1 Banachovi prostori. 1.1 Linearni vektorski prostori. Linearni vektorski prostori

1 Banachovi prostori 1.1 Linearni vektorski prostori Linearni vektorski prostori Definicija 1.1. Neka je Φ ili skup realnih (R) ili skup kompleksnih (C) brojeva. Neprazan apstraktan skup V, snabdjeven sa dvije binarne operacije + : V V V (sabiranje) i : Φ V V (množenje skalarom) je (realan ili kompleksan) linearan vektorski prostor ako i samo ako su za sve a,b Φ i sveu,v,w V zadovoljeni sljedeći uslovi: 1. u + v V (zatvorenost operacije sabiranja) 2. u+(v +w) = (u+v)+w (asocijativnost sabiranja) 3. ( V)( u V) +u = u (egzistencija neutralnog elementa za sabiranje) 4. ( u V)( u V) u+u = (egzistencija inverznog elementa za sabiranje) 5. u+v = v +u (komutativnost sabiranja) 6. a u V (zatvorenost operacije množenja sa skalarom) 7. a(bu) = (ab)u (asocijativnost množenja sa skalarom) 8. ( 1 Φ)( u V) 1 u = u (egzistencija neutralnog elementa za množenje skalarom) 9. a (u + v) = a u + a v (distributivnost množenja skalarom u odnosu na sabiranje) 1. (a+b) u = a u+b u (distributivnost u odnosu na sabiranje skalara) Elemente skupa Φ nazivamo skalarima, a elemente skupa V nazivamo vektorima. Množenje skalarom, a u, uobičajeno zapisujemo sa au, a za izraz u +( v) koristimo kraći zapis sa u v. Gornja definicija radi sa proizvoljnim apstraktnim skupomv, ne uzimajući u obzir o kakvoj vrsti elemenata je riječ. Tako skupv može biti skup realnih brojeva, ali tako de može biti skup beskonačnih nizova, skup integrabilnih funkcija, skup matrica i sl. U ispitivanju da li je V linearan vektorski prostor, prije ispitivanja svih gornjih deset osobina, uobičajeno je prvo ispitati 1

Da li V sadrži nula element? Da li jev zatvoren u odnosu na operacije sabiranja i množenja skalarom? Ukoliko je odgovor negativan na jedno od ovih pitanja, V nije linearan vektorski prostor. Primjer 1.2. Za 1 p < +, posmatrajmo prostor l p (Φ), svih sa p-tim stepenom sumabilnih nizova u Φ (realnih za Φ = R ili kompleksnih za Φ = C), { } l p (Φ) = x = (x n ) n N x n Φ(n N), n N x n p < +. Zax,y l p (Φ) i λ Φ, neka je x+y def = (x n +y n ) n N, λx def = (λx n ) n N. Lako se provjerava da sa ovako definisanim operacijama l p (Φ) zaista jeste linearan vektorski prostor. Jedino nije jasna zatvorenost operacije "+", a to obrazlažemo sljedećim rasu divanjem. ( n n ) x n +y n p 2 p ( x n p + y n p ) 2 p ( x n p + y n p ) < +. Na isti način možemo i na l (Φ) definisati operacije sabiranja i množenja skalarom, sa čime je i l (Φ) linearan vektorski prostor. 1.2 Normirani prostori Definicija 1.3. Neka je X linearan vektorski prostor na kome je definisana funkcija : X R + {}, sa sljedećim osobinama: 1. ( x X) x, 2. x =, ako i samo akox =, 3. ( λ Φ)( x X) λx = λ x, 4. ( x,y X) x+y x + y. Tada za funkciju kažemo da je norma nax, a zax kažemo da je normiran linearan vektorski prostor. 2

Primjer 1.4. Primjeri normi na nekim poznatim nam skupovima: 1. Za x c ili x c, x = sup x n. n N 2. Za x l p (1 p < ), x = 3. Za x l, x = sup x n. n N ( 4. Za x C[a,b], x = max a t b x(t). x i p ) 1 p. ( 5. Za x L p (Ω) (1 p < ), x = x(t) p dt Ω ) 1 p. Definišimo sada pomoću norme, funkciju d : X X R + {}, na sljedeći način d(x,y) = x y, x,y X. Nije teško provjeriti da ovako definisana funkcija zadovoljava sve uslove za metriku, pa je na ovaj način uvedena metrika na X, za koju kažemo da je inducirana normom u datom prostoru. Samim tim imamo da je svaki normiran linearan vektorski prostor ujedno i metrički prostor, te sve što je rečeno za metričke prostore vrijedi i za normirane prostore. Definicija 1.5. Dva normirana prostora (X, ) i (Y, ) su izometrički izomorfni, ili jednostavnije izometrični, ako postoji izomorfizam f : X Y, takav da za proizvoljan x X vrijedi f(x) Y = x X. 1.3 Banachovi prostori Iz metričkih prostora preuzimamo i definiciju kompletnosti, tj. normiran prostor je kompletan, ako je u njemu svaki Cauchyjev niz konvergentan. Definicija 1.6. Kompletan, normiran, linearan vektorski prostor se naziva Banachov prostor. Primjer 1.7. Neki od standardnih primjera Banachovih prostora suc,c,l p (1 p ),C[a,b],L p [a,b], na kojima su norme uvedene kao u Primjeru 1.4. Primjer 1.8. Posmatrajmo skup C[, 2], neprekidnih funkcija na segmentu [, 2]. Za x C[,2] stavimo x = 2 3 x(t) dt,

čime smo definisali normu nac[,2]. Posmatrajmo sada sljedeći niz funkcija 1 ; x [,1) f n (x) = 1+n nx ; x [ ] 1,1+ 1 n ; x (, n N. 1+ 1 n,2] 1 f n f 2 f 1 1 2 Za proizvoljnen,m N, n m, imamo f n f m = 1 1 2 n 1 m, (n,m ). Dakle,(f n ) n N je Cauchyjev niz. Me dutim, očigledno daf n f (n ), gdje je { 1 ; x [,1) f (x) = ; x [1,2] ali f / C[,2], tj. dati Cauchyjev niz nije konvergentan. Teorema 1.9. Svaki normiran linearan vektorski prostor se može kompletirati, tj. za svaki normiran linearan vektorski prostor X, postoji kompletan normiran linearan vektorski prostorx, takav da je X svuda gust u X. Definicija 1.1. Neka je X Banachov prostor i neka je Y X. Ako je Y sam za sebe Banachov prostor u odnosu na algebarsku i metričku strukturu koju u njemu inducira odgovarajuća struktura iz X, kažemo da je Y Banachov potprostor od X. Lema 1.11. Svaki zatvoreni vektorski potprostor Banahovog prostora je Banachov potprostor. Teorema 1.12. Svaka dva konačnodimenzionalna linearna vektorska prostora, iste dimenzije, su izomorfni. Posljedica 1.13. Svaki konačnodimenzionalan normiran linearan vektorski prostor je kompletan. 4

2 Linearni operatori Neka sux iy dva proizvoljna prostora. PreslikavanjeA : X Y nazivamo operator, pri čemu koristimo standardnu definiciju preslikavanja. Dakle, pod terminom operator podrazumijevamo najopštiji oblik preslikavanja, tj. kada se područje originala nalazi u proizvoljnom prostoru X, a područje slika u proizvoljnom prostoru Y. SaD A X ćemo označavati domen preslikavanja operatoraa i podrazumijevamo da je on linearan vektorski prostor. SaR A Y (ili sarang(a)) označavamo područje slika ili kodomen operatora A. Za x X, djelovanje operatora A uobičajeno ćemo zapisivati saax, umjestoa(x). Definicija 2.1. Za operator A : X Y kažemo da je aditivan ako i samo ako za proizvoljnex 1,x 2 D A X, vrijedi A(x 1 +x 2 ) = Ax 1 +Ax 2. Definicija 2.2. Za operatora : X Y kažemo da je homogen ako i samo ako vrijedi ( x D A X)( λ Φ) A(λx) = λax. Definicija 2.3. Za operator A : X Y kažemo da je linearan operator ako i samo ako je on istovremeno aditivan i homogen, tj. ako vrijedi ( x 1,x 2 D A X)( λ,µ Φ) A(λx 1 +µx 2 ) = λax 1 +µax 2. Definicija 2.4. Neka je A : X Y linearan operator. Skup Ker(A) = {x X Ax = }, nazivamo jezgro operatora ili nul-prostor operatora. Skup nazivamo rang operatora A. Rang(A) = {y Y ( x X)f(x) = y}, Teorema 2.5. Neka je A : X Y linearan operator. Tada vrijedi: 1. Ker(A) je potprostor od X. 2. Rang(A) je potprostor od Y. 3. Ako su X i Y konačnodimenzionalni prostori onda je dim(x) = dim(ker(a)) + dim(rang(a)). Definicija 2.6. Za linearan operator A : X Y kažemo da je neprekidan u tački x D A ako i samo ako za svaku okolinu V tačke Ax, postoji okolina U tačke x, tako da je za svakox U, Ax V. 5

Ako su X i Y metrički prostori, gornju definiciju iskazujemo sa ( ε > )( δ = δ(ε) > )( x D A )(d X (x,x ) < δ d Y (Ax,Ax ) < ε), a u normiranim prostorima sa ( ε > )( δ = δ(ε) > )( x D A )( x x X < δ Ax Ax Y < ε). Kažemo da je linearan operator neprekidan na skupu D ako je neprekidan u svakoj tački skupad. Definicija 2.7. Neka je A : X Y linearan operator. Kažemo da je A ograničen linearan operator ako važi ( M > )( x X) Ax Y M x X. (1) Infimum svih brojeva M za koje važi (1) nazivamo norma operatora A i označavamo je sa A X Y ili jednostavno sa A, podrazumijevajući djelovanje operatora. Linearan operator je ograničen ukoliko mu je norma konačna i pri tome onda vrijedi ( x X) Ax Y A X Y x X. Teorema 2.8. Linearan operator je neprekidan ako i samo ako je ograničen. Teorema 2.9. Neka je A : X Y linearan operator. Operator A je neprekidan ako i samo ako ograničene skupove izx preslikava u ograničene skupove uy. U ispitivanju ograničenosti proizvoljnog operatora A : X Y prvo nastojimo pokazati da za svako x X vrijedi Ax M x, za neko M > (po mogućnosti najbolju aproksimaciju), čime ustvari pokažemo ograničenost operatora ( A M). Pokazati da je A = M znači naći konkretan element x X, za koga je Ax = M x. Ovo bi značilo da je A M, što sa ranije pokazanim daje ukupno A = M. Primjer 2.1. Posmatrajmo operator T : L 2 (a,b) L 2 (a,b) (a,b R, a < b), zadat sa Tx(t) = f(t)x(t), gdje je f C[a, b]. Linearnost se jednostavno pokazuje, a za ograničenost imamo Tx = ( b f(t)x(t) 2 dt a max a t b f(t) )1 2 ( b x(t) 2 dt a ( b = f(t) 2 x(t) 2 dt Dakle, Tx L2(a,b) f C[a,b] x L2(a,b), iz čega onda imamo T f C[a,b]. a )1 2. )1 2 6

Kako je f neprekidna funkcija na segmentu [a,b], postoji c [a,b] u kojoj funkcija uzima maksimalnu vrijednost (ne gubeći na opštosti, neka je c (a,b)). Za n N, posmatrajmo funkcije { 1 ; t c < 1 x n (t) = n ; inače Tada imamo Tx n x n = n 2 ( c+ 1 n c 1 n f(t) 2 dt )1 2 f(c), (n ), zato što je f neprekidna funkcija. Iz ovoga onda zaključujemo da je T = f(c) = max a t b f(t) = f C[a,b]. Skup svih ograničenih linearnih operatora koji djeluju sa prostora X u prostor Y označavat ćemo sa L(X,Y). Na L(X,Y) možemo definisati operacije sabiranja i množenja skalarom. Neka su A,B L(X,Y) i neka jeλ Φ. Zax X definišemo (A+B)x def = Ax+Bx, (λa)x def = λax. Pri tome je D A+B = D A D B i D λa = D A. Neka su x,y X i λ,µ,α Φ. Tada imamo (A+B)(λx+µy) = A(λx+µy)+B(λx+µy) = λax+µay +λbx+µby = λ(a+b)x+µ(a+b)y, i αa(λx+µy) = α(λax+µay) = αλax+αµay = λ(αa)x+µ(αa)y. Dakle, A + B i αa su linearni operatori. Osim toga vrijedi (A+B)x = Ax+Bx Ax + Bx ( A + B ) x, x X, (αa)x α A x, pa zaključujemo da su oni i ograničeni operatori, tj. A+B,αA L(X,Y), čime smo pokazali da je L(X, Y) linearan vektorski prostor. Šta više, vrijedi Teorema 2.11. Neka jex proizvoljan normiran prostor iy Banachov prostor. L(X,Y) je Banachov prostor. 7

2.1 Inverzni operator Neka je A : X Y linearan operator čiji je domen D A X i kodomen R A Y. Ukoliko za svako y R A, jednačina y = Ax ima jedinstveno rješenje x D A, onda kažemo da postoji inverzno preslikavanje, u oznacia 1, preslikavanjaaizapisujemo x = A 1 y. Pri tome je D A 1 = R A i R A 1 = D A. Dakle, za postojanje inverznog operatora linearnog operatora A : D A R A, dovoljno je da A bude injektivno preslikavanje. Teorema 2.12. Ako postoji, inverzni operator linearnog operatora je i sam linearan operator. Teorema 2.13. Ako postoji inverzni operator operatora A, onda vrijedi ( A 1) 1 = A. Teorema 2.14. Neka je A : X Y linearan operator. A ima ograničen inverzan operator nar A ako i samo ako vrijedi Pri tome vrijedi A 1 1 m. ( m > )( x X) Ax m x. (2) Lema 2.15. Neka je M svuda gust skup u Banachovom prostoru X. Tada se svaki nenula vektorx X može prikazati u formi gdje su x n M (n N), takvi da je x = x n, n=1 x n 3 2 n x, n N. Teorema 2.16. Banachov teorem o inverznom operatoru Neka je A ograničen linearan operator koji obostrano jednoznačno preslikava Banachov prostor X na Banachov prostory. Tada je i inverzni operatora 1 tako de ograničen. 3 Linearni funckionali Izučavajući operatore i njihove osobine, mi smo ustvari posmatrali preslikavanja sa proizvoljnog protora X u proizvoljan prostor Y. Ukoliko prostor Y preciziramo, tojest ukoliko je Y = R ili Y = C, onda takvim operatorima dajemo poseban naziv. Neka jex proizvoljan linearan prostor. Preslikavanjef : X Φ, gdje jeφ = R ili Φ = C, nazivamo funkcional. Dakle, fukcionali su specijalna vrsta operatora, pa sve iskazano o operatorima vrijedi i za funkcionale. Tako imamo, za funkcional f : X 8

Φ kažemo da je aditivan, ako za proizvoljnex,y X vrijedif(x+y) = f(x)+f(y), a ako i za proizvoljanλ Φ vrijedi f(λx) = λf(x), kažemo da je funkcional homogen. Za homogen i aditivan funkcional jednostavno kažemo da je linearan funkcional. I normu funkcionala definišemo kao normu operatora, stim da normu u kodomenu zamjenjujemo sa modulom, f(x) f(x) f = sup = sup = sup f(x). x X\{} x x 1 x x =1 Primjer 3.1. Neka jea = (a 1,a 2,...,a n ) R n proizvoljan fiksan element. Tada je sa f(x) = n a i x i, x = (x 1,x 2,...,x n ), definisan linearan funkcionalf : R n R. Primjer 3.2. Neka je x C[a, b] proizvoljan. Tada je sa f(x) = b definisan linearan funkcionalf : C[a,b] R. Za fiksiranot [a,b], sa a x(t)dt, g(x) = x(t ) je tako de definisan linearan funkcional na C[a, b]. Primjer 3.3. Na prostorul p (1 p + ) primjer linearnog funkcionala je gdje je x = (x k ) k N l p. f(x) = x k, k N, Skup svih linearnih neprekidnih funkcionala, definisanih na normiranom linearnom vektorskom prostorux, označavamo sa X. Dake, saglasno odgovarajućem skupu za operatore imamo X = L(X,Φ). Na osnovu Teorema 2.11, prostor X je Banachov prostor jer je Φ takav, i nazivamo ga dualni, adjungovani ili konjugovani prostor prostora X. 3.1 Geometrijski smisao Neka je f : X R proizvoljan linearan funkcional definisan na linearnom vektorskom prostoru X. Posmatrajmo sve elemenata x X koji zadovoljavaju jednačinu f(x) =. 9

Skup svih ovakvih x X nazivamo jezgro funkcionala f i označavamo ga sa Ker(f) = {x X f(x) = }. Jezgro funkcionala je vektorski potprostor prostora X. Zaista, za x, y Ker(f) i za proizvoljneλ,µ Φ imamo f(λx+µy) = λf(x)+µf(y) =. Me dutim, jezgro funkcionala ne mora biti potprostor prostora X, tj. on nije obavezno zatvoren skup. Šta više, vrijedi Teorema 3.4. Neka je X normiran prostor i f linearan funkcional na X. f je ograničen ako i samo ako je Ker(f) zatvoren skup. Posljedica 3.5. Neka je f linearan funkcional na normiranom prostoru X. f je neograničen funkcional ako i samo ako Ker(f) je pravi podskup od X i svuda gust u X. Lema 3.6. Neka je f proizvoljan netrivijalan, ograničen linearan funkcional na linearnom vektorskom prostoru X. Kodimenzija potprostora Ker(f) jednaka je 1. Ukoliko dva funkcionala imaju ista jezgra, onda su oni proporcionalni. Zaista, neka za linearne funkcionalef i g vrijedi Ker(f) = Ker(g). Neka je x takav da je f(x ) = 1. Tada na osnovu dokaza gornje leme imamo za proizvoljnox Djelujmo funkcionalom g na x, dobijamo x = f(x)x +y, y Ker(f) = Ker(g). g(x) = f(x)g(x )+g(y) = f(x)g(x ). Ako bi sada imali da je g(x ) =, to bi značilo da je funkcional g identički jednak nuli, ali onda bi zbog jednakosti jezgara i funkcional f bio identički jednak nuli, što nije moguće zbog izbora elementax. Dakleg(x ), a to onda znači g(x) f(x) = g(x ), za proizvoljnox. Lema 3.7. Neka je X linearan vektorski prostor i L njegov potprostor kodimenzije 1. Tada postoji ograničen linearan funkcional na X, takav da je Ker(f) = L. Neka je L potprostor prostora X, kodimenzije 1. Tada L predstavlja hiperpovrš u prostoru X. Me dutim, svaka klasa ekvivalencije iz X/L tako de predstavlja hiperpovrš datog prostora i to "paralelnu" potprostoru L. Pri tome pod "paralelnošću" ovdje podrazumijevamo da se svaka od tih klasa može dobiti paralelnim pomjeranjem ili translacijom potprostoral za neki vektorx X, ξ X/L, ξ = L+x = {y y = x+x, x L}. Ako jex L, tada jeξ = L. U suprotnom, tojest akox / L, onda je ξ L. Lema 3.8. Neka je f proizvoljan netrivijalan, ograničen linearan funkcional na X. Tada je skup H = {x X f(x) = 1}, hiperpovrš u prostorux, šta više, paralelna je potprostoruker(f). 1

3.2 Hahn-Banachov teorem U svakom Banachovom prostoru preslikavanje identički jednako nuli, predstavlja jedan ograničen linearan funkcional. Postavlja se pitanje, da li postoje i drugi, netrivijalni funkcionali na proizvoljnom Banachovom prostoru? Ako postoje, mogu li im se unaprijed pripisati, i u kojoj mjeri, izvjesne osobine? Specijalno, postoji li ograničen linearan funkcional jednak nuli na nekom pravom potprostoru Banachovog prostora, a da pri tome ne isčezava na čitavom prostoru? Na sva ova pitanja egzistencije, odgovor nam daje Hahn-Banachov teorem o produženju linearnog ograničenog funkcionala. Bez ovog teorema, današnja funkcionalna analiza bi bila sasvim drugačija. Po svojoj eleganciji i jačini, Hahn-Banachov teorem je omiljen u matemati-čkim krugovima. Neki od "nadimaka" ovog teorema su "Analitička forma aksioma izbora" i "Krunski dragulj funkcionalne analize". Neophodan je alat u funkcionalnoj analizi, ali i u drugim oblastima matematike, kao što su teorija upravljanja, konveksno programiranje, teorija igara, neophodan je u dokazu egzistencije Greenove funkcije, u formulaciji termodinamike i sl. Teorema 3.9 (Hahn-Banachov teorem, realan slučaj). Neka je X realan Banachov prostor i neka je L lineal u X. Neka je na L definisan ograničen linearan funkcional f. Tada postoji ograničen linearan funkcional f, definisan na cijelom X, takav da vrijedi ( x L)f (x) = f(x) i f = f. Posljedice Hahn-Banacha Teorema 3.1. Neka jex proizvoljan nenula element prostorax. Tada nax postoji linearan funkcionalf, takav da vrijedi f = 1. f (x ) = x. Teorema 3.11. Neka je X Banachov prostor i neka je L pravi potprostor odx. Neka jex X \L. Tada postoji ograničen linearan funkcionalf nax, takav da vrijedi f = 1. f (x ) = d = d(x,l). ( x L)f (x) =. Teorema 3.12. Neka jex Banachov prostor i neka sux,y X. Ako za svakif X vrijedif(x) = f(y), tada je x = y. 11

3.3 Reprezentacije ograničenih linernih funkcionala Teorema 3.13. Neka je X konačnodimenzionalan vektorski prostor dimenzije n nad poljem Φ. Neka je {e 1,e 2,...,e n } baza od X i neka su a 1,a 2,...,a n proizvoljni elementi iz Φ. Tada postoji jedinstven linearan funkcional f : X Φ takav da vrijedi f(e i ) = a i, (i = 1,2,...,n). Navedeni teorem nam ustvari govori da je reprezentacija linearnog funkcionala f : X Φ na konačnodimenzionalnom prostoru X data sa gdje je x = f(x) = n ξ i a i, (3) n ξ 1 e i X i a 1,a 2,...,a n Φ. Reprezentacija linearnog funkcionala f na konačnodimenzionalnom vektorskom prostoru se može prikazati i u matričnom obliku. Neka je x X proizvoljan vektor konačnodimenzionalnog prostora X. Prikažimo ga u obliku matrice formata n 1, ξ 1 ξ 2 x =. Sa "a" označimo matricu vrstu 1 n, ξ n. a = [a 1 a 2...a n ], gdje su a 1,a 2,...,a n dati skalari iz Φ. Proizvod ovih matrica definiše linearan funkcional na X, tj. ξ 1 ξ 2 f(x) = [a 1 a 2... a n ]. ξ n f(x) = a 1 ξ 1 +a 2 ξ 2 +...+a n ξ n., (4) Primjer 3.14. Preslikavanje f : R 3 R, zadato sa f(x) = 2ξ 1 ξ 2 + 4ξ 3, je linearan funkcional. Neka su x = 3 ξ i e i i y = definiciji preslikavanja f, 3 η i e i dva proizvoljna vektora iz R 3. Tada je, prema f(x) = 2ξ 1 ξ 2 +4ξ 3, 12

f(y) = 2η 1 η 2 +4η 3. Sa e 1 = (1,,), e 2 = (,1,), e 3 = (,,1) označimo vektore baze prostora R 3. Odavde, na osnovu Teorema 3.13, vidimo da je f(e 1 ) = 2, f(e 2 ) = 1, f(e 3 ) = 4. Neka su λ, µ R proizvoljni. Tada je pa je λx+µy = λξ 1 e 1 +λξ 2 e 2 +λξ 3 e 3 +µη 1 e 1 +µη 2 e 2 +µη 3 e 3 = (λξ 1 +µη 1 )e 1 +(λξ 2 +µη 2 )e 2 +(λξ 3 +µη 3 )e 3, f(λx+µy) = f ((λξ 1 +µη 1 )e 1 +(λξ 2 +µη 2 )e 2 +(λξ 3 +µη 3 )e 3 ) = (λξ 1 +µη 1 )f(e 1 )+(λξ 2 +µη 2 )f(e 2 )+(λξ 3 +µη 3 )f(e 3 ) = 2(λξ 1 +µη 1 ) (λξ 2 +µη 2 )+4(λξ 3 +µη 3 ) = λ(2ξ 1 ξ 2 +4ξ 3 )+µ(2η 1 η 2 +4η 3 ) = λf(x)+µf(y). Kako ovo vrijedi za proizvoljne vektore x,y R 3 i proizvoljne skalare λ,µ R, zaključujemo da je dato preslikavanjef linearan funkcional na R 3. Reprezentacije na Banachovim prostorima Teorema 3.15. Ograničen linearan funkcionalf na prostoru l p, (1 < p < + ) ima reprezentaciju f(x) = ξ i η i, ( 1 gdje je x = (ξ i ) i N l p, y = (η i ) i N l q, p + 1 q ), = 1 pri čemu je f = y lq. Funkcionalomf nal p, tačkay l q je jednoznačno odre dena. Teorema 3.16. Ograničen linearan funkcionalf na prostorul 1 ima reprezentaciju f(x) = ξ i η i, gdje je x = (ξ i ) i N l 1, y = (η i ) i N l i pri tome je f = y. Funkcionalom f l 1 jednoznačno je odre den elementy l. Teorema 3.17. Ograničen linearan funkcionalf na prostoruc ima reprezentaciju f(x) = η i ξ i, gdje jey = (η i ) i N l 1 i f = y.funkcionalomf c tačkay l 1 jednoznačno je odre dena. 13

Teorema 3.18. Ograničen linearan funkcional f na C[a, b] ima reprezentaciju f(x) = b a x(t)dg(t), gdje je x(t) C[a,b], g(t) funkcija ograničene varijacije na [a,b] koja se anulira u tačkit = a i pri tome je f = Va b (g). Primjedba 3.19. Funkcional f na C[a, b] ne odre duje jednoznačno funkciju ograničene varijacije g. Teorema 3.2. Ograničen linearan funkcional f na L p (a,b) (1 < p < + ) ima reprezentaciju f(x) = b a y(t)x(t)dt, gdje je y L q (a,b), 1 p + 1 q = 1 i pri tome je f = y. Funkcionalomf nal p, funkcijay u L q jednoznačno je odre dena. Teorema 3.21. Ograničen linearan funkcional f na prostoru L(a, b) ima reprezentaciju f(x) = b a x(t)y(t)dt, gdje je y L (a,b) i f = y L. Funkcionalom f na L funkcija y L (a,b) jednoznačno je odre dena. Konjugovani prostori i operatori Kao što smo vidjeli u sekciji o linearnim operatorima, sa L(X,Y) označavali smo skup svih ograničenih linearnih operatora sa prostora X u prostor Y, gdje smo zahtjevali jedino da su X i Y normirani prostori. Na osnovu Teorema 2.11, pod pretpostavkom da je Y Banachov prostor, L(X,Y) je sam za sebe Banachov prostor. Kada posmatramo sva ograničena linearna preslikavanja kod kojih je kodomen Y = R ili Y = C, zbog činjenice da je R (ili C) kompletan prostor, prostor L(X,Φ) (Φ = R ili Φ = C) je Banachov prostor i za njega ćemo koristiti oznaku X, a nazivamo ga dualni, konjugovani ili adjungovani prostor prostorax. Dakle, sa X označavamo skup svih linearnih i ograničenih funkcionala definisanih na X, X = {f : X Φ f linearan i ograničen}. Naravno da bi smo sada mogli posmatrati, za zadati Banachov prostor X, i skup svih neprekidnih funkcionala definisanih na X, tj. skup (X ) = X, u kome linearne 14

operacije i normu možemo uvesti na prirodan način, i sa kojima on tako de predstavlja jedan Banachov prostor. Slično bi smo mogli razmišljati i formirati prostore X, X itd. Nama je ovde od interesa posebno prostorx koga nazivamo drugi dualni ili adjungovani prostor prostora X. Na osnovu teorema o reprezentaciji linearnih ograničenih funkcionala smo vidjeli naprimjer, da je dualni prostor prostora c jednak prostoru l 1, tj. c = l 1, u smislu algebarske i metričke izomorfnosti. Tako de je l1 = l, lp = l q ( 1 p + 1 q = 1). Praveći druge duale ovih prostora možemo zaključiti sljedeće veze, c = l1 = l ili lp = lq = l p ( 1 p + 1 q = 1). U smislu algebarske i metričke izomorfnosti, prvi primjer nam govori da je c c, a drugi da je l p = lp. Sljedećim teoremom dajemo generalnu vezu izme du prostora i negovog drugog duala. Teorema 3.22. Proizvoljan Banachov prostor X se može algebarski i izometri-čki uložiti ux, tj. vrijedi X X. Definicija 3.23. Ukoliko za neki Banachov prostor vrijedi T (X) = X (odnosno X = X ), tada kažemo da jex refleskivan prostor. OperatorT uveden u dokazu gornje teoreme se naziva prirodno ili kanonsko preslikavanje prostora X u prostor X. Taj pojam preciziramo iz razloga da ako za neko drugo preslikavanjet : X X vrijedit(x) = X, to ne mora značiti refleksivnost prostorax. Teorema 3.24. Svaki potprostor refleksivnog Banachov prostora je tako de refleksivan. Teorema 3.25. Banachov prostor je refleksivan ako i samo ako je njegov dual refleksivan prostor. Teorema 3.26. Neka je X Banachov prostor. Ako je X separabilan, onda je i X separabilan prostor. Da obrat gornje teoreme ne važi uvjeravamo se primjerom prostora l 1. Naime, l 1 jeste separabilan, ali njegov dual l 1 = l, kao što smo to vidjeli u sekciji o separabilnosti, nije separabilan prostor. Konjugovani operator Neka su X i Y Banachovi prostori i A L(X,Y). Neka je domen oparatora A (D A ) skup svuda gust ux. Za proizvoljan funkcionalg Y definišimo preslikavanje f(x) = g(ax), x D A. 15

Očigledno je f dobro definisano za svako x D A jer je Ax Y. Kako je g Y jasno je da jef funkcional. Za proizvoljnex 1,x 2 D A i λ,µ Φ je f(λx 1 +µx 2 ) = g(a(λx 1 +µx 2 )) = g(λax 1 +µax 2 ) te je f linearan. Tako de vrijedi = λg(ax 1 )+µg(ax 2 ) = λf(x 1 )+µf(x 2 ), f(x) = g(ax) g Ax g A x, tj. on je i ograničen funkcional (zbog ograničenosti funkcionala g i operatora A). Kako je D A svuda gust u X, operator A možemo bez promjene norme produžiti na čitav prostor, a time i funkcional f. Jednostavnosti radi, taj produženi funkcional označimo ponovo sa f. Dakle, na gore opisan način mi smo svakom funkcionalu na Y pridružili jedan (tačno jedan) funkcional na X, te smo na taj način definisali jedno preslikavanje. Definicija 3.27. Neka su X, Y Banachovi prostori i A L(X, Y). Preslikavanje A : Y X, definisano sa A g(x) = f(x) = g(ax), g Y, f X, nazivamo konjugovani, adjungovani ili dualni operator operatora A. U gornjoj definiciji smo definisali konjugovani operator ograničenog operatora. Me dutim, to smo mogli učiniti i za proizvoljan linearan operator, ali tada se oblast definisanosti konjugovanog operatora može bitno suziti u odnosu na Y, može se čak sastojati jedino iz trivijalnog funkcionala na Y, bez obzira što je domen operatora svuda gust ux. Teorema 3.28. ZaA L(X,Y) je A L(Y,X ) i pri tome vrijedi A = A. Teorema 3.29. Konjugovani operator proizvoljnog operatora je uvijek zatvoren operator. Primjer 3.3. Neka jea d : l 2 l 2 desni shift operator, tj. za x = (x i ) i N l 2 A d x = (,x 1,x 2,...). Na osnovu reprezentacije linearnih ograničenih funkcionala na l 2, za g l 2 onda imamo g(a d x) = (A d x) i η i = x i 1 η i = x i η i+1, y = (η i ) i N l 2. i=2 Dakle, A d = A l, konjugovani operator desnog shift operatora je lijevi shift operator, tj. operator sa djelovanjem A l x = (x 2,x 3,...), x = (x i ) i N l 2. 16

Neka je K(s,t) neprekidna funkcija na kvadratu {(s,t) s 1, t 1}, pri čemu je zaq > 1 1 1 K(s,t) q dt M, za svako s [,1]. Definišimo preslikavanjea : L p [,1] L q [,1] ( 1 p + 1 q = 1), sa Ax(s) = 1 K(s, t)x(t)dt. Zbog pretpostavljene neprekidnosti jezgra K, preslikavanje je dobro definisano i očigledno linearno. Osim toga vrijedi 1 1 ( 1 ) q Ax(s) q ds ds K(s, t) x(t) dt pa je ( 1 Ax 1 1 ds ( 1 ( 1 ) p) q K(s,t) q dt x(t) p dt, ) 1 ( K(s,t) q q 1 ) 1 dtds x(t) p p dt M 1 q x Lp te je A i ograničen operator. Odredimo sada konjugovani operator A. Proizvoljan funkcionalg na prosotorul q [,1] ima reprezentaciju g(y) = 1 y(s)x (s)ds, gdje je x L p [,1], element jednoznačno pridružen funkcionalu g. Po definiciji konjugovanog oparatora, tada je 1 1 ( 1 ) A g(x) = g(ax) = Ax(s)x (s)ds = K(s, t)x(t)dt x (s)ds = 1 ( 1 x(t) K(s,t)x (s)ds ) dt. Dakle, dobili smo neki funkcional f na L p [,1], a opet zbog reprezentacije funkcionala je njemu jednoznačno pridruženi element dat sa y (t) = 1 K(s,t)x (s)ds L q [,1]. Zbog identifikacije prostoral p il q, posljednjom jednakošću je definisan konjugovani operator, tj. A g = f, gdje smo poistovjetili funkcionalg sa njemu pridruženim elementomx L p i tako de funkcionalf smo poistovjetili sa njemu pridruženom elementu y L q. Pri tome A preslikava daklel q = L p ul p = L q. 17

Teorema 3.31. Ako je A L(X,Y) onda je A = (A ) L(X,Y ). Operator A je proširenje operatoraa, tj. A A i pri tome je A = A. Teorema 3.32. Neka je A : X Y linearan operator takav da je D A svuda gust u X. Operator(A ) 1 postoji ako i samo ako je R A svuda gust u Y. Teorema 3.33. Neka je A : X Y linearan operator za koga je D A svuda gust u X i R A svuda gust uy i neka postojia 1. Tada postoji i (A ) 1 i pri tome vrijedi (A ) 1 = (A 1 ). Teorema 3.34. Neka je A : X Y linearan operator za koga je D A svuda gust u X i R A svuda gust u Y i neka postoji A 1. Operator A 1 je ograničen ako i samo ako je operator(a ) 1 definisan na cijelomx i ograničem. 18