Dreptul de copyright: Crte dowlodtă de pe site-ul www.mteifo.ro u pote fi pulictă pe u lt site şi u pote fi folosită î scopuri comercile fără specificre sursei şi cordul utorului Adri St Editur Rfet 007
. Mulţime umerelor rele.. Scriere î z zece: cd 0 0 c0 d -cifr miilor; -cifr sutelor; c-cifr zecilor; d-cifr uităţilor;, efg 0 e0 f 0 g0 0 e0. f 0.0 g0.00 e-cifr zecimilor; f-cifr sutimilor; g-cifr miimilor.. Frcţii c -Frcţii zecimle fiite:, ;, c ; 0 00 -Frcţii zecimle periodice:- c simple:,( ;,( c ; 9 99 c cd mite:, ( c ;, ( cd ; 90 990.. Rporte şi proporţii se umeste rport 0; k se umeşte coeficiet de proporţiolitte ; Propriette fudmetlă proporţiilor: k, * Q, c d d c 4. Proporţii derivte: c d d d c su su c c d c ± c ± d su ± c ± d d c c su su d d c d.
5. Sir de rporte egle:...... ;... (,,,... şi (,,,... sut direct proporţiole.. k. (,,... şi (,,,..., sut ivers proporţiole.. 6. Modulul umerelor rele Proprietăţi:, 0 def 0, 0, 0., R 0 ;. 0, 0. R ;, ; 4., ± ; 5. ; 6. 7. ± ; ; 8., ±, 0 ; 9., [, ], 0 ; 0., [, ] [, ], 0. 7. Reguli de clcul î R. ( ;. ( ;. ((- - ;
4 4. ( c c c c 5. ( ; 6. ( ; 7. ( ( ; 8. ( (. 8. Puteri cu epoet îtreg fctori def.... 8. 0 ; 4. 0, 7. (. 0, 6.. ( 5. 0; ;0 ;. m m m m m m m m o 9. Proprietăţile rdiclilor de ordiul doi. R, 0.. 0, 4. (, 5. ± ± ude ²-k².
0. Medii y Medi ritmetică m Medi geometrică m g y p q y Medi podertă m p ; p, q poderile p q y Medi rmoică m h. y y Ieglitte mediilor y y y y. Ecuţii 0, 0 ±, 0 ; ± 4c c 0,. 0, 4c 0., 0 ±., 0 [,. []. Procete p % di N N p 00 5
S p D. Doâd oţiută pri depuere l că uei 00 sume S de i pe o periodă de lui cu procetul p l doâdei ule cordte de că. Cât l sută reprezită umărul di N. 00 % di N. N. Prte îtregă. [] { }, R, [ ] Z şi { } [0,. [ ] < [ ] [ ] < K Z. [] [] y 4. [ k] k [ ]. î., y [ k, k ] y <, k Z, R 5. { k} { }, R, k Z 6. Dcă {} { y} y Z 7. Dcă R [ ] [ ] Z [{ }] 0, {[] } 0, { } { } 8. Idetitte lui Hermite [] [ ],, y R 9. [ y] [ ] [ y], R 0. Prim zecimlă, după virgulă, uui umăr N este dtă N N N 0 de [ 0 { }] su [( [ ] ] 6
. Ieglităţi k k. > < k ( 0, k < k k m m. 0 < ( ( 0 m, N. ( > 0 < 0. 4. < k - k k k k > k - k. k k k 5., R 6.,, > 0 7. c c c,, c R 8. ( c ( c,, c R c 9. ( c,, c R c 0. c ( c,, c 0.......... ( ( (......, N. ( (., N,, > 0. r 4. 0 < < <, r > 0. r r < >, r > 0 r 7
5. ( > 0. 6. ±,, R suc. 7. ± ±... ±..., i R su C. 8. i R su C. 9. <! ( ( m 0., Z, m, Z, Q m.. Numerele pozitive,, c pot fi lugimile lturilor uui triughi * dcă şi umi dcă, y, z R. i y z, z, c y.., > 0, * c c.,, c R 6. c 4. Dcă,..., 0 si... k costt tuci produsul k... e mim câd.... 5. Dcă.,..., 0 si k costt... < i miimă tuci câd... k. i e 6. Dcă,..., 0 si... k costt tuci... p p p este mim câd p p k *..., pi N, i, p p... p 8
7. Teorem lui Jese: Dcă f : Ι R, (Ι itervl si f (, Ι... f... f ( Ι, i,. i ( f ( f ( f (... 8. Ieglitte mediilor....... 9. (....... i 0, i,. eglitte câd i j, i, j,. 0. Ieglitte lui Cuchy-Buikowsky-Schwrtz. ( ( (......... i, i R. i j. Ieglitte mediilor geerlizte: " ". i j β β β,, R, β, i i......, β R.........Ieglitte lui Beroulli:,, N (. 9
.Mulţimi. Operţii cu mulţimi.. Asocitivitte reuiuii si itersecţiei: A (B C(A B C A (B C(A B C. Comuttivitte reuiuii si itersecţiei: A BB A A BB A. Idempoteţ reuiuii si itersecţiei: A AA A AA 4. A ØA A ØØ 5. Distriutivitte reuiuii fţă de itersecţie: A (B C(A B (A C 6. Distriutivitte itersecţiei fţă de reuiue: A (B C(A B (A C 7. A,B E, (A B A B 8. A E, ( AA (A B A B 9. A\B (A B 0. A\(B C(A\B\C A\(B C(A\B (A\C (A B\C(A\C (B\C (A B\CA (B\C(A\C B. A (B C(A B (A C A (B C(A B (A C A (B\C(A B\ (A C A B B A A B ( ( A> B A B ( (( A ( B A B ( A ( B A B ( A ( B C E A ( E ( A A\B ( A ( B 0
. Relţiile lui de Morg. pך (q p ך, qך qךp p ך. qך. p (q r (p q (p r, p (q r(p q (p r.. pך pa, pך F. p 4. p q pך q. 5. p q (p q (q p pך q ך q p. 6. p A p, p AA 7. p q q p, p q q p.8 ppךך 9. p pך F, p pך A 0. (p q r p (q r (p q r p (q r. p F p p F F
4. Progresii. Şiruri Se cuosc dej şirul umerelor turle 0,,,,4,.,şirul umerelor pre,4,6, Di oservţiile directe supr cestor şiruri, u şir de umere rele este dt î form,,,... ude,, sut termeii şirului ir idicii,,, reprezită poziţi pe cre îi ocupă termeii î şir. Defiiţie: Se umeşte şir de umere rele o fucţie f: N* R, defiită pri f( Notăm ( şirul de terme geerl, N* Oservţie: Numerotre termeilor uui şir se mi pote fce îcepâd cu zero: 0,,,... i, i se umeşte termeul de rg i. U şir pote fi defiit pri : descriere elemetelor mulţimii de termei.,4,6,8,.. cu jutorul uei formule c pritr-o relţie de recureţă. U şir costt este u şir î cre toţi termeii şirului sut costţi : 5,5,5,5,.. Două şiruri (,( sut egle dcă, N Orice şir re o ifiitte de termei.
. Progresii ritmetice Defiiţie: Se umeşte progresie ritmetică u şir î cre difereţ oricăror doi termei cosecutivi este u umăr costt r, umit rţi progresiei ritmetice.. Relţi de recureţă ître doi termei cosecutivi: r,.,, -,, sut termeii uei progresii ritmetice. Termeul geerl este dt de : ( r 4. Sum oricăror doi termei egl deprtţi de etremi este egl cu sum termeilor etremi : k k 5. Sum primilor termei : S ( 6. Şirul termeilor uei progresii ritmetice: r, r, r,., m ( m r 7. Trei umere,, se scriu î progresie ritmetică de form : u v u u v u,v R. 8. Ptru umere,,, 4 se scriu î progresie ritmetică stfel: u v, u v, u v, 4 u v, u,v 9. Dcă i k k k k R.
4. Progresii geometrice Defiiţie : Se umeşte progresie geometrică u şir î cre rportul oricăror doi termei cosecutivi este u umăr costt q, umit rţi progresiei geometrice.. Relţi de recureţă : q,.,, -,, sut termeii uei progresii geometrice cu termei pozitivi. Termeul geerl este dt de : q 4. Produsul oricror doi termei egl deprtti de etremi este egl cu produsul etremilor k k 5. Sum primilor termei i uei progresii geometrice : S q q 6. Şirul termeilor uei progresii geometrice : q, q,... q,..., 7. Trei umere,, se scriu î progresie geometrică de form : u * u u v, u, v R v 8. Ptru umere,,, 4 se scriu î progresie geometrică stfel : u v u v u v * 4 u v u, v R 4
5. Fucţii I. Fie ƒ: A B. Fucţi ƒ este ijectivă,dcă,y A, y>ƒ( ƒ(y. Fucţi ƒ este ijectivă,dcă di ƒ(ƒ(y >y. Fucţi f este ijectivă, dcă orice prlelă l 0 itersecteză grficul fucţiei î cel mult u puct. II. Fucţi ƒ este surjectivă, dcă y B, eistă cel puţi u puct A,.î. ƒ(y. Fucţi ƒ este surjectivă, dc ƒ(a B. Fucţi ƒ este surjectivă, dcă orice prlelă l 0, dusă pritr-u puct l lui B, itersecteză grficul fucţiei î cel puţi u puct. III. Fucţi ƒeste ijectivă dcă este ijectivă şi surjectivă. Fucţi ƒ este ijectivă dcă petru orice y B eistă u sigur A.î. ƒ( y (ecuţi ƒ(y,re o sigură soluţie,petru orice y di B Fucţi ƒ este ijectivă dcă orice prlelă l 0, dusă pritr-u puct l lui B, itersecteză grficul fucţiei îtr-u puct şi umi uul. IV. A : A A pri A (, A. Fucţi ƒ: A B este iversilă, dcă eistă o fucţie g:b A stfel îcât g o ƒ A si ƒ o g B, fucţi g este ivers fucţiei ƒ şi se oteză cu ƒ -. ƒ( y <> ƒ - (y ƒ este ijectivă <> ƒ este iversilă. 5
V. Fie ƒ:a B si g: B C, două fucţii. Dcă ƒ si g sut ijective, tuci g o ƒ este ijectivă. Dcă ƒ si g sut surjective,tuci g o ƒ este surjectivă. Dcă ƒ si g sut ijective, tuci g o ƒ este ijectivă. 4 Dcă ƒ si g sut (strict cresctore,tuci g o ƒ este (strict cresctore. 5 Dcă ƒ si g sut (strict descresctore, tuci g o ƒ este (strict descresctore. 6 Dcă ƒ si g sut mootoe, de mootoii diferite,tuci g o ƒ este descresctore. 7 Dcă ƒ este periodică, tuci g o ƒ este periodică. 8 Dcă ƒ este pră, tuci g o ƒ este pră. 9 Dcă ƒ si g sut impre, tuci g o ƒ este impră, 0 Dcă ƒ este impră si g pră, tuci g o ƒ este pră. VI. Fie ƒ: A B si g:b C, două fucţii. Dcă g o ƒ este ijectivă, tuci ƒ este ijectivă. Dcă g o ƒ este surjectivă, tuci g este surjectivă. Dcă g o ƒ este ijectivă, tuci ƒ este ijectivă si g surjectivă. Dcă ƒ,g: A B ir h: B C ijectivă si h o ƒ h o ƒ, tuci ƒ g. VII. Fie ƒ: A B si X,Y mulţimi orecre. Fucţi ƒ este ijectivă, dcă şi umi dcă oricre r fi fucţiile u,v: X A,di ƒ o u ƒ o v, rezultă uv. Fucţi ƒ este surjectivă, dc şi umi dcă oricre r fi fucţiile u,v :B Y, di u o ƒ v o ƒ, rezultă uv 6
VIII. Dcă ƒ :A B este strict mootoă,tuci ƒ este ijectivă. Dc ƒ : R R este periodic şi mootoă, tuci ƒ este costtă. Dc ƒ : R R este ijectivă şi impră,tuci ƒ - este impră. 4 Fie A fiită şi ƒ :A A. Atuci ƒ este ijectivă <> este surjectivă. IX. Fie ƒ: E F, tuci ƒ ijectivă <> ( g : F E (surjectivă.i. g o ƒ E. ƒ surjectivă <>( g : E F (ijectivă.i. ƒ o g F ƒ ijectivă <> iversilă. X. Fie ƒ : E F. Fucţi ƒ este ijectivă dcă şi umi dcă ( A,B E ƒ(a B ƒ (A (B. Fucţi ƒ este surjectivă dcă şi umi dcă ( B F eistă A E, stfel îcât ƒ(ab. Fucţi ƒ este ijectivă dcă ƒ(a Bƒ(A ƒ(b, A, B E. XI. Fie ƒ : E F si A E, B E, tuci ƒ(a {y F A.i. ƒ(y} ƒ - (B { E ƒ( B}..Fie ƒ: E F si A,B E, tuci A B > ƒ(a ƒ(b, ƒ(a B ƒ(a ƒ(b, c ƒ(a B ƒ(a ƒ(b, d ƒ(a ƒ(b ƒ(a B. 7
.Fie ƒ: E F si A,B F tuci A B > ƒ - (A ƒ - (B, ƒ - (A ƒ - (B ƒ -- (A B, cƒ - (A ƒ - (B ƒ - ( A B, d ƒ - (A ƒ - (B ƒ - (A B, e ƒ - (F E. Fucţi de grdul l doile Form coică fucţiei f:r R, f ( c,,, c R, 0 este Δ f (, R ; 4 Δ Grficul fucţiei este o prolă de vârf V,, ude 4 Δ 4c 0 f este coveă; Δ 0 ;, C f( >0, R ; Δ V, 4 de miim; - puct 8
Δ 0, R f( 0, R ; f(0 Δ 0, R f( 0, (, ] [, ; f(<0,, ( Petru, fucţi este strict descrescătore; Petru [,, fucţi este strict crescătore 9
<0 fucţi este cocvă Δ 0 ;, C f( <0, R ; mim V Δ, 4 - puct de Δ 0, R f( 0, R ; f(0 Δ 0, R f( 0, [, ] ; f(<0, (, (, 0
Petru, fucţi este strict crescătore; Petru [,, fucţi este strict descrescătore. 6. NUMERE COMPLEXE. NUMERE COMPLEXE SUB FORMĂ ALGEBRICĂ C z z i,, R, i - mulţime umerelor complee. zire zim z OPERAŢII CU NUMERE COMPLEXE Fie z i, z c id. Atuci:. z z c si d.. z z ( c i( d.. z z ( c d i( d. c 4. z i, cojugtul lui z z c d c d 5. i z c d c d 6. i. z
PUTERILE LUI i 4k. i ; 4. i k i ; 4k. i ; 4 4. i k i ; 5. i, i i i i 6. i ( i ( i ; i, i, pr impr PROPRIETĂŢILE MODULULUI z - modulul r. complee. z 0, z 0 z 0. 4. z z z z z z 5., z 0 z z 6. z z z ± z z z 7. 8. z C; z R Im z 0 z z ECUAŢII: z z z. z z z z z z, i ± z, ± i ± i dcă pozitiv; - dcă egtiv
c 0, ± 4c dc Δ 4c 0 su, ± i Δ dc Δ 0 NUMERE COMPLEXE SUB FORMĂ GEOMETRICĂ Form trigoometrică umerelor complee: z ρ (cos ϕ i si ϕ, ϕ rctg kπ, k 0,,, (, I (, II, III (, IV ρ z se umeşte rz polră lui z Fie z ρ(cosϕ i si ϕ şi z ρ (cosϕ i si ϕ ; z z ρ ρ, si eist k Z i ϕ ϕ kπ. z z ρ ρ [cos( ϕ ϕ i si( ϕ ϕ z ρ(cosϕ i si ϕ
[cos( ϕ i si( ϕ ] z ρ z z ρ cos( i ρ [ ϕ ϕ si( ϕ ϕ ] ϕ z ρ (cos ϕ i si, R ϕ kπ ϕ kπ z ρ (cos i si, k 0, 7. FUNCTIA EXPONENTIALĂ Def. f: R (0,, f(, 0, Dcă f este strict crescătore Dcă ( 0, f este strict descrescătore Proprietăţi: Fie, ( 0,,,,, y R 4
5 ( ( y y y y y y y defieste se u petru 0, 0, 0, 0, 0 Tipuri de ecuţii:. f f log ( 0, 0,, (. ( ( 0,, ( ( g f g f. g f g f log ( (, 0,,, ( ( 4. ecuţii epoeţile reductiile l ecuţii lgerice pritr-o sustituţie. 5. ecuţii ce se rezolvă utilizâd mootoi fucţiei epoeţile. Iecuţii >, ( ( ( ( g f g f ( ( (0, ( ( g f g f
FUNCTIA LOGARITMICĂ Def: f:(0, R, f( log, 0,,>0 Dcă f este strict crescătore log log Dcă ( 0, f este strict descrescătore log log Proprietăţi: c 0,,,, c,, y (0,, m R Fie, ( y 0 log y log y log y log log log log y y 6
log m m, log m m log log log log c c, log log log c c log, log log 0, Tipuri de ecuţii: log.. log f ( g (, f, g 0, f g( f (. log f ( log g( f ( g( log g (. log f ( log g( f ( 4. ecuţii logritmice reductiile l ecuţii lgerice pritr-o sustituţie. 5. ecuţii ce se rezolvă utilizâd mootoi fucţiei logritmice. Iecuţii >, log f ( log g( f ( g( ( 0, log f ( log g( f ( g( 7
8. BINOMUL LUI NEWTON Î 664 Isc Newto (64-77 găsit următore formulă petru dezvoltre iomului (. Deşi formul er cuoscută îcă di tichitte de către mtemticiul r Omr Khyym (040-, Newto etis-o şi petru coeficieţi rţioli. TEOREMĂ: Petru orice umăr turl şi şi umere rele eistă relţi: 0 k k k ( C C C... C... C ( 0 Numerele C, C,..., C se umesc coeficieţii iomili i dezvoltării; Este ecesr să se fcă disticţie ître coeficietul uui terme l dezvoltării şi coeficietul iomil l celui terme. Eemplu: ( 4 4 4... Coeficietul celui de-l doile terme este 8 ir coeficietul iomil este C 4 4; Petru (- vem următore formă iomului lui Newto: 0 k k k k ( C C C.... ( C...( C ( Proprietăţi:. Numărul termeilor dezvoltării iomului ( este ; Dcă k coeficietul iomil l termeului di mijloc l dezvoltării k este C şi este cel mi mre. Dcă k C k şi C k sut egli şi sut cei mi mri; C o <C < <C k >C k >..>C dc este pr, k 8
C o <C < <C k C k >..>C dc este impr, k.. Coeficieţii iomili di dezvoltre, egl depărtţi de termeii etremi i dezvoltării sut egli ître ei. ( k C C k. Termeul de rg k l dezvoltării (su termeul geerl l dezvoltării este ( k k k Tk C, k 0,,,..., Formul iomului lui Newto scrisă restrâs re form: ( C k k k 0 (4 4. Relţi de recureţă ître termeii succesivi i dezvoltării este următore: T T k k (5 5. Petru se oţie 0 k k k. C C C... C ( (6 cee ce îsemă că umărul tuturor sumulţimilor uei mulţimi cu elemete este. 9
9. Vectori şi operţii cu vectori Defiiţie: Se umeşte segmet oriett, o pereche ordotă de pucte di pl; Se umeşte vector, mulţime tuturor segmetelor oriette cre u ceeşi direcţie, ceeşi lugime şi celşi ses cu le uui segmet oriett. Oservţii: Orice vector AB se crcterizeză pri: - modul(lugime,ormă, dt de lugime segmetului AB; - direcţie, dtă de drept AB su orice dreptă prlelă cu cest; - ses, idict pritr-o săgetă de l origie A l etremitte B. Notţii: AB vectorul cu origie A şi etremitte B; AB ( 0 ( y y0 - modulul vectorului AB ude A( 0,y 0, B(.y. Defiiţie: Se umesc vectori egli, vectorii cre u ceeşi direcţie, celşi ses şi celşi modul. Doi vectori se umesc opuşi dcă u ceeşi direcţie, celşi modul şi sesuri cotrre: - AB BA. Adure vectorilor se pote fce după regul triughiului su după regul prlelogrmului: 0
λ v 0 λ 0 su v 0, λ R Dc λ 0, v 0 λ v λ v, λ v re direcţi şi sesul vectorului v dcă λ 0 şi ses opus lui v dcă λ 0. Defiiţie: Doi vectori se umesc coliiri dcă cel puţi uul este ul su dcă mâdoi sut euli şi u ceeşi direcţie. Î cz cotrr se umesc ecoliiri. vectori coliiri vectori ecoliiri Teoremă: Fie u 0 şi v u vector orecre. Vectorii u şi v sut coliiri λ R. i. v λ u.
Puctele A, B, C sut coliire AB si AC sut coliiri λ R. i. AB λ AC. AB CD AB si CD sut coliiri; Dcă u şi v sut vectori ecoliiri tuci, y R. i. u y v 0 y 0. Teoremă: Fie şi doi vectori ecoliiri. Oricre r fi vectorul v, eistă, β R( uice stfel îcât v β. Vectorii şi formeză o ză., β se umesc coordotele vectorului v î z (,. Defiiţie: Fie XOY u reper crtezi. Cosiderăm puctele A(,0, B(0,. Vectorii i OA si j OB se umesc versorii elor de coordote. Ei u modulul egl cu, direcţiile elor şi sesurile semielor pozitive cu OX şi OY. Bz ( i, j se umeşte ză ortoormtă.
v A' B' A'' B' ' i y j B - A, yy B - y A v pr OX v i pr OY v j AB ( B A ( yb y A Teoremă: Fie u (, y, v( ', y'. Atuci: u v re coordotele (.yy ; λ R, λ v re coordotele ( λ, λ y ; u(, y, v( ', y' sut coliiri y k, ', y' 0. y' ' y 0. ' y' 4 Produsul sclr doi vectori euli. u v u v cos ude m( u, v, [0, π ]. ' y y' cos y ( ' ( y' π π [ 0, ] u v 0; (, π ] u v 0 Fie u (, y, v( ', y' euli. Atuci: u v 0 u v ' y y' 0. u u u 0, u. u u 0 u 0. sut vectori de poziţie, tuci: i i j j ; i j 0. Vectori de poziţie. Dcă AB r B r A r, r A B
0. Fucţii trigoometrice Semul fucţiilor trigoometrice: π π Si:, [, ] rcsi:[-,] π π, Cos: [ 0, π ] [, ] rccos:[-,] [ 0,π ] 4
π π Tg:, R π π rctg:r, Reducere l u ughi scuţit π Fie u (0, Notăm sg f semul fucţiei f; cof cofucţi lui f π sg f ( k ± u si u, k pr π si k ± u Alog petru π sg f ( k ± u cosu, k impr celellte; π sg f ( k ± u f ( u, k pr π Î geerl, f ( k ± u π sg f ( k ± u cof ( u, k impr 5
Ecuţii trigoometrice Fie u ughi, u umăr rel şi k Z. k si, ( rcsi kπ, dcă [0,] k ( rcsi kπ, dcă [,0] cos, ± rccos kπ, dcă [0,] ± rccos (k π, dcă [,0] tg, R rctg kπ k rcsi(si ( kπ rccos(cos ± kπ rctg ( tg kπ k si f ( si g( f ( ( g( kπ cos f ( cos g( f ( ± g( kπ tgf ( tgg( f ( g( kπ, k Z Ecuţii trigoometrice reductiile l ecuţii cre coţi ceeşi fucţie celuişi ughi; Ecuţii omogee î si şi cos de form: si cos 0; si si.cos ccos 0 Ecuţii trigoometrice cre se rezolvă pri descompueri î fctori; Ecuţii simetrice î si şi cos ; Ecuţii de form: c si cos c 0 : si tgϕ cos k c ϕ ( rcsi( cosϕ kπ si cos Oservţie importtă: Pri ridicre l putere uei ecuţii trigoometrice pot păre soluţii străie ir pri împărţire uei ecuţii trigoometrice se pot pierde soluţii; 6
7 FORMULE TRIGONOMETRICE. cos si ; si cos cos si ± ± R. ; cos cos cos si si ± ± tg tg. ; si ; cos tg tg tg ± ± 4. β β β si si cos cos cos( ; 5. β β β si si cos cos cos( ; 6. β β β cos si cos si si( ; 7. β β β cos si cos si si( ; 8. ; ( ; ( β β β β β β tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg 9. ; ( ; ( β β β β β β ctg ctg ctg ctg ctg ctg ctg ctg ctg ctg 0. ; cos si si. si cos si cos cos. cos si ; cos cos ;. ; cos ;si cos cos ± ± 4. cos cos ; cos cos ± ± ctg tg 5. ; ; ctg ctg ctg tg tg tg
8 6. ; ; tg tg ctg tg tg tg 7. ; ; cos 4cos cos ; 4si si si ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg 8. ; si cos cos si ctg tg 9. ; cos ; si tg tg tg tg cos si si si cos si si si si si cos cos cos si cos cos tg tg cos cos si( ctg ctg si si si( ctg ctg si si si( tg tg cos cos si(
si( si( si cos cos( cos( cos cos si si cos( cos( rcsi rcsi y rcsi( y y π π rcsi rccos rctg rcctg π rctg rctg rccos(-π -rccos 9
. ECUAŢIILE DREPTEI ÎN PLAN. Ecuţi crteziă geerlă dreptei: yc0 (d Puctul M( 0,y 0 d 0 y0 c 0. Ecuţi dreptei determită de puctele A(,y, B(,y : y y y y. Ecuţi dreptei determită de u puct M( 0,y 0 şi o direcţie dtă( re pt m y-y 0 m(- 0 4. Ecuţi eplicită dreptei (ecuţi ormlă: y y ym, ude m tgϕ este pt dreptei şi este ordot l origie. y 5. Ecuţi dreptei pri tăieturi:,, 0. 6. Fie (d: ym şi (d : ym Dreptele d şi d sut prlele mm şi. Dreptele d şi d coicid mm şi. Dreptele d şi d sut perpediculre mm -. Tget ughiului ϕ celor două drepte este m m' tgϕ m m' 7. Fie d: yc0 şi d : yc 0 cu,,c 0. şi θ m ( d, d' c Dreptele d şi d sut prlele ' ' c' 40
c Dreptele d şi d coicid ' ' c' Dreptele d şi d sut cocurete ' ' - 0. v v' ' ' cosθ ude v v' ' ' v (,, v' ( ', ' d şi d. Dreptele d şi d sut perpediculre, d d' ' ' 0 sut vectorii directori i dreptelor 8. Fie puctele A(,y, B(,y, C(,y, D( 4,y 4 î pl. Dreptele AB şi CD sut prlele, AB CD R*,. î AB CD su m AB m CD. Dreptele AB şi CD sut perpediculre, AB CD AB CD 0 Codiţi c puctele A(,y, B(,y, C(,y să fie coliire este: y y y y 9. Distţ ditre puctele A(,y şi B(,y este AB ( ( y y Distţ de l u puct M 0 ( 0,y 0 l o dreptă h de ecuţie (h: yc0 este dtă de: 0 y0 c d( M 0, h. 4
. CONICE.CERCUL Defiiţie: Locul geometric l tuturor puctelor di pl egl depărtte de u puct fi, umit cetru se umeşte cerc. C ( O, r { M (, y OM r}. Ecuţi geerlă cercului A(² y² B Cy D 0. Ecuţi cercului de cetru: O(, respectiv O(0, 0 si rz r ( - ² (y ² r² ; ² y² r². Ecuţi cercului de dimetru A( ;y, B( ; y ( - ( - ( y- y (y - y 0 4. Ecuţi tgetei după o direcţie O(0,0 : y m ± r m² O(, : y- m(- ± r m² 5. Ecuţi tgetei î puctul M( 0, y 0 ( 0 (y y 0 r² respectiv ( - ( 0 - (y - (y 0 - r² 6. Ecuti orml cercului 4
² y² m y p 0 cu O(-m; - şi r² m² ² - p 7. Ecuţi tgetei î puctul M( 0,y 0 0 y y 0 m( 0 (y y 0 p 0 8. Distt de l cetrul cercului O(, l drept de ecuţie y m este m 0 y0 c d(0,d su ( d m² ² ² 9. Ecuţiile tgetelor di puctul eterior M( 0, y 0 I. Se scrie ecuţi 4 şi se pue codiţi c M să prţiă cercului de ecuţie 4. II. y - y 0 m( - 0 ² y² r², Δ 0. ELIPSA Defiiţie: Locul geometric l puctelor di pl cre u sum distţelor l două pucte fie, costtă, se umeşte elipsă. F,F - focre, FF distţ foclă E{ M (, y MF MF' } MF,MF - rze focle. Ecuţi elipsei 4
² y² ² ², ² ² - c². Ecuţi tgetei l elipsă y m ± ² m² ². Ecuţi tgetei î puctul M( 0, y 0 l elipsă 0 y y0 ² 0, m ² ² ² y0 4. Ecuţiile tgetelor ditr-u puct eterior M( 0, y 0 l elipsă VAR I Se scrie ecuţi şi se pue codiţi c M să prţiă elipsei de ecuţie de ude rezultă m VAR II Se rezolvă sistemul y y 0 m(-0 ² y², cu coditi Δ 0 ² ². HIPERBOLA Defiiţie: Locul geometric l puctelor di pl căror difereţă l două pucte fie este costtă, se umeşte hiperolă 44
H: { M(,y MF MF } y ± --ecuţi simptotelor. Ecuţi hiperolei ² y², ² c² - ² ; ² ² Dc > hiperol echilterlă.ecuţi tgetei l hiperolă y m ± ² m² ². Ecuţi tgetei î puctul M( 0, y 0 0 y y0 ² 0, m ² ² ² y0 4. Ecuţiile tgetelor ditr-u puct eterior M( 0, y 0 VAR I. Se scrie ecuţi si se pue codiţi c M să prţiă hiperolei de ecuţie, de ude rezultă m. VAR II. Se rezolv sistemul y - y 0 m( - 0 ² y², cu Δ 0 ² ² 4. PARABOLA Defiiţie: Locul geometric l puctelor egl depărtte de u puct fi, (umit focr şi o dreptă fiă (umită directore, se umeşte prolă. 45
P: { M(, y MF MN } p (d: ( locul geometric l puctelor di pl de ude putem duce tgete l o prolă.. Ecuţi prolei y² p. Ecuţi tgetei l prolă P y m m. Ecuţi tgetei î M ( 0, y 0 y y 0 p( 0 4. Ecuti tgetelor ditr-u puct eterior M( 0, y 0 VAR I. Se scrie ecuţi şi se pue codiţi c M (ecuti > m VAR II. Se rezolvă sistemul y - y 0 m( - 0 y² p cu Δ 0 46
47. ALGEBRA LINIARĂ. MATRICE. Adure mtricelor t d z c y t z y d c t z y t z y Îmulţire mtricelor t d y c z d c t y z t z y d c Trspus uei mtrice d c d c T. DETERMINANŢI. c d d c ; d i h f g e c f g c h d i e i h g f e d c Proprietăţi:. Determitul uei mtrice este egl cu determitul mtricei trspuse;. Dcă tote elemetele uei liii (su coloe ditr-o mtrice sut ule, tuci determitul mtricei este ul;. Dcă îtr-o mtrice schimăm două liii(su coloe ître ele oţiem o mtrice cre re determitul egl cu opusul determitului mtricei iiţile. 4. Dcă o mtrice re două liii (su coloe idetice tuci determitul său este ul;
5. Dcă tote elemetele uei liii(su coloe le uei mtrice sut îmulţite cu u elemet, oţiem o mtrice l cărei determit este egl cu îmulţit cu determitul mtricei iiţile. 6. Dcă elemetele două liii(su coloe le uei mtrice sut proporţiole tuci determitul mtricei este ul; 7. Dcă l o mtrice pătrtică A de ordi presupuem că elemetele uei liii i sut de form ij ' ij tuci det A det A det A ; 8. Dcă o liie (su coloă uei mtrice pătrtice este o comiţie liiră de celelte liii(su coloe tuci determitul mtricei este ul. 9. Dcă l o liie (su coloă mtricei A duăm elemetele ltei liii (su coloe îmulţite cu celşi elemet se oţie o mtrice l cărei determit este egl cu determitul mtricei iiţile; 0. Determitul Vdermode: c ( ( c ( c ; c. Dcă îtr-u determit tote elemetele de desupr digolei priciple su de dedesutul ei sut egle cu zero, tuci determitul este egl cu c f ; 0 0 c 0 c f d e f. Fctor comu y z m u v r p m u y v z p r '' ij 48
. Rgul uei mtrice Fie A M m, ( C, r N, r mi( m,. Defiiţie: Se umeşte mior de ordiul r l mtricei A, determitul formt cu elemetele mtricei A situte l itersecţi celor r liii şi r coloe. Defiiţie: Fie A O m, o mtrice. Numărul turl r este rgul mtricei A eistă u mior de ordiul r l lui A, eul ir toţi miorii de ordi mi mre decât r (dcă eistă sut uli. Teorem: Mtrice A re rgul r eistă u mior de ordi r l lui A ir toţi miorii de ordi r sut zero. Teorem: Fie A M m, ( C, B M, s( C. Atuci orice mior de ordiul k, k mi( m, s l lui AB se pote scrie c o comiţie liiră de miorii de ordiul k l lui A (su B. Teorem: Rgul produsului două mtrice este mi mic su egl cu rgul fiecărei mtrice. Defiiţie: M (C. A este iversilă det A 0.( A este esigulră. Teorem: Ivers uei mtrice dcă eistă este uică. Oservţii: det (A B det A det B. A A* det A τ i j ( A A A* (( dij i, j A A - M (Z det A ±. Stilire rgului uei mtrice: Se i determitul de ordiul k- şi se ordeză cu o liie (respectiv cu o coloă. Dcă oul determit este ul rezultă că ultim liie(respectiv coloă este comiţie liiră de celellte liii (respectiv coloe. 49
Teorem: U determit este ul u di coloele (respectiv liii este o comiţie liiră de celellte coloe(respectiv liii. Teorem: Rgul r l uei mtrice A este egl cu umărul mim de coloe(respectiv liii cre se pot lege ditre coloele (respectiv liiile lui A stfel îcât ici u ditre ele să u fie comiţie liiră celorllte. 4. Sisteme de ecuţii liire Form geerlă uui sistem de m ecuţii cu ecuoscute este:... (... su m m... m m j ij j i Ude A ( ij i m, j - mtrice coeficieţilor ecuoscutelor.... Mtrice A... se umeşte mtrice etisă m... m m sistemului. Defiiţie: U sistem de umere,,... se umeşte soluţie sistemului ( j, i m. ij j i, Defiiţie: - U sistem se umeşte icomptiil u re soluţie; - U sistem se umeşte comptiil re cel puţi o soluţie; - U sistem se umeşte comptiil determit re o sigură soluţie; 50
- U sistem se umeşte comptiil edetermit re o ifiitte de soluţii; Rezolvre mtricelă uui sistem Fie A, B M (C. A A X B X A B X j ij i, j,. det A i Rezolvre sistemelor pri metod lui Crmer: Teorem lui Crmer: Dcă det A ot Δ 0, tuci sistemul AXB re o soluţie uică X i Δ Δ i. Teorem lui Kroecker- Cpelli: U sistem de ecuţii liire este comptiil rgul mtricei sistemului este egl cu rgul mtricei etise. Teorem lui Rouche: U sistem de ecuţii liire este comptiil toţi miorii crcteristici sut uli. Notăm cu m-umărul de ecuţii; - umărul de ecuoscute; r -rgul mtricei coeficieţilor. I mr Sistem comptiil determit II mr Sistem comptiil edetermit III r m Sistem comptiil determit su Δ 0 Miorul pricipl este eul Dcă toţi miorii crcteristici sut uli 5
IV Sistem icomptiil r, r m Sistem comptiil edetermit su Sistem icomptiil Eistă cel puţi u mior crcteristic eul Dcă toţi miorii crcteristici sut uli Eistă cel puţi u mior crcteristic eul Teorem: U sistem liir şi omoge dmite umi soluţi lă Δ 0 5
4. SIRURI DE NUMERE REALE. Veciătăţi. Pucte de cumulre. Defiiţi : Se umeşte şir, o fucţie f : N R defiită pri f(. Notăm (,,,... su,,,... : 0 N Orice şir re o ifiitte de termei; este termeul geerl l şirului (. N Defiiţi : Două şiruri (, ( N sut egle N, k N Defiiţi : Fie R. Se umeşte veciătte puctului R, o mulţime V petru cre ε >0 şi u itervl deschis cetrt î de form (- ε, ε V. Defiiţi 4: Fie D R. U puct R se umeşte puct de cumulre petru D dcă î orice veciătte lui eistă cel puţi u puct di D-{ } V (D-{ } Ǿ. U puct D cre u e puct de cumulre se umeşte puct izolt.. Şiruri covergete Defiiţi 5 : U şir ( este coverget către u umăr R N dcă î orice veciătte lui se flă toţi termeii şirului cu ecepţi uui umăr fiit şi scriem lim su se umeşte limit şirului. Teorem : Dcă u şir e coverget, tuci limit s este uică. Teorem : Fie ( u şir de umere rele. Atuci: N ( este mooto crescător N, N su 0, su ; 5
( N este stict crescător, N su 0, su ; ( N este mooto descrescător, N su 0, su ; ( N este strict descrescător, N su 0, su. Defiiţi 6. U şir ( este mărgiit M R stfel îcât M su N, β R stfel îcât β. Teorem : Teorem lui Weierstrss: Orice şir mooto şi mărgiit este coverget. Defiiţi 7: Dcă u şir re limită fiită şirul este coverget. Dcă u şir re limită ifiită su şirul este diverget. Teorem 4: Orice şir coverget re limită fiită şi este mărgiit dr u epărt mooto. Teorem 5: Lem lui Cesro: Orice şir mărgiit re cel puţi u suşir coverget. Defiiţi 8: U şir e diverget fie dcă u re limită, fie dcă re o limită su dcă dmite două suşiruri cre u limite diferite. OBS: Orice şir crescător re limită fiită su ifiită. Teorem 6: Dcă ( R * N este u şir strict crescător şi lim lim 0 emărgiit tuci. U şir descrescător cu termeii pozitivi este mărgiit de primul terme şi de 0. 54
. Operţii cu şiruri cre u limită Teorem 7: Fie (, ( N şiruri cre u limită: N,. Dcă operţiile,, u ses tuci şirurile.,,,,, u limită lim( lim lim ; lim( lim.lim ; lim lim( lim ; lim lim lim lim (lim ( log log ( lim lim lim k k lim Pri coveţie s- stilit: ;, R; (- - ; - (- - ;,>0; -,<0; (- - ; - (- ; ; 0;, dcă 0 0 0; 0, dcă 0 ± 0 Nu u ses operţiile: -, 0 (± ;,,,. ± Teorem 8: Dcă şi 0 Dcă şi 55
Dcă şi Dcă. Dcă 0 0. Teorem 9: Dcă şirul ( N este coverget l zero, ir ( este u şir mărgiit, tuci şirul produs N este coverget l zero. 4. Limitele uor şiruri tip lim q 0, dc ă q (,, dc ă q, dc ă q u eist ă, dc ă q p p, 0 0... p, 0 lim ( 0 0 p p 0 lim q q 0...... q p 0, dcă p q 0, dcă p q 0 0, dcă p q şi 0 0 0, dcă p q şi 0. 0 56
lim e,7... lim e si lim lim ( e 0 0 rcsi lim 0 rctg lim 0 tg lim 0 l( lim 0 lim 0 l ( lim r 0 r lim e l p lim 0 p 57
5. LIMITE DE FUNCŢII Defiiţie: O fucţie f:d R R re limită lterlă l stâg ( respectiv l drept î puctul de cumulre 0 eistă ls R (respectiv l d R. î. lim f( l s, (respectiv lim f( l d. 0 0 0 Defiiţie: Fie f:d R R, 0 D u puct de cumulre. Fucţi f re limită î l l ( Proprietăţi: 0 s ( 0 d 0. Dcă lim f( eistă, tuci cestă limită este uică. 0 lim f ( l.. Dcă lim f( l tuci 0 0 Reciproc u.. Dcă lim f ( 0 lim f ( 0 0 4. Fie f,g:d R R, U o veciătte lui 0 D stfel D U şi dcă eistă 0 îcât f( g( { } 0 lim f (,lim g( 0, 0 lim f ( 0 lim g( 0 58
5. Dcă f ( g ( h( D U { 0} şi lim f ( lim h( l lim g ( l. 6. Dcă 0 0 0 lim g( 0 lim f ( l { } f ( l g( D U 0 şi 7. Dcă lim f ( 0 şi M 0. î. g( M. lim f ( g( 0 Dcă f ( g( şi lim g( 8. lim f (. Dcă f ( g( şi lim g( lim f (. OPERAŢII CU FUNCŢII Dcă eistă lim f ( l,lim g( l l ses opertiile l l, l l, l l,, l l tuci:. lim(f( ± g( l ± l.. limf(g( l l şi l, l u 59
f ( l.lim g( l g ( 4.lim f ( l l 5.lim f ( l P(X 0 -.., 0 0 P ( 0 ( ± lim± lim 0, dcă q (, q, dcă q, dcă q> u dcă q eistă, 60
p 0 lim q 0 p q...... q p 0, dcă p q 0, dcă p q 0 0, dcă p q şi 0 0 0, dcă p q şi 0. 0 lim lim 0 > lim lim (0, 0 lim log lim0 lim log lim0 > log (0, log lim0 lim0 lim0 lim0 lim0 si tg rcsi rctg ( e u u u u u lim 0 ( ( ( ( ( lim 0 lim 0 lim 0 lim 0 u( u( ( ( u( u( ( ( si tgu u rcsi rctgu u ( u( u( e 6
lim e u ( u( ( lim 0 u lim0 ( l u lim 0 ( ( u( u( l lim0 l u u ( ( 0 u( lim l lim0 ( r r lim u 0 ( ( u( u( r r lim 0 k u ( ( lim u u k ( 0 lim l k 0 u ( l u( k ( lim u 0 6
6. FUNCŢII CONTINUE DEFINIŢIE. O fucţie f : D R R se umeşte cotiuă î puctul de cumulre 0 D oricre r fi veciătte V lui f( 0, eistă o veciătte U lui 0, stfel îcât petru orice U D f( V. DEFINIŢIE. f : D R R este cotiuă î 0 D f re limită î 0 şi lim f( f( 0 su l s ( 0 l d ( 0 f( 0. 0 se umeşte puct de cotiuitte. Dcă fucţi u este cotiuă î 0 f.se umeşte discotiuă î 0 şi 0 se umeşte puct de discotiuitte. Acest pote fi: - puct de discotiuitte de prim speţă dcă l s ( 0, l d ( 0 fiite, dr f( 0 ; - puct de discotiuitte de dou speţă dcă cel puţi o limită lterlă e ifiită su u eistă. DEFINIŢIE. f este cotiuă pe o mulţime ( itervl este cotiuă î fiecre puct mulţimii ( itervlului. Fucţiile elemetre sut cotiue pe domeiile lor de defiiţie. Eemple de fucţii elemetre: fucţi costtă c, fucţi idetică, fucţi poliomilă f( 0 -..., fucţi rţiolă f(/g(, fucţi rdicl f (, fucţi logritmică log f(, fucţi putere, fucţi epoeţilă, fucţiile trigoometrice si, cos, tg, ctg. PRELUNGIREA PRIN CONTINUITATE A UNEI FUNCŢII ÎNTR-UN PUNCT DE ACUMULARE DEFINIŢIE. Fie f : D R R. Dcă f re limit l R î puctul de cumulre 0 D f (, D f: D { 0 } R, f( l, 0 6
este o fucţie cotiuă î 0 şi se umeşte prelugire pri cotiuitte lui f î 0. OPERAŢII CU FUNCŢII CONTINUE T. Dcă f,g:d R sut cotiue î 0 ( respectiv pe D tuci fg, f, f g,f/g, f g, f sut cotiue î 0 ( respectiv pe D; R, g 0. T. Dcă f:d R e cotiuă î 0 D ( respectiv pe D f ( e cotiuă î 0 ( respectiv pe D. Reciproc u e vlilă. T. Fie f:d R cotiuă î î 0 A şi g:b A cotiuă î 0 B, tuci g f e cotiuă î 0 A. lim f( g ( f( lim g( 0 0 Orice fucţie cotiuă comută cu limit. PROPRIETĂŢILE FUNCŢIILOR CONTINUE PE UN INTERVAL LEMĂ. Dcă f este o fucţie cotiuă pe u itervl [,] şi dcă re vlori de seme cotrre l etremităţile itervlului ( f( ( f( <0 tuci eistă cel puţi u puct c (, stfel îcât f(c 0. Dcă f este strict mootoă pe [,] ecuţi f( 0 re cel mult o rădăciă î itervlul (,. f este strict mootoă f: I J - cotiuă f(i J - surjectivă f - ijectivă Orice fucţie cotiuă pe u itervl compct este mărgiită şi îşi tige mrgiile. 64
STABILIREA SEMNULUI UNEI FUNCŢII PROP. O fucţie cotiuă pe u itervl, cre u se uleză pe cest itervl păstreză sem costt pe el. DEFINIŢIE. Fie f : I R R ( I itervl f re propriette lui Drou., I cu < şi λ ( f(, f( su λ ( f(, f( c (,,.î. f(c λ. TEOREMĂ. Orice fucţie cotiuă pe u itervl re P.D. Dcă f :I R re P.D. tuci f( I e itervl. ( Reciproc e î geerl flsă. CONTINUITATEA FUNCŢIILOR INVERSE T. Fie f : I R R o fucţie mootoă.î. f( I e itervl. Atuci f este cotiuă. T. Orice fucţie cotiuă şi ijectivă pe u itervl este strict mootoă pe cest itervl. T. Fie f : I R, I, J R itervle. Dcă f e ijectivă şi cotiuă tuci ivers s f - e cotiuă şi strict mootoă. 65
7. DERIVATE FUNCŢIA DERIVATA C 0 - - l e e - - si cos cos -si tg cos ctg - si rcsi 66
rccos - l rctg rcctg - l log (u v v. u v-.u u v.v.lu f( c d c d f ( ( c d REGULI DE DERIVARE (f.g f gfg f g ( f ' χ χ f ' ' ' f g g ' ( ( f ( f 0 fg ' ' f ( 0 67
8. STUDIUL FUNCŢIILOR CU AJUTORUL DERIVATELOR Proprietăţi geerle le fucţiilor derivile..puctele de etrem le uei fucţii. Fie Ι u itervl şi f:ι R. Defiiţie. Se umeşte puct de mim (respectiv de miim(locl l fucţiei f, u puct Ι petru cre eistă o veciătte V lui stfel îcât f ( f ( ( respectiv. f ( f ( V. U puct de mim su de miim se umeşte puct de etrem. se umeşte puct de mim(respectiv de miim glol dcă f f resp. f f. Ι. ( ( ( ( ( Os..O fucţie pote ve îtr-u itervl mi multe pucte de etrem.(vezi deseul. Os..O fucţie pote ve îtr-u puct u mim (locl, fără ve î ce mi mre vlore di itervl.(vezi deseul f < f c. ( ( (, f (, ( c, f ( c -pucte de mim (, f (,( d, f ( d -pucte de miim 68
TEOREMA LUI FERMAT Dcă f este o fucţie derivilă pe u itervl Ι si ' de etrem,tuci f ( 0 0. Iterpretre geometrică: ' Deorece ( 0 0 0 I u puct f tget l grfic î puctul ( f ( 0 0, 0 este prlelă cu OX. Os.. Teorem este devărtă şi dcă fucţi este derivilă umi î puctele de etrem. Os.. Codiţi c puctul de etrem 0 să fie iterior itervlului este eseţilă. (dcă r fi o etremitte itervlului I tuci s-r pute c ' f ( 0. E. f (. 0 Os.. Reciproc T. lui FERMAT u este devărtă.(se pot găsi ' fucţii stfel îcât f ( 0 dr 0 să u fie puct de etrem. 0 ' Soluţiile ecuţiei f ( 0 se umesc pucte critice. Puctele de etrem se găsesc pritre ceste. Teorem lui Fermt dă codiţii suficiete (dr u si ecesre petru c derivt îtr-u puct să fie ulă. O ltă teoremă cre dă codiţii suficiete petru c derivt să se uleze este : 69
TEOREMA LUI ROLLE. Fie f : I R,, I, <. Dcă:. f este cotiuă pe [,];. f este derivilă pe (, ;. f ( f (, tuci cel puţi u puct c (, INTEPRETAREA GEOMETRICA '.î f ( c 0. Dcă fucţi f re vlori egle l etremităţile uui itervl [,], tuci eistă cel puţi u puct î cre tget este prlelă cu o. Coseciţ. Ître două rădăcii le uei fucţii derivile se flă cel puţi o rădăciă derivtei. Coseciţ. Ître două rădăcii cosecutive le derivtei se flă cel mult o rădăciă fucţiei. TEOREMA LUI LAGRANGE (su creşterilor fiite Fie f : I R,I (itervl,, I, <. Dcă:. f este cotiuă pe[, ] 70
. f este derivilă pe (,, tuci eistă cel puţi u puct c,.î să vem f ( ( f ( ' f (. c INTERPRETAREA GEOMETRICĂ Dcă grficul fucţiei f dmite tgetă î fiecre puct(cu ecepţi evetul, etremităţilor eistă cel puţi u puct de pe grfic(cre u coicide cu etremităţile, î cre tget este prlelă cu cord cre ueşte etremităţile. ( f ( f tg tget l grfic î M re coeficietul. ughiulr f ' ( c dr ' f ( ( f ( f c Os.. Dc f ( f ( Teorem lui Rolle. Coseciţ. Dcă o fucţie re derivt ul pe u itervl,tuci e este costt pe cest itervl. Dcă o fucţie re derivt ul pe o reuiue disjuct de itervle propriette u mi rămâe devărtă î geerl., ( 0, Epl. f : ( 0, (, f (, (, 7
Coseciţ. Dcă f si g sut două fucţii derivile pe u ' ' itervl I şi dcă u derivtele egle f g tuci ele diferă pritr-o costtă. f g c. c R Dcă f si g sut defiite pe o reuiue disjuctă de itervle, propriette e flsă î geerl. Epl. f ( tg π tg, 0,, g ( π tg, π Coseciţ. ' Dc f ( > 0 pe I f e strict crescătore pe I. ' Dc ( < 0 f pe I f e strict descrescătore I. Coseciţ 4. f : i R, I ' f re derivt î 0 şi f ( 0. Dcă l < f e derivil i. ' Coseciţ 5.Dc f ( 0 I. ' ' 0 Dc f ( 0 f ( 0 pe I f ' l R. s d 0 păstreză sem costt pe ETAPELE REPREZENTĂRII GRAFICULUI UNEI FUNCŢII. Domeiul de defiiţie;. Itersecţi grficului cu ele de coordote : Itersecti cu O coţie pucte de form{,0},ude este o rădăciă ecuţiei f(0 {dc eistă}. Itersecţi cu Oy este u puct de form {0,f{0}} {dcă puctul 0 prţie domeiului de defiitie}. Studiul cotiuităţii fucţiei pe domeiul de defiiţie : 7
Dcă fucţi este defiită pe R se studiză limit fucţiei l ± ir dcă este defiită pe u itervl se studiză limit l cpetele itervlului. 4.Studiul primei derivte :. Clculul lui f.. Rezolvre ecuţiei f (0.Rădăciile cestei ecuţii vor fi evetule pucte de mim su de miim le fuctiei ; c. Stilire itervlelor pe cre semul lui f este costt. Aceste reprezit itervlele de mootoie petru f. 5.Studiul derivtei dou :.Se clculeză f.se rezolv ecuti f (0. Rădăciile cestei ecuţii vor fi evetule pucte de ifleiue le grficului c.determire itervlelor pe cre semul lui f este costt. Astfel,pe itervlele pe cre f >0 fucti este coveă şi pe cele pe cre f <0, fucţi ete cocvă. 6.Asimptote :. Asimptotele orizotle sut drepte de form y, ude lim f ( dcă cel puţi u di ceste limite re ses şi ± eistă î R. Asimptotele verticle sut drepte de form 0, dcă eistă cel puţi o limită lterlă fucţiei î 0, ifiită. c Asimptotele olice sut drepte de form ym, ude f ( m lim R si lim( f ( m R, log şi petru -. 7. Telul de vriţie; 8. Trsre grficului. 7
9. PRIMITIVE Primitive. Proprietăţi. Fie I u itervl di R. Defiiţi. Fie f: I R. Se spue că f dmite primitive pe I dcă F : I R stfel îcât F este derivilă pe I; F ( f(, ε I. F se umeşte primitiv lui f. ( I pote fi şi o reuiue fiită disjuctă de itervle. Teorem. Fie f : I R. Dcă, : I R sut două primitive le fucţiei f, tuci eistă o costtă c R stfel îcât F ( ( c, F I. Demostrţie : Dcă F, F sut primitive tuci F, F sut ' derivile ' F ( ( f ( F ε I ' ' ( ( ( ' F ( 0 F F, ε I. F F ( F ( c, c costtă OBS. Fiid dtă o primitivă F uei fucţii, tuci orice primitivă F 0 lui f re form F F 0 c, c costtă f dmite o ifiitte de primitive. OBS. Teorem u mi rămâe devărtă dcă I este o reuiue disjuctă de itervle Epl: f: R- {0 }, f( ² F, G F, G sut primitive le lui f dr F-G u e costtă. Cotrdicţie cu T. OBS. Orice fucţie cre dmite primitive re Propriette lui Drou. Se ştie că derivt oricărei fucţii re Propriette lui Drou, rezultă că f re Propriette lui Drou. F f. F F 74
F P.D P C D OBS 4. Dcă I este itervl şi f(i def { f / I } ( u este itervl tuci f u dmite primitive. Dcă presupuem că f dmite primitive tuci di OBS rezultă că f re P lui Drou, rezultă f(i este itervl cee ce este o cotrdicţie. OBS 5. Orice fucţie cotiuă defiită pe u itervl dmite primitive. Defiiţi. Fie f: I R o fucţie cre dmite primitive. Mulţime tuturor primitivelor lui f se umeşte itegrl edefiită fucţiei f şi se oteză pri simolul f ( Operţi de clculre primitivelor uei fucţii(cre dmite primitive se umeşte itegrre. Simolul fost propus petru prim dtă de Leiiz, î 675. Fie F(I { f : I R} Pe cestă mulţime se itroduc operţiile : (fg( f( g(, (f(.f( R, costtă C { f : I R / f R} ( F( I f d { F / F primitivă lui f }. d. 75
Teorem. Dcă f,g:i R sut fucţii cre dmit primitive şi R, 0, tuci fucţiile fg, f dmit de semee primitive şi u loc relţiile: (fg f g, f f, 0, f f C Formul de itegrre pri părţi. Teorem. Dcă f,g:r R sut fucţii derivile cu derivtele cotiue, tuci fucţiile fg, f g, fg dmit primitive şi re loc relţi: f(g (d f(g(- f (g(d Formul schimării de vriilă (su metod sustituţiei. Teoremă: Fie I,J itervle di R şi ϕ : I J, f : J R, fuctii cu propriett ile : ϕ este derivilă pe I; f dmite primitive. (Fie F o primitivă s. Atuci fucţi (f oϕ ϕ dmite primitive, ir fucţi F oϕ este o primitivă lui (f oϕ ϕ dică: ' ( ϕ ( t ϕ ( t dt Fo ϕ C f 5. Itegrre fucţiilor trigoometrice Clculul itegrlelor trigoometrice se pote fce fie folosid formul itegrării pri părţi, fie metod sustituţiei. Î cest cz se pot fce sustituţiile:. Dcă fucţi este impră î si, R(-si,cos -R(si,cos tuci cos t.. Dcă fucţi este impră î cos, R(si,-cos -R(si,cos tuci si t.. Dcă fucţi este pră î rport cu mele vriile R(-si,-cos tuci tg t. 76
4. Dcă o fucţie u se îcdreză î czurile,,,tuci se utilizeză sustituţiile uiversle: si t t, cos ude t tg t t 5. Se mi pot folosi şi lte formule trigoometrice: si si.cos, cos cos si cos Itegrre fucţiilor rţiole Defiiţie: O fucţie f:i R, I itervl, se umeşte rţiolă dcă f ( R(, g( 0, I, ude f,g sut fucţii poliomile. g( Dcă grd f grd g, tuci se efectueză împărţire lui f l g fgqr, 0 grd r<grd g şi deci f ( r ( R ( q(. Petru R ( se fce g ( g ( scriere c sum de fuctii rtiole simple. PRIMITIVELE FUNCŢIILOR CONTINUE SIMPLE. cd c C, c R. d C. d C 4. d C l 77
5. e d e C 6. d l C 7. d ctg C si 8. d tg C cos 9. si d cos C 0. cos d si C. d rctg C. d l C. d l( C 4. d l C 5. d rcsi C 78
79 6. C tgd cos l 7. C ctgd si l 8. C d 9. C d 0. C d. C d l. C d l. C d rcsi 4. C d l 5. C d ( ( ( 6. ( ( d d C d ' (
80 7. Δ Δ Δ Δ 0, ] ( [( 0, ] ( [( d d d c 8. C c d c l 9. d c c m d c m d c B A l (
Biliogrfie: - Aro Khe. Complemete de mtemtică, Editur Tehică, Bucureşti, 958. - C. Năstăsescu,C. Niţă, Gh. Rizescui: Mtemtică- Mul petru cls IX-, E.D.P., Bucureşti, 98. - C. Năstăsescu, C Niţă, I. Stăescu: Mtemtică-Mul petru cls X--Algeră, E.D.P., Bucureşti,984. - E. Beju, I. Beju: Compediu de mtemtică, editur Ştiiţifică şi Eciclopedică, Bucureşti, 996. - E. Rogi, Tele şi formule mtemtice,editur tehică,98. - Mică eciclopedie mtemtică, Editur tehică, Bucureşti,980. - Lumiiţ Curtui, Memortor de Mtemtică-Alger, petru clsele 9-, Editur Booklet,006. 8
Proleme propuse şi rezolvte.să se determie umerele îtregi şi stfel îcât 4 6 4 ; Rezolvre: Ridicăm l putere dou epresi dtă: 4 6 4 6 ; Di eglre termeilor semee ître ei rezultă : şi 4 rezultă: şi..dcă 7, să se clculeze 4 4. Rezolvre: Ridicăm l putere dou relţi dtă: ( 49, 5 procedâd log se oţie 4 4 5 599. 4 4.Aflţi X di X. 008 ( 008 : (... 007 Rezolvre: ²... 007 X X ²... X 008 008 X X 008 008 008 X [ ] X 008, după formul 8
8 7 7 4 6 6 4 6 ( ( ( ( ( ( 4 4 4 6 0 5 9 5 5 ² ², 4. Să se clculeze: ude 7 4 7 Rezolvre: 5. Ştiid că să se clculeze prte îtregă umărului ² ² ² ² Rezolvre: 6.Se dă umrul 5 6 5 6 Să se rte c ² 4 Să se clculeze (X 007 Rezolvre:
( 5 ² ( 5 ² 5 5 5 5 ² 4. 0 ( 007 0 66 7. Dcă 007, să se clculeze. 9 Rezolvre: 66 66 66 007 007 9 9 660 0 8.Să se clculeze sum 007 S.... Rezolvre: S 5 007 (... 00 (......... 00 (... ( ( (. 004 [ ] Am dăugt şi m scăzut. 4 00 006 84
85 9.Clculţi: ( 50 68 5 68 : 4 7 4 E Rezolvre: ( ( ( 6. : : 0 7 7 4 7 4 4 4 50 5 50 68 5 68 7 7 4 < E 0.Determiti Z stfel îcât. 5 6 5 6 4 Z Rezolvre ( ( { },,, 5 5 5 5 5 5 Z. Să se rezolve ecuţi: (-4(-((-6 Rezolvre: Ecuţi dtă este echivletă cu: (-4((-(-6 (4 4-8 (4 4--6 Notm 4 4-8t t(t-5-6 t -5t60 t si t 4 4-8, ± 4 4-8,4 ±.
. Se dă ecuţi: ² 8 0. Se cere să se clculeze, sut soluţiile ecuţiei., ude Rezolvre : Fie A. Se ridică l putere trei A³ A Cum - 8 (Relţiile lui Viete A³- A 8 0 ; Soluţi relă cestei ecuţii este A - ; restul u sut rele A³ A²-A²-9A6A80 A²(A A (A6(Ao (A(A²-A60 A-. Dou drepte perpediculre ître ele î puctul M(;4 itersecteză OY î puctul A si OX î puctul B. să se scrie ecuţi dreptei AB să se rte c digolele ptrulterului AOBM sut perpediculre,ude 0 este origie sistemului. Rezolvre : Scriem ecuţiile dreptelor AM si MB ( AM : y 4 m( cum AM MB ( MB : y 4 ( m Aflm coordotele lui A: - di ( câd 0 y 4 m Aflm coordotele lui B: - di ( câd y 0 4m 86
Fie P(,y mijlocul lui AB 4M 4 m X, y 4 y 4 8y 6 6 9 4 6 8y 5 0( ec. drepteiab pt dreptei AB este m. 4 Pt dreptei OM este evidet 4 0 4 m AB mom OM AB. 0 A M(,4 O B 4. Se du puctele A (,6, B(-4,, C(6,-. Se cere: perimetrul triughiului ABC şi tur s ; coordotele cetrului de greutte; c ecuţi dreptei BC; d ecuţi mediei AM şi lugime s; e ecuţi îălţimii di A pe BC şi lugime s ; f ecuţi dreptei cre trece pri A şi fce u ughi de 0 0 cu OX; 87
g ecuţi dreptei cre trece pri A şi este prlelă cu BC; h ecuţi isectorei di A şi lugime ei i ri triughiului ABC. Rezolvre: Aplicâd formul distţei petru cele trei lturi le triughiului AB ( ( y oţiem: y AB 5, BC 5 5,AC 4 5 P 5 ; Se verifică cu reciproc teoremei lui Pitgor că triughiul este dreptughic cu ughiul de 90 0 î vârful A. Coordotele cetrului de greutte sut dte de formul: y y y 4 7 G, G, ; c Ecuţi dreptei BC se scrie folosid formul: y y y y y 4 50y-00 y-0 5 0 (form geerlă dreptei su y (form ormlă; d Coordotele mijlocului segmetului BC sut : M (, ecuţi mediei este: 6 y -y-0 0; Petru clculul lugimii 6 mediei AM se pote folosi fptul că îtr-u triughi dreptughic medi corespuzătore ipoteuzei este jumătte di ipoteuză: AM BC 5 5, ltfel se pote plic formul distţei. e Fie AD îălţime di A AD şi BC sut perpediculre cee ce îsemă că produsul ptelor este egl cu -. Cum 88
pt dreptei BC este pt lui AD este. Rămâe să scriem ecuţi dreptei cre trece pri A şi re pt : y-6(- -y0 este ecuţi îălţimii di A; Petru clculul îălţimii (îtr-u triughi dreptughic este coveil să plicăm formul: AB AC 5 4 5 5 AD ; BC 5 5 5 Altfel, treui rezolvt sistemul formt di ecuţiile dreptelor BC şi AD petru determi coordotele lui D. f y-6 (-; Am plict formul y-y0 m(- 0 î codiţiile î cre pt este tg0 0 g y-6 (- ude este pt dreptei BC. h Fie AE isectore ughiului A. BE AB Di teorem isectorei k k.folosidu-e EC AC 4 de rportul î cre u puct împrte u segmet rezultă 6 coordotele lui E,. Atuci ecuţi isectorei este: 7 7 y 6-7y0. Petru clcul lugime 6 6 7 7 isectorei e putem folosi şi de formul A AB AC cos AE cre este utiliztă de oicei câd se AB AC cuoşte măsur ughiului cărei isectore se clculeză. 0 AE. 7 i Ari triughiului dreptughic ABC este dtă de formul A AB AC 0. 89
Se v isist pe fptul că dcă triughiul u r fi fost dreptughic r fi treuit să se clculeze distţ de l A l drept BC dică tocmi lugime îălţimii ir cest s-r pute fce mi simplu folosid formul : Distţ de l u puct M 0 ( 0,y 0 l o dreptă h de ecuţie (h: yc0 este dtă de: 0 y0 c d( M 0, h. 5. S se rezolve ecuţi : 4 4 006 005 6 005 4 005 005 Rezolvre : Ecuţi dtă este echivletă cu : 006 005 4 Ridicăm l putere 4 4 4 4 006 4 005 006 005 4 ( Di mootoi fucţiei ( ( crescătore ecuţi ( f cre e strict re soluţie uică 4 6. Să se rezolve ecuţi: 007 006 (006 006 90
Rezolvre: Ecuţi dtă este echivletă cu: 007 (006. Ridicăm l putere / > 007 006 > 007 006 (* Di mootoi fucţiei f( ( cre e strict crescătore > ecuţi (* re soluţie uică: 7. Să se determie umărul de cifre di cre este compus umărul 7 007. Rezolvre: 0 < c <0 ; p 0 < cd < 0 4 ; p 4 (* 0 p- N < 0 p, ude p reprezită umărul de cifre le lui N. Di (* > lg 0 p- lg N <lg 0 p > p- lg N <p. Petru N 7 007 > lg N 007 lg 7 696 de cifre. 9
8. Să se rte că mtrice A M ( Z e c d iversilă, ude : 006 005 6 6 6... 6 006 c...... 006 ori de 005 d 006 Rezolvre : A e iversilă e 0 u u u u ( 5 ( d 6 ( 6 ( c 6 u det A 0 ultim cifră umărului det A ( det A 5 6 6 6 0 6 4 0 det A 0. 9
9 Proleme - siteze I. NUMERE REALE. APLICAŢII.. Să se clculeze: 99 50 44 98.. ( 6 (5 8 7 ( ( [ ] { }. 5 : 0 5. 6 6 6. : 4 8 5.. :6 (. 9 : 5 (5 0. 50 45 ( 8 0 ( 0 58 58 87 4 0 0 0 i h g f e d c
94 (. : 584. 5 656 l k j ( ( ( ( ( (. 5 6. 4 6. 5. 7 7 4 6 y p o m ( ( ( (.... 4 9 4 6 6. ( 6 ( 7. 5 7 ( 7 v u t s r q. Dcă 006.007, rătţi că. 007. Să se clculeze umărul 5 46, 4,5 şi petru
95 4. Comprţi umerele: ( ( ( ( 5. 6 4 5 6 5 6. 5 4 6 5 5 5 5. Dcă. 499 996, clculti 6. Arătţi că umărul (,4 :,4 5 5 4 5 e pătrt perfect. 7. Să se rte că epresi 7 4 7 5 4 9 5 c stiid Q E 8. Să se ducă l o formă mi simplă epresi: 0., 6 5 6 6 ( 6 8 4 E 9. Cre umăr este mi mre: su. 0*. Să se rte că: Q R Q R 5 7 5. Să se rte că: N N N Q, 4 9, 6 4.. Stiliţi vlore de devăr propoziţiei:.... Q. Să se fle ştiid că.... 999 0 4. Să se fle umerele îtregi petru cre. 5 4 Z 5. Să se verifice eglităţile: 5 4 9 5 4 9 7 5 7 5 6. Să se ordoeze crescător umerele: 6 6,,. 7. Să se rţiolizeze umitorii frcţiilor:
5. ; e ;. c ; d 9 5 8. Să se determie rădăci pătrtă umărului 6 6 9. Să se determie cel mi mre umăr turl cu propriette:... 4 5 4 0. Fie,,c umere rţiole stfel îcât cc. Să se demostreze că: ( ( ( c Q. Să se demostreze că 5 u este u umăr rţiol... II. PROGRESII ARITMETICE. Să se scrie primii ptru termei i progresiei ritmetice ( - ; r5 7 ;r c, ; r 0, dcă :. Să se găsescă primii doi termei i progresiei ritmetice ( :,,5,,7,..., 9,,5,...,. Să se clculeze primii cici termei i şirului cu termeul geerl ; (- c 4. Fie ( o progresie ritmetică. Dcă se du doi termei i progresiei să se fle ceillţi : c d 8 6 7, 5, 9?, 5? 40, 0 0, 7?, 0?, 0 6, 9?,? 5, 5,?,? 9 7 9 5. Fie ( o progresie ritmetică. Se du : 96
, r 0,5 se cere, r, 5 se cere 9 c 0, r se cere d 00 0, r se cere 6. Să se găsescă primul terme şi rţi uei progresii ritmetice dcă : 7, 60 c d e S 5 0 0 f 0, 7 4 8S 4, 5 7 60, S 9 0 6, 7 5, 8 4 5 7. Şirul ( este dt pri formul termeului geerl. -5 ; 0-7. Să se rte că ( Să se fle primul terme şi rţi. 8. i. Să se fle S 00 dcă : 9.Cuoscâd S să se găsescă : 0, c 5,5,, r 5 00 00 50 7,5 e o progresie ritmetică. primii cici termei i progresiei ritmetice dcă S 5 ; S ; S. 4?, r? dcă S ; 0. Este progresie ritmetică u şir petru cre : S - ; S 7- ; c S -4.. i, S0 00, S0 900. Să se clculeze S50.. Determiă R stfel îcât următorele umere să fie î progresie ritmetică. 97
-, 9, ;,(,4,8,. Să se rezolve ecuţiile : 7. 80 ; 5.. 69 ; c ((4(7..(8 55 ; d (((5..(5 8 ; e (5(0 (00 00. c 4. Să se rte că următorele umere sut î progresie ritmetică : (², ²², (-² ;,, ; ( ( c,,,, 0. ( 5. Să se rte că dcă umerele,, sut î progresie c c ritmetică tuci umerele,, c sut î progresie ritmetică. 6. Fie ( o progresie ritmetică. Să se rte că :...,. 7. Fie ecuţi ² c 0 cu soluţiile,. Dcă umerele,,c sut î progresie ritmetică tuci eistă relţi : (. 0 8. Să se demostreze : c, c, c,, c c, c, c,, c c c c d,, c, d,, c, d cd cd d c 98
III. PROGRESII GEOMETRICE. Să se scrie primii cici termei i progresiei geometrice ( dcă : 6, q 4, q 0, 5 c 0, q d 0,5, q e, q 5. Să se găsescă primii doi termei i progresiei geometrice ( :,,4,6,54,...,,5, 5.8,...,...... Dcă se cuosc doi termei i progresiei geometrice ( 6, 5 4, să se găsescă 7, 9, 0 5 0, 8 0,. 6,,. 4. Să se scrie formul termeulei l -le l progresiei geomertice dte pri :, 4, c 9, d 0, 5 5. Este progresie geometrică u şir petru cre sum primilor termei este : S ² - ; S ; c S 6. Să se determie.î. umerele următore să fie î progresie geometrică :,, c ;, 4, ; c,, 6 ; 7. Să se găsescă primul terme şi rţi q progresiei geometrice ( dcă : 99
4 8 4 48 c 6 8 5 9 8.Să se clculeze sumele :......... 008... 008 008 008 c d e (de ori f.... g 777777..7777 7(de ori 7 h 4...00 007 9. Să se rezolve ecuţiile : 007... 0, 007 ( (... ( 0, 0 IV. LOGARITMI. Să se logritmeze epresiile î z : E 7 6. E 4 5. c E. Să se determie epresi E ştiid că : lg E lg- lg- lg.. Să se rte că log 6log 6 >. 4. Să se clculeze epresiile: 5 log 00
7 log 4 49 c Elog 5-log 0 4 log log5 (log (log6 6 log (log5 (log 4 d e f g log 64 49 log 5 log 5 log 8 log 7 log 5. Să se rte că epresi: E log idepedetă de vlorile strict mi,z,y. 6. Să se clculeze epresiile: E log 4 log log log log log log 8 9 y log y log. z este z mri c le vriilelor log 9 log. 96 log 7 log4 E 7.Să se clculeze sum: log log... log log log... log... log log... log 8. Să se rte că dcă,,c sut î progresie geometrică tuci re loc eglitte:,, c R * {}, 0 log log log c 9. Să se rte că dcă, y, z sut î progresie geometrică tuci log,log y, log z sut î progresie ritmetică. c 0