Numerička matematika 11. predavanje

Numeričk mtemtik 11. predvnje Sš Singer singer@mth.hr web.mth.pmf.unizg.hr/~singer PMF Mtemtički odsjek, Zgreb NumMt 2018, 11. predvnje p. 1/163

Sdržj predvnj Numeričk integrcij (nstvk): Richrdsonov ekstrpolcij i Rombergov lgoritm. Primjeri z Rombergov lgoritm. Integrcijske formule visokog stupnj egzktnosti. Guss Christoffel formule. Guss Rdu formule. Guss Lobtto formule. Primjer z težinske Newton Cotesove i Gussove formule. Osnovn svojstv Gussovih formul. Konvergencij Gussovih formul, simetrij. Gussove formule i Hermiteov interpolcij. Rčunnje čvorov i težin Gussovih formul. NumMt 2018, 11. predvnje p. 2/163

Informcije Konzultcije: smo z NM: utork u 15 sti (iz predvnj), petk, 12 14 sti, ili po dogovoru. Ne zborvite, žive su i domće zdće n dresi http://web.mth.hr/nstv/unm/zdce.php ili, izrvno http://degiorgi.mth.hr/nm/ Dodtni bodovi čekju n vs. NumMt 2018, 11. predvnje p. 3/163

Informcije Moj web strnic z Numeričku mtemtiku je http://web.mth.hr/~singer/num_mt/ Tmo su kompletn predvnj iz prošlih godin, stizt će i nov (kko nstju). Skrćen verzij skripte 1. dio (prvih 7 tjedn): http://web.mth.hr/~singer/num_mt/num_mt1.pdf Skrćen verzij skripte 2. dio (drugih 6 tjedn): http://web.mth.hr/~singer/num_mt/num_mt2.pdf NumMt 2018, 11. predvnje p. 4/163

Rombergov lgoritm NumMt 2018, 11. predvnje p. 5/163

Općenito o Rombergovom lgoritmu Pri izvodu Rombergovog lgoritm koristimo se sljedećim principim: udvostručvnjem broj podintervl u produljenoj trpeznoj metodi, elimincijom vodećeg čln u simptotskom rzvoju greške, iz dvije susjedne produljene formule. Ponovljen primjen ovog princip zove se Richrdsonov ekstrpolcij. Z početk, treb objsniti što je to simptotski rzvoj. NumMt 2018, 11. predvnje p. 6/163

Asimptotski rzvoj D bismo mogli približno izrčunti sumu konvergentnog red neke funkcije f u točki x, oblik f(x) = n p n (x), n=0 red smo proksimirli končnom prcijlnom sumom N f N (x) = n p n (x). n=0 Time smo podrzumijevli d osttk red teži prem nuli, i to po N, z fiksni x lim (f(x) f N(x)) = lim n p n (x) = 0. N N n=n+1 NumMt 2018, 11. predvnje p. 7/163

Precizn definicij simptotskog niz Ako zmijenimo ulogu N i x u konvergenciji rzvoj, dobivmo novi pojm simptotskog rzvoj. Pritom red uopće ne mor konvergirti. Precizn definicij simptotskog rzvoj u okolini neke točke bzirn je n definiciji simptotskog niz u okolini te točke. Definicij. (Asimptotski niz) Nek je D R nek domen i c ClD nek točk iz ztvrč skup D, s tim d c može biti i + ili. Ndlje, nek je ϕ n : D R, n N 0, niz funkcij z kojeg vrijedi ϕ n (x) = o(ϕ n 1 (x)) (x c u D), z svki n N. Td kžemo d je (ϕ n ) simptotski niz kd x c u skupu D. NumMt 2018, 11. predvnje p. 8/163

Precizn definicij simptotskog rzvoj Podsjetnik. Oznk ϕ n (x) = o(ϕ n 1 (x)) znči d svk funkcij ϕ n rste bitno sporije od prethodne funkcije ϕ n 1 u okolini neke točke (kod ns c), u smislu d vrijedi lim x c x D ϕ n (x) ϕ n 1 (x) = 0, što uključuje i pretpostvku d je ϕ n 1 (x) 0 n nekoj okolini točke c gledno u skupu D, osim eventulno u smoj točki c. Definicij. (Asimptotski rzvoj) Nek je (ϕ n ), n N 0, simptotski niz kd x c u skupu D. Formlni red funkcij n ϕ n n=0 NumMt 2018, 11. predvnje p. 9/163

Precizn definicij simptotskog rzvoj je simptotski rzvoj funkcije f z x c u skupu D, oznk f(x) n ϕ n (x) (x c u D), n=0 ko z svki N N vrijedi relcij simptotskog ponšnj f(x) = N 1 n=0 n ϕ n (x)+o(ϕ N (x)) (x c u D), tj. psolutn grešk izmedu f i (N 1)-e prcijlne sume red rste njviše jednko brzo ko i N-ti čln simptotskog niz, u okolini točke c. NumMt 2018, 11. predvnje p. 10/163

Euler McLurinov formul Asimptotski rzvoj pogreške z produljenu trpeznu metodu integrcije dje Euler McLurinov formul. Teorem. (Euler McLurinov formul) Nek su m i n cijeli brojevi tkvi d je m 0 i n 1. Definirmo ekvidistntnu mrežu s n podintervl n [,b], tj. h = b n, x k = +kh, k = 0,...,n. Pretpostvimo d je f C (2m+2) [,b]. Z pogrešku produljene trpezne metode vrijedi E n (f) = b f(x)dx I T n(f) = m i=1 d 2i n 2i +F n,m, NumMt 2018, 11. predvnje p. 11/163

Euler McLurinov formul gdje su koeficijenti osttk je d 2i = B 2i (2i)! (b )2i( f (2i 1) (b) f (2i 1) () ), F n,m = (b )2m+2 (2m+2)!n 2m+2 b Ovdje su B 2i Bernoullijevi brojevi, ( ) x B 2m+2 f (2m+2) (x)dx. h B i = 1 0 B i (x)dx, i 1, NumMt 2018, 11. predvnje p. 12/163

Euler McLurinov formul B i je periodičko proširenje običnih Bernoullijevih polinom { B i (x), z 0 x 1, B i (x) = B i (x 1), z x 1. Dokz je u klsičnim udžebnicim numeričke nlize. U koeficijentim d 2i jvljju se Bernoullijevi brojevi. Osim B 1 = 1, svi ostli neprni Bernoullijevi brojevi su 0, prvih 2 nekoliko prnih je: B 0 = 1, B 2 = 1 6, B 4 = 1 30, B 6 = 1 42, B 8 = 1 30, B 10 = 5 66, B 12 = 691 2730, B 14 = 7 6, B 16 = 3617 510. Ndlje, brojevi B 2i vrlo brzo rstu po psolutnoj vrijednosti, tko d je B 60 2.139994926 10 34. NumMt 2018, 11. predvnje p. 13/163

Elimincij čln greške Red u n 2, koji se jvlj u simptotskoj ocjeni pogreške z produljenu trpeznu metodu b m E n (f) = f(x)dx In(f) T d 2i = n +F n,m, 2i i=1 ne konvergir kd gltkoć m rste u, jer koeficijenti d 2i ne teže prem nuli. Nrvno, znmo d E n (f) 0, kd broj podintervl n. Idej: Ako je funkcij f dovoljno gltk, eliminirti čln po čln u sumi z grešku, n osnovu izrčuntih vrijednosti integrl s n/2 i n podintervl, odnosno, s duljinm kork 2h i h. NumMt 2018, 11. predvnje p. 14/163

Izvod Rombergovog lgoritm Nek je I (0) n trpezn formul n podintervl. Iz Euler McLurinove formule, (ko je funkcij f dovoljno gltk i n prn), z simptotski rzvoj greške immo I I (0) I I (0) n = d(0) 2 n/2 = 4d(0) 2 n + d(0) 4 2 n d(0) 2m + + 4 n 2m +F n,m + 16d(0) 4 + + 22m d (0) 2m n 2 n 4 n 2m +F n/2,m. Želimo eliminirti prvi čln greške s n 2, p prvi rzvoj pomnožimo s 4 i oduzmemo mu drugi rzvoj. Dobivmo 12d(0) 4(I I n (0) ) (I I (0) n/2 ) = 4 n 4 60d(0) 6 +. n 6 NumMt 2018, 11. predvnje p. 15/163

Izvod Rombergovog lgoritm Premješnjem člnov koji imju I n lijevu strnu, ztim dijeljenjem, dobivmo I = 4I(0) n I (0) n/2 4d(0) 4 20d(0) 6 +. 3 n 4 n 6 Prvi čln zdesn uzimmo ko bolju, poprvljenu proksimciju integrl. Oznčimo tu proksimciju s I n (1) = 4I(0) n I (0) n/2, n prn, n 2. 3 Sd u formuli z grešku, d bismo lkše rčunli, definirmo d (1) 4 = 4d (0) 4, d (1) 6 = 20d (0) 6,... NumMt 2018, 11. predvnje p. 16/163

Izvod Rombergovog lgoritm Time smo dobili novi integrcijski niz I (1) 2,I (1) 4,I (1) 8,... Njegov je grešk I I (1) n = d(1) 4 n + d(1) 6 4 n +. 6 Sličn rgument ko i prije možemo upotrijebiti i dlje. Eliminirjmo prvi čln pogreške iz I n (1) i I (1) n/2, I I (1) n/2 = 16d(1) 4 n 4 + 64d(1) 6 +, n 6 uz uvjet d je funkcij dovoljno gltk i d je n djeljiv s 4. Td je 16(I I n (1) ) (I I (1) n/2 ) = 48d(1) 6 +, n 6 NumMt 2018, 11. predvnje p. 17/163

Izvod Rombergovog lgoritm odnosno I = 16I(1) n I (1) n/2 15 48d(1) 6 +. 15n 6 Ponovno, prvi čln s desne strne proglsimo z novu proksimciju integrl I n (2) = 16I(1) n I (1) n/2 15, n djeljiv s 4, n 4. Induktivno, nstvljnjem postupk, dobivmo Richrdsonovu ekstrpolciju n = 4k I n (k 1) 4 k 1 I (k) I (k 1) n/2, n 2 k. NumMt 2018, 11. predvnje p. 18/163

Izvod Rombergovog lgoritm Pritom je grešk jednk E (k) n = I I (k) n = d(k) 2k+2 + 2k+2 n = β k (b )h 2k+2 f (2k+2) (ξ), ξ b. Sd možemo složiti Rombergovu tblicu I (0) 1 I (0) 2 I (1) 2 I (0) 4 I (1) 4 I (2) 4....... NumMt 2018, 11. predvnje p. 19/163

Poredk rčunnj Poredk rčunnj u tblici je sljedeći: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Iz ocjene greške možemo izvesti omjere grešk u stupcu Rombergove tblice, uz pretpostvku dovoljne gltkoće funkcije f. Dobivmo E (k) n E (k) 2n 2 2k+2, NumMt 2018, 11. predvnje p. 20/163

Omjeri grešk u Rombergovoj tblici tj. omjeri pogrešk u stupcu se morju ponšti ko 1 4 1 4 16 1. 4 16 64 1....... Puno ilustrtivnije od omjer grešk E n (k) /E (k) 2n 2 2k+2 je promtrnje eksponent omjer grešk 2k + 2, 1 2 1 2 4 1. 2 4 6 1....... NumMt 2018, 11. predvnje p. 21/163

Primjeri z Rombergov lgoritm NumMt 2018, 11. predvnje p. 22/163

Omjeri grešk u Rombergovoj tblici Pokžimo n primjeru d prethodni omjeri pogrešk u stupcu vrijede smo ko je funkcij dovoljno gltk. Primjer. Rombergovim lgoritmom s točnošću 10 12 ndite vrijednosti integrl 1 e x dx, 1 x 3/2 dx, 1 xdx 0 0 0 i pokžite kko se ponšju omjeri pogrešk i eksponenti omjer pogrešk u stupcim. NumMt 2018, 11. predvnje p. 23/163

Eksponencijln funkcij Eksponencijln funkcij im beskončno mnogo neprekidnih derivcij n [0, 1], p bi se rčunnje integrl morlo ponšti po predvidnju. Ako usporedujemo vrijednosti smo po dijgonli tblice, nkon 2 5 = 32 podintervl u trpeznoj formuli, dobivmo približnu vrijednost integrl I 5 tkvu d je I 5 = 1.71828182845904524 I = e 1 = 1.71828182845904524 I I 5 = 0. NumMt 2018, 11. predvnje p. 24/163

Eksponencijln funkcij Omjeri pogrešk u stupcim su 0 1.0000 1 3.9512 1.0000 2 3.9875 15.6517 1.0000 3 3.9969 15.9913 62.4639 1.0000 4 3.9992 15.9777 63.6087 249.7197 1.0000 5 3.9998 15.9944 63.9017 254.4010 1000.5738 1.0000 p uz mlo kretivnog vid vidimo d su omjeri prem predvidnju 4,16,64,256,1024,... NumMt 2018, 11. predvnje p. 25/163

Eksponencijln funkcij Eksponenti omjer pogrešk su 0 1.0000 1 1.9823 1.0000 2 1.9955 3.9682 1.0000 3 1.9989 3.9920 5.9650 1.0000 4 1.9997 3.9980 5.9912 7.9642 1.0000 5 1.9999 3.9995 5.9978 7.9910 9.9666 1.0000 p ponovno čitmo d su eksponenti omjer pogrešk 2,4,6,8,10,... NumMt 2018, 11. predvnje p. 26/163

Funkcij x 3/2 Funkcij f(x) = x 3/2 im neogrničenu drugu derivciju u 0, p bi znimljivo ponšnje morlo početi već u drugom stupcu Rombergove tblice, jer z trpez je funkcij dovoljno gltk z ocjenu pogreške. Nkon 2 15 podintervl u trpeznoj formuli, dobivmo približnu vrijednost I 15 = 0.40000000000004512 I = 2/5 = 0.40000000000000000 I I 15 = 0.00000000000004512. Primijetite d je broj intervl poprilično velik! NumMt 2018, 11. predvnje p. 27/163

Funkcij x 3/2 Što je s omjerim pogrešk? 0 1.0000 1 3.7346 1.0000 2 3.8154 5.4847 1.0000 3 3.8721 5.5912 5.6484 1.0000 4 3.9112 5.6331 5.6559 5.6566 1.0000......... 15 3.9981 5.6569 5.6569 1.0000 Nkon prvog stupc omjeri pogrešk su se stbilizirli. NumMt 2018, 11. predvnje p. 28/163

Funkcij x 3/2 Bit će nm mnogo lkše provjeriti što se dogd, ko npišemo smo eksponente omjer pogrešk. 0 1.0000 1 1.9010 1.0000 2 1.9318 2.4554 1.0000 3 1.9531 2.4832 2.4978 1.0000 4 1.9676 2.4939 2.4998 2.4999 1.0000......... 15 1.9993 2.5000 2.5000 1.0000 Eksponenti omjer pogrešk od drugog stupc ndlje su z točno 1 veći od eksponent sme funkcije (integrirmo!). NumMt 2018, 11. predvnje p. 29/163

Funkcij x Situcij s funkcijom f(x) = x mor biti još gor, jer on im neogrničenu prvu derivciju u 0. Nkon 2 15 podintervl u trpeznoj formuli, ne dobivmo željenu točnost I 15 = 0.66666665510837633 I = 2/3 = 0.66666666666666667 I I 15 = 0.00000001155829033. NumMt 2018, 11. predvnje p. 30/163

Funkcij x Omjeri pogrešk u tblici su: 0 1.0000 1 2.6408 1.0000 2 2.6990 2.8200 1.0000 3 2.7393 2.8267 2.8281 1.0000 4 2.7667 2.8281 2.8284 2.8284 1.0000......... 15 2.8271 2.8284 2.8284 1.0000 NumMt 2018, 11. predvnje p. 31/163

Funkcij x Pripdni eksponenti su 0 1.0000 1 1.4010 1.0000 2 1.4324 1.4957 1.0000 3 1.4538 1.4991 1.4998 1.0000 4 1.4681 1.4998 1.5000 1.5000 1.0000......... 15 1.4993 1.5000 1.5000 1.0000 Produljen trpezn formul još uvijek konvergir, li konvergencij više nije O(h 2 ), već smo O(h 3/2 ). NumMt 2018, 11. predvnje p. 32/163

Zdci U posljednj dv primjer, Rombergovom lgoritmu može se pomoći tko d supstitucijom u integrlu dobijemo gltku funkciju. U ob slučj, supstitucij je x = t 2. Provjerite što se dogd u Rombergovom lgoritmu nkon ove supstitucije. Ako u posljednjem integrlu promijenimo grnice integrcije 2 xdx što mislite kojoj će se funkciji iz prethodnih primjer njsličnije ponšti omjeri pogrešk? 1 NumMt 2018, 11. predvnje p. 33/163

Druge oznke U literturi postoji i drugčij oznk z proksimcije integrl u Rombergovoj tblici T (k) Sm tblic im oblik m = 4m T (k+1) m 1 T (k) m 1 4 m 1. T (0) 0 T (1) 0 T (0) 1 T (2) 0 T (1) 1 T (0) 2....... NumMt 2018, 11. predvnje p. 34/163

Još mlo o Rombergovoj tblici Tvrdnj. Drugi stupc Rombergove tblice odgovr produljenoj Simpsonovoj formuli redom, s 2,4,8,16,... podintervl. Ndimo eksplicitnu formulu z I (1) n. Ako trpezn formul im n podintervl, ond je pripdni h = (b )/n, n/2 podintervl, ond je pripdni h 1 = 2(b )/n = 2h. Iz trpeznih formul z n i n/2 podintervl, I (0) n = h 2 (f 0 +2f 1 + 2f n 1 +f n ) I (0) n/2 = h 1 2 (f 0 +2f 2 + 2f n 2 +f n ), NumMt 2018, 11. predvnje p. 35/163

Još mlo o Rombergovoj tblici uvrštvnjem u I (1) n, dobivmo I n (1) = 4I(0) n I (0) n/2 3 = 4 3 h 2 (f 0 +2f 1 + +2f n 1 +f n ) 1 3 h1 2 (f 0 +2f 2 + +2f n 2 +f n ) = 2h 3 (f 0 +2f 1 + +2f n 1 +f n ) h 3 (f 0 +2f 2 + +2f n 2 +f n ) = h 3 (f 0 +4f 1 +2f 2 + +2f n 2 +4f n 1 +f n ), što je Simpsonov formul s n podintervl. NumMt 2018, 11. predvnje p. 36/163

Zdtk Odgovrju li ostli stupci u Rombergovoj tblici sljedećim Newton Cotesovim formulm (Simpsonovoj formuli 3/8, Booleovoj formuli,...)? N sreću, odgovor je ne! U protivnom, Rombergov lgoritm ne bi konvergiro, recimo, z funkciju Runge. Z točnost 10 12, ko usporedujemo dijgonlni dio tblice, potrebno je 2 10 = 1024 podintervl, dobiveni rezultt je I 10 = 2.74680153389003183 I = 2.74680153389003172 I I 10 = 0.00000000000000011. NumMt 2018, 11. predvnje p. 37/163

Oprez s oscilirjućim funkcijm Primjer. Korištenjem Rombergovog lgoritm izrčunjte približnu vrijednost integrl 1 sin(17πx) dx tko d grešk bude mnj ili jednk 10 4. 0 Podintegrln funkcij je reltivno brzo oscilirjuć i im 17 grb. Tblicu ispisujemo smo n prvih pr deciml ( rčunmo u punoj točnosti tip extended). NumMt 2018, 11. predvnje p. 38/163

Oprez s oscilirjućim funkcijm Rombergov tblic: 0 0.0000 1 0.5000 0.6667 2 0.6036 0.6381 0.6362 3 0.6284 0.6367 0.6366 0.6366 4 0.0063 0.2177 0.2746 0.2891 0.2927 5 0.0283 0.0398 0.0598 0.0622 0.0636 0.0640 6 0.0352 0.0376 0.0374 0.0371 0.0370 0.0370 0.0370 7 0.0369 0.0375 0.0374 0.0374 0.0374 0.0375 0.0375 0.0375 Rezultt (s svim znmenkm): I 7 = 0.03744821953512704 I I 7 = 0.00000000236884834. I = 0.03744822190397537 NumMt 2018, 11. predvnje p. 39/163

Oprez s oscilirjućim funkcijm Što je rzlog stbilizcije oko jedne, p oko druge vrijednosti? Nedovoljn broj podintervl u trpeznoj formuli, koji ne opisuje dobro ponšnje funkcije. Rješenje problem: u svku grbu treb stviti brem nekoliko točk. Sljedeće slike nm to zorno i pokzuju. Tek kd smo stvili 16 točk u trpeznu formulu, stvili smo skoro jednu točku po grbi i trpezn formul je počel prepoznvti oblik podintegrlne funkcije. NumMt 2018, 11. predvnje p. 40/163

Oprez s oscilirjućim funkcijm y x Produljen trpezn formul s 2 podintervl. NumMt 2018, 11. predvnje p. 41/163

Zdtk Korištenjem Rombergovog lgoritm izrčunjte približnu vrijednost integrl 1 sin(257πx) dx 0 tko d grešk bude mnj ili jednk 10 12. Oprez, ko u Rombergovom lgoritmu ne zhtijevte stvljnje dovoljnog broj podintervl, dobiveni rezultt bit će pogrešn! NumMt 2018, 11. predvnje p. 45/163

Trpez može biti brži od Romberg Primjer. Korištenjem Rombergovog lgoritm izrčunjte približnu vrijednost integrl 1 e cos(πx) cos(πx)dx 0 tko d grešk bude mnj ili jednk 10 4. U ovom primjeru dogd se znimljiv fenomen: produljen trpezn formul može brže izrčunti točn rezultt nego Rombergov lgoritm. Rzlog: Dobro ponšnje produljene trpezne formule z periodičke funkcije! NumMt 2018, 11. predvnje p. 46/163

Trpez može biti brži od Romberg Početni dio Rombergove tblice: 0 1.17520119364380146 1 0.58760059682190073 0.39173373121460049 2 0.56516070872910212 0.55768074603150258 0.56874388035262938 3 0.56515910399248505 0.56515856908027936 0.56565709061686448 4 0.56515910399248503 0.56515910399248502 0.56515913965329873 5 0.56515910399248503 0.56515910399248503 0.56515910399248503 Crveno oznčeni brojevi imju sve znmenke točne. Rombergov lgoritm dje netočniju proksimciju I 5 = 0.56515914375273593. NumMt 2018, 11. predvnje p. 47/163

Trpez može biti brži od Romberg Sporost Rombergovog lgoritm posljedic je činjenice d trpezn formul s jednim podintervlom im veliku grešku. Budući d on ulzi u ekstrpolciju rezultt n dijgonli, dijgonlni rezultti su dost pogrešni. Stvrno, z produljenu trpeznu formulu ne vrijedi isti rzvoj pogreške (puno je točnij zbog periodičnosti funkcije f, z koeficijente u Euler McLurinovoj formuli vrijedi d 2i = 0)! Rješenje problem: usporedimo susjedne rezultte u stupcim tblice i ko se oni slože n odgovrjuću točnost, uzmemo ih ko proksimciju. NumMt 2018, 11. predvnje p. 48/163

Teorij integrcijskih formul nstvk NumMt 2018, 11. predvnje p. 49/163

Težinske integrcijske formule sžetk Do sd smo rdili integrcijske formule oblik b w(x)f(x)dx = I m (f)+e m (f), I m (f) = (ispuštmo gornje indekse m) u kojim su m w k f(x k ), k=0 čvorovi integrcije x 0,...,x m bili unprijed zdni/fiksni, težinske koeficijente w 0,...,w m odredivli smo iz uvjet egzktnosti n vektorskom prostoru polinom P d što većeg stupnj d (tzv. Newton Cotesove formule). Iz teorem o interpolcijskim formulm znmo d z polinomni stupnj egzktnosti d tkvih formul vrijedi d = m. Indeks ili red m formule = očekivni stupnj egzktnosti. NumMt 2018, 11. predvnje p. 50/163

Težinske integrcijske formule sžetk Kod nekih formul (Simpson, srednj točk) dobili smo d je z prne m, stvrni stupnj egzktnosti z jedn veći, tj. vrijedi d = m+1, iko se težine odreduju iz uvjet egzktnosti n prostoru P m. U nstvku tržimo integrcijske formule još višeg stupnj egzktnosti z koje vrijedi d > m. To znči d neki ili svi čvorovi integrcije morju biti slobodni, tko d i njih odredujemo iz uvjet egzktne integrcije. Iz trdicionlnih rzlog, zbog veze s ortogonlnim polinomim i njihovim nultočkm, tkve formule se mlo drugčije oznčvju! NumMt 2018, 11. predvnje p. 51/163

Promjen oznk z integrcijske formule Promjene u oznkm su: čvorovi se broje od 1, ne od 0, broj čvorov oznčv se s n, umjesto m+1. Težinsk integrcijsk ili kvdrturn formul ond im sljedeći oblik: b w(x)f(x)dx = I n (f)+e n (f), I n (f) = n w k f(x k ). k=1 Broj n N zove se red formule = broj čvorov. Opet ispuštmo gornje indekse n, tj. ne pišemo w (n) k, x(n) k. NumMt 2018, 11. predvnje p. 52/163

Težinsk funkcij u integrcijskoj formuli Pretpostvljmo d je težinsk funkcij w pozitivn (ili brem nenegtivn) i integrbiln n [, b]. Ako je intervl [, b] beskončn, mormo osigurti d prethodni integrl postoji, br u slučju kd je funkcij f polinom, neovisno o stupnju. To postižemo zhtjevom d svi momenti težinske funkcije w µ k := b x k w(x)dx, k N 0, postoje (ko integrli) i d su končni. Tkve težinske funkcije w zovemo polinomno dopustivim. Ndlje pretpostvljmo d je w tkv! NumMt 2018, 11. predvnje p. 53/163

Interpolcijske težinske kvdrturne formule Uz ove pretpostvke i oznke, z bilo kojih n rzličitih čvorov x 1,...,x n, težinsk integrcijsk ili kvdrturn formul b w(x)f(x)dx I n (f) = n w k f(x k ) k=1 im polinomni stupnj egzktnosti (brem) d = n 1, ko i smo ko je interpolcijsk, tj. dobiven je ko egzktni integrl interpolcijskog polinom funkcije f u čvorovim x 1,...,x n. NumMt 2018, 11. predvnje p. 54/163

Težine u interpolcijskim formulm Ekvivlentno, polinomni stupnj egzktnosti integrcijske formule I n je (brem) d = n 1, ko i smo ko z težinske koeficijente w k vrijedi w k = b w(x)l k (x)dx, k = 1,...,n, gdje su l k, z k = 1,...,n, polinomi Lgrngeove bze n mreži čvorov x 1,...,x n (stupnj tih polinom je sd n 1) l k (x) = n j=1 j k x x j x k x j, k = 1,...,n. Npomen: Ovo smo već dokzli, smo su oznke nove! NumMt 2018, 11. predvnje p. 55/163

Integrcijske formule višeg stupnj egzktnosti Nmeće se prirodno pitnje: može li se postići i bolje, tj. možemo li dobiti veći stupnj egzktnosti, d > n 1? Uočite: Jedin šns z to je pžljiviji izbor čvorov integrcije x k. Nime, čim je d n 1, težine w k su nužno odredene prethodnom formulom, p njih više ne možemo birti. Odgovor je potvrdn i reltivno jednostvn! Z formulciju rezultt definirmo tzv. polinom čvorov n ω n (x) = (x x k ). k=1 NumMt 2018, 11. predvnje p. 56/163

Integrcijske formule višeg stupnj egzktnosti Teorem. Nek je l zdni cijeli broj, tkv d je 0 l n. Težinsk integrcijsk formul b w(x)f(x)dx = I n (f)+e n (f), I n (f) = n w k f(x k ), im polinomni stupnj egzktnosti d = n 1+l, ko i smo ko je formul interpolcijsk i, dodtno, vrijedi k=1 polinom čvorov ω n je ortogonln n sve polinome p P l 1 s težinskom funkcijom w, b w(x)ω n (x)p(x)dx = 0, z svki p P l 1. NumMt 2018, 11. predvnje p. 57/163

Integrcijske formule višeg stupnj egzktnosti Dokz. Iz prošlog teorem znmo d z stupnj egzktnosti vrijedi d n 1, ko i smo ko je formul interpolcijsk. Preostje pokzti d je d = n 1+l ekvivlentno relciji ortogonlnosti z polinom ω n. 1. smjer (nužnost): d = n 1+l = ortogonlnost. Nek je p P l 1 bilo koji polinom stupnj njviše l 1. Z produkt f = ω n p ond vrijedi ω n p P n+l 1. Zbog pretpostvke d = n 1+l, integrcijsk formul egzktno integrir polinom f = ω n p, p je b w(x)ω n (x)p(x)dx = n k=1 w k ω n (x k )p(x k ). NumMt 2018, 11. predvnje p. 58/163

Integrcijske formule višeg stupnj egzktnosti No, svi čvorovi x k su nultočke polinom čvorov ω n, tj. vrijedi ω n (x k ) = 0, k = 1,...,n. Ond je b n w(x)ω n (x)p(x)dx = w k ω n (x k )p(x k ) = 0, k=1 z svki p P l 1, što dokzuje prvi smjer. 2. smjer (dovoljnost): ortogonlnost = d = n 1+l. Nek je p P n+l 1 bilo koji polinom. Treb pokzti d integrcijsk formul I n egzktno integrir polinom p. NumMt 2018, 11. predvnje p. 59/163

Integrcijske formule višeg stupnj egzktnosti Prvo podijelimo p s polinomom čvorov ω n po Euklidovom teoremu o dijeljenju s osttkom. Ond je p = qω n +r, gdje je q P l 1 kvocijent, r P n 1 osttk. Egzktnom integrcijom dobivmo b w(x)p(x) dx = b w(x)q(x)ω n (x)dx+ b w(x)r(x) dx. Zbog q P l 1 i pretpostvke ortogonlnosti prvi integrl n desnoj strni je nul. NumMt 2018, 11. predvnje p. 60/163

Integrcijske formule višeg stupnj egzktnosti Dobivmo d je b w(x)p(x) dx = b w(x)r(x) dx. No, zbog r P n 1 i pretpostvke d je formul interpolcijsk, Zto je formul I n egzktno integrir polinom r. b w(x)r(x) dx = n w k r(x k ). k=1 NumMt 2018, 11. predvnje p. 61/163

Integrcijske formule višeg stupnj egzktnosti Sd uvrstimo r = p qω n. Dobivmo redom n n ( w k r(x k ) = w k p(xk ) q(x k )ω n (x k ) ) k=1 k=1 = { znmo ω n (x k ) = 0, z k = 1,...,n } n = w k p(x k ). k=1 Kd spojimo zdnje tri relcije, izlzi b n w(x)p(x) dx = w k p(x k ) = I n (p), k=1 p formul I n egzktno integrir sve polinome p P n+l 1. NumMt 2018, 11. predvnje p. 62/163

O grnicm z stupnj egzktnosti Nekoliko komentr n prethodni rezultt. Relcij ortogonlnosti b w(x)ω n (x)p(x)dx = 0, z svki p P l 1, omogućv povećnje stupnj egzktnosti formule z l, s d = n 1, n d = n 1+l. Ogrničenje 0 l n u teoremu je prirodno i nužno! Nime, relcij ortogonlnosti postvlj točno l dodtnih uvjet n čvorove x 1,...,x n. NumMt 2018, 11. predvnje p. 63/163

O grnicm z stupnj egzktnosti Z l = 0 nem dodtnih ogrničenj, jer z bilo koji izbor čvorov možemo dobiti d = n 1 (interpolcijsk formul). S druge strne, zbog nenegtivnosti težinske funkcije w, mor biti l n. Oprvdnje: Polinom čvorov ω n mor biti ortogonln n sve polinome iz P l 1, tj. n polinome stupnj njviše l 1. Z l > n, polinom ω n bi trebo biti ortogonln (brem) n sve polinome iz P n, to znči i n smog sebe, što je nemoguće! Dkle, l = n je mksimlno povećnje stupnj egzktnosti koje se može postići, mksimlni stupnj egzktnosti je d mx = 2n 1. NumMt 2018, 11. predvnje p. 64/163

Gussove integrcijske formule d = 2n 1 Integrcijske ili kvdrturne formule mksimlnog stupnj egzktnosti d = 2n 1 zovu se Gussove ili Guss Christoffelove formule. Relcij ortogonlnosti iz prethodnog teorem, z l = n, glsi b w(x)ω n (x)p(x)dx = 0, z svki p P n 1. Drugim riječim, polinom čvorov ω n (stupnj n) mor biti ortogonln n sve polinome nižeg stupnj do njviše n 1. No, to isto svojstvo zdovoljv i odgovrjući ortogonlni polinom p n, stupnj n, s težinskom funkcijom w n [,b]. NumMt 2018, 11. predvnje p. 65/163

Čvorovi u Gussovim formulm Znmo d je p n jednoznčno odreden, do n multipliktivnu konstntu. Ako z p n uzmemo d im vodeći koeficijent A n = 1, ond je ω n = p n, n N 0. Zto se formule njvišeg stupnj egzktnosti obično zovu Gussove formule s težinskom funkcijom w n [, b]. U Gussovim formulm, čvorovi x k su potpuno odredeni ko sve nultočke polinom p n, p n (x k ) = 0, k = 1,...,n. Sjetite se, te nultočke su relne, jednostruke i leže u otvorenom intervlu (, b). NumMt 2018, 11. predvnje p. 66/163

Težine u Gussovim formulm Z težine w k znmo d vrijedi w k = b w(x)l k (x)dx, k = 1,...,n, gdje su l k, z k = 1,...,n, polinomi Lgrngeove bze n mreži čvorov x 1,...,x n (stupnj od l k je n 1). Kod Lgrngeove interpolcije, pokzli smo d polinome l k možemo izrziti preko polinom čvorov ω n = p n (rnije ω), u obliku p n (x) l k (x) = (x x k )p n(x k ), k = 1,...,n. Uočite d multipliktivn konstnt u p n nije bitn skrti se, p možemo uzeti bilo koju normlizciju z polinome p n. NumMt 2018, 11. predvnje p. 67/163

Težine u Gussovim formulm Dobivmo izrz z težine w k preko ortogonlnih polinom p n w k = b w(x) p n (x) (x x k )p n(x k ) dx, k = 1,...,n. Prem utoru ove formule, težine w k u Gussovim formulm ponekd se zovu i Christoffelovi brojevi. Nvedeni integrl se može eksplicitno izrčunti! O tome, ko i o ostlim svojstvim Gussovih formul mlo ksnije. Prvo, spomenimo još dv tip integrcijskih formul koje se koriste u prksi, imju visoki, li ne i mksimlni stupnj egzktnosti, tj. l < n. NumMt 2018, 11. predvnje p. 68/163

Integrcijske formule s fiksnim rubovim Prethodni teorem im prktične primjene i z l < n. U težinskoj integrcijskoj ili kvdrturnoj formuli b w(x)f(x)dx = I n (f)+e n (f), I n (f) = n w k f(x k ). k=1 unprijed zdmo n l čvorov integrcije u [,b], preostlih l čvorov odredujemo tko d dobijemo mksimlni mogući stupnj egzktnosti d = n 1+l. Ovj pristup se njčešće koristi z n l = 1 i n l = 2, zdni čvorovi su jedn ili ob rub intervl integrcije [, b], s tim d zdni rubni čvor mor biti končn. NumMt 2018, 11. predvnje p. 69/163

Guss Rdu formule jedn rub, d = 2n 2 Nek je lijevi rub intervl točk, končn i zdn ko čvor integrcije x 1 =. Preostlih l = n 1 čvorov odredujemo tko d dobijemo mksimlni stupnj egzktnosti d = 2n 2. Ove integrcijske formule zovu se Guss Rdu formule. Prem prethodnom teoremu, pripdni polinom čvorov ω n (x) = (x )(x x 2 ) (x x n ) =: (x )p n 1 (x) mor zdovoljvti relciju ortogonlnosti z l = n 1 b w(x)ω n (x)p(x)dx = 0, z svki p P n 2. NumMt 2018, 11. predvnje p. 70/163

Guss Rdu formule jedn rub, d = 2n 2 To možemo zpisti i ovko b w(x)(x )p n 1 (x)p(x)dx = 0, z svki p P n 2. Fktor (x ), koji odgovr fiksnom čvoru x 1 =, im fiksni predznk n [,b] nenegtivn je. Zto g smijemo izvditi iz polinom čvorov ω n i dodti težinskoj funkciji w. Tko dobivmo novu težinsku funkciju w (x) := (x )w(x), koj je, tkoder, nenegtivn n [, b]. NumMt 2018, 11. predvnje p. 71/163

Guss Rdu formule jedn rub, d = 2n 2 Relcij ortogonlnosti sd im oblik b w (x)p n 1 (x)p(x)dx = 0, z svki p P n 2, gdje je p n 1 polinom stupnj n 1. Slično rnijem, odvde dobivmo sljedeći zključk: preostlih n 1 čvorov x 2,...,x n morju biti nultočke ortogonlnog polinom p n 1 s težinskom funkcijom w. Potpuno isti princip rdi i z desni rub b, s fktorom b x. Ako fiksirmo x n = b, preostli čvorovi x 1,...,x n 1 morju biti nultočke ortogonlnog polinom p n 1 s težinskom funkcijom w b (x) := (b x)w(x). NumMt 2018, 11. predvnje p. 72/163

Guss Lobtto formule ob rub, d = 2n 3 Nek su ob rub intervl točke i b, končne i zdne ko čvorovi integrcije x 1 =, x n = b. Preostl l = n 2 čvor odredujemo tko d dobijemo mksimlni stupnj egzktnosti d = 2n 3. Ove integrcijske formule zovu se Guss Lobtto formule. N potpuno isti nčin se dokzuje d preostl n 2 čvor x 2,...,x n 1 morju biti nultočke ortogonlnog polinom p n 2 s težinskom funkcijom w,b, w,b (x) := (x )(b x)w(x). Npomen: ovo trnsformirnje težinske funkcije rdi smo z čvorove u rubovim intervl (nenegtivnost). NumMt 2018, 11. predvnje p. 73/163

Primjer z težinske formule NumMt 2018, 11. predvnje p. 74/163

Težinsk Newton Cotesov vs. Gussov f. Primjer. Nprvimo usporedbu ztvorene Newton Cotesove formule i Gussove formule s 2 čvor, z težinsku funkciju w(x) = x 1/2 n intervlu [0, 1]. Težinsk funkcij w im singulritet u lijevom rubu = 0, li je integrbiln n [0,1] njezin integrl je µ 0 = 2. Tržene integrcijske formule glse: 1 w x 1/2 1 NC f(0)+w2 NC f(1) (Newton Cotes), f(x)dx w1 G f(x 1 )+w2 G f(x 2 ) (Guss). 0 NumMt 2018, 11. predvnje p. 75/163

Težinsk Newton Cotesov formul Z Newton Cotesovu formulu, težine w NC 1 i w NC 2 možemo izrčunti iz eksplicitne formule w k = b w(x)l k (x)dx, k = 1,2. Lgrngeov bz l 1 i l 2, z zdne čvorove x 1 = 0 i x 2 = 1, jednk je l 1 (x) = x x 2 = x 1 x 1 x 2 0 1 = 1 x, l 2 (x) = x x 1 x 2 x 1 = x 0 1 0 = x, NumMt 2018, 11. predvnje p. 76/163

Težinsk Newton Cotesov formul p immo w NC 1 = = 1 1 0 x 1/2 l 1 (x)dx = (x 1/2 x 1/2 )dx (2x 1/2 23 x3/2 ) 1 0 0 = 4 3, w NC 2 = 1 0 x 1/2 l 2 (x)dx = 1 0 x 1/2 dx = 2 3 x3/2 1 0 = 2 3. Ovj pristup im smisl smo kd se polinomi l 1 i l 2 lko rčunju, tj. smo kd su čvorovi jednostvni, poput 0 i 1. NumMt 2018, 11. predvnje p. 77/163

Težinsk Newton Cotesov formul Obično je puno lkše iskoristiti d Newton Cotesov formul egzktno integrir jednostvnu bzu prostor polinom P 1. Uvrštvnjem f(x) = 1, dobivmo jedndžbu w NC 1 1+w NC 2 1 = 1 0 x 1/2 dx = 2, uvrštvnjem f(x) = x, dobivmo jedndžbu Odmh izlzi w NC 1 0+w NC 2 1 = 1 0 x 1/2 xdx = 2 3. w NC 2 = 2 3, wnc 1 = 2 w NC 2 = 4 3. NumMt 2018, 11. predvnje p. 78/163

Težinsk Newton Cotesov formul Tržen ztvoren Newton Cotesov formul glsi: 1 0 x 1/2 f(x)dx = 4 3 f(0)+ 2 3 f(1)+enc 2 (f), pri čemu je E NC 2 (f) pripdn grešk. Uočite d korijenski singulritet u nuli uzrokuje d vrijednost f(0) dobiv dvostruko veću težinu od vrijednosti f(1). NumMt 2018, 11. predvnje p. 79/163

Gussov formul Gussovu formulu njlkše je odrediti preko ortogonlnih polinom. Treb nm monični (vodeći koeficijent A 2 = 1) ortogonlni polinom p 2, stupnj 2, s težinom x 1/2 n [0,1] p 2 (x) = x 2 + 1 x+ 0. Tj polinom mor biti ortogonln n polinome nižeg stupnj. Z polinom q 0 (x) = 1, iz p 2,q 0 = 0, dobivmo: 0 = 1 x 1/2 p 2 (x)dx = 1 (x 3/2 + 1 x 1/2 + 0 x 1/2 )dx = 0 ( 2 5 x5/2 + 2 ) 1 3 1x 3/2 +2 0 x 1/2 0 0 = 2 5 + 2 3 1 +2 0, NumMt 2018, 11. predvnje p. 80/163

Gussov formul Z polinom q 1 (x) = x, iz p 2,q 1 = 0, dobivmo: 0 = 1 x 1/2 xp 2 (x)dx = 1 (x 5/2 + 1 x 3/2 + 0 x 1/2 )dx = 0 ( 2 7 x7/2 + 2 5 1x 5/2 + 2 ) 1 3 0x 3/2 0 0 = 2 7 + 2 5 1 + 2 3 0. Sustv jedndžbi z koeficijente moničnog polinom p 2 je: 2 0 + 2 3 1 = 2 5 2 3 0 + 2 5 1 = 2 7. NumMt 2018, 11. predvnje p. 81/163

Gussov formul Rješenje tog sustv je p je ortogonlni polinom p 2 1 = 6 7, 0 = 3 35, p 2 (x) = x 2 6 7 x+ 3 35. Čvorovi z Gussovu integrcijsku formulu su nultočke polinom p 2 : x 1 = 1 ( ) 6 3 2 0.11558710999704793517, 7 5 x 2 = 1 ( ) 6 3+2 0.74155574714580920769. 7 5 NumMt 2018, 11. predvnje p. 82/163

Gussov formul Z rčunnje težinskih koeficijent w1 G i wg 2, mogli bismo iskoristiti formulu z w k, ko kod Newton Cotesove formule. Medutim, kd immo čvorove x 1 i x 2, puno je lkše iskoristiti d Gussov formul egzktno integrir bzu polinom iz P 1. Z stupnj 0, stvimo f(x) = 1, i dobivmo jedndžbu w G 1 +w G 2 = 1 0 x 1/2 dx = 2, Z stupnj 1, stvimo f(x) = x, i dobivmo jedndžbu w G 1 x 1 +w G 2 x 2 = 1 0 x 1/2 xdx = 2 3. NumMt 2018, 11. predvnje p. 83/163

Gussov formul Kd uvrstimo poznte čvorove x 1,x 2, rješenje dobivenog linernog sustv od dvije jedndžbe z težine w1 G,w2 G je w1 G = 1+ 1 5 3 6 1.30429030972509228525, w2 G = 1 1 5 3 6 0.69570969027490771475. Sd je težin w G 1 približno 1.87476 put već od težine w G 2. NumMt 2018, 11. predvnje p. 84/163

Gussov formul Tržen Gussov formul glsi: 1 0 x 1/2 f(x)dx = ( 1+ 1 3 + ) 5 6 ( 1 1 3 +E G 2 (f), pri čemu je E G 2 (f) pripdn grešk. ( 3 f 7 2 7 ) 5 6 f ) 6 5 ( 3 7 + 2 7 ) 6 5 NumMt 2018, 11. predvnje p. 85/163

Težinsk Newton Cotesov vs. Gussov f. Usporedimo prethodne dvije formule n integrlu I = 1 0 ( πx x 1/2 cos 2 ) dx = 2C(1) 1.55978680075364565895, pri čemu C oznčv tzv. Fresnelov kosinusni integrl. Aproksimcije po obje formule, z f(x) = cos(πx/2), su pripdne greške su I NC = 4 3 1.33333333333333333333, I G 1.55758955959339386882, E NC 0.2264535, E G 0.0021972, što pokzuje d je Gussov formul puno bolj (> 100 put). NumMt 2018, 11. predvnje p. 86/163

Gussove integrcijske formule NumMt 2018, 11. predvnje p. 87/163

Gussove integrcijske formule ponvljnje Gussov integrcijsk ili kvdrturn formul s težinskom funkcijom w n intervlu [,b] im oblik b w(x)f(x)dx = I n (f)+e n (f), I n (f) = n w k f(x k ), k=1 i dostiže mksimlni stupnj egzktnosti d mx = 2n 1. Čvorovi x k su sve nultočke ortogonlnog polinom p n s težinskom funkcijom w n [, b], Težine w k su dne formulom (l k preko p n i x k ) w k = b w(x) p n (x) (x x k )p n(x k ) dx, k = 1,...,n. NumMt 2018, 11. predvnje p. 88/163

Čvorovi Gussovih integrcijskih formul U nstvku, detljnije nlizirmo nek bitn svojstv Gussovih formul. Smo rdi jednostvnosti, dodtno pretpostvljmo d je težinsk funkcij w pozitivn n cijelom intervlu [, b], osim eventulno u končno mnogo točk (singulriteti dozvoljeni). Teorem (Svojstv čvorov). Svi čvorovi x k su relni, rzličiti i leže unutr otvorenog intervl (, b). Dokz. Znmo d su čvorovi x k sve nultočke odgovrjućeg ortogonlnog polinom p n s težinskom funkcijom w n [,b], p n (x k ) = 0, k = 1,...,n. Sve tvrdnje o čvorovim direktn su posljedic tvrdnji o nultočkm odgovrjućih ortogonlnih polinom. NumMt 2018, 11. predvnje p. 89/163

Težine Gussovih integrcijskih formul Integrl u formuli z težine w k može se eksplicitno izrčunti. Teorem (Izrzi z težine). U Gussovoj integrcijskoj formuli red n, z težine w k vrijede sljedeće dvije relcije w k = n 1 γ n 1 p n 1 (x k )p n(x k ) = n γ n p n+1 (x k )p n(x k ), k = 1,...,n. Dokz. Treb izrčunti integrle z težine w k = b w(x) p n (x) (x x k )p n(x k ) dx. k = 1,...,n. Zbog čln p n (x)/(x x k ), koristimo Christoffel Drbouxov identitet u x i y = x k, z n (ili z n+1), ztim integrirmo. NumMt 2018, 11. predvnje p. 90/163

Težine Gussovih integrcijskih formul Fiksirmo indeks k (tj. čvor x k ) i izlučimo broj p n(x k ), p je w k = 1 p n (x k) b w(x) p n(x) x x k dx. Integrl rčunmo iz Christoffel Drbouxovog identitet z n, tj. sum n lijevoj strni ide do n 1, n 1 j=0 p j (x)p j (y) γ j = p n(x)p n 1 (y) p n 1 (x)p n (y). n 1 γ n 1 (x y) Uvrstimo y = x k i iskoristimo d je p n (x k ) = 0, p dobijemo n 1 j=0 p j (x)p j (x k ) γ j = p n(x)p n 1 (x k ) n 1 γ n 1 (x x k ). NumMt 2018, 11. predvnje p. 91/163

Težine Gussovih integrcijskih formul Pomnožimo obje strne s w(x)p 0 (x) i integrirmo n [,b]. Izlzi n 1 j=0 p j (x k ) γ j b w(x)p j (x)p 0 (x)dx = p n 1(x k ) n 1 γ n 1 b w(x)p 0 (x) p n(x) x x k dx. Zbog ortogonlnosti polinom p j i p 0, n lijevoj strni ostje smo čln z j = 0, pripdni integrl je p 0 2 = γ 0, tj. p 0 (x k ) γ 0 γ 0 = p n 1(x k ) n 1 γ n 1 b w(x)p 0 (x) p n(x) x x k dx. NumMt 2018, 11. predvnje p. 92/163

Težine Gussovih integrcijskih formul N krju, znmo d je p 0 (x) = c 0, p skrtimo i tu konstntu, tko d n lijevoj strni ostje 1. Ond je b w(x) p n(x) x x k dx = n 1γ n 1 p n 1 (x k ). Kd ovo uvrstimo u izrz z w k s početk dokz, dobijemo prvu formulu iz tvrdnje w k = 1 p n(x k ) b w(x) p n(x) x x k dx = n 1 γ n 1 p n 1 (x k )p n(x k ). Drug izlzi iz Christoffel Drbouxovog identitet z n + 1, ili tročlne rekurzije u x k, p je p n+1 (x k ) = c n p n 1 (x k ). NumMt 2018, 11. predvnje p. 93/163

Težine Gussovih integrcijskih formul Teorem. U Gussovoj integrcijskoj formuli red n, z težine vrijedi w k = 1 > 0, k = 1,...,n, z k 2 2 gdje je z k vektor vrijednosti ortonormirnih polinom u čvoru x k z k := z(x k ) = [ p0 (x k ) p 0,..., p n 1(x k ) p n 1 ] T R n. Dokz. Iz Christoffel Drbouxovog identitet (z n) u jednoj točki x k, dobivmo z k 2 2 = n 1 j=0 ( pj (x k ) ) 2 γ j = p n(x k )p n 1 (x k ) p n 1(x k )p n (x k ) n 1 γ n 1. NumMt 2018, 11. predvnje p. 94/163

Težine Gussovih formul pozitivnost Zbog p n (x k ) = 0, iz prve formule u prošlom teoremu, slijedi z k 2 2 = p n(x k )p n 1 (x k ) n 1 γ n 1 = 1 w k. Ndimo prvu komponentu vektor z k. Nek je p 0 (x) = c 0. Ond je b b p 0 2 2 = w(x)p 2 0(x)dx = c 2 w(x)dx = c 2 µ 0, p je z k,1 = p 0 (x k )/ p 0 = 1/ µ 0 > 0. Iz z k 2 2 > 0 odmh slijedi w k > 0 u Gussovim formulm. U nstvku, djemo još jedn dokz pozitivnosti, zto jer se može lko generlizirti i n neke druge integrcijske formule. NumMt 2018, 11. predvnje p. 95/163

Pozitivnost težin u Gussovim formulm Teorem (Pozitivnost težin). Sve težine w k su pozitivne. Dokz. Nek su l j, z j = 1,...,n, polinomi Lgrngeove bze n mreži čvorov x 1,...,x n (stupnj od l j je n 1). Z polinom l j u čvoru x k vrijedi { 0, z j k, l j (x k ) = δ j,k = 1, z j = k. Uočite d ist relcij vrijedi i z kvdrte l 2 j polinom Lgrngeove bze u čvorovim x k l 2 j(x k ) = l j (x k ) = δ j,k = { 0, z j k, 1, z j = k. NumMt 2018, 11. predvnje p. 96/163

Pozitivnost težin u Gussovim formulm Ond je očito d vrijedi n w j = w k l j (x k ) = k=1 n k=1 w k l 2 j(x k ), j = 1,...,n. No, polinomi l 2 j imju stupnj 2n 2, p ih Gussov formul integrir egzktno! To znči d je w j = n w k l 2 j(x k ) = k=1 b w(x)l 2 j(x)dx > 0, j = 1,...,n, zbog pozitivnosti podintegrlne funkcije n desnoj strni. Time je dokzn pozitivnost svih težin w k u Gussovim integrcijskim formulm. NumMt 2018, 11. predvnje p. 97/163

Pozitivnost težin u formulm s d = 2n 2 Potpuno isti rgument vrijedi i z integrcijske formule stupnj egzktnosti 2n 2, (z jedn mnjeg nego u Gussovim formulm), jer egzktno integrirju polinome l 2 k, z k = 1,...,n. N primjer, težine u Guss Rdu formulm su, tkoder, pozitivne. Npomen. Može se pokzti i d su težine u Guss Lobtto formulm, tkoder, pozitivne. Medutim, dokz je nešto složeniji ide preko polinom krdinlne bze z pripdnu interpolciju: rubni čvorovi i b su jednostruki, ostli čvorovi x 2,...,x n 2 su dvostruki. NumMt 2018, 11. predvnje p. 98/163

Integrlne relcije z težine uz d 2n 2 Prem rnijem teoremu, u svim interpolcijskim kvdrturnim formulm, z težine w k vrijedi w k = b w(x)l k (x)dx, k = 1,...,n. Iz dokz pozitivnosti težin odmh dobivmo i proširenu relciju w k = b w(x)l k (x)dx = b w(x)l 2 k(x)dx > 0, k = 1,...,n. Opet, to vrijedi z težine w k u Gussovim formulm (d = 2n 1) i formulm stupnj egzktnosti d = 2n 2. NumMt 2018, 11. predvnje p. 99/163

Konvergencij Gussovih formul Tvrdnj. Ako je [, b] končni intervl, td Gussove formule konvergirju z bilo koju neprekidnu funkciju f, tj. z svku funkciju f C[,b] vrijedi E n (f) 0, z n. Dokz se temelji n Weierstrssovom teoremu o uniformnoj proksimciji funkcije f polinomim, koji kže: Ako je ˆp 2n 1 (f; ) polinom stupnj 2n 1 koji njbolje uniformno proksimir f n [, b], ond vrijedi lim f( ) ˆp 2n 1(f; ) = 0. n Z bilo koji n N, gledmo grešku Gussove formule red n. NumMt 2018, 11. predvnje p. 100/163

Konvergencij Gussovih formul Zbog polinomnog stupnj egzktnosti d = 2n 1, odmh vidimo d je E n (ˆp 2n 1 ) = 0. Ztim, redom, dobivmo E n (f) = E n (f ˆp 2n 1 ) = b b w(x) ( f(x) ˆp 2n 1 (x) ) dx n ( w k f(xk ) ˆp 2n 1 (f;x k ) ) k=1 w(x) f(x) ˆp2n 1 (x) n dx+ w k f(xk ) ˆp 2n 1 (f;x k ) ( b f( ) ˆp 2n 1 (f; ) k=1 w(x)dx+ n k=1 ) w k. NumMt 2018, 11. predvnje p. 101/163

Konvergencij Gussovih formul Sd iskoristimo d su težinski koeficijenti w k pozitivni u Gussovim formulm. Zto je w k = w k, odkle slijedi n n w k = w k. k=1 k=1 N krju, uočimo još d je (egzktn integrcij konstnte 1) n b w k = w(x)dx = µ 0. k=1 Iz prethodne formule z ocjenu greške E n (f) zključujemo E n (f) 2µ 0 f( ) ˆp 2n 1 (f; ) 0, z n, što je treblo dokzti. NumMt 2018, 11. predvnje p. 102/163

Ne vrijedi z Newton Cotesove formule Ovj zključk ne vrijedi z Newton Cotesove formule, iko formul s n čvorov egzktno integrir polinom ˆp n 1. Nime, z mlo veće n, težine w k mogu biti i negtivne. Td još uvijek vrijedi n b w k = w(x)dx = µ 0, k=1 zbog egzktne integrcije konstnte 1. Medutim, psolutne vrijednosti težin neogrničeno rstu, kd n rste, tko d n w k, z n, k=1 uprvo ov sum ulzi u ocjenu greške. NumMt 2018, 11. predvnje p. 103/163

Simetrij u Gussovim integrcijskim formulm Pretpostvimo d je težinsk funkcij w simetričn n intervlu integrcije [, b]. Z končni intervl [,b], to znči d je w prn oko polovišt intervl x 0 := +b 2, tj. vrijedi w(x 0 +h) = w(x 0 h), z h b 2. Z cijeli R, to znči d je w prn oko neke točke x 0 R, w(x 0 +h) = w(x 0 h), z h R. Ond su pripdni ortogonlni polinomi simetrični (pr nepr) i Gussove integrcijske formule su, tkoder, simetrične. NumMt 2018, 11. predvnje p. 104/163

Simetrij u Gussovim integrcijskim formulm Preciznije, ortogonlni polinomi p n su prni ili neprni oko x 0, ovisno o prnosti od n, tj. z svki h R vrijedi p n (x 0 +h) = { pn (x 0 h), n prn, p n (x 0 h), n neprn. U Gussovoj integrcijskoj formuli red n, čvorovi x k su simetrični obzirom n x 0, težine w k z simetrični pr čvorov su jednke. Ako čvorove poredmo uzlzno, x 1 < < x n, ond vrijedi x k +x n+1 k 2 = x 0, w k = w n+1 k, k = 1,...,n. NumMt 2018, 11. predvnje p. 105/163

Gussove formule i Hermiteov interpolcij NumMt 2018, 11. predvnje p. 106/163

Integrcij i interpolcij ponvljnje Vidjeli smo d se Newton Cotesove formule mogu dobiti integrcijom Lgrngeovog interpolcijskog polinom z funkciju f n (zdnoj) mreži čvorov x 1,...,x n. Tu činjenicu smo ond iskoristili z nlženje i ocjenu greške integrcijske formule. N sličn nčin, i Gussove formule mogu se dobiti integrcijom Hermiteovog interpolcijskog polinom z funkciju f n mreži čvorov x 1,...,x n, uz dodtni zhtjev d koeficijenti uz člnove s derivcijm budu jednki nul to će odrediti čvorove. Nkon dokz, to ćemo iskoristiti z nlženje greške Gussove integrcije. NumMt 2018, 11. predvnje p. 107/163

Hermiteov interpolcij ponvljnje Hermiteov interpolcijski polinom z funkciju f n mreži čvorov x 1,...,x n, interpolir vrijednosti funkcije i njezine derivcije u čvorovim (2n uvjet), p, općenito, im stupnj 2n 1. To odgovr stupnju egzktnosti d = 2n 1 z Gussove formule, p cijeli pristup im smisl. Z početk, ponovimo osnovne činjenice o Hermiteovoj interpolciji, s promijenjenim oznkm, jer čvorove sd brojimo od 1, ne od 0. NumMt 2018, 11. predvnje p. 108/163

Hermiteov interpolcij ponvljnje Nek su x 1,...,x n medusobno rzličite točke. Ove točke interpretirmo ko dvostruke čvorove interpolcije z zdnu funkciju f. Uvedimo još skrćene oznke z vrijednosti funkcije f i njezine derivcije f u čvorovim: f k := f(x k ), f k = f (x k ), k = 1,...,n. Rniji rezultt o Hermiteovoj interpolciji sd im oblik: Teorem. Postoji jedinstveni polinom h 2n 1 P 2n 1, stupnj njviše 2n 1, koji zdovoljv interpolcijske uvjete h 2n 1 (x k ) = f k, h 2n 1(x k ) = f k, k = 1,...,n. NumMt 2018, 11. predvnje p. 109/163

Hermiteov interpolcij ponvljnje Ovj polinom h 2n 1 možemo prikzti u tzv. Hermiteovoj bzi n mreži čvorov x 1,...,x n, ko linernu kombinciju h 2n 1 (x) = n ( fk h k,0 (x)+f kh k,1 (x) ), k=1 gdje su h k,0 i h k,1, z k = 1,...,n, polinomi Hermiteove bze definirni relcijm { h k,0 (x j ) = 0, z j k, 1, z j = k, h k,0(x j ) = 0, { h k,1 (x j ) = 0, h k,1(x j ) = 0, z j k, 1, z j = k. NumMt 2018, 11. predvnje p. 110/163

Hermiteov interpolcij ponvljnje Polinome Hermiteove bze možemo eksplicitno izrziti u obliku h k,0 (x) = [1 2(x x k )l k(x k )]l 2 k(x) h k,1 (x) = (x x k )l 2 k(x), gdje je l k odgovrjući polinom Lgrngeove bze n mreži čvorov x 1,...,x n, z k = 1,...,n. Budući d je l k polinom stupnj n 1, ond su h k,0 i h k,1 polinomi stupnj 2n 1. Ako su točke x 1,...,x n medusobno rzličite, ond su polinomi l k, z k = 1,...,n, bz u prostoru P n 1, h k,0, h k,1, z k = 1,...,n, bz u prostoru P 2n 1. NumMt 2018, 11. predvnje p. 111/163

Grešk Hermiteove interpolcije ponvljnje Z funkciju greške Hermiteove interpolcije e h (x) := f(x) h 2n 1 (x) u svkom čvoru x k, očito, vrijedi e h (x k ) = 0, e h(x k ) = 0, k = 1,...,n. Dkle, grešk e h im dvostruke nultočke u točkm x 1,...,x n. Pripdni polinom čvorov ω h z Hermiteovu interpolciju je ω h (x) = (x x 1 ) 2 (x x n ) 2 = ω 2 n(x), gdje je ω n polinom čvorov z Lgrngeovu interpolciju n istoj mreži. U novim oznkm, z grešku vrijedi sljedeći rezultt. NumMt 2018, 11. predvnje p. 112/163

Grešk Hermiteove interpolcije ponvljnje Teorem. Nek su x 1,...,x n [,b] medusobno rzličite točke i nek je e h grešk Hermiteovog interpolcijskog polinom h 2n 1 z funkciju f n mreži čvorov x 1,...,x n. Ond je e h (x) = f(x) h 2n 1 (x) = ω 2 n(x)f[x 1,x 1,x 2,x 2,...,x n,x n,x]. Ako f (2n) postoji n [,b], ond z svku točku x [,b], postoji točk ξ [,b], tkv d je e h (x) = f(x) h 2n 1 (x) = ωn(x) 2 f(2n) (ξ). (2n)! Znmo d z ξ vrijedi i jč ocjen ξ (x min,x mx ), gdje je x min := min{x,x 1,...,x n }, x mx := mx{x,x 1,...,x n }, li nm to neće trebti z Gussovu integrciju. NumMt 2018, 11. predvnje p. 113/163

Integrl Hermiteovog interpolcijskog polinom Integrcijom Hermiteovog interpolcijskog polinom n ( h 2n 1 (x) = fk h k,0 (x)+f kh k,1 (x) ), k=1 dobivmo novu integrcijsku formulu oblik gdje je I n := w k = b b w(x)h 2n 1 (x)dx = n k=1 w(x)h k,0 (x)dx, w k = ( ) w k f k +w kf k, b w(x)h k,1 (x)dx, z k = 1,...,n. Nime, f k i f k su brojevi i ne ovise o x. NumMt 2018, 11. predvnje p. 114/163

Integrl Hermiteovog interpolcijskog polinom Težinske koeficijente w k i w k možemo npisti i tko d uvrstimo izrze z polinome h k,0 i h k,1 Hermiteove bze, u terminim polinom l k Lgrngeove bze. Dobivmo sljedeće formule z težine u I n w k = b w(x)[1 2(x x k )l k(x k )]l 2 k(x)dx, b w k = w(x)(x x k )l 2 k (x)dx, z k = 1,...,n. NumMt 2018, 11. predvnje p. 115/163

Integrcijske formule s derivcijm u čvorovim Ovkve integrcijske formule I n := b w(x)h 2n 1 (x)dx = n k=1 ( ) w k f k +w kf k, sliče n Gussove integrcijske formule, osim što imju dodtne člnove w k f k, u kojim se koriste i derivcije funkcije f u čvorovim integrcije x k. Kd bi, ko u Newton Cotesovim formulm, svi čvorovi x k bili unprijed zdni, iz uvjet egzktne integrcije polinom treblo bi odrediti 2n prmetr težinske koeficijente w k i w k. NumMt 2018, 11. predvnje p. 116/163

Integrcijske formule s derivcijm u čvorovim Očekujemo d ovkv formul I n egzktno integrir polinome do stupnj 2n 1 (dimenzij prostor je 2n). Zist, uvjeti egzktne integrcije n bzi prostor P 2n 1 dju regulrni linerni sustv red 2n z težine. To je očito, jer formule z težine već immo. Osim tog, integrcijsk formul je dobiven interpolcijski n Hermiteovoj bzi prostor P 2n 1. Dkle, stupnj egzktnosti formule I n je sigurno d = 2n 1. Uz pretpostvku dovoljne gltkoće funkcije f, jednostvno se izvodi i grešk integrcijske formule I n, direktno iz greške Hermiteovog interpolcijskog polinom. NumMt 2018, 11. predvnje p. 117/163

Grešk formule I n s derivcijm u čvorovim Ssvim općenito, z integrcijske formule I n vrijedi b w(x)f(x)dx = I n(f)+e n(f), gdje je E n(f) grešk te formule z zdnu funkciju f. Integrcijsku formulu I n(f) dobili smo interpolcijski, ko egzktni integrl Hermiteovog interpolcijskog polinom h 2n 1 z funkciju f n mreži čvorov x 1,...,x n, I n(f) := b w(x)h 2n 1 (x)dx = n ( ) w k f k +w kf k. k=1 NumMt 2018, 11. predvnje p. 118/163

Grešk formule I n s derivcijm u čvorovim Grešk E n(f) integrcijske formule I n(f) je E n(f) = b w(x) ( f(x) h 2n 1 (x) ) dx = b w(x)e h (x)dx, tj. E n(f) je integrl greške e h interpolcijskog polinom h 2n 1, gdje je e h (x) = f(x) h 2n 1 (x) = ω 2 n(x)g(x), g(x) = f[x 1,x 1,x 2,x 2,...,x n,x n,x]. Funkcij g je korektno definirn n [,b], čim f postoji u čvorovim. Ako je f još i neprekidn n [,b], ond je i funkcij g neprekidn n [, b]. NumMt 2018, 11. predvnje p. 119/163

Grešk formule I n s derivcijm u čvorovim Kd to uvrstimo u izrz z grešku E n(f), dobivmo E n(f) = b w(x)e h (x)dx = b w(x)ω 2 n(x)g(x)dx. Ndlje, očito je w(x)ωn(x) 2 0, z svki x [,b], p možemo iskoristiti teorem srednje vrijednosti z integrle s težinm. Izlzi b E n(f) = g(η) w(x)ωn(x)dx, 2 z neki η iz [,b]. Ovo vrijedi uz vrlo blge pretpostvke n f! NumMt 2018, 11. predvnje p. 120/163

Grešk formule I n s derivcijm u čvorovim Ako f (2n) postoji n [,b], ond postoji ζ [,b] z koji je E n(f) = f(2n) (ζ) (2n)! b w(x)ω 2 n(x)dx. Integrl n desnoj strni ovisi smo o čvorovim x 1,...,x n, i treb g eksplicitno izrčunti z zdni rspored čvorov. Iz ob oblik greške integrcijske formule I n, odmh vidimo d je stupnj egzktnosti jednk d = 2n 1. Medutim, z prktičnu primjenu formule I n trebmo znti ne smo funkcijske vrijednosti f(x k ) u čvorovim, već i vrijednosti derivcije f (x k ) u tim čvorovim. NumMt 2018, 11. predvnje p. 121/163

Put prem Gussovim integrcijskim formulm Zto je idej d probmo izbjeći korištenje derivcij, tko d izborom čvorov x k poništimo sve težinske koeficijente w k uz derivcije f k. Ako to ide, tj. ko je w k I n = b w(x)h 2n 1 (x)dx = = 0, z k = 1,...,n, dobili bismo n k=1 ( ) w k f k +w kf k = n w k f k. Stupnj egzktnosti ove specijlne integrcijske formule I n mor ostti isti d = 2n 1. No, tko dobiven formul k=1 koristil bi smo funkcijske vrijednosti f k u čvorovim, tj. postl bi Gussov integrcijsk formul I n. NumMt 2018, 11. predvnje p. 122/163

Gussove formule ko interpolcijske formule To se može postići! Sljedeći rezultt govori o tome kko treb izbrti čvorove x k. Teorem. U integrcijskoj formuli I n vrijedi w k = 0, k = 1,...,n, tj. I n je Gussov integrcijsk formul, ko i smo ko je polinom čvorov ω n := (x x 1 )(x x 2 ) (x x n ) ortogonln n sve polinome nižeg stupnj, tj. vrijedi b w(x)ω n (x)p(x)dx = 0, z svki p P n 1. NumMt 2018, 11. predvnje p. 123/163

Gussove formule ko interpolcijske formule Dokz. Koristimo eksplicitni izrz z težine u formuli I n w k = b w(x)(x x k )l 2 k(x)dx, k = 1,...,n, gdje su l k, z k = 1,...,n, polinomi Lgrngeove bze n mreži čvorov x 1,...,x n. Ove polinome možemo izrziti preko polinom čvorov ω n p je l k (x) = ω n (x) (x x k )ω n(x k ), k = 1,...,n, (x x k )l k (x) = ω n(x) ω n(x k ), k = 1,...,n. NumMt 2018, 11. predvnje p. 124/163

Gussove formule ko interpolcijske formule Kd tu formulu uvrstimo u izrz z težine, dobivmo w k = 1 ω n(x k ) b w(x)ω n (x)l k (x)dx, k = 1,...,n, 1. smjer (nužnost): svi w k = 0 = ortogonlnost. Ako je w k = 0, k = 1,...,n, odmh vidimo d je ω n ortogonln n sve polinome l k, z k = 1,...,n. No, ti polinomi čine bzu prostor P n 1, p je b w(x)ω n (x)p(x)dx = 0, z svki p P n 1. NumMt 2018, 11. predvnje p. 125/163

Gussove formule ko interpolcijske formule 2. smjer (dovoljnost): ortogonlnost = svi w k = 0. Ako je ω n ortogonln n sve polinome p P n 1, ond to vrijedi i z polinome Lgrngeove bze, tj. z p = l k, p je b w(x)ω n (x)l k (x)dx = 0, k = 1,...,n. Odvde odmh slijedi i w k = 1 ω n(x k ) b w(x)ω n (x)l k (x)dx = 0, k = 1,...,n. NumMt 2018, 11. predvnje p. 126/163