NUMERČKA NTEGRACJA ZADATAK: Odrediti približnu vrednost integrala ntegral određujemo pomoću formule: f ( x) = p( x) + R( x) vrednost integrala polinoma R ocena greške a b f ( xdx ) Kvadraturne formule se dobijaju aproksimacijom podintegralne funkcije interpolacionim polinomom, a greška je jednaka integralu greške interpolacije. a f ( xdx ) = + R b Vrednost integrala najčešće se dobija pomoću kvadraturni formula Njutn Kotesovog tipa Gausovog tipa NJUTN KOTESOVE KVADRATURNE FORMULE najčešće su oblika: b a n = i= f ( xdx ) Af( x) i i
Zadatak br. zvesti kvadraturnu formulu oblika Koeficijente Ai biramo tako da formula bude tačna za polinome što je moguće većeg stepena. Broj nepoznati koeficijenata određuje stepen funkcije za koju će formula biti tačna. U zadatku imamo čvora, dakle formula mora da bude tačna za polinome stepena, i. Uzećemo da je funkcija f( x) dx= Af( ) + Af( ) + Af( ) f( x) =, f( x) = x, f( x) = x i za tako izabrano f(x) odrediti nepoznate koeficijente. f( x) = : dx= x = = A + A + A x f( x) = x: xdx= = = A + A + A x 9 6 6 f ( x) = x : x dx= = = A + A + A Rešimo sistem, dobićemo da je A =, A =, A = Dakle, tražena formula je oblika: f ( xdx ) = f( ) f( ) + f( )
Zadatak br. zvesti kvadraturnu formulu za numeričku integraciju oblika: x f ( xdx ) Af () + Bf ( ) + Cf () Koeficijente A,B,C biramo tako da formula bude tačna za polinome što je moguće većeg stepena. Broj nepoznati koeficijenata određuje stepen funkcije za koju će formula biti tačna. U zadatku imamo čvora, dakle formula mora da bude tačna za polinome stepena, i. Uzećemo da je funkcija f( x) =, f( x) = x, f( x) = x i za tako izabrano f(x) odrediti nepoznate koeficijente. f( x) = : xdx= x = = A+ B+ C 5 f ( x) = x: x xdx= x = = + B+ C 5 5 7 f ( x) = x : x xdx= x = = + B+ C 7 7 Rešimo sistem, dobićemo da je 6 6 A=, B=, C = 5 5 5 Dakle, tražena formula je oblika: 6 6 xf( xdx ) f() + f( ) + f() 5 5 5
Zadatak br. zvesti kvadraturnu formulu za numeričku integraciju oblika: f ( xdx ) Af() + Bf( ) + R ( ) Koeficijente A,B biramo tako da formula bude tačna za polinome što je moguće većeg stepena. Broj nepoznati koeficijenata određuje stepen funkcije za koju će formula biti tačna. U zadatku imamo čvora, dakle formula mora da bude tačna za polinome stepena i. Uzećemo da je funkcija f( x) =, f( x) = x i za tako izabrano f(x) odrediti nepoznate koeficijente. f( x) = : dx= x = = A+ B x f ( x) = x: xdx= = = + B Dakle, tražena formula je oblika: oceniti grešku R() Rešimo sistem, dobićemo da je A=, B= f( x) dx ( f() + f( )) + R( ) Tražena formula je stepena, ostalo je da ocenimo grešku. Ocena greške će biti stepena. Neka je p(x) polinom prvog stepena koji se poklapa sa funkcijom f(x) u datim čvorovima:. p ( x) = f () p( ) = f ( ) f ( x) = p( x) + R( x) px ( ) = a+ a( x x) f() = a f( ) = f() + a ( ) px ( ) = f() + x f( ) f()
M M R( x) ( x x)( x x) = ( x )( x )!! konačno, ocena greške kvadraturne formule je: f ( x) dx = p( x) dx + R ( x) dx M ( ) ( )( )! R R x dx x x dx M M M R ( ) ( )! x x dx+ x x dx! = 8 Zadatak br. zvesti kvadraturnu formulu oblika: f( x) dx= cf( ) + cf( ) + cf( ) + R Oceniti grešku. Pomoću dobijene formule izračunati integral: sin x dx x Koeficijente Ci biramo tako da formula bude tačna za polinome što je moguće većeg stepena. Broj nepoznati koeficijenata određuje stepen funkcije za koju će formula biti tačna. U zadatku imamo čvora, dakle formula mora da bude tačna za polinome stepena, i. Uzećemo da je funkcija f( x) = x k, k =,, i za tako izabrano f(x) odrediti nepoznate koeficijente. 5
f( x) = : dx= x = = C + C + C x f( x) = x: xdx= = = C + C + C x 9 6 6 f ( x) = x : x dx= = = C + C + C Rešimo sistem, dobićemo da je C =, C =, C = Ocenimo grešku: NAPOMENA: Ovo je formula NjutnKotesovog tipa sa tri čvora, pri čemu čvorovima koji su simetrični u odnosu na sredinu intervala odgovaraju jednaki koeficijenti. Red greške povećava se za jedan stepen, pa će ova formula biti tačna i za polinome trećeg stepena. R = ( )( )( ) ( )! f ξ x x x dx Uvodimo oznaku () = max [,] ( ) M f x ( )( ) ( )! ( x )( x ) ( x ) dx=.79 R M x x x dx R M *.79 =.M! Dakle, tražena formula je oblika: f ( xdx ) = ( f( ) f( ) + f( )) +.M Ostalo je da izračunamo vrednost integrala. Prvo, moramo da pomerimo granice integrala, koristićemo smenu x=at+b ( t + ) x = 6
Sada rešavamo inegral: ( t + ) sin sin x dx = dt x t+ 5 7 sin sin sin sin x dx = ( 6 8 + 6 ) + R =.678 x 5 7 R =.M Ostalo je da se oceni greška R UOPŠTENA TRAPEZNA FORMULA b a y + y f xdx y y y i+ n ( ) ( + + +... + n ) a = x, b= x x x = i n Greška trapezne formule: b a R y a b ''( ξ), ξ [, ] UOPŠTENA SMPSONOVA FORMULA b a f( x) dx ( y + yn + ( y+ y+... + yn ) + ( y + y +... + yn )) Greška simpsonove formule: b a R y a b 8 () ( ξ), ξ [, ] 7
Ova ocena greške je nepraktična zato što je potrebno oceniti.ti izvod, zato koristimo drugu ocenu greške. ( f) = ( f) + M ( f) = ( f) + M H H k k ( f ), ( f ) H ntegral sa korakom,h dobijen Simpsonovom ili Trapeznom formulom Ako pretpostavimo da je M = M (što ne mora da znači) oduzimanjem dobijamo k k ( f) ( f ) = M( H ) H Odnosno: ( f) ( f) H H( f ) ( f ) k Rungeova ocena greške Kada je u pitanju uopštena Trapezna formula uzimamo da je k=, dok je kod uopštene Simpsonove formule k=. Ova ocena nije uvek pouzdana zato što M ne mora da uvek bude jednako M. 8
Zadatak br5. zračunati integral Simpsonovom kvadraturnom formulom sa tačnošću dx x + cos x ε = Za Simpsonovu kvadraturnu formulu potreban nam je neparan broj čvorova, na primer n=5. Računamo sa 5 decimala zbog ocene greške. x * * *. pi/.67 pi/.666 pi/.66 pi.669 suma.669.76.666 = (.669 + *.76+ *.666) =.5 * Obzirom da je za ocenu greške pomoću formule za ocenu greške koju imamo kod Simsponove kvadrturne formule potreban ti izvod, grešku ćemo oceniti Rungeovom ocenom. Tražimo vrednost integrala sa korakom i sa duplo manjim korakom. = 9
x * * *. pi/8.7595 pi/.67 pi/8.67 pi/.666 5pi/8.659 pi/.66 7pi/8.579 pi.669 suma.669.5877.9 Kada dopunimo staru tablicu novim podacima, primetićemo da su nam sada svi novi elementi u drugoj tablici na neparnim mestima. Nji množimo sa brojem. 8 8 = (.669 + *.5877 + *(.76+.666)) *8 =. Ocena greške: ( f) ( f) 8..5 ( f) ( f) = 8 5 ( f) ( f).66 > 8 Kako je greška veća od tražene, ponovo ćemo poloviti interval i formirati novu tablicu. = 6
x * pi/6.895 pi/6.797 5pi/6.658 7pi/6.67 9pi/6.66 pi/6.6 pi/6.58 5pi/6.595 suma 5.96 6 6 = (.669 + *5.96+ *(.5877 +.9)) *6 =.9 Ocenimo grešku: ( f) ( f) 6 8.5.9 ( f) ( f) = 5 6 ( f) ( f).7 < 6 Dakle, traženo rešenje je =.9 Zadatak br6. Neka su Yi i=,,..,n Yi=f(Xi) dati sa tačnošću δ i neka je R greška nastala u Simpsonovoj Formuli zaokruživanjem vrednosti. Dokazati da je R (b-a)δ Uzećemo da je svaka promenljiva Y data sa apsolutnom greškom δ AY δ, ( (.. ) (.. )) i = y + yn + y + y + + y n + y + y + + y n R ( Ay + Ayn + ( Ay+ Ay +.. + Ayn ) + ( Ay + Ay +.. + Ayn ))
R δ (+ + (+ +.. + ) + (+ +.. + )) b R δ dx= δ( b a) a Ovo u zagradi liči na Simpsonovu formulu kada je f(x)= Zadatak br7. Odrediti optimalni korak i izračunati integral koristeći Simpsonovu kvadraturnu formulu tako da greška rezultata ne bude veća Ukupna greška R= R + R M Z ε = dxx + Uzećemo da je: R M R M Greška metode R Z R Z Greška zaokruživanja ( b a) RM 8 () ( ) = + x ( + x) M () max [,] f ( x) = 5 R M 8 9R M =.9.
δ je izabrano tako da i greška zaokruživanja bude manja od RZ = δ ( b a) δ Zbog greške zaokruživanja radićemo sa sigurne cifre u užem smislu. Formiramo tabelu: x * * *...99..8..769..7.5.6667.6.65.7.588.8.5556.9.56.5 suma.5.595.78... = (.5 + *.595 + *.78) =.69 ntegral smo izračunali sa zadatom tačnošću.
Zadatak br8. zračunati integral sa tačnošću x xe + sin dx x 5 ntegral rešavamo Simpsonovom kvadraturnom formulom. Granice integrala ćemo namestiti tako da gornja granica bude konačna vrednost. M x xe dx xe dx = e = e + sinx M x x M 5 M sin x, Smena: x = t M 5 e M 5ln M.9 Uzećemo da je M=.. ntegral posmatramo na interrvalu [,.]. Za početak radimo sa čvora. x * * *..968..69..9 suma.987.69... = (.987 + *.69) =.675
Za Rungeovu ocenu greške potrebno je prepoloviti korak (inače računamo.izvod i ocenjujemo Simpsonovom ocenom greške. x * * *..968.6.5..69.8.7..9 suma.987.77.69.6.6.6 = (.987 + *.77 + *.69) =.67.67.6( f).( f) ( f).6( f) =.* Ukupna greška = greška metode + greška odsecanja + greška zaokruživanja + zaokruživanje rešenja: R= R + R + R + R M O Z R R = + + + 5 5 6 5 5.*.*!. = (b-a) 5 5
Rezultat nije tačan zato što na ovom primeru Rungeova ocena greške ne radi ;( Ali probaćemo Rungeovu ocenu još jednom sa duplo manjim intervalom:.( f).5( f) ( f).5( f) =.8* Primetićemo da je sada Rungeova ocena greške VEĆA nego malo pre!!! 5..5 =.6667 =.67 Ovo je primer gde Rungeova ocena greške ne radi.. Moraćemo da koristimo Simpsonovu forumulu za ocenu greške. Zadatak br9. Naći x za koje važi: Raditi sa decimale. x t F( x) = e dt = Primetimo, prvo da je podintegralna funkcija pozitivna i da možemo da pronađemo rešenje za x>. Osnovnom Simpsonovom formulom nalazimo koliko je, npr F() i F(.5). Potreban nam je neparan broj čvorova, uzećemo da je prvo n=5 6
x * * *...5.65.5.8.75.755..78 suma.78.895.8.5 F().5 = (.78+ *.895 + *.8) F() =.67.5 x * * *...75.5.75.755.75 F(.5).75 = (.877 + *.696+ *.755) F(.5) =.979.75.5.55.5 9.877 suma.877.696.755 Očigledno je rešenje negde između i.5.. zračunaćemo vrednost integrala za x=.5 7
x * * *...5.6.65.779.975.8.5.777 suma 5.777.59.779.5 F(.5).5 = (5.777 + *.59 + *.779) F(.5) =.79.5 Sada imamo tačke (tačnije imamo ali radićemo samo sa dve) i imamo vrednosti funkcije u tim tačkama. Funkciju interpolišemo polinomom prvog stepena. x.5 x L ( x) = * F() + * F(.5).5.5 L ( x) =.68x.69 Približno rešenje jednačine F(x)= dobijamo kao rešenje jednačine L(x)=. L ( x) =.66x.687 = x =.76 8