OT3OS1 7.11.217.
Definicije
Funkcija prenosa Funkcija prenosa se definiše kao količnik z transformacija odziva i pobude. Za LTI sistem: y n h k x n k Y z X z k Z y n Z h n Z x n Y z H z X z H z H z n h n z n
Funkcija prenosa Veliku grupu sistema čine sistemi koji se mogu predstaviti diferencnim jednačinama sa konstantnim koeficijentima. Ovi sistemi mogu biti sistemi sa beskonačnim impulsnim odzivom (IIR) ili sistemi sa konačnim impulsnim odzivom (FIR). (beskonačno/konačno se odnosi na dužinu impulsnog odziva).
IIR Funkcija prenosa FIR M y n b x n k a y n k N k k k1 k Diferencna jednačina M y n b x n k k k M k k k k Z y n b z Z x n b z Z y n k k1 N Z M k yn bk z Zxn k H z k bz k Y z k N X z k 1 az M k 1 k Q z P z 1 1 Funkcija prenosa H z M bk z k k M NM k z H z z bz k Mk N N N k ak z k 1 H z 1 M Mk M bk z k z
Nule i polovi funkcije prenosa IIR FIR H z H M k 1 N k 1 1 q 1 p k k z z k k H z N M M k 1 N z pk k 1 z q k H M 1 z H 1 qk z H z qk M k 1 z 1 M k 1 1.8.6.4 1.5 Trivijalni polovi Imaginary Part.2 -.2 Imaginary Part 32 -.4 -.5 -.6 -.8-1 -1-1 -.5.5 1 Real Part -1 -.5.5 1 1.5 2 Real Part
Stabilnost i kauzalnost sistema Da bi sistem bio stabilan oblast konvergencije mora obuhvatati jedinični krug Da bi sistem bio kauzalan oblast konvergencije mora se nalaziti izvan kruga koji prolazi kroz pol najudaljeniji od koordinantnog početka Za kauzalni linerani vremenski invarijantni sistem navedena dva uslova će biti zadovoljena ako i samo ako svi polovi funkcije prenosa leže unutar jediničnog kruga kompleksne z ravni
Frekvencijski odziv j H e n h n e jn Furijeova transformacija impulsnog odziva j j H e H z ze Veza sa z transformacijom j j j R I H e H e jh e Kompleksna funkcija!!!
Frekvencijski odziv j j exp arg j H e H e j H e j j M e H e M 2 2 j j j H e H R e H I e Amplitudska karakteristika j arg H e tan 1 H H I R e e j j Fazna karakteristika
Pojačanje, slabljenje... 2 log M db g Pojačanje 2 log M db a Slabljenje d d Grupno kašnjenje
Uticaj rasporeda nula i polova na karakteristike sistema
Frekvencijski odziv j j N M He H e M k 1 N k 1 e e j j q p k k Im P k z ravan e j j e qk Qke j e pk Pke M H j j M k 1 N qk pk k 1 Q P k k -1-1 p k pk Q k qk q k 1 Re
Uticaj položaja nula i polova Nula ili pol će imati najveći uticaj na frekvencije koje odgovaraju delu jediničnog kruga koji je najbliži nuli ili polu. Sa približavanjem nule ili pola jediničnom krugu uticaj na karakteristiku raste. Za pol čiji je modul p k približno 1, amplitudska karakteristika ima lokalni maksimum Za nulu čiji je modul q k približno 1, amplitudska karakteristika ima lokalni minimum.
Uticaj položaja nula i polova Za nulu na jediničnom krugu = k amplitudska karakteristika ima nulu, a faza ima skok od radijana. Ako neki od polova funkcije prenosa leži na jediničnom krugu za = k amplitudska karakteristika ima beskonačnu vrednost. Polovi ili nule koji se nalaze u koordinatnom početku ne utiču na amplitudsku karakteristiku, već samo na faznu. Zbog toga se ove nule i polovi smatraju trivijalnim.
Frekvencijski odziv - primer
Frekvencijski odziv - primer
Frekvencijski odziv - primer
Frekvencijski odziv - primer
Frekvencijski odziv - primer
Nulta fazna k-ka Idealni filtar Linearna fazna k-ka H F e j 1, c,, c c 1 jn h F n e d 2 c sin n c n H LF e j e jn, d,, sin d c nn nn d n n c 1 j hlf n e d 2 c c c d
Idealni diferencijator n j H e j, h dif dif cos n n
Idealni Hilbertov transformator H H e j j,, j, 2 n sin 2 2 hh n, n, n, n
Realno ostvarive karakteristike diskretnih LTI sistema
Realno ostvarive karakteristike diskretnih LTI sistema Nepropusni opseg Im z ja e z e j p z ravan H NF (e jω ) -1 1 Re Propusni opseg 1δ p 1-1 δ a ω p ω a π ω
Funkcija prenosa linearne faze Nulta fazna k-ka, ostvariv sistem (ostvariv, konačna dužina Im. od.) j nm M H e h n e h n h n M j jn jn n1 M jn H e h h e e j 2 cos A H e h h n ω n1 M A ω Realna amplitudska funkcija
LF Funkcija prenosa linearne faze h h n M LF H e H e e j j j M 1 H.5.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1-5 -1-15.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 3 2 1.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 /
LF Funkcija prenosa linearne faze h h n M LF H e H e e j j j M 1.5 1 Imaginary Part.5 -.5 4-1 -1.5-2 -1.5-1 -.5.5 1 1.5 2 Real Part
Filtar svepropusnik, all-pass
Filtar minimalne faze Stabilan filtar: svi polovi unutar jediničnog kruga Položaj nula ne utiče na stabilnost Sistem kod koga su sve nule unutar jediničnog kruga naziva se sitem minimalne faze
Zadatak 1 a) Za filtar za usrednjavanje (moving average) dužine 5 nacrtati impulsni odziv i karakteristiku slabljenja filtra. b) Odrediti ukupan ekvivalentni impulsni odziv i karakteristiku slabljenja za kaskadnu vezu dva identična filtra data pod a).
Zadatak 1 rešenje 1 h=[1 1 1 1 1]/5; figure,stem([:4],h),xlabel('n'),ylabel('h(n)'); [H,w]=freqz(h,1,1); figure,plot(w/pi,-2*log1(abs(h))), xlabel('\omega/\pi'),ylabel('slabljenje [db]'); figure,zplane(h); angle(roots(h))/pi H_na_2=H.*H; figure,plot(w/pi,-2*log1(abs([h H_na_2]))); xlabel('\omega/\pi ); ylabel('slabljenje [db]'),legend(' H ',' H ^2'); hkv=conv(h,h) figure,stem([:8],hkv),xlabel('n'),ylabel('hkv(n)'); [Hkv,w]=freqz(hkv,1,1); figure,plot(w/pi,-2*log1(abs([hkv H_na_2]))); xlabel('\omega/\pi'); ylabel('slabljenje [db]'),legend(' Hkv ',' H ^2'); figure,zplane(hkv); angle(roots(hkv))/pi
Zadatak 1 rešenje 2 h=[1 1 1 1 1]/5; figure,stem([:4],h),xlabel('n'),ylabel('h(n)');.2.18.16.14.12 h(n).1.8.6.4.2.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 n
Zadatak 1 rešenje 3 [H,w]=freqz(h,1,1); figure,plot(w/pi,-2*log1(abs(h))), xlabel('\omega/\pi'),ylabel('slabljenje [db]'); 35 3 25 Slabljenje [db] 2 15 1 5.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 /
Zadatak 1 rešenje 4 1 ans = Imaginary Part.8.6.4.2 -.2 4.4 -.4.8 -.8 -.8 -.4 35 -.6 3 -.8-1 25-1 -.5.5 1 Real Part figure,zplane(h); angle(roots(h))/pi Slabljenje [db] 2 15 1 5.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 /
Zadatak 1 rešenje 5 H_na_2=H.*H; figure,plot(w/pi,-2*log1(abs([h H_na_2]))); xlabel('\omega/\pi'); ylabel('slabljenje [db]'),legend(' H ',' H ^2'); 7 6 H H 2 3 2.5 H H 2 5 2 Slabljenje [db] 4 3 Slabljenje [db] 1.5 2 1 1.5.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 /.2.4.6.8.1.12.14.16.18.2 /
Zadatak 1 rešenje 6 hkv=conv(h,h) figure,stem([:8],hkv),xlabel('n'),ylabel('hkv(n)');.25.2 h kv h h hkv(n).1.15 hkv =.5 1 2 3 4 5 6 7 8 n.4.8.12.16.2.16.12.8.4
Zadatak 1 rešenje 7 [Hkv,w]=freqz(hkv,1,1); figure,plot(w/pi,-2*log1(abs([hkv H_na_2]))); xlabel('\omega/\pi'); ylabel('slabljenje [db]'),legend(' Hkv ',' H ^2'); 7 6 Hkv H 2 5 Slabljenje [db] 4 3 2 H kv H 2 1.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 /
Zadatak 1 rešenje 8 figure,zplane(hkv); angle(roots(hkv))/pi ans =.8 1 2.4 Imaginary Part.6.4.2 -.2 -.4 2 8 -.4.4 -.4.8 -.6 -.8-1 2 2 -.8.8-1 -.5.5 1 Real Part -.8