Opća mehaka Atoa Jaguljjak Lazaevć Zavod za udastvo geotehku Rudasko-geološko-aft fakultet Sveučlšte u Zagebu lstopad 203.
Pavla ge OPĆA MEHANIKA III. semesta satca: 60+45 ECTS: 85 Uvjet za dobvaje potpsa : - uedo pohañaje pedavaja vježb (maksmalo čet zostaka s pedavaja dva zostaka s vježb) - pedaja svh pogama a vjeme - a svakom kolokvju ostvaeo ajmaje 35 boda. Studet koj maju poztvu ocjeu z oba kolokvja a vjeme pedae pogame uedo pohañaje pedavaja vježb osloboñe su psmeog djela spta. Usme mogu polagat a jedom od zmskh spth okova. Potps z Opće mehake je uvjet za slušaje Otpoost matejala 2
Uvod: sadžaj astave Ukatko o sadžaju astave uvod: temelj pcp defcje osovh pojmova u mehac statka matejale točke: ezultata avoteža kokuetog sustava sla statka kutog tjela: ezultata avoteža postoog sustava sla uvjet avoteže uz djelovaje teja avoteža elemetah štaph sustava za djelovaja u av: pojam defcja uutajh sla ešetka posta geda geda s pepustom kozola av osač sastavlje z vše štapova: Gebeov osač kematka: matejale točke kutog tjela damka: matejale točke kutog tjela. 3
Uvod: temelj pojmov MEHANIKA - zaost o zakotostma uzocma gbaja l - zaost o općm zakoma avoteže gbaja tjela zložeh djelovaju sla osov pojmov: posto vjeme masa sla } posto vjeme meñusobo ezavs masa sla: povezaa s postoom vemeom masom peko Newtoovh aksoma 4
Uvod: podjela mehake. Podjela mehake pema zadać koju teba ješt: á ä a) statka kematka damka b) kematka damka á ä á statka: opsuje poašaje epomčog matejalog tjela a koje djeluju sle eovso o vemeu kematka: opsuje geometju gbaja e tažeć uzoke toga gbaja damka: taž zakoe gbaja tjela koje je pod djelovajem sla ovsh o vemeu l ä statka ketka 5
Uvod: poaču žejeskh kostukcja aaltčko ješeje 6
Ø umečk model umečko modelaje postupc poačua uvode dodate apoksmacje: dsketzacja podučja poačua (gubmo kotuum) sustav jedadžb s koačm bojem epozaca umečko ješavaje sustava koača atmetka ačuala Ø ekspemetale metode jedo ekspemetalo dobvamo vjedost ekh paametaa poačua zbog velkog boja petpostavk koje uvodmo u aaltčk/umečk model često je potebo ekspemetalm metodama potvdt ačuske vjedost pomaka/defomacja/apezaja Ø Uvod: poaču žejeskh kostukcja zvedea kostukcja -stva pomac/defomacje/apezaja 7
Idealzacja ealog čvstog tjela á ä apsoluto kut (edefomabl) defomabl kotuum: kotuum: statka kemtatka otpoost matejala damka ealo tjelo: omeñe posto spuje dsketo aspoeñeom matejom kotuum: matematčka dealzacja seda u kojoj su fzkala svojstva epekuto aspoeñea beskaja djeljvost apsoluto kuto tjelo: e mjeja oblk volume pod djelovajem sla Uvod: temelj pojmov matejala točka: za poaču su potebe dmezje tjela 8
Uvod: temelj pojmov 2. Podjela mehake pema matejalm geometjskm svojstvma pedmeta aalze: mehaka matejale točke mehaka apsoluto kutog (edefomablog) tjela mehaka defomablh tjela mehaka fluda (tekuća plova) mehaku apsoluto kutog defomablog tjela azvamo još mehakom čvsth tjela 9
Uvod: temelj pojmov Osova svojstva tjela á ä oblk obujam položaj pomjea oblka /l obujma azva se defomacjom pomjea položaja azva se gbajem za defomacju /l gbaje poteba je sla sla je fzkala velča kojom se opsuje uzajamo djelovaje tjela 0
Uvod: temelj pojmov Idealzacja djelovaja a tjelo/točku: djelovaje (kocetao) a malu povšu: kocetaa sla vekto [N] djelovaje dstbuao po: duž [N/m] ä povš [N/m 2 ] z volumeu [N/m 3 ] â vektoske fukcje podjela sla pema dometu: - sle katkog dometa: djelovaje dodom aspodjeljea su po većoj l majoj povš - sle dalekog dometa: gavtacjska - aspodjeljea po obujmu tjela u poačuu se kost ezultata djelovaja
Pmje djelovaja kocetaog a malu povšu: vlastta teža m 4 (t) G mg 40000 40 000 (N) 40 kn m 40 (kg) G m g 40 0 400 (N)
Pmje djelovaja dstbuaog po duž: vlastta teža jedog (dužog) meta gede pavokutog popečog pesjeka dmezja b/h25/40 (cm) - matejal AB ρ AB 2500 (kg/m 3 ) q Aρ AB g 02504025000 2500 (N/m) 25 (kn/m) - matejal dvo ρ dvo 600 (kg/m 3 ) q Aρ dvo g 0250406000 600 (N/m) 06 (kn/m) - matejal čelk ρ Č 7850 (kg/m 3 ) z tablca za IPN 400: A 80 cm 2 q Aρ Č g 8078500 9263 (N/m) 0926 (kn/m)
Pmje djelovaja dstbuaog po povš: vlastta teža jedog kvadatog meta AB ploče popečog pesjeka: AB 2 (cm) cemet amaz (cm) keamčke pločce 2 (cm) vlastta teža AB ploče 022500 300 (kn/m 2 ) vlastta teža cem. am. 00200 02 (kn/m 2 ) vlastta teža pločca 0022000 040 (kn/m 2 ) ukupo stalo opteećeje g 36 (kn/m 2 ) Pmje djelovaja dstbuaog po volumeu: vlastta teža jedče kocke : - za AB 250 0 250 (kn/m 3) - za dvo 060 0 60 (kn/m 3 )
Uvod: temelj pojmov Temelj zako klasče mehake Newtoov aksom aksom polaza tvdja koje se e dokazuje temelj se a skustvu phvaća se sttom bez dokazvaja Isaac Newto: Phlosophae atuals pcpa mathematca 687. 5
Uvod: temelj pojmov I. aksom zako tomost: svako tjelo ostaje u staju movaja l jedolkog gbaja po pavcu sve dok pod djelovajem vajskh sla e pomje svoje staje gbaja (Gallejevo ačelo ecje). II. aksom zako sle: pomjea kolče gbaja popocoala je sl koja djeluje odvja se u smjeu pavca u kojem djeluje sla. III. aksom zako akcje eakcje: svakom djelovaju postoj uvjek supoto jedolko potudjelovaje odoso dva tjela djeluju jedo a dugo stm slama supoth smjeova. 6
Uvod: temelj pojmov Poblže o II. aksomu pomjea kolče gbaja popocoala je sl koja djeluje odvja se u smjeu pavca u kojem djeluje sla vektosk: d ( mv ) dt za sustave u kojma je masa tjela uključeog u azmataje kostata: dv m dt ma toma masa mjea tomost tjela kojom se oo ope pomje gbaja p djelovaju sle m toma a 7
Newtoov zako opće gavtacje Uvod: temelj pojmov odeñuje pvlaču slu zmeñu svh tjela koja maju masu zčaj zakoa: svaka matejala čestca pvlač dugu matejalu čestcu slom koja je popocoala poduktu jhovh masa a obuto popocoala kvadatu meñusobe udaljeost. Sla djeluje a pavcu spojce th čestca. sla kojom masa m pvlač masu m 2 (vektosk) : m m2 2 3 G G 66725985 0 m kg 2 2 2 uvezala gavtacjska kostata [ 2 2 2] s l Nm kg vjedost odeñea ekspemetalo (H.Cavedsh 798.) teža tjela mase m a povš Zemlje: G m R Z m g m m 2 teška g - teška l gavtacjska masa: svojstvo mateje zbog kojega svako tjelo djeluje pvlačom slom a eko dugo tjelo 8
Skalae vektoske velče skala: velče potpuo odeñee samo ealm bojem p. masa tempeatua ad eegja zos (mje boj) uz mjeu jedcu vekto: velče koje za svoju potpuu defcju taže zos smje p. sla bza ubzaje gavtacjsko polje elektčo polje zos (mje boj) smje uz mjeu jedcu ( vekto vecto vecteu Vekto beκ o) vektoske velče geometjsk pkazujemo usmjeeom (ojetaom) dužom 9
Skalae vektoske velče Osobtost vektoskh ozaka ačua vektoska aalza koju daas kostmo uvedea je potkaj IXX. stoljeća tvdje uz pomoć vektoa možemo zost bez uvoñeja koodatog sustava zcaje zakoa fzke pomoću vektoa e ovs o zbou koodatog sustava vektosko ozačavaje sažeto je jaso - pmje ozaka vektoa: l - teztet vektoa - skala: f f f 20
Zbajaje vektoa : sastavljaje l kompozcja vektoa Skalae vektoske velče svojstva zbajaja vektoa: komutatvost asocjatvost 2
Skalae vektoske velče možeje vektoa skalaom: + + ( ) svojstvo dstbutvost: 2 2 22
Skalae vektoske velče vektoska azlka: ( ) 2 2 + ( ) 2 + 2 23
Skalae vektoske velče Uvjet koje vekto moaju zadovoljt: pavlo (pacjalog) paalelogama za zbajaje zos smje vektoa e smje ovst o zbou koodatog sustava koače otacje: pmje velče koja ma zos smje al je vekto 24
Vektosk podukt defcja: C A B Skalae vektoske velče ezultat vektoskog podukta je vekto okomt a avu koju defaju zada vekto teztet vektoskog podukta jedak je povš paalelogama kojeg azapju zada vekto: C A B A B B A A B sϕ smje vektoskog podukta pema pavlu desog vjka (pavlo dese uke) vektosk podukt je komutatva: A B B A vektosk podukt ščezava ako je: A 0 l B 0 l 80 ( AB) 0 l 25
Skala podukt defcja: cosϕ B A A B B A c skala podukt ščezava ako je: B A 0 B 0 A l l Skalae vektoske velče 26
Uvoñeje koodatog sustava omogućava pedstavljaje vektoa pomoću ealh bojeva opeacje s vektoma svode se a odgovaajuće algebaske opeacje s bojevma pmje desog pavokutog koodatog sustava Skalae vektoske velče 27 zaps vektoa: + + z y x z y x k j
vektoska oma) duga vektoa l (dulja vektoa teztet - je : gdje kutov pklo cos cos aalogo : cos cos k j desog koodatog sustava vekto jedč - k j koodate os pojekcje a kompoete vektoa - gdje su : k j 2 2 2 z y x z y x x x z y x z y x z y x + + + + + + γ β α γ β α α Skalae vektoske velče 28
Skalae vektoske velče pklo kutov - kutov koje vekto zatvaa s jedčm vektoma 29
( ) cos cos cos u k cos j cos cos k j 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + + + + + + z y x z y x γ β α γ β α zadavaje vektoa: - početa kajja točka - početa točka (hvatšte) teztet pklo kut(2d)/kutov(3d) jedč vekto ostelj smjea vektoa veza zmeñu pkloh kutova: Skalae vektoske velče 30
Sustav sla u postou a) opć sustav sla: u av u postou b) paalel sustav sla: u av 3
Sustav sla u postou c) kokuet sustav sla: u av d) kolea sustav sla: 32
Sustav sla Sustav sla pema uzocma edosljedu astaka ã é vajske sle uutaje sle ã é (sle pesjeka eze sle) aktve eaktve ã é sle veza sle teja vajske sle: sve sle koje pedstavljaju djelovaje dugh tjela a pomatao tjelo uutaje sle: povšske sle peko zamšljeh pesječh povša tjela astaju kao posljedca djelovaja vajskh sla pedstavljaju otpo pomje oblka /l volumea tjela 33
Sustav sla vajske aktve sle: - azvaju se još slama akcje l opteećejem - če h sve sle odoso opteećeja koja su ezavsa od samog tjela - vlasttu težu tjela smatamo vajskom aktvom slom vajske eaktve sle: - azvaju se još pasve sle l sle veza - astaju kao posljedca vajskh aktvh sla a mjestma vajskh veza (ležajeva) 34
Uvod zvo: R.C. Hbbele: Egeeg Mechacs: Statcs Eleveth edto SI uts Peaso Educato 2007 35
Statka matejale točke Staje movaja tjela a kojega djeluje kokuet sustav sla. 36
Statka matejale točke ezultata kokuetog sustava sla astavljaje sle avoteža kokuetog sustava sla veze u kokuetm sustavma sla. 37
Rezultata kokuetog sustava sla Statka matejale točke: ezultata 38 + + + j k j R R R y y R x x R y x z z R y y R x x R z y x vektoska jedadžba: - posto: - ava: algebaske jedadžbe aaltčkog ješeja ezultate kokuetog sustava sla
Statka matejale točke: ezultata Rezultata kokuetog sustava sla gafčko ješeje a) polgo sla R + 2 + 5 + 3 + 4 39
Statka matejale točke: ezultata Rezultata kokuetog sustava sla gafčko ješeje b) pacjal paalelogam R R R ( + ) + ( + ) 5 23 ( + ) 5 34 44 2443 534 3 4 4243 + 2 + 2 + 2 40
Statka matejale točke: ezultata REZULTANTA sla čje je djelovaje jedako djelovaju zadah sla. (Sla koja zamjejuje djelovaje gupe sla.) 4
Statka matejale točke: ezultata 42
Pmje: Statka matejale točke ezultata. Potebo je aaltčk odedt ezultatu kokuetog sustava sla ako je zadao: 2 60 + 80 j N 00 + 00 j + 50k N 2. Potebo je aaltčk gafčk odedt ezultatu kokuetog sustava sla ako je zadao: 2 3 30 20 0 N N N α 20 α 270 α 300 2 43
Statka matejale točke: ezultata 3. Odedte vjedost pklo kut sle ako je vjedost ezultate R 600 N pklo kut a R -30. 4. Za sustav sla pkaza a slc odedte kut θ vjedost sle 3 kao fukcje ako vjed. a) R 0 b) 2 2/3 44
Rastavljaje sle a kompoete posto: ava: + + 2 2 + 3 Statka matejale točke: astavljaje vektoske jedadžbe cosα cosα + 2 cosα 2 sα sα + 2 sα 2 sustav algebaskh jedadžb 45
Statka matejale točke: astavljaje Pmje: Rastavte sle sle 2 a kompoete koje leže a pavcma u v. 46
Ravoteža kokuetog sustava sla avoteža: movaje uz djelovaje sla matejala točka je u avotež ako ščeze ezultata sla koje a ju djeluju tj. ako je polgo sla zatvoe. + + + 0 0 0 j 0 0 0 0 k j 0 R y x y x z y x z y x 47 Statka matejale točke: avoteža vektoska jedadžba: - posto: - ava: algebaske jedadžbe aaltčkog ješeja avoteže kokuetog sustava sla (algebask uvjet avoteže)
Statka matejale točke: avoteža Gafčko ješeje avoteže kokuetog sustava sla polgo sla: + 2 + 5 + 3 + 4 + 6 0 48
Statka matejale točke: avoteža RAVNOTEŽA djelovaje sla se poštava. 49
Statka matejale točke: avoteža Pmje:. Odedte sle u užad AB CB koje pdžavaju teet mase 60 kg. 2. Odedte vsu d ako teet mase 20 kg pdžavamo hozotalom slom 00N užadma AB AC uz uvjet da je sla u užetu AC jedaka ul. Ravoteža sustava kao cjele podazumjeva avotežu svakog jegovog djela. 50
Statka matejale točke: avoteža 3. Za sustav u avotež pkaza a slc odedte masu teeta A. 5
Statka matejale točke: avoteža Veze u kokuetm sustavma sla veze: elemet kojma djelomčo l potpuo spječavamo gbaje matejale točke/tjela za potpuo spečavaje gbaja matejale točke potebo je oemogućt: - t taslacjska pomaka u postou - dva taslacjska pomaka u av. 2. 3. x y z 0. 0 2. 0 x y 0 0 52
Statka matejale točke: avoteža štapa veza spječava meñusob taslacjsk pomak u smjeu os štapa a dopušta ostale (kematčko svojstvo veze) peos slu u smjeu os štapa (statčko svojstvo veze) dvostaa veza (vlak tlak) ta veza kematčka statčka svojstva sta su kao kod štaph veza al samo u jedom smjeu jedostaa veza (samo vlak) 53