Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens se može zapisai g Kvadriramo: g Zao ćemo u izrazu brojnik i nazivnik podijelii s : + + g + + 9 [ uvrsimo g ] 7 + 7g + 7 + 7 + Vježba Ako je g, izračunaj + + Rezula: 8 Zadaak (Nina, hoelijerska škola) Nađi vrijednosi osalih rigonomerijskih funkcija ako je zadana jedna od njih i njezina vrijednos iznosi: 7π α, α, π 9 Rješenje Najprije odredimo u kojem je kvadranu ku α: Zao pišemo: 7π π + π π π π π E E E + E + π E E(π) E(π + π) E(π)
π α, α, π IVkvadran 9 Iz osnovne rigonomerijske relacije nađemo vrijednos funkcije us: α + α, α + α + α 9 8 8 8 α α α [ vadimo korijen] 8 8 8 α / α ± ± 8 8 9 Ponovimo predznake rigonomerijskih funkcija u sva čeiri kvadrana! I kvadran II kvadran III kvadran IV kvadran + + + + g + + cg + + Budući da je us negaivan u čevrom kvadranu, vrijedi: α 9 Za angens je: α 9 g α α 9 Za koangens je: α 9 cg α ili cg α α g α 9 Vježba Nađi vrijednosi osalih rigonomerijskih funkcija ako je zadana jedna od njih i njezina vrijednos iznosi: 5 π α, α, π Rezula: 5 α, g α, cg α 5 Zadaak (Slavica, gimnazija) m Odredi g ( ) ako je je g m +, g y m + Rješenje Vrijednos izraza g ( ) naći ćemo pomoću adicijske formule za angens zbroja:
g + g y g ( ), g g y ako da uvrsimo zadane podake za g i g y: m + g + g y g ( ) m + m + g g y m m + m + [u brojniku dvojnog razlomka zbrojimo razlomke ( m + ) ( m + ) ( m + ) ( m + ) m m + i, a u nazivniku ih pomnožimo] m + m m m + + m + m + m + m + + m m m + m + m + m + + + m m m m m m + m + ( m + ) ( m + ) m + m + m + m + m + ( + ) ( + ) ( m + ) ( m + ) kraimo dvojni razlomak s m + m + m + m m + m + m + m + m + m + m + m + m m + m + Vježba Odredi g ( ) ako je je g, g y Rezula: Zadaak (Slavica, gimnazija) Provjeri ( π ) Rješenje Uporabi ćemo adicijsku formulu za kous (formulu za kous razlike): Sada je ( y) y + y ( π ) π + π [podsjeimo se da je π, π ] Vježba Provjeri + + ( π + ) Rezula: Točno je Zadaak 5 (Mira, gimnazija) Izračunaj vrijednos osalih rigonomerijskih funkcija broja ako je jednak
y 7π,, π, < y < Rješenje 5 Najprije odredimo kvadran Sa slike je vidljivo da je o IV kvadran U IV kvadranu je us negaivan, kous poziivan, angens negaivan i koangens negaivan Uporabi ćemo osnovnu rigonomerijsku relaciju koja povezuje us i kous: ''Vadimo'' drugi korijen da bismo dobili us: U IV kvadranu us je negaivan pa vrijedi: + > / ± y a a korisimo pravilo b b ( y ) ( y ) y y + korisimo formule za kvadra zbroja i razlike: (a+b) a + ab + b i ( a b) a ab + b + y + y y y ( ) ( ) ( ) + y y a a y y korisimo pravilo za korijene b b ( ) Tangens se dobije iz relacije: y y g [ kraimo dvojni razlomak ] y y Sada je koangens jednak: y cg g y Vježba 5 Izračunaj vrijednos osalih rigonomerijskih funkcija broja ako je jednak
Rezula: 5 5 8, g, cg 7 8 5 Zadaak 6 (Nina, gimnazija) Ako je g, izračunaj 8 π,, 7 ( ) Rješenje 6 inačica U brojniku prepoznajemo razliku kubova: a b (a b)(a + ab + b ) ( + + ) ( + + ) ( ) + + + + brojnik i nazivnik dijelimo s + + + g + g + + + 9 + + g g + + 9 6 + + inačica U nazivniku prepoznajemo kub razlike: (a b) a a b + ab b Vježba 6 Ako je g, izračunaj Rezula: 5 7 ( ) + brojnik i nazivnik dijelimo s da dobijemo angens + g g g + g + 7 6 7 7 + 9 8 da dobijemo angens 5
Zadaak 7 (Nina, gimnazija) Ako je + Rješenje 7 Kvadriramo cijelu jednakos: +, izračunaj + + > + + + + / > ( + ) ( + ) > > + + > + > + > Vježba 7 Rezula: > Ako je +, izračunaj Zadaak 8 (Marko, gimnazija) Dokaži da izraz ne ovisi o broju : 6 + 6 + > / : > Rješenje 8 Ako izraz ne ovisi o broju, onda bi rebao bii jednak nekom realnom broju Uporabi ćemo formulu za zbroj kubova: a + b (a + b)(a ab + b ) 6 + 6 + ( ) + ( ) + ( + )( + ) + ( + ) + + + + + [dobili smo kvadra zbroja: a + ab + b (a + b) ] ( + ) Vježba 8 Dokaži da izraz ne ovisi o broju : + + Rezula: Zadaak 9 (Mira, gimnazija) Pojednosavni izraz: a ( π π ) + b ( + ) Rješenje 9 Uporabi ćemo formule za kous razlike i us zbroja: ( y) y + y, ( ) y + y > 6
π π π π π π a ( ) + b ( + ) a + + b + π π, a ( + ) + b ( + ) a + b Vježba 9 Pojednosavni izraz: a ( π ) + b( π + ) Rezula: (a b) Zadaak (Pera, gimnazija) Pojednosavni izraz: (π ) + (π + ) + Rješenje Najprije ćemo izračunai (π ) i (π + ) Uporabi ćemo formule za us razlike i us zbroja: ( y) y y, ( ) y + y Računamo: (π ) π π [ vrijedi π, π ], (π + ) π + π [ vrijedi π, π ] + Zadani izraz možemo ovako napisai: (π ) + (π + ) + ( ) + + + + + ( + ) Vježba Pojednosavni izraz: (π ) + (π + ) + Rezula: Zadaak (Mira i Gabi, gimnazija) Izračunaj Rješenje inačica Uporabi ćemo g cg g cg cg g g g g cg g g g g g g g cg g g g g g g g g g inačica Sada angens i koangens definiramo pomoću usa i kousa: g, cg 7
i o uvrsimo u zadaak: g cg g cg Vježba Izračunaj Rezula: g cg + + g cg Zadaak (Miš, gimnazija) Dokaži: g + g Rješenje Tangens definiramo pomoću usa i kousa: g Kous dvosrukog kua je: Sada je n + g + + + Vježba Dokaži: Rezula: g si Točno + g g Zadaak (Jelena, hoelijerska škola) Dokaži: + Rješenje Sinus dvosrukog kua je: Kous dvosrukog kua je: Sada je 8
+ + + + Vježba Dokaži: Rezula: Točno Zadaak (Tanja, hoelijerska škola) Dokaži: + + co + Rješenje Uporabi ćemo formulu za razliku kvadraa: Pišemo: Kous dvosrukog kua je: a b (a b)(a + b) s ( ) ( + ) ( ) ( + ) + Vježba Dokaži: Rezula: Točno + Zadaak 5 (Jelena, hoelijerska škola) Pojednosavni: 6 6 + + Rješenje 5 inačica Ponovimo formule koje ćemo uporabii u rješavanju zadaka: a + b (a + b)(a ab + b ), +, a + b (a + b ) a b 9
6 6 + + + + + + + + + inačica 6 6 6 6 6 6 + + + + + + + + + + + + + + + + + + Vježba 5 Pojednosavni: Rezula: + + + Zadaak 6 (Miš, gimnazija) Izračunaj Rješenje 6 Ponovimo kako se rješava rigonomerijska jednadžba Rješenja su: Grafički se o može ovako prikazai: a, a α + k π, π α + k π, k je cijeli broj
Zadana jednadžba glasi: Iz ablica se očia da je 5 Dakle, ku α Rješenja su: Izraženo u radijanima bi će: Vježba 6 Izračunaj: + k 6, 8 + k 6 5 + k 6 π + k π, 6 π 5π π + k π + k π 6 6 Rezula: 6 + k 6, 8 6 + k 6 + k 6 Zadaak 7 (Miš, gimnazija) Izračunaj Rješenje 7 Najprije uvedemo supsiuciju: pa se zadana jednadžba ransformira u Ponovimo kako se rješava rigonomerijska jednadžba Rješenja su: Budući da je grafički o možemo prikazai ovako: a, a α + k π, π α + k π, k je cijeli broj 5
Transformirana jednadžba glasi: Iz ablica se očia da je 5 Dakle, ku α Rješenja ransformirane jednadžbe su: Izraženo u radijanima bi će: + k 6, 8 + k 6 5 + k 6 π + k π, 6 π 5π π + k π + k π 6 6 Konačno se vraćamo na supsiuciju i nađemo rješenja zadane jednadžbe: + k 6 / : > 5 + k 8, 5 + k 6 / : > 75 + k 8 Izraženo u radijanima bi će: π + k π π + k π /: π + k π, 6 6 Vježba 7 Izračunaj 5π + k π 5π + k π /: 5π + k π 6 6 Rezula: + k 8, 6 + k 8 Zadaak 8 (Miš, gimnazija) Riješi susav rigonomerijskih jednadžbi: + y, + y Rješenje 8 Iz prve jednadžbe izračunamo ili y i o uvrsimo u drugu jednadžbu Na primjer, iz prve jednadžbe je y Zamjenom u drugoj jednadžbi dobijemo: + + Cijelu jednadžbu podijelimo brojem i jednadžbu korjenujemo: /: / ± ±
Iz prve jednadžbe + y slijedi da je Elemenarne rigonomerijske jednadžbe riješimo na sandardan način y i y, i y, Skup rješenja zadanog susava rigonomerijskih jednadžbi možemo ovako zapisai: ( ) k + k 8, y ± + k 6 i ( ) k + k 8, y ± 6 + k 6 Vježba 8 Riješi susav rigonomerijskih jednadžbi: + y, 6 + 6 y Rezula: ( ) k + k 8, y ± + k 6 i ( ) k + k 8, y ± 6 + k 6 Zadaak 9 (Miš, gimnazija) Riješi susav rigonomerijskih jednadžbi: π y, + y Rješenje 9 Drugu jednadžbu ransformiramo koriseći formulu za prevaranje zbroja u produk (formule ransformacije!): y + y Zao će bii: y Iz prve jednadžbe izračunamo: π y π y /: i o uvrsimo u drugu jednadžbu: y π Naša jednadžba sada ima oblik: To je elemenarna rigonomerijska jednadžba: π π + k π + k π / π + k π Sada posavimo susav jednadžbi:
π π ( k + 5) y 6 π k π y ( k + ) 6 Vježba 9 Riješi susav rigonomerijskih jednadžbi: π y, + y π ( k + ) Rezula: π y ( k + ) Zadaak (Miš, gimnazija) Riješi susav rigonomerijskih jednadžbi: + + + y, + y, ako su <, y < 8 Rješenje Obje jednadžbe ransformiramo koriseći formule za prevaranje zbroja u produk (formule ransformacije!): y, y Tada je: Prvu jednadžbu podijelimo drugom: Vrijednos y + y +, y + g 5 y y + + uvrsimo u bilo koju gornju jednadžbu pa dobijemo: 5 y + 6 Važno je zapamii da se ova jednadžba može i ovako zapisai: Prema ome možemo pisai y + 6 + 6 5 + 6 5 (6 5 ) 5 y 5 y
Konačno iz susava jednadžbi 5, y, slijedi 5 / 9 6 y y y Vježba Riješi susav rigonomerijskih jednadžbi: y, + y, ako su <, y < 8 Rezula:, y 5