibanja, ostaje d v μ z = ρ g d Ovo je obična diferencijalna jednadžba drugog reda, za čije je jednoznačno rješenje potrebno poznavati dva rubna uvjeta Prvi je rubni uvjet na remenu, koji za slučaj viskoznog strujanja kaže da se fluid lijepi uz remen, pa vrijedi a) za = : = v Drugi rubni uvjet je na slobodnoj površini, na kojoj vrijedi neprekidnost smičnog naprezanja Pretpostavlja se da je smično naprezanje u zraku zanemarivo (uzima se da je jednako nuli), pa smično naprezanje u fluidu, na rubu filma, također mora biti jednako nuli Smično naprezanje na rubu filma se odnosi na površinu s normalom u smjeru osi, koje gleda u smjeru osi z, a v koje je definirano izrazom (vidjeti npr formule uz vježbe 7) τz = μ + z =, pa je jasno da vrijedi v z b) za = : d d = Integracijom jednadžbe količine gibanja dobije se dv μ z = ρg + C, d a nakon primjene rubnog uvjeta b) slijedi = ρg + C, odakle je C = ρg, odnosno dv μ z = ρg ρg d
9 VJEŽBE MEANIKA FIDA II / 9 Drugom integracijom pretodnog izraza se dobije μ = ρg ρg + C Primjenom rubnog uvjeta a) slijedi μ v= C, pa je konačan izraz za brzinu v z ρg = ( ) + v μ Protok fluida u sloju debljine je ρg ρg Q= d= ( ) + vd= + v μ μ odnosno ρg g Q= v = v μ υ, Jasno je da postoji granična brzina v gibanja remena kod koje je Q =, a ta je brzina prema gornjem izrazu za protok ρ g g v = = μ υ Smično naprezanje na remenu je d τ = μ = ρg( ) = ρg = d = i uopće ne zavisi od brzine v, pa je i τ = ρg Za sve brzine gibanja remena v> v protok će biti pozitivan, tj prema gore, a za v< v, prema dolje Za v = (remen miruje), te se fluid slijeva iz gornjeg u donji spremnik Sljedeća slika prikazuje profile brzine u sloju za slučaj v =, v< v, v= v i v> v bezdimenzijskom obliku, profil brzine glasi: v = + v v, odnosno uz v = v, = i = P : v v = ( ) + v P
9 VJEŽBE MEANIKA FIDA II 4 / 9 5 Na slici je prikazan segment ležaja koji se giba konstantnom brzinom relativno prema nepomičnoj podlozi, stvarajući tanki uljni klinasti film Širina ležaja okomito na sliku je B Odredite vertikalnu silu N (nosivu silu ležaja) i orizontalnu komponentu F sile otpora na pomični segment fluidnom filmu pretpostavite nestlačivo, ravninsko laminarno strujanje uz konstantnu viskoznost ulja N =? F =? ( ) Postavljeni problem je ključan u teoriji podmazivanja Iz meanike je poznato da pri klizanju jedne površine po drugoj nastaje suo trenje, a sila F trenja je definirana koeficijentom μ T suog trenja u obliku F = μtn Snaga koja se troši na svladavanje sile trenja je P= F, a s obzirom da se ta snaga nepovratno pretvara u unutarnju energiju, traži se da sila F bude što manja Podmazivanjem se između površina formira uljni film, kao na gornjoj slici, te se dobije smanjenje sile trenja, a zadatak je meanike fluida naći silu F u zavisnosti od nosive sile N u ležaju Ako bi se za opis problema izabrao nepomični koordinatni sustav vezan za podlogu, tada bi problem bio nestacionaran, jer bi pomični segment u svakom trenutnu imao drugi položaj Stoga ćemo izabrati pomični koordinatni sustav čvrsto vezan za pomični segment koji se giba konstantnom brzinom, a promatraču iz tog koordinatnog sustava će se činiti kao da se podloga giba u lijevo, kao što prikazuje sljedeća slika, a problem će biti stacionaran ( ) Prema uvjetima zadatka strujanje je ravninsko, što znači da će komponenta v brzine biti jednaka nuli, kao i sve derivacije po koordinati S obzirom da je strujanje nestlačivo, a viskoznost fluida konstantna, problem je opisan jednadžbom kontinuiteta i dvije komponente jednadžbe količine gibanja koje glase (nakon što se ispuste nestacionarni članovi, članovi vezani s koordinatom i masene sile)
9 VJEŽBE MEANIKA FIDA II 5 / 9 v v JK + = v v p v v -JKG ρ v v μ + = + + v v p v v -JKG ρ v v μ + = + + Iz slike je jasno da će zbog promjenjivog razmaka između podloge i pomičnog segmenta, koji se može izraziti formulom = + doći do promjene brzine v u smjeru osi, a iz jednadžbe kontinuiteta je tada jasno da mora postojati i v/, odnosno brzina v mora biti različita od nule Dakle morali bismo rješavati spregnuti sustav triju parcijalni jednadžbi Međutim ako se podrobnije promotri dani sustav jednadžbi vidjet će se da su neki članovi puno manji, pa se mogu zanemariti, tako da se može doći do pojednostavljeni jednadžbi koje se daju riješiti analitički tom smislu ćemo govoriti o približnom rješenju polaznog sustava jednadžbi ovom strujanju je debljina uljnog filma puno manja od širine segmenta, što će imati za posljedicu da je brzina v puno manja od brzine v to se vrlo lako uvjeriti procjenom reda veličine pojedini članova u jednadžbama Npr za brzinu v znamo da je (u odabranom koordinatnom sustavu) na podlozi jednaka, a na segmentu ležaja jednaka nuli Dakle za promjenu brzine v u smjeru koordinate kažemo da je reda veličine Koordinata se mijenja od nula na podlozi do na segmentu ležaja, pa kažemo da je red veličine promjene v koordinate jednak Iz toga slijedi da je red veličine derivacije jednak, ili v O =, gdje O označuje red veličine Mogli smo uvesti i bezdimenzijske veličine v i u obliku v = v, pri čemu je O ( v ) = = pri čemu je O ( ) =, pa je v v =, pri čemu je v v O =, pa jasno da vrijedi O = Ako se uvedu i sljedeće bezdimenzijske veličine v = Vv, pri čemu je O ( v ) = = pri čemu je O ( ) =, gdje je V maksimalna vrijednost brzine v, onda je jasno da vrijedi v V v V v O =, te O = i O = Idemo sada s tim zaključcima procijeniti međusobni odnos članova u polaznim jednadžbama v V v JK + =
9 VJEŽBE MEANIKA FIDA II 6 / 9 S obzirom da su bezdimenzijske derivacije reda veličine jedinice, zaključujemo da će zbroj dva člana biti jednak nuli ako su koeficijenti istog reda veličine, tj vrijedi O V = O ili jednostavno V = -JKG v V v p v v ρ v + ρ v = + μ + Na prvi je pogled jasno da je zbog član viskozni sila označen žutom bojom puno manji od člana označenog crnom bojom Inercijski članovi na lijevoj strani jednadžbe su reda veličine ρ /, a viskozne sile su reda veličine μ /, pa je odnos redova veličine inercijski sila i viskozni sila inercijske sile ρ ρ = = zbog viskozne sile μ μ O ( Re) = Reynoldsov broj definiran na temelju vrlo malog razmaka, će biti vrlo mali, recimo reda veličine jedinice, te zaključujemo da se inercijske sile mogu zanemariti u odnosu na viskozne sile V v V v p V v V v -JKG ρ v + ρ v = + μ + ρ ρ = sporedbom reda veličine članova u - komponenti jednadžbe količine gibanja s redom veličine članova u - komponenti, zaključuje se da su inercijski članovi u ovoj jednadžbi / puta manji od već zanemareni inercijski članova u - komponenti jednadžbe količine gibanja Viskozni članovi su također puno manji, pa se i oni zanemaruju Nakon brisanja članova zanemarivog reda veličine od polaznog sustava ostaje v v JK + = -JKG μ v p = p -JKG = z sljedeće rubne uvjete: podloga: za = : v segment: za uz p p (što znači da tlak nije funkcija od, pa je funkcija samo od ) = za = i =, v = = : v =, v = = Nakon prve integracije -komponente jednadžbe količine gibanja, dobije se v dp = + C, a nakon druge μ d
9 VJEŽBE MEANIKA FIDA II 7 / 9 dp v = + C + C, μ d gdje C i C mogu biti funkcije od, budući da je v funkcija od i vrštavanjem rubni uvjeta za brzinu v slijedi sustav jednadžbi = C d = p C C μ d + + odakle je dp C = μ d dp Iz gornjeg izraza je jasno da je C funkcija od, jer su i d i funkcije od vrštavanjem izraza za konstante integracije u polazni izraz dobije se dp v = ( ) ( ) μ d Iz jednadžbe kontinuiteta za nestlačivo strujanje, jasno je da protok kroz svaki presjek = konst mora biti jednak, tj za protok Q vrijedi: dp Q = v d B = d B d B = konst ( ) ( ), a nakon integracije μ d dp dp Q = B B = B B μ d μ d Iz pretodnog izraza gradijent tlaka je dp 6μ μq 6μ μq = ili dp = d d B B ako se u gornjem izrazu iskoristi veza = +, tj d = d, slijedi 6μ 6μQ 6μ Q p = + C + = + C + B B gornjem izrazu su nepoznate konstante Q i C, a koje se dobiju uvrštavanjem prije definirani rubni uvjeta, tj za = = p = p za = = p = p, nakon čega slijedi sustav jednadžbi 6μ Q p = + C + B 6μ Q p = + C + B čijim oduzimanjem se dobije 6μ Q Q = +, odnosno B B
9 VJEŽBE MEANIKA FIDA II 8 / 9 B = =, Q + B B a iz prve jednadžbe je 6μ Q C = p +, pa je konačan izraz za pretlak u uljnom filmu B 6μ Q Q 6μ pm = p p = + = B B + Nakon sređivanja se dobije: 6μ ( )( ) pm = Smično naprezanje u uljnom filmu je v v d σ = μ + μ v = p ( ) + μ d I F F τ F p N Slika prikazuje kontrolni volumen koji obuvaća fluid u uljnom filmu i to za slučaj kada se podloga giba brzinom u lijevo Na površinama kroz koje struji ulje ucrtane su impulsne funkcije, na podlozi je ukupna sila jednaka zbroju sila F p (integral sile tlaka) i F τ (integral smični naprezanja Na segmentu ležaja je ukupna sila rastavljena na N i F F, tj integralu sile tlaka Iz slike je jasno da će sila N na pomični segment biti jednaka sili p po podlozi orizontalna sila na segment ležaja je približno jednaka integralu smični naprezanja po podlozi ( F F τ ) jer je razlika impulsni funkcija I I zanemarivo mala u odnosu na F τ, zbog Dakle vrijedi: B 6B μ Q Q N = pm Bd = pm d= d = = + ( ) nakon integracije 6 B μ ln Q N = + ( ) Q ( ) I
9 VJEŽBE MEANIKA FIDA II 9 / 9 Nakon sređivanja, uzimajući da je Q= + ( ) μ B ln + 6 N =, slijedi Smično naprezanje na podlozi je τ d = σ p w = + d μ = Sila otpora je B dp F = τwbd = + μ d d dp 6μ μq zimajući u obzir da je =, nakon integracije se dobije d B 4 μ 6μQ μb F = + d 4ln 6Q = Nakon sređivanja, uzimajući da je Q =, slijedi + μ B 4ln 6 F = + Za zadane i se maksimalna sila N dobije za (to se dobije iz uvjeta N / =, koji se svede na transcedentnu jednadžbu koju treba riješiti numerički), a pri tim uvjetima je μb μb Nma 6, a sila otpora F ma 75 Odnos sile otpora i sile koju ležaj prenosi (ekvivalentni faktor trenja) je u tim uvjetima Fma = 47 Nma Tipično će kod ležaja odnos biti reda veličine, pa će i ekvivalentni faktor trenja za slučaj idrodinamičkog podmazivanja biti puno manji od faktora suog trenja koji je reda veličine