1 Funkcije više promenljivih: uvodni pojmovi

i Sadržaj 1 Funkcije više promenljivih: uvodni pojmovi 1 1.1 Prostor R n................................. 1. Realna funkcija više realnih promenljivih................ 5 1..1 Površ u R 3............................. 6 1.. Obrtne i cilindrične površi.................... 7 1..3 Površi drugog reda........................ 9 1.3 Zadaci a samostalan rad......................... 1 Realne funkcije više promenljivih: granična vrednost, neprekidnost, parcijalni ivodi 13.1 Granična vrednost realne funkcije više promenljivih.......... 13. Neprekidnost............................... 15.3 Parcijalni ivodi.............................. 18.3.1 Parcijalni ivodi višeg reda.................... 0.3. Parcijalni ivod složene funkcije..................3.3 Parcijalni ivodi implicitno adatih funkcija.......... 3.4 Zadaci a samostalan rad......................... 4 3 Realne funkcije više promenljivih: tangentna ravan, diferencijabilnost, totalni diferencijal, Tejlorova formula 6 3.1 Tangentna ravan............................. 6 3. Diferencijabilnost............................. 8 3.3 Totalni diferencijal............................ 9 3.3.1 Totalni diferencijali višeg reda.................. 3 3.4 Tejlorova formula............................. 33 3.5 Zadaci a samostalan rad......................... 35 4 Realne funkcije više promenljivih: ivod u pravcu, gradijent 36 4.1 Ivod u pravcu.............................. 36 4. Gradijent................................. 39 4..1 Gradijent kao vektor normale.................. 41 4.3 Zadaci a samostalan rad......................... 44 5 Realne funkcije više promenljivih: ekstremne vrednosti 45 5.1 Testovi a odredivanje ekstremnih vrednosti funkcija više promenljivih 47 5.1.1 Test a funkcije dve promenljive................. 47 5.1. Test a funkcije n promenljivih................. 48 5. Veani (uslovni) ekstremi......................... 49 5..1 Lagranžov metod......................... 50 5.3 Zadaci a samostalan rad......................... 5

ii 6 Vektorske funkcije 53 6.1 Kretanje u prostoru............................ 53 6. Vektorsko polje.............................. 56 6..1 Funkcija potencijala....................... 57 6.. Rotor vektorskog polja...................... 59 6..3 Divergencija vektorskog polja.................. 61 6.3 Zadaci a samostalan rad......................... 6 7 Dvostruki integral 63 7.1 Dvostruki integral nad pravougaonikom................. 63 7. Dvostruki integral nad proivoljnom oblasti u R........... 66 7..1 Osnovne osobine dvostrukog integrala.............. 69 7.3 Polarni koordinatni sistem........................ 71 7.4 Zadaci a samostalan rad......................... 73 8 Trostruki integral 74 8.1 Definicija trostrukog integrala...................... 74 8.1.1 Iračunavanje trostrukog integrala................ 75 8.1. Osnovne osobine trostrukog integrala.............. 78 8. Cilindrični koordinatni sistem...................... 79 8.3 Sferni koordinatni sistem......................... 81 8.4 Smena promenljivih u višestrukom integralu.............. 8 8.5 Zadaci a samostalan rad......................... 86 9 Krivolinijski integral 87 9.1 Kriva u prostoru R n........................... 87 9. Krivolinijski integral I vrste....................... 90 9.3 Krivolinijski integral II vrste....................... 91 9.3.1 Krivolinijski integral potencijalnog vektorskog polja...... 93 9.3. Neavisnost od putanje integracije................ 94 9.4 Grinova teorema............................. 95 9.5 Zadaci a samostalan rad......................... 96 10 Površinski integral 97 10.1 Površinski integral I vrste........................ 97 10.1.1 Iračunavanje površinskog integrala I vrste........... 97 10. Površinski integral II vrste........................ 100 10.3 Teorema Gausa-Ostrogradskog...................... 104 10.4 Stoksova teorema............................. 105 10.5 Zadaci a samostalan rad......................... 106

11 Obične diferencijalne jednačine: uvodni pojmovi 107 11.1 Diferencijalne jednačine prvog reda................... 109 11.1.1 Elementarne metode rešavanja.................. 111 11. Linearne diferencijalne jednačine višeg reda............... 115 11..1 Metod varijacija konstanti.................... 115 11.. Linearne diferencijalne jednačine višeg reda sa konstantnim koeficijentima........................... 117 11.3 Zadaci a samostalan rad......................... 118 iii

1 Funkcije više promenljivih: uvodni pojmovi 1 1 Funkcije više promenljivih: uvodni pojmovi U okviru kursa Matematika I uponali smo realne funkcije jedne realne promenljive, tj. pridruživanja koja svakoj ulanoj vrednosti dodeljuju tačno jednu ilanu vrednost. U našem okruženju srećemo i nešto komplikovanije situacije, kao što su situacije koje ahtevaju više ulanih parametara a dobijanje reultata ili situacije u kojima je sam reultat višeparametarski. Na primer, a iračunavanje apremine valjka neophodno je ponavati poluprečnik osnove r i visinu valjka h, te apreminu dobijamo kao r πh. Drugim rečima, apremina V je funkcije dve promenljive r i h, što apisujemo na sledeći način: V (r, h) = r πh. U ovom primeru dva ulana realna parametra nam daju jedan realan broj kao ila, pa je V realna funkcija dve realne promenljive. U opštem slučaju funkcije više promenljivih definišemo na sledeći način. Definicija 1.1 Neka su n i m prirodni brojevi i neka su R n i B R m. ko je n > 1, pridruživanje koje svakom elementu skupa dodeljuje samo jedan element skupa B naiva se funkcija više realnih promenljivih. ko je m = 1 u pitanju je realna funkcija više realnih promenljivih, dok a m > 1 imamo vektorsku funkciju više realnih promenljivih. Primer 1.1 Pridruživanje f dato sa (, ) 5 3,, R, je realna funkcija dve realne promenljive, što apisujemo kao f : R R, f(, ) = 5 3. I R (-,-) (1,1) f -4 0 I R Slika 1.1. Realna funkcija dve realne promenljive i primera 1.1. Primer 1. Pridruživanje F dato sa (,, ) (, ),,, R, je vektorska funkcija tri realne promenljive i to F : R 3 R. Ovo pridruživanje apisujemo kao F(,, ) = (, ).

1 Funkcije više promenljivih: uvodni pojmovi Napomena 1.1 Definicija 1.1 obuhvata funkcije sa višedimenionim ulanim vrednostima, ali u okruženju srećemo i funkcije koje jednodimenionoj ulanoj vrednosti dodeljuju tačno jednu uredenu m-torku (m > 1), tj. vektorske funkcije jedne promenljive. Takav tip funkcije možemo da ilustrujemo problemom kretanja tela u prostoru po nekoj putanji c (oslanjamo se na intuitivnu percepciju putanje, precina definicija će biti data kasnije). Položaj posmatranog objekta u prostoru avisi od vremena, tj. od trenutka posmatranja. ko sa t onačimo vreme, položaj u avisnosti od vremena r(t) dobijamo kao r(t) = (f(t), g(t), h(t)), gde su f, g i h realne funkcije jedne realne promenljive kojima opisujemo putanju c (parametarski apis putanje). U ovom slučaju jedna ulana vrednost (vreme) nam kao reultat daje uredenu trojku (koordinate posmatranog tela u prostoru), te je r primer vektorske funkcije jedne realne promenljive. Funkcia r se naiva vektor položaja. U istu kategoriju spadaju i vektor brine v(t) = (f (t), g (t), h (t)), kao i vektor ubranja a(t) = (f (t), g (t), h (t)). Funkciju i primera 1. apisujemo na sledeći način F(,, ) = (f 1 (,, ), f (,, )), gde su f 1 i f dve realne funkcije tri promenljive date sa f 1 (,, ) = i f (,, ) =. Realne funkcije f 1 i f naivamo koordinatne funkcije funkcije F. Kako u opštem slučaju proivoljnu vektorsku funkciju F : R n R m možemo apisati preko koordinatnih funkcija, tj. F ( 1,,..., n ) = (f 1 ( 1,,..., n ), f ( 1,,..., n ),..., f m ( 1,,..., n )), pri čemu f i : R n R, i = 1,..., m, jesu realne funkcije n promenljivih, posebnu pažnju posvećujemo upravo realnim funkcijama više realnih promenljivih. 1.1 Prostor R n Realna funkcija više realnih promenljivih f : R, R n, svakoj ulanoj vrednosti i dodeljuje tačno jedan realan broj. Kako su ulane vrednosti uredene n-torke oblika ( 1,,..., n ), odnosno tačke i R n, neophodno je prvo rajasniti neke osnovne pojmove koje srećemo u prostoru R n. Radi jednostavnost, tačke i R n, tj. n-torke oblika ( 1,,..., n ), gde i R, i = 1,..., n, onačavamo sa. Imajući navedenu notaciju u vidu, ako R podraumeva se da je oblika ( 1, ) pri čemu 1, R. Za tačku R uobičajena je i notacija = (, ), gde, R. nalogno, tačka R 3 je trojka oblika ( 1,, 3 ) ili (,, ). Operacije sabiranja i množenja realnim brojem u skupu R n su date na sledeći način:

1 Funkcije više promenljivih: uvodni pojmovi 3 + = ( 1,,..., n ) + ( 1,,..., n ) = ( 1 + 1, +,..., n + n ), a = a( 1,,..., n ) = (a 1, a,..., a n ), gde je a proivoljan realan broj, te R n u odnosu na navedene operacije čini vektorski prostor. Kada govorimo o rastojanju imedu dve tačke u skupu realnih brojeva na umu imamo jednostavnu formulu d(, ) =. Rastojanje u R n je nešto složenije i definisano je na sledeći način d(, ) = ( 1 1 ) + ( ) + + ( n n ), gde = ( 1,,..., n ), = (,,..., n ) R n. Kao što se vidi sa slike 1., u pitanju je prirodno uopštenje jednodimenionog slučaja. - I R d(,) = ( 1, ) = ( 1, ) I R 3 d(,) = (,, ) 1 3 = ( 1,, 3 ) 3-3 - 1-1 1-1 Slika 1.. Rastojanje u R i R 3. U opštem slučaju pod rastojanjem na nekom proivoljnom skupu podraumevamo funkciju d : [0, ) koja ispunjava sledeće uslove d(, ) = 0 ako i samo ako =,,, d(, ) = d(, ) a svako,, d(, ) d(, ) + d(, ) a svako,,. Treba naglasiti da se rastojanje još naiva i metrika, a skup R n sa prethodno definisanim operacijam i rastojanjem čini euklidski n-dimenioni metrički prostor. Još jedan od pojmova koje je neophodno uvesti je i pojam lopte na R n. ko je 0 R i r > 0, (otvorena) lopta sa centrom u tački 0 i poluprečnikom r je skup L( 0, r) = { R n, d( 0, ) < r}. Ovako definisana lopta je prirodno proširanje pojma ε-okoline, tj. simetričnog intervala i R koji smo sreli u okviru Matematike I. Nakon definisanja pojmova rastojanja i lopte u R n, moguće je dati definicije nekih važnih skupova i tačaka sa čijim jednodimenionim parnjacima smo se već sreli:

1 Funkcije više promenljivih: uvodni pojmovi 4 I R I R 3 I R 0 ( ) -r 0 +r 0 r = (, ) 0 0 0 r = (,, ) 0 0 0 0 Slika 1.3. ε-okolina u R, disk u R i lopta u R 3. Tačka 0 R n je unutrašnja tačka skupa ako postoji r > 0 tako da L( 0, r). Sve unutrašnje tačke skupa čine unutrašnjost posmatranog skupa. Tačka 0 je spoljašnja tačka skupa R n ako postoji lopta sa centrom u 0 koja nije u celosti sadržana u. Sve spoljašnje tačke skupa čine spoljašnjost posmatranog skupa. Tačka 0 je rubna tačka skupa R n ako svaka lopta sa centrom u 0 sadrži i tačke i i tačke koje ne pripadaju skupu. Sama tačka 0 može pripadati skupu, ali to nije obaveno. Sve rubne tačke skupa čine rub posmatranog skupa. Tačka 0 R n je iolovana tačka skupa ako postoji r > 0 tako da lopta L( 0, r), osim tačke 0, ne sadrži elemente skupa. Tačka 0 je tačka nagomilavanja skupa R n ako svaka lopta sa centrom u 0 sadrži bar jednu tačku i raličitu od 0. Sama tačka nagomilavanja može pripadati posmatranom skupu, ali to nije obaveno. Za skup R n kažemo da je okolina tačke 0 R n ako postoji lopta L( 0, r) sadržana (u celosti) u skupu. Treba naglasiti da vrlo često pod okolinom neke tačke podraumevamo upravo loptu sa centrom u toj tački. Skup R n je otvoren ako je okolina svake svoje tačke. Skup R n je atvoren ako sadrži sve svoje rubne tačke. Skup R n je ograničen ako je u celosti sadržan u lopti konačnog poluprečnika.

1 Funkcije više promenljivih: uvodni pojmovi 5 1. Realna funkcija više realnih promenljivih Mada je u prethodnom tekstu već navedena, radi preglednosti, ponovo dajemo definiciju realne funkcije više realnih promenljivih. Definicija 1. Pridruživanje f koje svakom elementu skupa R n dodeljuje tačno jedan realan broj naiva se realna funkcija n realnih promenljivih, što pišemo f : R. I R (,) (a,b) f f(a,b) 0 f(,) I R Slika 1.4. Realna funkcija dve promenljive f : R, R. Problem odredivanja oblasti definisanosti, tj. domena, neke realne funkcije više promenljivih ilustrovan je narednim primerima. Primer 1.3 Posmatrajmo funkciju dve promenljive f(, ) = ln ( sin ). Ovako definisana funkcija svakom paru tačaka i domena dodeljuje jedan realan broj, npr. (π, ) ln, pri čemu se sam domen sastoji od uredenih parova (, ) a koje je ispunjeno sin > 0, tj. D f = { (, ) R sin < }. D f 1-1 Slika 1.5. Oblast definisanosti i primera 1.3.

1 Funkcije više promenljivih: uvodni pojmovi 6 Primer 1.4 ko je funkcija tri promenljive data sa f(,, ) = 1, domenu pripadaju sve uredene trojke (,, ) i R 3 a koje važi + + 1, tj. D f = { (,, ) R 3 + + 1 }. Kako je + + = a jednačina centralne sfere poluprečnika a, definicioni skup u ovom primeru čini unutrašnjost i omotač centralne sfere poluprečnika 1. 1..1 Površ u R 3 Posmatrajmo realnu funkciju dve realne promenljive definisanu na nekom skupu R, tj. f : R. Grafik ovako adate funkcije definišemo analogno slučaju realne funkcije jedne realne promenljive: Graf f = {(,, f(, )) (, ) D f }. Ovako definisan skup tačaka u prostoru (treba obratiti pažnju da je Graf f skup =f(,) (,,f(,) ) (,) Slika 1.6. Grafik realne funkcije dve promenljive. uredenih trojki), u odredene pretpostavke, je površ u R 3. Možemo oblast definisanosti D f koja leži u -ravni shvatiti kao osnovu, pri čemu funkcija f svakoj tački sa osnove dodeljuje trću dimeniju, tj. idiže je sa poda i smešta je na njeno mesto u prostoru (slika 1.6). Primer 1.5 Jednačinom = sin + je data površ sa slike 1.7. Domen u ovom slučaju je ceo prostor R. Nivoske linije koje su takode date na slici 1.7 su, u opštem slučaju, projekcije na -ravan krivih dobijenih u preseku posmatrane površi i ravni = c, a c R. U ovom primeru date su nivoske linije a c {0.1, 0.4, 0.8}.

1 Funkcije više promenljivih: uvodni pojmovi 7 10-10 10 Slika 1.7. Površ = sin + -10 i nivoske linije. Primer 1.6 Jednačinom = 3 3 je data površ sa slike 1.8. Domen je ceo prostor R. Nivoske linije na slici 1.8 su date a c { 30, 0, 10,,, 10, 0, 30}. Slika 1.8. Površ = 3 3 i nivoske linije. Površi i prethodna dva primera su date u eksplicitnom obliku, tj. u obliku = f(, ). Površ može biti data i u implicitnom obliku F (,, ) = c, gde je c neki realan broj. Jedan od primera implicitno adatih površi je i sfera + + = a. 1.. Obrtne i cilindrične površi Posebnu klasu površi u R 3 čine obrtne površi. Obrtnu površ dobijamo rotacijom krive i -ravni oko -ose, a odgovarajuće nivoske linije su kružnice sa centrom u koordinatnom početku. Ovim postupkom eksplicitno adata kriva = f() prelai ( ) u površ = f + (slika 1.9), dok implicitno adata kriva F (, ) = c daje ( površ F +, ) = c.

1 Funkcije više promenljivih: uvodni pojmovi 8 =f( + ) =f() Slika 1.9. Obrtna površ. Primer 1.7 Površ = sin + i primera 1.5 je obrtna površ dobijana rotacijom krive = sin oko -ose. Kao što se može videti sa slike 1.7, nivoske linije su kružnice sa centrom u koordinatnom početku. Potpuno analogno opisanom, rotacijom krive = f() ili F (, ) = c, gde je c neki realan broj, i -ravni oko -ose dobijamo površ datu sa = f ( + ), odnosno F (, + ) = c. Rotacijom krivih i -ravni oko -ose ili oko -ose, odnosno, krivih i -ravni oko -ose ili oko -ose takode dobijamo obrtne površi u R 3. Slika 1.10. Sfere kao obrtne površi. Primer 1.8 Centralna sfera poluprečnika a, tj. + + = a, se dobija rotacijom kružnice + = a oko -ose ili oko -ose, ili rotacijom kružnice + = a oko -ose ili oko -ose, ili rotacijom kružnice + = a oko -ose ili oko -ose. Sfera + ( b) + = a sa centrom na -osi se dobija rotacijom kružnice + ( b) = a ili ( b) + = a oko -ose, dok sferu + + ( b) = a dobijamo rotacijom kružnice + ( b) = a ili + ( b) = a oko -ose (slika 1.10). Još jednu bitnu klasu površi u R 3 čine cilindrične površi. ko je F (, ) = c, c R kriva u -ravni, površ koja ili nema ajedničkih tačaka sa -osom ili je

1 Funkcije više promenljivih: uvodni pojmovi 9 ivodnice direktrisa F(,)=c Slika 1.11. Cilindrična površ F (, ) = c. u potpunosti sadrži i koja seče -ravan upravo po krivoj F (, ) = c naiva se cilindrična površ. Kriva F (, ) = c u -ravni se naiva direktrisa, dok se prave koje leže na posmatranoj površi i paralelne su -osi naivaju ivodnice (slika 1.11). Treba napomenuti da direktrisa može pripadati i -ravni, te da su tom prilikom ivodnice paralelne sa -osom. ko direktrisa leži u -ravni, ivodnice su paralelne sa -osom. Primer 1.9 Površi date sa + = 4 i = 1 ( ) su cilindrične površi. U prvom slučaju direktrisa pripada -ravni, a ivodnice su paralelne sa -osom, dok je u drugom slučaju direktrisa u -ravni i ivodnice su paralelne sa -osom (slika 1.1). Slika 1.1. Cilindrične površi + = 4 i = 1 ( ). 1..3 Površi drugog reda Pod površima drugog reda podraumevamo površi u R 3 implicitno date sa α 1 + α + α 3 + β 1 + β + β 3 + γ 1 + γ + γ 3 = ν 1,

1 Funkcije više promenljivih: uvodni pojmovi 10 gde su α 1, α, α 3, β 1, β, β 3, γ 1, γ, γ 3, ν 1 realni parametri. Transformacijama koordinatnog sistema, površi drugog reda se svode na kanoničke forme oblika α + β + γ = ν ili α + β + γ = 0. Sledi pregled kanoničkih formi. 1) Elipsoid je površ u R 3 data sa a + b + = 1, gde su a, b i c poitivni realni c parametri (slika 1.13). Specijalno, a a = b = c, posmatrana površ je sfera (slika 1.10). c b -b a -c -a b Slika 1.13. Elipsoid a + b + = 1 i presek sa ravni = 0. c -a -b a ) Jednokrilni hiperboloid je površ u R 3 data sa a + b c a, b, c > 0 (slika 1.14, levo). = 1, gde su -b a -a b Slika 1.14. Jednokrilni i dvokrilni hiperboloid. 3) Površ u R 3 data sa a + b = 1, a a, b, c > 0, je dvokrilni hiperboloid c (slika 1.14, desno). 4) Konus u R 3 je površ data sa a + b = 0, a a, b, c > 0 (slika 1.15, levo). c

1 Funkcije više promenljivih: uvodni pojmovi 11 Slika 1.15. Konus i eliptički paraboloid. 5) Površ u R 3 data sa = a +, gde su a, b > 0, se naiva eliptički paraboloid b (slika 1.15, desno). 6) Hiperbolički paraboloid u R 3 je površ data sa = a, a a, b > 0 (slika b 1.16). Slika 1.16. Hiperbolički paraboloid.

1 Funkcije više promenljivih: uvodni pojmovi 1 1.3 Zadaci a samostalan rad 1. Odrediti domene sledećih funkcija: a) f(, ) = 3 + 5; b) f(, ) = 3 + ; c) f(, ) = /( ); d) f(, ) = 7 + 3 ; e) f(,, ) = ln(); f) f(,, ) = ( + + ) 1 ; g) f(,, ) = (( ) + ( 1) + ( + 1) 4) 1/.. Odrediti i skicirati domen sledećih funkcije: a) f(, ) = 6 3 + ; b) f(, ) = + ; c) f(, ) = 3 + 3 ; d) f(,, ) = 1. 3. Skicirati grafike funkcija: a) f(, ) = 006; b) f(, ) = ; c) f(, ) = ; d) f(, ) = cos ; e) f(, ) = + ; f) f(, ) = + ; g) f(, ) = 3 +. 4. Odrediti jednačine krivih koje se dobijaju u preseku jednokrilnog hiperboloida a + b = 1, a, b, c > 0, i površi = k, = k i = k, k R. c 5. Odrediti jednačine krivih koje se dobijaju u preseku dvokrilnog hiperboloida a + b = 1, a, b, c > 0, i površi = k, = k i = k, k R. Koje c površi oblika = k ne seku dati dvokrilni hiperboloid? 6. Odrediti jednačine krivih koje se dobijaju u preseku eliptičkog paraboloida = a +, a, b > 0, i površi = k, = k i = k, k R. Koje površi oblika b = k ne seku dati eliptički paraboloid?

Granična vrednost, neprekidnost, parcijalni ivodi 13 Realne funkcije više promenljivih: granična vrednost, neprekidnost, parcijalni ivodi U sklopu Matematike I uponali smo se sa pojmovima kao što su granična vrednost, neprekidnost i ivod realne funkcije jedne realne promenljive. Problem koji nas ovom prilikom interesuje je proširenje navedenih pojmova na realne funkcije više promenljivih..1 Granična vrednost realne funkcije više promenljivih Radi jednostavnosti, u ovom poglavlju posmatramo realne funkcije dve promenljive. Definicija a realnu funkciju n promenljivih je potpuno analogna. Definicija.1 Data je funkcija f : R pri čemu R sadrži loptu sa centrom u tački 0 = ( 0, 0 ), sem možda samu tačku 0. Funkcija f ima graničnu vrednost l u tački 0 ako a svako ε > 0 postoji δ = δ(ε, 0, 0 ) tako da a svako važi 0 < d (, 0 ) < δ = f() l < ε. I R ( 0, 0) (,) f L ( ) f(,) I R Slika.1. Granična vrednost realne funkcije dve promenljive. ko je l granična vrednost posmatrane funkcije u tački 0, to apisujemo na sledeći način lim 0 f() = l. Treba naglasiti da tačka 0 u kojoj tražimo graničnu vrednost ne mora pripadati domenu funkcije. Takode, ako granična vrednost postoji, ona mora biti jedinstvena, odnosno, ne avisi od ibora putanje po kojoj se približavamo tački 0. Primer.1 Odredimo graničnu vrednost funkcije f(, ) = 4 4 (primetimo da ova tačka ne pripada domenu) lim (,) (0,0) 4 4 3 + 3 = lim ( + )( ) (,) (0,0) 3( + ) u tački (0, 0) 3 + 3 = lim (,) (0,0) 3 = 0.

Granična vrednost, neprekidnost, parcijalni ivodi 14 Pomoću definicije.1 dokaaćemo da je nula aista granična vrednost. Kako je f() l = 4 4 3 + 3 0 = 1 +, 3 3 a svako ε > 0 postoji δ i to δ = 3ε, te ako je d(, 0 ) = ( 0 ) + ( 0 ) = + < δ, tj. + < δ dobijamo što je i trebalo pokaati. f() l + 3 < δ 3 = ε, Primer. Neka je f(, ) = 3 +. Domen ovako date funkcije je R \{(0, 0)}. Ispitaćemo da li granična vrednost u tački (0, 0) postoji. Pretpostavimo prvo da se tački (0, 0), koja leži u -ravni, približavamo duž -ose. Tada je fiksirano i jednako nuli, a teži ka nuli, te je 3 lim (,) (0,0) =0 + 3 = lim = 3. 0 ko se tački (0, 0) približavamo po -osi ( = 0 i teži ka nuli), dobijamo 3 lim (,) (0,0) =0 + = lim 0 =. U ovom primeru granična vrednost funkcije u posmatranoj tački avisi od načina na koji joj se približavamo, tj. nije jedinstveno odredena, te kažemo da granična 3 vrednost lim ne postoji. (,) (0,0) + Pomoću definicije.1 lako možemo pokaati važi: lim = 0, 0 lim = 0 i lim α = α, 0 0 gde je α neka realna konstanta i 0 = ( 0, 0 ). Takode, ako a funkcije f i g postoje granične vrednosti u tački 0, mogu se dokaati i naredne osobine: lim 0 (f() ± g()) = lim 0 f() ± lim 0 g(), lim 0 (f() g()) = lim 0 f() lim 0 g(), lim f() lim 0 g() = lim 0 f() 0 g(), pri čemu je lim 0 g() 0.

Granična vrednost, neprekidnost, parcijalni ivodi 15 Ganična vrednost funkcije više promenljivih se dobro slaže sa neprekidnim funkcijama (neprekidna funkcija jedne realne promenljive). Na primer, ako lim f() 0 postoji i vrednosti funkcije f u nekoj okolini tačke 0 su nenegativne, tada lim f() = lim f(). 0 0 + 3 1 Primer.3 Kako je lim = + 3 3 1 = 8, imajući na (,) (,3) + + 3 umu slaganje sa neprekidnom funkcijom jedne realne promenljive, važi sledeće lim (,) (,3) + 3 1 + = 8 3 i lim ln + 3 1 (,) (,3) + = ln 8 3 Napomena.1 Graničnu vrednost realne funkcije dve promenljive treba ralikovati od uastopnih graničnih vrednosti, tj. u opštem slučaju granične vrednosti ( ) ( ) lim f(, ), l = lim lim f(, ) i l = lim lim f(, ) (,) ( 0, 0 ) 0 0 0 0 se ne poklapaju. Precinije, ako uastopne granične vrednosti l i l postoje i ralikuju se ( l l ), sa sigurnošću možemo tvrditi da granična vrednost lim f(, ) ne postoji. (,) ( 0, 0 ). Neprekidnost Definicija. Funkcija f : R, R n, je neprekidna u tački 0 koja pripada domenu ako važi lim 0 f() = f( 0 ). Funkcija je neprekidna na celom skupu ako je neprekidna u svakoj tački skupa. Moramo naglasiti da se neprekidnost funkcije f kao funkcije više promenljivih ralikuje od neprekidnosti po svakoj promenljivoj. ko je funkcija f : R, gde je R n, neprekidna u smislu definicije., tada je neprekidna i po svakoj promenljivoj. Obrnuto u opštem slučaju ne važi. Neka su f : R i g : R, R n, dve realne funkcije n promenljivih neprekidne u tački 0. Tada važi sledeće: funkcija αf, definisana sa (αf)() = α f(), gde je α neka realna konstanta, je neprekidna u 0 ; funkcija f + g, definisana sa (f + g)() = f() + g(), je neprekidna u 0 ; funkcija fg, definisana sa (fg)() = f() g(), je neprekidna u 0 ;

Granična vrednost, neprekidnost, parcijalni ivodi 16 funkcija f/g, definisana sa (f/g)() = f()/g() pri čemu je g() 0 u nekoj okolini tačke 0, je neprekidna u 0. Primer.4 Funkcija f(, ) = skupu R \{(0, 0)}. je neprekidna na svom domenu, tj. na + 5 Slika.. Funkcija i primera.4. Slika.3. Funkcija i primera.5. Primer.5 Posmatrajmo realnu funkciju dve promenljive datu sa, (, ) (0, 0), f(, ) = + 5, (, ) = (0, 0). Kako lim f() ne postoji, data funkcija nije neprekidna u (0, 0). (0,0) Primer.6 Kako je lim (,) (0,0) f(, ) = je neprekidna na celom R, a g(, ) = je neprekidna na R \{(0, 0)}. + + + 1 1 =, funkcija definisana sa +, (, ) (0, 0), + + 1 1, (, ) = (0, 0) +, (, ) (0, 0, ) + + 1 1 1, (, ) = (0, 0)

Granična vrednost, neprekidnost, parcijalni ivodi 17 1 Slika.4. Funkcije f i g i primera.6. ko je funkcija f : R, R n, neprekidna u tački 0 i ako je funkcija jedne realne promenljive ϕ definisana i neprekidna u tački f( 0 ), tada je i kompoicija g = ϕ f, data sa g() = ϕ f() = ϕ (f()), definisana i neprekidna u tački 0. Primer.7 Neka je data funkcija g(, ) = + 6. Primetimo da je funkcija g kompoicija funkcija ϕ i f, tj. g = ϕ f gde je f(, ) = + 6 i ϕ(t) = t. Kako je f definisana i neprekidna na R, a ϕ na [0, ), polana funkcija g je neprekidne na celom svom domenu D = {(, ) + 6}. Slika.5. Funkcija i primera.8. Primer.8 Funkcija g(, ) = ln( + 4) se takode može posmatrati kao kompoicija g = ϕ f pri čemu je f(, ) = + 4 i ϕ(t) = ln t. Data funkcija je neprekidna na celom svom domenu D = {(, ) + > 4}, odnosno u tačkama van centralne lopte poluprečnika.

Granična vrednost, neprekidnost, parcijalni ivodi 18.3 Parcijalni ivodi Kada posmatramo realnu funkciju jedne realne promenljive f() = ivod u tački 0 dobijamo kao graničnu vrednost količnika priraštaja avisne promenljive i priraštaja neavisne promenljive kada priraštaj neavisne promenljive teži ka nuli, tj. f ( 0 ) f( 0 + ) f( 0 ) ( 0 ) = lim = lim. 0 0 U slučaju funkcija više promenljivih ralikujemo priraštaje po svakoj od neavisnih promenljivih. ko je f funkcije dve promenljive, tj. f(, ) =, imamo: je priraštaj neavisne promenljive, je priraštaj neavisne promenljive, f = f( +, ) f(, ) je parcijalni priraštaj funkcije f po, f = f(, + ) f(, ) je parcijalni priraštaj funkcije f po, f = = f( +, + ) f(, ) je totalni priraštaj funkcije f (videti sliku.6). f f (,+ ) (,) (+,+ ) (+,) Slika.6. Priraštaji funkcije dve promenljive (a negativan priraštaj po ). Sada, parcijalni ivod po definišemo kao graničnu vrednost količnika priraštaja po -u, a parcijalni ivod po kao graničnu vrednost količnika priraštaja po.

Granična vrednost, neprekidnost, parcijalni ivodi 19 Definicija.3 Neka je f : R, R, i neka je 0 = ( 0, 0 ) unutrašnja tačka skupa. Prvi parcijalni ivod funkcije f po promenljivoj u tački 0 je f( 0 ) f( 0 ) = lim 0 = lim 0 f( 0 +, 0 ) f( 0, 0 ). Prvi parcijalni ivod funkcije f po promenljivoj u tački 0 je f( 0 ) f( 0 ) = lim 0 = lim 0 f( 0, 0 + ) f( 0, 0 ). Kao što se i vidi i definicije.3, parcijalni ivod po promenljivoj u nekoj tački ( 0, 0 ) dobijamo a fiksiranu vrednost promenljive, tj. a = 0. Poput geometrijskog tumačenja ivoda realne funkcije jedne realne promenljive, parcijalnom ivodu po promenljivoj funkcije f(, ) u tački ( 0, 0 ) odgovara koeficijent pravca tangente na krivu dobijenu u preseku površi = f(, ) i ravni = 0 u tački ( 0, 0, f( 0, 0 )) (slika.7). f(, 0 ) 0+ f( 0, 0 ) f( 0, 0 ) = f(, 0 ) f(, 0 ) 0+ 0+ 0 0 0 0+ Slika 4.41. Parcijalni ivod po. U praksi, ako odedujemo ivod po funkcije više promenljivih, sve ostale neavisne promenljive tretiramo kao konstante, te se postupak traženja parcijalnog ivoda svodi na traženje ivoda funkcije jedne realne promenljive. Primer.9 Data je funkcija f(, ) = 3 + 7. Parcijalni ivod po je f(, ) = ( 3 + 7) = 3 ( ) + () 0 = 4 3 + 1, tj. sa promenljivom postupamo kao sa konstantom u slučaju funkcije jedne realne promenljive. Parcijalni ivod po je f(, ) = ( 3 + 7) = ( 3 ) + 0 (7) = 6 7.

Granična vrednost, neprekidnost, parcijalni ivodi 0 Parcijani ivod po u tački (1, 1) je istoj tački f(1, 1) = 1. f(1, 1) = 5, dok je parcijalni ivod po u Napomena. Radi kraćeg apisa, u daljem tekstu parcijalni ivod funkcije f po nekoj promenljivoj, npr., u nekoj tački domena onačavamo samo sa f. ko je u pitanju odredena tačka domena, npr. tačka (1, 1) i prethodnog primera, onaka f(1, 1) parcijalnog ivoda je. U slučaju funkcija tri ili više promenljivih, postupak odredivanja parcijanih ivoda je analogan opisanom. Primer.10 ko je f(,, ) = sin + 3 11, parcijalni ivodi su i f = sin + cos + 3, f = cos + 3. f = cos + 3.3.1 Parcijalni ivodi višeg reda Neka je = f(, ) realna funkcija dve promenljive. Parcijalni ivodi drugog reda su definisani sa f = ( ) f f, = ( ) f f, = ( ) f f i = ( ) f, tj. parcijalni ivodi drugog reda su parcijalni ivodi parcijalnih ivoda prvog reda. Primer.11 Data je funkcija f(, ) = 4 3. Parcijalni ivodi prvog reda su f = 1 Parcijalni ivodi drugog reda su i f = 83. f = ( 1 ) = 4, f = ( 8 3 ) = 4 1 i f = ( 8 3 ) = 8 3, f = ( 1 ) = 4 1. f Ivodi i f se naivaju mešoviti parcijalni ivodi i u prethodnom primeru se poklapaju. U opštem slučaju, mešoviti ivodi se ne moraju poklapati.

Granična vrednost, neprekidnost, parcijalni ivodi 1 Teorema.1 Neka je funkcija f(, ) = definisana i neprekidna u nekoj okolini f tačke 0 = ( 0, 0 ). ko su i njeni parcijalni ivodi, f, f f i neprekidni u okolini tačka 0 = ( 0, 0 ), tada važi f( 0 ) = f( 0 ). Parcijalni ivodi trećeg reda se definišu na način analogan parcijalnim ivodima drugog reda. Na primer, ako je f(, ) = funkcija dve realne promenljive, tada 3 f = ( ) f, 3 odnosno 3 f = ( ) f. I u ovom slučaju, neprekidnost parcijalnih ivoda garantuje poklapanje mešovitih 3 f ivoda, tj. = 3 f = 3 f. Primer.1 Posmatrajmo funkciju f(, ) = 4 3 i primera.11. Parcijalni ivodi trećeg reda su i 3 f = (4 ) 3 3 f = (4 ) = 4, = 48, 3 f = (83 ) 3 3 f = (83 ) = 0 = 4 (odgovarajući parcijalni ivodi su neprekidne, te se mešoviti ivodi poklapaju). Naravno, parcijalni ivodi n-tog reda su parcijalni ivodi parcijalnih ivoda reda n 1. Primer.13 Odredićemo parcijalni ivod četvrtog reda promenljive f(,, ) = e : 4 f funkcije tri i f = e, 3 f = ( e ) 4 f = ( e + 3 e ) f = (e ) = e, = e + 3 e = 4e + 5 e + 3 3 e.

Granična vrednost, neprekidnost, parcijalni ivodi.3. Parcijalni ivod složene funkcije Posmatrajmo sledeći problem. Neka je data funkcija dve promenljive = f(g, h). Jasno, parcijalne ivode funkcije f po g i po h, ako postaje, odredujemo po napred opisanom postupku. Pretpostavimo dalje da su i g i h funkcije više promenljivih, npr. g = g(, ) i h = h(, ). Pod ovim uslovima polana funkcija indirektno avisi od promenljivih i, tj. u pitanju je složena funkcija (, ) = f (g(, ), h(, )). Postavlja se pitanje kako odrediti njene parcijalne ivode po promenljivim i. Teorema. Neka je f realna funkcija n promenljivih definisana na otvorenom skupu R n oblika = f(g 1, g,..., g n ). Neka su g i realne funkcije m promenljivih definisane na otvorenom skupu B R m oblika g i = g i ( 1,,..., m ). Neka a svako = ( 1,,..., m ) B tačke (g 1 (), g (),..., g n ()) pripadaju skupu. ko funkcija f ima neprekidne parcijalne ivode po g i a svako i {1,..., n} i ako funkcije g i, i {1,..., n}, imaju parcijalne ivode po promenljivim j, j {1,..., m}, tada, a svako i {1,..., m}, važi = f g 1 + f g +... + f g n. (1) j g 1 j g j g n j Primer.14 Neka funkcija = f(g, h) ima neprekidne parcijalne ivode po g i h i neka su g i h realne funkcia tri promenljive date sa g = g(,, ) = 3 4 i h = h(,, ) = 3 sin. Parcijalni ivodi funkcije f po promenljivim, i su = f g g + f h h = 3 4 f g + 3 sin f h, i = f g = f g g + f h g + f h h = 3 4 f g h = 4 3 3 f g + 3 sin f h + 3 cos f h.

Granična vrednost, neprekidnost, parcijalni ivodi 3 Primer.15 Odredićemo ivod funkcije f(,, ) = 3 ako je (t) = e t, (t) = t i (t) = sin t. Kako su, i realne funkcija jedne promenljive, ira (1) je sledećeg oblika Parcijalni ivodi funkcije f su je d dt = et, f t = df dt = f d 1 1 dt + f d dt + + f d n n dt. () d dt = t i d dt f = 3, = cos t, i () sledi f = 3, i df dt = t4 e t sin 3 t + 4e t t 3 sin 3 t + 3e t t 4 sin t cos t..3.3 Parcijalni ivodi implicitno adatih funkcija f = 3, a kako Neka je F (, ) = 0 realna funkcija jedne realne promenljive data u impicitnom obliku. Postavlja se pitanje kako odrediti ivod avisne promenljive ako je ne možemo iraiti u eksplicitnom obliku kao = f(). Teorema.3 Neka je F definisana na otvorenom skupu R koji sadrži tačku 0 = ( 0, 0 ). Pretpostavimo da važi sledeće: 1) F ( 0 ) = 0, ) parcijalni ivodi 3) F ( 0) 0. F i F postoje i neprekidni su u nekoj okolini tačke 0, Tada F (, ) = 0 implicitno definiše kao funkciju od u okolini tačke 0 i d d = Primer.16 Neka je realne funkcija jedne realne promenljive implicitno data kao 3 + 6 = 4. Navedenu jednačinu možemo apisati kao 3 + 6 4 = 0, te je funkcija F data sa F (, ) = 3 + 6 4. Uslovi prethodne teoreme su ispunjeni, pa je F F d d = 3 4 1 4..

Granična vrednost, neprekidnost, parcijalni ivodi 4 Prethodno tvrdenje se možemo proširiti i na realne funkcije više promenljivih. Ovom prilikom navodimo slučaj funkcije dve promenljive. Teorema.4 Neka je F definisana na otvorenom skupu R 3 koji sadrži tačku 0 = ( 0, 0, 0 ). Pretpostavimo da važi sledeće: 1) F ( 0 ) = 0, ) parcijalni ivodi 0, 3) F ( 0) 0. F, F i F postoje i neprekidni su u nekoj okolini tačke Tada F (,, ) = 0 implicitno definiše kao funkciju od i u okolini tačke 0 i = F F i = F F. (3) Primer.17 Odredićemo parcijelne ivode funkcije dve promeljive implicitno date kao 3 +4 ++ 4 = 3. Kako je F (,, ) = 3 +4 3 ++ 4 3, i (3) sledi = 6 + 4 i = + 1 1 4..4 Zadaci a samostalan rad 1. Odrediti, ako postoje, sledeće granične vrednosti: ( a) lim 3 + 5 3) 3 ; b) lim (,) (,3) (,) (0,0) + 3 7 ; + + c) lim ; d) lim (,) (,1) 3 (,) (0,0) + ; 7 3 + 1 e) lim ; f) lim (,) (0,0) + (,) (0,0) + 1 ; 4 + g) lim ; h) lim (,,) (1,,3) 1 (,,) (0,0,0) + +.. Ispitati neprekidnost sledećih funkcija: a) f(, ) = + + 1 ; b) f(, ) = ln (3 + 4 1) ; + 4

Granična vrednost, neprekidnost, parcijalni ivodi 5 c) f(,, ) = + + ;, (, ) = (0, 0), d) f(, ) = + e) f(, ) = 0, (, ) (0, 0), 3, (, ) = (0, 0), + 1, (, ) (0, 0). 3. Odrediti prve parcijalne ivode sledećih funkcija: a) f(, ) = 4 3 5 + 1; b) f(, ) = ln( + 7); c) f(, ) = e +6 ; d) f(, ) = cos(3) + sin(4); e) f(,, ) = + + ; f) f(,,, t) = ( + + t + t). 4. Odrediti parcijalne ivode drugog reda sledećih funkcija: a) f(, ) = + 3; b) f(, ) = 6 3 4 ; c) f(, ) = sin (3 6); d) f(,, ) = + +. 5. Odrediti parcijalne ivode trećeg reda sledećih funkcija: a) f(, ) = 3 + 7; b) f(, ) = cos 1 ( + 7); c) f(,, ) = ; d) f(,, ) = 5 + 3 + 7 + 11. 6. Odrediti parcijalne ivode po i funkcije f(u, v, w) = 3u 7vw ako je u(, ) = 3 + 4, v(, ) = 7 3 i w(, ) = arctg(). 7. Transformisati ira v(, ) =. = 0, gde je = (u, v) i u(, ) = i 8. Odrediti ivod d/d ako je implicitno dato na sledeći način: a) 6 + 3 = 7; b) sin + sin = 1. 9. Odrediti parcijalne ivode / i / ako je implicitno dato na sledeći način: a) = cos( + + ); b) e + 3 + e = 1.

3 Tangentna ravan, diferencijabilnost, totalni diferencijal, Tejlorova formula 6 3 Realne funkcije više promenljivih: tangentna ravan, diferencijabilnost, totalni diferencijal, Tejlorova formula 3.1 Tangentna ravan Neka je S površ u R 3 data funkcijom = f(, ). Pretpostavimo da funkcija f ima neprekidne parcijalne ivode i da tačka p = ( 0, 0, 0 ) pripada površi S, tj. 0 = f( 0, 0 ). Kako igleda tangentna ravan površ S u tački p? Posmatrajmo prvo ravan = 0. Neka je presek te ravni i površi S kriva obeležena sa C 1. Tačka p pripada ravni = 0, pa samim tim i krivoj C 1 (primetimo da kriva C 1 u potpunosti leži u ravni = 0 ). Neka je kriva C presek ravni = 0 i površi S (slika 3.1). =f(,) C C 1 p 0 0 Slika 3.1. Preseci površi S i ravni = 0 i = 0. U ravni = 0, možemo uočiti tangentu t 1 na krivu C 1 u tački p, a u ravni = 0 tangentu t na krivu C. Pod tangentnom ravni na površ S u tački p podraumevamo ravan koja sadrži obe tangente t 1 i t (videti sliku 3.). Pitanje koje preostaje je kako igleda jednačina ovako konstruisane ravni. Jednačina ravni u prostoru kro datu tačku p = ( 0, 0, 0 ), u opštem slučaju, je oblika α( 0 ) + β( 0 ) + γ( 0 ) = 0, (4) gde su α, β i γ realne konstante. ko je sa (4) data prethodno opisana tangentna ravan, presek sa ravni = 0 ( 0 = 0) je β( 0 ) + γ( 0 ) = 0, odnosno, 0 = β γ ( 0) (u pretpostavku γ 0) i odgovara tangenti t 1. Kao što namo od ranije, a realnu funkciju jedne realne promenljive koeficijent pravca tangente je vrednost prvog

3 Tangentna ravan, diferencijabilnost, totalni diferencijal, Tejlorova formula 7 tangentna ravan t 1 C 1 =f(,) p t 0 0 C Slika 3.. Tangentna ravan površi S u tački p. ivoda u posmatranoj tački. Kako je u slučaju tangente t 1 vrednost promenljive fiksirana ( = 0 ), koeficijent β/γ je jednak parcijalnom ivodu po funkcije f u tački ( 0, 0 ), tj. β γ = f( 0, 0 ). Po istom principu, presek sa ravni = 0 nam daje α γ = f( 0, 0 ), te je tražena jednačina tangentne ravni sledećeg oblika: 0 = f( 0, 0 ) ( 0 ) + f( 0, 0 ) ( 0 ). (5) =1 (-1,1,1) (0,0,1) Slika 3.3. Površ i tangentna ravan i primera 3.1.

3 Tangentna ravan, diferencijabilnost, totalni diferencijal, Tejlorova formula 8 Primer 3.1 Data je površ = cos( + ). Kako je f = f = sin( + ) i f( 1, 1) = f( 1, 1) = sin 0 = 0 tangentan ravan date površi u tački ( 1, 1, 1) je 1 = 0, tj. ravan = 1 (slika 3.3). Primer 3. Odredićemo tangentnu ravan površi = 3 3 u tački (1, 1, 1). Kako je f = 6, f(1, 1) = 6, f = 6 i f(1, 1) = 6, jednačina tražene ravni je 1 = 6( 1) 6( 1), tj. = 6 6 + 1. Napomena 3.1 ko je površ data u implicitnom obliku, tj. sa F (,, ) = c, tangentna ravan u tački 0 = ( 0, 0, 0 ) (tačka 0 pripada površi, tj. F ( 0, 0, 0 ) = c) je data sa ( 0 ) F ( 0) + ( 0 ) F ( 0) + ( 0 ) F ( 0) = 0. Potrebno je naglasiti da funkcija F mora biti diferencijabilna i da svi parcijalni ivodi ne smeju istovremeno biti jednaki nuli (glatka površ). 3. Diferencijabilnost U ovom poglavlju dajemo uopštenje još jednog važnog pojma i Matematike I. Radi veće preglednosti posmatramo realnu funkciju dve promenljive. Definicija 3.1 Neka je = f(, ) realna funkcija dve promenljive definisana na nekom otvorenom skupu. Funkcija f je difrencijabilna u nekoj tački domena ako se njen totalni priraštaj u posmatranoj tački može napisati kao ( ) f = = φ + ψ + d (, ), (0, 0) r(, ) pri čemu je d rastojanje u R, r : R R i lim r(, ) = 0, (, ) (0,0) a funkcije φ and ψ avise samo od promenljivih i (ne i od i ). Definicija diferencijabilnosti u slučaju realne funkcije n promenljivih je potpuno analogna navedenoj. Kao i u Matematici I, diferencijabilnost je u tesnoj vei sa postojanjem ivoda, tj., u ovom slučaju, parcijalnih ivoda.

3 Tangentna ravan, diferencijabilnost, totalni diferencijal, Tejlorova formula 9 Teorema 3.1 ko je funkcija = f(, ) diferencijabilna u tački 0 = ( 0, 0 ) tada prvi parcijalni ivodi u 0 postoje i važi f( 0 ) = f( 0) + f( ( ) 0) + d (, ), (0, 0) r(, ). I teoreme 3.1 sledi da diferencijabilnost garantuje postojanje prvih parcijalnih ivoda. Za raliku od slučaja realne funkcije jedne realne promenljive, obrnuto u opštem slučaju ne važi. Dovoljan uslov a diferencijabilnost je dat narednom teoremom. Teorema 3. ko u okolini tačke 0 funkcija = f(, ) ima neprekidne parcijalne ivode, tada je funkcija f difrencijabilna u tački 0. Takode, lako se može pokaati da i diferencijabilnosti sledi neprekidnost posmatrane funkcije više promenljivih u smislu definicije.. Obrnuto ne mora da važi. 3.3 Totalni diferencijal Ranije smo videli da je diferencijal realne funkcije jedne realne promenljive = f() dat sa df = f ()d i približno je jednak priraštaju funkcije f, tj. f df (videti sliku 3.4) =f() df f tangenta 0 Slika 3.4. Priraštaj i diferencijal realne funkcije jedne realne promenljive. ko posmatramo sada realnu funkciju dve promenljive = f(, ), u pretpostavku da je funkcija diferencijabilna, totalni priraštaj apisujemo kao = f f ( ) + + d (, ), (0, 0) r(, ) gde funkcija r teži ka nuli kada (, ) (0, 0). Pod totalnim diferencijalom funkcije (u onaci df ili d) podraumevamo linearni deo totalnog priraštaja, tj. 0+ df = d = f f +.

3 Tangentna ravan, diferencijabilnost, totalni diferencijal, Tejlorova formula 30 Kako su i neavisne promenljive, njihovi priraštaji i diferencijali se poklapaju, pa totalni diferencijal funkcije = f(, ) definišemo kao df = f f d + d. Primetimo da a dovoljno male vrednosti priraštaja neavisnih promenljivih totalni diferencijal funkcije, analogno slučaju realne funkcije jedne promenljive, aproksimira totalni priraštaj, tj. df f (videti sliku 3.5). f(, ) 0+ 0+ tangentna ravan df f f( 0, 0 ) f( 0, 0 ) (, ) 0 0 (, ) 0+ 0+ Slika 3.5. Totalni priraštaj i totalni diferencijal realne funkcije dva promenljive. Primer 3.3 ko je data funkcija f(, ) = 3 3 +, totalni diferencijal je df = (3 3 + ) d + (3 3 + ) d = (3 3)d + ( 3)d. Pretpostavimo da je data tačka 0 = (1, 1). ko se pomerimo od tačke 0 do tačke (0.98, 1.03) priraštaji neavisnih promenljivih su = 0.0 i = 0.03. Sada, totalni priraštaj funkcije je a totalni diferencijal f( 0 ) = f( 0 +, 0 + ) f( 0 ) = ( (0.98) 3 3(0.98)(1.03) + (1.03) ) 1 = 0.06, df( 0 ) = f( 0) d + f( 0) d = d = 0.03.

3 Tangentna ravan, diferencijabilnost, totalni diferencijal, Tejlorova formula 31 Primetimo da se rešenja ralikuju a samo 4 hiljadita dela pri čemu je iračunavanje totalnog diferencijala bilo natno jednostavnije. Primer 3.4 Pomoću totalnog diferencijala iračunaćemo približno vrednost iraa ln ( 1.98 (1.01) 3). Problem svodimo na iračunavanje vrednost funkcije f u tački (1.98, 1.01), gde je funkcija data sa f(, ) = ln ( 3). Kako je priraštaj približno jednak diferencijalu imamo df( 0 ) f( 0 ) = f( 0 +, 0 + ) f( 0 ) f( 0 +, 0 + ) df( 0, 0 ) + f( 0, 0 ), te ako je 0 = (, 1), = 0.0 i = 0.01, tražena vrednost se približno iračunava na sledeći način f(1.98, 1.01) df(, 1) + f(, 1) = = f(, 1) d + f(, 1) d + f(, 1) 1 3 (1) ( 0.0) + (0.01) + ln 1 13 1 3 = 0.05. Primer 3.5 Dimenije parcele pravougaonog oblika su 0m 50m. Površina ove parce je 1000m. ko je greška koja se javlja pri merenju stranica parcele najviše ±10cm, postavlja se pitanje kolika je najveća greška koja se javlja pri odredivanju površine parcele. Površina parcele je P (a, b) = ab, gde su a i b stranice parcele. Traženu grešku možemo približno iračunati kao totalni diferencijal funkcije P u tački (0, 50) pri čemu a priraštaje neavisnih promenljivih važi a 0.1 i b 0.1. Kako tražimo najveću moguću grešku, pretpostavljamo da važi a = da = 0.1 i b = db = 0.1, te je dp (0, 50) = P (0, 50) a da + odnosno najveća greška inosi 7m. P (0, 50) b db = 50da + 0db = 50 0.1 + 0 0.1 = 7, ko je f realna funkcija n realnih promenljivih sa neprekidnim parcijalnim ivodima, totalni diferencijal je definisan sa df = f 1 d 1 + f d + + f n d n.

3 Tangentna ravan, diferencijabilnost, totalni diferencijal, Tejlorova formula 3 Primer 3.6 Odredićemo totalni diferencijal funkcije f(,,, w) = 3 tg(w 3 ) + w ln() 7 + w. Parcijalni ivodi su f = 6 tg(w3 ) + w 7, f f = 3 w 3 1 + w + w 7 6 te je totalni diferencijal dat sa ( df = 6 tg(w 3 ) + w 7 i = w ln() 7, f w = 9 w 1 + w 6 + ln() + 1, ) d + (w ln() 7) d+ ( ) ( ) 3 w 3 + 1 + w + w 9 w 7 d + 6 1 + w + 6 ln() + 1 dw. 3.3.1 Totalni diferencijali višeg reda Pretpostavimo da funkcija = f(, ) ima neprekidne parcijalne ivode drugog reda. Totalni diferencijal drugog reda, u onaci d f, je diferencijal totalnog diferencijala, tj. d (df), i dat je sa d f = f d + f dd + f d (d je kraća onaka a (d) ). Prethodni ira možemo formalno apisati i u obliku binomne formule: ( d f = d + ) d f, odnosno, ako je u pitanju diferencijal u nekoj odredenoj tački 0 ( d f( 0 ) = d + ) d f 0. Primer 3.7 Odredićemo totalni diferencijal drugog reda funkcije f(, ) = 3 4 11 4. Parcijalni ivodi date funkcije su f = 64 44 3, f = 1 3 11 4, f = 36 f i = 43 44 3, te je traženi totalni diferencijal drugog reda sledećeg oblika f = 64 13, d f = ( 6 4 13 ) d + ( 4 3 44 3) dd + ( 36 ) d. Totalni diferencijal u tački (1, 1) je d f(1, 1) = 16d 40dd + 36d.

3 Tangentna ravan, diferencijabilnost, totalni diferencijal, Tejlorova formula 33 Totalni diferencijal trećeg reda je df 3 = ( d + ) 3 d f = 3 f 3 d3 + 3 3 f d d + 3 3 f dd3 + 3 f 3 d3, u pretpostavku da su parcijalni ivodi trećeg reda neprekidni. Za realnu funkciju dve realne promenljive sa neprekidnim parcijalnim ivodima reda m, totalni diferencijal reda m je dat sa ( d m f = d + ) m d f. U opštem slučaju, ako je f realna funkcija n realnih promenljivih sa neprekidnim parcijalnim ivodima reda m, totalni diferencijal reda m je sledećeg obilka ( d m f = d 1 + d + + ) m d n f. 1 n 3.4 Tejlorova formula U sklopu Matematike I pokaali smo da je realnu funkciju jedne realne promenljive moguće aproksimirati polinomom, odnosno, da a realnu funkciju jedne promenljive važi Tejlorova teorema. Podsećanja radi navodimo Tejlorovu teoremu a realnu funkciju jedne realne promenljive. Teorema 3.3 ko je funkcija g : [a, b] R neprekidna i ima neprekidne sve ivode do s-tog reda na nekom intervalu [a, b] i ima ivod g (s+1) na intervalu (a, b), tada a t, t 0 (a, b) važi s g (k) (t 0 ) g(t) = (t t 0 ) k + r s (t 0, t), (6) k! gde je r s ostatak oblika r s (t 0, t) = k=0 1 (s + 1)! g(s+1) (t 0 + θ(t t 0 )), 0 < θ < 1. Ostatka r s u prethodnoj teoremi je dat u Lagranžovom obliku. Formulom (6) funkcija g je aproksimirana polinomom stepena s sa greškom r s, tj. g(t) s k=0 g (k) (t 0 ) k! (t t 0 ) k. Tejlorovu formulu datu prethodnom teoremom možemo proširiti na realne funkcije više promenljivih. Ovom prilikom dajemo proširenje Tejlorove formule (6) na funkciju dve promenljive.

3 Tangentna ravan, diferencijabilnost, totalni diferencijal, Tejlorova formula 34 Posmatrajmo realnu funkciju dve promenljive f : R, gde je R otvoren i konveksan skup (ako,, tada i + t( ), a svako t [0, 1]). Neka je data tačka 0 = ( 0, 0 ) i neka je h = (, ) priraštaj neavisnih promenljivih. ko funkcije f ima neprekidne parcijalne ivode do s-tog reda i parcijalne ivode (s + 1)-og reada, uopštenje teoreme 6 nam daje sledeće f( 0 + h) = f( 0 ) + gde je r s ostatak oblika r s ( 0, 0 + h) = s k=1 ( 1 k! + ) (k) f( 0 ) + r s ( 0, 0 + h) (7) ( 1 (s + 1)! + ) (s+1) f( 0 + θh). Kako a male vrednosti priraštaja neavisno promenljivih važi = d i = d, to formulu (7) možemo apisati u obliku f( 0 + d, 0 + d) = f( 0 ) + df( 0 ) + 1! d f( 0 ) + + 1 s! ds f( 0 ) + r s, r s = 1 (s + 1)! d(s+1) f( 0 + θd, 0 + θd), pri čemu je d k f totalni diferencijal reda k funkcije f. Drugim rečima, funkcija f je u okolini tačke 0 aproksimirana polinomom s-tog stepena od dve promenljive na sledeći način f() f( 0 ) + df( 0 ) + 1! d f( 0 ) + + 1 s! ds f( 0 ), gde je = 0 + h (pripada okolini tačke 0 ). Primer 3.8 Ravićemo funkciju f(, ) = + u okolini tačke 0 = (1, 3) po Tejlorovoj formuli datoj sa (7) do ostatka r. Parcijalni ivodi prvog i drugog reda date funkcije su f = ( + )+1, f = + ln, f f = ( + )( + 1), te je f = + ln i f = +1 (1 + ( + ) ln ), f(1, 3) = 5, f(1, 3) = 0, f(1, 3) = 0, f(1, 3) = 1 i f(1, 3) = 0.

3 Tangentna ravan, diferencijabilnost, totalni diferencijal, Tejlorova formula 35 U okolini tačke (1, 3) važi f(, ) = f(1, 3) + f(1, 3) + f(1, 3) + 1 ( ) f(1, 3) ( ) + f(1, 3) + f(1, 3) ( ) + r!. Kako je priraštaj neavisnih promenljivih u ovom primeru = 0 = 1 i = 0 = 3, traženi ravoj funkcije je + = 1 + 5( 1) + 10( 1) + ( 1)( 3) + r. Ostatak u ovom primeru je r = 1 3! ( D 1 + D ) (3) f(1 + θ, 3 + θ ), a 0 < θ < 1. 3.5 Zadaci a samostalan rad 1. Odrediti tangentne ravni a sledeće površi: a) = + 4 u tački (, 1, 8); b) = u tački (, 4, 1); c) = ln( + ) u tački ( 1, 3, 0); d) = e ln u tački (, 1, 0).. Odrediti totalni diferencijal sledećih funkcija: a) = 5 3 7 ; b) = sin(3 5 + ); c) u = cos(); d) w = ln 4 + 4 + 4 + u 4. 3. ko je = 6 3 4 i ako se (, ) menja od (1, ) do (1.0,.03) odrediti totalni priraštaj i totalni diferencijal date funkcije. 4. Pomoću totalnog diferencijala približno iračunati vrednosti sledećih iraa: a) ( 99 + 3 14 ) 4 ; b) (3.0) + (1.97) + (5.99). 5. Odrediti totalni diferencijal trećeg reda funkcije u(,, ) = sin( + ). 6. Raviti funkciju f(, ) = ln( + + 5) u okolini tačke 0 = ( 0, 0 ) = (0, 0) po Tejlorovoj formuli do ostatka r 3. 7. U okolini tačke (1, 1) raviti po Tejlorovoj formuli do drugog diferencijala funkciju f(, ) = 3 +. 8. Raviti po Tejlorovoj formuli u okolini tačke (0, 0) do drugog diferencijala funkcije: a) f(, ) = ln(3 + 3 + 1 ); b) f(, ) = arctg 1 +.

4 Ivod u pravcu, gradijent 36 4 Realne funkcije više promenljivih: ivod u pravcu, gradijent 4.1 Ivod u pravcu Neka je = f(, ) realna funkcija dve realne promenljive. Kada govorimo o parcijalnom ivodu funkcije f po u tački 0 = ( 0, 0 ) posmatramo presek površi = f(, ) i ravni = 0, a parcijalni ivod f( 0 ) f( 0 +, 0 ) f( 0, 0 ) = lim 0 je koeficijent pravca tangente na krivu C 1 dobijenu u pomenutom preseku. Možemo reći da je parcijalni ivod po apravo ivod u pravcu odredenom pravom = 0. Primetimo da je prava = 0 paralelna nosaču jediničnog vektor i (nosač je - osa), te a parcijalni ivod po kažemo da je ivod u pravcu vektora i (slika 4.1, levo). Takode, parcijalnom ivodu po odgovara pravac odreden pravom = 0. Kako jedinični vektor j ima nosač paralelan pravoj = 0, a parcijalni ivod po možemo reći da je ivod u pravcu vektora j (slika 4.1, desno). =f(,) = 0 =f(,) = 0 C 1 (,, ) 0 0 0 ( 0, 0, 0 ) C i 0 j 0 Slika 4.1. Napomena 4.1 Radi kraćeg apisa, umesto uobičajene onake a vektor u koristimo u, te vektor u ravni apisujemo kao u = a i + b j, gde su i i j ortovi (slika 4., levo), ili preko koordinata kao u = (a, b) (u koordinatnom apisu ortovi su dati kao i = (1, 0) i j = (0, 1)). Vektor u prostoru R 3 će biti dat sa u = a i + b j + c k, gde su i, j i k ortovi u R 3 (slika 4., desno) odnosno, sa u = (a, b, c) (sada je i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) i k = (0, 0, 1)). ko je u vektor u prostoru R n apisujemo ga preko koordinata kao u = (u 1, u,..., u n ). Intenitet vektora u je u = u 1 + u +... + u n, a pod jediničnim vektorom podraumevamo vektor inteniteta 1.

4 Ivod u pravcu, gradijent 37 1 j i 1 1 i 1 k j 1 Slika 4.. Ortovi u prostoru R i prostoru R 3. Nameće se pitanje kako igleda ivod u pravcu nekog proivoljnog vektora u = ai + bj u tački 0 = ( 0, 0 ). Odnosno, kako odrediti koeficijent pravca tangente na krivu C 3 koju dobijamo u preseku površi = f(, ) i ravni koja sadrži tačku 0 = ( 0, 0, 0 ) (pri čemu je 0 = f( 0, 0 )), a paralelna je nosaču vektora u = a i + b j i -osi (slika 4.3). =f(, ) C 3 ( 0, 0, 0 ) u=ai+bj Slika 4.3. Definicija 4.1 Neka je = f(, ) realna funkcija dve promenljive i neka je u = a i + b j jedinični vektor. Ivod funkcije f u pravcu vektora u u tački 0 = ( 0, 0 ) je f( 0 + ha, 0 + hb) f( 0, 0 ) D u f( 0 ) = lim, (8) h 0 h ako granična vrednost postoji. U slučaju diferencijabilne funkcije, ivod u pravcu je u tesnoj vei sa parcijalnim ivodima. Teorema 4.1 Neka je = f(, ) realna funkcija dve promenljive i neka je u = ai + bj jedinični vektor. ko je funkcija f diferencijabilna, tada ivod u pravcu