Nizovi. Osovi pojmovi kod izov.. Defiicij i osovi pojmovi Defiicij... Svko preslikvje f : N R, skup prirodih brojev u skup relih brojev, zivmo re izom. Broj koji se ovim preslikvjem dodeljuje prirodom broju ozčvmo s f ( ) i zivmo g -ti čl iz. Čl je opšti čl iz i tkv iz ozčv se s. Niz je potpuo odreďe svojim opštim člom. N primer, ko je opšti čl iz dt s, človi iz su,,,..., Ako žeo d odredimo stoti čl ovog iz, jedostvim 4 00 izrčuvjem z ideks iz = 00 dobijmo 00. 0 Defiicij... Okoli tčke R je proizvolj otvore itervl koji sdrži tčku. Otvorei itervl (, ) dužie s cetrom u tčki R, ziv se simetrič - okoli tčke ili smo - okoli tčke. Defiicij... Z iz kžemo d je ogriče odozgo ko vži Niz je ogriče odozdo ko vži: Niz ( M R)( N) M. ( m R)( N) m. je ogriče ko je ogriče i s gorje i s doje stre. Njmj gorj gric iz je supremum i obeležv se s sup. Njveć doj gric iz je ifimum i obeležv se s if... Neperov broj (broj e) Jed od jvžijih gričih vredosti je.
) Niz, tj. iz,,,...,,,... je mootoo rstući. b) Niz je ogriče. Niz je mooto i ogriče, p je i koverget i im griču vredost koj ije već od ( e,7888 84). Grič vredost ovog iz obeležv se s e, i predstvlj osovu prirodih logritm. e, Primer... Nći e e.. Zdci z vežbu. Nći sledeće griče vredosti ) b) 5 4 c) d) e) f).. Izrčuti ese sledećih izov ( ) 4 ( ) 4 b) ) l l c) 6 4 d) 6 e)... ( ).
IV GLAVA Rele fukcije jede rele promeljive. Grič vredost fukcije.. Pojm griče vredosti Nek je dt fukcij y f. Ako promeljiv teži ekoj vredosti, promeljiv (fukcij) y može i sm težiti ekoj vredosti, kočoj ili beskočoj. Uzmimo u rzmtrje fukciju y. Nek 0 preko iz mogućih vredosti većih od 0, tj. preko iz,,,,, Odgovrjuće vredosti fukcij u ovom slučju obrzuju iz koji teži broju - kd., 0,,, f f f f Nek sd promeljiv 0 preko iz vredosti,,,,, 4 6 Td odgovrjuće vredosti fukcij obrzuju iz koji teži broju - kd. 4,,,, f f f f Ako promeljiv 0 preko bilo kog drugog iz, vredost dte fukcije uvek teži broju -, p je ( ). 0 Defiicij.. (lev grič vredost fukcije) Broj l je lev grič vredost fukcije y f defiis u tčkm, r, u tčki, ko z svko 0 postoji 0 tkv d z, vži
f ( ) l, i pišemo f ( ) l. Defiicij... (des grič vredost fukcije) Broj d je lev grič vredost fukcije y f defiis u tčkm, r, u tčki, ko z svko 0 postoji 0 tkv d z, vži f ( ) d, i pišemo f ( ) d. Defiicij... (grič vredost fukcije) Broj g je grič vredost fukcije y f defiise u okolii tčke, u tčki, ko z svko 0 postoji 0 tkv d z, vži Defiicij..4. Z fukciju f f ( ) g, i pišemo f ( ) g. mlom broju 0 odgovr broj N 0 tkv d je kže se d teži grici g kd ko svkom, m kko f ( ) g, z svko N( ). Prethodu defiiciju možemo proširiti i slučj gričih vredosti. Defiicij..5. Fukcij f teži u beskočost kd, ko svkom upred dtom broju N 0 odgovr broj 0, tkv d je: f ( ) N z svko. Simbolički pišemo f ( ) ili f kd. Defiicij..6. Fukcij f teži k kd, ko svkom upred dtom broju N 0 odgovr broj 0, tkv d je: Simbolički pišemo f ( ) ili f () f kd. N z svko.
Defiicij..7. Fukcij f teži k kd, ko svkom upred dtom broju N 0 odgovr broj 0, tkv d je: Simbolički pišemo f ( ) ili f () f kd. N z svko... Opercije s gričim vredostim fukcij Nrede teoreme, koje ećemo dokzivti, dju eke od osovih opercij s gričim vredostim fukcij. Teorem... Nek je f ( ) i g ( ) b gde su i b koči brojevi i c proizvolj p p kostt. Td vži:. c f ( ) c, p. ( f ( ) g( )) b, p. ( f ( ) g( )) b, 4. p f ( ), g ( ) 0, b 0. p g( ) b Teorem... Nek je f ( ) i g ( ) gde je koč broj. Td vži: p p. c g( ), c 0; c g( ), c 0, p p. ( f ( ) g( )), p. ( f ( ) g( )), 0; ( f ( ) g( )), 0, 4. p p f( ) 0, 0. p g ( ) Npome: Alogo vži kd je g ( ). p Teorem... Ako fukcije f ( )i g( ) imju u tčki jedke griče vredosti, f ( ) g( ) A
i ko z sve rgumete u ekoj okolii tčke vži f ( ) ( ) g( ), td fukcij f( ) im u tčki griču vredost jedku A, ( ) A. Npome: U zdcim se često koriste sledeće griče vredosti:. 0, 0, 0, 0. q 0, q, q, q e postoji, q. 5. e 4. e 0 l l 6.. 0 0 4. Zdci z vežbu Odrediti sledeće griče vredosti (-5):. ) b) 5 4 c) ( ) d) 5 ( ) e) 0 f) ( ).. ) 5 4 4 b) 5 c) d) 5 ( ). 9. ) b) c) 0 5 d) 4 6 7 e) 65 5 8 5 f) 5 6. 46 4. ) ( 0 ) b) ( )
c) ( ) d). 5. ) b) 5 c). d) 0 e) 4
V GLAVA Diferecirje fukcij jede rele promeljive. Izvod i diferecijl fukcije.. Defiicij izvod Nek je y f eprekid fukcij defiis u itervlu ( b., ) Nek proizvolj vredost rgumet dobije prirštj (prome rgumet), td fukcij dobije prirštj y. Količik y f f predstvlj sredji prirštj fukcije f. Defiicij... Izvod fukcije y f po rgumetu je grič vredost količik prirštj fukcije i prirštj jeog rgumet kd prirštj rgumet teži uli, tj. gde je Z fukciju y ' ozk z izvod fukcije. y f f y ' 0 0 y f kže se d je diferecijbil u tčki ko u toj tčki im izvod, diferecijbil u čitvom itervlu ( b, ) ko im izvod u svkoj tčki ovog itervl. Stv... Ako je fukcij eprekid. Dokz. Fukcij vredosti: f f y f y f diferecijbil u ekoj tčki, od je o u toj tčki i im koč izvod u tčki, p je prem defiiciji griče f '( ) ( ). 0
Odoso, '( ) ( ). f f f Pošto ( ) 0 kd 0, od je f f f ' 0, 0 0 0 ili 0 f f, tj. fukcij je eprekid u tčki. Tblic izvod ekih fukcij ' '. cost 0.. ' l, 0, 4. e ' e 5. ' log, l 0,, 6. gde R l ' 7. (si )' cos 8. (cos )' si 9. ( tg)' cos 0. ( ctg)' si. (rcsi )'. (rccos )'. (rc tg)' 4. (rc ctg)'.. Prvil z izrčuvje izvod fukcije [] Izvod zbir ili rzlike fukcij Stv... Izvod zbir kočog broj diferecijbilih fukcij jedk je lgebrskom zbiru pojediih sbirk. Nek je dt fukcij y c f( ) c f( )... cf( ), gde su c i proizvolje kostte, ' ' ' od je y ' c f ( ) c f ( )... c f ( ), ili i ' ' i i ( ) i i ( ). c f c f
Primer... Prvi izvod fukcije y je y'. [] Izvod proizvod dve fukcije Stv... Nek je y f g proizvod dve diferecijbile fukcije, td je ' ' ' y ' f g f g f g. Primer... Prvi izvod fukcije y je 5 y '. [] Izvod količik dve fukcije Stv... Izvod količik dve diferecijbile fukcije ' ' ' f f g f g y ' g g y f gde je 0 g g jedk je: Primer... Prvi izvod fukcije y ' ( )'( ) ( )( )' ( ) y '. ( ) ( ) ( ) [4] Izvod iverze fukcije Teorem... Ako fukcij f u itervlu,. Im izvod u tčki, b,. Strogo je mooto u itervlu b,,. Izvod f ' je rzličit od ule. f Td je iverz fukcij b zdovoljv uslove: im izvod u tčki y, koj odgovr tčki, i jedk je ( f '. f ' [5] Izvod složee fukcije Z fukciju y f u, gde je u g, kže se d je slože fukcij od preko g. Stv..4. Ako je y f u, gde je u g, i obe fukcije je izvod dte fukcije: f u i g diferecijbile, od
Primer..4. Izvod fukcije y l 5 y'. 5 5 y y u f ' u g '. ' ' ' u.. Izvodi višeg red Videli smo d je izvod fukcije fukcij. Izvod tkoďe može imti svoj izvod. Nek je y f diferecijbil fukcij i ek je je izvod Ako je grič vredost y f f y ' f '( ). 0 0 ' f ' f 0 koč, od se ov grič vredost zove izvod drugog red ili drugi izvod fukcije i obeležv se s y'' ili f ''. Isto tko i drugi izvod jeste fukcij i može imti svoj izvod. N slič či možemo defiisti i izvode -tog red ili -ti izvod.. Ispitivje fukcij.. Mootoost i lokli ekstremumi fukcij U delu.6 (glv I) defiisli smo pojm mootoe fukcije i glsili d se z eke klse fukcij može, primeom izvod, jedostvo ispitti d li je ek fukcij mooto ekom delu svoje oblsti defiisosti. Nrede teoreme prihvtićemo bez dokzivj. Teorem... Diferecijbil fukcij f je eopdjuć u itervlu ( b, ) ko i smo ko z svko iz ( bvži, ) ejedkost f( ) 0, erstuć je smo ko je f( ) 0 z svko iz ( b, ). Teorem... Ako z svko iz ( b, ) vži ejedkost f( ) 0, diferecijbil fukcij f je rstuć u itervlu b,. Ako je, meďutim,
f( ) 0, fukcij je opdjuć u itervlu b,. Nek je fukcij f defiis otvoreom itervlu b,. Td fukcij u tčki c, b im: ) Lokli mksimum f c, ko postoji δ > 0 tkvo d Odoso, strogi lokli mksimum c f f c f c, ko postoji δ > 0 tkvo d 0 c f f c ) Lokli miimum f c, ko postoji δ > 0 tkvo d Odoso, strogi lokli mksimum. c f c f c, ko postoji δ > 0 tkvo d c f f c 0. Nije teško zključiti d ko je fukcij f ( ) ( b) rstuć, d je td f( ) miimum, f() b mksimum fukcije f segmetu [, b]. I obruto, ko je f opdjuć fukcij, td je f( ) mksimum i f() b miimum fukcije f( ) z [, b]. Z jmju i jveću vredost eke fukcije, tj. z je miimum i je mksimum, često se kže d su to jee ekstreme vredosti ili d su to jei ekstremumi. Teorem... Nek je fukcij f( ) dvput diferecijbil u tčki i ek je f( ) 0 i f( ) 0. Td fukcij f u tčki dostiže svoj mksimum ko je f( ) 0, miimum ko je f( ) 0. Teorem..4. Ako fukcij diferecijbil u tčki c, td je f im lokli ekstremum u tčki c, b f ' c 0. i ko je Dokz: Nek je f c lokli mksimum. Td je f c h f c 0, h f c f c h p z h > 0 vži 0 dok z h < 0 vži
f c h f c h 0. Dlje sledi, d kd h 0 des grič vredost je vredost f ' c0 0. f ' c0 0, dok je lev grič Kko po pretpostvci postoji f ' c, od mor d vži, to je moguće smo ko je f ' c 0. f ' c f ' c 0 f ' c 0 N slič či se dokzuje slučj kd je f c lokli miimum. N osovu prethodog, zključujemo d je f ' c 0 potreb uslov d diferecijbil fukcij f u tčki c im ekstremum. Tj uslov ije dovolj što se može videti iz primer fukcije f. Z fukciju vži d je f ' 0 lokli ekstremum jer je 0 z 0 i 0 z 0., z 0, li ov tčk e predstvlj Tčk c u kojoj je f ' c 0 zove se stcior tčk. D bi stcior tčk bil lokli ekstremum potrebo je d f ' u toj tčki mej zk. Pored stciorih tčk fukcij može imti ekstremume i u tčkm u kojim prvi izvod ije defiis. Primer... Fukcij im prvi izvod y y' 4 i 0, p y ' 0,. Odkle se dobijju stciore tčke = i =. Kko izvod fukcije mej zk prilikom prolsk kroz obe tčke, to oe predstvljju lokle ektremume i to z = lokli mksimum y 7 /, z = lokli miimum y... Asimptote Prv p je simptot krive y f ko i smo ko udljeost d tčke, prve p teži uli kd se M udljv u beskočost (, il i ) po krivoj. Postoje vertikle, horizotle i kose simptote. M f krive od Vertikl simptot može postojti smo u kočim gričim tčkm oblsti defiisosti fukcije (tčkm u kojim fukcij ije defiis). Broj vertiklih simptot fukcije je eogriče.
Defiicij... Prv ) vertikl simptot fukcije f s leve stre ko je je f ( ) f ( ), b) vertikl simptot fukcije f s dese stre ko je f ( ) f ( ). Fukcij može imti jviše dve horizotle simptote. Defiicij... Prv y=b je ) horizotl simptot udeso fukcije b) horizotl simptot ulevo fukcije f ko je f ( ) b, f ko je f ( ) b. Fukcij f može imti kosu simptotu kd smo ko em horizotlu simptotu kd. Alogo vži kd i z. Prem tome, ukup broj horizotlih i kosih simptot fukcije je jviše dve. Defiicij... Prv y k je ) des kos simptot fukcije f( ) ko je b) lev kos simptot fukcije f( ) ko je f( ) k ( f ( ) k), f( ) k ( f ( ) k). Obe griče vredosti morju postojti i biti koče. Može se dogoditi d prv grič vredost bude koč, drug beskoč ili d e postoji, i u tom slučju e postoji kos simptot..4. Grfičko predstvljje fukcij U prethodim odeljcim izučvli smo lokle osobie fukcij ko i čie pomoću kojih se te osobie mogu kosttovti, u ovom odeljku ćemo pokzti kko je osovu tih osobi
moguće crtti odgovrjuće grfike posmtrih fukcij. Nmer d se crt grfik eke fukcije ukzuje potrebu d se z dtu fukciju utvrde sve ili, ko to ije moguće, od, što više jeih loklih osobi. Crtju, odoso skicirju grfik fukcije prethodi ispitivje fukcije. Opšti postupk ispitivj fukcij sdrži sledeće elemete: [] Nlžeje oblsti defiisosti fukcije [] Ispitti d li je fukcij pr, epr ili i pr i epr [] Ispitivje periodičosti fukcije [4] Nlžeje tčk u kojim grfik fukcije seče koordite ose, odoso lžeje ul fukcije [5] Ispitivje pošj fukcije krjevim oblsti defiisosti, ko i lžeje simptot [6] OdreĎivje itervl mootoosti i loklih ekstremum [7] OdreĎivje itervl koveksosti i kokvosti i prevojih tčk Primer.4.. Ispitivje fukcije y 4 i crtje jeog grfik. Rešeje: ) Fukcij je defiis z svko iz R, osim z =-4 ( R, 4). ) Fukcij ije i pr i epr ( ) ( ) f ( ) f ( ). 4 4 ) Fukcij im dve ule i to A(0,0) i A(,0). 0, 0. 4) Vertikl simptot 4, Lev grič vredost, 4 4 Des grič vredost. 4 4 Kos simptot y k, gde je f ( ) k 4 ( f ( ) k). 4
5) Tčke ekstremum i mootoost. Stciore tčke dobijmo rešvjem jedčie y' 0 ' ( )( 4) ( ) 8 y ', 4 ( 4) ( 4) 8 0, 6, Itervle i vrstu mootoosti odreďujemo pomoću zk prvog izvod. Dovoljo je odrediti zk prvog izvod u bilo kojoj tčki svkog itervl ko što je prikzo u redoj tbeli. ( 4) 0, 4-6 4 ( 4, (, 6) 6, ) - (, ) y >0 (+) 0 <0 (-) 0 >0 (+) Fukcij Fukcij E y mootoo Fukcij E mootoo mksimum mootoo opd miimum rste rste Kko je y' 0, u itervlu (, 6) (, ), fukcij mootoo rste, dok je y' 0, z iz 4 ( 4, 6, ) to je: ) tčk loklog miimum f( ), E (, ) b) 6 tčk loklog mksimum f( 6) 9, E( 6, 9). 6) Itervli koveksosti i kokvosti i prevoje tčke fukcije 8 8 y '' ( 4) ( 4) ' Drugi izvod je rzličit od ule z svko iz oblsti defiisosti fukcije i ije defiis u tčki =-4. Itervle koveksosti i kokvosti odreďujemo pomoću zk drugog izvod. Dovoljo je odrediti zk drugog izvod u bilo kojoj tčki itervl ko što je prikzo u redoj tbeli. (, 4) ( 4, ) y " < 0 > 0 y Fukcij je Fukcij je kokv koveks Grfik fukcije prikz je slici V.
Slik V.. Zdci z vežbu Odrediti prvi izvod fukcij (-4). ) y 4 5 b) y 9 c) y 4 4 d) 5 y b b e) y.. ) y 4 7 b) y d) y 4. 5 c) y l 6. ) y b) y e e c) y l d) l( - ). y
4 4. ) y ( ) b) y. 5. Nći griče vredosti fukcij ) l l e e b) e. Ispitti fukciju i crtti je grfik (6-)