GEODEZIJSKE LINIJE U HOFEROVOJ METRICI

GEODEZIJSKE LINIJE U HOFEROVOJ METRICI Jovana ureti Mentor: dr Darko Milinkovi Matematiqki fakultet decembar, 21.

Sadrжaj 1 Uvod 2 2 Geodezijske linije 3 2.1 Definicija.................................... 3 2.2 Eksponencijalno preslikavaǌe......................... 6 2.3 Minimizacija rastojaǌa............................ 7 2.4 Varijacija energije............................... 12 3 Hoferova metrika na grupi Ham(M, ω) 16 3.1 Grupa Hamiltonovih difeomorfizama.................... 16 3.2 Lijeva algebra i grupa Ham(M, ω)....................... 21 3.3 Algebarske osobine grupe Ham(M, ω)..................... 23 3.4 Hoferova metrika................................ 24 4 Geodezijske linije u Hoferovoj metrici 26 4.1 Xta ako je M = R 2n............................... 26 4.1.1 Definicija................................ 28 4.1.2 Minimalne geodezijske......................... 3 4.1.3 Geodezijske................................ 37 4.2 Konjugovane taqke na geodezijskim....................... 4 4.2.1 Varijaciona teorija geodezijskih................... 4 4.2.2 Konjugovane taqke............................ 44 4.2.3 C -lokalna minimalnost geodezijskih................ 48 4.3 Asferiqne mnogostrukosti........................... 52

GLAVA 1 Uvod Poznato je da se evolucija nekog fiziqkog sistema opisuje Hamiltonijanom i da je fazni prostor u klasiqnoj mehanici simplektiqka mnogostrukost. Motivisani time da se sistem bez dejstva spoǉaxǌnih sila kre e po geodezijskoj liniji u ovom radu emo opisati osobine geodezijskih linija u Hoferovoj metrici na prostoru Hamiltonovih difeomorfizama. U drugoj glavi su definisane geodezijske linije u Rimanovoj metrici koje moжemo da vidimo kao rexeǌa sistema diferencijalnih jednaqina, kao krive koje minimiziraju rastojaǌe između taqaka i kao kritiqne taqke funkcionala energije. U tre oj glavi je definisana grupa Hamiltonovih difeomorfizama koja je pridruжena simplektiqkoj mnogostrukosti i Hoferova metrika na ǌoj. U qetvrtoj glavi, koja predstavǉa glavni deo rada, definisan je pojam geodezijskih linija u Hoferovoj metrici. Darbuova teorema nam daje osobinu simplektiqkih mnogostrukosti da se one lokalno ponaxaju kao standardni simplektiqki prostor R 2n. U prvom delu qetvrte glave izloжene su osobine geodezijskih ako radimo sa grupom Hamiltonovih difeomorfizama koji dejstvuju na R 2n. Najbitniji zakǉuqak ovog dela jeste da regularan put moжe biti geodezijska samo ako je generisan kvazi-autonomnim Hamiltonijanom. U drugom delu ove glave su definisane konjugovane taqke i varijacija geodezijske linije. Pokazano je da je nedegenerisana geodezijska koja ne sadrжi konjugovane taqke C -lokalno minimalna a ona koja sadrжi unutraxǌe konjugovane taqke moжe se skratiti malom varijacijom. Tre i deo analizira zatvorene mnogostrukosti qija je druga homotopska grupa trivijalna. Nađen je Hamiltonov difeomorfizam na takvoj mnogostrukosti koji se ne moжe spojiti minimalnom geodezijskom sa identiqkim preslikavaǌem. Zahvaǉujem se svom mentoru dr Darku Milinkovi u na velikoj podrxci, razumevaǌu i pomo i pri pisaǌu ovog rada.

GLAVA 2 Geodezijske linije 2.1 Definicija Osnovni objekti u aksiomatski zasnovanoj geometriji su taqka i prava. U diferencijalnoj geometriji, koja je povezana sa aksiomatski zasnovanom geometrijom, moramo na i uopxteǌe prave tako da se ta definicija slaжe sa tipiqnim modelima euklidske i neeuklidske geometrije. Znamo da prava linija predstavǉa najkra e rastojaǌe između dve taqke u ravni. Moжemo ovaj kriterijum najkra eg rastojaǌa iskoristiti za definiciju, ali na prooizvoǉnim mnogostrukostima taj uslov se texko proverava. Umesto toga iskoristi emo drugu osobinu koja se lako izraqunava a karakterixe sve prave: drugi izvod im je jednak nuli. Moжemo ih videti kao rexeǌa diferencijalne jednaqine d2 γ =. Prvu osobinu, kao i svojstvo prave da je kritiqna taqka funkcionala dt 2 energije emo izvesti iz definicije. Definicija 2.1.1. Rimanova metrika na mnogostrukosti M je poǉe Φ pozitivno definitnih bilinearnih C kvadratnih formi, to jest preslikavaǌe koje svakoj taqki P M pridruжuje pozitivno definitnu bilinearnu kvadratnu formu, P definisanu na prostoru T P M koja je glatka u slede em smislu: ako je ϕ : V R n U lokalna karta oko taqke P tada su funkcije matriqnih elemenata g ij (x) = ϕ x x i, ϕ x x j klase C ϕ(x) na V. Zbog jednostavnijih oznaka tangentne vektore x i iz T x R n emo identifikovati sa tangentnim vektorima ϕ x x i iz T ϕ(x) M. Oznaqimo sa X (M) skup glatkih vektorskih poǉa na mnogostrukosti M. Definicija 2.1.2. Povezanost na diferencijabilnoj mnogostrukosti M je preslikavaǌe : X (M) X (M) X (M) koje oznaqavamo sa (X, Y ) X Y i koje zadovoǉava slede e osobine: (i) fx+gy Z = f X Z + g Y Z, (ii) X (Y + Z) = X Y + X Z, (iii) X (fy ) = f X Y + X(f)Y, za svako X, Y, Z X (M) i f, g C (M). 3

GLAVA 2. GEODEZIJSKE LINIJE 4 Kaжemo da je povezanost simetriqna ako za svako X, Y X (M) vaжi X Y Y X = [X, Y ] gde je sa [X, Y ] oznaqen komutator vektorskih poǉa. Definicija 2.1.3. Neka je X t T c(t) M vektorsko poǉe duж krive c : I M. poǉa X duж krive c je vektorsko poǉe Izvod DX t dt = dc X t. dt Ako je DX dt = za svako t I kaжemo da je vektorsko poǉe X paralelno duж krive c. Definicija 2.1.4. Neka je M diferencijabilna mnogostrukost sa povezanox u i Rimanovom metrikom,. Kaжemo da je povezanost saglasna sa metrikom ako za svaku glatku krivu c i vektorska poǉa X i Y koja su paralelna duж krive c vaжi: X, Y = Const. Definicija 2.1.5. Neka je M mnogostrukost sa povezanox u. Glatka kriva γ(t) je geodezijska u odnosu na povezanost ako vaжi dγ ( dγ ) =. dt dt Ako je [a, b] I i γ : I M geodezijska onda se restrikcija geodezijske γ na interval [a, b] naziva segment geodezijske između taqaka γ(a) i γ(b). Primer 2.1.1. Kriva u ravni (x(t), y(t)) = (t, at+b) je geodezijska, dok kriva (x(t), y(t)) = (t 5, at 5 + b) nije i ako obe krive imaju isti nosaq. Prethodni primer pokazuje da definicija geodezijskih zavisi od parametrizacije. Znaju i kako se definixe izvod vektorskog poǉa duж krive uslov dγ dt da pixemo i u obliku: D dt ( ) dγ =, dt ( dγ dt ) = moжemo odakle vidimo da je dγ dγ vektorsko poǉe paralelno duж krive γ. Vektor se jox naziva dt dt i vektor brzine krive γ. Tvrđeǌe 2.1.1. Vektor brzine geodezijske ima konstantnu duжinu. Dokaz. Neka je γ : I M geodezijska i dγ ǌen vektor brzine. Tada je: dt d dγ dt dt, dγ D dγ = 2 dt dt dt, dγ =. dt Koriste i ovu osobinu moжemo pretpostaviti da je dγ = c qime iskǉuqujemo dt trivijalne geodezijske linije. Duжina krive γ od neke fiksirane taqke, npr. γ(t ) je data sa t s(t) = dγ du (u) du = c(t t ). t Vidimo da je parametar kojim je geodezijska parametrizovana proporcionalan duжini luka.

GLAVA 2. GEODEZIJSKE LINIJE 5 Definicija 2.1.6. Kaжemo da je geodezijska normalizovana ako je parametrizovana duжinom luka, c = 1. Жelimo da vidimo koje jednaqine zadovoǉavaju geodezijske u lokalnim koordinatama. Neka su oko taqke γ(t) definisane lokalne koordinate (U, x), γ(t) = (x 1 (t),..., x n (t)). Tada je = dγ dt ( ) dγ = dt n k=1 ( d 2 x k dt 2 + n i,j=1 Γ k dx i dx j ij dt dt ) x k, gde su Γ k ij Kristofelovi simboli, a predstavǉaju koordinate vektorskog poǉa x x i j u bazi x 1,..., x n. Tako da nam rexeǌe sistema diferencijalnih jednaqina drugog reda daje geodezijsku liniju. d 2 x k dt 2 + n i,j=1 Γ k dx i dx j ij dt dt =, k = 1,..., n (1) Tvrđeǌe 2.1.2. Neka je p M i X p T p M. Tada postoji jedinstvena geodezijska γ(t), tako da je γ() = p, dγ dt () = X p. Dokaz. Egzistencija i jedinstvenost slede direktno iz teoreme o postojaǌu i jedinstvenosti rexeǌa sistema diferencijalnih jednaqina. Sistem (1) koji se sastoji od n jednaqina drugog reda moжemo videti kao sistem od 2n jednaqina ali prvog reda, samo u drugom prostoru. Svaka diferencijabilna kriva t γ(t) na M definixe krivu t (γ(t), dγ (t)) u prostoru T M. Ako je γ geodezijska, dt onda kriva t (x 1 (t),..., x n (t), dx 1 dt (t),..., dx n dt (t)) na prostoru T U = U R n zadovoǉava sistem jednaqina { dxk dt dy k dt = y k = n i,j=1 Γk ijy i y j, k = 1,..., n (1 ) u lokalnim koordinatama (x 1,..., x n, y 1,..., y n ) na T U. Vidimo da je (1 ) sistem od 2n jednaqina prvog reda i da je ekvivalentan sistemu (1). Lema 2.1.1. Postoji jedinstveno vektorsko poǉe G na T M qije su trajektorije oblika t (γ(t), dγ (t)), pri qemu je γ geodezijska na M. dt Dokaz. Dokaz sledi iz egzistencije i jedinstvenosti rexeǌa sistema (1 ). Definicija 2.1.7. Vektorsko poǉe definisano u lemi se naziva geodezijsko poǉe na T M, a ǌegov tok se naziva geodezijski tok na T M. Ove osobine moжemo uopxtiti.

GLAVA 2. GEODEZIJSKE LINIJE 6 Tvrđeǌe 2.1.3. Neka je p M. Tada postoji okolina V taqke p, brojevi δ, ε > takvi da za svako q V i X q T q M, gde je X q < ε, postoji jedinstvena geodezijska γ koja je definisana na intervalu ( δ, δ) i vaжi γ() = q i dγ dt () = X q. Oznaqimo sa γ(t, q, X q ) geodezijsku iz prethodnog tvrđeǌa. Vidimo da ako je X q < ε onda geodezijska γ(t, q, X q ) postoji u intervalu ( δ, δ) i jedinstvena je. U stvari, moжemo pove ati brzinu geodezijske smaǌivaǌem intervala definisanosti i obrnuto. Lema 2.1.2. Homogenost geodezijskih linija Ako je geodezijska γ(t, q, X q ) definisana na intervalu ( δ, δ), tada je geodezijska γ(t, q, ax q ), a (, + ), definisana na intervalu ( δ a, δ a ), i vaжi γ(t, q, ax q ) = γ(at, q, X q ). Dokaz. Definiximo krivu h : ( δ, δ ) M, sa h(t) = γ(at, q, X a a q). Vidimo da vaжi dh dγ (t) = a (at, q, X dt dt q), pa je h() = q i dh() = ax dt q. Daǉe je dh dh dt dt = dγ a2 dγ dt dt =, odnosno, h je geodezijska brzine ax q koja u trenutku t = prolazi kroz taqku q. Na osnovu jedinstvenosti ovakve geodezijske vaжi e h(t) = γ(t, q, ax q ), pa je γ(t, q, ax q ) = γ(at, q, X q ). Posledica 2.1.1. Za svaku taqku p M postoji okolina U taqke p, broj ε > i C preslikavaǌe γ : ( 2, 2) U M, U = {(q, X q ) T M q U, X q T q M, X q < ε} tako da je t γ(t, q, X q ) jedinstvena geodezijska na M koja zadovoǉava uslove γ() = q i dγ dt () = X q. Na sliqan naqin moжemo brzinu geodezijskih uqiniti proizvoǉno velikom u okolini taqke p. 2.2 Eksponencijalno preslikavaǌe Posledica 2.1.1 nam omogu ava da uvedemo pojam eksponencijalnog preslikavaǌa na slede i naqin. Neka je p M i U T M otvoren skup iz posledice 2.1.1. Definicija 2.2.1. Preslikavaǌe exp : U M definisano sa exp(q, X q ) = γ(1, q, X q ) = γ( X q, q, se naziva eksponencijalno preslikavaǌe na U. X q X q ), (q, X q) U, Prema pomenutoj posledici preslikavaǌe γ pomo u kojeg smo definisali eksponencijalno preslikavaǌe je diferencijabilno pa e i exp biti diferencijabilno preslikavaǌe. Koristi emo i restrikciju ovog preslikavaǌa na otvorenu loptu polupreqnika ε u T q M: exp q : B(, ε) T q M M

GLAVA 2. GEODEZIJSKE LINIJE 7 koja je definisana sa exp q (X q ) = exp(q, X q ). Geometrijski, exp(q, X q ) predstavǉa taqku na mnogostrukosti M u koju stignemo nakon vremena t = 1 kre u i se duж geodezijske linije ako smo u trenutku t = krenuli iz taqke q brzinom X q. Tvrđeǌe 2.2.1. Za svaku taqku q M postoji ε > tako da je preslikavaǌe exp q : B ε () T q M M difeomorfizam lopte B ε () na otvoren podskup u M. Dokaz. Izraquna emo qemu je jednak izvod preslikavaǌa exp q u taqki B ε (): d(exp q ) (X q ) = d dt exp q(tx q ) t= = d dt γ(1, q, tx q) t= = d dt γ(t, q, X q) t= = X q. Dakle, d(exp q ) je identitet, pa na osnovu teoreme o inverznoj funkciji zakǉuqujemo da je exp q lokalni difeomorfizam u nekoj okolini taqke. Znaju i ovu osobinu eksponencijalnog preslikavaǌa moжemo da uvedemo neke pojmove koji e nam biti potrebni u slede em paragrafu. Definicija 2.2.2. Ako je exp p difeomorfizam okoline V taqke u T p M, onda se U = exp p V naziva normalna okolina od p. Ako je B ε () lopta za koju vaжi B ε () V onda B ε (p) = exp p B ε () nazivamo normalnom loptom (ili geodezijskom loptom) sa centrom u taqki p radijusa ε. 2.3 Minimizacija rastojaǌa Ve smo naglasili da prava u ravni predstavǉa najkra e rastojaǌe između dve taqke. Sada ho emo da vidimo koju osobinu poseduju geodezijske između dve taqke na nekoj mnogostrukosti. Definicija 2.3.1. Deo po deo diferencijabilna kriva je neprekidno preslikavaǌe c : [a, b] M zatvorenog intervala [a, b] R na M pri qemu vaжi: postoji podela a = t < t 1 <... t k = b intervala [a, b] takva da je svaka od restrikcija c [ti,t i +1], i =,..., k 1 diferencijabilno preslikavaǌe. Kaжemo da kriva c spaja taqke c(a) i c(b). Taqka c(t i ) se naziva verteks krive c, a ugao između tangetnih vektora lim t t i + ugao verteksa u taqki c(t i ). dc dt i lim t t i dc dt se naziva Za glatku krivu c : I M kaжemo da je regularna u taqki t I ako je dc dt (t ). Kriva je regularna ako je regularna u svakoj taqki. Definicija 2.3.2. Segment geodezijske γ : [a, b] M se naziva minimiziraju i ako je l(γ) l(c) za svaku krivu c koja spaja taqke γ(a) i γ(b), gde je sa l(c) oznaqena duжina krive c. Uvex emo neke pojmove koji e nam biti potrebni u narednim tvrđeǌima. Definicija 2.3.3. Neka je A povezan skup u R 2 pri qemu vaжi U A Ū, za neki otvoren skup U i neka je granica skupa A, A, deo po deo diferencijabilna kriva qiji verteks uglovi nisu jednaki uglu π. Parametrizovana povrx u M je diferencijabilno preslikavaǌe s : A M.

GLAVA 2. GEODEZIJSKE LINIJE 8 Ovde diferencijabilnost oznaqava da postoji otvoren skup V A tako da se preslikavaǌe s moжe diferencijabilno produжiti na V, a uslov da verteks uglovi nisu π nam obezbeđuje da diferencijal preslikavaǌa s ne zavisi od ǌegovog produжeǌa. Ako verteks uglovi granice A ni u jednoj taqki nisu π, onda tangentni vektori na krivu u verteksima razapiǌu tangentnu ravan, pa je diferencijal u proizvoǉnom pravcu definisan i ne zavisi od produжeǌa funkcije. Definicija 2.3.4. Vektorsko poǉe X duж povrxi u M, s : A M, je preslikavaǌe koje svakoj taqki q A dodeǉuje tangentni vektor X(q) T s(q) M i koje je diferencijabilno u slede em smislu: ako je f diferencijabilna funkcija na M tada je preslikavaǌe q X(q)f diferencijabilno. Ho emo da definixemo kovarijantni izvod vektorskog poǉa duж povrxi. Neka su (u, v) Dekartove koordinate na R 2. Za fiksirano v, preslikavaǌe u s(u, v ), gde u pripada povezanoj komponenti skupa A {(u, v )}, je kriva u M i ds( ) je vektorsko poǉe duж u ove krive koje oznaqavamo sa s s. Na taj naqin definixemo vektorsko poǉe duж s za u u svako (u, v) A. Na sliqan naqin definixemo s. v Neka je X vektorsko poǉe duж s : A M. Definixemo kovarijantni izvod DX i DX u v na slede i naqin. DX (u, v u ) je kovarijantni izvod restrikcije vektorskog poǉa X duж krive u s(u, v ). Tako definixemo DX (u, v) za svako (u, v) A, i na sliqan naqin u definixemo DX (u, v). v Lema 2.3.1. Neka je M diferencijabilna mnogostrukost sa simetriqnom povezanox u D s i neka je s : A M parametrizovana povrx na M. Tada je: = D s. v u u v Dokaz. Neka su x : V R n M lokalne koordinate u okolini taqke s(u, v) A. Moжemo ih pisati u obliku x 1 s(u, v) = (x 1 (u, v),..., x n (u, v)). Tada je: D v ( s ) = D ( n u v i=1 n = = i=1 i=1 x i u ) x i 2 x i + v u x i n 2 x i + v u x i n i=1 n i,j=1 x i u n x j j=1 v x j x i x i x j u v. x j x i Sliqno, D ( s ) = u v = n i=1 n i=1 Kako je povezanost simetriqna, x i 2 x i + u v x i 2 x i + u v x i x j n i,j=1 n i,j=1 x i v x j v x j u x j x i x i u. x i x j = x x j i, zakǉuqujemo da je D s v = D s. u u v Sada emo tangentni prostor na T p M u taqki X p T p M identifikovati sa T p M, tj. T p M T Xp (T p M).

GLAVA 2. GEODEZIJSKE LINIJE 9 Lema 2.3.2. (Gausova lema) Neka je p M i X p T p M tako da je definisano exp p X p, i neka je Y p T p M T Xp (T p M). Tada je: (d exp p ) Xp (X p ), (d exp p ) Xp (Y p ) = X p, Y p. Dokaz. Neka je Y p = Yp t + Yp n, gde je Yp t komponenta vektora Y p koja je paralelna sa X p i komponenta normalna na X p. Kako je diferencijal linearno preslikavaǌe vaжi e: Y n p (d exp p ) Xp (X p ), (d exp p ) Xp (Y p ) = (d exp p ) Xp (X p ), (d exp p ) Xp (Y t p ) + (d exp p ) Xp (X p ), (d exp p ) Xp (Y n p ). Pokaza emo da je (d exp p ) Xp (X p ), (d exp p ) Xp (Yp t ) = X p, Yp t i (d exp p ) Xp (X p ), (d exp p ) Xp (Yp n ) = = X p, Yp n qime emo dobiti traжenu jednakost. Kako je vektor Yp t paralelan vektoru X p vaжi Yp t = λx p za neko λ R. Neka je α : I T p M kriva data sa α(t) = (t + 1)X p. Ona zadovoǉava uslov da je α() = X p i dα() = X dt p. Sliqno, ako je data kriva β : I T p M sa β(t) = (λt + 1)X p ona zadovoǉava uslove β() = X p i dβ () = λx dt p = Yp t. Tada je: d (d exp p ) Xp (X p ), (d exp p ) Xp (Yp t ) = dt exp p(α(t)) t=, d dt exp p(β(t)) t= d = dt γ(1, p, α(t)) t=, d dt γ(1, p, β(t)) t= d = dt γ(1, p, (t + 1)X p) t=, d dt γ(1, p, (λt + 1)X p) t= d = dt γ(t + 1, p, X p) t=, d dt γ(λt + 1, p, X p) t= dγ = (1), λdγ dt dt (1) = λ dγ dt (1) 2. Sa druge strane je X p, Yp t = λ X p, X p = λ dγ dt () 2, pa kako se norma tangentnog vektora duж geodezijske odrжava vaжi e (d exp p ) Xp (X p ), (d exp p ) Xp (Yp t ) = X p, Yp t. Slika 1.

GLAVA 2. GEODEZIJSKE LINIJE 1 exp p X p je dobro definisano, pa postoji ε > tako da je exp p u definisano za: u = t X(s), t 1, ε < s < ε gde je X(s) kriva u T p M sa osobinama X() = X p, dx () = Y n ds p i X(s) = Const. Moжemo posmatrati parametrizovanu povrx f : A M, A = {(t, s) t 1, ε < s < ε} definisanu sa: f(t, s) = exp p (tx(s)). Primetimo da su krive t f(t, s ) geodezijske. Vaжi: f, f s t (1, ) = (d expp ) Xp (Yp n ), (d exp p ) Xp (X p ). Za svako (t, s) vaжi: f t s, f D f = t t s, f f + t s, D f. t t Posledǌi qlan u izrazu sa desne strane je jednak nuli zato xto je f tangentni vektor t na geodezijsku. Iz simetrije povezanosti, moжemo izvrxiti transformaciju izraza: D f t s, f D f = t s t, f = 1 f t 2 s t, f =, t posledǌa jednakost vaжi zato xto vektor f ima konstantu duжinu. Zakǉuqujemo da t je f, f t s t = pa f, f s t ne zavisi od t. Kako je sledi da je f da pokaжemo., f s t lim (t, ) = lim s (d exp p) txp (typ n ) = t (1, ) =, odnosno (d expp ) Xp (Yp n ), (d exp p ) Xp (X p ) =, a to smo i hteli t f Ako se sada setimo kako smo definisali normalnu loptu (definicija 2.2.2), iz Gausove leme moжemo zakǉuqiti da je granica normalne lopte hipersfera (podmnogostrukost kodimenzije 1) u M, i da je ona ortogonalna na geodezijske koje poqiǌu u taqki p. Definicija 2.3.5. Granica normalne lopte B ε (p) se oznaqava sa S ε (p) i naziva se normalna sfera (ili geodezijska sfera) sa centrom u taqki p i polupreqika ε. Geodezijske u B ε (p) koje poqiǌu u taqki p se nazivaju radijalne geodezijske. Sada emo pokazati da geodezijske lokalno minimiziraju rastojaǌe. Tvrđeǌe 2.3.1. Neka je p M, U normalna okolina od p i B U normalna lopta sa centrom u p. Neka je γ : [, 1] B segment geodezijske koja polazi iz taqke p, γ() = p. Ako je c : [, 1] M bilo koja druga deo po deo diferencijabilna kriva koja spaja taqke γ() i γ(1) tada je l(γ) l(c). Ako jednakost vaжi onda je γ([, 1]) = c([, 1]). Dokaz. Prvo emo razmatrati sluqaj kada je c([, 1]) B. Kako je exp p difeomorfizam na U i B U moжemo da napixemo: c(t) = exp p (r(t) X(t)) gde je t X(t) kriva u T p M koja zadovoǉava uslov X(t) = 1 i r : [, 1] R je pozitivna deo po deo glatka funkcija. Diferencirajmo funkciju f(r(t), t) = exp p (r(t) X(t)): dc dt = f r r (t) + f t.

GLAVA 2. GEODEZIJSKE LINIJE 11 Znamo da je f r = X(t) = 1, a iz Gausove leme sledi da je f, f r t =, pa je: dc 2 = r (t) 2 + f 2 r (t) 2. dt t Koriste i ovu nejednakost vidimo da vaжi: l(c) = dc dt r (t) dt r (t) dt = r(1) r() = l(γ). dt Prethodne nejednakosti postaju jednakosti ako je f t =. Tada je X(t) = Const i r (t) = r (t) > pa je c(t) monotona reparametrizacija krive γ, xto daje c([, 1]) = γ([, 1]). Ako c([, 1]) nije sadrжano u B, uoqimo prvu taqku t 1 (, 1) za koju vaжi da c(t 1 ) B. Ako je δ radijus geodezijske lopte B vaжi e nejednakosti: l(c) l(c [,t1 ]) δ > l(γ). Ovo tvrđeǌe ne vaжi globalno. Delovi velikih krugova su geodezijske na sferi. Ako geodezijska polaze i od jedne taqke na sferi prođe kroz ǌoj antipodalnu taqku ona gubi svojstvo najkra eg rastojaǌa između taqaka. Pokaza emo da vaжi i obrnuto, ako deo po deo diferencijabilna kriva daje minimalno rastojaǌe između taqaka tada je ona geodezijska. Za to e nam biti potrebno tvrđeǌe 2.2.1 gde smo pokazali egzistenciju normalne okoline. Sada emo pokazati nexto jaqe svojstvo. Teorema 2.3.1. Za svako p M postoji okolina W taqke p i broj δ >, tako da je za svako q W, exp q difeomorfizam na B δ () T q M i exp q (B δ ()) W, pa je W normalna okolina svake ǌene taqke. Dokaz. Neka su ε >, U i U definisani u posledici 2.1.1. Definiximo preslikavaǌe F : U M M sa: F (q, X q ) = (q, exp q X q ). Vidimo da je F (p, ) = (p, p). Posmatrajmo oko taqke (p, p) M M lokalne koordinate (U U; x, x). U tim koordinatama matrica preslikavaǌa df (p, ) ima oblik: [ ] 1 1 1 jer je (d exp p ) = 1. Moжemo zakǉuqiti da je F lokalni difeomorfizam u okolini taqke (p, ). Znaqi, postoji okolina U U taqke (p, ) u T M takva da F difeomorfno slika U na neku okolinu W taqke (p, p) u M M. U moжemo predstaviti u obliku U = {(q, X q ) q U, X q T q M, X q < δ} gde je U U okolina taqke p u M. Sada odaberemo okolinu W taqke p u M, za koju e vaжiti W W W. Pokaza emo da ovako odabrani δ i W zadovoǉavaju uslove tvrđeǌa. Neka je q W proizvoǉna taqka i B δ () T q M. Kako je F difeomorfizam na U vaжi e: {q} W F ({q} B δ ()), pa na osnovu definicije preslikavaǌa F vaжi: W exp q (B δ ()).

GLAVA 2. GEODEZIJSKE LINIJE 12 Napomena 2.3.1. Iz prethodnog tvrđeǌa i osobine geodezijskih da minimiziraju rastojaǌe, sledi da za bilo koje dve taqke p, q W postoji jedinstvena minimalna geodezijska γ duжine maǌe od δ koja ih spaja. U dokazu vidimo da γ diferencijabilno zavisi od (p, q) na slede i naqin: za dve date taqke (p, q) postoji jedinstveni tangentni vektor X p T p M (dat sa F 1 (p, q) = (p, X p )) koji diferencijabilno zavisi od (p, q) i vaжi dγ () = X dt p. Definicija 2.3.6. Okolina W qija je egzistencija pokazana u prethodnoj teoremi se zove potpuno normalna okolina taqka p M. Posledica 2.3.1. Ako deo po deo diferencijabilna kriva γ : [a, b] M, parametrizovana parametrom koji je proporcionalan duжini luka, ima duжinu maǌu ili jednaku duжini bilo koje druge krive koja spaja taqke γ(a) i γ(b) onda je γ geodezijska. Posebno, γ je regularna. Dokaz. Neka t [a, b] proizvoǉno odabrano i W potpuno normalna okolina taqke γ(t). Tada postoji zatvoreni interval I [a, b], sa nepraznom unutraxnox u, tako da vaжi t I i γ(i) W. Restrikcija γ I : I W je deo po deo diferencijabilna kriva koja spaja dve taqke u normalnoj lopti. Na osnovu tvrđeǌa 2.3.1 i pretpostavki ove posledice, l(γ I ) je jednako duжini radijalne geodezijske koja spaja ove dve taqke. Opet, iz tvrđeǌa 2.3.1 i uslova da je γ I parametrizovana parametrom koji je proporcionalan duжini luka zakǉuqujemo da je γ I geodezijska na I, odnosno da je dγ dt geodezijska na [a, b]. dγ dt (t) =, pa je γ 2.4 Varijacija energije Pokazali smo da geodezijske lokalno minimiziraju rastojaǌe. geodezijske videti kao rexeǌa varijacionog problema. U ovom delu emo Definicija 2.4.1. Neka je c : [, 1] M deo po deo diferencijabilna kriva na M i = t < t 1 <... < t k+1 = 1 podela intervala [, 1] na podintervale [t i, t i+1 ] na kojima je c glatka kriva. Neprekidno preslikavaǌe f : ( ε, ε) [, 1] M takvo da je svaka od restrikcija na ( ε, ε) [t i, t i+1 ] glatka i da je f(, t) = c(t), t [, 1] naziva se varijacijom krive c. Kaжemo da je varijacija f varijacija sa fiksiranim krajevima ako je f(s, ) = c() i f(s, 1) = c(1) za svako s ( ε, ε). Ako je f diferencijabilno preslikavaǌe kaжemo da je ta varijacija diferencijabilna. Vektorsko poǉe X(t) = f s (s, t) s= duж krive c nazivamo poǉem varijacije. Tvrđeǌe 2.4.1. Neka je c : [, 1] M deo po deo diferencijabilna kriva i X(t) deo po deo diferencijabilno poǉe duж krive c. Tada postoji varijacija f : ( ε, ε) [, 1] M krive c takva da je X(t) poǉe varijacije preslikavaǌa f. Ako je X() = X(1) = onda varijaciju f moжemo da izaberemo tako da bude varijacija sa fiksiranim krajevima.

GLAVA 2. GEODEZIJSKE LINIJE 13 Slika 2. Varijacija krive i poǉe varijacije Dokaz. c([, 1]) M je kompaktan skup, a mi emo pokazati da postoji δ > takvo da je exp c(t) X, t [, 1], dobro definisano za svako X T c(t) M ako je X < δ. Neka je za svako c(t), t [, 1], W t ǌegova normalna okolina i δ t broj koji smo dobili u teoremi 2.3.1 t [,1] W t je otvoreno pokrivaǌe kompaktnog skupa c([, 1]), pa moжemo izdvojiti konaqno podpokrivaǌe W 1,... W n. Uzmemo δ = min{δ 1,... δ n }, gde je δ i > broj pridruжen okolini W i. Neka je N = max X(t), ε < δ i definiximo preslikavaǌe f sa: t [,1] N f(s, t) = exp c(t) (sx(t)), s ( ε, ε), t [, 1]. Vidimo da je f dobro definisano preslikavaǌe, sx(t) = s X(t) < δ N = δ. Kako N je exp c(t) (sx(t)) = γ(1, c(t), sx(t)) i geodezijska γ(1, c(t), sx(t)) zavisi diferencijabilno od poqetnih uslova, preslikavaǌe f je deo po deo diferencijabilno. Provera daje f(, t) = c(t). Poǉe varijacije preslikavaǌa f je f s (, t) = d ds (exp c(t)(sx(t))) = (d exp c(t) ) X(t) = X(t). Ako je X() = X(1) = onda je f(s, ) = c() i f(s, 1) = c(1) pa e f biti varijacija sa fiksiranim krajevima. Da bismo uporedili duжinu krive c sa duжinama krivih koje dobijemo varijacijom f : ( ε, ε) [, 1] M definisa emo funkciju L : ( ε, ε) R sa: L(s) = f t (s, t) dt.

GLAVA 2. GEODEZIJSKE LINIJE 14 Uvex emo i funkciju energije, E : ( ε, ε) R, koju definixemo sa: E(s) = f t (s, t) 2 dt. Koriste i Xvarcovu nejednakost ( f(t) g(t) dt) 2 f 2 (t) dt g2 (t) dt, specijalno za funkcije f 1 i g(t) = dc dt, dobijemo relaciju: ( L 2 () = L 2 (c) = dc ) 2 dt 1 dt dc 2 dt = 1 E() = E(c), dt dt gde su sa L(c) i E(c) oznaqene duжina i energija krive c. U gorǌoj nejednakosti jednakost vaжi ako su funcije f i g proporcionalne, odnosno ako je funkcija g konstantna, xto e vaжiti ako je parametar t proporcionalan duжini luka. Lema 2.4.1. Neka su taqke p, q M i γ : [, 1] M minimalna geodezijska (geodezijska najmaǌe duжine) koja spaja taqke p i q. Tada za svaku krivu c : [, 1] M koja spaja taqke p i q vaжi: E(γ) E(c), pri qemu jednakost vaжi ako i samo ako je c minimalna geodezijska. Dokaz. Pokazali smo da je L(c) 2 E(c) i znamo da je γ geodezijska pa vaжe nejednakosti: E(γ) = L(γ) 2 L(c) 2 E(c). Ako vaжi jednakost tada je L(c) 2 = E(c), pa je kriva c parametrizovana parametrom koji je proporcionalan duжini luka, i vaжi L(γ) = L(c), odakle zakǉuqujemo da je c minimalna geodezijska. Sada nas interesuje ponaxaǌe funkcije energije varijacije, E(s). Neke ǌene osobine moжemo znati na osnovu prvog izvoda. Tvrđeǌe 2.4.2. Formula prve varijacije energije krive Neka je c : [, 1] M deo po deo diferencijabilna kriva i f : ( ε, ε) [, 1] M varijacija krive c. Ako je E : ( ε, ε) [, 1] R energija varijacije f tada je: 1 2 E () = X(t), D dc dt dt dt gde je X(t) poǉe varijacije i dc(t dc dt i±) = lim t t i ± dt. t i k i=1 X(ti ), dc dt (t i+) dc dt (t i ) X(), dc dt () + X(1), dc dt (1) ti+1 f Dokaz. Po definiciji je E(s) = t, f k f dt = t i= t i t, f dt. Diferenciraǌem t pod znakom integrala, koriste i osobinu povezanosti da je simetriqna, dobijamo: d ti+1 f ds t, f ti+1 D f dt =2 t ds t, f ti+1 D f dt = 2 t dt s, f dt t =2 t i ti+1 t i f =2 s, f t d f dt s, f t t i+1 t i 2 dt 2 ti+1 t i t i ti+1 t i f s, D dt f s, D dt dt. f t f t dt (2)

GLAVA 2. GEODEZIJSKE LINIJE 15 Daǉe, kada prosumiramo po ovakvim podintervalima: 1 de 2 ds = k i= f s, f t i+1 t t i f s, D f dt. dt t Specijalno, za s = dobijemo ono xto je trebalo pokazati. Posledica 2.4.1. Deo po deo diferencijabilna kriva γ : [, 1] M je geodezijska ako i samo ako za svaku varijaciju sa fiksiranim krajevima f krive γ vaжi da je de () =. ds Dokaz. Ako je γ geodezijska i f varijacija sa fiksiranim krajevima, tada je D dγ =, dt dt γ je regularna kriva i X() = X(1) =, pa su svi qlanovi u (2) jednaki. Time e vaжiti da je de () =. ds Obrnuto, neka je de () = za svaku pravu varijaciju deo po deo diferencijabilne krive ds γ. Neka je X(t) = g(t) D dγ, gde je g : [, 1] R deo po deo diferencijabilna funkcija dt dt za koju vaжi g(t) > kada je t t i i g(t i ) =, i =, 1,..., k + 1. Konstruximo sada varijaciju krive γ qije je poǉe varijacije X(t). Kako je 1 de 2 ds () = D dγ g(t) dt dt, D dγ dt = dt dt zakǉuqujemo da je D dγ = na svakom intervalu (t dt dt i, t i+1 ), i =, 1,..., k. Treba jox proveriti da li je D dγ = u taqkama t dt dt i. Posmatrajmo drugo poǉe varijacije Y (t) takvo da je Y () = Y (1) = i Y (t i ) = dγ (t dt i+) dγ (t dt i ), i = 1,..., k. Kako je γ geodezijska, vaжi e: = 1 de k dγ 2 ds () = dt (t i+) dγ dt (t i ), dγ dt (t i+) dγ dt (t i ) = i=1 k dγ dt (t i+) dγ dt (t i ) 2. Zakǉuqujemo da je dγ (t dt i+) = dγ (t dt i ) u svakoj taqi t i, i = 1,..., k, pa je kriva γ klase C 1 u tim taqkama, odnosno, i tu e vaжiti D dγ =. Pokazali smo da je γ geodezijska na dt dt intervalu (, 1). Prema teoremi o jedinstvenosti rexeǌa diferencijalnih jednaqina γ je klase C, pa je ona geodezijska na [, 1]. Napomena 2.4.1. Primetimo da iz uslova D dγ = sledi da kriva γ jeste klase C, dt dt iako je u formulaciji Formule prve varijacije energije krive dovoǉno pretpostaviti da je γ deo po deo C 2. Zahtev da γ jeste ekstremala funkcionala energije povlaqi ǌenu glatkost klase C. Sada geodezijske moжemo da vidimo kao kritiqne taqke funkcionala energije na prostoru varijacija krive sa fiksiranim krajevima. Osobina geodezijskih da daju minimalno rastojaǌe je bila lokalna, dok je ova osobina globalnog karaktera. i=1

GLAVA 3 Hoferova metrika na grupi Hamiltonovih difeomorfizama 3.1 Grupa Hamiltonovih difeomorfizama Neka je M glatka mnogostrukost bez granice. Za difeomorfizam φ : M M definixemo ǌegov nosaq kao skup supp(φ) = {x M φx x}. Sa Diff c (M) emo oznaqiti grupu difeomorfizama sa kompaktnim nosaqem. Definicija 3.1.1. Neka je I R interval. Put difeomorfizama je preslikavaǌe sa svojstvima: f : I Diff c (M), t f t preslikavaǌe M I M, koje paru (x, t) dodeǉuje f t x je glatko postoji kompaktan podskup K M koji sadrжi nosaqe supp(f t ) za svako t I. Ovakav put difeomorfizama oznaqavamo sa {f t }. Moжemo primetiti da je drugi uslov na zatvorenim mnogostrukostima (kompaktna mnogostrukost, bez granice) automatski zadovoǉen. Definicija 3.1.2. Neka je {f t } put difeomorfizama. Familiju vektorskih poǉa {ξ t }, t I, na M, koja se definixe sa d dt f tx = ξ t (f t x) (1) nazivamo vremenski zavisno vektorsko poǉe na M sa kompaktnim nosaqem. Ova familija je glatka i ima kompaktan nosaq jer je ξ t (x) = za svako x M\K. Veza koju smo uspostavili između puta difeomorfizama i ovakvih vektorskih poǉa nije injektivna. Svaka familija {f t g} gde je g proizvoǉan element iz Diff c (M) generixe istu vremenski zavisnu familiju vektorskih poǉa. Ako nametnemo dodatni uslov, ova veza moжe biti injektivna. Fiksirajmo neki broj s I. Tada e postojati jedinstveni put {f t } koji generixe {ξ t } i zadovoǉava dodatni uslov f s = Id. Taj put predstavǉa jedinstveno rexeǌe diferencijalne jednaqine (1) sa poqetnim uslovom f s = Id. Na daǉe emo pretpostaviti da I. 16

GLAVA 3. HOFEROVA METRIKA NA GRUPI HAM(M, ω) 17 Definicija 3.1.3. Ovako konstruisan put difeomorfizama {f t } koji zadovoǉava dodatni uslov f = Id naziva se tok vremenski zavisnog vektorskog poǉa {ξ t }. Definicija 3.1.4. Simplektiqka forma na glatkoj mnogostrukosti M je diferencijalna 2-forma ω koja je (i) nedegenerisana, xto znaqi da za svako X p T p M postoji Y p T p M takvo da je ω(x p, Y p ), (ii) zatvorena, tj. dω =. Mnogostrukost na kojoj je definisana simplektiqka forma zove se simplektiqka mnogostrukost. Neka su (M 1, ω 1 ) i (M 2, ω 2 ) dve simplektiqke mnogostrukosti. Kaжemo da je preslikavaǌe f : M 1 M 2 simplektomorfizam ako vaжi f ω 2 = ω 1. Neka je (M, ω) simplektiqka mnogostrukost. Formu Vol = 1 n! ωn zovemo kanonska forma zapremine na (M, ω). Definicija 3.1.5. Neka je H glatka funkcija na M, H : M R. Vektorsko poǉe ξ na M se naziva Hamiltonovo vektorsko poǉe od H ako u svakoj taqki vaжi: i ξ ω = dh. Kako je ω nedegenerisana forma ξ e uvek postojati i bi e jedinstveno. Ovo vektorsko poǉe ξ emo oznaqavati i sa ξ = sgrad H (skew gradient). Primer 3.1.1. Pokazati da u kanonskim lokalnim koordinatama (p, q) na M, za koje je n lokalno ω = dp j dq j, vaжi sgrad H = ( H, H ). q p j=1 Rexeǌe. Oznaqimo ω = i n i=1 dp i dq i = dp dq, ξ = ξ 1 p + ξ 2 q i ξ ω(x) = ω(ξ, X) = (dp dq)(ξ, X) = dp(ξ) dp(x) dh(x) = H p i X = X 1 + X p 2. Tada je: q dq(ξ) dq(x) = ξ 1 ξ 2 X 1 X 2 = ξ 1X 2 ξ 2 X 1 H H dp(x) + dq(x) = q p X 1 + H q X 2 za svako X T M. Sada iskoristimo jednakost i ξ ω(x) = dh(x) i zakǉuqujemo da vaжi ξ = sgrad H = (ξ 1, ξ 2 ) = ( H, H ). q p Posmatrajmo sada R 2n sa standardnom simplektiqkom formom ω = n i=1 dp j dq j gde su (p 1,..., p n, q 1,..., q n ) lokalne koordinate na R 2n. Prostor R 2n moжemo identifikovati sa C n. Oznaqimo sa H gradijent funkcije H u odnosu na standardni skalarni proizvod: H(x), v = dh(x)v za svako v T x R 2n. Vidimo da vaжi sgrad H(x) = ( H, ) H q p = i H(x) = i ( H, ) H p q Tx C n. Primer 3.1.2. Neka je φ : M M simplektomorfizam. Pokazati da je tada: za svaku funkciju H na M. sgrad(h φ 1 ) = φ sgrad H,

GLAVA 3. HOFEROVA METRIKA NA GRUPI HAM(M, ω) 18 Rexeǌe. Neka je ξ = sgrad H i η = sgrad(h φ 1 ). Tada je i η ω = d(h φ 1 ) i i ξ ω = dh. Ho emo da pokaжemo da vaжi: η = φ ξ. Vaжi: i η ω = d(h φ 1 ) = d((φ 1 ) H) = (φ 1 ) dh, gde posledǌa nejednakost vaжi zato xto pull-back i operator d komutiraju. Daǉe je: i η ω = (φ 1 ) i ξ ω. Ho emo da pokaжemo da vaжi (φ 1 ) i ξ ω = i φ ξω odakle dobijamo jednakost η = φ ξ. Neka je X proizvoǉni tangentni vektor. Tada je: (φ 1 ) i ξ ω(x) = i ξ ω((φ 1 ) X) = ω(ξ, (φ 1 ) X), i φ ξω(x) = ω(φ ξ, X) = (φ 1 ) ω(φ ξ, X) = ω((φ 1 ) φ ξ, (φ 1 ) X) = ω(ξ, (φ 1 ) X), pri qemu druga jednakost vaжi jer je φ, pa i φ 1, simplektomorfizam. Primetimo da definicija operatora sgrad ne zavisi od koordinata na mnogostrukosti. Fazni prostor u klasiqnoj mehanici je jedna simplektiqka mnogostrukost (M, ω). Energija sistema određuje ǌegovu evoluciju. Energiju moжemo da vidimo kao familiju funkcija H t na M, koja e zavisiti od dodatnog parametra, vremena t koje je definisano na nekom intervalu I. Sa druge strane, energiju moжemo da vidimo kao jednu funkciju, sada definisanu na M I. Koristi emo oznake H t (x) = H(t, x). Ovakva funkcija H se naziva vremenski zavisni Hamiltonijan. Uvex emo jedan linearni funkcionalni prostor H(M). Kada je M zatvorena mnogostrukost, H(M) se definixe kao prostor svih glatkih funkcija na M qija je sredǌa vrednost u odnosu na kanonsku formu zapremine jednaka, H(M) = {f : M R f C (M), f Vol = }. Ako je M otvorena mnogostrukost, H(M) se sastoji od svih glatkih funkcija sa kompaktnim nosaqem. Definicija 3.1.6. Neka je I R interval. Kaжemo da je vremenski zavisan Hamiltonijan H na M I normalizovan ako H t pripada prostoru H(M) za svako t I. U sluqaju otvorene mnogostrukosti mora postojati kompaktan podskup od M koji sadrжi supp H t = {x M H t x } za svako t I. Na daǉe emo posmatrati samo normalizovane Hamiltonijane. Ako radimo sa otvorenim mnogostrukostima moramo uvesti neke dodatne pretpostavke o ponaxaǌu Hamiltonijana u beskonaqnosti, da bi rexeǌa Hamiltonovih jednaqina bila dobro definisana. Vremenski zavisno Hamiltonovo vektorsko poǉe sgrad H t normalizovane Hamiltonove funkcije H ima kompaktan nosaq. Daǉe, preslikavaǌe koje svakoj funkciji iz H(M) dodeǉuje Hamiltonovo vektorsko poǉe je injektivno. Hamiltonovo vektorsko poǉe određuje odgovaraju u funkciju do na konstantu. Mi smo uslovom normalizacije odredili da ta konstanta bude.

GLAVA 3. HOFEROVA METRIKA NA GRUPI HAM(M, ω) 19 Definicija 3.1.7. Neka je H : M I R normalizovan vremenski zavisan Hamiltonijan i neka interval I sadrжi. Neka je {φ t } tok vremenski zavisnog vektorskog poǉa sgrad H t. Kaжemo da je {φ t } Hamiltonov tok generisan Hamiltonijanom H. Svaki pojedinaqni difeomorfizam φ a, a I, ovog toka se naziva Hamiltonov difeomorfizam. Uslov normalizovanosti funkcije H nam obezbeđuje da Hamiltonovi difeomorfizmi imaju kompaktne nosaqe. Oznaqimo sa Ham(M, ω) skup svih Hamiltonovih difeomorfizama. Teorema 3.1.1. Kartanova formula Neka je α k-forma na M, φ t : M M glatka familija preslikavaǌa i X(φ t (x)) = d dt φ t(x). Tada je: d dt φ t α = φ t (d(x α) + X dα). Dokaz. Dokaz emo izvesti indukcijom po k. Za k = prethodna formula ima oblik d dt φ t f = φ t df(x), xto je samo reformulacija definicije izvoda funkcije f u pravcu X. Neka je β (k + 1)-forma. Moжemo je zapisati kao β = df α, pa koriste i induktivnu pretpostavku i osobine diferenciraǌa imamo d dt φ t (df α) = d dt φ t df φ t α + φ t df d dt φ t α = φ t [d(x df) α + df (X dα) + df d(x α)] i φ t [X d(df α) + d(x (df α))] = = φ t [ X (df dα) + d((x df) α df (X α))] = φ t [d(x df) α + df (X dα) + df d(x α)]. Primer 3.1.3. Reparametrizacija toka Neka je {φ t }, t [, a] Hamiltonov tok generisan normalizovanim Hamiltonijanom H(x, t). Pokazati da je {φ at }, t [, 1] Hamiltonov tok, generisan funkcijom ah(x, at). Rexeǌe. Neka je sgrad H t = ξ t i neka je sgrad(ah(x, at)) = η t i oznaqimo sa ψ t = φ at. Znamo da je φ = Id pa je i ψ = Id. Vaжi i d dt φ tx = ξ t (φ t x) a mi ho emo da pokaжemo da vaжi d dt ψ tx = η t (ψ t x). d dt ψ tx = d dt φ atx = a d du φ ux u=at = aξ u (φ u x) u=at = a sgrad H at (φ at x) = sgrad(ah at )(ψ t x) = η t (ψ t x). A to je i trebalo pokazati. Ovaj primer nam pokazuje da svaki Hamiltonov difeomorfizam moжemo da vidimo kao φ 1 nekog Hamiltonovog toka. Na daǉe emo pretpostaviti da je I = [, 1]. Lema 3.1.1. Hamiltonovi difeomorfizmi quvaju simplektiqku formu. Dokaz. Neka je φ : M M Hamiltonov difeomorfizam. To znaqi da postoji tok difeomorfizama {φ t } generisan Hamiltonijanom H(x, t), t [, 1], tako da vaжi

GLAVA 3. HOFEROVA METRIKA NA GRUPI HAM(M, ω) 2 φ = Id, φ 1 = φ i X t (φ t (x)) = d dt φ t(x) gde je X t = sgrad H t. Prema Kartanovoj formuli za svaku k-formu α na mnogostrukosti M vaжi: d dt φ t α = φ t (d(x t α) + X t dα). Specijalno za α = ω dobijamo da vaжi relacija: d dt φ t ω = φ t (d(x t ω) + X t dω) = φ t ( ddh + ) =. Zakǉuqujemo da je φ t ω = Const, a znaju i da je φ = Id, odnosno φ ω = ω dobijamo da je φ t ω = ω za svako t [, 1] pa i specijalno za φ 1 = φ. Tvrđeǌe 3.1.1. Za svaki put Hamiltonijana {φ t }, t I, postoji vremenski zavisan normalizovan Hamiltonijan H : M I R tako da vaжi: za svako x M i t I. d dt φ tx = sgrad H t (φ t x) Dokaz. Tvrđeǌe se jednostavno dokazuje ako mnogostrukost ima trivijalnu prvu de Ramovu kohomologiju sa kompaktnim nosaqem, H dr,c (M) =. Oznaqimo sa ξ t vektorsko poǉe generisano sa φ t. Kako Hamiltonovi difeomorfizmi quvaju simplektiqku formu iz Kartanove formule sledi da je d(ξ t ω) =, odnosno ξ t ω je zatvorena forma. Kako je H dr,c (M) = forma ξ t ω e biti i taqna. Na osnovu toga sledi da postoji glatka familija funkcija H t (x) H(M) tako da vaжi dh t = ξ t ω. Funkcija H(x, t) e biti Hamiltonijan koji generixe {φ t }. U opxtem sluqaju, kada je H dr,c (M), dokaz je netrivijalan i moжe se na i u [1], [3]. Ovo tvrđeǌe nam pokazuje da vektorsko poǉe koje odgovara toku Hamiltonovih difeomorfizama jeste Hamiltonovo vektorsko poǉe. Tvrđeǌe 3.1.2. Hamiltonijan proizvoda Neka su φ t i χ t Hamiltonovi putevi generisani normalizovanim Hamiltonijanima H i G. Tada je ǌihov proizvod ψ t = φ t χ t Hamiltonov put generisan normalizovanom Hamiltonovom funkcijom F (x, t) = H(x, t) + G(φ 1 t x, t). Dokaz. Znamo da je d dt φ tx = sgrad H t i d dt χ tx = sgrad G t. Tada je d dt (φ tχ t )x = sgrad H t + φ t sgrad G t. U primeru 3.1.2 smo pokazali da je sgrad(g φ 1 t ) = φ t sgrad G t pa zakǉuqujemo da vaжi: d dt ψ tx = sgrad(h t + G φ 1 t ) = sgrad F t.

GLAVA 3. HOFEROVA METRIKA NA GRUPI HAM(M, ω) 21 Posledica 3.1.1. Skup Hamiltonovih difeomorfizama je grupa u odnosu na kompoziciju. Dokaz. Neka su φ i χ dva Hamiltonova difeomorfizma. Tada postoje putevi {φ t } i {χ t }, t [, 1], takvi da je φ 1 = φ i χ 1 = χ. Prema prethodnom tvrđeǌu put {ψ t } = {φ t χ t }, e takođe biti Hamiltonov, pa e i difeomorfizam φχ = ψ 1 biti Hamiltonov, odnosno kompozicija dva elementa grupe Ham(M, ω) ostaje u istoj grupi. Neka je sada φ proizvoǉan Hamiltonov difeomorfizam. Ho emo da pokaжemo da e i difeomorfizam φ 1 biti Hamiltonov. Neka je φ = φ 1, gde je {φ t }, t [, 1], Hamiltonov tok generisan funkcijom H(x, t). Ho emo da pokaжemo da je {φ 1 t } Hamiltonov tok generisan Hamiltonijanom H(φ t x, t). Oznaqimo sa G(x, t) Hamiltonijan koji generixe tok φ 1 t. Ako postupimo kao u dokazu tvrđeǌa 3.1.2 i diferenciramo po t preslikavaǌe φ t φ 1 t = Id dobijemo: = d dt (φ t φ 1 t )x = sgrad H(x, t) + φ t sgrad G(x, t) = sgrad(h(x, t) + G(x, t) φt 1 ). Zaǉkuqujemo da je H(x, t) + G(φ 1 t x, t) =, odnosno da je G(x, t) = H(φ t x, t). Vidimo, dakle, da se i φ 1 nalazi u grupi Ham(M, ω). Tvrđeǌe 3.1.3. Ham(M, ω) je normalna i putno povezana podgrupa grupe simplektomorfizama Symp(M, ω). Dokaz. U lemi 3.1.1 smo pokazali da Hamiltonovi difeomorfizmi quvaju simplektiqu formu, u posledici 3.1.1 smo pokazali da oni qine grupu, pa Ham(M, ω) jeste podgrupa grupe Symp(M, ω). Putna povezanost sledi iz naqina na koji smo definisali elemente grupe Ham(M, ω), svi oni su putno povezani sa identiqnim preslikavaǌem. Treba jox pokazati da je Ham(M, ω) normalna podgrupa. Neka su φ Ham(M, ω) i f Symp(M, ω) proizvoǉni elementi. Ako je {φ t } tok Hamiltonovih difeomorfizama, φ 1 = φ, generisan Hamiltonijanom H tada je f 1 φ t f tok Hamiltonovih difeomorfizama generisan Hamiltonijanom H f. Pa e i f 1 φ f biti Hamiltonov difeomorfizam. 3.2 Lijeva algebra i grupa Ham(M, ω) Definicija 3.2.1. Grupa (G, ) koja je glatka mnogostrukost i u kojoj su operacije : G G G i ( ) 1 : G G glatke naziva se Lijevom grupom. Definicija 3.2.2. Vektorski prostor V nad poǉem K snabdeven binarnom bilinearnom kososimetriqnom operacijom [, ] koja zadovoǉava Jakobijev identitet, odnosno za koju vaжi: (i) [aa + bb, C] = a[a, C] + b[b, C], a, b K, A, B, C V (ii) [A, B] = [B, A], A, B V (iii) = [[A, B], C] + [[B, C], A] + [[C, A], B], A, B, C V naziva se Lijevom algebrom.

GLAVA 3. HOFEROVA METRIKA NA GRUPI HAM(M, ω) 22 Ako je {e 1,..., e n } proizvoǉna baza algebre V tada je proizvod dva bazna elementa linearna kombinacija elemenata baze: e i e j = c k ije k gde se koeficijenti c k ij K n nazivaju strukturne konstante. k=1 Definicija 3.2.3. Lijeva algebra L(G) Lijeve grupe G je tangentni prostor u jediniqnom elementu, pri qemu je komutator određen strukturnim konstantama c k ij koordinatnog bazisa karte sa kanoniqnim koordinatama. Od koristi e nam biti da Ham(M, ω) vidimo kao Lijevu grupu. Zapravo, Ham(M, ω) moжemo da posmatramo kao Lijevu podgrupu u grupi svih difeomorfizama na mnogostrukosti M. Lijevu algebru Lijeve grupe Ham(M, ω) e qiniti vektorska poǉa ξ na M oblika ξ(x) = d dt φ tx t=, gde je {φ t } gladak put na Ham(M, ω) za koji je φ = Id. Svako ovakvo vektorsko poǉe je Hamiltonovo. Vaжi, ξ = sgrad H (x), gde je H(x, t) jedinstveni normalizovani Hamiltonijan koji generixe put {φ t }. Primetimo da H = H(, ) H(M). Moжe da se uspostavi i obrnuta veza. Za svaku funkciju H H(M) vektorsko poǉe sgrad H je po definiciji izvod u taqki t = odgovaraju eg Hamiltonovog toka. Zakǉuqujemo da Lijevu algebru grupe Ham(M, ω) moжemo identifikovati sa H(M). Definicija 3.2.4. Levo (desno) dejstvo Lijeve grupe G na mnogostrukost M je glatko preslikavaǌe M G M, (x, g) g x koje zadovoǉava uslove: e x = x i g (h x) = (gh) x (odnosno g (h x) = (hg) x). Sada жelimo da konstruixemo jedno dejstvo Lijeve grupe na Lijevu algebru. Neka je f Ham(M, ω) i G element Lijeve algebre H(M). Neka je {g t }, g = Id put elemenata Lijeve grupe koji je tangentan na G. To znaqi da je normalizovan Hamiltonijan koji generixe tok {g t } u trenutku t = jednak G. Dejstvo elementa f na G je po definiciji: Ad f G = d dt (fg tf 1 ) t=. Diferenciraǌem se dobije da je vektorsko poǉe na desnoj strani f sgrad G, tj. sgrad(g f 1 ), pa je ovo dejstvo u stvari: Ad f G = G f 1. Dejstvo grupe Ham(M, ω) na algebru H(M) je dejstvo difeomorfizma na funkciju. Preostaje nam da definixemo Lijeve zagrade na algebri H(M). Neka su F, G H(M) proizvoǉni elementi i neka je {f t }, f = Id put Hamiltonovih difeomorfizama tangentan na F u taqki t =. Lijeva zagrada {F, G} se naziva Poasonova zagrada i definixe se sa: {F, G} = d dt (Ad f t G) t=. Raqunaǌem izraza na desnoj strani dobijemo da vaжi: {F, G} = dg(sgrad F ) = ω(sgrad G, sgrad F ).

GLAVA 3. HOFEROVA METRIKA NA GRUPI HAM(M, ω) 23 3.3 Algebarske osobine grupe Ham(M, ω) Sada nas interesuju algebarske osobine grupe Ham(M, ω). Teorema 3.3.1. Neka je (M, ω) zatvorena simplektiqka mnogostrukost. Tada je grupa Ham(M, ω) prosta. Dokaz. [1], [2]. Tvrđeǌe 3.3.1. Neka su {φ t } i {χ t } Hamiltonovi tokovi generisani normalizovanim vremenski zavisnim Hamiltonijanima H i G. Ako je φ t χ t = χ t φ t za svako t I tada je {H, G} =. Dokaz. Iz jednakosti Hamiltonovih tokova φ t χ t i χ t φ t sledi jednakost ǌihovih normalizovanih Hamiltonijana u svakoj taqki i za svako t: H(x) + G(φ 1 t Diferenciraǌem relacije po t dobijamo: (x)) = G(x) + H(χ 1 (x)). dg( sgrad H) = dh( sgrad G) odnosno {H, G} = {G, H}. Kako je Lijeva zagrada antikomutativna, zakǉuqujemo {H, G} =. Znamo da je Abelova grupa prosta ako svaki element generixe celu grupu, pa je ona cikliqna grupa qiji je red prost broj. Proste grupe se, u opxtem sluqaju, razlikuju od Abelovih. Slede e tvrđeǌe nam pokazuje da gupa Ham(M, ω) nije Abelova i daje nam naqin da nađemo veliki broj elemenata koji ne komutiraju. Tvrđeǌe 3.3.2. Neka je (M, ω) simplektiqka mnogostrukost i U M otvoren neprazan podskup. Tada postoje φ, χ Ham(M, ω) takvi da je supp(φ), supp(χ) U i φχ χφ. Dokaz. Izaberimo proizvoǉnu taqku x U i tangentne vektore ξ, η T x U takve da je ω(ξ, η). Koriste i lokalne kanonske koordinate oko taqke x moжemo na i funkcije F i G za koje vaжi sgrad F (x) = ξ i sgrad G(x) = η. Produжimo ove funkcije sa van skupa U. Ako je M zatvorena mnogostrukost treba dodati konstantu ovim funkcijama da bi one zadovoǉavale uslov da im je sredǌa vrednost jednaka. Sada nam funkcije F i G pripadaju H(M). One su konstantne van skupa U, pa odgovaraju i difeomorfizmi φ t i χ t imaju nosaqe u U. Kako je {F, G}, prema prethodnom tvrđeǌu, za neko t difeomorfizmi φ t i χ t ne komutiraju. Teorema 3.3.2. Neka su (M 1, ω 1 ) i (M 2, ω 2 ) zatvorene simplektiqke mnogostrukosti qije su grupe Hamiltonovih difeomorfizama izomorfne. Tada su mnogostrukosti konformno simplektomorfne, odnosno, postoji difeomorfizam f : M 1 M 2 i broj c tako da vaжi f ω 2 = c ω 1. Dokaz. [2] Algebarska struktura grupe Hamiltonovih difeomorfizama određuje simplektiqku mnogostrukost do na faktor. t

GLAVA 3. HOFEROVA METRIKA NA GRUPI HAM(M, ω) 24 3.4 Hoferova metrika Neka je L(G) Lijeva algebra konaqno dimenzione Lijeve grupe G. Za normu na L(G) kaжemo da je invarijantna pri dejstvu grupe G ako vaжi ξ = g 1 ξg za svako ξ L(G) i svako g G. g 1 ξg se definixe kao izvod krive R G, t g 1 exp(tξ) g u taqki t =. Svaka ovakva norma daje metriku na G sa: d(g, g 1 ) = inf g ġ(t)g(t) 1 dt za g, g 1 G. Infimum je uzet po svim putevima g : [, 1] G koji povezuju g = g() i g 1 = g(1). Prirodno je postaviti pitaǌe koja od normi p na H(M), 1 p, koje su date sa H p = ( M H p ω n) 1 p definixe metriku na Ham(M, ω). Pozitivan odgovor e biti samo u sluqaju p =. Definicija 3.4.1. Neka je F H(M). Na H(M) definixemo normu sa: Tvrđeǌe 3.4.1. Norma zadovoǉava za svako F H(M), ψ Ham(M, ω). F = max F (x) min F. x M x M F ψ 1 = F Dokaz. Kako je ψ difeomorfizam skupovi M i ψ 1 (M) su jednaki pa vaжi max F x M (ψ 1 x) = max F (x) i min F x M x M (ψ 1 x) = min F (x). Iz ovih jednakosti sledi tvrđeǌe. x M Definicija 3.4.2. Neka je {h t }, t [a, b], Hamiltonov put generisan normalizovanim Hamiltonijanom H(x, t). ǋegovu duжinu definixemo sa: l{h t } = b a H t dt. Koristi emo i oznake za pozitivan i negativan deo duжine puta: l + {h t } = H + = l {h t } = H = max H t dt, min H t dt. Rastojaǌe između dva Hamiltonova difeomorfizma se definixe sa: d(φ, ψ) = inf l{h t } gde je infimum uzet po svim Hamiltonovim putevima {h t }, t [a, b], za koje vaжi h a = φ i h b = ψ.

GLAVA 3. HOFEROVA METRIKA NA GRUPI HAM(M, ω) 25 Duжina Hamiltonovog puta ne zavisi od parametrizacije pa moжemo uzeti da je a =, b = 1. Ovako definisano rastojaǌe e zadovoǉavati slede e osobine: d(φ, ψ) = d(ψ, φ) d(φ, θ) d(φ, ψ) + d(ψ, θ) d(φ, ψ) Tvrđeǌe 3.4.2. Funkcija d je biinvarijantna, vaжi za svako φ, ψ, θ Ham(M, ω). d(φ, ψ) = d(φθ, ψθ) = d(θφ, θψ) Dokaz. Znamo da ako je {h t } Hamiltonov put u Ham(M, ω) tada je i {h t θ} Hamiltonov put za svako θ Ham(M, ω). Definiximo skupove X = { l{h t } h t Ham(M, ω), h a = φ, h b = ψ }, Y = { l{f t } f t Ham(M, ω), f a = φθ, f b = ψθ }. Vidimo da je d(φ, ψ) = inf X i da je d(φθ, ψθ) = inf Y. Ho emo da pokaжemo da vaжi jednakost skupova X i Y qime bismo pokazali da je i d(φ, ψ) = d(φθ, ψθ). Neka je x X proizvoǉan broj. Tada postoji Hamiltonov put {h t }, h a = φ, h b = ψ, koji je generisan nekim Hamiltonijanom H. Put {f t } = {h t θ} e biti Hamiltonov put za koji vaжi f a = φθ, f b = ψθ i bi e generisan Hamiltonijanom F = Hθ. Pri tome e vaжiti l{f t } = b a F t dt = b a H t θ dt = b a H t dt = x xto znaqi da x pripada i skupu Y. Sliqno, ako krenemo od proizvoǉnog elementa y Y kojem odgovara Hamiltonov put {f t } i definixemo familiju {h t } = {f t θ 1 } dobijamo da je l{h t } = y odnosno y pripada i skupu X. Time smo pokazali jednakost skupova X i Y. Na isti naqin se pokazuje da vaжi jednakost d(φ, ψ) = d(θφ, θψ). Ovako definisana funkcija d je jedna metrika na Ham(M, ω). Ovu teoremu je postavio i dokazao Hofer u [4] koriste i beskonaqno dimenzioni varijacioni metod. U [5] je Viterbo dokazao ovu teoremu za sluqaj M = R 2n koriste i generixu e funkcije. U [6] je dokazana toerema za veliku klasu simplektiqkih mnogostrukosti koje imaju fine osobine u beskonaqnosti. Taj dokaz je baziran na Gromovǉevoj teoriji pseudoholomorfnih krivih, [17]. U [7] je teorema dokazana u opxtem sluqaju pomo u Gromovǉeve teorije. Prirodno je posebno razmatrati pozitivan i negativan deo metrike d: d + (Id, φ) = inf d (Id, φ) = inf max F t dt, ( min F t ) dt, gde su infimumi uzeti po svim Hamiltonovim tokovima {φ t } koji su generisani normalizovanim Hamiltonijanom F (x, t) tako da vaжi φ 1 = φ. Oqigledno je da vaжi nejednakost d(id, φ) d + (Id, φ) + d (Id, φ). Da li uvek vaжi jednakost je otvoren problem.

GLAVA 4 Geodezijske linije u Hoferovoj metrici 4.1 Xta ako je M = R 2n U ovoj glavi emo raditi sa (R 2n, ω ) gde je ω standardna forma na R 2n, ω = n i=1 dp i dq i a (q 1,..., q n, p 1,..., p n ) su koordinate na R 2n. Znaju i da je prva de Ramova kohomologija od R 2n jednaka, HdR 1 (R2n ) =, moжemo zakǉuqiti da je 2-forma ω taqna, odnosno da postoji 1-forma λ na R 2n za koju je ω = d λ. Proverom se vidi da vaжi ω = d( n i=1 p idq i ). U ovom sluqaju H(R 2n ) emo identifikovati sa C (R 2n ). Navex emo neke teoreme i definicije koje e nam trebati u ovom paragrafu. Teorema 4.1.1. Darbu Svaka simplektiqka mnogostrukost je lokalno simplektomorfna mnogostrukosti (R 2n, dp i dq i ). Dokaz. Neka je (M, ω) proizvoǉna simplektiqka mnogostrukost. Ho emo da pokaжemo da za svaku taqku a M postoje lokalne koordinate (U, ϕ), a U, pri qemu preslikavaǌe ϕ : (q 1,..., q n, p 1,..., p n ) b U M zadovoǉava uslov ϕ() = a i ϕ ω = ω. Izaberimo oko taqke a proizvoǉne lokalne koordinate (V, ψ) u kojima je ψ() = a. Sada formu ω lokalno moжemo posmatrati kao 2-formu na R 2n. Ho emo da konstruixemo difeomorfizam ϕ u okolini nule za koji vaжi ϕ() = i ϕ ω = ω. Posmatrajmo familiju formi: ω t = ω + t(ω ω ), t 1. Vidimo da je ω t = ω za t = i da je ω 1 = ω. Жelimo da nađemo familiju difeomorfizama ϕ t koji e zadovoǉavati uslov ϕ = Id i jednaqinu (ϕ t ) ω t = ω, t 1. (1) Difeomorfizam ϕ t za t = 1 e biti traжena funkcija. Sa X t oznaqimo vektorsko poǉe koje generixe ϕ t kao svoj tok. Diferenciraǌem jednaqine (1) po t vidimo da takvo vektorsko poǉe X t zadovoǉava identitet: = d dt (ϕt ) ω t = (ϕ t ) {L Xt ω t + d } dt ω t, 26