M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupa P3, VI predavanje, 2017.

M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupa P3, VI predavanje, 2017. 1 Kretanje neslobodne materijalne tačke Telo može biti primorano da se kreće po površi ili liniji. Takav oblik kretanja naziva se neslobodno kretanje, a primer je kretanje tela po površi Zemlje. Suprotno neslobodnom kretanju je slobodno kretanje; slobodni pad i kosi hitac su primeri slobodnog kretanja. Na telo koje se kreće neslobodno po površi (podlozi) deluju: sila normalna na površ u datoj tački, koja se naziva normalna sila N; sila trenja F tr, koja je paralelna površi u datoj tački. Obe sile, N i F tr su primeri kontaktnih sila, a zajedno čine silu reakcije podloge R: R = F tr + N. (1) Primetimo da su napadne tačke sila N i F tr u geometrijskom centru dodirne površine tela sa podlogom. 1 2 Sila trenja Posmatrajmo teški komad nameštaja koji miruje u sobi i koji želimo da pomerimo sa jednog na drugi kraj sobe primenom horizontalne sile F (videti sliku 1). 2 Iskustveno je poznato da se orman opire guranju, sve dok intenzitet sile ne poraste do određene vrednosti, kada se orman pokrene. Takođe je iskustveno poznato da je orman lakše gurati pošto se pokrene nego ga pokrenuti. Drugim rečima, intenzitet primenjene sile ( F) koja održava telo u stanju kretanja je manji od maksimalne vrednosti primenjene sile za koju telo miruje. Slika 1: (a) Delovanje sile statičkog trenja. (b) Uveličani izgled međupovrši između tela i podloge. Na osnovu II Njutnovog zakona sledi da je zbir svih sila koje deluju na telo koje miruje (nalazi se u statičkoj ravnoteži) jednak nuli. Orman koji se gura ostaje u stanju mirovanja ako primenjena sila F nije velika. Ako 1 Ukoliko se telo konačnih dimenzija (na primer hodač) kreće po tankoj žici, normalna sila je usmerena normalno na žicu. 2 Da bi crtež bio jasniji, napadne tačka sile N je pomerena. 1

bi F bila jedina sila koja deluje na telo u horizontalnom pravcu orman bi se pokrenuo za proizvoljno malo F. Činjenica da orman ostaje u stanju mirovanja ( v(t) = 0 a = 0) znači da se sili F suprostavlja druga sila. To je sila kojom podloga deluje na orman. Ona je istog intenziteta i pravca, a suprotnog smera od F. S obzirom da F ima horizontalni pravac, vektor druge sile je takođe horizontalno postavljen i paralelan podlozi. Radi se, dakle, o sili trenja. S obzirom da se telo nalazi u statičkoj ravnoteži, na njega deluje sila statičkog trenja F trs. Na mikroskopskom nivou sila trenja i normalna sila su posledica intermolekularnih (električnih) sila između tela i podloge. Sa porastom sile F površine koje su u kontaktu ne mogu da drže telo u stanju mirovanja i telo počne da ubrzava. Neposredno pre nego što se telo pokrene, sila statičkog trenja je maksimalna. Kada se telo pokrene na njega deluje sila dinamičkog trenja. Eksperimentalno se konstatuje da intenzitet sile trenja zavisi od normalne sile, ali ne i od dodirne površine tela i podloge i brzine tela. Za posmatrani primer guranja tela koje miruje ( v = 0 a = 0) važi: F trs = F. (2) Ako se poveća intenzitet F, F trs poraste. Sila F trsmax je maksimalna vrednost intenziteta sile koja održava telo u stanju mirovanja. Empirijska vrednost F trsmax je: F trsmax = µ s N, (3) gde je µ s koeficijent statičkog trenja. U statičkom slučaju sila trenja je F trs F trsmax, (4) dakle: F trs µ s N. (5) Slika 2: Delovanje sile dinamičkog trenja. Kada se telo pokrene (videti sliku 2) sila intenzitet sile trenja je vrlo približno konstantan i jednak: F trd = µ d N, (6) gde je µ d koeficijent dinamičkog trenja. Uobičajeno je: µ s > µ d, (7) što se eksperimentalno verifikuje manjom silom koja održava telo u stanju kretanja od sile koju treba primeniti da se telo pokrene, što je ilustrovano dijagramom prikazanim na slici 3. 3 3 Primetimo da u eksperimentima ne postoji strmi prelaz iz statičke u dinamičku oblast. Takođe je prikazana zavisnost u dinamičkoj oblasti reckava, tj samo približno je konstantna. Čitaocu se ostavlja da razmisli zašto? 2

Slika 3: Zavisnost sile trenja od sile F. Primetimo da se razlika µ s i µ d smanjuje sa smanjenjem bilo µ s bilo µ d. Drugim rečima, za µ s 1 važi µ s µ d, što znači da za male vrednosti koeficijenta trenja razlika između µ s i µ s je zanemarljivo mala, tako da je vrlo približno: µ s = µ d = µ, (8) gde µ označava (jedinstveni) koeficijent trenja. U ovom slučaju: F trs µn, (9) F trd = µn. (10) Ako je koeficijent trenja µ = 0, podloga po kojoj se telo kreće je (idealno) glatka. Treba, međutim, primetiti da se glatke površi u međusobnom kontaktu hladno zavaruju, što je posledica interakcije između atoma u telima koja su u kontaktu. Slika 4: Eksperiment sa strmom ravni. Primetimo da je koeficijent trenja karakteristika međupovrši dva materijala koji su u kontaktu. Koeficijenti statičkog i dinamičkog trenja mogu se izmeriti pomoću strme ravni, kao što je prikazano na slici 4. Strma ravan je ravna površ nagnuta pod uglom θ u odnosu na ravnu horizontalnu površ na Zemlji (θ se naziva nagibni ugao ili ugao nagiba strme ravni). U ovom eksperimentu postavi se telo mase m sačinjeno od jednog materijala na strmu ravan sačinjenu od drugog materijala. Nagibni ugao strme ravni se povećava od vrednosti 0 do vrednosti 3

θ = θ krs, kada se telo pokrene. Promena ugla θ se vrši u malim koracima θ, tako da može precizno odrediti maksimalni ugao za koji telo miruje na strmoj ravni. Za vrednosti 0 < θ < θ krs telo miruje ( v = 0; a = 0). Jednačine kretanja su: ma x = 0 = i F ix = mgsinθ F trs F trs = mgsinθ; (11) ma y = 0 = i F iy = N mgsinθ N = mgcosθ. (12) Sila statičkog trenja je, prema tome: Za θ = θ krs : F trs = N tgθ. (13) F trs = F trsmax = µ s N. (14) Odavde sledi: µ s N = N tgθ krs µ s = tgθ krs. (15) Za θ θ krs telo ubrzava. Pošto se telo pokrene, ugao θ se smanji na vrednost θ krd za koju je brzina tela konstantna. S obzirom da v x = const, a x = 0, pa jednačina kretanja ima isti oblik kao u statičkom slučaju, što daje: F trd = N tgθ krd µ d = tgθ krd. (16) 3 Mehanički rad Posmatrajmo materijalnu tačku koja se kreće po trajektoriji, kao što je prikazano na slici 5. Izaberimo pogodno orijentaciju trajektorije tako da je elementarna promena lučne koordinate ds jednaka elementarnom pređenom putu. Na materijalnu tačku tokom kretanja deluje sila F (ne mora biti rezultantna sila). Slika 5: Elementarni rad sile F koja deluje na materijalnu tačku jednak je skalarnom proizvodu sile i elementarnog pomeraja. Elementarni rad sile F pri elementarnom (diferencijalno malom) pomeraju materijalne tačke za d r je: da = F d r. (17) 4

Koristeći d r = ds izraz za elementarni rad je: da = F d r cosθ = FdScosθ, (18) gde je θ ugao između vektora sile i vektora elementarnog pomeraja, kao što je prikazano na slici. Elementarni rad može biti pozitivan, negativan ili jednak nuli. Ukoliko je: π/2 < θ < +π/2 : da > 0, (19) dok je: π < θ < π/2 +π/2 < θ < +π : da < 0. (20) U prvom slučaju sila F ubrzava materijalnu tačku, dok u drugom slučaju sila usporava materijalnu tačku (sila deluje suprotno kretanju materijalne tačke). Ukoliko je F d r, tada je da = 0. S obzirom da je d r e τ, ovo znači da sila koja je usmerena ka centru krivine trajektorije ne vrši rad. Ovakva sila se naziva centripetalna sila. Treba primetiti da je centripetalna sila uvek realna (predstavlja meru interakcije tela i okoline), dok je centrifugalna sila (koju ćemo kasnije pomenuti) inercijalna (fiktivna) sila. Dakle: θ = ±π/2 : da = 0. (21) Izraz za elementarni rad može se napisati i u drukčijem obliku. Na primer, razložimo silu F na komponente: da = ( F τ + F n + F b ) ds e τ = F τ ds, (22) gde je ds diferencijal lučne koordinate. Odavde: da = F τ ds. (23) Rad sile F može se pogodno odrediti u Dekartovom koordinatnom sistemu. Podsetimo se da je: d r = dx i+dy j +dz k (24) i Lako se dobije: F = F x i+f y j +F z k. (25) da = F x dx+f y dy +F z dz. (26) Ako se materijalna tačka kreće po trajektoriji od tačke M 1 do tačke M 2, mehanički rad je: A = A M1,M2 = M 2 M 1 F d r = M 2 M 1 F τ ds = M 2 M 1 F x dx+f y d y +F z dz. (27) Primer 1. Izračunajmo mehanički rad koji elastična sila opruge izvrši pri njenom istezanju za x od nedeformisanog stanja (videti sliku 6). Elastična sila opruge je usmerena uvek ka položaju stabilne ravnoteže i jednaka je: F el = kx i. (28) 5

Slika 6: Opruga krutosti k se isteže of 0 do x, pri čemu opruga deluje na telo mase m elastičnom silom F el. Kretanje je po x osi, pa je elementarni mehanički rad: da = F x dx = kxdx. (29) Mehanički rad pri istezanju opruge za x je: x A = ( kx)dx = 1 2 kx2. (30) 0 Primer 2. Posmatrajmo materijalnu tačku koja se kreće po kružnici od tačke A do B pod dejstvom sile konstantnog intenziteta F = F koja ima pravac tangentne na trajektoriju, kao što je prikazano na slici 7. Slika 7: Primer računanja rada: na materijalnu tačku koja se kreće po trajektoriji oblika dela kružnice deluje sile konstantnog intenziteta u pravcu tangente na trajektoriju. Referentna tačka prirodnog sistema je pogodno postavljena da se poklapa sa tačkom A. Ugao θ između sile i elementarnog pomeraja jednak je nuli u svakoj tački putanje, pa sledi: B B A AB = Fdscosθ = Fds, (31) A A odnosno: A AB = F B A ds = F π R. (32) 2 6

Ovaj problem se može rešiti i u Dekartovim koordinatama. Lako se uoči da sila zaklapa ugao ϕ sa y osom. Dakle, F x = F sinϕ, (33) F y = F cosϕ. (34) Pored toga, x = Rcosϕ dx = Rsinϕdϕ, (35) Rad koji sila F izvrši od tačke A do tačke B je: A AB = B A F x dx+f y dy = π/2 ϕ=0 y = Rsinϕ dy = Rcosϕdϕ. (36) F sinϕrsinϕdϕ+ 4 Rad rezultantne eksterne sile Ako je F = F (ext) rez : Diferencijalno mala promena impulsa je d p = md v, pa: Ako je sila F = F (ext) rez, tada se može koristiti i izraz: π/2 ϕ=0 F cosϕrcosϕdϕ = FR π/2 0 dϕ = πrf 2. (37) da = F d r = d p d r d r = d p da = v d p. (38) dt dt A = A M1,M2 = Primetimo da izvršeni rad zavisi od sistema reference. Merna jedinica za rad u SI sistemu je džul: 5 Snaga da = m v d v. (39) p 2 p 1 v d p = m v 2 v 1 v d v. (40) [A] = J = N m = kgm2 s 2. (41) Snaga je brzina vršenja rada: Koristeći izraz za elementarni rad, A P = lim t 0 t = da dt. (42) da = v d p, (43) lako se dobije: P = v d p dt = v d p dt = v F. (44) Ovde je F sila koja vrši mehanički rad, a d p je diferencijalno mala promena količine kretanja tela pod dejstvom sile F. Prema tome, izraz za trenutnu snagu je: P = F v. (45) 7

Merna jedinica za snagu je vat: [P] = W = J s. (46) 6 Impuls sile Posmatrajmo silu koja ima pravac x ose i čija se algebarska vrednost intenziteta F ( F = F i) menja u funkciji vremena kao na slici (8). Slika 8: Uz definiciju impulsa sile. Definišimo najpre elementarni impuls: Za silu koja je usmerena duž x ose: d I = Fdt. (47) di i = F(t)dt i, (48) gde je di algebarska vrednost intenziteta elementarnog impulsa sile, koja je jednaka: di = F(t)dt. (49) Impuls sile u vremenskom intervalu između trenutaka t 1 i t 2 je: I = t 2 t 1 F(t)dt. (50) Ako je sila konstantan vektor ( F = const), impuls sile je: I = F t, (51) gde je t = t 2 t 1 vremenski interval u kome sila deluje na materijalnu tačku. Poznajući impuls sile može se odrediti srednja vrednost vektora sile: t 2 F sr = 1 I F(t)dt = t t. (52) t 1 8

Srednja vrednost sile je, dakle, jednaka količniku impulsa sile i vremenskog intervala u kome sila deluje. Merna jedinica za impuls sile je Ns: [I] = Ns. (53) Impuls sile je veličina kojom se opisuje dejstvo sile koja se menja u kratkom vremenskom intervalu. Često se eksperimentalno može odrediti I i ako se ne zna F(t). Ukoliko su I i vremenski interval u kome sila deluje t poznati može se odrediti F sr. 7 Teorema o promeni količine kretanja materijalne tačke Na osnovu II Njutnovog zakona: sledi: d p dt = F (ext) rez = d p = F (ext) rez dt = n F k, (54) k=1 n F k dt = k=1 n di k. (55) k=1 Ovaj izraz predstavlja teoremu o promeni količine kretanja materijalne tačke u diferencijalnom obliku (TKK(mtdif)). Slika 9: Uz teoremu o promeni količine kretanja materijalne tačke. TKK(mt-dif). Elementarna promena količine kretanja materijalne tačke jednaka je sumi elementarnih impulsa svih sila koje deluju na materijalnu tačku. Ako je brzina materijalne tačke u trenutku t 1 jednaka v 1 (količina kretanja p 1 = m v 1 ), a u trenutku t 2 jednaka v 2 (količina kretanja p 2 = m v 2 ): p 2 t 2 p 1 d p = t k=1 1 n F k dt, (56) 9

odnosno: p 2 p = p 2 p 1 = d p = p 1 n k=1 t 2 t 1 Fk dt = n I k. (57) k=1 Ovo je teorema o promeni količine kretanja u integralnom obliku. TKK(mt-int). Promena količine kretanja materijalne tačke tokom proizvoljnog vremenskog intervala jednaka je sumi svih impulsa sila koja deluju na materijalnu tačku tokom tog intervala. Na osnovu teoreme o promeni količine kretanja sledi da vektori p 1, p 2 i n k=1 I k formiraju trougao, kao što je prikazano na slici. Primena ove teoreme ilustrovana je slikom 9. 8 Teorema o promeni kinetičke energije materijalne tačke Posmatrajmo materijalnu tačku koja se kreće po trajektoriji, kao što je prikazano na slici (10). Na materijalnu tačku pri kretanju deluju sile F 1, F 2,..., F n, vcija je rezultanta: F (ext) rez F = n F k. (58) k=1 Slika 10: Uz teoremu o promeni kinetičke energije materijalne tačke. Elementarni rad rezultantne eksterne sile je: da = F d r. (59) S obzirom da je d r = vdt: Dakle, da = F vdt = d(m v) dt vdt. (60) da = F d r = m v d v, (61) što je ranije izvedeno. Diferencijal d( v 2 ) = d( v v) = ( v v) d v = 2 v d v. (62) 10

Uočimo da je v 2 = v 2 i, dakle, d( v 2 ) = d(v 2 ). S obzirom da je: sledi: Definišimo kinetičku energiju materijalne tačke: d(v 2 ) = (v 2 ) dv = 2vdv, (63) ( ) v 2 v d v = vdv = d. (64) 2 E k = mv2 2. (65) Na osnovu prethodnog sledi: ( ) ( ) v 2 mv 2 da = m v d v = md = d = de k. (66) 2 2 Ovo je teorema o promeni kinetičke energije materijalne tačke u diferencijalnom obliku (TKE(mt-dif)). TKE(mt-dif) Elementarna promena kinetičke energije materijalne tačke pri elementaranom pomeraju jednaka je algebarskoj sumi elementarnih radova sila koje deluju na materijalnu tačku tokom tog pomeraja. S obzirom da je p = p = mv, kinetička energija se može pisati u obliku: Merna jedinica za kinetičku energiju je ista kao jedinica za rad (džul): E k = p2 2m. (67) [E k ] = J = Nm. (68) Ako se materijalna tačka kreće od tačke M 1 u trenutku t 1 do tačke M 2 u trenutku t 2 : A = A M1,M 2 = M 2 M 1 da = E k2 E k1 de k = E k2 E k1 = E k. (69) Dakle, A = E k. (70) Ova jednakost predstavlja teoremu o promeni kinetičke energije materijalne tačke u integralnom obliku (TKE(mtint)). TKE(mt-int) Promena kinetičke energije materijalne tačke pri bilo kom konačnom pomeraju jednaka je radu rezultantne eksterne sile koja deluje na materijalnu tačku tokom tog pomeraja. Lako se može pokazati da promena kinetičke energije i izvršeni rad zavise od sistema reference, tj različiti su u različitim sistemima referencije, ali teorema o promeni kinetičke energije važi u svakom sistemu reference. 11

Slika 11: Opis kretanja materijalne tačke u odnosu na inercijalni i neinercijalni referentni sistem, S i S, respektivno. Neinercijalni referentni sistemi 9 Inercijalne sile Neinercijalni referentni sistemi su oni sistemi reference koji se kreću ubrzano u odnosu na inercijalne referentne sisteme. Njutnovi zakoni ne važe za kretanje tela u neinercijalnim referentnim sistemima. Na tela u ovim sistemima 4 deluju inercijalne (fiktivne) sile, koje zavise od kretanja sistema reference. Ranije smo pokazali da je apsolutno ubrzanje jednako zbiru relativnog ubrzanja a i prenosnog ubrzanja a p : Jednačina kretanja u inercijalnom sistemu reference S prikazanom na slici 11 je a = a + a p. (71) m a = m( a + a p ) = F (ext) rez. (72) Odavde se direktno dobije da je jednačina kretanja u neinercijalnom sistemu reference S (videti sliku 11): Poslednji član sa desne strane ove jednačine je inercijalna sila: m a = F (ext) rez m a p. (73) F in = m a p, (74) tako da je jednačina kretanja u neinercijalnom sistemu reference: m a = F (ext) rez + F in,. (75) Primetimo da inercijalna sila F in ne predstavlja interakciju posmatranog tela sa drugim telima. Takođe, ako se pokretni sistem reference S kreće translatorno u odnosu na (uslovno) nepokretni inercijalni sistem reference S, tada je prenosno ubrzanje jednako ubrzanju koordinatnog početka referentnog sistema S : a p = a O. (76) 12

Slika 12: Primer kretanja tela koje miruje u liftu koji ubrzava ubrzanjem A: (a) sile u inercijalnom sistemu reference S; (b) sile u neinercijalnom sistemu reference S. Navedimo nekoliko primera inercijalnih sila. Primer 1. Posmatrajmo telo u liftu (videti sliku 12). Pretpostavimo da telo miruje u odnosu na lift, dok se lift kreće naviše ubrzanjem A. Napišimo jednačine kretanja tela u odnosu na inercijalni sistem (slika 12(a)), na primer sistem reference vezan za Zemlju: m a = ma = N +m g, (77) gde je uzeto da je ubrzanje lifta jednako ubrzanju objekta ( a = A). U skalarnoj formi ova jednačina je: ma = N mg. (78) Jednačina kretanja u sistemu reference vezanom za lift u kome telo miruje (ubrzanje tela u odnosu na lift je a = 0) je: m a = 0 = N +m g + F in, (79) gde F in označava inercijalnu silu. U skalarnom obliku: 0 = N mg F in. (80) Odavde sledi da je intenzitet inercijalne sile: F in = F in = N mg. (81) Na osnovu jednačine kretanja u odnosu na sistem S smo našli da je N mg = ma. Sledi: F in = ma. (82) 4 Tela su vezana za ove sisteme - silom Zemljine teže, silom trenja, silom zatezanja konca i sl. 13

Jednačina kretanja u neinercijalnom sistemu se može pisati i u obliku: ma = N mg eff, (83) gde je g eff efektivno ubrzanje Zemljine teže: g eff = g +a. (84) Primer 2. Razmotrimo telo koje slobodno pada prikazano na slici 13. Slika 13: Analiza slobodnog padanja: (a) u inercijalnom referentnom sistemu S; (b) u neinercijalnom referentnom sistemu S koji je vezan za telo koje pada. Jednačina kretanja tela u inercijalnom sistemu reference je: m a = m g. (85) S druge strane, jednačina kretanja tela u neinercijalnom sistemu reference koji je vezan za telo je: m a = 0 = m g + F in, (86) gde je uzeto u obzir da je ubrzanje tela u odnosu na ovaj sistem jednako nuli ( a = 0). Odavde sledi: F in = mg. (87) S obzirom da se u neinercijalnom sistemu reference vezanom za telo sili Zemljine teže suprotstavlja inercijalna sila istog intenziteta, a suprotnog smera, može se zaključiti da je slobodno padanje bestežinsko stanje za telo koje pada. Ova činjenica se koristi u jednoj od tehnika za simulaciju bestežinskog stanja na Zemlji, tako što se avion sa putnicima obruši u slobodnom padu sa velike visine ka Zemlji. Primer 3. Posmatrajmo kuglicu koja je okačena o neistegljiv konac, koji je drugim krajem zakačen za krov vagona. Pretpostavimo da se vagon kreće u horizontalnom pravcu ubrzanjem A, kao što je prikazano na slici 14. Analizarajmo kretanje kuglice u vagonu u inercijalnom sistemu reference vezanom za površinu Zemlje. Na kuglicu deluju sila Zemljine teže m g i sila zatezanja konca T, tako da je jednačina kretanja: ma n = F i. (88) 14 i=1

Slika 14: Analiza kretanja kuglice mase m zakačene za konac koji je drugim krajem zakačen za tavanicu vagona u: (a) inercijalnom sistemu reference S i (b) neinercijalnom sistemu reference S. Jednačine za projekcije na x i z ose koordinatnom sistema S su: ma = T sinθ, (89) Odavde sledi da je ugao otklona konca od ravnotežnog položaja: 0 = T cosθ mg. (90) θ = arctg A g. (91) U inercijalnom sistemu reference kuglica ima ubrzanje A usled horizontalne komponente sile zatezanja konca. S druge strane kuglica miruje u odnosu na neinercijalni sistem reference vezan za vagon, tako da je jednačina kretanja: m a = 0 = n i=1 F i = T + F in +m g. (92) Ovde su F i i = 1,2,...,n sile koja deluju na telo u neinercijalnom sistemu referene: sila zatezanja konca T, sila Zemljine teže m g i inercijalna sila F in. Vektorska jednačina kretanja se svodi na dve skalarne jednačine: i Prema ovim jednačinama intenzitet inercijalne sile je: 0 = T sinθ F in (93) 0 = T cosθ mg. (94) F in = mgtgθ. (95) U neinercijalnom sistemu reference telo se nalazi u statičkoj ravnoteži i konac se otklanja na levo u odnosu na vertikalu usled inercijalne sile F in = m A. Lako se dobije: θ = arctg A g. (96) 15

Primetimo da je ovaj rezultat identičan rezultatu dobijenom razmatranjem u incercijalnom sistemu reference. Takođe se lako može utvrditi da je oblik izraza za silu zatezanja konca, T = m g 2 +A 2, (97) isti u oba sistema reference. Pored otklona kuglice na levo, ukoliko posmatrač u neinercijalnom sistemu reference vezanom za vagon ispušta predmete utvrdiće da se oni otklanjaju na levo u odnosu na vertikalu. Pored toga, posmatrač u neinercijalnom sistemu referencije nalazi da otklon konca ne zavisi od mase, odnosno da na telo deluje sila koja je slična gravitacionoj sili, ali deluje u horizontalnom pravcu tako da horizontalna komponenta ubrzanja objekata u kolima ima intenzitet A. 10 Centrifugalna sila Razmotrimo kretanje materijalne tačke mase m koja se kreće po kružnici poluprečnika R konstantnom ugaonom brzinom ω = const (videti sliku 15). Pol inercijalnog sistema reference (O) postavljen je na osu rotacije, a neinercijalni sistem reference S, čiji je pol O, vezan je za materijalnu tačku, odnosno materijalna tačka se ne kreće u odnosu na rotirajući sistem referencije S. Slika 15: Centrifugalna sila. S obzirom da je ω = const, rezultujuća sila koja deluje na materijalnu tačku u inercijalnom sistemu reference S je orijentisana duž normale prirodnog koordinatnog sistema, odnosno usmerena je ka centru kružne putanje u svakoj tački trajektorije i naziva se centripetalna sila F cp. Jednačina kretanja u sistemu reference S je: m a n = m ω ( ω r) = F cp. (98) Koristeći r = d+ R i pravilo za dvostruki vektorski proizvod a ( b c) = b( c a) c( b a) lako se nalazi: a n = ω ( ω r) = ω ( ω ( d+ R)) = ω 2 R. (99) Prema tome centripetalna sila je: F cp = mω 2 R. (100) Jednačina kretanja materijalne tačke u sistemu reference S je: m a = 0 = F cp + F cf, (101) 16

gde je F cf inercijalna sila koja deluje na materijalnu tačku u ovom sistemu reference. Odavde direktno sledi: F cf = F cp. (102) Inercijalna sila F cf naziva se centrifugalna sila i na osnovu prethodno izvedenog izraza za F cp jednaka je: F cf = mω 2 R. (103) Centrifugalna sila jednaka je po intenzitetu, a suprotna po smeru centripetalnoj sili. Primetimo da je centrifugalna sila inercijalna sila, dok je centripetalna sila realna sila. Naposletku, s obzirom da je centrifugalna sila normalna na vektor brzine materijalne tačke, rad te sile jednak je nuli: da cf = F cf d r = F cf d vdt = 0. (104) 17