O INTRODUCERE ÎN GEOMETRIA MECANISMELOR

O INTRODUCERE ÎN GEOMETRIA MECANISMELOR LIVIU I. NICOLAESCU ABSTRACT. În estă lurre disutăm teorem de universlitte lui Kempe legtă de posiilele onfigurţii le unui menism pln. CONTENTS Introduere 1 1. Menisme plne 1 2. Puţină geometrie semi-lgeriă 5 3. Reprezentre pliţiilor polinomile u jutorul menismelor 9 4. Demonstrţi teoremei de reprezentilitte 12 Referenes 16 INTRODUCERE Un menism pln este un sistem de re rigide îminte l pete. Brele se pot roti în jurul petelor, dr unele din petele lor pot ve o pozitie fixă în pln. Spre deoseire de situti relă, permitem relor să se interseteze şi în interiorul lor. Să ne imginăm ă intr-unul din petele relor fixăm un stilou perpendiulr pe pln după re deformăm menismul în tote modurile posiile. Stiloul v trs o regiune în pln. În est lurre dorim să investigăm prolem inversă: dtă fiind o regiune în pln, dorim să onstruim un menism pln stfel înât unul din vârfurile sle să trseze regiune dtă. Surprinztor, est luru este posiil pentru forte multe regiuni, ir teorem de universlitte lui Kempe desrie expliit re sunt este regiuni. Ele sunt regiunile semilgerie, diă sumulţimile din pln re pot fi desrise într-un număr finit de pşi folosind eglitţi şi ineglitţi polinomile. Ită pe surt orgnizre lurării. În seţiune 1 definim riguros noţiune de menism pln şi nlizăm âtev exemple fundmentle pentru înţelege sutilităţile prolemei. Seţiune 2 este ev mi strtă. Introduem puţin din limjul geometriei lgerie rele şi dăm o formulre rigurosă teoremei de universlitte. Deşi rezulttele menţionte în estă seţiune nu sunt neesre înţelegerii ideilor de ză din demonstrţi teoremei de universlitte, m onsidert ă este forte util să expunem ititorul unui mod de gândire modern. În seţiune 3 formulăm o teorem de reprezentilitte şi rătăm ă impliă teorem de universlitte. În seţiune 4 demonstrăm teorem de reprezentilitte. Surprinzător, demonstrţi foloseşte numi nişte idei elementre de geometrie eulidină plnă, teori mulţimilor şi lger numerelor omplexe. 1. MECANISME PLANE Un grf metri este o perehe M = (G, l) unde G este un grf finit (fără muhii multiple şi fără muhii re pornes şi se înheie în elşi vârf), ir l este o funţie de l mulţime E de muhii lui G l mulţime numerelor rele positive, l : E (0, ). Funti l se numeşte funţi lungime su metri. Vom not u V = V G mulţime de vârfuri. Dte: Pentru Gzet Mtemti. Ineput pe 18 Inurie 2009. Termint pe 26 Inurie 2009. 1

2 LIVIU I. NICOLAESCU Deoree o muhie este uni determintă de ptele sle, vom identifi E u o sumulţime simetriă lui V V, i.e., (v 0, v 1 ) E (v 1, v 0 ) E. În ele e urmeză vom identifi plnul eulidin u plnul ompex C. O relizre geometriă unui grf metri M = (G, l) este o funţie ζ : V C stfel înât ζ(u) ζ(v) = l(u, v), (u, v) E. Un menism pln (strt) este un qudruplu M = (G, l, V f, φ) unde (G, l) este un grf metri, V f este o sumulţime lui V G, φ : V f C este o funţie u propriette ă pentru orie perehe de punte u, v V f unite printr-o muhie din E re lo eglitte φ(u) φ(v) = l(u, v). Sumulţime V f se numeşte sumulţime puntelor fixe menismului. O relizre geometriă su onfigurţie unui menism pln M := (G, l, V f, φ) este o relizre geometriă ζ : V C lui (G, l) stfel înât ζ Vf = φ. Notăm u C(M) mulţime tuturor onfigurţiilor posiile le menismului M. Mulţime C(M) se mi numeşte şi spţiul de moduli l menismului M, Putem gândi o onfigurţie o mulţime de punte din pln (orespunzătore vârfurilor V ) unite prin re linire rigide (orespunzătore muhiilor E) şi de lungime presrise de metri l. Aeste punte se mi numes şi înheieturile menismului. Brele se mi numes şi rţele menismului. Ele se pot roti în jurul înheieturilor. Vârfurile din V f se numes înheieturile fixe le menismului, ir înheieturile din V \ V f se numes înheieturile liere su moile. Puntele fixe sunt înţepenite în poziţiile lor iniţile desrise de funţi φ, dr puntele moile se pot miş în pln. Brele se pot interset şi în interior. Când reprezentăm grfi o onfigurţie unui menism folosim simolul pentru indi un vârf moil şi simolul pentru indi un vârf fix. Exemplul 1.1 (Brţ de root). Să onsiderăm menismul din Figur 1.1 re onstă din trei vârfuri,, şi trei muhii (, ) şi (, ). Vârful este fix. r r FIGURE 1.1. Diferite onfigurţii le unui menism simplu Vedem ă loul geometri l vârfului este un er u entrul în. De îndt e fixăm poziţi lui, vârful mi re în un grd de liertte: se pote roti pe un er u entrul în vârful. Cu lte uvinte, pentru determin o onfigurţie estui menism treuie mi întâi să preizăm poziţi lui, şi poi poziţi lui reltiv. Prin urmre, spţiul de onfigurţii se pote identifi u un produs rtezin de eruri C = { (z, z ) C 2 ; z = length (, ), z = length (, ) }. Un stfel produs de două eruri se numeşte tor de dimensiune 2. Îl putem vizuliz ă o suprfţ unei mere umflte de mşin.

O INTRODUCERE ÎN GEOMETRIA MECANISMELOR 3 Exemplul 1.2 (Prlelogrmul u o muhie fix). Să onsiderăm un menism desris de muhiile unui dreptunghi d, în re vârfurile şi d sunt fixe. În Figur 1.2 m desris diferite onfigurţii le estui menism. Lungimile muhiilor (, d) şi (, ) sunt respetiv x şi y. y x d d d d FIGURE 1.2. Diferite onfigurţii le unui prlelogrm. Oservăm un fenomen interesnt. Ultim onfigurţie rtă forte diferit de primele trei. Se numeşte ontrprlelogrmul şi nu se pote oţine din primele trei printr-o deformre ontinuă. Spţiul de onfigurţii C re două omponente: o omponentă C + onţinând primele trei onfigurţii din Figur 1.2 şi o omponentă C onţinând ontrprlelogrmul. Fiere din este omponente se pote identifi u erul desris de vârful moil. Cele două eruri u două punte în omun re orespund l onfigurţii în re puntele,,, d sunt olinere. Puntele de interseţie sunt punte singulre le spţiului de onfigurţii. Putem modifi est menism înât spţiul de onfigurţii l noului menism este dor omponent C +. Noul menism se numeşte rigidizre prlelogrmului şi se oţine printr-un rtifiiu numit dugre unei proteze. Aest proes este desris în Figur 1.3 y x d v x/2 x/2 + y = u d y v d u FIGURE 1.3. Rigidizre unui prlogrm prin dugre unei proteze. Noul menism re două noi vârfuri u şi v, mele moile, re se flă pe muhiile orizontle le dreptunghiului din uz modului în re m les lungimile muhiilor protezei. Vedem ă est proes este ehivlent u dăugre unei re rigide de lungime y re uneşte mijloele muhiilor vertile. Mijloele devin înheieturi situte nu l petele muhiilor, i în interiorul lor. Noul rţ vertil se pote roti în jurul estor înheieturi. Exemplul 1.3 (Inversorul lui Peuellier). Este o onstruţie lsiă de geometrie eulidină fmiliră proil multor ititori. Menismul pln u est nume este desris în Figur 1.4. În est figură, ptrulterul P MQN este rom. Pentru nu re un ontrrom îl rigidizăm u jutorul unei proteze în Exemplul 1.2. Oţinem în est fel inversorul lui Peuellier rigidizt. Puntul M se mişă pe erul de entru S şi rză r. În trttul lsi de geometrie l lui J. Hdmrd este rătt ă puntul N se misă pe o drept perpendiulră pe drept OS; vezi [4, Teorem 241]. Mi preis, N este

4 LIVIU I. NICOLAESCU O N P M r S Q FIGURE 1.4. Inversorul lui Peuellier. inversul lui M prin inversiune de entru O şi putere OP 2 P M 2. Deoree M se mişă pe un er u entrul în S, loul geometri l lui N este un segment de drept. Exemplul 1.4 (Menismul noni). Să onsiderăm grful ilustrt în prte stângă Figurii 1.5, undemetri este dtă de l(a, B) = l(b, C) = l(c, A) = 1, 3 l(d, A) = l(ea) = l(d, B) = l(e, B) = l(d, C) = l(e, C) = 3. A E A D D=E B C B C FIGURE 1.5. Menismul noni. Aestă metriă defineşte un menism strt u tote vârfurile liere pe re-l numim menismul noni. Orie onfigurţie estui menism rtă în prte dreptă Figurii 1.5 în re ABC este un triunghi ehilterl, ir mele vârfuri D şi E oinid u rientrul triunghiului. Să presupunem ă M = (G, l, V f, φ) este un menism pln u mulţime de vârfuri V. Fixăm un vârf v V. Pentru fiere onfigurţie ζ C(M) oţinem un punt în pln ζ(v). Mulţime C(M, v) := { ζ(v) C; ζ C(M) } se numeşte urm vârfului v menismului M. Dă de exemplu plsăm un stilou în est vârf, şi înepem să mişăm menismul în tote felurile posiile, tuni stiloul trseză o regiune în pln. Când vârful v este fix, urm lui onstă dintr-un singur punt, φ(v). În Exemplul 1.1 urm vârfului este un er u entrul în. În Exemplul 1.3 urm vârfului N onţine un segment de dreptă. În Exemplul 1.4 urm vârfului D este întreg plnul. În estă lurre dorim să dresăm urmtore întrere. Cre mulţimi plne sunt urme le unui vârf lier l unui menism? Răspunsul surprinzător l estă întrere este onţinut în teorem de universlitte lui Kempe. Folosind un limj fmilir unui ititor din seolul 21 putem oferi o primă formulre estei teoreme: orie mulţime plnă re se pote vizuliz pe un ern de lultor este urm unui vârf lier l unui menism. Mtemtiinul merin Bill Thurston formult teorem est în termeni şi mi onreţi: pentru orie semnătur se pote gsi un menism re să o trseze.

O INTRODUCERE ÎN GEOMETRIA MECANISMELOR 5 Formulre preisă teoremei neesită puţină terminologie din geometri lgeriă relă pe re o vom introdue în seţiune următore. 2. PUŢINĂ GEOMETRIE SEMI-ALGEBRICĂ Definiţi 2.1. Numim mulţime lgeriă (relă) o sumulţime unui spţiu eulidin R n desrisă de un sistem de euţii polinomile în n vriile. Mi ext, o sumulţime S unui spţiu eulidin R n se numeşte lgeriă dă există polinome P 1,..., P ν R[x 1,..., x n ] stfel înât S = { x R n ; P 1 ( x) = = P ν ( x) = 0 }. Exemplul 2.2. () Un pln în spţiu este o mulţime lgeriă. De semene, un er în pln su o sfer în spţiu sunt mulţimi lgerie. () Orie interseţie finit 1 de mulţimi lgerie în R n este o mulţime lgeriă în R n. În prtiulr, o dreptă în spţiu este o mulţime lgeriă deoree este interseţie de plne. () Dă S este o sumulţime lgeriă lui R n desrisă de euţiile P 1 (x 1,..., x n ) = = P ν (x 1,..., x n ) = 0, P 1,..., P ν R[x 1,..., x n ], tuni S pote fi privită şi sumulţime lgeriă spţiului eulidin R n+1 desrisă de euţiile x n+1 = P 1 (x 1,..., x n ) = = P ν (x 1,..., x n ) = 0, P 1,..., P ν R[x 1,..., x n ]. Din est motiv, putem fi ev mi vgi în preiz spţiul eulidin mint l unei mulţimi lgerie. Definiţi 2.3. O pliţie R m R n desrisă de R m (u 1,..., u m ) ( v 1 (u 1,..., u m ),..., v n (u 1,..., u m ) ) R n se numeşte o pliţie polinomilă relă dă fiere din omponentele v k (u 1,..., u m ) este polinom u oefiienţi reli în vriilele (u 1,..., u m ). Convenţie. În ele e urmeză vom identifi spţiul eulidin omplex C n u spţiul eulidin rel R 2n în felul următor. Puntul z = (z 1,..., z n ) C n îl identifiăm u puntul (x 1, y 1,..., x n, y n ) R 2n, unde z k = x k + iy k, i = 1, = 1,..., n. Să oservăm ă inelul de polinome R[x j, y k ; 1 j, k n] se pote identifi u un suinel l inelului de polinome u oefiienţi omplexi în vriile z j, z k, 1 j, k n. Conform Exemplului 2.2(), orie mulţime lgeriă relă pote fi gândită o sumulţime lgeriă relă unui spţiu C n identifit mi sus u spţiul rel R 2n. Lăsăm în grij ititorului demonstrţi următorului rezultt. Propoziţi 2.4. Dă S C n este o sumulţime lgeriă relă tunti există o pliţie polinomilă relă F : C n C m stfel înât S = F 1 (0). Mi mult, putem lege pliţi F înât m = 1. Propoziţi 2.5. Spţiul de onfigurţii l unui menism M = (G, l, V f, φ) se pote identifi nturl u o mulţime lgeriă relă. 1 Folosind teorem zei lui Hilert se pote rtă ă orie interseţie, finită su infinită, de sumulţimi lgerie este o sumulţime lgeriă.

6 LIVIU I. NICOLAESCU Demonstrţie. Să presupunem ă mulţime de vârfuri lui M este V = { v 1,..., v n }. Notăm u E mulţime de muhii lui G. Putem identifi orie onfigurţie ζ C(M) u un punt (z 1,..., z n ) C n, unde z k = ζ(v k ), k = 1,..., n. Pentru fiere muhie e = (v j, v k ) lui G notăm u P e polinomul P e = (z j z k )( z j z k ) l(e) 2 = z j z k 2 l(e) 2 R[ x 1,..., x }{{ n, y } 1,..., y n ]. }{{} =: x =: y Atuni C(M) se pote identifi u mulţime zerourilor omune polinomelor P e, e E. Definiţi 2.6. O mulţime semilgeriă este o sumulţime S unui spţiu eulidin R n re se pote srie o reuniune finită S = S 1 S ν, unde fiere din mulţimile S j este desrisă de un sistem finit de ineuţii polynomile. Exemplul 2.7. () Orie mulţime lgeriă este semilgeriă. Într-devăr, dă S R n este desrisă de euţiile P 1 ( x) = = P ν ( x) = 0, P i R[x 1,..., x n ], tuni se pote desrie şi de sistemul de ineuţii P i ( x) 0, P i ( x) 0, i = 1,..., m. () Un semispţiu, su un semipln sunt mulţimi semilgerie. De semene, disul înhis de rză 1 u entrul într-un punt (x 0, y 0 ) din pln este sumulţime semilgeriă întruât este desris de ineuţi polinomilă (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 1. () Orie reuniune su interseţie finită de sumulţimi semilgerie le lui R n este o sumulţime semilgeriă. (d) Complementul unei sumulţimi lgerie lui R n este o sumulţime lgeriă lui R n. (e) Mulţime Cntor de pe x relă nu este semi-lgeriă. În generl, o mulţime re neesită o infinitte de psi pentru o desrie re o şnsă forte miă să fie semilgeriă. Exeriţiul 2.8. Demonstrţi firmţiile () şi (d) din Exemplul 2.7. Urmtorul rezultt este forte profund şi ne permite onstruţi multor exemple netrivile de mulţimi semilgerie. Teorem 2.9 (Trski-Seidenerg). Dă S R n R m este sumulţime semilgeriă, ir π este proieţi noniă, π : R n R m R n, tuni π(s) este o sumulţime semilgeriă. Demonstri este teoremei este elementr dr forte delită. Pentru detlii şi mi multe informţii despre mulţimile semilgerie trimitem l ursul [2] re se pote gsi şi pe Internet. Oservţi 2.10. Teorem lui Trski şi Seidenerg este unosută în litertur mtemti şi su numele de teorem de eliminre untifitorilor. Să expliăm rţiune din sptele estei terminologii. Mulţime π(s) se pote desrie u jutorul untifitorului existenţil în felul următor π(s) = { x R n ; y S }. Teorem lui Trski-Seidenerg ne spune ă există o oletie P 1,..., P ν de sumulţimi finite de polinome in vriilele x stfel înât ( ν { π(s) = x R n ; P ( x 0 } ) ν = A k. k=1 P P k } {{ } A k k=1

O INTRODUCERE ÎN GEOMETRIA MECANISMELOR 7 Desriere de mi sus nu utilizez nii un untifitor, de unde şi numele de eliminre untifitorilor. Pentru prei putere estei teoreme, onsiderăm spţiul eulidin R n+1 în re oordontele sunt notte u ( 0,..., n 1, x). Pentru simplitte notăm := ( 0,..., n 1 ) R n şi definim Să onsiderm mulţime lgeriă P (x) := 0 + 1 x + + n 1 x n 1 + x n R[x]. Z = { (, x R n+1 ; 0 + 1 x + + n 1 x n 1 + x n = 0 } = { (, x R n+1 ; P (x) = 0 }. Dă π : R n+1 R n este proieţi noniă (, x), tuni π(z) se pote indentifi u mulţime polinomelor de grd n u oefiienti reli re u el puţin o rdin relă, π(z) = { R n ; x R : P (x) = 0 }. Teorem Trski-Seidenerg ne spune ă π(z) este sumulţime semilgeriă şi dei se pote srie o reuniune finită Z = Z 1 Z ν, unde fiere din mulţimile Z k onstă din solutiile unui sistem finit de ineuţii polinomile în n vrile. Cu lte uvinte, pentru deide dă un polinom de grd n u oefiienti reli re o rdină relă este sufiient să rătăm ă vetorul oefiienţilor este soluţie unui din sistemele polinomile re defines mulţimile Z k. Din uz teoremei Trski-Seidenerg, geometri semilgeriă re o legtură strânsă u logi mtemtiă. 2 Mtemtiienii desriu diferitele mulţimi folosind opertorii logii (= SAU), (= ŞI), (= NEGAŢIE) preum şi untifitorii şi. Opertorii logii,, orespund operţiilor ooleene de reuniune, interseţie şi omplement. Dup um m văzut, untifitorul se trdue în teori mulţimilor prin onstruti imginii unei mulţimi dintr-un produs rtezin vi un din proietile nonie le produsului. De exemplu, dă S A B tuni mulţime { x A; y B; (x, y) S } este oinide u π A (S), unde π A : A B A este proieţi noniă, (, ). Cuntifitorul se pote exprim folosind qutifitorul şi opertorul negţie. Să onsiderm de exemplu mulţime M = { x A; y B, (x, y) S }. Un logiin r spune ă mulţime M este definită de formul x A : y B, (x, y) S, diă M onstă din ei x pentru re formul de mi sus este devrtă. Atuni şi dei A \ M = { x A; y B, (x, y) (A B) \ S } = π A ( (A B) \ S ), M = A \ π A ( (A B) \ S ). Putem desrie M prin următore formulă ( x A : y B, ( (x, y) (A B) ) ). Din oservţiile de mi sus deduem următorul prinipiu extrem de folositor. Orie formul în re pr dor opertorii,,, untifitorii, şi mulţimi semilgerie defineşte o sumulţime semilgeriă. It o simplă pliţie estui prinipiu. Să onsiderm o mulţime semilgeriă S R n. Atuni mulţime x R n : ε > 0, s S : x s 2 < ε 2 (2.1) 2 Alfred Trski, unul din utorii estei teoreme, fost unul din ei mi iluştri logiieni i seolului 20.

8 LIVIU I. NICOLAESCU este o mulţime semilgeriă deoree mulţimile {ε > 0} şi {(x, s, ε) R n R n R; x s 2 < ε 2 } sunt semilgerie. Pe de ltă prte, este lr ă mulţime din (2.1) este tomi înhidere lui S. Deduem ă dă S este sumulţime semilgeriă, tuni şi înhidere ei este semilgeriă. Să remintim o notţie din teori mulţimilor. Dă A şi B sunt două mulţimi, tuni B A este mulţime de funţii A B. De exemplu, dă vem o mulţime V = {v 1,..., v n } tuni C V = C n. Să presupunem ă M = (G, l, V f, φ) este un menism pln u mulţime de vârfuri V. Atuni spţiul de onfigurţii C(M) este o sumulţime lgeriă în spţiul eulidin C v. Să oservăm ă pentru orie vârf v V vem o proieţie noniă π v : C V C dtă de C V ζ π v (ζ) := ζ(v) C. ( ) Oservăm ă urm unui vârf v se pote desrie prin eglitte C(M, v) = π v C(M). Folosind teorem Trski-Seidenerg deduem următorul rezultt. Corolrul 2.11. Urm unui vârf lier unui menism este o sumulţime semilgeriă plnului. Putem um oferi un enunţ mult mi preis l teoremei de universlitte. Teorem 2.12 (de universlitte lui Kempe). Orie sumulţime omptă 3 semilgeriă este urm unui vârf lier l unui menism pln. Oservţi 2.13. () Formulre de mi sus este dor un z speil l teoremei de universlitte. Pentru o versiune mi generlă trimitem l lurre [8]. Aolo sunt desrise tote mulţimile semilgerie din pln, ompte su neompte, re pot fi trste u jutorul unui menism pln. () Imginile pe un ern de lultor sunt reuniuni finite de pixeli. Un pixel este un pătrăţel forte mi pe suprft ernului. Orie poligon onvex este mulţime semilgeriă întruât este interseţie de semiplne. Prin urmre un pixel este o mulţime semilgeriă omptă şi dei orie regiune re se pote vizuliz pe un lultor este omptă. Pentru inţelege formulre lui Thurston estei teoreme să oservăm mi întâi ă orie ură omptă din pln re este reuniune finită de ruri prmetrizte de polinome este o sumulţime semilgeriă. Astfel de ure, numite spline în nliz numeriă, sunt folosite pentru proxim ure ritrre în pln. În prtiulr, putem găsi proximări spline ritrr de preise pentru ur în pln desrisă de semnătur unei persone. Aproximre pote fi mi preis deât rezoluţi elui mi fin mirosop. Din teorem de universlitte deduem ă pentru orie ură desrisă de semnătur unei persone pe o foie de hrtie putem găsi un menism re să trseze o proximre ei pilă să induă în erore el mi performnt mirosop. Orie ură su regiune plnă re se pote produe u un softwre de grfiă este o ură spline su o regiune delimittă de ure spline şi in prtiulr, este o ură semilgeriă omptă. Mâzgâlel din figur de mi jos fost produsă u un stfel de softwre (Adoe Illustrtor), şi prin urmre, este o sumulţime semilgeriă omptă plnă. Teorem de universlitte spune ă există un menism stfel înât un vârf l său trseeză imgine din Figur 2.1. 3 Pentru ititorul nefmilir u noţiune de omptitte, ită-i definiţi. O sumulţime S R n se numeşte omptă dă este mărginită (diă este onţinută într-o ilă de rză sufiient de mre) şi înhisă (dă limit oriărui şir de punte din S este de semene un punt din S).

O INTRODUCERE ÎN GEOMETRIA MECANISMELOR 9 FIGURE 2.1. Mâzgâlelă semilgeriă. () Teorem de universlitte re o istorie interesntă. A fost formultă şi demonstrtă pentru prim dt de A. Kempe 4 în 1876, [6]. Deşi prinipiul forte ingenios de demonstrţie şi ideile de ză eru orete, demonstrţi ve o erore. În termeni strţi, el neglijt să onsidere rolul singulrităţilor în spţiul de onfigurţii l unui menism. În termeni onreţi, el neglijt să onsidere rolul unor onfigurţii de genul ontrprlelogrmului desris în Exemplul 1.2. Demonstrţi fost reprtă mi ine de un seol mi târziu de mtemtiienii M. Kpovih şi J. Millson în lurre [5]. Demonstrţi lor se zeză pe elşi prinipiu şi Kempe, dr pşii intermediri u fost modifiţi sustnţil folosind punte de vedere şi rezultte moderne de geometrie. În estă lurre ei demonstreză rezultte mult mi generle, dr enunţurile lor sunt mult pre sofistite pentru le inlude ii. În 2005, doi tineri studenţi merini T. Aot şi R. Brton, u reilitt demonstr i lui Kempe în tez lor de Mster de l Msshusets Institute of Tehnology, [1]. (d) Proil ă ititorul este urios să fle ât de omplit este de onstruit onret un menism re să trseze o ură pln dt. Metod de demonstrţie este onstrutivă, dr ondue l menisme extrem de omplexe. T. Aot şi R. Brton (re sunt informtiieni) u estimt în [1] estă omplexitte. Pentru mi multe informţii privind estă teorem trimitem l reent monogrfie [3]. În seţiune re urmeză dorim să shiţăm demonstrţi lui Kpovih şi Millson teoremei de universlitte. 3. REPREZENTAREA APLICAŢIILOR POLINOMIALE CU AJUTORUL MECANISMELOR Să expliăm, în reformulre modernă lui Kpovih şi Millson, tehni de ză propusă de Kempe. Fie M = (G, l, V f, φ) un menism pln strt. C de oiei, notăm u V mulţime de vârfuri. Să presupunem ă I, O sunt sumulţimi le lui V. Mulţime I este mulţime de inputuri, ir O este mulţime de outputuri. Mulţimile I şi O pot ve vârfuri în omun. Să oservăm ă vem nişte proieţii nonie π I : C V C I, C V ζ ζ I C I. Remintim ă în eglitte de mi sus privim ζ o funţie ζ : V C. Atuni ζ I este restriţi ei l sumulţime I. În mod similr definim o proieţie noniă π O : C V C O. Spti ul de onfigurţii C(M) este, după um ştim, o sumulţime lgeriă relă lui C V. Definim D(M, I) := π I ( C(M) ) C I. Numim estă mulţime domeniul tripletului (M, I, O). domeniul este o mulţime semilgeriă. Din teorem Trski-Seidenerg deduem ă 4 El fost vot de profesie, dr mre mtor de mtemtiă. Printre ltele, dt şi o demonstrţie (inompletă) prolemei elor ptru ulori. În pofid erorii, ideile lui s-u dovedit fi fundmentle. Demonstrţi din 1976 estei teoreme u jutorul lultorului se zeză pe ideile propuse de Kempe.

w 10 LIVIU I. NICOLAESCU Fie F : D(F ) C I C O o pliţie definită pe o sumulţime D(F ) lui C I. Spunem ă tripletul (M, I, O) reprezintă pliţi F dă domeniul D(M, I) este ontinut în domeniul D(F ) l pliţiei F şi în plus π O = F ( π I (ζ) ), ζ C(M), În limj modern, eglitte de mi sus spune digrm de mi jos este omuttivă. C(M) [ π I [ π O [] D(F ) C O F Să oservăm ă dă (M, I, O) reprezintă F, tuni pentru fiere punt z D(M, I) pot există mi multe onfigurţii ζ C(M) stfel înât ζ I = z. Tote este onfigurţii u însă propriette ă poziţi outputului ζ O este uni determint. Mi preis, dă inputul ζ I este puntul z C I, tuni output-ul ζ O este puntul F ( z) C O. Cu lte uvinte, poziţi vârfurilor input determin uni poziţi vârfurilor output, desi pote există o multitudine de onfigurţii pentru u elesi vârfuri input şi output. Exemplul 3.1. () Să onsiderăm menismul noni M n definit în Exemplul 1.4. Definim I = {D} şi O = {E}. Este lr ă (M n, I, O) reprezintă pliţi identitte C C. () Să notăm u M inversorul lui Peuellier rigidizt 5 în re vârful S este lier; vezi Figur 3.1. Am introdus vârful F pentru elimin unele degenerări. În Figur 3.1 vem < < O N F Q P M FIGURE 3.1. Inversorul lui Peuellier u vârful S lier. Dă definim I = {M} şi O = {N}, tuni tripletul (M, I, O) reprezintă restriţi l oron irulr{} 2 2 + 2 z O 2 2 + 2 + trnsformării prin inversiune de entru O şi de putere 2 2 ; vezi [4, Teorem 241] () Să onsiderăm din nou rţul de root din Exemplul 1.1, Figur 1.1. Notăm u B est menism pln şi definim I = {}, O = {}. Domeniul tripletului (B, I, O) este disul D(, 2r) de rză 2r entrt în puntul. Aest triplet reprezintă funţi onstntă F : D(, 2r) C, z. Îninte de introdue următorul onept heie dtort lui Kpovih şi Millson treuie să mi fem âtev oservţii elementre. Să oservăm ă orie ijeţie α : A B indue on izomorfism linir α : C B C A re soiză funţiei ζ : B C funţi α (ζ) = ζ α : A C. Astfel, dă notăm u [n] mulţime {1, 2,..., n}, tuni spţiul C [[n]] se identifiă nturl u spţiul C n, ir orie ijeţie α : [n] I indue un izomorfism α : C I C n. 5 Remintim ă rigidizre revine l dăugre unei proteze romului MP NQ. Pentru simplitte, nu m mi înlus protez în Figur 3.1. r S

u w u O INTRODUCERE ÎN GEOMETRIA MECANISMELOR 11 Definiţi 3.2. Fie F : C n C m o funţie polinomilă relă. Spunem ă F este reprezentilă prin menisme plne dă pentru orie rză R > 0, oriât de mre, există un menism M = M R = (G, l, V f, φ) u mulţime de vârfuri V = V R, sumulţimi I, O V, şi ijeţii α : [n] I, β : [m] O stfel înât u lo următorele ondiţii. () I O =. () Domeniul D(M, I) onţine il de rză R în C I u entrul în origine. () Tripletul (M, I, O) reprezintă funţi polinomilă (β ) 1 F α : C I C O, diă digrm de mi jos este omuttivă. C I C(M) [ π I [[] π O C O α C n F C m β Exemplul 3.3. Să onsiderăm pliţi polinomilă F : C 2 C, F (z, w) = 1 2 (z, w). Aest se pote reprezent u jutorul unor menisme numite pntogrfe; vezi Figur 3.2. F D E A z C B w FIGURE 3.2. Pntogrf. Să notăm u P est menism. Romul CDF E este rigidizt, dr pentru simplitte nu m inlus protez. În Figur 3.2 m nott u z C oordont omplexă lui A, şi u w C oordont omplexă lui B. Atuni oordont omplexă lui C este 1 2 (z + w) deoree puntul C este mijloul segmentului [AB]. Oservăm ă z w 4. Definim I = {A, B} şi O = {C}. Atuni tripletul (P, I, O) re domeniul D(P, I) = { (z, w) C 2 ; z w 4 }. Aest domeniu onţine il din C 2 u entrul în origine şi de dimetru 4, {(z, w) C 2 ; z 2 + w 2 4 2 }. Vriind lungime deduem ă estă fmilie de pntogrfe reprezintă funţi F. Are lo următorul rezultt fundmentl re generlizeză Exemplul 3.3. Teorem 3.4 (de reprezentilitte lui Kpovih-Millson). Orie pliţie polinomilă relă C n C m este reprezentilă prin menisme plne.

12 LIVIU I. NICOLAESCU Îninte de shiţ demonstrţi estei teoreme dorim să rătăm um putem dedue din e teorem de universlitte. Demonstrţi teoremei de universlitte. Urmăm strtegi din [8]. În demonstrţie vem nevoie de următorul rezultt de geometrie semilgeriă. Lem 3.5. Fie S R m o mulţime semilgeriă omptă. Atuni există o mulţime lgeriă omptă A R n R m stfel înât S = π(a), unde π : R n R m R m este proieţi noniă. Demonstrti nu este lungă, dr foloseşte rezultte delite de geometrie lgeriă relă şi de ee nu o inludem. Difiultte onstă în găsi o mulţime lgeriă omptă A stfel înât π(a) = S. Se pot găsi forte uşor mulţimi lgerie neompte A stfel înât π(a) = S. Cititorul interest pote onsult [8, Lemm 3.1]. Să onsiderm o mulţime semilgeriă omptă S din plnul eulidin C. Folosind lem de mi sus putem gsi o sumulţime lgeriă relă omptă A C n C stfel înât S = π(a), unde π : C n C C este proieţi noniă, (z 1,..., z n+1 ) z n+1. (3.1) Folosind Propoziţi 2.4 deduem ă există o pliţie polinomilă relă p : C n C C stfel înât A = p 1 (0). Deoree A este omptă, 6 este inlusă intr-o ilă B R de rză R u entrul în 0 C n C. Din teorem Kpovih-Millson deduem ă pliţi p este reprezentilă prin menisme. Prin urmre, putem găsi un menism M = (G, l, V f, φ), sumulţimi disjunte I, O V, o ijeţie [n + 1] α I stfel înât, mulţime O re rdinl 1, O = {v 0 }, imgine lui D(M, I) prin izomorfismul α : C I C n+1 onţine mulţime lgeriă omptă A, α ( D(M, I) ) A, tripletul (M, I, O) reprezintă pliţi C I α C n+1 p C = C O. Definim um un nou menism M fixând vârful v 0 din O în origine plnului omplex. Mi preis { M = (G, l, V f, φ ), V f = V f {v 0 }, φ φ(v), v V f (v) = 0, v = v 0.. Atuni α ( C(M )) = A. Să notăm u v vârful α(n+1). Atuni urm C(M, v) vârfului v l menismului M oinide u imgine lui A prin proieţi π desrisă de (3.1). Aestă imgine este, prin onstruţie, mulţime semilgeriă omptă S C. 4. DEMONSTRAŢIA TEOREMEI DE REPREZENTABILITATE Prinipiul de demonstrţie dtort lui Kempe este simplu: reduem prolem reprezentilităţii l o lsă de pliţii polinomile mi simple re genereză prin operţii elementre (dunre, înmulţire, ompunere et.) întreg fmilie de pliţii polinomile. Să onsiderm două pliţii polinomile F 0 : C n C m 0 şi F 1 : C n C m 1. Atuni vem o nouă pliţie polinomilă F 0 F 1 : C n C m 0 C m 1. Dă restriţi lui F j, j = 0, 1, l o ilă B spţiului C n este reprezentilă printr-un triplet (M j, I j, O j ) şi ijeţii α j : [n] I j, β j : [m j ] O j ), tuni putem form un nou menism M = M 0 M 1 oţinut identifind vârfurile din I 0 u vârfurile din I 1 u jutorul ijeţiei α 1 0 α I 0 [n] 1 I1. 6 Aii vem nevoie de omptitte lui S. Dă S nu e omptă tuni A nu pote fi omptă.

O INTRODUCERE ÎN GEOMETRIA MECANISMELOR 13 Mulţimile I 0 şi I 1 se identifiă nturl u o sumulţime de vârfuri lui M 0 M 1. Definim O = O 0 O 1. Atuni tripletul (M 0 M 1, I, O) reprezintă restriţi lui F 0 F 1 l il B spţiului C n. Am rătt stfel ă dă două pliţii polinomile F j : C n C m j sunt reprezentile, tuni şi produsul lor rtezin F 0 F 1 este reprezentil. Am redus stfel prolem reprezentilităţii l zul speil l pliţiilor polinomile rele F : C n C. În Exemplul 3.1() m rtt ă pliţi identiă 1 : C C. Prin urmre, şi produsul rtezin este reprezentilă. n = 1 } {{ 1 } : C C n, z (z,..., z) }{{} n n Lem 4.1. () Compunere două pliţii polinomile reprezentile este o pliţie polinomilă reprezentilă. () Dă F j : C n j C m j, j = 0, 1 sunt două pliţii reprezentile, tuni funţi (F 0, F 1 ) : C n 0 C n 1 C m 0 C m 1, C n 0 C n 1 ( z 0, z 1 ) ( F 0 ( z 0, F 1 ( z 1 ), ) este reprezentilă. În prtiulr, pliţi identiă 1 n : C n C n este reprezentilă. () Funţiile z M z, R, z S z 2, z C z sunt reprezentile. Mi generl, operţi de reflexie într-o dreptă în pln este reprezentilă. (d) Apliţi de dunre A : C 2 C, (, w) z + w C este reprezentilă. Pentru nu întrerupe firul logi l expunerii vom prezent demonstrţi estei leme ev mi târziu. Să presupunem ă F, G : C n C sunt două pliţii reprezentile. Atuni sum lor F +G : C n C se pote srie o ompunere C n 1 n 1 n C n C n (F,G) C 2 A C. Prin urmre, sum lor este de semene reprezentilă. Rezultă ă pentru răt reprezentilitte pliţiilor polinomile este sufiient să rătm ă pliţiile monomile C n C(z 1,..., z n ) µz 1 1 z 1 sunt reprezentile. Identitte 1 zn n ( (z + w) 2 (z w) 2 ) z n n, µ C, i, j N. (4.1) zw = 1 4 P împreun u Lemm 4.1 ne rtă ă funţi produs (z, w) zw este reprezentilă. Deduem în est fel ă produsul două funţii reprezentile este o funţie reprezentilă. Deoree orie rotţie plnului în jurul originii se pote desrie şi ompunere două reflexii 7 deduem ă orie rotţie plnului este reprezentilă. O rotţie este ehivlentă u înmulţire u un număr omplex de lungime 1. Deoree înmulţire u orie slr rel este reprezentilă, deduem ă şi înmulţire u orie slr omplex este reprezentilă. Exemplul 3.1() rtă ă monomul onstnt, 1, de grd zero, este reprezentil pentru ă e desris de funţi onstntă. Pentru rtă ă funţi (z 1,..., z n ) z k este reprezentilă onsiderăm menismul D n re onstă din n vârfurile V n = {v 1,..., v n } şi nii o muhie. Dă notăm I = V n, O = {v k } tuni deduem ă tripletul (D n, I, O) reprezintă funţi de mi sus. Avem însă o prolemă: ondiţi () din Definiţi 3.2 este violtă deoree mulţimile I şi O nu sunt disjunte. Pentru repr estă prolemă ne folosim de următorul tru. 7 Stiţi să rătţi est luru?

u w w u 14 LIVIU I. NICOLAESCU Înlouim vârful v k u menismul noni desris în Exemplul 1.4. Oţinem un nou menism D n,k ărui mulţime de vârfuri este V n,k = ( V n \ {v k } ) {A, B, C, D, E}, unde remintim (vezi Figur 1.5) ă A, B, C, D, E sunt vârfurile menismului noni. Singurile muhii le noului menism sunt dor muhiile re pr în menismul noni. Definim I n,k := ( V n \ {v k } ) {D}, O n,k := {E}. Atuni tripletul (D n,k, I n,k, O n,k ) reprezintă funţi monomil (z 1,..., z k ) z k. Deduem stfel ă orie pliţie monomil de form (4.1) este reprezentilă. Demonstrţi teoremei de reprezentilitte este înheită dă demonstrăm Lemm 4.1. Demonstrţi Lemei 4.1. () Să presupunem ă vem două pliţii polinomile reprezentile C n 0 F 0 C n 1 F 1 C n 2 Fixăm o ilă B 0 de rză R 0 u entrul în origine lui C n 0. Întruât F 0 este ontinuă există o ilă B 1 de rză R 1 u entrul în origine lui C n 1 stfel înât F 0 ( B(0, R 0 ) ) B(0, R 1 ). Întruât pliţiile F 0 şi F 1 sunt reprezentile, există menisme M j = (G j, l j, V j f, φ j), j = 0, 1, u mulţimile de vârfuri V j, sumulţimi disjunte I j, O j V j şi ijeţii stfel înât tripletul (M j, I j, O j ) reprezintă funţi α j : [n j ] I j, β j : [n j+1 ] O j, j = 0, 1, Φ j B j C n j+1 Φ j = (β j+1) 1 F j α j : B j C n j+1, α j β j+1 C n j C n j+1 F j Formăm um menismul M = M 0 # O0,I 1 M 1 oţinut identifiând vârfurile din O 0 u vârfurile din I 1 u jutorul ijeţiei β 1 0 α O 0 [n 1 ] 1 I1. Notăm u V mulţime de vârfuri noului menism. Atuni I 0 şi O 1 se identifiă u sumulţimi disjunte I, O V, ir tripletul (M 0 # O0,I 1 M 1, I, O) reprezintă funţi polinomilă F 1 F 0 restriţiontă l il B 0. () Demonstrţi estei firmţii o lăsm un exeriţiu ititorului. () Pentru demonstr ă M este reprezentilă folosim pntogrful rigidizt u un punt fix; Figur 4.1. r r r A B C FIGURE 4.1. Pntogrful u un punt fix.

O INTRODUCERE ÎN GEOMETRIA MECANISMELOR 15 Notăm u P est menism, în re vârful A este fixt în origine plnului. Definim I = {B}, O = {C} şi notăm u z oordonte lui B. Din teorem lui Thles deduem ă tripletul (P, I, O) reprezintă funţi M, = (1 + r)z, pe domeniul { z 2}. Dă legem şi r ritrr deduem ă tote funţiile M, > 1, sunt reprezentile. Dă shimăm rolurile lui B şi C, diă definim I = {C} şi O = {B}, deduem ă şi funţiile M, (0, 1), sunt reprezentile. Dă în pntogrful din Figure 4.1 fixăm vârful B în origine, şi legem r = 1, oţinem un menism pe re-l notăm u P B. Definim I = {A} şi O = {C}. Atuni tripletul (P B, I, O) reprezintă funţi M 1 pe domeniul { z < 2}. Rezultă ă înmulţire u orie slr rel 0 este reprezentilă. Deoree funţi (z, w) 1 2 (z + w) este reprezentilă (Exemplul 3.3) deduem ă şi ompunere (z, w) 1 2 (z + w) M 2 z + w este reprezentilă. Ast ne rtă ă funţi dunre este reprezentilă şi dei prte (d) lemei este demonstrtă. Notăm u h inversiune de entru origine, şi putere t 2, t > 0. În oordonte omplexe putem srie h(z) = t2 z. (4.2) z 2 Dup um m văzut în Exemplul 3.1(), Figur 3.1, putem folosi inversorul lui Peuellier pentru reprezent estă inversiune pe orone irulre. Dă în Figur 3.1 legem t = 2 2 = 4r şi = 3r est menism reprezintă inversiune h pe oron irulră {2r z 8r}. Folosind (4.2) deduem imedit eglitte ( 1 z 2 = t 2 ) th h(t + z) + h(t z) 2( ) Dă legem z r, tuni z + t şi z t se flă în oron irulră {2r z 8r} şi dei h(z + t) şi h(z t) se pot reprezent prin menisme pe disul { z t}. Cu lte uvinte, funţi z 2 se oţine prin dunre, ompunere şi înmulţire u slri din funţii reprezentile şi prin urmre este reprezentilă. C să reprezentăm funţi onjugre z z folosim un menism desris în Figur 4.2. M p u Mq - p - q v FIGURE 4.2. Simulând onjugre. Să explim puţin estă figură. Drept punttă este x relă. M p şi M p sunt menisme independente ontinând vârfurile p şi respetiv q stfel înât urm lui p este intervlul [, ], ir urm lui q este intervlul [, ]. (De exemplu, M p şi M q sunt inversore Peuellier rigidizte în Exemplul 1.3.) În mjiloul figurii vem un rom rigidizt puqv le ărui lturi u lungime. Notăm u C est menism şi definim I = {u}, O = {v}. Oservăm ă tripletul (C, I, O) reprezintă pliţi de onjugre întruât v este reflexi lui u în x relă. Dă legem,, stfel înât min(, ) > R > 0

16 LIVIU I. NICOLAESCU tuni domeniul estui triplet onţine disul { z R}. Aest rtă ă pliţi de onjugre este reprezentilă. REFERENCES [1] T.G. Aot, R.W. Brton: Generliztions of Kempe s Universlity Theorem, Teză de Mster, Msshusets Institute of Tehnology, 2005. Se pote gsi pe Internet http://we.mit.edu/tott/www/ppers/mthesis.pdf [2] M. Coste: An introdution to semi-lgeri geometry, Rel Algeri nd Anlyti Geometry Network. Se pote gsi pe Internet http://www.ihp-rg.org/pulitions.php [3] E.D. Demine, J. O Rourke: Geometri Folding Algorithms. Linkges, Origmi, Polyhedr, Cmridge University Press, 2007. [4] J. Hdmrd:Leţii de Geometrie Elementră. Geometrie Plnă, Editur Tehniă, Buureşti, 1962. [5] M. Kpovih, J.J. Millson: Universlity theorems for onfigurtion spes of pln linkges, Topology, 41(2002), 1051-1107, su pe Internet, http://front.mth.udvis.edu/9803.5150 [6] A. B. Kempe: On generl method of desriing plne urves of the nth degree y linkwork, Pro. London Mth. So., 7(1876), 213-216. [7] H.C. King: Plnr linkges nd lgeri sets, Turkish J. Mth., 23(1999), 33-56. Se pote gsi pe Internet http://front.mth.udvis.edu/9807.5023 [8] : Semionfigurtion spes of pln linkges, preprint. Se pote gsi pe Internet http://front.mth.udvis.edu/9810.5130 DEPARTMENT OF MATHEMATICS, UNIVERSITY OF NOTRE DAME, NOTRE DAME, IN 46556-4618. E-mil ddress: niolesu.1@nd.edu URL: http://www.nd.edu/ lniole/