Pregleda teorema, tvrdnji i primjera

Pregleda teorema, tvrdnji i primjera iz predmeta Furijeova i Wavelet analiza I Definicija Furijeovog reda i lagani rezultati Definicija 1.1 Skup T = {z C : z = 1} zovemo jedinična kružnica ili jednodimenzionalna torus grupa. Tvrdnja 1. T je multiplikativna Abelova grupa (T je kompaktan skup). Komentar 1.3 Neka je funkcija f definisana na T. Tada a) f je π periodična funkcija. Ako je još f integrabilna, tada b) π f(e i )dσ()= π+a f(e i )dσ(), za A ; A c) π f(e i(+a) )dσ()= π f(e i )dσ() (nepromjenljivost translacije); d) π f(e i )dσ()= π f(e i )dσ(); e) b a f(ei )dσ()= b+π a+π f(ei )dσ()= b π a π f(ei )dσ(). Tvrdnja 1.4 Preslikavanje p : /πz ( modulo π) T e i je izomorfizam aditivne grupe /πz na multiplikativnu grupu T. Tvrdnja 1.5 (Jensenova nejednakost) Neka je µ mjera takva da µ(ω) = 1. Ako je f L 1 (Ω) realna funkcija, a < f() < b za Ω i ϕ konveksna funkcija na (a, b) tada ϕ( f dµ) (ϕ f) dµ. Ω Ω (Dokaz se može naći u knjizi eal and Comple Analysis, Walter udin, na str. 6.) Tvrdnja 1.6 1 p < q a) L q (T) L p (T); b) f p f q, f L q (T). (L p (T) = {f : T C : T f(ei ) p dσ() < }, f p = ( T f(ei ) p dσ()) 1 p, f = ess sup f(e i ) def = sup{ f(e i ) : f(e i ) <, e i T}, f = sup f(n) ) e i n 1

Tvrdnja 1.7 Neka su dati nizovi kompleksnih brojeva (a n ) n N, (b n ) n N. Svaki trigonometriski red a + (a n cos n + b n sin n), n N se može zapisati u eksponencijalnom obliku c n e in i obrnuto. Definicija 1.8 Funkciji f L 1 (T) pridružujemo sljedeći red koji zovemo Furijeov red f(e i ) c n (f)e in. Koeficijente c n (f) zovemo Furijeovi koeficijenti i oni su definisani sa f(n) = c n (f) = f(e i )e in dσ(), n Z. T Definicija 1.9 Trigonometriski polinom je konačna suma oblika Tvrdnja 1.1 c n (P N ) = a n, ako je n N. P N (e i ) = N k= N a k e ik, a k C. Propozicija 1.11 a) c n (f) f 1, n Z; b) f ω def = f(e i( ω) ) c n (f ω ) = e inω c n (f). Tvrdnja 1.1 f L 1 (T), f j L 1 (T), j = 1,, 3,..., i f j f 1, (j ) (drugim L riječima f 1 (T) j f ) c n (f j ) c n (f) uniformno na Z, (j ). Tvrdnja 1.13 f L 1 (T), c (f) =, e i T definišimo F (e i ) def = f(e iω )dω F neprekidna na T, π periodična i vrijedi c n (F ) = 1 c in n(f), n.

Teorema 1.14 (Besselova nejednakost) f L (T) c n (f) konvergira i c n (f) f. Propozicija 1.15 Prostor L ( d ) ima sljedeće osobine: (i) L ( d ) je vektorski prostor; (ii) f()g() je integrabilna kadgod f, g L ( d ), i vrijed Cauchey-Schwartz-ova nejednakost (f, g) f g. ((f, g) je unutrašnji proizvod, (f, g) def = f()g() d, d kadgod je f, g L ( d )); (iii) Ako g L ( d ) fiksiramo, preslikavanje f (f, g) je linearno po f, i tako der (f, g) = (g, f); (iv) Vrijedi nejednakost trougla f + g f + g. (Dokaz se može naći u knjizi eal Analysis, Elias Stein i ami Shakarchi, na str. 157.) Teorema 1.16 Prostor L ( d ) je potpun u svojoj metrici. (Dokaz se može naći u knjizi eal Analysis, Elias Stein i ami Shakarchi, na str. 159.) Teorema 1.17 Prostor L ( d ) je separabilan, u smislu da postoji prabrojiva familija {f k } elemenata u L ( d ) takva da njihova linearna kombinacija je gusta u L ( d ). (Dokaz se može naći u knjizi eal Analysis, Elias Stein i ami Shakarchi, na str. 16.) Teorema 1.18 (iesz-fischer-ova teorema) a n l (Z) = {(a n ) : a n C, a n } f L (T) takva da c n (f) = a n, n Z, i a n = f (Parsevalova jednakost). Posljedica 1.19 f L (T) c n (f) = f. Posljedica 1. Funkcija čiji su Furijeovi koeficijenti dati niz a n l (Z) je jedinstven. Teorema 1.1 Sljedeće familije funkcija su guste u L 1 ( d ): (i) Jednsotavne funkcije; (ii) Stepene funkcije; (iii) Neprekidne funkcije sa kompaktnim nosačem. (Dokaz se može naći u knjizi eal Analysis, Elias Stein i ami Shakarchi, na str. 71.) 3

Teorema 1. (Mercerov teorem ili iman-lebegova lema na T) f L 1 (T) c n (f), kad n. Teorema 1.3 (Opšti oblik iman-lebegove leme) f L 1 ([a, b]), a < b, h ograničena, mjerljiva funkcija, definisana na takva da b a 1 lim c ± c c h(t)dt = (uslov prosječnosti) f(t)h(ωt)dt, kad ω ±. Posljedica 1.4 f L 1 (T) T f(ei )cos n dσ() i T f(ei )sin n dσ(), kad n. Tvrdnja 1.5 (Jordanova nejednakost) π sin. π Teorema 1.6 f L 1 (T) i. f(e i ) L 1 (T) N n= M c n (f), kad M i N nezavisno Definicija 1.7 Kažemo da funkcija f zadovoljava Lipschitzov uslov stepena α > u tački e ic ako M > i δ > takvi da f(e i(c+) f(e ic ) < M α, < δ. Posljedica 1.8 f L 1 (T), f zadovoljava Lipšicom uslov u tački e ic f(e ic ) = c n (f)e inc. Zadatak 1.9 Izračunati Furijeov red funkcije { 1, ako je ( π, ) f(e i ) = 1, ako je (, π) ješenje: c (f) =, c n (f) = 1 ( 1)n inπ za n, f(e i ) 4 π n=1 sin(n 1) n 1. Zadatak 1.3 Izračunati Furijeov red funkcije { + π, ako je ( π, ) g(e i ) = π, ako je (, π) ješenje: c (g) =, c n (g) = i n za n, g(ei ) n=1 sin n n. 4

Zadatak 1.31 f relana funkcija c n (f) = c n (f) (iz čega vidimo da je c (f) realan broj). Zadatak 1.3 Izračunati Furijov red funkcije h(e i ) = (1 re i ) 1, gdje je < r < 1. ješenje: c (h) = 1, c n (h) = r n za n, h(e i ) r n e in. Teorema 1.33 (princip lokalizacije) f, g L 1 (T), f(e i ) = g(e i ) za gotovo svako [a, b], a < b + za g.s. (a, b) oba reda c n (f)e in i c n (g)e in ili konvergiraju istoj vrijednosti ili oba reda divergiraju. Teorema 1.34 f L 1 f(e i ) + f(e i ) N (T) i L 1 (T) c n (f), kad N. n= N M Da li je bezuslovno tačno da c n (f), kad M i N nezavisno. n= N 5

(Ova stranica je ostavljena prazna.) 6

II Furijeova transformacija Tvrdnja.1 Ako je g() p-periodična funkcija definisana na tada Furijeov red funkcije g L 1 ([ p, p]) je π in c n (g)e p gdje su Furijeovi koeficijenti c n (f) = 1 p (ili ekvivalentno c π in p n(g)e p p π in f()e p d, n Z. gdje je c n (g) = 1 p p π in f()e p d, n Z ). Definicija. Furijeovu transformaciju funkcije f L 1 () definišemo kao f(ω) = (Pitanje: Odakle ova definicija? Šta nam je pomoglo da do demo do nje?) Teorema.3 f, g L 1 (), c 1, c C a) f(ω) f 1 ; b) (c 1 f + c g) (ω) = c 1 f(ω) + c f(ω); c) f neprekidna i ograničena na ; d) f()g()d = f()ĝ()d (promjena kape). Teorema.4 f L 1 (), α a) g() = f()e iα ĝ(t) = f(t α); b) g() = f( α) ĝ(t) = f(t)e iαt ; Teorema.5 c) g() = f( ) ĝ(t) = f(t); d) g() = f(α) ĝ(t) = 1 α α a) f n L 1 () f f n f; (konvergira tačkasto) (konvergira uniformno) b) f L 1 () f uniformno neprekidna na. (Tvrdnja pod b) se može dokazati na dva načina). f(t)e iωt dt. Teorema.6 (neprekidnost u srednjem) f L p (), 1 p <, h, f h () def = f( + h) f f h p, kad h. 7

Teorema.7 (iman-lebegova lema) f L 1 () f, kad ω. (Teorema se može dokazati na dva načina). Teorema.8 (Opšti oblik iman-lebegove leme) f L 1 ([a, b]), a < b, h ograničena, mjerljiva funkcija, definisana na takva da b a 1 lim c ± c c h()d = (uslov prosječnosti) f()h(ω)d, kad ω ±. Posljedica.9 f L 1 () f()cos ω d i f()sin ω d, kad ω ±. Teorema.1 f L 1 () i f() L 1 () lim B A,B A f(ω)dω =. Zadatak.11 Jedinična stepena funkcija definiše se na sljedeći način { 1, ako je U() = χ [, ) () =, ako je <. Neka je a > i f() = e a U(). Izračunati f(ω). Za a = 1 da li je f(ω) L 1 ()? ješenje: f(ω) = 1 a+iω, za a = 1 imamo da f(ω) L 1 (). Zadatak.1 Pokazati da sin d. Zadatak.13 Neka je data karakteristična funkcija intervala [ a, a] { 1, ako je a χ [ a,a] () =, ako je > a, a >. Ovu funkciju nekad zovemo i pravougaoni puls. Izračunati χ [ a,a] (ω). Za a = 1 da li je χ [ a,a] (ω) L 1 ()? ješenje: χ [ a,a] (ω) = sin ωa, za a = 1 imamo χ ω [ a,a] (ω) L 1 (). Zadatak.14 Šešir funkcija definiše se na sljedeći način k() = (1 )χ [ 1,1] (). Izračunati k(ω). ješenje: k(ω) = 4sin ω = ( sin ω ω ω ), za ω i f() = 1. Zadatak se može uraditi i na drugi način (zadatak 3.5). 8

Zadatak.15 Izračunati e a d. ješenje: e a d = π a. Zadatak.16 Gausova funkcija je definisana na sljedeći način f() = 1 π e. Izračunati f(ω). ješenje: f(ω) = e ω. Zadatak.17 Izračunati Furijeovu transformaciju Laplace funkcije g() = e a. ješenje: ĝ(ω) = π a e ω 4a. Zadatak se može uraditi i na drugi način (zadatak 3.6). Zadatak.18 Izračunati Furijeovu transformaciju funkcije h() = e. Provjeriti da li ĥ(ω) dω = 1? 1 π ješenje: ĥ(ω) = 1+ω, jest. *Korolar.19 f L 1 () i zadovoljava Lipschitz-ov uslov u tački t f(t) = lim A,B 1 π B A f(ω)e itω dω. 9

(Ova stranica je ostavljena prazna.) 1

III Furijeova transformacija i diferenciranje. Furijeova transformacija i integrali. Teorema 3.1 (Diferencijabilnost) a) f, g L 1 () i g() = if() f diferencijabilna i ( f(ω)) = ĝ(ω); b) f, f L 1 (), f neodre den integral od f (f ) (ω) = iω f(ω). Opažanje 3. f (k) L 1 (), k =, 1,..., n, f (k) nestaje u beskonačnosti za k =, 1,..., n f(ω) = o( 1 ω n ). Teorema 3.3 (diferenciranje pod znakom integrala) h(t, ω ) integrabilna funkcija po t na za neko ω [a, b], h na [a, b] ω i g L 1 () t. d. h < g(t) za ω [a, b] ω F (ω) = h(t, ω) dt je diferencijabilna i vrijedi F (ω) = df dω = h(t, ω) dt. ω Teorema 3.4 (transformacija integrala i djeljenje sa iω) f() L 1 t (), f()d =, g(t) = f()d g() L 1 (), ĝ(ω) = f(ω), za ω i ĝ() = f()d. iω Zadatak 3.5 Izračunati Furijeovu transformaciju Kapa funkcije f() = (1 )χ [ 1,1] () (koristeći teoremu 3.4). sin ješenje: f(ω) = ( ω ω ), za ω i f() = 1. Zadatak je već ra den na jedan način (zadatak.14). Zadatak 3.6 Ako je g() = e b, b >, izračunati ĝ(ω) (uz pomoć teoreme 3.3). ješenje: ĝ(ω) = π b e ω 4b. Zadatak je već ra den na jedan način (zadatak.17). Zadatak 3.7 Izračunati Furijeovu transformaciju funkcije h() = e ješenje: ĥ(ω) = i π ω ωe 4. (uz pomoć teoreme 3.1b). Zadatak 3.8 Izračunati Furijeovu transformaciju funkcije g() = e (uz pomoć teoreme 3.1a). ješenje: ĝ(ω) = 4iω. (1+ω ) 11

(Ova stranica je ostavljena prazna.) 1

IV Formula inverzije. Teorema 4.1 (sin može biti zamjenjena sa kad n ) f L 1 ([, π]), r (, π] pod pretpostavkom da limes U dodatku, funkcija sin(n+ 1 ) r lim f() sin(n + 1) r n sin d = lim n ima iman-lebegovu osobinu π lim n r f() sin(n + 1 ) f() sin(n + 1 ) d =. d Zadatak 4. Izračunati ješenje: π π sin(n + 1 ) sin d, n Z. Zadatak 4.3 Izračunati ješenje: π sin d. Tvrdnja 4.4 Postoji funkcija f L 1 () takva da f L 1 (). Npr. f() = e χ (,] (), g() = e χ [,+ ) (), h() = χ [ 1,1] (). Lema 4.5 f L 1 (), S A () = 1 π A A f(ω)e iω dω S A () = 1 π (f( + t) + f( t)) sin At t dt. 13

Lema 4.6 f L 1 (), S A () = 1 π A A f(ω)e iω dω S A () f() = π ( f( + t) + f( t) sin At f()) dt. t Teorema 4.7 f L 1 (), g (t) = f( + t) + f( t) f(), δ g (t) dt < (δ > ) t f() = lim A 1 π A A f(ω)e iω dω Tvrdnja 4.8 def K δ = π e π δ i) 1 δ π ii) η >, K δ () d = 1; >η K δ () d, kad η. Teorema 4.9 f, f L 1 () f() = 1 π Uputa: g() def = e δ 4π e iy,, y fiksiran, δ >, f(ω)e iω dω za g.s.. ĝ(ω) = K δ (ω y), Tvrdnja Tvrdnja Tvrdnja Tvrdnja 14

Tvrdnja 15