www.mtmtinj.com PRIMENA INTEGRALA P ngo što knmo s izčunvnjm povšin, dužin luk, zpmin ili povšin otcion povši momo odditi: - pomoću p tčk ispitmo tok i nctmo kivu kivko j to nophodno - gnic intgl nđmo ko šnj sistm jdnčin od dtih kivihnjihov psk - ponđmo odgovjuću fomulu - intgl j u njvćm oju slučj olj šiti z gnic,ko nodđni, j u slučju smn momo mnjti gnic.... Izčunti povšinu figu ogničn lukom kiv i pvom. Ršnj: Dt kiv j pol, ispitivnj tok i kko s ct njn gfik j dtljno ojšnjn u dlu kvdtn funkcij, li kko nm n t ispitivnj clog tok, vć smo nkoliko tčk, nći ćmo: i Gfik funkcij sč osu u tčkm gd j, to jst z i ii Nđmo pvi izvod: ` -, ` z to jst. Ovu vdnost zmnimo u počtnu funkciju: -, p j tčk, mksimum. iii Sd vć možmo skiciti gfik - - - 5 Mi tmo nći povšinu osnčnog dl, p j jsno d gnic intgl idu od do, pošto j do povšin koji tžimo iznd os, u intglu n momo uzimti psolutnu vdnost. Dkl: P d [ 8 ]
www.mtmtinj.com Tžn povšin j dkl P. Izčunti povšinu figu koj j ogničn linijm: i Ršnj: Tčk psk ov dv kiv,koj ćmo doiti švnjm sistm jdnčin, ć nm dti gnic intgl: 9 ± Dkl intgl id od do Dlj ispitmo nkoliko tčk d i skicili gfik: Očigldno ni jdn pol nm psk s osom, nđimo im tmn kstmn vdnosti ` `, j minimum, j minimum
www.mtmtinj.com -osu sč u -osu sč u Nctjmo sd sliku: 9 - Tžn povšin j ovo osnčno izmđu pol, i nju ćmo nći kd od povšin ispod gonj kiv oduzmmo povšinu ispod donj kiv, odnosno u intglu oduzmmo donju od gonj pol Vžno: Pošto j gfik simtičn u odnosu n osu, odnosno pn su o funkcij, lkš nm j d izčunmo povšinu od do p d to pomnožimo s. P [ ] d odnosno,pmtnij j: P [ ] d 9 d 9 8 6 Tžn povšin j dkl P 6. Odditi povšinu lik ogničnog lukom kiv 6 i osom O. Ršnj: U ovom zdtku nm j pmtnij d izzimo, d tžnu povšinu izčunmo po 6
www.mtmtinj.com ± 5 6 6 Nđmo, p j -, ` - ` z - p j Tčk 6, j mksimum kd zmišljmo po to jst 6 6 6-6 Rdićmo intgl po, gd nm gnic očigldno idu od - do. P 6 d 6 5 6 Tžn povšin j 5 6. Izčunti povšinu figu koj j ogničn linijm, - i Ršnj: Ovd s di o gficim lmntnih funkcij. Ako nist upoznti s njim, npvit tlicu vdnosti, u kojoj ćt iti vdnosti z i izčunvti.
www.mtmtinj.com 5 7 S slik j očigldno d osnčn povšin id po od do, d j donj kiv - gonj kiv P d Tžn povšin j 5. Odditi zpminu tl koj nstj otcijom oko os O dl povši ogničnog lukom kiv i osom O. Ršnj: Ispitjmo njp p tčk z polu i nctjmo sliku: p j ` - p j - z ond j
www.mtmtinj.com Gnic intgl su i V d V d 6 8 d 6 8 5 5 6 56 5 5 6 ο56 5 5 5 Zpminu tl j 5 5 6. Odditi zpminu tl nstlog otcijom kug oko O os > Ršnj: Iz nlitičk gomtij znmo d j jdnčin kug p q gd su p i q koodint cnt polupčnik kužnic. nm govoi d j p q, p ć slik izgldti: 6
www.mtmtinj.com 7 odvd momo izziti ± ± Ovd smo doili dv dl kužnic: gonji i donji Rotcij ovog kug ć nm dti tlo koj j pozntij ko TORUS, ili po nški gum Zpminu tl ćmo doiti kd od zpmin tl koj nstj otcijom gonjg dl kužnicpun gum oduzmmo zpminu tl koj nstj otcijom donjg dl kužnicko fln,popunjn V d Ndjimo njp vdnost izz
www.mtmtinj.com - - - Jsno j d gnic intgl idu od do Ršimo njp nodđni intgl: d sin t sin t costdt d costdt sin t costdt sin t costdt pošto j sin t cos t cost costdt cos tdt cos t j konstnt p ć ići ispd intgl upotićmo i fomulu: cos t, p ć i ko konstnt ispd intgl. Dkl: cos t dt t sin t Št s dšv s gnicm ovog intgl? Smn j il : sin t d costdt, z - j - sin t, to jst sint - p j t z j sin t, to jst sint p j t 8
www.mtmtinj.com Nov gnic su dkl i Vtimo s u intgl: V d t sin t [ sin sin ] Dkl, posl mnogo npo, končno šnj j V 7. Izčunti dužinu luk kiv ln od tčk do tčk 8 Ršnj: Ovd nm slik nij nophodn! Fomul z izčunvnj dužin luk kiv j L f ` d, ko dimo po ln ` p j 8 8 8 8 f ` d d d d d uzimmo smnu 9
www.mtmtinj.com t d tdt d tdt tdt d D vidimo št j s gnicm? t 8 t t tdt t dt Iz smn j t p j sd nš intgl t t dt ovd ćmo ko tik, go oduzti i dodti t dt t dt t t t ln ln - ln t ln končno šnj j L ln 8. Izčunti povšinu povši koj nstj otcijom luk pol oko os O n sgmntu [,] Ršnj:
www.mtmtinj.com - - Fomul z izčunvnj povšin otcion povši j : S f f ` d, po [, ] Ovd su gnic očigldno i. p j odvd odnosno ` p j ` S f f ` d d d id ispd intgl kon sktimo d uzimmo smnu t t dt 8 56 8 56 Tžn povšin otcion povši j dkl : S t udimo noddjni intgl d n mnjmo gnic d tdt
www.mtmtinj.com 9. Cikloid C j dfinisn pmtskim jdnčinm: Izčunti: t sin t i cost povšinu ogničnu jdnim lukom cikloid i osom O dužinu jdnog luk cikloid c zpminu tl nstlog otcijom jdnog luk cikloid oko O os Ršnj: Kko nstj i kko izgld t cikloid? Posmtjmo kužnicu koj s z kliznj okć po pvoj osi. Fiksijmo jdnu tčku n kužnici. Kiv koju opisuj t tčk zovmo cikloid. Posmtjmo ovj pvi luk cikloid koji j u intvlu [, ] Ako i koistili onu univzlnu fomulu z P, ilo i P d Ovj intgl i išo od do, pošto j cost, ić : Znči intgl id od do po t. Kko j t sin t to j d cost dt cost t cost t
P www.mtmtinj.com d cost cost dt cost dt Ršimo njp tžni intgl: cost dt cost cos t dt dt costdt cos t dt Vtimo s u fomulu: t sin t t sin t t sin t t sin t t sin t sin t P cost dt t sin t sin t Smo ml npomn d su sinusi od i 6 stpni jdnki. Dkl, P D izčunmo dužinu jdnog luk cikloid: Z luk immo gotovu fomulu: L ` t ` β α t dt Gnic intgl su i. Sdimo i ovu potkonu vličinu p ćmo ond švti intgl. t sin t p j ` cost cost p j ` sin t j j od jdinic izvod ` ` [ cost] [ sin t] cost cos t sin cost cos t sin t t
Vtimo s u intgl: www.mtmtinj.com cost cost sin t sin t β ` t ` α t t t t t dt sin dt dt sin sin dt cos 8 Dužinu jdnog luk cikloid j L 8 c Izčunjmo i zpminu V d [ cost] cost dt cost dt konstnt id ispd intgl cost dt iskoistimo fomulu - cost cos t cos t dt Svki od ovih intgl ćmo švti posno, pv dv nisu polm j su tlični, šimo zto ov postl dv. cos t cos t dt cos t dt t sin t t sin t
www.mtmtinj.com sin t z cos tdt cost cos tdt cost sin t costdt cost sin tdt sin t z dz costdt dz z sin t sin t sin t Vtimo s u izčunvnj zpmin: V [ t sin t Dkl V 5 sin t t sin t - sin t ] kd sdimo 5 5