VI, VII i VIII dvoqs veжbi Vldimir Blti 4. Relije Teorijski uvod Podsetimo se n neke od pojmov veznih z skupove, koji su nm potrebni z uvođeƭe pojm relije. Dekrtov proizvod skup iniemo n slede i nqin: X Y = {(, ) X, Y }. Z Dekrtov proizvod skup s smim sobom immo X = X X = {(, ), X}. Primer. Nek je A = {,, 3}. Odrediti A. ReeƬe. A = A A = {(, ), (, ), (, 3), (, ), (, ), (, 3), (3, ), (3, ), (3, 3)}. Definiij. Binrn relij nd skupom X je bilo koji podskup Dekrtovog proizvod X = X X, tj. X. Ako je (, b) to emo kr e pisti b, ko (, b) to emo pisti b. Sd emo nvesti osnovne osobine binrnih relij (nd skupom X). R Refleksivnost ( X). S Simetriqnost (, X). AS Antisimetriqnost (, X), =. T Trnzitivnost (,, z X), z z. Nglsimo: kd ne vжi nek od ovih osobin dovoʃno je dti kontrprimer, ko vжi ond mormo d pokжemo d vжi z sve elemente iz X! U zvisnosti koje od ovih osobin poseduje relije, immo vжne klse relij. Relij koj je R,S,T nziv se relij ekvivlenije. Kd immo reliju ekvivlenije z svki element uvodimo pojm klse ekvivlenije element, u ozni C ili [] ili /, ko skup svih element koji su u reliji s, tj. C = [] = { X }. Sve klse ekvivlenije qine jedno rzbijƭe skup X n podskupove. Relij koj je R,AS,T nziv se relij poretk ili uređeƭe ( z skup X kжemo d je uređen skup). Z reliju poretk kжemo d je relij totlnog poretk ukoliko z svk element i vжi d je ili (td kжemo d su svk element uporediv). Skup snbdeven s relijom totlnog poretk nzivmo i ln. Relij poretk koj nije relij totlnog poretk nziv se relij prijlnog poretk. Primer. = {(, 3), (, ), (, 3), (3, )} je jedn relij (jer je A ) n skupu A uvedenom u prethodnom primeru. Ovko zdtu reliju (n konqnom skupu A) moжemo opisti n jo nekoliko nqin. Moжemo nbrojti sve elemente koji su u reliji: 3,, 3 i 3. Tkođe moжemo nbrojti i sve elemente koji nisu u reliji:,,, 3 i 3 3. Tbliqno (z b trжimo s leve strne, b gore i u preseku odgovrju e vrste i kolone stvʃmo ko su elementi u reliji, 0 ko nisu; ponekd se umesto i 0 koriste i ): 3 3 0 0 0 ili 3 0 0 3 Preko grf relije (ko immo b ond stvʃmo streliu koj ide od k b): 3
Primer 3. Ispitti osnovne osobine relij n reliji iz prethodnog primer. ReeƬe. R Ov relij nije reflesivn jer. Ovo moжemo videti i iz tblie (n glvnoj dijgonli bi morli d immo sve ) i iz grf (oko svkog element bi morli d immo petʃu, ne smo oko ). S Ov relij nije simetriqn jer 3 3, li mi immo 3. Ovo moжemo videti i iz tblie (elementi simetriqni u odnosu n glvnu dijgonlu morju biti međusobno jednki) i iz grf (između svkog pr rzliqitih element mormo imti ili 0 ili grne). AS Ov relij nije ni ntisimetriqn jer 3, 3 = 3, to nije tqno jer su i 3 rzliqiti brojevi. Ovo moжemo videti i iz tblie (elementi simetriqni u odnosu n glvnu dijgonlu ne mogu ob biti ) i iz grf (između svkog pr rzliqitih element mormo imti ili 0 ili grnu). T Ov relij nije ni trnzitivn jer 3, 3, mi immo. Sd emo dti jo kontrprimer (koji se teжe nlzi): 3, 3 3 3, mi immo 3 3. Vidimo d u ovim osobinm neki od,, z mogu biti međusobno jednki!!! Ovo njlke vidimo iz grf (kko immo grne 3 i 3, tj. 3, mormo imti i ). Definiij. Nek je relij poretk n skupu X. Element X je njmƭi element skup X ko vжi Element X je njve i element skup X ko vжi ( X). ( X). Element X je minimln element skup X ko vжi ( X) ( ). Element X je mksimln element skup X ko vжi ( X) ( ). Znqi, element je njmƭi ukoliko je mƭi od svih ostlih, tj. vжi z sve X. Element je minimlni element ukoliko ne postoji element koji je mƭi od Ƭeg. Sliqno, element je njve i ukoliko je ve i od svih ostlih, tj. vжi z sve X. Element je mksimlni element ukoliko ne postoji element koji je ve i od Ƭeg. Kod relij n konqnom skupu koje su predstvʃene grfom, iz qvor koji odgovr njmƭem elementu vodi grn k svim ostlim qovorovim, dok z minimlni element iz Ƭemu odgovrju eg qvor smo izlze grne (i nijedn ne ulzi u Ƭeg). Sliqno, u qvor koji odgovr njve em elementu vode grne iz svih ostlih qovorov, dok z mksimlni element u Ƭemu odgovrju i qvor smo ulze grne (i nijedn ne izlzi u Ƭeg). Teorem. Ako postoji njmƭi element skup X (u odnosu n reliju ), on je jedinstven. Td je to i jedini minimln element. Ako postoji njve i element skup X (u odnosu n reliju ), on je jedinstven. Td je to i jedini mksimln element. Obrnuto ne mor d vжi (u sluqju beskonqnih skupov), dok kod konqnih skupov vжi d ko skup im jedn minimln (mksimln) element td je on i njmƭi (njve i) element. Definiij 3. Nek je relij poretk n skupu X i nek je A X. Element X je doƭ međ (ili doƭ grni ili minornt) skup A ko vжi ( A). Njve doƭ međ nziv se infimum skup A i oznqv se s inf A. Element X je gorƭ međ (ili gorƭ grni ili mjornt) skup A ko vжi ( A). NjmƬ gorƭ međ nziv se supremum skup A i oznqv se s sup A. Uređen skup u kome svk dv element imju supremum i infimum nziv se reetk (ili mreж).
Teorem. Svki ln je i reetk. Obrnuto tvrđeƭe ne vжi. Z grfiqko predstvʃƭe uređenih konqnih skupov, osim uobiqjenog grfovskog prikz, koriste se i Hseovi dijgrmi. Definiij 4. Nek je (X, ) uređen skup. Element X je neposredni prethodnik element X ko je,, i ne postoji z S, rzliqit od i, tkv d je z i z. Drugim reqim, je neposredni prethodnik od ko nijedn drugi element skup A ne moжe d se,,smesti između i. Preko neposrednog prethodnik u uređenom skupu (X, ) moжemo z svki element skup X d odredimo Ƭegov nivo u odnosu n reliju. Element X je n nivou 0 ko nem neposrednih prethodnik (elementi n nivou 0 se nzivju tomi). U suprotnom, element je n nivou k, k > 0, ko im br jednog neposrednog prethodnik n nivou k, dok svi ostli Ƭegovi neposredni prethodnii imju nivo ne ve i od k. Sd se Hseov dijgrm skup (X, ) dobij n slede i nqin. Svkom elementu iz X pridruжuje se jedn qvor dijgrm. Svi ovi qvorovi se poređju prem Ƭihovim nivoim, poqevi od nivo 0 n dnu do njve eg nivo n vrhu, i svki qvor se spj linijm s svim svojim neposrednim prethodniim. Ove linije mogu biti neorijentisne ili se one orijentiu, od qvor mƭeg nivo k qvoru ve eg nivo, d bi se nglsilo koji je element s kojim u reliji. Qe e se koristi orijentisn Hseov dijgrm. Primer 4. Odrediti (neorijentisn) Hseov dijgrm z prijlno uređen skup ( P ( {,, 3} ), ). ReeƬe. {,,3} {,} {,3} {,3} {} {} {3} U ovom Hseovom dijgrmu je przn skup n nivou 0, n nivou su {}, {} i {3}, n nivou su {, }, {, 3} i {, 3}, dok je n nivou 3 eo skup {,, 3}. Primer 5. Odrediti (orijentisn) Hseov dijgrm prijlno uređenog skup ( {,,..., 9}, ). Podsetimo se d je relij deʃivosti. ReeƬe. 8 4 6 9 3 5 7 Kko broj deli sve ostle, on je n nivou 0, n nivou su prosti brojevi, 3, 5 i 7, n nivou su 4, 6 i 9, dok je n nivou 3 smo 8. Primer 6. Orijentisni Hseov dijgrm totlno uređenog skup ( {,, 3, 4}, ). ReeƬe. 4 3 4 3 N slii levo je dt Hseov dijgrm totlno uređenog skup (iz Ƭegovog izgled je jsnije zto se nziv ln!). U Ƭemu je broj n nivou 0, je n nivou, 3 n nivou, dok je 4 n nivou 3. Iz nqin konstrukije Hseovog dijgrm moжemo d vidimo d su elementi n istom nivou neuporedivi. Iz ovog zkʃuqujemo d kod totlno uređenog skup (ili ln), kod kog su svk dv element uporediv, n svkom nivou postoji tqno jedn element. Stog je Hseov dijgrm ln ( {,, 3, 4}, ), prikzn n prethodnoj slii levo, mnogo jednostvniji i pregledniji nego odgovrju i grfovski prikz istog ovog skup ( {,, 3, 4}, ) koji je dt n slii desno. 3
Zdi. Dt je skup S = {,, 3}. ) Odrediti koliko im rzliqitih relij insnih n skupu S. b) Koliko im rzliqitih refleksivnih relij n skupu S. ReeƬe. ) Urdi emo zdtk u optem sluqju, kd konqn skup S im n element, tj. S = n. Relij n skupu S je bilo koji podskup skup S = S S. Kko je S = n, to je ukupn broj relij n skupu S jednk n (z svki element iz S immo mogu nosti ili d je u ili d nije u ). Ukupn broj relij n skupu S = {,, 3} jednk je 3 = 9 = 5. Npomen. Do ovog rezultt smo mogli do i i sliqnim rezonovƭem preko tblie, ko to emo rditi u delu pod b). b) Posmtrjmo tbliu ove relije. Td immo d je 3 3 jer je dt relij refleksivn. U sv ostl poʃ (kojih im 6), moжemo upisti ili 0 ili (to su mogu nosti). Stog je ukupn broj refleksivnih relij u skupu S = {,, 3} jednk 6 = 64... dom i 009. ) Odrediti sve mogu e relije ekvivlenije nd skupom Q = {,, 3, 4}. Koliko ih ukupno im? b) Odrediti koliko im relij poretk nd skupom P = {,, 3}. ReeƬe. ) Svk relij ekvivlenije n skupu Q odgovr jednom rzbijƭu skup Q n podskupove (to e biti klse ekvivlenije). Skup Q = {,, 3, 4} moжemo rzbiti n podskupove n slede e nqine (pored svkog rzbijƭ je npisn odgovrju relij ekvivlenije): {,, 3, 4} = {(,),(, ),(,3), (,4), (,),(, ),(,3), (,4), (3,),(3, ),(3, 3),(3,4), (4,), (4,),(4, 3),(4, 4)} {,, 3} {4} = {(, ), (, ), (, 3), (, ), (, ), (, 3), (3, ), (3, ), (3, 3); (4, 4)} {,, 4} {3} 3 = {(, ), (, ), (, 4), (, ), (, ), (, 4), (4, ), (4, ), (4, 4); (3, 3)} {, 3, 4} {} 4 = {(, ), (, 3), (, 4), (3, ), (3, 3), (3, 4), (4, ), (4, 3), (4, 4); (, )} {, 3, 4} {} 5 = {(, ), (, 3), (, 4), (3, ), (3, 3), (3, 4), (4, ), (4, 3), (4, 4); (, )} {, } {3, 4} 6 = {(, ), (, ), (, ), (, ); (3, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 4)} {, 3} {, 4} 7 = {(, ), (, 3), (3, ), (3, 3); (, ), (, 4), (4, ), (4, 4)} {, 4} {, 3} 8 = {(, ), (, 4), (4, ), (4, 4); (, ), (, 3), (3, ), (3, 3)} {, } {3} {4} 9 = {(, ), (, ), (, ), (, ); (3, 3); (4, 4)} {, 3} {} {4} 0 = {(, ), (, 3), (3, ), (3, 3); (, ); (4, 4)} {, 4} {} {3} = {(, ), (, 4), (4, ), (4, 4); (, ); (3, 3)} {, 3} {} {4} = {(, ), (, 3), (3, ), (3, 3); (, ); (4, 4)} {, 4} {} {3} 3 = {(, ), (, 4), (4, ), (4, 4); (, ); (3, 3)} {3, 4} {} {} 4 = {(3, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 4); (, ); (, )} {} {} {3} {4} 5 = {(, ); (, ); (3, 3); (4, 4)}. Svk od ovih relij odgovr jednom od slede ih tipov. Tip T je smo relij i tu immo smo jednu klsu {, b,, d}. Tipu T pripdju relije, 3, 4 i 5 i tu immo klse {, b, } i {d}. Tipu T 3 pripdju relije 6, 7 i 8 i tu immo klse {, b} i {, d}. Tipu T 4 pripdju relije 9, 0,,, 3 i 4 i tu immo klse {, b}, {} i {d}. Tip T 5 je smo relij 5 i tu immo 4 klse {}, {b}, {} i {d}. d d d d d b b b b T T T 3 T 4 T 5 Dkle, ukupno im 5 relij ekvivlenije n skupu Q = {,, 3, 4}. b 4
b) Svku od tih relij poretk moжemo predstviti Hseovim dijgrmom. I ovde immo 5 rzliqitih tipov relij poretk. b b b b b T T T 3 T 4 T 5 Relij poretk tip T im 3! = 6 (jer svkoj permutiji brojev,,3 odgovr jedn relij poretk). Ovo su jedine relije totlnog poretk (lni). Relij poretk tip T im ( 3 ) = 3 (jer element b moжemo odbrti od 3 broj,,3 n 3 rzliqit nqin; izborom b smo odredili i i ). Relij poretk tip T 3 im ( 3 ) = 3 (jer element b moжemo odbrti od 3 broj,,3 n 3 rzliqit nqin; izborom b smo odredili i i ). Relij poretk tip T 4 im ( 3 )! = 6 (jer element moжemo odbrti od 3 broj,,3 n 3 rzliqit nqin, ztim elemente i b moжemo urediti n nqin). Relij poretk tip T 5 im ( 3 3) =. Dkle, ukupno im 9 relij poretk n skupu {,, 3}. 3.. mrt 009. Nek je ρ binrn relij inisn n S R + tko d z sve, S vжi + 5 3. ) Dokzti d je (S, ) prijlno uređen skup. b) Predstviti reliju grfom i tbliqno, ko je S = {,, 3, π, 5 }. v) N i supremum i infimum podskup T = {, 3, 5}. g) D li je (S, ) reetk, gde je S = {,, 3, π, 5 }? ReeƬe. N osnovu qiƭenie d je S R + sledi d su svi, > 0, p nejednkost kojom je zdt relij moжemo d pomnoжimo s 3 > 0 (i ne e se meƭti znk!). Odtle dobijmo d je + 5 6, tj.. ) Z reliju znmo d je relij poretk ( to moжemo i pokzti nlogno ko i z reliju iz Zdtk 8.), p je i relij relij poretk, tj. (S, ) je prijlno uređen skup. Iko je prethodno dovoʃno d kжemo, sd emo strogo formlno i pokzti d je relij poretk. R Kko je z svko R +, to je ov relij refleksivn. AS Ako je i ond je, p kko je =, to i u prethodnim nejednkostim mor d vжi znk jednkosti, tj. dobijmo d je =, odnosno relij je ntisimetriqn. T Ako je i z ond je z, tj. z, odnosno relij je trnzitivn. Kko je ov relij R,AS,T on je relij poretk. b) 3 π 5 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 π 0 5 v) GorƬe međe skup T su svi brojevi, tkvi d je (tj. ) z sve T. Supremum je njmƭ (u odnosu n ) gorƭ međ, tj. sup T =. DoƬe međe skup T su svi brojevi, tkvi d je (tj. ) z sve T. Infimum je njve (u odnosu n ) doƭ međ, tj. inf T = 5. g) Kko je relij relij totlnog poretk (ln) n svkom skupu S, to je on i reetk. 3 π 5 5
4.. jun 009. Dt je relij : rzlik zbir ifr broj i zbir ifr broj je deʃiv s 5 n skupu {, 7, 38, 46, 58}. ) Nbrojti sve elemente koji su u reliji i koji nisu u reliji. b) Predstviti dtu reliju tbliqno i preko grf. v) D li je dt relij refleksivn, simetriqn, ntisimetriqn, trnzitivn? g) Ispitti d li je to relij ekvivlenije i/ili relij poretk. d) Ukoliko je to relij ekvivlenije odrediti sve klse ekvivlenije, ukoliko je to relij poretk predstviti je preko Hseovog dijgrm i ispitti d li je to relij totlnog ili prijlnog poretk, ko i t su njmƭi, njve i, minimlni, mksimlni elementi skup X u odnosu n reliju. ReeƬe. Zbirovi ifr dtih brojev, 7, 38, 46 i 58 su jednki: + =, + 7 = 9, 3 + 8 =, 4 + 6 = 0, 5 + 8 = 3. N osnovu ovog dobijmo koji su elementi u reliji (oduzmemo Ƭihove zbirove ifr i posmtrmo koji od tih brojev su deʃivi s 5). ) U reliji su:, 7 7, 38 38, 46 46, 58 58. U reliji nisu: 7, 38, 46, 58, 7, 7 38, 7 46, 7 58, 38, 38 7, 38 46, 38 57, 46, 46 7, 46 38, 46 58, 58, 58 7, 58 38, 58 46. b) 7 38 46 58 0 0 0 0 7 0 0 0 0 38 0 0 0 0 46 0 0 0 0 58 0 0 0 0 58 46 7 v) Ov je relij R (u tblii su elementi n glvnoj dijgonli jednki ; u grfu vidimo d oko svkog qvor immo petʃu). Ov je relij S (u tblii su elementi koji su simetriqni u odnosu n glvnu dijgonlu međusobno jednki i to 0; u grfu vidimo d između rzliqit qvor immo ili 0 ili grne tqnije 0 grn). Ov je relij AS (u tblii među elementim koji su simetriqni u odnosu n glvnu dijgonlu ne nlzimo dve ; u grfu vidimo d između rzliqit qvor immo ili 0 ili grnu tqnije 0 grn). Ov je relij T (vidimo s grf, jer nigde nem nijedne od slede e situije koje kvre T: 38 z = z jer u grfu ne postoji nijedn grn između rzliqit qvor!) g) Ov relij je R, S i T, p je relij ekvivlenije. Ov relij je R, AS i T, p je relij poretk. d) Klse ekvivlenije su: [] = {}, [7] = {7}, [] = {38}, [46] = {46}, [58] = {58}. Relij nije relij totlnog poretk jer 7 i 7, tj. to je relij prijlnog poretk. Hseov dijgrm ove relije je predstvʃen n slede oj slii (svi qvorovi su n istom nivou jer nikoj nisu uporediv u odnosu n reliju ). Kko on nije ln, to je relij prijlnog poretk. 7 38 46 58 Svi elementi su i minimlni (kko im vie minimlnih nem njmƭi) i mksimlni (kko im vie mksimlnih nem njve i). Npomen. Xt bi bile klse ekvivlenije z : rzlik broj i broj je deʃiv s 5? 6
5.. zdtk, februrski rok 00. Nek je dt skup A = {, bb, bb, dbb, ddb, d} i n Ƭemu relije,, 3 A su dte s reqi i su iste duжine, 3 ) Predstviti sve 3 relije tbliqno i preko grf. reqi i poqiƭu istim slovom, req nem mƭe slov od reqi. b) D li su dte relije refleksivne, simetriqne, ntisimetriqne, trnzitivne? v) Ispitti d li su one relije ekvivlenije i/ili relije poretk. g) Ukoliko je nek od Ƭih relij ekvivlenije odrediti sve klse ekvivlenije, ukoliko relij poretk predstviti je preko Hseovog dijgrm i ispitti d li je to relij totlnog ili prijlnog poretk, ko i t su njmƭi, njve i, minimlni, mksimlni elementi skup X u odnosu n svku od relij, i 3. ReeƬe. duжine. ) Prvo emo ispitti osobine relije kod koje su reqi u reliji ko i smo ko su iste bb bb dbb ddb d 0 0 0 0 0 bb 0 0 0 0 0 bb 0 0 0 0 0 dbb 0 0 0 0 0 ddb 0 0 0 0 0 d 0 0 0 0 0 ddb d dbb bb bb b) Ov je relij R (u tblii su elementi n glvnoj dijgonli jednki ; u grfu vidimo d oko svkog qvor immo petʃu). Ov je relij S (u tblii su elementi koji su simetriqni u odnosu n glvnu dijgonlu međusobno jednki to su po dve 0; u grfu vidimo d između rzliqit qvor immo 0 grn). Ov je relij AS (u tblii su elementi koji su simetriqni u odnosu n glvnu dijgonlu nisu jednki i ; u grfu vidimo d između rzliqit qvor immo 0 grn). Ov je relij T (vidimo s grf ne postoje grne koje se ndovezuju). v) Ov relij je R, S i T, p je relij ekvivlenije. Ov relij je R, AS i T, p je i relij poretk. g) Klse ekvivlenije su: [] = {}, [bb] = {bb}, [bb] = {bb}, [dbb] = {dbb}, [ddb] = {ddb}, [d] = {d}. Ovo je relij prijlnog poretk (nije totlnog poretk jer nisu svk element uporediv, npr. d i d ). Hseov dijgrm ove relije je: bb bb dbb ddb d Svi elementi su i minimlni i mksimlni, p ne postoje njmƭi i njve i element. Sd emo ispitti osobine relije kod koje su reqi u reliji ko i smo ko poqiƭu istim slovom. ) ddb dbb bb bb dbb ddb d 0 0 0 0 bb 0 0 0 0 bb 0 0 0 0 0 dbb 0 0 0 d bb ddb 0 0 0 d 0 0 0 N ispitu nije bil dt relij 3 nego smo i. bb 7
b) Ov je relij R (u tblii su elementi n glvnoj dijgonli jednki ; u grfu vidimo d oko svkog qvor immo petʃu). Ov je relij S (u tblii su elementi koji su simetriqni u odnosu n glvnu dijgonlu međusobno jednki; u grfu vidimo d između rzliqit qvor immo ili 0 ili grne). Ov relij nije AS (ne vжi bb, bb = bb). Ov je relij T (vidimo s grf jer kd god immo grne koje se ndovezuju immo i,,preqiu ). v) Ov relij je R, S i T, p je relij ekvivlenije. Kko nije AS on nije relij poretk. g) Klse ekvivlenije su: [] = [bb] = {, bb}, [bb] = {bb}, [dbb] = [ddb] = [d] = {dbb, ddb, d}. Sd emo ispitti osobine relije 3 kod koje je req u reliji s reqi ko i smo ko su iste duжine ili je duж od. ) bb bb dbb ddb d 0 0 0 0 0 bb 0 0 bb 0 0 0 dbb ddb 0 d 0 0 0 0 ddb d dbb bb bb b) Ov je relij R (u tblii su elementi n glvnoj dijgonli jednki ; u grfu vidimo d oko svkog qvor immo petʃu). Ov relij nije S (npr. d 3, 3 d). Ov je relij AS (u tblii su elementi koji su simetriqni u odnosu n glvnu dijgonlu nisu jednki i ; u grfu vidimo d između rzliqit qvor immo tqno grnu). Ov je relij T (vidimo s grf jer kd god immo grne koje se ndovezuju immo i,,preqiu ). v) Ov relij nije S, p nije relij ekvivlenije. Ov relij je R, AS i T, p je i relij poretk. g) Ovo je relij totlnog poretk (svk element su uporediv vidimo iz grf d između svk rzliqit qvor postoji tqno jedn grn). Hseov dijgrm ove relije je: d bb bb ddb dbb Kko je Hseov dijgrm ove relije ln, to je relij totlnog poretk. NjmƬi element je dbb, p je to i jedini minimln element. Njve i element je, p je to i jedini mksimln element. 8
6. 4. zdtk, grup A, I kolokvijum 0. Dt je relij : = ili ko je < i zbir ifr broj deli zbir ifr broj n skupu X = {, 0,, 3, 50}. ) Nbrojti sve elemente koji su u reliji i koji nisu u reliji. b) Predstviti dtu reliju tbliqno i preko grf. v) D li je dt relij refleksivn, simetriqn, ntisimetriqn, trnzitivn? g) Ispitti d li je to relij ekvivlenije i/ili relij poretk. d) Ukoliko je to relij ekvivlenije odrediti sve klse ekvivlenije, ukoliko je to relij poretk predstviti je preko Hseovog dijgrm, ispitti d li je to relij totlnog ili prijlnog poretk i odrediti minimlne, mksimlne, njmƭe i njve e elemente skup X. ReeƬe. b) 0 3 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 50 0 0 0 50 3 0 v) Ov je relij R (u tblii su elementi n glvnoj dijgonli jednki ; u grfu vidimo d oko svkog qvor immo petʃu). Ov relij nije S (npr. 0, 0). Ov je relij AS (u tblii među provim element koji su simetriqni u odnosu n glvnu dijgonlu nem i ; u grfu vidimo d između rzliqit qvor immo ili 0 ili grnu). Ov je relij T (vidimo s grf jer kd god immo grne koje se ndovezuju immo i,,preqiu : prktiqno tu sitiju smo immo kod 0, 0 ). g) Ov relij nije S, p nije relij ekvivlenije. Ov relij je R, AS i T, p je relij poretk. d) Ovo je relij prijlnog poretk (nije totlnog poretk jer nisu svk element uporediv, npr. 50 i 50 ; ni Hseov dijgrm joj nije ln). Hseov dijgrm ove relije je: 3 0 50 Elementi 50 i su minimlni, p ne postoji njmƭi element. Elementi 3 i su mksimlni, p ne postoji njve i element. 9
7.. zdtk, jnurski rok 009. Ispitti d li je relij inisn ko relij poretk n skupu: ) N prirodnih brojev; b) Z elih brojev. ReeƬe. ) Relij je inisn n skupu N, p su svi brojevi pozitivni. Stog uslov kd su dv element u reliji,, moжemo d podelimo s > 0 (zbog > 0 ne e se meƭti znk!), p dobijmo d je, z reliju poznto je d je relij poretk, li emo to ovde i pokzti. Kko je, tj. ov je relij R. Ov je relij AS:,, kko vжi = to u prethodnoj nejednkosti svud mor d vжi znk jednkosti, p je =. Ov je relij T:, z z z. Ov relij je R, AS i T, p je i relij poretk. b) Vжi jer je ( ) = = ( ) i jer je = =. Ako bi vжil ntisimetriqnost, td bi imli d je =, to nije tqno. Time smo pokzli d relij n skupu Z nije AS, p on nije relij poretk. Npomen. Ov relij nije S (npr. ), p nije relij ekvivlenije. 8. Pokzti d je relij (,,deli ) relij poretk n skupu S N, d nije relij poretk n Z. Mtemtiqk iniij d broj deli broj b je: b ( k Z) b = k. D li je ovo relij totlnog ili prijlnog poretk? D li je struktur (N, ) reetk? ReeƬe. Kko (jer postoji k Z tkvo d je = k to je k = ), ov je relij R. Ov je relij AS u N:, = k, = l = k l (ov jednkost vжi z svko N) k l = k =, l = (jer su k, l N) i konqno, iz l = =. U skupu Z jednqin k l = im i reeƭe k = l =, n osnovu koje konstruiemo kontrprimer z AS:, =. Ovim smo pokzli d relij deʃivosti nije relij poretk n skupu Z. Ov je relij T:, z = k, z = m z = m k ( k, m N k m N) z. Osobine R, AS i T vжe u N, p i u svkom Ƭegovom podskupu, S N, te smo pokzli d je relij poretk u S N. D li je ovo relij totlnog ili prijlnog poretk je trik pitƭe! Zvisi od tog t je skup S! Npr. ko S im smo element ili element od kojih jedn deli drugi ond je to relij totlnog poretk. S moжe biti i beskonqn: z S = { k : k N 0 } to je tkođe relij totlnog poretk. U nrednom zdtku djemo primere skup S kod kojih je ovo relij prijlnog poretk. U skupu N postoji infimum z bilo koj broj (to je NZD njve i zjedniqki delil), supremum z bilo koj broj je NZS (njmƭi zjedniqki sdrжl). Stog je struktur (N, ) reetk. Npomen. Qest grek je d je,,k jedino slovo koje znte! Ako ond stvimo d je = k, z u ispitivƭu AS treb uzeti neko novo slovo, npr. l i ond immo d je = l. Sliqno umesto put k, uzeli smo k i m pri ispitivƭu T. 0
9. Nek je relij,,deli,, (iz prethodnog zdtk) zdt n skupu ) S = {,, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 0, 6, 50, 5, 60}; b) S = N; v) S = N 0 = N {0}; g) S = N \ {}. Ukoliko je S konqn nrtti Hseov dijgrm ove relije. Xt su njve i, njmƭi, mksimlni i minimlni elementi (ukoliko postoje)? D li je ov relijsk struktur reetk? ReeƬe. ) Hseov dijgrm z reliju deʃivosti n skupu S = {,, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 0, 6, 50, 5, 60} (to je jedini konqn skup) je prikzn n slede oj slii: 60 6 8 50 4 9 0 5 3 5 7 Odvde vidimo d je njmƭi element, smim tim to je i jedini minimlni element. Ov struktur im vie mksimlnih element: 7,9, 5, 60. Kko im vie mksimlnih element on nem njve i element. Infimum z bilo koj broj, i b postoji (li to nije NZD npr. inf{50, 5} = 5, NZD(50, 5) = 5!!!) jer se po Hseovom dijgrmu moжemo sputti polze i od do njve eg zjedniqog delio brojev i b koji se nlzi u skupu S (on sigurno postoji jer je S). Supremum ne postoji uvek! Npr. sup{7, 9} ne postoji! Stog ov struktur nije reetk. b),v),g) Xt su njve i, njmƭi, mksimlni i minimlni elementi (ukoliko postoje), ko i d li je t relijsk struktur reetk d emo u slede oj tblii: S njmƭi el. njve i el. minimlni el. mksimlni el. reetk b) N nem nem jeste v) N 0 0 0 jeste g) N \ {} nem nem prosti brojevi nem nije Iz ove tblie vidimo koliko ml promen skup S utiqe n promenu osnovnih osobin relijske strukture. Pokжimo neke od ovih osobin iz prethodne tblie. Kko deli sve prirodne brojeve (i 0), immo d n, tj. n, p je njmƭi element, to povlqi d je i jedini minimln element (ovo vжi i u N i u N 0 ). I u N i u N \ {} ne postoji nijedn mksimlni element (pretpostvimo suprotno d postoji nek je to M, li td M M, p smim tim M nije mksimln!), to povlqi d ne postoji ni njve i element. U N 0 je 0 njve i element jer 0 dele svi prirodni brojevi : n 0, tj. n 0, tj. 0 njve i element, to povlqi d je 0 i jedini mksimln element. I u N i u N 0 ov struktur je reetk (iko je to relij prijlnog poretk), jer postoje i infimum i supremum z bilo koj element (posebno nvodimo ko je tu 0 i ko nije): inf{, b} = NZD(, b), sup{, b} = NZS(, b); inf{, 0} =, sup{, 0} = 0. Dokжimo d u N \ {} ne postoji njmƭi element. Pretpostvimo d postoji nek je to m, td m n z svko n N \ {}, p i z n = vжi d m m = (jer je to jedini broj u N \ {} koji deli ). Ali td bi morlo d vжi n z svko n N \ {}, to nije tqno (npr. 3), p smo dobili kontrdikiju. Stog ne postoji njmƭi element u N \ {}. Iz knonske fktorizije prirodnih brojev sledi d su prosti brojevi (to su brojevi koji ve i od, koji su deʃivi smo s i s smim sobom:, 3, 5, 7,, 3, 7,...) minimlni elementi u N \ {}. U N \ {} postoji supremum bilo koj broj (to je NZS), li ne postoji infimum z svk broj: npr. inf{, 3} ne postoji (jer NZD(, 3) = N \ {}), p smim tim ov struktur nije reetk. Qk i 0 deli 0! Zto smo reliju deʃivosti uvodili s onim d postoji k Z ovde z k moжemo uzeti bilo koji broj.
0.. zdtk, Probni II kolokvijum 008. Dt je relij uslovom ( + ) ( + ) n skupu S R. ) Dokzti d relij ne zdovoʃv osobinu ntisimetriqnosti n elom skupu R. b) Dokzti d relij predstvʃ reliju poretk n skupu S = [, + ). v) D li je to relij totlnog ili relij prijlnog poretk? D li je to reetk? g) Pokzti d je njve i element skup S = [, + ). d) Odrediti (ko postoje) njmƭi, njve i, minimln i mksimln element skup T = {, 0,,, 3, 3}. ReeƬe. Obe strne nejednkosti kojom je zdt relij moжemo podeliti s ( + )( + ) > 0 i td dobijmo d je f() f(), gde je f() = +. ) N elom skupu R immo d je f() = f( ) = 5, p vжi i f() f( ) i f( ) f(), tj. i, kko je sledi d ov relij nije AS. b) Kko je f() f(), tj., relij je R n svkom podskupu S R. Ako je i immo d vжi f() f() i f() f(), tj. vжi f() f() f(), odkle dobijmo d je f() = f(). Odredimo kd moжe d vжi ov jednkost. Iz f() = f(), tj. ( + ) = ( + ) to kd sredimo dobijmo kvdrtnu jednqinu ( + ) + = 0. ƫen reeƭ su, = + ± ( + ) 4 = + ± ( ), odnosno = i =. Dkle vжi i ko i smo ko je = ili =. Međutim, kko su, [, + ), tj. i, p [, + ) (sem ukoliko je =, li td je i = = ). Tko smo pokzli d moжe vжiti i smo ukoliko je =, tj. relij je AS n skupu S = [, + ). T:, z f() f(), f() f(z) f() f(), f() f(z) f() f(z) z. Kko z vжi R, AS i T to je on relij poretk n S = [, + ). v) Kko z svk element i immo d su,,uporediv, tj. ili je f() f() ili f() f(), dobijmo d je to relij totlnog poretk (ln), odtle sledi i d je reetk. g) Pokжimo d z svko S vжi f() f(), tj. +. Kd prethodnu nejednkost pomnoжimo s ( +) dobijmo +, tj. 0 +, odnosno 0 ( ), to uvek vжi. Time smo pokzli d z svko S vжi f() f(), tj., p je njve i element skup S. d) Kko je f( ) = 5, f(0) = 0, f( ) = 5, f() =, f(3 ) = 6 3, f(3) = 3 0. Vжi f( ) f(0) f(3) f( ) f(3 ) f(), tj. 0 3 3, odkle vidimo d je njmƭi (smim tim i jedini minimlni element), njve i (smim tim i jedini mksimlni) element. Npomen. AS smo mogli d pokжemo i tko to bi ispitli 3 i skiirli grfik funkije f() = Kd bi to urdili dobili bi grfik ko n slede oj slii levo: +. + 5 M + M O O M M Antisimetriqnost se svodi n to d je funkij f() =,,-, to njlke pokzujemo preko monotosti. + U sluqju R vidimo d f() nije monoton, p moжemo pron i kontrprimer z,,- : f( ) = f(),. To nm dje kontrprimer z AS:,. Grfik funkije f : [, + ) R dte s f() = je predstvʃen rvenom bojom n slii desno. On je + monotono opdju i (od tqke M funkij opd), p je f() i,,-, tj. relij je AS. 3 Ne bi morli d ispitmo elu funkiju, nego smo d odredimo oblst inisnosti, grniqne vrednosti n krjevim domen i monotonst!
.. zdtk, G grup, II kolokvijum 008. Nek je relij dt n slede i nqin: (, R) =. ) Ispitti d li je relij ekvivlenije n skupu R. Ako jeste, odrediti klse ekvivlenije element 0,, 3, i. b) Ispitti d li je relij poretk (ko i totlnog ili prijlnog poretk) n skupu R. Ako jeste odrediti njmƭi, njve i, minimln i mksimln element skup (R, ). ReeƬe. ) Uslov kojim je inisn relij moжemo trnsformisti u = + = + f() = f(), gde je f() = +. Moжe se pokzti (revƭem odgovrju e kvdrtne jednqine) d je ( = ) ( = ). Ispitjmo osnovne osobine relije n skupu R: R f() = f() ; S f() = f() f() = f() ; AS, = ne vжi jer je i, ; (do ovog kontrprimer dolzimo tko to { = potpuno isto ko i u prethodnom primeru dobijmo d je = ). T, z f() = f(), f() = f(z) f() = f(z) z. ) Kko je relij refleksivn, simetriqn i trnzitivn (R,S,T) on je relij ekvivlenije. { = Sd opet koristimo d je =, p su klse ekvivlenije: [0] = {0}, [] = {}, [ 3] = { 3, 3 }, [] = [ ] = {, }. b) Relij nije relij poretk jer nije ntisimetriqn (AS)... zdtk, februrski rok 009. Ispitti d li je relij inisn ko ( )( ) = 0 jedn relij ekvivlenije n skupu relnih brojev. Ukoliko jeste, odrediti klse ekvivlenije [0], [] i []. ReeƬe. ( )( ) = 0 = ili = = ili = ili = R = p je. S Ako je ond immo 4 sluqj: =, =, 3 = i 4 =. = = ; = =. 3 = = ; 4 = =. Kko smo u sv 4 sluqj dobili to je ov relij simetriqn. ili =. T Ako je ond immo 4 sluqj i ko je z ond immo 4 sluqj, to dje ukupno 4 4 = 6 sluqj (to je ve mnogo z ispitivti iko je z oenu :) te emo pribe i redukiji sluqjev. Ako je ond immo sluqj = i =. Ako je z ond immo sluqj = z i b = z. To dje ukupno = 4 sluqj: =, = z = z z; b =, = z = z z; =, = z = z z; b =, = z = z = z z. Kko smo u sv 4 sluqj dobili, z z to je ov relij trnzitivn. Kko je R,S,T dt relij je jedn relij ekvivlenije n skupu relnih brojev. Odredimo trжene klse ekvivlenije: [0] = { R 0 } = {0}, [] = { R } = {, }, [] = { R } = {,,, }. 3