ZADACI ZA KVALIFIKACIONI ISPIT IZ HEMIJE. 1. Napišite elektronsku konfiguraciju broma, čiji je atomski broj Z= 35.

ZADACI ZA KVALIFIKACIONI ISPIT IZ HEMIJE 1. Napišite elektronsku konfiguraciju broma, čiji je atomski broj Z= 35. 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 4s 2 3d 10 4p 5 2. Utvrdite koji od navedenih parova hemijskih elemenata ne grade jonska jedinjenja. a) O i H b) Ca i O c) Ba i I d) C i Cl e) Li i Cl d) C i Cl 3. Izračunati koliko je grama cinka potrebno za reakciju sa 6g joda u cinkjodid. Mr(Zn)= 65,38 Mr(I)=126,9 Zn + I 2 ZnI 2 m(zn) =,, 6 1mol 1mol 1mol m(zn)=1,54g 65,38 253,8 4. Izračunati broj molekula CO 2 u 0,34 mola gasovitog ugljenika (IV)-osida. N = n x Na N (CO 2 ) = 0,34mol x 6,022x10 23 mol -1 N (CO 2 )= 2,05x10 23 5. U 2dm 3 rastvora nalazi se 0,5 mola azotne kiseline. Izračunati količinsku koncentraciju HNO 3 u rastvoru. c = c (HNO 3 ) =, mol = 0,25, dm

6. Izračunati koncentraciju vodonikovih jona i odrediti ph i poh rastvora, ako je [OH - ]= 10-3 mol/dm 3 [OH - ]= 10-3 mol/dm 3 => [H + ] = 10-11 mol/dm -3 ph = -log [H + ] ph = -log 10-11 ph = 11 poh = 3 7. Iz koliko se molova butana sagorijevanjem dobiju 0,4 mola ugljen dioksida: a) 0,5 b) 2 c) 1 d) 0,1 e) 0,2 C 4 H 10 + O 2 4CO 2 + 5 H 2 O 1mol 6,5 mol 4mol 5mol n (C 4 H 10 ) = 0,4 n (C 4 H 10 ) = 0,1mol 8. Maseni udio ugljenika u % u n- pentanu je: a) 83, 33 b) 75,42 c) 92, 18 d) 78,13 e) 56,23 C n H 2n+2 C 5 H 12 M(C 5 H 12 ) = 72 g/mol M(C) = 12g/mol ω(c)% = x100% ω(c)% = x100% = 83,33%

9. Oksidacijom 2- butanola nastaje: a)aldehid b) keton c)etar d)estar e)anhidrid b) keton 10. Koje racionalno ime ima slijedeća kiselina: CH 3 CH(CH 3 )CH 2 CH 2 COOH? a) pentan kiselina b) pentan dikiselina c) 4- metil pentan- kiselina d) 2 metil pentan kiselina e) heksan kisel b) 4- metil pentan- kiselina 11. Atomi jednog hemijskog elementa imaju slijedeću konfiguraciju: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 3. Utvrdite: a) atomski broj elementa: b) periodu i grupu u kojoj se on nalazi: c) broj valentnih elektrona u atomu tog elementa: d) broj nesparenih elektrona u atomu tog elementa: a) Z = 15 b) treća perioda, peta grupa c) 5 d) 3 12. Izračunati količinu molekula H 2 O u 100g čiste vode, ako je M(H 2 O)=18,0 g/mol. n (H 2 O) = =, / = 5, 55 mol

13. Odredite oksidacione brojeve elemenata u slijedećim elementarnim supstancama, jedinjenjima i jonima: a) Cl 2, S 8, P 4 b) NaCl, CaO, Al 2 O 3 c) CH 4, CO 2, HCl d) SO 4 2-, CO 3 2-, MnO 4 - a) (0), (0), (0), b) (+1) (-1), (+2) (-2), (+3)(-2) c) (-4) (+1), (+4) (-2), (+1) (-1) d) (+6) (-2), (+4) (-2), (+7) (-2) 14. Izračunati koliko je grama bezvodnog natrijum karbonata, Na 2 CO 3 potrebno za pripremanje 500 cm 3 rastvora količinske koncentracije 0,5 mol/dm 3. Molarna masa natrijum karbonata je 106g/mol. c = => n= c x V n (Na 2 CO 3 ) = 0,5 mol/dm 3 x 0,5dm 3 = 0,25 mol m (Na 2 CO 3 ) = n x M = 0,25mol x 106g/mol = 26,5g 15. Izračunati koncentraciju H + jona u rastvoru u kome je koncentracija OH - jona 7, 4 x 10-11 mol/ dm 3. [H + ] = [ ] =, = 1, 35x 10-4 mol/dm 3 16. Zaokružite spojeve molekularnih formula C 2 H 4, C 3 H 8, C 10 H 22, C 6 H 6, C 12 H 24 koji nisu homolozi metana. C n H 2n+2 C 2 H 4, C 6 H 6, C 12 H 24 17. Kako se dokazuje dvostruka veza, objasnite na primjeru etilena. H 2 C= CH 2 + Br 2 Br- CH 2 - CH 2 - Br dibrometan

18. Koliko grama fenola reaguje sa 10g NaOH? M(C 6 H 5 OH) = 94,0 g/mol; M(NaOH) = 40g/mol C 6 H 5 OH + NaOH C 6 H 5 ONa + H 2 O 1mol 1mol 94g 40g m(c 6 H 5 OH) = 10g = 23,5g 19. Karboksilne kiseline imaju funkcionalnu grupu, koja se zove........... grupa, napišite njenu formulu: karboksilna, -C=O OH 20. Odredite broj protona, neutrona i elektrona u atomu urana. p + = 92 n 0 = (238-92) = 146 e - = 92 21. Koliko je grama natrijum hlorida potrebno za pripremanje 500 cm 3 rastvora količinske koncentracije 0,2 mola/dm 3? Molarna masa NaCl je 58,5g/mol. n = c x V = 0,2 mola/dm 3 x 0,500 dm 3 n = 0,1 mol m(na 2 CO 3 ) = n x M = 0,1 mol x 58,5g/mol = 5,85g

22. Napišite strukturne formule sledećih ugljikovodonika: a) propana b) 4- metil- 2- pentena c) 1- butina (etilacetilena) H H H a) H - C C C H H H H H CH 3 H CH 3 b) H C C = C C C H ( CH 3 CH = CH CH CH 3 ) H H H H H H H c) H C C C C H ( CH 3 CH 2 C CH) H H 23. Sagorjevanjem etena na vazduhu nastaju ugljenik (IV) oksid i voda. Izračunajte koliko bi nastalo CO 2 sagorijevanjem 14,0g etena. H 2 C = CH 2 + 3O 2 2CO 2 + 2H 2 O 1mol 3mol 2mol 28,0g 88,0g m(co 2 ) =, 14,0 44,0,

24. Jezgro atoma nekog elementa sadrži 10 neutrona, a elektronski omotač 9 elektrona. a) koji je to element? b) koliki je atomski broj tog elementa? c) koliki je maseni broj tog elementa? a) to je element sa rednim brojem 9, a to je F b) Z = 9 c) Am = 9+10 = 19 25. Relativna atomska masa joda je 127. Kolika je masa molekule tog elementa izražena u mg? M( J 2 ) = 2x127 = 254g/mol m f = / m f =, m f = 42,17 x 10-23 g m f = 4,217 x 10-19 mg 26. Zaokružite slovo ispred jedinjenja u kojem je zastupljena jonska veza: a) NaCl b) CH 4 c) CO 2 d) O 2 a) NaCl 27. Izračunajte koliku masu NaOH treba odvagati da biste pripremili 0,5 dm 3 rastvora NaOH čija je koncentracija 3 mola/dm 3? Mr(NaOH) = 40. n (NaOH) = c x V n (NaOH) = 3 mol/dm 3 x 0,5dm 3 n (NaOH) = 1,5 mol m (NaOH) = n x M m (NaOH) = 1,5 mol x 40 g/mol m (NaOH) = 60g

28. Ako treći član nekog homolognog niza ima formulu C 3 H 8, onda će sedmi član imati formulu: A: a) C 7 H 14 b) C 7 H 16 c) C 7 H 12 d) C 7 H 7 B: navedite o kojoj grupi ugljikovodika je riječ C: kojom vezom su vezani ti ugljikovodici? A: b) C 7 H 16 B: riječ je o alkanima C: vezani su jednostrukom kovalentnom σ vezom 29. Odredite molarnu masu elementa, ako je poznato da masi od 28,0g odgovara 2,0 mola ovog elementa. M= M=,, M= 14,0g/mol 30. Izračunajte procentnu koncentraciju rastvora nastalog rastvaranjem 150g NaNO 3 u 594g C 2 H 5 OH. ω% (NaNO 3 ) = 100% ω% (NaNO 3 ) = 100% ω% (NaNO 3 ) = 20,16%

PRIMJERI ZADATAKA IZ MATEMATIKE za polaganje kvalifikacionog ispita 1. Uprostiti izraz ( ) 2 1 x 2 + 11x + 30 + 2x + 8 x 2 + 12x + 35 + 1 (x + 1)2 + 12x + 48. x 2 + 13x + 42 2 Rjexenje: Dati izraz je definisan za svako x R \ { 7, 6, 5}. Transformacijom izraza dobijamo ( ) 2 1 x 2 + 11x + 30 + 2x + 8 x 2 + 12x + 35 + 1 (x + 1)2 + 12x + 48 x 2 + 13x + 42 2 ( ) 2 1 = (x + 5)(x + 6) + 2x + 8 (x + 5)(x + 7) + 1 x2 + 14x + 49 (x + 6)(x + 7) 2 [x + 7 + (2x + 8)(x + 6) + x + 5]2 (x + 7)2 = (x + 5) 2 (x + 6) 2 (x + 7) 2 2 [2(x + 6) + 2(x + 4)(x + 6)]2 = = 4(x + 6)2 (x + 5) 2 2(x + 5) 2 (x + 6) 2 2(x + 5) 2 (x + 6) = 2. 2 2. Rijexiti nejednaqinu 2x 3x 4 + 7 3 5x 8 6x 4. Rjexenje: Data nejednaqina je definisana za svako x R\{ 4 }. Dalje imamo 3 2x 3x 4 + 7 3 5x 8 6x 4 2x 3x 4 + 3 5x + 11 0 2(3x 4) 4x + 3 5x + 66x 88 2(3x 4) 0 65x 85 2(3x 4) 0 5(13x 17) 2(3x 4) 0. Znak izraza 13x 17 3x 4 odredi emo iz slijede e tabele. x ( ) (, 17 13 x 17 ) 4 13 3 ( x 4, + ) 3 13x 17 + + 3x 4 + 13x 17 3x 4 + + 1

Prema tome x (, 17 13] ( 4 3, + ) 3. U skupu realnih brojeva rijexiti jednaqinu Rjexenje: Kako je x 4 37x 2 + 36 = 0. x 4 37x 2 + 36 = x 4 x 2 36x 2 + 36 = x 2 (x 2 1) 36(x 2 1) = (x 2 1)(x 2 36) = (x 1)(x + 1)(x 6)(x + 6), rjexenja jednaqine su: 4. Rijexiti sistem jednaqina Rjexenje: Za x > 0 i y > 0, imamo x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 6, x 4 = 6. xy = 100 log 2 x + log 2 y = 10. log x + log y = 2 log 2 x + log 2 y = 10. Uvođenjem smjena log x = u i log y = v, dobijamo sistem koji je ekvivalentan sa sistemom tj. sa u + v = 2 u 2 + v 2 = 10 u = 2 v 4 4v + v 2 + v 2 = 10 u = 2 v v 2 2v 3 = 0. Rjexenja jednaqine v 2 2v 3 = 0 su v 1 = 1 i v 2 = 3. Ako je v = 1 u = 3, pa je x = 10 3 i y = 10 1, a ako je v = 3 u = 1, pa je x = 10 1 i y = 10 3. R s = {( ) 1 10, 1000 2, ( 1000, 1 )}. 10

5. Izraqunati vrijednosti trigonometrijskih funkcija oxtrog ugla α u pravouglom trouglu qije je kateta a = 5 cm i hipotenuza c = 13 cm. Rjexenje: Neka su a, b katete pravouglog trougla i α ugao naspram katete a. Primjenom Pitagorine teoreme a 2 + b 2 = c 2 slijedi b 2 = 144 b = 12. S obzirom da je sin α = a c, cos α = b c, tgα = a b, ctgα = b a, dobijamo sin α = 5 12, cos α = 13 13, tgα = 5 12, ctgα = 12 5. 3

1. Rijexiti jednaqinu 1 15x 10 5 x 27x 3 54x 2 + 36x 8 = 1.2x 1 18x 2 24x + 8. Rjexenje: Data jednaqina je definisana za svako x R \ { 2 }. Jednaqinu 3 rjexavamo na slijede i naqin: 1 15x 10 5 x 27x 3 54x 2 + 36x 8 = 1.2x 1 18x 2 24x + 8 1 5(3x 2) 5 x 6 (3x 2) x 1 5 3 2(3x 2) = 0 2 2(9x 2 12x + 4) 10(5 x) 5 ( 6 x 1) (3x 2) 5 = 0 10(3x 2) 3 18x 2 24x + 8 50 + 10x 18x 2 + 15x + 12x 10 = 0 13x = 52 x = 4. 2. Rijexiti nejednaqinu 5 x x 2 3x + 2 > 1. Rjexenje: Za svako x R \ {1, 2} imamo 5 x x 2 3x + 2 > 1 Znak izraza x2 + 2x + 3 x 2 3x + 2 5 x x 2 3x + 2 1 > 0 5 x x2 + 3x 2 x 2 3x + 2 odredi emo iz slijede e tabele. > 0 x2 + 2x + 3 x 2 3x + 2 > 0. x (, 1) x ( 1, 1) x (1, 2) x (2, 3) x (3, + ) x 2 + 2x + 3 + + + x 2 3x + 2 + + + + x 2 +2x+3 x 2 3x+2 + + Prema tome x ( 1, 1) (2, 3). 3. Rijexiti sistem jednaqina Rjexenje: Za svako x, y R, imamo x + y = 7 5 x 8 y = 512000. 4

x + y = 7 5 x 8 y = 512000 y = 7 x 5 x 8 7 8 x = 512000 ( 5 8 y = 7 x ) x = ( ) 5 3 8 y = 7 x x = 3 y = 4 x = 3 R s = {(3, 4)}. 4. U skupu realnih brojeva rijexiti jednaqinu log(x + 2) + log(x 1) = 1. Rjexenje: Data jednaqina je definisana za svako x (1, + ). Jednaqina log(x+2)+log(x 1) = 1 je ekvivalentna sa log[(x+2)(x 1)] = log 10. Tada je x 2 x + 2x 2 = 10, tj. x 2 + x 12 = 0. Diskriminanta kvadratne jednaqine je D = 49 > 0, pa su rjexenja kvadratne jednaqine realna i razliqita. Rjexenja te jednaqine su: x 1 = 4, x 2 = 3. S obzirom na uslov x (1, + ) jedino rjexenje polazne jednaqine je x = 3. 5. Izraqunati sin α cos α 2 sin α + 3 cos α, ako je tgα = 1 2. Rjexenje: Kako je tgα = sin α cos α, sin α sin α cos α 2 sin α + 3 cos α = 1 cos α 2 sin α cos α + 3 = 1 1 2 2 1 + 3 = 1 8. 2 5

1. U zavisnosti od realnog parametra m rijexiti sistem jednaqina: (m + 5)x + (m + 1)y = 16 2x + 4y = m + 1. Rjexenje: Imamo D = m + 5 m + 1 2 4 = 2(m + 9), D x = D y = m + 5 16 2 m + 1 = (m + 9)(m 3). 16 m + 1 m + 1 4 = (7 m)(m + 9), Za m R \ { 9} sistem je saglasan i ima jedinstveno rjexenje. Pri tome je x = D x D = 7 m, y = D y 2 D = m 3, 2 odnosno R s = {( 7 m, )} m 3 2 2. Za m = 9 je D = 0, Dx = 0 i D y = 0. Sistem jednaqina rjexavamo primjenom Gauss-ovog algoritma 4x 8y = 16 2x + 4y = 8 4x 8y = 16 0 = 0 Stavimo li y = α, (α R), dobijamo R s = {( 4 2α, α) α R} 2. Rijexiti sistem jednaqina Rjexenje: x + 3y = 18 xy = 15. x = 18 3y (18 3y)y = 15 x = 18 3y 18y 3y 2 = 15 x = 18 3y y 2 6y + 5 = 0 Ako je y = 1 x = 15, a ako je y = 5 x = 3. x = 18 3y y = 1 y = 5 R s = {(3, 5), (15, 1)}. 6

3. U skupu realnih brojeva rijexiti jednaqinu 3 4 x + 1 3 9x+2 = 6 4 x+1 1 2 9x+1. Rjexenje: Jednaqina je definisana za svako x R. Dalje imamo 3 4 x 6 4 x 4 = 1 2 9x 9 1 3 9x 9 2 21 4 x = 9 x ( 9 2 + 27 ) ( ) x 4 = 3 9 2 ( ) 2x 2 = 3 ( ) 1 2 x = 1 3 2. 4. Rijexiti nejednaqinu log 1 (x 1) > 3. 5 Rjexenje: Nejednaqina je definisana za x 1 > 0, tj. za x (1, + ). Nejednaqina je ekvivalentna sa x 1 < Rjexenje nejednaqine je x (1, 126). ( ) 3 1 x 1 < 125. 5 5. U skupu realnih brojeva rijexiti jednaqinu ( 2 sin 2x + π ) = 1. 4 Rjexenje: Iz jednaqine ( sin 2x + π ) = 1 4 2 slijedi 2x k + π 4 = π 6 + 2kπ ili 2x k + π 4 = 5π 6 + 2kπ, k Z pa su rjexenja jednaqine x k = π 24 + kπ ili x k = 7π + kπ, k Z. 24 7

1. Uprostiti izraz ( x 6 18x + (x 6) + (x + 12)2 108 1 ) : x3 + 6x 2 + 18x + 108 2 x 3 216 x 6 x 3 6x 2 + 18x 108. Rjexenje: Dati izraz je definisan za svako x R \ { 6, 6}. Transformacijom izraza dobijamo ( x 6 18x + (x 6) + (x + 12)2 108 1 ) : x3 + 6x 2 + 18x + 108 ( 2 x 3 216 x 6 x 3 6x 2 + 18x 108 x 6 = x 2 + 6x + 36 + x 2 + 24x + 36 (x 6)(x 2 + 6x + 36) 1 ) : (x + 6)(x2 + 18) x 6 (x 6)(x 2 + 18) = x2 12x + 36 + x 2 + 24x + 36 x 2 6x 36 (x 6) (x 6)(x 2 + 6x + 36) (x + 6) x 2 + 6x + 36 = (x + 6)(x 2 + 6x + 36) = 1 x + 6. 2. Rijexiti sistem jednaqina x + 3y 7z = 6 3x + 2y + 8z = 9 5x + 9y 2z = 3. Rjexenje: Mnoжenjem prve jednaqine datog sistema sa 3 i 5 i dodavanjem, redom, drugoj i tre oj jednaqini dobijamo ekvivalentan sistem x + 3y 7z = 6 11y 13z = 27 24y 37z = 33. Odavde, mnoжe i drugu jednaqinu sa 24 11 x + 3y 7z = 6 11y 13z = 27 95z 11 = 285. 11 i dodavanjem tre oj imamo Iz tre e jednaqine je z = 3. Uvrxtavanjem vrijednosti z = 3 u drugu jednaqinu dobijamo y = 6. Konaqno, iz prve jednaqine imamo x = 9. Dakle, sistem je saglasan i ima jedinstveno rjexenje. Skup rjexenja je R s = {(9, 6, 3)}. 3. U skupu realnih brojeva rijexiti jednaqinu 3 log 2 (x 1) 10 log(x 1) + 3 = 0 8

Rjexenje: Data jednaqina je definisana za svako x (1, + ). Uvođenjem smjene log(x 1) = t, dobijamo 3t 2 10t + 3 = 0. Diskriminanta kvadratne jednaqine je D > 0, pa su rjexenja kvadratne jednaqine realna i razliqita. Rjexenja te jednaqine su: t 1 = 1 3, t 2 = 3. Odatle je x 1 = 1 + 3 10, x 2 = 1001. 4. Rijexiti nejednaqinu ( ) 2x+5 4 < 64 5 125. Rjexenje: Data nejednaqina je definisana za svako x R. Transformacijom nejednaqine slijedi ( ) 2x+5 4 < 64 5 125 ( ) 2x+5 4 < 5 ( ) 3 4 2x + 5 > 3. 5 Rjexavaju i posljednju nejednaqinu dobijamo da je rjexenje polazne nejednaqine x ( 1, + ). 5. U skupu realnih brojeva rijexiti jednaqinu Rjexenje: cos 2x cos x + 1 = 0. cos 2x cos x + 1 = 0 2 cos 2 x 1 cos x + 1 = 0 cos x = 0 cos = 1 2. Rjexenja jednaqine su x k = π 2 + kπ ili x k = π 3 + 2kπ, ili x k = π 3 + 2kπ, k Z. 9

1. Rijexiti nejednaqinu x 2 x 4 < 3 2. Rjexenje: Data nejednaqina je definisana za svako x R \ {4}. Transformacijom nejednaqine slijedi x 2 x 4 < 3 2 x 2 x 4 3 2 < 0 2x 4 3x + 12 2(x 4) < 0 x + 8 2(x 4) < 0. Prema tome x (, 4) (8, + ) 2. Rijexiti sistem jednaqina x (, 4) x (4, 8) x (8, + ) x + 8 + + x 4 + + x+8 x 4 + x + 2y 3z = 2 2x y + z = 3 3x + 3y 2z = 2. Rjexenje: Mnoжenjem prve jednaqine datog sistema sa 2 i -3 i dodavanjem, redom, drugoj i tre oj jednaqini dobijamo ekvivalentan sistem x + 2y 3z = 2 3y 5z = 7 3y + 7z = 4. Odavde, dodavanjam druge jednaqine tre oj imamo x + 2y 3z = 2 3y 5z = 7 2z = 3. Iz tre e jednaqine je z = 3 2. Uvrxtavanjem vrijednosti z = 3 2 u drugu jednaqinu dobijamo y = 29. Konaqno, iz prve jednaqine imamo x = 19 6 6. Dakle, sistem je saglasan i ima jedinstveno rjexenje. Skup rjexenja je R s = {( 19, 29, 3 6 6 2)}. 10

3. Odrediti realni i imaginarni dio kompleksnog broja z = (1 i)2 3 i. Rjexenje: Kako je onda je (1 i) 2 3 i = 1 2i 1 3 i = 2i 3 i pa je R e (z) = 1 2, I m(z) = 3 2. z = 1 2 i 3 2, 4. U skupu realnih brojeva rijexiti jednaqinu 5x 4 26x 3 + 26x 5 = 0. Rjexenje: Jednaqina je definisana za svako x R. Transformixu i jednaqinu dobijamo 3 + i = 2i 3 + 2, 3 + i 4 5x 4 26x 3 + 26x 5 = 0 5(x 4 1) 26x(x 2 1) = 0 5(x 2 1)(x 2 + 1) 26x(x 2 1) = 0 (x 2 1)(5x 2 26x + 5) = 0 (x 1)(x + 1)(5x 2 25x x + 5) = 0 (x 1)(x + 1)[5x(x 5) (x 5)] = 0 (x 1)(x + 1)(x 5)(5x 1) = 0 pa su rjexena polazne jednaqine x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 5, x 4 = 1 5. 5. U skupu realnih brojeva rijexiti jednaqinu ( ) x 1 1 5 x + 10 x = 375. 2 Rjexenje: Jednaqina je definisana za svako x R. Dalje imamo ( ) x 1 1 5 x + 10 x = 375 5 x + 2 1 2 2 x 2x 5 x = 375 5 x = 5 3 x = 3. 11

1. Uprostiti izraz 1 x(x y)(x z) 1 y(z y)(y x) + 1 z(z x)(z y). Rjexenje: Dati izraz je definisan za x 0, y 0, z 0, x y, x z, y z. Transformacijom izraza dobijamo 1 x(x y)(x z) 1 y(z y)(y x) + 1 z(z x)(z y) yz(z y) + xz(x z) xy(x y) = xyz(x y)(x z)(z y) = y(z2 zy x 2 + xy) + xz(x z) xyz(x y)(x z)(z y) y[ (x z)(x + z) + y(x z)] + xz(x z) = xyz(x y)(x z)(z y) y(x z)( x z + y) + xz(x z) = xyz(x y)(x z)(z y) = (x z)( xy yz + y2 + xz) xyz(x y)(x z)(z y) y(x y) + z(x y) = xyz(x y)(z y) (x y)(z y) = xyz(x y)(z y) = 1 xyz. 2. Rijexiti nejednaqinu 1 < 3x + 13 x + 8 < 2. Rjexenje: Data nejednaqina je definisana za svako x R \ { 8}. Transformacijom nejednaqine slijedi 0 < 1 < 3x + 13 x + 8 < 2 1 < 3x + 13 x + 8 3x + 13 x + 8 1 3x + 13 2x + 5 2 < 0 0 < x + 8 x + 8 3x + 13 x + 8 < 2 x 3 x + 8 < 0 12

Znak izraza 2x + 5 x + 8 odredi emo iz slijede e tabele. x (, 8) x ( 8, 5 2) x ( 5 2, + ) 2x + 5 + x + 8 + + 2x+5 x+8 + + Prema tome 2x + 5 x + 8 > 0 za x (, 8) ( 5 2, + ), a znak izraza x 3 x + 8 odredi emo iz slijede e tabele. x (, 8) x ( 8, 3) x (3, + ) x 3 + x + 8 + + x 3 + + x+8 Prema tome x 3 < 0 za x ( 8, 3). x + 8 Rjexenje polazne nejednaqine je x ( 5, 3). 2 3. Rijexiti sistem jednaqina Rjexenje: 2y 3x = 2 2x 2 3y 2 + x y + 42 = 0 2y 3x = 2 2x 2 3y 2 + x y + 42 = 0. y = 3x + 1 2 2x 2 27x2 9x 3 x + 41 = 0 4 2 y = 3x 2 + 1 x 2 + 2x 8 = 0 y = 3x + 1 2 2x 2 3 ( 3x + 1) 2 2 + x 3x 1 + 42 = 0 2 y = 3x + 1 2 19x2 19x + 38 = 0 4 2 Rjexenja jednaqine x 2 + 2x 8 = 0 su x 1 = 4 i x 2 = 2, pa je y 1 = 5 i y 2 = 4. Skup rjexenja je R s = {( 4, 5), (2, 4)}. 4. U skupu realnih brojeva rijexiti jednaqinu 32 4x 6 = 0.25 128 2x 3. 13

Rjexenje: Jednaqina je definisana za svako x R. Dalje imamo 32 4x 6 = 0.25 128 2x 3 2 5(2x 3) = 2 2 2 7(2x 3) 2 10x 15 = 2 14x 23 10x 15 = 14x 23 x = 2. 5. Izraqunati: (a) sin 5π 6 Rjexenje: (a) sin 5π 6 = sin(π π 6 ) = 1 2,, (b) sin 81π 4. (b) sin 81π 4 = sin ( π 4 + 20π ) = sin π 4 = 2 2. 14